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FENÔMENOS DE TRANSPORTE prof. José Casamassa Neto
CAPÍTULO 3 – TRANSPORTE DE ENERGIA TÉRMICA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS, AMBIENTAIS E DE TECNOLOGIAS PUC-CAMPINAS
CURSO: ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO 24
3.1 - INTRODUÇÃO
Transporte de energia térmica ou transporte de calor, é o transporte de energia
que se dá devido a diferença de temperatura. A energia é transmitida sempre
que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema, ou quando
dois sistemas com diferentes temperaturas são colocados em contato. O
processo pelo qual a energia é transportada, é chamado de transporte ou
transmissão de calor.
Teoricamente existem três formas de transmissão de calor, a saber:
- CONDUÇÃO
- CONVECÇÃO
- RADIAÇÃO
CONDUÇÃO: é a maneira pela qual o calor passa de uma parte a outra de um
mesmo meio ( sólido, líquido ou gasoso ), ou entre meios em contato físico,
sem deslocamento apreciável das partículas do mesmo. A energia é
transmitida por meio de comunicação molecular direta.
A transmissão por condução é mais frequente nos sólidos, enquanto que nos
líquidos e nos gases é difícil evitar que seja acompanhada por convecção, uma
vez que, o aquecimento ou esfriamento de fluidos provoca, via de regra, a
formação de correntes convectivas.
CONVECÇÃO: nos fluidos em geral, a transmissão de calor se dá por
convecção. Aquecendo-se a parede de um recipiente em que está contido um
fluido, nota-se perfeitamente que as partículas quentes, tornando-se mais
leves, sobem e no lugar delas vem outras frias, criando uma corrente de fluido
num determinado sentido.
Não há somente transmissão de energia, mas também movimento de partículas
materiais. As partículas quentes se afastam do lugar onde recebem calor e vão
comunicá-lo às partículas frias.
O transporte de energia térmica por convecção é parcialmente regido pela
Mecânica dos Fluidos, uma vez que o fenômeno envolve movimento de
fluidos. Se a convecção é induzida por diferença de densidades resultantes de
diferença de temperaturas no seio do fluido, chamamos de convecção natural.
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Se o movimento do fluido resulta da ação de forças externas, como um
ventilador ou bomba, chamamos de convecção forçada.
RADIAÇÃO: é a passagem da energia de calor através de ondas
eletromagnéticas, ou fotons, com uma certa faixa de comprimento de onda.
Por conseguinte, as mesmas leis que regem a faixa especial de comprimento
de onda, que chamamos de luz visível, regem também as radiações de energia
térmica, que chamamos calor. Embora ocorra transporte de energia por
radiação através de líquidos, gases e sólidos, estes meios absorvem alguma ou
toda energia e, portanto, esta energia é irradiada mais eficientemente através
do espaço vazio.
Na prática não ocorre transmissão de calor, que seja somente por condução, ou
por convecção, ou por radiação, pois sempre acontece a superposição de pelo
menos dois dos modos de transmissão de calor. Existem, entretanto, casos
práticos, nos quais uma das modalidades de troca, passa a segunda ordem
perante as demais, podendo ser desprezada sem grande sacrifício, da exatidão
e com vantagem da simplicidade.
3.2 - CONDUÇÃO EM REGIME PERMANENTE
A equação básica da condução de calor, no regime permanente, é conhecida
como “Equação de Fourier”.
dx
dt.A.Kq −= (3.1)
onde:
q = fluxo de calor por condução (kcal/h) ou (W)
A = área da seção, através da qual o calor flui, medida
 perpendicularmente à direção do fluxo de calor (m2)
K = condutividade ou condutibilidade térmica do material (kcal/hmºC)
dt/dx = gradiente de temperatura na seção, isto é, a relação da variação da
 temperatura, T, com a distância na direção x, do fluxo de calor
 (ºC/m)
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O sinal negativo, na equação (3.1 pág. 26), significa que o calor aumenta na
direção de x, assim o calor automaticamente fluirá dos pontos de temperatura
mais alta para os de mais baixa. O fluxo de calor será positivo quando o
gradiente de temperatura é negativo.
Os materiais que têm alta condutibilidade térmica, são chamados condutores”,
enquanto os de baixa condutibilidade térmica são denominados “isolantes”.
Em geral, a condutibilidade térmica varia com a temperatura, mas, em muitos
problemas de engenharia, a variação é suficientemente pequena para ser
desprezada. Geralmente, um aumento de temperatura acarreta um aumento na
condutividade dos gases e diminuição da condutividade dos sólidos e líquidos.
As ordens de valor da condutividade decrescem marcadamente com o
acréscimo da densidade. As substâncias usuais na engenharia, apresentam em
geral condutividades dentro dos seguintes limites:
Substâncias K (kcal/hmºC)
Gases 0,0015 à 0,15
Líquidos 0,015 à 1,5
Sólidos 1,5 à 360
3.2.1 - INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE FOURIER
a) Parede plana:
Em um sólido delimitado por duas superfícies planas e paralelas (figura 3.1,
pág. 28), mantidas em temperaturas t1 e t2 diferentes e constantes (t1>t2), por
motivos de simetria, as superfícies isométricas serão planos paralelos às
superfícies e, portanto, os tubos de fluxo serão perpendiculares às mesmas
superfícies (obs.: e = espessura da parede plana).
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Figura 3.1 – Parede plana
Integrando-se a equação 3.1, para os dados da figura 3.1 , tem-se:
( )
R
ttq
ou
(3.2) 
K.A
e
ttq
ttK.A.q.e
dtK.Adxq
dx
dtK.Aq
21
21
12
t
t
e
0
2
1
−=
−=
−−=
−=
−=
∫∫
onde:
R = Resistência Térmica por condução
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A equação 3.1 pode ser integrada e resolvida para temperatura em qualquer
ponto, figura 3.2.
Figura 3.2 – Temperatura em qualquer ponto
( )
(3.3) x.
A.K
qtt
ttttx.
A.K
q
dtdx
A.K
q
dt
A.K
dx.q
dx
dtA.Kq
1
11
t
t
x
0 1
−=
−=−−=
−=
−=
−=
∫∫
Esta equação mostra a linearidade entre a temperatura e a distância, nas
condições descritas.
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b) Parede plana composta:
Quando a condução de calor ocorre através de uma placa plana, constituída
por lâminas ou placas de condutividades diferentes, figura 3.3, o fluxo de
calor q será o mesmo para todas as placas.
Figura 3. 3 – Parede plana composta
Pode-se escrever:
3
43
c
2
32
b
1
21
a e
ttA.K
e
ttA.K
e
ttA.Kq −=−=−=
Como geralmente só se conhece as temperaturas t1 e t4 , a equação para o
cálculo do fluxo de calor deve estar em função dessas temperaturas. Dessa
forma, explicitando as diferenças de temperatura:
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A.K
eqtt
A.K
eqtt
A.K
eqtt
c
3
43
b
2
32
a
1
21
=−
=−
=−
e somando-se as três equações, tem-se:
térmicas asResistênci R
RRR
ttq
ou
(3.4) 
A.K
e
A.K
e
A.K
e
ttq
ou
A.K
e
A.K
e
A.K
eqtt
321
41
c
3
b
2
a
1
41
c
3
b
2
a
1
41
=
++
−=
++
−=



 ++=−
para “n” camadas, tem-se:
n1i onde
A.K
e
ttq n
1i i
i
1n1
→=
−=
∑
=
+
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c) Paredes cilíndricas:
O fluxo de calor radial por condução, através de um cilindro circular oco,
constitui um problema de condução de calor de importância prática
considerável. Os exemplos típicos são a condução através de tubos e isolantes
dos tubos.
Se o cilindro é homogêneo e suficientemente longo, tal que os efeitos de
extremidade possam ser desprezados e a temperatura interna é constante e
igual a t1, enquanto que a superfície externa é mantida uniformemente igual a
t2 , a equação de Fourier, para a figura 3.4, pode ser escrita:
dr
dtA.Kq −=
Figura 3.4 – Parede cilíndrica
A área “A” , normal ao fluxo de calor, é:
rL2A π=
assim, a equação de Fourier se torna:
dr
dtrL2Kq π−=
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Separando as variáveis e integrando:
( )
( )



−π=
−π=
π−= ∫∫
1
2
n
21
21
1
2
n
t
t
r
r
r
rL
ttLK2q
ttLK2
r
rqL
dtLK2
r
drq
2
1
2
1
Multiplicando e dividindo por (r2-r1), tem-se:
( )( )
( )
( )( )
( )
1
2
1
2
12
1
2
n
2112
12
1
2
n
2112
A
A
r
r : pois 
rrA
AL
ttAAK
rrr
rL
ttrrLK2q
=
−


−−=
−


−−π=
e fazendo “Am” , área média logarítmica:



−=
1
2
n
12
m
A
AL
AAA
a equação fica:
(3.5) 
KA
rr
ttq
ou 
rr
ttKAq
m
12
21
12
21
m
−
−=
−
−=
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Nos casos em que 2
r
r
1
2 < , a área média logarítmica poderá ser calculada
como sendo a área média aritmética, ocasionando um erro aceitável, inferior à
4% no cálculo do fluxo de calor “q”.
A distribuição de temperatura na parede curva, é obtida integrando a equação
de Fourier para um raio “ r ” qualquer:
( )
(3.6) 
LK2
r
rqL
tt
ttLK2rqL
dtLK2
r
drq
1
n
1
11n
t
t
r
r 11
π



−=
−π=
π−= ∫∫
d) Paredes cilíndricas compostas:
A análise do cilindro composto, mostrado na figura 3.5 (pág. 35), decorre da
combinação das análises da placa plana composta e da parede cilíndrica
simples.
Considerando-se três cilindros ocos concêntricos, por exemplo, um tubo com
duas camadas diferentes de isolamento envolvendo-o, o fluxo de calor é o
mesmo para todos os cilindros.
Os cilindros têm condutividades térmica, respectivamente iguais a: Ka , Kb ,
Kc .
As temperaturas desde a face interna do primeiro cilindro até a face externa do
último são respectivamente: t1 > t2 > t3 > t4 .
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Figura 3. 5 – Parede cilíndrica composta
Como o fluxo de calor é o mesmo para todos os cilindros, pode-se escrever:



 −=−



 −=−



 −=−
−
−=−
−=−
−=
c
b
a
cba
mc
34
43
mb
23
32
ma
12
21
34
43
mc
23
32
mb
12
21
ma
AK
rrqtt
AK
rrqtt
AK
rrqtt
:vem onde de
rr
ttAK
rr
ttAK
rr
ttAKq
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Somando-se as três equações, tem-se:
321
41
mc
34
mb
23
ma
12
41
mc
34
mb
23
ma
12
41
RRR
ttq
ou
(3.7) 
AK
rr
AK
rr
AK
rr
ttq
AK
rr
AK
rr
AK
rrqtt
cba
cba
++
−=
−+−+−
−=



 −+−+−=−
3.3 - CONVECÇÃO
3.3.1 - INTRODUÇÃO
A maioria dos processos de transporte de calor em fluidos, é acompanhada
por alguma forma de movimentação do fluido, portanto, o transporte não se dá
apenas por condução.
O transporte de calor resultante da condução e escoamento do fluido
simultâneo, é definido como convecção, que pode ser: forçada ou natural.
Ocorre convecção forçada, quando o movimento é devido principalmente de
um gradiente de pressão, ocasionado por exemplo por uma bomba ou um
ventilador.
Ocorre convecção natural, quando o movimento é provocado apenas pelas
diferenças de massa específica associadas ao campo da temperatura.
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Existem dois sistemas importantes para o estudo da convecção: o transporte de
calor entre um fluido e uma placa plana, esquematizado na figura 3.6.a,
quando o fluido escoa paralelamente à placa e o transporte entre um fluido que
escoa em um tubo, esquematizado na figura 3.6.b .
Figura 3 . 6 . a – Fluido e placa plana
Figura3 . 6 . b – Fluido e tubo
3.3.2 - EQUAÇÃO DA TRANSMISSÃO DE CALOR POR
 CONVECÇÃO
A transmissão de calor por convecção, entre um fluido e uma placa ou parede
sólida, é regulada pela equação de Newton:
( ) (3.8) tthAq fs −=
onde:
q = fluxo de calor por convecção (Kcal/h) ou (W)
h = coeficiente de convecção ou de película (Kcal/hm2 ºC) ou (W/m2 ºC)
A = área considerada (m2)
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ts = temperatura da superfície (ºC)
tf = temperatura do fluido (ºC)
Uma diferença fundamental entre as equações de Fourier e a de Newton, é que
a primeira vale para quaisquer valores de ∆t (diferença de temperatura),
enquanto que, a equação de Newton a rigor só vale com ∆t inferior a 10ºC.
Isso significa que o coeficiente de película “h”, em vez de ser uma constante,
varia em função de ∆t. Além disso, enquanto o coeficiente de condutibilidade
térmica “K” é uma constante característica de cada corpo ou substância, e que
varia apenas com a temperatura, “h” é função de uma série de constantes
físicas e geométricas, relacionadas com:
a) forma geométrica e orientação da superfície de contato
b) as constantes físicas do fluido que cede e recebe calor
c) o estado do movimento do fluido com relação à parede
Portanto, pode-se ver que é impossível tabelar valores de “h”, como se faz
com o coeficiente de condutibilidade térmica “K”, em virtude da enorme
multiplicidade dos casos.
O problema mais importante da transmissão de calor por convecção, é
justamente o de determinar um valor aceitável de “h” para cada caso, em
função das condições experimentais.
3.3.3 - TRANSMISSÃO DE CALOR POR CONVECÇÃO, ENTRE
 DOIS FLUIDOS SEPARADOS POR UMA PAREDE
a) CASO DE PAREDE PLANA
Sejam: t1 e t2 as temperaturas dos fluidos; “e” a espessura da parede sólida
e K a sua condutibilidade térmica; h1 e h2 os coeficientes de convecção
(película) relativos aos fluidos 1 e 2 , conforme ilustra a figura 3.7 (pág. 39),
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Figura 3 . 7 – Convecção parede plana
considerando a área “A” da parede plana, tem-se:
( ) ( )2211 t''tAhe
''t'tKA'ttAhq −=−=−=
O fluxo de calor que atravessa o primeiro fluido, é dado por:
( )
Ah
q'tt
'ttAhq
1
1
11
=−
−=
O mesmo fluxo de calor, que atravessa a parede sólida, é dado por:
KA
qe''t't
e
''t'tKAq
=−
−=
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E, finalmente, é cedido pela parede ao segundo fluido:
( )
Ah
qt''t
t''tAhq
2
2
22
=−
−=
Somando-se as diferenças de temperaturas, tem-se:
( )
(3.9) 
Ah
1
KA
e
Ah
1
ttq
h
1
K
e
h
1
ttAq
h
1
K
e
h
1
A
qtt
21
21
21
21
21
21
++
−=
++
−=



 ++=−
Se a parede sólida for constituída por várias camadas, tem-se:
(3.10) 
Ah
1
AK
e
Ah
1
tq
2
n
1i i
i
1
++
∆=
∑
=
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Geralmente denomina-se coeficiente global de transmissão de calor,
representado por “U” , a equação 3.11:
(3.11) 
h
1
K
e
h
1
1U
2
n
1i i
i
1
++
=
∑
=
Logo, a equação do fluxo de calor se reduz a:
(3.12) t A Uq ∆=
onde:
U = coeficiente global de transmissão de calor, (Kcal/hm2 ºC) ou (W/m2 ºC)
b) CASO DE PAREDE CILÍNDRICA
A figura 3.8 (pág. 42), ilustra um sistema no qual o calor passa: de um fluido à
temperatura média global t1 ; através da parede do tubo; atravessa outra
camada sólida, um isolante por exemplo, atingindo finalmente outro fluido,
neste caso ar atmosférico, à temperatura média global t5.
As temperaturas das interfaces são , respectivamente: t2 , t3 e t4 .
O tubo tem coeficiente de condutibilidade térmica Kb .
O isolante tem coeficiente de condutibilidade térmica Kc .
Dessa maneira o fluxo de calor total, em regime permanente, é dado por:
( ) ( )5422
23
43
mc
12
32
mb2111 ttAhrr
ttAK
rr
ttAKttAhq
cb
−=−
−=−
−=−=
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Figura 3 . 8 – Caso de Parede Cilíndrica
As diferenças de temperaturas são:
22
54
mc
23
43
mb
12
32
11
21
Ah
1qtt
AK
rrqtt
AK
rrqtt
Ah
1qtt
c
b
=−
−=−
−=−
=−
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Somando-se as diferenças de temperaturas e reagrupando, tem-se o fluxo de
calor dado pela equação 3.13, abaixo:
(3.13) 
Ah
1
AK
rr
AK
rr
Ah
1
ttq
22mc
23
mb
12
11
51
cb
+−+−+
−=
3.3.4 - AVALIAÇÃO DOS COEFICIENTES DE CONVECÇÃO
Existem quatro métodos gerais, disponíveis para a avaliação dos coeficientes
de transmissão de calor por convecção, a saber:
a) análise dimensional combinada com experiências
b) soluções matemáticas exatas das equações da camada limite
c) análise aproximada da camada limite por métodos integrais
d) analogia entre transferência de calor, massa e quantidade de movimento
Todas essas quatro técnicas têm contribuído, para a compreensão da
transmissão de calor por convecção, contudo, nenhum método isolado pode
resolver todos os problemas, porque cada um tem limitações que restringem
seu alcance de aplicação.
A análise dimensional é matematicamente simples e tem encontrado largo
campo de aplicação. A limitação principal desse método é que os resultados
obtidos por ele, são incompletos e não aproveitáveis, sem dados
experimentais. Pouco contribui para a compreensão do processo de
transmissão de calor, mas facilita a interpretação e estende o campo de
aplicação de dados experimentais, correlacionando-os em termos de números
adimensionais.
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3.3.4.1 - DETERMINAÇÃO DOS NÚMEROS ADIMENSIONAIS
a) CONVECÇÃO FORÇADA
A convecção forçada é um fenômeno que envolve as seguintes grandezas:
h = coeficiente de convecção: kcal/hm2hºC
V = velocidade do fluido: m/s
ρ = massa específica do fluido: kgf s2/m4
Cp = calor específico: kcal/UTM ºC = kcal m/kgf s2 ºC
D = dimensão linear: m
K = condutividade térmica: kcal/hmºC
µ = viscosidade dinâmica: kgf s/m2
Aplicando o método de Rayleigh e o Sistema Técnico com mais as grandezas
primárias Q(quantidade de calor: kcal) e θ(temperatura: ºC), tem-se:
fedcba KDCpVh µρϕ=
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Grandezas Grandezas Primárias
Secundárias Q F L T θ
h 1 0 -2 -1 -1
Va 0 0 a -a 0
ρb 0 b -4b 2b 0
Cpc c -c c -2c -c
Dd 0 0 d 0 0
Ke e 0 -e -e -e
µf 0 f -2f f 0
Q ⇒ 1= c + e
F ⇒ 0 = b – c + f
L ⇒ -2 = a – 4b + c + d – e – 2f
T ⇒ -1 = -a + 2b – 2c –e + f
θ ⇒ -1 = -c – e
Obs.: São quatro equações, pois a 1ª e a 5ª são iguais.
Explicitando e, f, a, d em função de b, c , tem-se:
e = 1 – c
f = c – b
a = b
d = b – 1
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dessa maneira:
cb
cb
K
CpVD
K
hD
ou
D
e
K
CpVDh


 µ


µ
ρϕ=




 µ


µ
ρϕ=
onde:
(3.14) Pr Re Nu
:logo
Prandtl de número 
K
CpPr
Reynolds de número VDRe
Nusselt de número 
K
hDNu
cbϕ=
µ=
µ
ρ=
=
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b) CONVECÇÃO NATURAL
A convecção natural é um fenômeno que envolve as seguintes grandezas:
D = dimensão linear característica: m
∆t = diferença de temperatura parede/fluxo: ºC
ρ = massa específica: kgf s2/m4
µ = viscosidade dinâmica: kgf s/m2
βg = produto do coeficiente de dilatação cúbica e aceleração da gravidade:
 m/s2 ºC
g = aceleração da gravidade: m/s2
Cp = calor específico: kcal m/kgf s2 ºC
K = coeficiente de condutividade térmica: kcal/hm ºC
Aplicando o método de Rayleigh e o Sistema Técnico com mais as grandezas
primárias Q(quantidade de calor: kcal) e θ(temperatura: ºC), tem-se:
( ) gfedcba KCpgtDh βµρ∆ϕ=
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Grandezas Grandezas Primárias
Secundárias Q F L T θ
h 1 0 -2 -1 -1
Da 0 0 a 0 0
∆tb 0 0 0 0 b
ρc 0 c -4c 2c 0
µd 0 d -2d d 0
(βg)e 0 0 e -2e -e
Cpf f -f f -2f -f
Kg g 0 -g -g -g
Q ⇒ 1 = f + g
F ⇒ 0 = c + d – f
L ⇒ -2 = a – 4c – 2d + e + f – g
T ⇒ -1 = 2c + d – 2e – 2f – g
θ ⇒ -1 = b – e – f – g
Explicitando-se a, b, c, d, g em função de “e” e “f ” , tem-se:
a = 3e – 1
b = e
c = 2e
d = f – 2e
g = 1 – f
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dessa maneira:
( ) ( )( ) ( )
(3.15) PrGrNu
:assim
 :pois Grashof) de (número gtDGr
:onde
K
CpgtD
K
hD
ou
D
K
K
CpgtDh
KCpgtDh
fe
2
3
fe
2
23
fe
2
23
f1fee2fe2e1e3
ϕ=
ρ
µ=νν
β∆=


 µ



µ
βρ∆ϕ=




 µ



µ
βρ∆ϕ=
βµρ∆ϕ= −−−
Generalizando, pode-se dizer que as equações típicas para convecção natural,
têm a forma Nu = ϕ Gr e Pr f e para a convecção forçada, têm a forma
Nu = ϕ Re b Pr c .
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3.3.5 - EQUAÇÕES EXPERIMENTAIS PARA O CÁLCULO DO
 COEFICIENTE DE CONVECÇÃO
3.3.5.1 - REGIMES DE ESCOAMENTO
a) Tubos cilíndricos
Escoamento no interior ou externamente a qualquer tubo de direção
longitudinal.
Regime Laminar: Re ≤ 2.320
Regime Transitório: 2.320 < Re ≤ 8.000
Regime Turbulento: Re > 8.000
b) Tubos retangulares
Escoamento no seu interior.
Regime Laminar: Re ≤ 350
Regime Turbulento: Re > 350
c) Placas planas
Escoamento em torno de placas planas, na parte superior.
Regime Laminar: Re ≤ 400.000
Regime Transitório: 400.000 < Re ≤ 600.000
Regime Turbulento: Re > 600.000
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3.3.5.2 - EQUAÇÕES PARA CONVECÇÃO NATURAL
a) Líquidos e gases em escoamento externo a cilindros horizontais:
( )
( )
( ) 3/1129
25,094
2
45-
-5
Pr .Gr 0,129 Nu 10 Pr .Gr 10 Para
Pr .Gr 0,525 Nu 10 Pr .Gr 10 Para
Pr .Gr Log x Nu Logy
0,0097x0,128x0,0475y 10 Pr .Gr 10 Para
0,4 Nu 10 Pr .Gr 0 Para
=→≤<
=→≤<




==
++=→≤<
=→≤<
b) Líquidos e gases em torno de placas e cilindros verticais:
( )
( )
( ) 3/1129
25,094
2
41-
Pr .Gr 0,129Nu 10 Pr .Gr 10 Para
Pr .Gr 0,525Nu 10 Pr .Gr 10 Para
Pr .Gr Logx
Nu Logy
0,0097x0,122x0,191y
 10 Pr .Gr 10 Para
=→≤<
=→≤<






=
=
++=
→≤<
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c) Líquidos e gases em torno de superfícies planas horizontais (dimensão
 característica: lado da placa):
( )
( )
( ) 



=≤<














=
=
≤<
3/1
107
25,0
25,0
75
Pr .Gr 0,14Nu
esfriada sendoinferior aquecida, sendosuperior Superfície
: 10x 3 Pr .Gr 10x 2 Para
Pr .Gr 0,25Nu
aquecida sendoinferior esfriada, sendosuperior Superfície
Pr .Gr 0,54Nu
esfriada sendoinferior aquecida, sendosuperior Superfície
: 10x 2 Pr .Gr 10 Para
3.3.5.3 - EQUAÇÕES PARA CONVECÇÃO FORÇADA
Os números adimensionais envolvidos são: Nusselt, Reynolds e Prandtl.
a) Escoamento dentro e fora de tubos, direção longitudinal:
- Regimes transitório e turbulento (líquidos e gases):
aquecido sendo fluido para 0,4 n
esfriado sendo fluido para 0,3 n
Pr Re 0,023 Nu n0,8
=
=
=
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- Regime laminar (líquidos e gases):
14,0
p
3/1
 
L
 .Pr . Re 86,1Nu 



µ
µ

 φ=
onde:
L = comprimento do conduto
φ = diâmetro característico
µ = viscosidade dinâmica na temperatura de referência
µp = viscosidade dinâmica na temperatura da parede
b) Escoamento normal ao tubo (líquidos):
0,60 n 0,5b 10 Re 50
0,91n 0,385b 50 Re 1,0
Pr Re b Nu
4
0,31n
==≤<
==≤<
=
c) Escoamento ao longo de placas planas (líquidos e gases):
- Regime laminar (gases):
0,5Re 0,66 Nu =
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- Regime laminar (líquidos):
parede da 
atemperatur na Prandtl de número Pr
referência de 
atemperatur na Prandtl de número Pr
Pr
Pr Re 0,76 Nu
p
25,0
p
0,43
=
=



=
- Regime turbulento (gases):
0,8Re 0,032 Nu =
- Regime turbulento (líquidos):
parede da 
atemperatur na Prandtl de número Pr
referência de 
atemperatur na Prandtl de número Pr
Pr
Pr Pr Re 0,037 Nu
p
25,0
p
0,430,8
=
=



=
3.3.6 - OBSERVAÇÕES
a) Para o cálculo de Gr e Pr , as propriedades dos fluidos devem ser tomadas
com referência à temperatura da película: tref
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a.1) parede e fluido:
2
tt
t fluidoparederef
+=
a.2) tubo e fluido:
fluido do saída de atemperatur t
fluido do entrada de atemperatur t
:onde
2
ttt
s
e
se
ref
=
=
+=
b) A dimensão característica D ou L:
b.1) é o diâmetro interno, no caso de escoamento no interior de condutos
 circulares
b.2) é o diâmetro hidráulico Dh = 4A/P (A = área ; P = perímetro), no caso de
 escoamento no interior de tubos não circulares ou exteriormente na sua
 direção longitudinal
b.3) é um dos lados da placa ou a distância entre elas, no caso de escoamento
em torno de placas ou paralelo às placas, ou entre placas.
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3.4 - TRANSMISSÃO DE CALOR POR RADIAÇÃO
As modalidades de transmissão de calor por condução e convecção, requerem
para sua realização, a presença de um meio material.
A transmissão de calor por radiação ocorre perfeitamente no vácuo, ou através
de maios transparentes, pois é devida à propagação de uma radiação
eletromagnética, que tem a mesma natureza da radiação luminosa e se propaga
com a mesma velocidade.
Todos os corpos emitem radiação, em qualquer temperatura, entretanto, a
composição espectral da radiação emitida, varia de acordo com a temperatura,
de maneira que somente em temperaturas elevadas a radiação se torna visível,
sob forma de incandescência. Todavia, é fácil convencer-se, por exemplo,
avizinhando-se a mão a um ferro de passar ligado, que o mesmo irradia calor,
sem emitir radiação visível.
A Física experimental submeteu no século XIX, a radiação a um estudo do
qual resultaram várias conclusões importantes:
a) a quantidade total de energia emitida é proporcional à área da superfície
 emitente e ao tempo e depende da natureza da superfície e de sua
 temperatura absoluta.
b) analisando espectros relativos à radiação emitida, verificou-se que sua
 intensidade varia em função do comprimento de onda λ , sendo nula para
 λ = 0 e tendendo novamente a zero, quando λ tende para o infinito. A
 intensidade apresenta um máximo intermediário, cuja posição e altura
 dependem da temperatura absoluta do corpo que emite a radiação.
c) entre todos os corpos da natureza, o máximo de energia emitida e a curva de
 emissão mais regular competem ao chamado “corpo negro” , que não
 existe na natureza, mas pode ser obtido com muita aproximação,
 enegrecendo uma superfície qualquer, com preto de fumaça, ou melhor
 ainda, pelo artifício de se estudar a radiação que sai por um fino orifício de
 uma cavidade fechada, enegrecida internamente. O corpo negro constitui,
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 portanto, um padrão ideal, com o qual são comparadas as emissões dos
 corpos reais.
A radiação do corpo negro, pode ser representada num diagrama, cuja abscissa
é o comprimento de onda λ e a ordenada é a intensidade de radiação Iλ .
Figura 3 . 9 – Radiação do corpo negro
onde:
absoluta atemperatur T , T , T
frequência
propagação de velocidade
321 =
=λ
Para determinadas temperaturas, as curvas assumem a forma mostrada na
figura 3.9. Os físicos tentearam relacionar sua forma, com a que deveria
resultar da soma das emissões de todos os átomos superficiais do corpo,
admitindo que a energia se distribui entre eles segundo as leis da mecânica
clássica.
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Assim:
a) Wein chegou a formular sua 1ª lei:
absoluta atemperatur T
onda de ocompriment
constantes K e K
radiação de eintensidadI
:onde
máx. 0 para válida
(3.16) 
T.
K
KI
21
25
1
=
=λ
=
=
≤λ≤



λ
λ=
λ
−
λ
b) Rayleigh e Jeans chegaram à:
∞≤λ≤
λ=λ
 máx. para válida
(3.17) TKI 4
c) A verdadeira expressão matemática da curva completa, foi deduzida por
 Planck:
Boltzmann de constante K
frequência f
Planck de constante h
constante K
:onde
(3.18) 
e
KI
1
1
T.K
f.h
5
1
=
=
=
=
λ=
−



−
λ
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3.4.1 - ABSORÇÃO, REFLEXÃO E TRANSMISSÃO
A energia radiante que incide sobre a matéria, pode ser absorvida, transmitida
ou refletida.
A fração de energia total que é absorvida, é chamada de absortividade “α”,
a fração transmitida é a transmissividade “τ” e a fração refletida é a
refletividade “ρ” . A soma dessas três parcelas é unitária:
1=ρ+τ+α
Um corpo que tem absortividade unitária, é chamado de corpo negro. Se a
soma da absortividade e da refletividade é igual a 1, para uma substância, ela é
chamada de opaca. Alguns sólidos são somente opacos em seções muito finas,
mas a absorção de energia, na maioria dos sólidos opacos, se dá
essencialmente na superfície. Alguns sólidos, naturalmente são transparentes,
como o são a maioria dos líquidos e gases.
Refletividade e transmissividade são características presentes no dia a dia.
Superfícies metálicas polidas, apresentam refletividade elevadas, enquanto
que as superfícies granulares, apresentam refletividades baixas. Gases e
líquidos geralmente transmitem a maior parte da radiação que incide sobre
eles.
A reflexão que acontece em uma seção macroscópica de uma superfície,
depende grandemente das características da superfície (figura 3.10 , pág. 60).
Se a superfície é muito lisa, os ângulos de incidência e reflexão serão os
mesmos. Entretanto, a maioria das superfícies encontradas na engenharia, são
suficientemente rugosas, para causar a ocorrência de reflexão em todas as
direções.
Se a reflexão total é independente do ângulo de incidência, ela é chamada de
reflexão difusa. Essa hipótese é adotada na resolução da maioria dos
problemas de engenharia.
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Figura 3 . 10 - Reflexão em superfícies sólidas
3.4.2 - EMISSIVIDADE
Se for colocado no interior de envoltório, submetido ao vácuo, um ou mais
corpos não geradores de calor, eles irão, eventualmente, atingir um estado de
equilíbrio térmico, no qual a quantidade de calor radiante que cada um recebe
na unidade de tempo, é igual a quantidade de calor que ele perde. Seja E1 o
fluxo total de energia por unidade de área, emitida pelo corpo de área A1 e
E0 o fluxo de energia radiante emitido pelo envoltório que atinge o corpo na
área A1; se α1 é a absortividade da superfície A1 , pode-se escrever:
E1 A1 = E0 α1 A1 , assim:
0
1
1 EE =α
da mesma maneira, para um segundo corpo:
E2 A2 = E0 α2 A2 , assim:
0
2
2 EE =α
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Para outros corpos pequenos no interior do envoltório, E0 permanecerá
constante e pode-se escrever:
(3.19) E..............EE
n
n
2
2
1
1
α==α=α
Dessa maneira, em um sistema em equilíbrio térmico, todos os corpos terão a
mesma temperatura e a mesma relação entre o poder emissivo total e a
absortividade de cada um. Esse princípio é denominado de: Lei de Kirchoff.
Por definição, a emissividade de uma superfície real, é a relação entre o poder
emissivo desta superfície e o poder emissivo do corpo negro à mesma
temperatura. A emissividade é representada por E1 , logo:
1
2
1
2
1
E
E ε=α
α=
na qual o objeto 2 é escolhido como sendo um corpo negro. Pelo fato de que
para o corpo negro α2 = 1 , tem-se a seguinte relação para os corpos não
negros:
α1 = ε1
Generalizando, pode-se dizer que em um sistema, que se encontra em
equilíbrio térmico, a emissividade de qualquer objeto do sistema é igual à sua
absortividade.
A emissividade, assim como a absortividade, é baixa para metais polidos e é
moderadamente elevada para superfícies metálicas oxidadas, sendo elevada
para a maioria das substâncias não metálicas.
3.4.3 - LEI DE STEFAN – BOLTZMANN
O poder emissivo total de um corpo negro, é proporcional à quarta potência de
sua temperatura absoluta. Essa relação, conhecida como Lei de Stefan –
Boltzmann, aplica-se à energia total radiante de todos os comprimentos de
onda, emitida em todas as direções:
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K)(º absoluta atemperatur T
)Kº(kcal/hm Boltzmann-Stefan de constante 
)(kcal/hm superfíciepor energia E
:onde
(3.20) T E
42
2
4
=
=σ
=
σ=
Para um corpo real, sendo ε a emissividade da superfície, o poder total do
corpo real, será:
E = ε σ T4
A partir da teoria quântica de Planck, foi derivada, em 1900, uma expressão
que representa o poder emissivo monocromático de um corpo negro, como
uma função do comprimento de onda. Tal equação, conhecida como Lei de
Planck, é dada por:
constantes C e C
K)(º corpo do absoluta atemperatur T
(m) onda de ocompriment 
)(kcal/hm negro corpo um de 
icamonocromát emissiva potência E
:onde
1e
CE
21
3
T
C
5
1
2
=
=
=λ
=
−
λ
λ
λ
−
λ
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3.4.4 - CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR POR RADIAÇÃO
a) Seja um corpo negro de superfície unitária, na temperatura T1 , situado num
ambiente cujas paredes estejam à temperatura T2 (menor que T1) e seja um
perfeito radiador. O ambiente estará, portanto, em equilíbrio com radiações da
parede e a intensidade das radiações que enchem o ambiente e que incidem
sobre o corpo:
4
2TE σ=
O corpo negro emitirá a energia 41Tσ e absorverá a quantidade 42Tσ . O
ganho líquido, é dado por:
( )
tempo de unidade na negro corpo pelo 
ambiente do recebidacalor de quantidade q
:onde
(3.21) TTSq 42
4
1
=
−σ=
Em se tratando de “um corpo cinzento” (real), o ganho líquido será:
( )
K)(º absolutas astemperatur T e T
)(m superfície da área S
Kºkcal/hm 4,92x10 Boltzmann-Stefan de constante 
(tabelada) corpodo deemissivida 
(kcal/h)calor de fluxoq
:onde
(3.22) TTSq
21
2
428-
4
2
4
1
=
=
==σ
=ε
=
−εσ=
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b) Radiação entre duas superfícies
Neste caso duas superfícies de coeficientes de emissão E1 e E2 e temperaturas
T1 e T2 , trocam calor entre si. Dessa maneira, parte da radiação emitida por
um corpo poderá não incidir no outro e vice versa. A equação (3.23) de Höttel,
define esse caso:
( )
(tabelado) relativa 
posição e dimensões , forma sua corpos, dos um 
de superfície da depende que , superfície defator F
(tabelado) de função é , deemissivida defator F
)(m superfície defator do função área, S
:onde
(3.23) F.FTTSq
s
e
2
se
4
2
4
1
=
ε=
=
−σ=