Apostila_MecanicaFluidos_VersaoFinal_rev1

Prévia do material em texto

Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
MECÂNICA DOS FLUIDOS 
Roteiro de Estudos 
____________________________________________________________ 
PROF. BRUNO FURIERI 
Versão 2018 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
RECONHECIMENTO 
 
A Versão 2018 da apostila de Mecânica dos Fluidos foi elaborada com a colaboração de: 
 
Livia Luchi Rabello 
Walquiria Vieira Dias Gava 
Discentes em Engenharia Sanitária e Ambiental no Ifes Campus Vitória 
 
Enilene Regina Lovatte 
Docente na Coordenadoria de Segurança do Trabalho no Ifes Campus Vitória 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
SUMÁRIO 
 
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ................................................................................................................................... 2 
1.1 CONCEITO DE FLUIDO E HIPÓTESE DO CONTÍNUO ................................................................................................................ 2 
1.2 SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE ........................................................................................................................................... 4 
1.3 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS ................................................................................................................... 5 
1.4 DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DE FLUIDOS ............................................................................................ 7 
1.5 EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA VOLUME DE CONTROLE ................................................................. 10 
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS .......................................................................................................................................... 16 
2.1 EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS ................................................................................................................... 16 
2.2 VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO ................................................................................................................ 19 
2.3 ATMOSFERA PADRÃO .................................................................................................................................................................. 26 
2.4 FORÇAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS ............................................................................................ 29 
3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS DOS FLUIDOS ......................................... 46 
3.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA ......................................................................................................................................................... 47 
3.2 MOVIMENTO DE UM ELEMENTO DE FLUIDO ......................................................................................................................... 56 
3.3 ACELERAÇÃO, ROTAÇÃO E DEFORMAÇÃO DE UMA PARTÍCULA FLUIDA ..................................................................... 58 
3.4 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ...................................................................................................................... 65 
3.5 FLUIDOS NEWTONIANOS: EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES ............................................................................................... 68 
4 ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL DE FLUIDOS NÃO VISCOSOS ................................................................ 76 
4.1 EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA ESCOAMENTO SEM ATRITO ....................................................... 76 
4.2 EQUAÇÃO DE EULER .................................................................................................................................................................... 76 
4.3 EQUAÇÃO DE EULER EM COORDENADAS DE LINHAS DE CORRENTE ............................................................................. 77 
4.4 EQUAÇÃO DE BERNOULLI .......................................................................................................................................................... 79 
4.5 PRESSÃO ESTÁTICA, DE ESTAGNAÇÃO E DINÂMICA .......................................................................................................... 83 
5 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA ......................................................................................................... 91 
5.1 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIMENSIONAL ............................................................................................................................... 91 
5.2 TEOREMA DO PI DE BUCKINGHAM .......................................................................................................................................... 91 
5.3 DETERMINAÇÃO DOS GRUPOS PI .............................................................................................................................................. 92 
5.4 PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DA MECÂNICA DOS FLUIDOS ......................................................................................... 92 
5.5 SEMELHANÇA DE ESCOAMENTOS E ESTUDOS EM MODELOS ........................................................................................... 94 
6 ESCOAMENTO VISCOSO, INCOMPRESSÍVEL EXTERNO ................................................................................ 98 
6.1 CAMADA LIMITE ........................................................................................................................................................................... 98 
6.2 ESPESSURAS DA CAMADA LIMITE ........................................................................................................................................... 99 
6.3 EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................................................................................ 101 
6.4 ESCOAMENTO COM GRADIENTE DE PRESSÃO NULO ........................................................................................................ 107 
6.5 ARRASTO E SUSTENTAÇÃO ...................................................................................................................................................... 107 
7 REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................................... 110 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
2 
 
1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 
1.1 CONCEITO DE FLUIDO E HIPÓTESE DO CONTÍNUO 
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de 
cisalhamento, não importando quão pequeno seja o seu valor. A tensão de cisalhamento (força por 
unidade de área) é criada quando uma força atua tangencialmente em uma superfície. Como o movimento 
do fluido continua sobre a aplicação dessa tensão cisalhante, outra forma de definir um fluido é como 
uma substância que não pode sustentar uma tensão de cisalhamento quando em repouso. 
A Figura 1.1 mostra a relação gráfica entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação do fluido, 
que, como a própria definição traz, enquanto a tensão for diferente de zero, haverá deformação (FOX et 
al., 2011; MUNSON et al., 2004). 
Figura 1.1 – Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação 
 
Fonte: PEREIRA et al., 2002 adaptada. 
Na Figura 1.2 pode ser observada a diferença de comportamento entre sólidos e fluidos. Colocando-se 
um sólido e um fluido entre dois planos (Figura 1.2a) e aplicando-se uma força de cisalhamento F, cada 
um sofrerá uma deformação inicial (Figura 1.2b). O sólido, ao atingir seu limite elástico,entra em 
repouso, deixando de sofrer deformação. Já o fluido, muda continuamente de forma enquanto a força é 
aplicada (Figuras 1.2c e 1.2d) (FOX et al., 2011). 
Figura 1.2 – Diferença de comportamento de um sólido e de um fluido devido a uma força de 
cisalhamento 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
3 
 
 
Fonte: FOX et al., 2011. 
Observações experimentais indicam que um fluido em movimento atinge repouso completo na superfície 
e assume velocidade relativa nula em relação à superfície. Isto é, um fluido em contato direto com um 
sólido “adere” à superfície por causa dos efeitos viscosos, e não há escorregamento. Isso é conhecido 
como condição de não deslizamento e pode ser visto na Figura 1.3. 
Figura 1.3. Fluido escoando sobre uma superfície estacionária (fixa) 
 
Fonte: ÇENGEL E GHAJAR, 2012. 
Nota: A partir da Figura 1.3, que mostra o perfil de velocidade do escoamento, observa-se que o perfil 
de velocidade de entrada é uniforme. Quando o fluido entra em contato com a placa, a viscosidade 
(força de arrasto) altera o perfil de velocidade, de zero (quando o fluido está em contato com a placa) 
até a velocidade do escoamento externo (velocidade relativa da camada de fluido). A região mais 
próxima à superfície, onde a viscosidade interfere no escoamento, é chamada de camada limite. Já a 
região superior, onde a viscosidade não mais interfere no escoamento, é denominada de escoamento 
livre. 
Um fluido é composto por moléculas que podem estar bem espaçadas, especialmente na fase gasosa 
(Figura 1.4). Entretanto, é conveniente desconsiderar a natureza atômica de uma substância e vê-la como 
uma matéria contínua, homogênea e sem buracos, ou seja, um meio contínuo. A hipótese do contínuo 
permite considerar as propriedades como funções de pontos e considerar que variam continuamente no 
espaço, sem saltos de descontinuidade. A idealização do meio contínuo está implícita em muitas 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
4 
 
afirmações que fazemos, tal como, “a massa específica de um fluido incompressível (água) em um copo 
é a mesma em qualquer ponto”. Tal hipótese é válida desde que o sistema considerado seja grande em 
relação aos espaços entre as moléculas, isso ocorre em praticamente todos os problemas da engenharia, 
exceto em alguns casos específicos, como no escoamento de um gás rarefeito (como encontrado, por 
exemplo, em voos nas camadas superiores da atmosfera ou ainda uma série de escoamentos industriais 
e tecnológicos). Nesses casos específicos, devemos abandonar o conceito de contínuo em favor dos 
pontos de vista microscópico e estatístico (ÇENGEL E CIMBALA, 2015; FOX et al., 2011; WHITE, 
2011). 
 
Figura 1.4. Natureza atômica de um fluido: moléculas espaçadas 
 
Fonte: FOX et al., 2011 adaptada. 
 
 
1.2 SISTEMA E VOLUME DE CONTROLE 
Na análise de qualquer tipo de problema, é necessária a definição do sistema ou volume de controle a ser 
analisado, isto é, determinar quais os limites externos do fluido que serão empregados para a aplicação 
das equações diferenciais ou integrais do problema. Um sistema é definido como uma quantidade fixa e 
identificável de matéria. A sua massa e sua identidade permanecem inalteradas. Tudo que existe fora do 
sistema denomina-se vizinhança. O sistema se separa da vizinhança através da sua fronteira, sendo que 
esta pode ser fixa (Figura 1.5) ou móvel (sistema cilindro-pistão) e nenhuma massa a atravessa (FOX et 
al., 2011; SISSOM E PITTS, 1988). 
Figura 1.5. Sistema, vizinhança e fronteira 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
5 
 
 
Fonte: ÇENGEL E BOLES, 2013. 
Um volume de controle (também chamado de sistema aberto) é definido como uma região no espaço 
selecionada para estudo e permite que a massa escoe para dentro ou para fora de suas fronteiras, as quais 
são chamadas de superfície de controle. Um volume de controle também pode se movimentar e se 
deformar durante um processo, mas muitas aplicações do mundo real envolvem volumes de controle 
fixos e não deformáveis. A superfície interna de um bocal forma a parte real da fronteira, e as áreas de 
entrada e saída formam a parte imaginária, uma vez que nelas não existem superfícies físicas (Figura 
1.6a). Também pode envolver uma fronteira móvel, como mostra a Figura 1.6b (ÇENGEL E BOLES, 
2013). 
Figura 1.6. Aplicações que envolvem volumes de controle: (a) um volume de controle com fronteiras 
real e imaginária; e (b) um volume de controle com fronteiras fixa e móvel. 
 
Fonte: ÇENGEL E BOLES, 2013. 
 
1.3 FLUIDOS NEWTONIANOS E NÃO NEWTONIANOS 
O estudo da deformação de fluidos em escoamento é chamado de reologia, conforme representado na 
Figura 1.7. Em reologia, os fluidos podem ser classificados como Newtonianos e Não newtonianos. 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
6 
 
Figura 1.7. Comportamento reológico dos fluidos – a tensão de cisalhamento como uma função da taxa 
de deformação. 
 
Fonte: ÇENGEL E CIMBALA, 2015. 
Os fluidos Newtonianos seguem a lei da viscosidade de Newton, ou seja, possuem uma relação 
linearmente proporcional entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação, sendo que estes são 
análogos aos sólidos elásticos (seguem a lei de Hooke, onde a tensão é proporcional à deformação). 
Alguns exemplos de fluidos Newtonianos são o ar, água, gasolina, querosene, etc. Já os fluidos não 
newtonianos não seguem a lei da viscosidade de Newton, portanto a tensão de cisalhamento não está 
linearmente relacionada com a taxa de deformação. São exemplos desses fluidos: sangue, lamas, 
polímeros, massa de bolo, pasta dental, entre outros. A lei da viscosidade de Newton é expressa como: 
 𝜏𝑥𝑦 ∝ 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 que pode ser reapresentada na sua forma final pela equação: 𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 onde 𝜏𝑥𝑦 é a 
tensão de cisalhamento (Pa ou N.m-2), 𝜇 é a viscosidade dinâmica, ou seja, a constante de 
proporcionalidade (Pa.s ou N.m-2.s-1) e 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 é a taxa de deformação (s-1) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015; 
FOX et al., 2011). 
Exemplo de aplicação: 
Considerando um perfil parabólico de velocidade: 𝑣(𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑦2 e um fluido com viscosidade 
dinâmica igual a 8x10-3 kg/m.s, determine: (a) O gradiente de velocidade (b) A tensão de cisalhamento 
em y = 0 e em y = -100mm. 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
7 
 
 
Solução: 
Para y = 0; 𝑣 = 𝑣máx = 2,5m/s 
Como 𝑣(𝑦) = 𝑎 + 𝑏𝑦2 então → a = 2,5m/s 
Para y = -100 mm 𝑣 = 0 com 𝑣 = 𝑎 + 𝑏𝑦2: 𝑏 =
(𝑣−𝑎)
𝑦2
= 
(0−2,5)
(0,1)2
= -250 
𝑣 = 2,5 – 250𝑦2 (perfil vertical de velocidades) 
O gradiente de velocidade é dado por: 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 = -500y 
Tensão de cisalhamento em y=0 : 𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 = 8x10-3x500x0 = 0 (zero) 
Tensão de cisalhamento em y=-100mm (-0,10m): 𝜏𝑥𝑦 = 𝜇 
𝑑𝑢
𝑑𝑦
 = 8x10-3x500x(-0,10) = -0,4N/m2 
 
1.4 DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DO MOVIMENTO DE FLUIDOS 
Há grande variedade de problemas de escoamento de fluidos encontrados na prática e, em geral, é 
conveniente classificá-los com base em características comuns para estudá-los em grupos. Há muitas 
maneiras de classificar problemas de escoamentos de fluidos e a seguir apresentamos algumas categorias 
gerais (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Escoamento Uni, Bi e Tridimensional 
Um campo de escoamento é melhor caracterizado pela sua distribuição de velocidade e, portanto, o 
escoamento é dito ser uni, bi ou tridimensionalse a sua velocidade varia basicamente em uma, duas ou 
três dimensões, respectivamente (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Nota: É importante conhecer a dependência com as dimensões para melhor aplicação das equações de 
transporte. 
Exemplos: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
8 
 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑖 ̂+ 𝑥𝑗 ̂+ 𝑥3�̂� → Escoamento unidimensional 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑖 ̂ → Escoamento bidimensional 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖̂ − 𝑦𝑗̂ → Escoamento bidimensional 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1 + 𝑥 + 2𝑦)𝑖̂ − (𝑦 + 𝑧)𝑗̂ + 𝑥�̂� → Escoamento tridimensional 
Escoamento Transiente e Permanente 
Quando, num escoamento, as propriedades permanecem invariantes com o tempo, diz-se haver um 
regime permanente. Quando as propriedades variam com o tempo, diz-se haver um regime transiente 
(TENEMBAUM, 2006). 
Exemplos: 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (2𝑥 + 𝑡) 𝑖 ̂+ 𝑥𝑗̂ → Escoamento unidimensional e transiente 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥 + 5𝑦𝑡)𝑖̂ − (3𝑦)𝑗̂ + 2𝑧�̂� → Escoamento tridimensional e transiente 
�⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥𝑖̂ − 6𝑦𝑗̂ → Escoamento bidimensional e permanente 
Escoamento Viscoso e Não Viscoso 
Quando duas camadas de fluido se movem uma em relação à outra, uma força de atrito se desenvolve 
entre ambas, e a camada mais lenta tenta frear a mais rápida. Essa resistência interna ao escoamento é 
quantificada pela propriedade do fluido chamada viscosidade, que é a medida indireta da aderência 
interna do fluido. A viscosidade é causada por forças coesivas entre moléculas de líquidos e por colisões 
moleculares em gases. Não existe fluido com viscosidade zero, assim, todos os escoamentos de fluido 
envolvem efeitos viscosos até certo ponto. Os escoamentos em que os efeitos do atrito são significativos 
são chamados escoamentos viscosos. No entanto, em muitos escoamentos de interesse prático, há regiões 
(longe de superfícies sólidas) em que as forças viscosas são desprezíveis se comparadas às forças 
inerciais ou de pressão. Desprezar os termos viscosos nas regiões de escoamento não viscoso simplifica 
muito a análise, sem grande perda de precisão (ÇENGEL E GHAJAR, 2012). 
Escoamento Laminar e Turbulento 
O escoamento laminar é aquele em que as partículas fluidas movem-se em camadas lisas, ou lâminas; 
um escoamento turbulento é aquele em que as partículas fluidas misturam-se rapidamente enquanto se 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
9 
 
movimentam ao longo do escoamento, devido a flutuações aleatórias no campo tridimensional de 
velocidades (FOX et al., 2011). 
O escoamento dos fluidos com alta viscosidade, como os óleos, em baixas velocidades, é tipicamente 
laminar. O escoamento de fluidos com baixa viscosidade, como o ar, em altas velocidades, é tipicamente 
turbulento. Um escoamento que se alterna entre o laminar e o turbulento é chamado de transitório. Os 
experimentos realizados por Osborn Reynolds, nos anos 1880, resultaram na criação do número 
adimensional denominado número de Reynolds (Re) como parâmetro-chave para a determinação do 
regime de escoamento em canos (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Osborn Reynolds estudou a transição entre os escoamentos laminar e turbulento e descobriu que o regime 
de escoamento depende principalmente da razão entre as forças inerciais e as forças viscosas do fluido. 
Essa razão é chamada de número de Reynolds e é expressa para o escoamento interno em um tubo 
circular por: 
𝑅𝑒 =
𝜌𝑉𝐷
µ
 (Eq. 1.1) 
onde 𝜌 é a densidade do fluido [kg/m3], V é a velocidade média do escoamento [m/s], D é o comprimento 
característico da geometria [m] e µ é a viscosidade do fluido [kg/m.s]. Na maioria das condições práticas, 
o escoamento de um tubo circular é laminar para Re ≤ 2300, turbulento para Re ≥ 4000 e de transição 
entre esses valores (ÇENGEL E CIMBALA, 2015; FOX et al., 2011). 
Escoamento Compressível e Incompressível 
Os escoamentos nos quais as variações na massa específica são desprezíveis denominam-se 
incompressíveis; quando as variações de massa específica não são desprezíveis, o escoamento é 
denominado compressível. O exemplo mais comum de escoamento compressível é o de escoamento de 
gases, enquanto o escoamento de líquidos pode, geralmente, ser tratado como incompressível (FOX et 
al., 2011). 
Em casos onde o fluido é incompressível ocorre uma simplificação, pois a massa específica permanece 
constante. Quando 𝜌 é constante, ele não é uma função do espaço e nem do tempo, ou seja, 
𝜕𝜌
𝜕𝑡⁄ = 0, 
independentemente de o escoamento ser permanente ou não (FOX et al., 2011; WHITE, 2011) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
10 
 
Escoamento Interno e Externo 
Os escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados escoamentos internos ou 
em dutos. Os escoamentos sobre corpos imersos num fluido não contido são denominados escoamentos 
externos. Tanto o escoamento interno quanto o externo podem ser laminares ou turbulentos, 
compressíveis ou incompressíveis (FOX et al., 2011). 
Escoamentos internos são dominados pela influência da viscosidade ao longo do campo de escoamento. 
Nos escoamentos viscosos, os efeitos são limitados à camada limite próxima das superfícies sólidas e às 
regiões de esteira perto do corpo (ÇENGEL E GHAJAR, 2012). 
 
1.5 EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA VOLUME DE 
CONTROLE 
As principais equações na forma integral para volume de controle são: equação da conservação da massa; 
equação da conservação da quantidade de movimento e equação da conservação da energia. 
Para as equações básicas são utilizados as seguintes variáveis, com as respectivas unidades no Sistema 
Internacional: 
𝜌: massa específica = [kg/m3] 
𝑉: volume = [m3] 
𝑣 : velocidade = [m/s] 
𝐴 : área = [m2] 
𝐹 : força = [N] 
�̇�: fluxo de calor = [J/h] 
�̇�: fluxo de trabalho = [J/h] 
𝑒: energia específica = [J/kg] 
𝑢: energia interna específica = [J/kg] 
𝑔: aceleração da gravidade = [m/s2] 
𝑧: altura (posição no campo gravitacional) = [m] 
Equação da conservação da massa na forma integral para volume de controle 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
11 
 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 (Eq. 1.2) 
O primeiro termo da equação representa a taxa de variação da massa dentro do volume de controle; o 
segundo termo representa a taxa líquida de fluxo de massa através das superfícies de controle. A equação 
indica que a soma da taxa de variação da massa dentro do volume de controle com a taxa líquida de fluxo 
de massa através da superfície de controle é zero. Em casos especiais, é possível simplificar a equação 
(FOX et al., 2011). 
Fluido Incompressível: 
A massa específica (𝜌) permanece constante. Quando 𝜌 é constante, ele não é função do tempo e nem do 
espaço, portanto, a equação é simplificada: 
𝜌
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑑𝑉𝑉𝐶 + 𝜌∫ 𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 (Eq. 1.3) 
A integral de 𝑑𝑉 sobre todo o volume de controle é simplesmente o volume total. Assim, dividindo por 
𝜌, escrevemos 
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ ∫ 𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 = 0 (Eq. 1.4) 
Para um volume de controle não deformável, de forma e tamanhos fixos, 𝑉 é constante. A conservação 
da massa para escoamento incompressível através de um volume de controle fixo torna-se (FOX et 
al.,2011). 
∫ 𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 = 0 (Eq. 1.5) 
O termo 𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 representa a vazão volumétrica (unidade no SI: m3/s). 
Escoamento Permanente: 
Com o escoamento permanente, nenhuma propriedade do fluido varia com o tempo. Consequentemente, 
o primeiro termoda equação deve ser zero. Com isso, a equação é simplificada: 
∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 = 0 (Eq. 1.6) 
O termo 𝜌𝑣 . 𝑑𝐴 representa a vazão mássica, ou seja, o fluxo de massa (unidade no SI: kg/s). 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
12 
 
Ainda, quando pode-se aproximar uma velocidade uniforme nas entradas e saídas, a equação é 
simplificada para (FOX et al., 2011). 
∑ 𝜌𝑣 . 𝐴 𝑆𝐶 = 0 (Eq. 1.7) 
O movimento de um fluido é denominado uniforme quando o campo de vetores velocidade, no instante 
considerado, é constante ao longo do escoamento (avaliando a posição no espaço), como pode ser 
observado na figura 1.8 (FEGHALI, 1974). 
 
Figura 1.8. Perfil de velocidade uniforme 
 
Fonte: WHITE, 2011 adaptada. 
Exemplo de aplicação: 
Um acumulador hidráulico é projetado para reduzir as pulsações de pressão do sistema hidráulico de uma 
máquina operatriz. Para o instante mostrado, determine a taxa à qual o acumulador ganha ou perde óleo 
hidráulico. 
 
Solução: 
As seguintes hipóteses foram consideradas: escoamento uniforme na entrada e saída (superfícies de 
controle) e fluido incompressível (𝜌 constante). (Volume de controle representado pelo pontilhado) 
𝜌 = 0,88x1000 kg/m3 
Da equação da conservação da massa: 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 = �̇� = −∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 → Logo, �̇� = −∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
13 
 
�̇� = −∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶1 −∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶2
 
Escoamento uniforme e fluido incompressível, logo, simplificando e resolvendo o produto escalar, 
temos: 
�̇� = + 𝜌𝑉1𝐴1 −𝜌𝑉2𝐴2 
Temos que o produto V.A equivale a Q em escoamentos uniformes, sendo Q =0,36 L/s 
�̇� = 𝜌𝑉1𝐴1 −𝜌𝑉2𝐴2 ou seja, �̇� = 𝜌𝑄 −𝜌𝑉2𝐴2 
Como A = 𝜋
𝐷2
4
 → �̇� = 𝜌𝑄 −𝜌𝑉2 𝜋
𝐷2
4
 → �̇� = 𝜌(𝑄 −𝑉2 𝜋
𝐷2
4
) 
Substituindo os valores: 𝜌 =880 kg/m3 
Tendo como base que Q = 0,36L/s e ao igualar a unidade, temos que Q = 0,36x10-3m3/s 
�̇� =880 (0,36x10-3 – 1,045x10-3) kg/s 
�̇� = −0,685 kg/s (vazão mássica) 
Conclusão: O acumulador perde óleo hidráulico a uma taxa de 0,685 kg/s. 
Equação da conservação da quantidade de movimento integral para volume de controle 
𝐹 = 𝐹 𝑆 + 𝐹 𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑣 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝑣 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 (Eq. 1.8) 
A equação da quantidade de movimento estabelece que a força total (devido às forças de superfície e de 
campo), atuando sobre o volume de controle, leva à taxa de variação da quantidade de movimento dentro 
do volume de controle (a integral de volume) e/ou à taxa líquida na qual a quantidade de movimento está 
saindo do volume de controle através da superfície de controle (FOX et al., 2011). 
As forças que atuam sobre um volume de controle consistem em forças de campo, que agem em toda a 
parte do volume de controle (como as forças devido aos campos gravitacional e eletromagnético) e as 
forças de superfície, que agem sobre as superfícies de controle (como as forças de pressão e viscosas e 
as forças de reação normal nos pontos de contato) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
A equação da quantidade de movimento é uma equação vetorial. Geralmente escreve-se os três 
componentes escalares, como medidas nas coordenadas xyz (FOX et al., 2011). 
𝐹𝑥 = 𝐹𝑆𝑥 + 𝐹𝐵𝑥 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑢𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶
+ ∫ 𝑢𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 
𝑆𝐶
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
14 
 
𝐹𝑦 = 𝐹𝑆𝑦 + 𝐹𝐵𝑦 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑣𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶
+ ∫ 𝑣𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 
𝑆𝐶
 
𝐹𝑧 = 𝐹𝑆𝑧 + 𝐹𝐵𝑧 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑤𝜌𝑑𝑉
𝑉𝐶
+ ∫ 𝑤𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 
𝑆𝐶
 
(Eq. 1.9) 
Escoamento Permanente: 
Assim como a equação da conservação da massa, para escoamento em regime permanente não há 
variação de nenhuma propriedade do fluido com o tempo, logo o primeiro termo do lado direito da 
equação é zero. Dessa forma, a equação é simplificada (FOX et al., 2011). 
𝐹 = 𝐹 𝑆 + 𝐹 𝐵 = ∫ 𝑣 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 (Eq. 1.10) 
Exemplo de aplicação: 
Um grande tanque de altura h e diâmetro D está fixado sobre uma plataforma rolante conforme mostrado. 
A água jorra do tanque por meio de um bocal de diâmetro d. A velocidade de saída é função da 
profundidade e vale √2𝑔𝑦. Determine a tração no cabo para y’. Trace um gráfico de variação tração com 
a profundidade. 
 
 
Solução: 
∑𝐹 𝑒𝑥𝑡 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑣 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝑣 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
Desprezando-se o atrito e considerando que as forças externas serão analisadas no eixo x, temos que: 
∑𝐹 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑢𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝑢𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 
𝐹 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥= Forças de superfície, então: 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑢𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 = 0 
Logo, ∑𝐹 𝑠𝑥 = ∫ 𝑢𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
15 
 
T = ∫ 𝑢𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 
Considerando o escoamento uniforme e o fluido incompressível, temos que: 
T = 𝑢𝜌𝑣𝐴 onde: 𝑣 = 𝑢. 𝑖 
Então: T = 𝑢𝜌𝑢 𝜋
𝐷2
4
 ou seja, T = 𝜌𝑢2𝜋
𝐷2
4
 
Como u = √2𝑔𝑦 → T = 𝜌(√2𝑔𝑦) 2𝜋
𝐷2
4
 → T = 𝜌 2𝑔𝑦 𝜋
𝐷2
4
 
Simplificando, T(y) = 𝝆𝒈𝒚 𝝅
𝑫𝟐
𝟐
 N. 
Equação da conservação da energia na forma integral para volume de controle 
�̇� − �̇�𝑆 − �̇�𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 − �̇�𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 = 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝑒𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ (𝑢 + 𝜌𝑣 + 
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 
𝑆𝐶
 (Eq. 1.11) 
A primeira lei da termodinâmica é um enunciado da conservação da energia para um sistema. Cada termo 
de trabalho (representados pela letra W) na equação acima representa a taxa de trabalho realizado pelo 
volume de controle sobre o meio, onde a energia do sistema é representada pelo termo 
(𝑢 + 𝜌𝑣 + 
𝑣2
2
+ 𝑔𝑧) sendo 𝑢 a energia interna; 𝜌𝑣 a energia do escoamento; 
𝑣2
2
 a energia cinética e 𝑔𝑧 
a energia potencial (FOX et al., 2011). 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
16 
 
2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
A estática dos fluidos trata dos problemas associados aos fluidos em repouso. Na estática dos fluidos não 
existe movimento relativo entre as camadas adjacentes de fluido e, portanto, não há tensões de 
cisalhamento (tangenciais) no fluido, tentando deformá-lo. A única tensão tratada na estática dos fluidos 
é a tensão normal, que é a pressão. A estática dos fluidos é usada para determinar as forças que agem 
sobre corpos flutuantes ou submersos, e as forças desenvolvidas por dispositivos como prensas 
hidráulicas e macacos de automóveis. O projeto de muitos sistemas de engenharia, como represas e 
tanques de armazenamento de líquidos, exige a determinação das forças que agem sobre as superfícies 
usando a estática dos fluidos (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
2.1 EQUAÇÃO BÁSICA DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
 
Para obter a equação básica da estática dos fluidos, aplica-se a Segunda Lei de Newton a um elemento 
de fluido diferencial de massa 𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑉, com lados dx, dy e dz (FOX et al., 2011). 
𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 2.1) 
Os tipos de força que podem atuar em um fluido são as forças de campo e as forças de superfície. A única 
força de campo que deve ser considerada na maior parte dos problemas de engenharia é aquela decorrente 
do campo gravitacional. Para um elemento de fluido diferencial a força de campo é 
𝑑𝐹 𝐵 = 𝑔 𝑑𝑚 = 𝑔 𝜌𝑑𝑉 (Eq. 2.2) 
onde 𝑔 é o vetor aceleração da gravidade [m/s2], ⍴ é a massa específica [kg/m3] e 𝑑𝑉 é o volume do 
elemento de fluidodiferencial. Em coordenadas cartesianas, 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (FOX et al., 2011). 
𝑑𝐹 𝐵 = (𝑔 𝜌) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 2.3) 
Em um fluido estático, nenhuma força de cisalhamento pode estar presente, então a única força de 
superfície é a força de pressão. A pressão é um campo escalar 𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧), logo, varia com a posição 
dentro do fluido. A força líquida de pressão que resulta dessa variação pode ser avaliada pela soma de 
todas as forças que atuam nas seis faces do elemento fluido (FOX et al., 2011). 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
17 
 
Na figura 2.1 há um elemento de fluido diferencial de massa 𝑑𝑚 onde a pressão na origem é 𝑝. A força 
líquida em decorrência da variação de pressão na direção 𝑥 sobre um elemento é dada por: 
𝑑𝐹 𝑥 = 𝑝 𝑑𝑦 𝑑𝑧 − (𝑝 + 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥)𝑑𝑦 𝑑𝑧 = − 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 2.4) 
 
Figura 2.1. Força líquida sobre um elemento em decorrência da variação de pressão 
 
Fonte: WHITE, 2011 
De maneira semelhante, a força líquida 𝑑𝐹 𝑦 envolve −𝜕𝑝 𝜕𝑦⁄ , e a força líquida 𝑑𝐹 𝑧 envolve −𝜕𝑝 𝜕𝑧⁄ . 
O vetor força líquida total sobre o elemento em decorrência das variações de pressão é dado por 
𝑑𝐹 𝑆 = (− 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
 𝑖̂ − 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
 𝑗̂ − 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
 �̂�) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 2.5) 
O termo entre parênteses é o negativo do gradiente de pressão, representado como -∇⃗⃗ 𝑝. Logo, não é a 
pressão, mas sim o gradiente de pressão que causa uma força líquida a ser equilibrada pela força 
gravitacional (WHITE, 2011). 
Combinando as formulações desenvolvidas para as forças de superfície e de campo, de modo a obter a 
força total atuando sobre um elemento fluido temos 
𝑑𝐹 = 𝑑𝐹 𝐵 + 𝑑𝐹 𝑆 = (𝜌𝑔 − ∇⃗⃗ 𝑝) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = (𝜌𝑔 − ∇⃗⃗ 𝑝)𝑑𝑉 (Eq. 2.6) 
Ou, por unidade de volume, 
𝑑𝐹 
𝑑𝑉
= 𝜌𝑔 − ∇⃗⃗ 𝑝 (kg/m3)(m/s2) (Eq. 2.7) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
18 
 
Para uma partícula fluida, a segunda lei de Newton fornece 𝑑𝐹 = 𝑎 𝑑𝑚 = 𝑎 𝜌𝑑𝑉. Para um fluido 
estático, 𝑎 = 0. Então 
𝑑𝐹 
𝑑𝑉
= 𝜌𝑎 = 0 (Eq. 2.8) 
Substituindo na equação 2.7, obtém-se (FOX et al., 2011). 
𝜌𝑔 − ∇⃗⃗ 𝑝 = 0 (Eq. 2.9) 
Onde − ∇𝑝 é a força líquida devido à pressão por unidade de volume em um ponto e ⍴𝑔 é a força de 
campo por unidade de volume em um ponto (FOX et al., 2011). 
A equação 2.9 é vetorial, portanto ela é equivalente a três equações de componentes que devem ser 
satisfeitas individualmente. As equações de componentes são: 
− 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
+ 𝜌𝑔𝑥 = 0 
− 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
+ 𝜌𝑔𝑦 = 0 
− 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔𝑧 = 0 
 (Eq. 2.10) 
Se o sistema de coordenadas for escolhido com o eixo z apontando verticalmente para cima, então: 𝑔𝑥 =
0; 𝑔𝑦 = 0 e 𝑔𝑧 = −𝑔. Sob essas condições, as equações de componentes tornam-se: 
𝜕𝑝
𝜕𝑥
= 0 
𝜕𝑝
𝜕𝑦
= 0 
 
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= - 𝜌𝑔 
(Eq. 2.11) 
As equações 2.11 significam que, com as considerações feitas, a pressão é independente das coordenadas 
𝑥 e 𝑦. Portanto, como 𝑝 é função de uma só variável, a derivada completa pode ser usada no lugar da 
derivada parcial, com essas simplificações a equação básica da estática dos fluidos reduz-se a: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
19 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= − 𝜌𝑔 = − 𝛾 (Eq. 2.12) 
Onde, 𝛾 é o peso específico do fluido, cuja unidade é em N/m3 (FOX et al., 2011). 
Para ser utilizada a equação 2.12, o fluido deve estar estático, a única força de campo deve ser a 
decorrente da gravidade e o eixo z deve ser o eixo vertical voltado para cima (FOX et al., 2011). 
 
2.2 VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO 
 
A pressão é definida como uma força normal exercida por um fluido por unidade de área. Só fala-se de 
pressão quando se lida com um líquido ou um gás. A pressão também é usada em sólidos como sinônimo 
de tensão normal, que é a força que age perpendicularmente à superfície por unidade de área. A pressão 
real em determinada posição é chamada de pressão absoluta, e é medida em relação ao vácuo absoluto 
(ou seja, pressão absoluta zero). 
A maioria dos dispositivos de medição da pressão, porém, é calibrada para ler o zero na atmosfera e, 
assim, eles indicam a diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica local. Essa diferença é 
chamada de pressão manométrica (Pman). 
A pressão pode ser negativa ou positiva, mas as pressões abaixo da pressão atmosférica são chamadas 
de pressões de vácuo. A unidade da pressão no SI é N/m2, também chamada Pascal (Pa) (ÇENGEL E 
CIMBALA, 2015; SEINFIELD E PANDIS, 2006). 
A pressão em um fluido varia verticalmente, pois há a presença de um campo gravitacional. Quando a 
pressão de um fluido aumenta com a profundidade, por exemplo, é devido ao fluido se apoiar nas 
camadas inferiores, e o efeito desse “peso extra” em uma camada mais profunda é equilibrado por um 
aumento na pressão (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
 
Figura 2.2. Pressão versus profundidade em fluido líquido 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
20 
 
 
Fonte: ÇENGEL E CIMBALA, 2015. 
O mesmo ocorre na atmosfera da Terra, visto que a mesma não é um recipiente do tamanho dos usados 
em laboratórios. A altura da atmosfera é tão grande que a contribuição gravitacional à pressão se torna 
altamente importante. A Figura 2.3 mostra a densidade do ar, que diminui com o aumento da altura, até 
atingir zero no vácuo do espaço. Consequentemente, a pressão do ar, que chamamos de pressão 
atmosférica (Patm), diminui com o aumento da altitude (KNIGHT, 2009). 
Figura 2.3. Pressão e densidade versus altitude 
 
Fonte: KNIGHT, 2009. 
Nota: A pressão do ar é menor em Pedra Azul que em Vitória, pois o distrito de Pedra Azul está a uma 
altitude média de aproximadamente 1.600m enquanto Vitória está a uma altitude média de 3 m 
(considerada praticamente ao nível do mar). 
A variação da pressão em qualquer fluido em repouso é descrita pela equação 2.13: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
21 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= −𝜌𝑔 (Eq. 2.13) 
Embora 𝜌𝑔 possa ser definido como o peso específico 𝛾, ele foi escrito como 𝜌𝑔 na equação 2.13 para 
enfatizar que ambos devem ser considerados variáveis. Na integração desta equação para achar a 
distribuição de pressão, devemos fazer considerações sobre as variações de ambas incógnitas, porém, 
para a maioria das situações práticas em engenharia, a variação da gravidade é desprezível (FOX et al., 
2011). 
 
Líquidos incompressíveis 
Para um fluido incompressível, 𝜌 é constante. Então, considerando a gravidade constante 
𝑑𝑝
𝑑𝑧
= −𝜌𝑔 = constante (Eq. 2.14) 
Para determinar a variação de pressão, devemos integrar e aplicar condições de contorno apropriadas. Se 
a pressão no nível de referência, 𝑧0, for designada como 𝑝0, então a pressão 𝑝 no nível 𝑧 é encontrada 
por integração: 
∫ 𝑑𝑝
𝑝
𝑝0
= −∫ 𝜌𝑔
𝑧
𝑧0
 𝑑𝑧 (Eq. 2.15) 
Ou 
𝑝 − 𝑝0 = − 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0) = 𝜌𝑔 (𝑧0 − 𝑧) (Eq. 2.16) 
Em geral, em líquidos, adota-se a origem do sistema de coordenadas na superfície livre e mede-se as 
distâncias para baixo a partir dessa superfície como positivas. Com ℎ medido positivo para baixo, tem-
se: 
𝑧0 − 𝑧 = ℎ (Eq. 2.17) 
E obtêm-se a equação: 
𝑝 − 𝑝0 = 𝛥𝑝 = 𝜌𝑔ℎ (Eq. 2.18) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
22 
 
A equação 2.18 indicaque a diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser 
determinada pela medida da diferença de elevação entre os dois pontos. Os dispositivos utilizados com 
esse propósito são os manômetros (FOX et al., 2011). 
Gases 
Em muitos problemas práticos de engenharia, a massa específica varia consideravelmente com a altitude, 
e resultados precisos requerem que essa variação seja levada em consideração. A variação da pressão em 
um fluido compressível pode ser avaliada pela integração da equação 2.13 se a massa específica for 
expressa em função de 𝑝 ou 𝑧. Uma equação de estado ou uma informação de propriedades pode ser 
usada para a obtenção da correlação requerida para a massa específica (FOX et al., 2011). 
A massa específica de gases depende geralmente da pressão e da temperatura: equação de estado de gás 
ideal 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 (Eq. 2.19) 
Logo, 
𝜌 = 
𝑝
𝑅𝑇
 (Eq. 2.20) 
onde 𝑅 é a constante universal dos gases [J/(kg.K)] e 𝑇 a temperatura absoluta [K], modelando com 
exatidão o comportamento de grande parte dos gases em condições usadas em engenharia. Porém, o uso 
da equação 24 introduz a temperatura do gás como uma variável adicional. Então, uma hipótese adicional 
deve ser feita sobre a variação da temperatura antes da integração da equação da variação da pressão 
(FOX et al., 2011). 
Para uma variação linear de temperatura com a altitude dada pela equação: 
𝑇 = 𝑇0 − 𝑚𝑧 (Eq. 2.21) 
Obtém-se, a partir da equação da variação da pressão: 
𝑑𝑝 = − 𝜌𝑔 𝑑𝑧 = − 
𝑝𝑔
𝑅𝑇
 𝑑𝑧 = − 
𝑝𝑔
𝑅 (𝑇0−𝑚𝑧)
 𝑑𝑧 (Eq. 2.22) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
23 
 
Substituindo a massa específica na equação da variação da pressão pela equação 2.20 e a temperatura 
pela equação 2.21 (FOX et al., 2011). 
Separando as variáveis e integrando de z = 0, em 𝑝 = 𝑝0, até a elevação 𝑧, em que a pressão é 𝑝, resulta: 
∫
𝑑𝑝
𝑝
𝑝
𝑝0
= − ∫
𝑔 𝑑𝑧
𝑅 (𝑇0−𝑚𝑧)
 
𝑧
0
(Eq. 2.23) 
Integrando a equação acima obtém-se: 
ln
𝑝
𝑝0
=
𝑔
𝑚𝑅
ln (
𝑇0−𝑚𝑧
𝑇0
) = 
𝑔
𝑚𝑅
 ln (1 −
𝑚𝑧
𝑇0
) (Eq. 2.24) 
E a variação da pressão em um gás cuja temperatura varia linearmente com a elevação é dada por (FOX 
et al., 2011): 
𝑝 = 𝑝0 (1 −
𝑚𝑧
𝑇0
)
𝑔
𝑚𝑅 = 𝑝0 (
𝑇
𝑇0
)
𝑔
𝑚𝑅
 (Eq. 2.25) 
 
Exemplo de aplicação 
Num dia calmo, uma inversão moderada faz a temperatura atmosférica permanecer constante em 85°F 
entre o nível do mar e 16000 pés de altitude. Nessas condições, (a) calcule a variação de elevação para 
que ocorra uma redução de 2% na pressão do ar, (b) determine a variação de elevação necessária para 
que ocorra uma redução de 10% na massa específica e (c) plote 𝑝2/𝑝1 e 𝜌2/𝜌1 como funções de ∆𝑧. 
Solução: 
𝑝(𝑧) = 0,99 𝑝0 sendo 𝑝0 a pressão no nível do mar 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
24 
 
 
𝑝 = 𝜌𝑅𝑇 e T constante: 
𝑑𝑇
𝑑𝑧
= 0 (85°F = 30°C) 
𝑑𝑝 = − 𝜌𝑔 𝑑𝑧 → 𝑑𝑝 =
−𝑝
𝑅𝑇
𝑔 𝑑𝑧 
 ∫
1
𝑝
𝑑𝑝 = ∫
−𝑔
𝑅𝑇
𝑑𝑧 
𝑧
𝑧0
𝑝
𝑝0
→ ∫
1
𝑝
𝑑𝑝 = 
𝑝
𝑝0
−𝑔
𝑅𝑇
∫ 𝑑𝑧 
𝑧
𝑧0
 → como 𝑧0 = 0 (superfície da Terra) 
𝑙𝑛 𝑝 | 𝑝𝑝0
=
−𝑔
𝑅𝑇
. 𝑧 | 𝑧𝑧0
 → 𝑙𝑛 𝑝 − ln 𝑝0 =
−𝑔
𝑅𝑇
. 𝑧 → ln (
𝑝
𝑝0
) =
−𝑔
𝑅𝑇
. 𝑧 
Como 𝑝(𝑧) = 0,99 𝑝0 então: ln (
0,99𝑝0
𝑝0
) =
−𝑔
𝑅𝑇
. 𝑧 → ln 0,99 =
−𝑔
𝑅𝑇
. 𝑧 
Logo, 𝑧 = −
ln 0,99𝑅𝑇
𝑔
 → 𝑧 = −(0,01). (287,1).
273,15+30
9,81
 
𝑧 = 89𝑚 
Medição de Pressão: manômetros 
A pressão de um fluido contido em um recipiente fechado é muitas vezes medida com um aparelho 
chamado manômetro. O manômetro é um aparelho simples e barato, geralmente composto de um tubo 
em formato de U conectado a um gás em uma das extremidades e aberto na outra, conforme a Figura 2.4. 
Porém, existem também outros tipos, como o manômetro de tubo inclinado e o tubo de Bourdon, que 
consiste em um tubo de metal oco torcido como um gancho, cuja extremidade é fechada e conectada a 
uma agulha indicadora. (FOX et al., 2011; KNIGHT, 2009). 
Figura 2.4. Manômetro usado para medir pressão em gases, considerando-se que o lado que possui a 
superfície aberta, está à pressão atmosférica (𝑝0 = 1 𝑎𝑡𝑚); acima do ponto 𝑝1 a superfície está coberta 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
25 
 
por um gás, portanto 𝑝0 = 𝑝𝑔á𝑠. Já os pontos 𝑝1 𝑒 𝑝2 , que pertencem à mesma linha horizontal, possuem 
a mesma pressão, portanto 𝑝1 = 𝑝2. 
 
Fonte: KNIGHT, 2009 adaptada. 
𝑝 − 𝑝0 = ∆𝑝 = 𝜌𝑔ℎ (Eq. 2.26) 
A equação 2.26 indica que a diferença de pressão entre dois pontos num fluido estático pode ser 
determinada pela medida da diferença de elevação entre os dois pontos. Esse princípio rege o 
funcionamento dos manômetros (FOX et al., 2011). 
Para analisar situações de manômetros de múltiplos líquidos, deve-se seguir as seguintes regras básicas 
(FOX et al., 2011): 
1. Quaisquer dois pontos na mesma elevação em um volume contínuo do mesmo líquido estão à mesma 
pressão. 
2. A pressão cresce à medida que se desce na coluna de líquido (lembre-se da mudança de pressão quando 
se mergulha numa piscina. 
Para determinar a diferença de pressão ∆𝑝 entre dois pontos separados por uma série de fluidos, a equação 
a seguir pode ser utilizada (FOX et al., 2011): 
∆𝑝 = 𝑔∑ 𝜌𝑖ℎ𝑖𝑖 (Eq. 2.27) 
Onde 𝜌𝑖 e ℎ𝑖 representam as massas específicas e as profundidades dos vários fluidos, respectivamente. 
Cuidado ao aplicar os sinais para as alturas ℎ𝑖; elas serão positivas para baixo e negativas para cima. 
Exemplo de aplicação: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
26 
 
Um manômetro de reservatório possui tubos verticais com diâmetros D = 18 mm e d = 6 mm. O líquido 
manométrico é o mercúrio. Desenvolva uma expressão algébrica para a deflexão do líquido, L, no tubo 
pequeno quando uma pressão manométrica ∆𝑝 é aplicada no reservatório. Calcule a deflexão do líquido 
quando a pressão aplicada for equivalente a 25 mm de coluna d’água (manométrica). 
 
Solução: 
L é a deflexão do manômetro em estudo. 
∆𝑝 = 𝜌𝑔ℎ (I) → ℎ = 
∆𝑝
𝜌𝐻2𝑂.𝑔
 
∆𝑝 = 𝜌𝐻𝑔. 𝑔 (𝐿 + 𝑥) (II) 
Como 𝑉1 = 𝑉2 temos: 
𝑥.
𝜋𝐷2
4
 = L 
𝜋𝑑2
4
 então: 𝑥 = 𝐿 (
𝑑
𝐷
)
2
 (III) 
Substituindo (III) em (II), temos: 
∆𝑝 = 𝜌𝐻𝑔. 𝑔 [𝐿 + 𝐿 (
𝑑
𝐷
)
2
] 
∆𝑝 = 𝜌𝐻𝑔. 𝑔. 𝐿 [1 + (
𝑑
𝐷
)
2
] 
A deflexão L é então dada por: L = 
∆𝑝
𝜌𝐻𝑔.𝑔 [1+ (
𝑑
𝐷
)
2
]
 
Inserindo-se os dados, L = 22,5mm 
 
2.3 ATMOSFERA PADRÃO 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
27 
 
A atmosfera terrestre é um sistema dinamicamente mutante, sempre em estado de fluxo. A pressão e a 
temperatura da atmosfera dependem da altitude, local do planeta (longitude e latitude), horário do dia, 
estação do ano e até da atividade das manchas solares. Levar todas essas variações em conta quando se 
estuda o movimento de objetos no ar, como performance de veículos e voos, não seria prático. Assim, 
uma atmosfera padrão é definida para relacionar voos de ensaio, resultados de túneis de vento e projeto 
e desempenho gerais de automóveis e aviões a uma referência comum (ANDERSON JR., 2015). 
A atmosfera padrão dá os valores médios da pressão, temperatura, densidade e outras propriedades como 
funções da altitude; esses valores são obtidosde balões experimentais e foguetes de sondagem, 
combinados com um modelo matemático da atmosfera. Até um certo ponto razoável, a atmosfera padrão 
reflete as condições atmosféricas médias, mas essa não é sua principal importância. Na verdade, seu 
principal objetivo é gerar tabelas de condições de referência comuns que podem ser utilizadas de modo 
organizado por engenheiros em qualquer lugar do mundo (ANDERSON JR., 2015). 
Uma unidade de pressão utilizada com frequência como atmosfera padrão, é definida como a pressão 
produzida por uma coluna de mercúrio com 760 mm de altura a 0°C (𝜌𝐻𝑔= 13.595 kg/m
3) sob aceleração 
da gravidade padrão (g = 9,807 m/s2). Se fosse usado água em vez de mercúrio para medir pressão 
atmosférica padrão, seria necessário uma coluna de água com cerca de 10,3 m. Às vezes a pressão é 
expressa (particularmente na previsão do tempo) em termos de altura da coluna de mercúrio. A atmosfera 
padrão também é comumente mencionada simplesmente como “atmosferas”, sendo, portanto, uma 
unidade muito utilizada, porém ela não é uma unidade do Sistema Internacional (SI), de modo que deve-
se converter atmosferas para pascal antes de realizar a maioria dos cálculos de pressão. A unidade mmHg 
(milímetros de mercúrio), também é chamada torr em homenagem a Torricelli. Sendo assim, define-se 
atmosfera padrão como: 
1 atmosfera padrão = 1 atm = 760 mmHg = 760 torr ≡ 133.300 Pa ≡ 133,3 KPa 
A pressão atmosférica ao nível do mar é aproximadamente 101,3 KPa e muda para 89,88 KPa, 79,50 
KPa, 54,05 KPa, 26,5 KPa e 5,53 KPa a altitudes de 1000, 2000, 5000, 10000 e 20000 metros, 
respectivamente. A menos que se viva exatamente ao nível do mar, a pressão atmosférica é um pouco 
menos que 1 atm. É importante lembrar que a pressão atmosférica em um lugar é simplesmente o peso 
do ar sobre aquela localidade, por unidade de área da superfície. Com isso, a pressão não apenas muda 
com a altitude, mas também com as condições meteorológicas. Experimentos com pressão utilizam 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
28 
 
geralmente o instrumento barômetro para determinar a pressão atmosférica real (ÇENGEL E BOLES, 
2013; ÇENGEL E CIMBALA, 2015; KNIGHT, 2009). 
A atmosfera padrão permite reduzir os cálculos e dados de testes a uma referência conveniente e 
padronizada. As definições das propriedades atmosféricas padrões são baseadas em uma determinada 
variação de temperatura com a altitude, representando uma média dos dados experimentais. Por sua vez, 
as variações de pressão e densidade com a altitude são obtidas a partir dessa variação de temperatura 
empírica utilizando as leis da física. Uma dessas leis é a equação hidrostática, que se aplica a qualquer 
fluido de densidade 𝜌, como por exemplo, a água no oceano e o ar na atmosfera: 
𝑑𝑝 = −𝜌𝑔 𝑑ℎ𝐺 (Eq. 2.28) 
A equação é diferencial, ou seja, relaciona uma mudança infinitesimal na pressão 𝑑𝑝 a uma mudança 
infinitesimal correspondente na altitude 𝑑ℎ𝐺, sendo que g depende da altura ℎ𝐺 (ANDERSON JR., 
2015). 
Exemplo de aplicação 
Estalos nos ouvidos são um fenômeno desconfortável experimentado quando ocorrem variações na 
pressão ambiente, por exemplo em um elevador rápido ou em um avião. Se você está em um aeroplano 
a 3000m de altitude e uma rápida descida de 100m causa estalos em seus ouvidos, qual é a variação de 
pressão em milímetros de mercúrio que causa esse desconforto? Considere a atmosfera padrão 
americana. 
Solução: 
Supondo a densidade do ar como aproximadamente constante de 3000 m para 2900 m, a partir da tabela 
de propriedades da atmosfera padrão dos Estados Unidos, temos que: 
𝜌𝑎𝑟 = 0,7423. 𝜌𝑁𝑀 = 0,7423.1,2250 = 0,909 𝑘𝑔/𝑚
3 
Da equação manométrica: ∆𝑝 = −𝜌𝑎𝑟𝑔∆𝑧 e ∆𝑝 = −𝜌𝐻𝑔𝑔∆ℎ𝐻𝑔 
Combinando, temos: ∆ℎ𝐻𝑔 =
𝜌𝑎𝑟
𝜌𝐻𝑔
. ∆𝑧 =
𝜌𝑎𝑟
𝑆𝐺𝐻𝑔.𝜌𝐻2𝑂
. ∆𝑧 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
29 
 
Sabendo que a densidade (SG) do mercúrio é 13,55 e substituindo os valores numéricos na equação, 
então: 
∆ℎ𝐻𝑔 =
0,909
13,55.999
. 100 
∆ℎ𝐻𝑔 = 6,72𝑚𝑚 
 
2.4 FORÇAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS 
 
Forças hidrostáticas sobre superfícies planas submersas 
Em uma superfície plana, as forças hidrostáticas formam um sistema de forças paralelas, e geralmente é 
necessário se determinar a intensidade da força e seu ponto de aplicação, que é chamado de centro de 
pressão. Na maioria dos casos, o outro lado da placa está aberto para a atmosfera (exemplo: comporta – 
um lado é seco), portanto, a pressão atmosférica age em ambos os lados da placa, produzindo uma 
resultante nula. Nesses casos, é conveniente subtrair a pressão atmosférica e trabalhar somente com a 
pressão manométrica, como mostra a Figura 2.5 (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Figura 2.5. A pressão manométrica no interior de um lago é dada pela expressão 𝑃𝑚𝑎𝑛 = 𝜌𝑔ℎ. A 
esquerda a pressão atmosfétrica é considerada, já a direita a mesma é subtraída. É importante essa 
simplificação para análise de forças hidrostáticas em superfícies submersas. 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2015. 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
30 
 
Considerando-se uma superfície superior de uma placa plana de forma arbitrária completamente 
submersa em um líquido (Figura 2.6), o plano dessa superfície (normal à página) cruza a superfície livre 
horizontal com um ângulo 𝜃 e o eixo x sendo a reta de intersecção. A pressão absoluta acima do líquido 
é 𝑃0, que é a pressão atmosférica local (𝑃𝑎𝑡𝑚) se o líquido estiver aberto para a atmosfera (lembrando 
que 𝑃0 pode ser diferente de 𝑃𝑎𝑡𝑚 se o espaço acima do líquido for evacuado ou pressurizado) (ÇENGEL 
E CIMBALA, 2015). 
Figura 2.6. A força hidrostática em uma superfície plana inclinada completamente submersa em um 
líquido. 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2015. 
Então, a pressão absoluta em qualquer ponto da placa é: 
𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 (Eq. 2.29) 
onde ℎ é a distância vertical entre o ponto e a superfície livre e 𝑦 é a distância entre o ponto e o eixo x 
(do ponto O na Figura 2.6). A força hidrostática 𝐹𝑅 resultante que age sobre a superfíice é determinada 
pela integração da força 𝑃𝑑𝐴 que age em uma área diferencial 𝑑𝐴 em toda a área de superfície: 
 
𝐹𝑅 = ∫ 𝑃𝑑𝐴 = ∫ (𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑𝐴 = 𝑃0𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ∫ 𝑦𝑑𝐴
 
𝐴
 
𝐴
 
 
𝐴
(Eq. 2.30) 
 
O primeiro momento da área ∫ 𝑦𝑑𝐴
 
𝐴
 está relacionado à coordenada 𝑦 do centro de superfície (centroide) 
por: 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
31 
 
𝑦𝐶 =
1
𝐴
 ∫ 𝑦𝑑𝐴
 
𝐴
 (Eq. 2.31) 
 
Substituindo: 
 
𝐹𝑅 = (𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃)𝐴 = (𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐)𝐴 = 𝑃𝑐 𝐴 = 𝑃𝑚𝑒𝑑𝐴 (Eq. 2.32) 
 
onde 𝑃𝑐 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ𝑐 é a pressão no centróide da superfície, que é equivalente à pressão média na 
superfície, e ℎ𝑐 = 𝑦𝑐𝑠𝑒𝑛 𝜃 é a distância vertical entre o centróide e a superfície livre do líquido (Figura 
7) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Conclusão: A magnitude da força resultante que age sobre uma superfície plana de uma 
placa completamente submersa em um fluido homogêneo (densidade constante) é igual 
ao produto da pressão Pc no centróide da superfície pela área A da superfície 
(ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Figura 2.7. Superfície plana submersa: à esquerda mostra a pressão no centróide de uma superfície, que 
é equivalente à pressão média sobre a superfície. À direita, a força resultante que age sobre uma 
superfícieplana é igual ao produto entre a pressão no centroide da superfície e a área da superfície, sendo 
que sua linha de ação passa através do centro da pressão. 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
32 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2015. 
 
A pressão 𝑃0 em geral é a pressão atmosférica, que pode ser ignorada na maioria dos casos, uma vez que 
ela age em todos os lados do objeto submerso. Quando esse não é o caso, uma forma prática de calcular 
a contribuição de 𝑃0 para a força resultante é simplesmente somar uma profundidade equivalente 
ℎ𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 = 𝑃0 /𝜌𝑔 a ℎ𝐶, ou seja, supor a presença de uma camada de líquido adicional com espessura 
ℎ𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣 no alto do líquido com o vácuo absoluto acima (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Depois disso é ainda necessário determinar a linha de ação da força resultante 𝐹𝑅. Dois sistemas de forças 
paralelas são equivalentes se tiverem a mesma intensidade e o mesmo momento com relação a um ponto. 
A linha de ação da força hidrostática resultante, em geral, não passa através do centroide da superfície – 
ela fica abaixo, onde a pressão é mais alta. O ponto de intersecção entre a linha de ação da força resultante 
e a superfície é o centro de pressão. O local vertical da linha de ação é determinado igualando o momento 
da força resultante e o momento da força de pressão distribuída com relação ao eixo x. Isso resulta em: 
𝑦′𝐹𝑅 = ∫ 𝑦 𝑃𝑑𝐴 = ∫𝑦 (𝑃0 + 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
 
𝐴
 
𝐴
)𝑑𝐴 = 𝑃0 ∫ 𝑦 𝑑𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃∫𝑦
2 𝑑𝐴
 
𝐴
 
 
𝐴
 
ou 
𝑦′𝐹𝑅 = 𝑃0 𝑦𝐶 𝐴 + 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐼𝑥𝑥,0 (Eq. 2.32) 
onde 𝑦𝑃 é a distância do centro de pressão ao eixo x (ponto O da Figura 2.8) e 𝐼𝑥𝑥,0 = ∫ 𝑦
2 
𝐴
𝑑𝐴 é o 
segundo momento de área (também chamado de inércia da área) com relação ao eixo x. Os segundos 
momentos de área estão amplamente disponíveis para formas comuns nos livros de engenharia, mas em 
geral eles são dados com relação aos eixos que passam através do centroide da área. Felizmente, os 
segundos momentos de área com relação a eixos paralelos estão relacionados entre si pelo Teorema do 
Eixo Paralelo, que é expresso como: 
𝐼𝑥𝑥,0 = 𝐼𝑥𝑥,𝐶 + 𝑦𝐶
2𝐴 (Eq. 2.33) 
onde 𝐼𝑥𝑥,𝐶 é o segundo momento de área com relação ao eixo x que passa através do centróide da área e 
𝑦𝐶 (a coordenada 𝑦 do centróide) é a distância entre os dois eixos paralelos. Substituindo a relação 𝐹𝑅 da 
equação 2.12 e a relação 𝐼𝑥𝑥,0 da equação 2.14 na equação 2.15 e isolando 𝑦𝑃 temos: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
33 
 
𝑦′ = 𝑦𝐶 +
𝐼𝑥𝑥,𝐶
[𝑦𝐶+
𝑃
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃
]𝐴
 (Eq. 2.34) 
Para 𝑃0 = 0, que em geral é o caso quando a pressão atmosférica é ignorada, isso pode ser simplificado 
para: 
𝑦′ = 𝑦𝐶 +
𝐼𝑥𝑥,𝐶
𝑦𝐶𝐴
 (Eq. 2.35) 
Sabendo o 𝑦𝑃, a distância vertical do centro de pressão à superfície livre é determinada por ℎ𝑃 =
𝑦𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
OBS: A pressão age normal à superfície e as forças hidrostáticas que agem sobre uma placa plana 
qualquer compõem um volume cuja base é a área da placa e cuja altura é igual à intensidade da força 
hidrostática resultante que age sobre a placa, uma vez que 𝐹 = ∫𝑃𝑑𝐴 e a linha de ação dessa força 
passa através do centroide desse prisma homogêneo. A projeção do centroide sobre a placa é o centro 
de pressão. Assim, com o conceito do prisma da pressão, o problema de descrever a força hidrostática 
resultante em uma superfície plana fica reduzido a encontrar o volume e as duas coordenadas do 
centroide desse prisma de pressão (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Figura 2.8. Forças hidrostáticas que agem sobre uma superfície plana, onde b é a base e a pressão P é a 
altura, formando assim um volume 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
34 
 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2015. 
 
Caso especial: Placa retangular submersa 
 
Considerando-se uma placa retangular completamente submersa com altura b e largura inclinada a de 
um ângulo teta com relação à horizontal e cuja aresta superior é horizontal e está a uma distância s da 
superfície livre ao longo do plano da placa (Figura 2.9), a força hidrostática resultante na superfície 
superior é igual à pressão média que é a pressão no ponto médio da superfície vezes a área de superfície 
(ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Figura 2.9. Força hidrostática que age sobre superfície superior de uma placa retangular submersa e 
inclinada 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
35 
 
 
Fonte: Çengel e Cimbala, 2015. 
 
Ou seja, 
Placa retangular inclinada: 
𝐹𝑅 = 𝑃𝐶𝐴 = [𝑃0 + 𝜌𝑔 (𝑠 +
𝑏
2
) 𝑠𝑒𝑛𝜃] 𝑎𝑏 (Eq. 2.36) 
A força age a uma distância vertical de ℎ𝑃 = 𝑦𝑃𝑠𝑒𝑛𝜃 da superfície livre diretamente abaixo do centróide 
da placa, onde pela equação 2.36: 
𝑦′ = 𝑠 +
𝑏
2
+
𝑎𝑏3
12
[𝑠+
𝑏
2
+
𝑃0
(𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃)
]𝑎𝑏
 = 𝑠 +
𝑏
2
+
𝑏2
12[𝑠+
𝑏
2
+
𝑃0
(𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃)
]
 (Eq. 2.37) 
Quando o lado superior da placa está na superfície livre e, portanto, 𝑠 = 0, a equação 2.37 fica reduzida 
a: 
Placa retangular inclinada com s=0 
 𝐹𝑅 = [𝑃0 +
𝜌𝑔(𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃)
2
] 𝑎𝑏 (Eq. 2.38) 
Para uma placa vertical completamente submersa e 𝜃 = 90° cuja aresta superior é horizontal, a força 
hidrostática pode ser obtida fazendo 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 1 (Figura 2.10) 
 
Placa retangular vertical: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
36 
 
𝐹𝑅 = [𝑃0 + 𝜌𝑔(𝑠 +
𝑏
2
)] 𝑎𝑏 (Eq. 2.39) 
 
Placa retangular vertical com s=0: 
 
𝐹𝑅 = (𝑃0 +
𝜌𝑔𝑏
2
)𝑎𝑏 (Eq. 2.40) 
 
Figura 2.10. Força hidrostática que age sobre superfície superior de uma placa retangular submersa 
ortogonal 
 
Fonte: Çengel e Cimbala, 2015. 
 
OBS: Quando o efeito de 𝑃0 é ignorado, uma vez que ele age em ambos os lados da placa, a força 
hidrostática em uma superfície retangular de altura b cuja aresta superior é horizontal e está na 
superfície livre é 𝐹𝑅 =
𝜌𝑔𝑎𝑏2
2
 agindo a uma distância 2b/3 da superfície livre diretamente abaixo da 
placa (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
37 
 
A distribuição da pressão em uma superfície horizontal é uniforme e sua intensidade 𝑃 = 𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ onde 
ℎ é a distância entre a superfície e a superfície livre. Assim, a força hidrostática que age sobre uma 
superfície retangular horizontal é dada pela equação 2.41. A força hidrostática age no ponto médio da 
placa (Figura 2.11) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
Placa retangular horizontal: 𝐹𝑅 = (𝑃0 + 𝜌𝑔ℎ)𝑎𝑏 (Eq. 2.41) 
 
Figura 2.11. Força hidrostática que age sobre superfície superior de uma placa retangular submersa e 
horizontal 
 
Fonte: Çengel e Cimbala, 2015. 
 
Forças hidrostáticas sobre superfícies curvas submersas 
Para uma superfície curva submersa, a determinação da força hidrostática resultante exige a integração 
das forças de pressão, que mudam de direção ao longo da superfície curva. Não se utiliza o conceito do 
prisma de pressão para esses casos (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
A forma mais fácil de determinar a força resultante 𝐹𝑅 que age sobre uma superfície curva bidimensional 
é determinar os componentes horizontal e vertical 𝐹𝐻 e 𝐹𝑉 separadamente. Isso é feito considerando o 
diagrama de corpo livre do bloco líquido englobado pela superfície e pelasduas superfícies planas (uma 
horizontal e outra vertical) passando por duas extremidades de superfície curva (Figura 2.12). 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
38 
 
A superfície vertical do bloco líquido é a projeção da superfície curva em um plano vertical e a superfície 
horizontal é a projeção da superfície curva em um plano horizontal. Assim, a força resultante que age 
sobre a superfície sólida curva é igual e oposta à força que age sobre a superfície líquida curva (pela 
Terceira Lei de Newton) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Figura 2.12. Determinação da força hidrostática que age sobre uma superfície curva submersa 
 
Fonte: Çengel e Cimbala, 2015. 
O peso do bloco de líquido confinado de volume 𝑉 é 𝑊 = 𝜌𝑔𝑉e ele age para baixo através do centróide 
desse volume. O bloco estando em equilíbrio estático, os balanços de força nas direções horizontal e 
vertical resultam em: 
 
Componente da força horizontal na superfície curva: 𝐹𝐻 = 𝐹𝑥 (Eq. 2.42) 
Componente da força vertical na superfície curva: 𝐹𝑉 = 𝐹𝑦 + 𝑊 (Eq. 2.43) 
 
Onde a soma 𝐹𝑦 + 𝑊 é uma adição vetorial (soma de intensidades que agem na mesma direção e subtrai 
as que agem em direções opostas). A componente horizontal da força hidrostática que age sobre uma 
superfície curva é igual à força hidrostática que a age sobre a projeção horizontal da superfície curva 
mais (ou menos, se forem direções opostas) o peso do bloco do fluido (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
39 
 
A intensidade da força hidrostática resultante que age sobre a superfície curva é dada por 𝐹𝑅 =
√𝐹𝐻
2 + 𝐹𝑉
2) e a tangente do ângulo que ela forma com a horizontal é 𝑡𝑔 𝛼 =
𝐹𝑉
𝐹𝐻
. O local da linha de ação 
da força resultante pode ser determinado tomando um momento com relação a um ponto apropriado. 
Essas discussões são válidas para todas as superfícies curvas (acima ou abaixo do líquido). Quando a 
superfície curva está acima de um líquido, o peso do líquido e a componente vertical da força hidrostática 
agem em direções opostas (Figura 2.13) (ÇENGEL E CIMBALA, 2015). 
 
Figura 2.13. Superfície curva acima do líquido 
 
Fonte: ÇENGEL; CIMBALA, 2015. 
 
OBS: A força hidrostática em uma superfície (seja ela plana ou curva) submersa em um fluido com várias 
camadas pode ser determinada considerando-se as partes da superfície nos diferentes fluidos como 
superfícies diferentes (Figura 2.14). 
 
Figura 2.14. Fluido com várias camadas de fluidos diferentes 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
40 
 
 
Fonte: ÇENGEL e CIMBALA, 2015. 
 
Exemplos de aplicação: 
 
1. Uma comporta plana, de espessura uniforme, suporta uma coluna de água, conforme mostrado. 
Determine o peso mínimo da comporta para mantê-la fechada. 
 
 
Solução: 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
41 
 
 
W é a largura; a pressão é constante no eixo x e varia ao longo do eixo y (dy) 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑃 𝑑𝐴
 
𝐴
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐴
 
𝐴
 
𝑑𝐴 = 𝑤 𝑑𝑦 → seção retangular 
 
Então: 𝑦0 = 0 e 𝑦𝐿 = 𝐿 (comporta de comprimento L) 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑊 ∫ 𝑦 𝑑𝑦
𝐿
0
𝐿
0
= 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑊 (
𝑦2
2
)⌉ 𝐿0 =
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝐿2
2
 
Ponto de aplicação da força: momento em relação ao eixo z 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
42 
 
𝑦′𝐹𝑅 = ∫ 𝑦 𝑃𝑑𝐴
 
𝐴
 → 𝑦′ =
∫ 𝑦 𝑃𝑑𝐴
 
𝐴
𝐹𝑅
 
 
Calculando: 
∫ 𝑦 𝑃𝑑𝐴
 
𝐴
 =∫ 𝑦 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝐴 = ∫ 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑦2 𝑤𝑑𝑦 = 𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑤 ∫ 𝑦2
𝐿
0
𝑑𝑦
𝐿
0
 
𝐴
 
𝑦′ =
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 ∫ 𝑦2
𝐿
0
𝑑𝑦
(
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑤𝐿2
2
)
 (o denominador é a força resultante 𝐹𝑅) 
𝑦′ =
𝑦3
3
|𝐿0
𝐿2
2
=
2𝐿
3
 
Ou seja, o ponto de aplicação da força resultante está em 2L/3. 
A partir disso, calcula-se o peso da comporta (W): 
∑𝑀 = 0→ 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ . 𝑦
′ = 𝑊𝑥 .
𝐿
2
 
Como 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ =
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑤𝐿2
2
 e 𝑦′ =
2𝐿
3
 
Substituindo, temos: (
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑤𝐿2
2
) . (
2𝐿
3
) = 𝑊𝑥 .
𝐿
2
 
Então, 𝑊𝑥 =
2
3
𝜌𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃𝑤𝐿2 
Como 𝑊𝑥 = 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃 
𝑊 =
2
3
𝜌𝑔 𝑡𝑔𝜃 𝑤𝐿2 
Logo, o peso mínimo para manter a comporta fechada é dado por 
2
3
𝜌𝑔 𝑡𝑔𝜃 𝑤𝐿2. 
2. A comporta mostrada na imagem do exercício é articulada no ponto O. A comporta tem largura L em 
um plano normal ao diagrama mostrado. Calcule a força requerida em A para manter a comporta fechada. 
Despreze o peso da comporta nos cálculos. 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
43 
 
 
Solução: 
 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
ℎ
𝑦
 → ℎ = 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑝𝑑𝐴
 
𝐴
 → 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝐴
 
𝐴
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔ℎ𝑑𝐴
 
𝐴
= ∫ 𝜌𝑔 (𝐻 + ℎ) 𝑑𝐴
 
𝐴
, considerando h = posição vertical qualquer 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔 (𝐻 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝐴
 
𝐴
 
 
Temos que: 𝑑𝐴 = 𝑤𝑑𝑦 
Logo, 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝜌𝑔 (𝐻 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑤𝑑𝑦 
𝐿
0
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝜌𝑔𝑤𝐻𝑦|
𝐿
0
+ 𝜌𝑔𝑤𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦2
2
| 𝐿0 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝜌𝑔𝑤𝐻𝐿 + 𝜌𝑔𝑤𝑠𝑒𝑛𝜃
𝐿2
2
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
44 
 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗ = 𝜌𝑔𝑤𝐿 (𝐻 +
𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃
2
) 
𝑦′𝐹𝑅 = ∫ 𝑦𝑝𝑑𝐴
 
𝐴
 sendo y’ o ponto de aplicação da força resultante 
𝑦′𝐹𝑅 = ∫ 𝑦𝜌𝑔ℎ 𝑑𝐴
 
𝐴
= ∫ 𝑦𝜌𝑔 (𝐻 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑤𝑑𝑦 = 𝜌𝑔𝑤
𝐿
0 ∫ (
𝐿
0
𝐻𝑦 + 𝑦
2𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑑𝑦 
𝑦′𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑤
𝐻𝐿2
2
+ 𝜌𝑔𝑤
𝐿2𝑠𝑒𝑛𝜃
3
 
𝑦′𝐹𝑅 = 𝜌𝑔𝑤𝐿
2 (
𝐻
2
+
𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
3
) 
Como ∑𝑀0 = 0 então: 𝑦
′𝐹𝑅 = 𝐹𝐴. 𝐿 → 𝐹𝐴. 𝐿 = 𝜌𝑔𝑤𝐿
2 (
𝐻
2
+
𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
3
) 
Então 𝐹𝐴 = 𝜌𝑔𝑤𝐿 (
𝐻
2
+
𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
3
) 
 
3. Considere a barragem cilíndrica com diâmetro de 3m e comprimento de 6m. Se o fluido no lado 
esquerdo tem SG=1,6 e o fluido no lado direito tem SG=0,8 então determine o módulo e sentido da força 
sobre a comporta. 
 
Solução: 
As forças horizontais e verticais devidas a cada fluido são tratadas separadamente. Para cada um, a 
força horizontal é equivalente à de uma placa plana vertical e a força vertical é equivalente ao peso 
“acima”. 
Considerando 𝜌á𝑔𝑢𝑎 = 999 𝑘𝑔/𝑚
3 
Forças horizontais: 
𝐹𝐻 = 𝑝𝑐 . 𝐴 onde A é a área da placa vertical equivalente. 
Para o fluido da esquerda (SG=1,6) → 𝐹𝐻1 = (𝜌1𝑔
𝐷
2
)𝐷𝐿 = 
1
2
𝑆𝐺1𝜌𝑔𝐷
2𝐿 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
45 
 
𝐹𝐻1 =
1
2
. 1,6.999.9,81. (3)2. 6 → 𝐹𝐻1 = 423.000 𝑁 
Para o fluido da direita (SG=0,8) → 𝐹𝐻2 = (𝜌2𝑔
𝐷
4
)
𝐷
2
𝐿 = 
1
8
𝑆𝐺2𝜌𝑔𝐷
2𝐿 
𝐹𝐻2 =
1
8
. 0,8.999.9,81. (3)2. 6 → 𝐹𝐻2 = 53.000𝑁 
Resultante da força horizontal = 𝐹𝐻 = 𝐹𝐻1 − 𝐹𝐻2 = 370.000𝑁 
Forças verticais: 
Lado esquerdo: 
𝐹𝑉 = 𝜌𝑔𝑉 onde V é o volume de fuido acima da superfície curva. 
𝐹𝑉1 = 𝑆𝐺1𝜌𝑔
𝜋𝐷2
4
2
𝐿 → 𝐹𝑉1 = 1,6.999.9,81.
𝜋(3)2
8
. 6 
𝐹𝑉1 = 332.000𝑁 
Lado direito: 
𝐹𝑉2 = 𝑆𝐺2𝜌𝑔
𝜋𝐷2
4
4
𝐿 → 𝐹𝑉2 = 0,8.999.9,81.
𝜋(3)2
16
. 6 
𝐹𝑉2 = 83.000𝑁 
Resultante da força vertical: 𝐹𝑉 = 𝐹𝑉1 − 𝐹𝑉2 = 415.000𝑁 
Com isso, a forçaresultante e a direção são: 
𝐹 = √𝐹𝐻
2 + 𝐹𝑉
2 → 𝐹 = 557.000𝑁 
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (
𝐹𝑉
𝐹𝐻
) → 𝛼 = 48,3 𝑔𝑟𝑎𝑢𝑠 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
46 
 
3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DIFERENCIAL DOS MOVIMENTOS 
DOS FLUIDOS 
 
A análise integral do volume de controle é útil quando se está interessado nas características gerais de 
um escoamento, tais como a vazão em massa que entra e que sai do volume de controle ou as forças 
aplicadas a corpos. O interior do volume de controle é tratado como uma “caixa preta” na análise, ou 
seja, não se pode obter características detalhadas sobre propriedades do escoamento como velocidade ou 
pressão em pontos dentro do volume de controle. Já a análise diferencial envolve a aplicação de equações 
diferenciais de movimento do fluido em todos os pontos no campo de escoamento sobre uma região 
chamada de domínio de escoamento. A análise diferencial pode ser pensada como a análise de milhões 
de minúsculos volumes de controle empilhados lado a lado e uns sobre os outros ocupando todo o campo 
de escoamento, sendo que no limite, à medida que o número de minúsculos volumes de controle tende 
ao infinito e o tamanho de cada volume de controle se aproxima de um ponto, as equações de conservação 
se simplificam tornando-se um conjunto de equações diferenciais parciais que são válidas em qualquer 
ponto no escoamento. Ao serem resolvidas, essas equações diferenciais fornecem detalhes sobre a 
velocidade, massa específica, pressão, etc. em cada ponto de todo o domínio do escoamento (ÇENGEL 
E CIMBALA, 2015). 
A Figura 3.1 mostra a diferença da análise integral do volume de controle para a análise diferencial do 
domínio de escoamento. À esquerda temos uma análise integral e à direita uma análise diferencial, onde 
pode ser visto um comportamento detalhado de um campo de escoamento. 
 
Figura 3.1. Exemplo de diferença entre a análise integral do volume de controle e análise diferencial 
 
Fonte: ÇENGEL E CIMBALA, 2015. 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
47 
 
Nota: Na análise integral do volume de controle, é como se fosse colocada uma “janela” para se 
observar o escoamento passando (entrada e saída). Já na análise diferencial, o volume de controle 
infinitesimal ao longo do escoamento vai sendo analisado, ponto a ponto (Figura 3.2). 
Figura 3.2. Exemplo de diferença entre a análise integral do volume de controle e análise diferencial 
 
Fonte: Elaborada pelos autores. 
 
3.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA 
 
Na unidade 1, foi desenvolvida a representação de campos de propriedades dos fluidos. Os campos de 
propriedades são definidos por funções contínuas de coordenadas espaciais e do tempo. Os campos de 
massa específica e de velocidade foram relacionados pela conservação da massa na forma integral 
anteriormente. Nesta unidade será deduzida a equação diferencial para conservação da massa em 
coordenadas retangulares e cilíndricas. Para gerar uma equação diferencial para conservação da massa, 
imagina-se o volume de controle encolhendo até um tamanho infinitesimal (ÇENGEL E CIMBALA, 
2015; FOX et al., 2011). 
Nesta seção, será deduzida a equação diferencial para conservação da massa em coordenadas 
retangulares e cilíndricas (FOX et al., 2011). 
Sistema de Coordenadas Retangulares 
Em coordenadas retangulares, o volume de controle é um cubo infinitesimal com lados de comprimento 
dx, dy, dz, conforme mostrado na Figura 3.3. Considerando a massa específica no centro, O, do volume 
de controle como 𝜌 e a velocidade como �⃗� = 𝑖̂𝑢 + 𝑗̂𝑣 + �̂�𝑤 (FOX et al., 2011). 
Figura 3.3. Volume de controle diferencial em coordenadas retangulares 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
48 
 
 
Fonte: FOX et al., 2011. 
Em localizações distantes do centro da caixa, utiliza-se uma expansão em séries de Taylor em relação ao 
centro da caixa (ponto O). Por exemplo, o centro da face direita da caixa está localizado a uma distância 
𝑑𝑥 2⁄ do meio da caixa na direção x, o valor de 𝜌 naquele ponto é (ÇENGEL E CIMBALA, 2015): 
𝜌)𝑥+ 𝑑𝑥 2⁄ = 𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
+ (
𝜕2𝜌
𝜕𝑥2
)
1
2!
(
𝑑𝑥
2
)
2
+ ⋯ 
Desprezando os termos de ordem superior, pode-se escrever: 
𝜌)𝑥+ 𝑑𝑥 2⁄ = 𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
 
e, 
𝑢)𝑥+ 𝑑𝑥 2⁄ = 𝑢 + (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
 
onde, 𝜌, 𝑢, 𝜕𝜌 𝜕𝑥⁄ 𝑒 𝜕𝑢 𝜕𝑥⁄ são todos avaliados no ponto O. Os termos correspondentes na face 
esquerda são (FOX et al., 2011): 
 
𝜌)𝑥− 𝑑𝑥 2⁄ = 𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
) (−
𝑑𝑥
2
) = 𝜌 − (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
 
𝑢)𝑥− 𝑑𝑥 2⁄ = 𝑢 + (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
) (−
𝑑𝑥
2
) = 𝑢 − (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
 
 
Pode-se escrever expressões similares envolvendo 𝜌 e 𝑣 para as faces da frente e de trás e 𝜌 e 𝑤 para as 
faces de cima e de baixo do cubo infinitesimal 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧. Essas expressões podem ser usadas para avaliar 
a integral de superfície na equação a seguir: 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 + ∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
= 0 (Eq. 3.1) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
49 
 
 
Os detalhes dessa avaliação são mostrados na Tabela 1 (FOX et al., 2011). 
Tabela 1. Fluxo de massa através das superfícies de controles de um volume de controle diferencial 
prismático 
Superfície Avaliação de ∫𝝆�⃗⃗� ⋅ 𝒅�⃗⃗� 
Esquerda (−𝑥) −[𝜌 − (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
] [𝑢 − (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
]𝑑𝑦 𝑑𝑧 = − 𝜌𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 
1
2
[𝑢 (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
) + 𝜌 (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
Direita (+𝑥) [𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
] [𝑢 + (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)
𝑑𝑥
2
] 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝜌𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑧 + 
1
2
[𝑢 (
𝜕𝜌
𝜕𝑥
) + 𝜌 (
𝜕𝑢
𝜕𝑥
)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Fundo (−𝑦) −[𝜌 − (
𝜕𝜌
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦
2
] [𝑣 − (
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦
2
] 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = − 𝜌𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 
1
2
[𝑣 (
𝜕𝜌
𝜕𝑦
) + 𝜌 (
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Topo (+𝑦) [𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦
2
] [𝑣 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)
𝑑𝑦
2
] 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝜌𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑧 + 
1
2
[𝑣 (
𝜕𝜌
𝜕𝑦
) + 𝜌 (
𝜕𝑣
𝜕𝑦
)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Posterior (−𝑧) −[𝜌 − (
𝜕𝜌
𝜕𝑧
)
𝑑𝑧
2
] [𝑤 − (
𝜕𝑤
𝜕𝑧
)
𝑑𝑧
2
] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = − 𝜌𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 
1
2
[𝑤 (
𝜕𝜌
𝜕𝑧
) + 𝜌 (
𝜕𝑤
𝜕𝑧
)]𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Frontal (+𝑧) 
[𝜌 + (
𝜕𝜌
𝜕𝑧
)
𝑑𝑧
2
] [𝑤 + (
𝜕𝑤
𝜕𝑧
)
𝑑𝑧
2
] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝜌𝑤 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 
1
2
[𝑤 (
𝜕𝜌
𝜕𝑧
) + 𝜌 (
𝜕𝑤
𝜕𝑧
)] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 
 
Fonte: FOX, et al., 2011. 
O resultado de todo esse trabalho é: 
∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴 𝑆𝐶 = [
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑤
] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 3.2) 
Essa expressão é a avaliação da integral de superfície para o nosso cubo diferencial. Para completar a 
equação 3.1, é preciso avaliar a integral de volume (FOX et al., 2011). 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 ≅ 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 3.2) 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Introdução à Mecânica dos Fluidos 
Professor: Bruno Furieri 
 
50 
 
Pela equação 3.1, tem-se que: 
𝜕
𝜕𝑡
∫ 𝜌𝑑𝑉𝑉𝐶 = −∫ 𝜌𝑣 ⋅ 𝑑𝐴
 
𝑆𝐶
 (eq. 3.3) 
Então, 
𝜕𝜌
𝜕𝑡
 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = − [
𝜕𝜌𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝜌𝑣
𝜕𝑦
+
𝜕𝜌𝑤
𝜕𝑤
] 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 (Eq. 3.4) 
Assim, após cancelar 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧, obtem-se, da equação 3.1, uma forma diferencial da lei da conservação 
da massa (FOX et al.,