Unidade 1 - Tópico 2

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UNIDADE 1 – TÓPICO 2 
QUESTÃO 1 
 
Matrizes são representadas por letras maiúsculas e têm como objetivo organizar números, 
símbolos ou expressões, de forma retangular em linhas e colunas, possibilitando realizar 
operações. As matrizes são muito utilizadas nos campos da economia, engenharia, matemática, 
física, informática, dentre outros, para a resolução de sistemas de equações lineares e 
transformações lineares. Deste modo, acerca da classificação das matrizes quanto às suas 
propriedades e operações, têm-se as seguintes afirmações: 
 
I- Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz permanece inalterado. 
Falso! Ao trocar ou permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz será o 
oposto da matriz anterior. 
II- O produto de uma matriz por outra é determinado por meio do produto dos seus respectivos 
elementos. Falso! Todos os elementos das linhas da primeira matriz multiplicam todos os 
elementos das colunas da segunda matriz. 
III- Uma matriz A é dita simétrica se A = AT. Isso só ocorre com matrizes quadradas. 
IV - Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então 
o determinante dessa matriz será igual a zero. Falso! Se todos os elementos de uma linha ou de 
uma coluna são iguais a zero o determinante dessa matriz será igual a zero. 
 
Agora, assinale a alternativa CORRETA: 
a) ( ) As sentenças I, III e IV estão corretas. 
b) ( ) As sentenças I, II e IV estão corretas. 
c) ( ) As sentenças I e III estão corretas. 
d) (X) Apenas a sentença III está correta. 
QUESTÃO 2 
(UFBA-90) Calcule o determinante da matriz: 
 
Resposta: Determinante da matriz é igual a 15. 
Resolução 
Para calcular o determinante dessa matriz, se aplica o Teorema de Laplace, pois a matriz A é de 
ordem 4x4. 
Podemos observar que a terceira linha, possui dois elementos iguais a zero. Iremos escolher essa 
linha para calcular, pois irá facilitar o nosso cálculo. 
O determinante será encontrado fazendo: 
D = 0 . A31 + 0 . A32 + 2 . A33 + 3 . A34 
Teremos que calcular somente dois cofatores de A33 e A34, pois os outros dois serão multiplicados 
por zero e o resultado será então igual a zero. 
A33 = (-1)3+3 . |
1 0 −1
2 1 −2
1 −1 2
| |
1 0
2 1
1 −1
| 
Cálculo: 
1 . 1 . 2 = 2 
0 . (-2) . 1 = 0 4 
(-1) . 2 . (-1) = 2 
 
(-1) . 1 . 1 = -1 
1 . (-2) . (-1) = 2 1 
0 . 2 . 2 = 0 
 
 
4 – (+1) = 3 
 
(-1)3+3 = (-1)6 = 1 . 3 = 3 
 
 
A34 = (-1)3+4 . |
1 0 2
2 1 3
1 −1 0
| |
1 0
2 1
1 −1
| 
Mesmo processo que o elemento anterior. 
-4 – (-1) = -3 
(-1)3+4 = (-1)7 = (-1) . (-3) = +3 
Para concluir o cálculo e descobrir o determinante dessa matriz, fazemos a substituição dos 
elementos calculamos. 
D = 0 . A31 + 0 . A32 + 2 . A33 + 3 . A34 
D = 0 + 0 + 2.3 + 3.3 
D = 0 + 0 + 6 + 9 
D = 15 
 
QUESTÃO 3 
Seja a matriz quadrada. Calcule x de modo que det A = 0. 
 
Resolução 
 
Precisamos encontrar o determinante e igualar a zero. Aplicando a regra de Sarrus. 
𝐴 = [
𝑥 + 1 3 𝑥
3 𝑥 1
𝑥 2 𝑥 − 1
] = 0 
 
A = |
𝑥 + 1 3 𝑥
3 𝑥 1
𝑥 2 𝑥 − 1
|
𝑥 + 1 3
3 𝑥
𝑥 2
| = 0 
 
(x + 1) ∙ x ∙ (x – 1) + 3 ∙ 1 ∙ x + x ∙ 3 ∙ 2 – [x ∙ x ∙ x + (x + 1) ∙ 1 ∙ 2 + (x-1) ∙ 3 ∙ 3] = 0 
x3 – x + 3x + 6x – [x3 + 2x + 2 + 9x – 9] = 0 
x3 – x + 3x + 6x – x3 – 2x – 2 – 9x + 9 = 0 
-3x + 7 = 0 
-3x = -7 
-x = -7/3 (x-1) 
x = 7/3 
S = {7/3} 
 
QUESTÃO 4 
 
(Esam-RN) Assinale a proposição verdadeira: 
 
a) (x) Se M e N são matrizes quadradas de mesma ordem, então det(M·N)= det M·det N. 
Verdadeira! det (M∙N) = det M∙det N. 
b) ( ) Se A é uma matriz quadrada de 2ª ordem e 𝐾∈𝑅∗, então det (kA) = k·det A. 
Falsa! Se a matriz é de ordem 2, det(kA) = k2 det A. 
c) ( ) Se det A = 0, então a matriz A é nula. 
Falsa! [
2 2
2 2
] = 0, embora a matriz [
2 2
2 2
] não seja nula. 
d) ( ) Se det A = 0, então qualquer que seja a matriz X, de mesma ordem que A, tem-se AX = 
0. 
Falsa! Se A = x = [
1 1
1 1
], det A – 0 e A·x = [
2 2
2 2
] ≠ [
0 0
0 0
] 
e) ( ) O determinante da matriz resultante da soma de duas matrizes de mesma ordem é 
igual à soma dos determinantes dessas matrizes. 
Se A = [
1 0
0 0
] e B = [
0 0
0 2
]. Det A-0, det B=0 e det(A+B) = 2 
 
 
QUESTÃO 5 
 
Dadas as matrizes A = [
1 2
1 0
] e B = [
3 −1
0 1
], calcule det A + det B e det(A + B). 
 
 
Resolução 
 
Vamos calcular primeiro det A + det B: 
 
A = [
1 2
1 0
] 
A = 0 – 2 
A = - 2 
 
B = [
3 −1
0 1
] 
B = 3 - 0 
B = 3 
 
Resposta: Det A + Det B = (-2) + (+3) = +1. 
 
Agora, calculamos det (A + B): 
 
[
1 2
1 0
] + [
3 −1
0 1
] = [
4 1
1 1
] = 4 – (+1) = 3 
 
Resposta: Det (A + B) = 3. 
 
 
QUESTÃO 6 
 
Sejam as matrizes: 
A = [
1 1
0 −2
0 3
1 −2
0 0
0 0
1 0
0 3
] e B = [
1 0
−1 −2
0 0
0 0
2 1
−3 5
1 0
4 3
] 
 
Calcule o det (A·B). 
 
Resolução 
Temos duas matrizes quadrada triangular de 4ª ordem, dessa forma, multiplicamos somente os 
elementos da diagonal principal: 
 
A = 1· (-2) · 1 · 3 = -6 
B = 1 · (-2) · 1 · 3 = -6 
 
Resposta: 
Det (A·B) = (-6) · (-6) = 36