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Exercício 1 – Resposta E Na posição de equilíbrio a elongação da mola é igual a amplitude do movimento: Fm=k.ym Na análise das forças, o módulo da força da mola acaba sendo igual a força peso: Fm=P k.ym=m.g k.0,05=4.10 k=800 (N/m) A energia mecânica do sistema é dada por EM=0,5.k.(ym)^2 EM=0,5.800.0,05^2 EM=1 J Como no estado de equilíbrio tem apenas energia cinética, a energia cinética acaba sendo igual a energia mecânica do sistema. EM=ECequilíbrio=1 J Exercício 2 – Resposta B A energia mecânica é a soma da energia cinética com a energia potencial em qualquer posição do movimento, então: EM=EC+EP Logo: 1=0,5.m.v^2+0,5.k.x^2 Substituindo: 2=4.v^2+800.0,02^2 4.v^2=1,68 v=0,648 m/s Exercício 3 – Resposta D Calcula o valor da pulsação por w=2.pi.f w=2.3,14.2,5 w=15,7 Calcula a amplitude através da fórmula dada: ym=(y(0)^2+(v(0)/w)^2)^1/2 ym=(0,011^2+(0,011/15,7)^2)^1/2 ym=0,0146 m = 1,46 cm Exercício 4 – Resposta A A amplitude da velocidade de um MHS é calculada por vm=ym.w vm=1,46.15,7 vm=22,9 (cm/s) Exercício 5 – Resposta D Primeiro analisamos as forças envolvidas no movimento: -‐Fm-‐Fv=Fr Fm = Força da mola; Fv = Força viscosa; e Fr = Força resultante. -‐y.k-‐v.b=m.a Substitui se o que der e resolve se a equação diferencial: -‐y.32000 -‐v.640 -‐80.a=0 (divide por 80) -‐y.400-‐v.8 -‐a=0 Resolvendo a equação diferencial, chega-‐se ao seguinte: y=e^(-‐4t).[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] Derivando a equação acima obtemos a equação da velocidade: V=-‐4. e^(-‐4t) .[A.cos(19,6t) + B.sen(19,6t)] + e^(-‐4t) .[-‐19,6.A.sen(19,6t) + 19,6.B.cos(19,6t)] Substituindo as condições iniciais, descobre-‐se o valor de A e de B, chegando a equação do movimento completa: y= e^(-‐4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)] Agora termina-‐se de resolver o exercício: y(0,4) = e^(-‐4.0,4).[0,492.cos(19,6.0,4) + 0,609.sen(19,6.0,4)] y(0,4) = 0,202.[0,0069+0,6089] y(0,4) = 0,124 m Exercício 6 – Resposta E Para saber onde o instante em que o corpo passa pela origem deve-‐se igualar a equação do movimento a zero e descobrir a raiz de mais baixo valor. 0 = e^(-‐4t) .[0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t)] A raiz de mais baixo valor será obtida pela parte oscilante da equação, então: 0 = 0,492.cos(19,6t) + 0,609.sen(19,6t) -‐ 0,492.cos(19,6t) = + 0,609.sen(19,6t) -‐0,492/0,609 = tg(19,6t) tg(19,6t) = -‐0,808 19,6t = -‐0,679 O valor encontrado é negativo, a tangente tem uma periodicidade de Pi rad, então basta somar Pi ao valor de -‐ 0,679: 19,6t=2,462 t = 0,126 s Exercício 7 – Resposta D Em amortecimento crítico o valor equivalente a metade da razão entre a constante de viscosidade e a massa, é igual à velocidade angular inicial que é igual a raiz quadrada da razão entre a constante elástica e a massa, logo: 0,5.b/m = (k/m)^(1/2) 0,5.b/80 = (32000/80)^(1/2) 0,00625.b = 20 b = 3200 N.s/m Exercício 8 – Resposta B A equação que descreve uma situação de amortecimento crítico é: y= (C1 + C2.t).e^(-‐g.t) Aplicando as condições iniciais e calculando o valor de g, encontramos a equação: g = 0,5.b/m g = 20 0,1 = (C1 + C2.0). e^(-‐20.0) 0,1 = (C1 +0).1 0,1 = C1 v = C2.e^(-‐g.t) + (0,1 + C2.t).(-‐20).e^(-‐20.0t) 2 = C2.e^(-‐g.t0) + (0,1 + C2.0).(-‐20).e^(-‐20.0) 2=C2 -‐2 C2 = 4 y = (0,1 + 4.t). e^(-‐20.0t) As raízes da equação nos darão os instantes em que o corpo está na posição de equilíbrio: 0 = (0,1 + 4.t). e^(-‐20.0t) 0 = (0,1 + 4.t) -‐0,1 = 4.t t = -‐0,025 s E a outra raiz, como não existe logaritmo de zero, colocamos um numero muito pequeno no lugar de zero = 0,001 0,001 = e^(-‐20.0t) -‐6,9077 = -‐20.t t= 0,345 s A diferença entre os dois instantes dará o intervalo necessário para que o corpo volte para posição de equilíbrio: T = 0,345 -‐ (-‐ 0,025) T = 0,37 s Exercício 9 – Resposta C A = 2.ym.cos[(Pi/4).0,5] A = 2.1.cos[Pi/8] A = 1,85 mm Exercício 10 – Resposta D Para descobrir a diferença de fase pedida, basta usar a mesma equação usada no exercício anterior, porém sem substituir o valor da fase e substituir a amplitude. 2 = 2.1.cos[o.0,5] 1 = cos[0,5.o] 0,5.o = arccos(1) 0,5.o = 0 o = 0 Exercício 11 – Resposta A Para descobrir a velocidade transversal na posição e instante pedido, basta derivar a equação do movimento no tempo, assim se obtém a equação da velocidade transversal, então depois basta substituir os valores de tempo e posição: y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3] vt =15.sen[Pi.x/4].(-‐ 30.Pi)sen[30.Pi.t + Pi/3] vt = -‐1414.sen[Pi.x/4]. sen[30.Pi.t + Pi/3] vt (2;2) = -‐1414.sen[Pi.2/4]. sen[30.Pi.2 + Pi/3] vt (2;2) = -‐1225 cm/s Exercício 12 – Resposta E Para descobrir a amplitude da oscilação em dado ponto e em dado instante, basta pegar a parte da equação que é o termo da amplitude e substituir a condições: y = 15.sen[Pi.x/4].cos[30.Pi.t + Pi/3] A = 15.sen[Pi.x/4] A (2;2) = 15.sen[Pi.2/4] A (2;2) = 15 cm Exercício 13 – Resposta C Primeiro descobrimos as densidades lineares de cada fio: d1 = 2,6.0,01 = 0,026 g/cm d1 = 0,0026 kg/m d2 = 7,8.0,01 = 0,078 g/cm d2 = 0,0078 kg/m Agora através da equação que relaciona a frequência com comprimento de onda, tensão na corda e densidade linear, substituímos os valores que temos de cada parte da corda e igualamos as equações: f1 = [n1/(2.L1)].[F/d1]^(1/2) f2 = [n2/(2.L2)].[F/d2]^(1/2) Igualam-‐se as duas equações e substitui as variáveis conhecidas: [n1/(2.0,6)].[100/0,0026]^(1/2) = [n2/(2.0,866)].[100/0,0078]^(1/2) [n1/(2.0,6)]^2.1 /2,6 = [n2/(2.0,866)]^2.1/7,8 n1 = [3,74.(n2)^2/23,4]^(1/2) n1 = 0,4.n2 n2 = 2,5.n1 Uma vez que se descobriu a relação entre o numero da corda de aço e o numero da corda de alumínio, isolamos a razão n2/n1: n2/n1= 2,5 n2/n1= 2/5 (Na forma de fração mais simplificada) Onde n2 = 5, que corresponde ao aço e n1 = 2, que corresponde ao alumínio. Através das propriedades no fio de aço ou no fio de alumínio, é possível determinar a frequência. f = [ n1 / (2. L1) ].[ ( F/d1 ) ^ (1/2) ] f = [ 2 / (2. 0,6) ].[ ( 100/0,0026 ) ^ (1/2) ] f = 327 Hz f = 1034 Hz Exercício 14 – Resposta E Visto que no exercício anterior determinou-‐se o numero de ventre de cada parte da corda temos o numero total de ventres = 7, logo o numero total de nós é 8, descontando os nós das extremidades, temos: Nnós = 6. Exercício 15 – Resposta D Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico: Calculando o fluxo magnético entre 0 e 2 segundos. f = 0,2.t.(PI.r^2) = 0,2.t.(3,14.3,99^2) f = -‐10.t E = df/dt = -‐10 Portanto o módulo da força eletromotriz é: 10 V Exercício 16 – Resposta B Primeiro identificamos em qual parte do gráfico está o instante pedido, então calculamos o fluxo magnético nesta parte do gráfico: Calculando o fluxo magnético entre 5 e 10 segundos. f = -‐0,08.(PI.3,99^2).t f = -‐4.t E= +4 V E = R.I 4 = 20.I I = 0,2 A Sentido horário. Exercício 17 – Resposta E Req = R1.R2/(R1 + R2) Req = 10.15/(10 + 15) Req = 6 ohm I = (B.l/Req).v I = (0,5.0,4/6).20 I = 0,667 A Exercício 18 – Resposta B Uma vez que já temos a corrente, calculada no exercício anterior, basta substituir na equação P = I^2.Req P = 0,667^2.6 P = 2,67 W Exercício 19 – Resposta D Primeiro calculamos o valor de k: c = w/k k = 10^15/3.10^8 k = 3,33.10^6 O vetor velocidade de propagação é igual ao produto vetorial entre o campo elétrico e o campo magnético dividido pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo: cv = Ev x Bv/( Bv .Bv) -‐3.10^8.i = [(E.k) x (10^-‐7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).j]/((10^-‐7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x)^2) (3.10^8.k). (10^-‐7.sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) = E.k E = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x) (N/C) Ev = 30. sen(10^15.t + 3,33.10^6.x).k (N/C) Exercício 20 – Resposta A Primeiro calculamos o valor médio do vetor poynting S = 0,5.8,85.10^-‐12.3.10^8.900 S = 1,19 Agora calculamos a energia eletromagnética: Dw = S.A.Dt Dw = 1,19.3.7200 Dw = 25807 J Exercício 21 – Resposta A Como o campo magnético é uniforme na região e varia somente com o tempo, não há a necessidade da integração. f = B.n.A f = (0,2t^2 – 2,4t +6,4)k.k.(0,5.0,5) f(2) = (0,2.(2)^2 – 2,4.(2) +6,4).0,25 f(2) = 0,6 weber f(9) = (0,2.(9)^2 – 2,4.(9) +6,4).0,25 f(9) = 0,25 weber Exercício 22 – Resposta E Através da derivada temporal da equação que descreve o fluxo, obtemos a equação da força eletromotriz. E = -‐ (0,1t -‐ 0,6) E(2) = -‐ (0,1.(2) – 0,6) E(2) = 0,4 V I(2) = 0,4/40 I(2) = 0,01 A (anti-‐horário) E(9) = -‐ (0,1.(9) – 0,6) E(9) = -‐0,3 V I(9) = -‐ 0,3/40 I(9) = -‐ 0,0075 A (horário) Exercício 23 – Resposta B Primeiro deve-‐se descobrir a função que descreveo fluxo em função do tempo: f = B.A O campo magnético não varia em função do tempo porém a área varia em função do tempo: A = 0,5.w.t.r^2 A = 0,5.300.t.0,25^2 A = 9,375 m^2 Portanto o fluxo é: f = 0,1.9,375.t f = 0,9375 wb Agora basta fazer a derivada temporal negativa do fluxo que obtem-‐se a força eletromotriz: E(0-‐-‐-‐P1) = -‐ 0,9375 V Exercício 24 – Resposta C O potencial de cada ponta da barra será o mesmo, logo a diferença de potencial entre eles será zero. Vp2 – Vp1 = 0 V Exercício 25 – Resposta D O fluxo magnético quando não há variação de área com o tempo é f = B.n.A f = (0,5 – 0,125t).1,7.2,1 f = 1,785 – 0,44625t A derivada temporal negativa do fluxo é a fem: E = 0,44625 I = E/R I = 0,44625/25 I = 0,01785 A (anti-‐horário) Exercício 26 – Resposta B A força necessária para manter a barra em repouso é calculada pela formula: F = I.L.B F = 0,01785.1,7.0,5 F = 0,0152 N O sentido é contrário ao da força que movimenta a barra, logo: F = -‐0,0152i N Exercício 27 – Resposta C Existem duas formulas para calcular a intensidade da onda, uma relaciona a potência com a área e a outra relaciona a amplitude do campo elétrico com a velocidade da luz e constante de permissividade elétrica: I = P/A I = [e.c.(Em)^2]/2 0,25/(4.Pi.r^2) = [8,85.10^-‐12.3.10^8.(0,2)^2]/2 r^2 = 370 r = 19,4 m Exercício 28 – Resposta E Considerando que o sentido de propagação da onda é j positivo, a direção e sentido do campo magnético, no dado instante em que o campo elétrico é i negativo, é k positivo. Bv = +kB Exercício 29 – Resposta A A direção e o sentido de uma onda eletromagnética é igual a direção e sentido do produto vetorial do campo elétrico com o campo magnético. v = (i) x (k) v = (-‐j) Exercício 30 – Resposta E A velocidade de propagação da onda eletromagnética é igual ao valor da velocidade da luz, mas também é obtida pela razão entre o produto vetorial do campo elétrico e campo magnético pelo produto escalar do campo magnético por ele mesmo. c = (E x B)/(B.B) 3.10^8 = E/B E = 3.10^8.91,5.10^-‐6 E = 27450 V/m Exercício 31 – Resposta A A intensidade da onda é a razão entre a potência e a área. I = P/A I = 0,02/(Pi.10^-‐12) I = 6,366.10^9 A intensidade da onda também pode ser calculada em uma formula que contém a amplitude do campo elétrico. 6,366.10^9 = 0,5.8,85.10^-‐12.3.10^8.(Em)^2 (Em)^2 = 4,796.10^12 Em = 2,19.10^6 V/m Exercício 32 – Resposta A A equação do campo magnético tem a parte oscilante igual a do campo elétrico, logo só precisa calcular a amplitude do campo magnético e descobrir a direção e sentido. B = E/c B = 1,1.10^6/(3.10^8) B = 3,7.10^-‐3 T A direção e sentido da velocidade de propagação da onda é igual ao do produto vetorial do campo elétrico pelo campo magnético. /c/ = /E/ x /B/ -‐k= j x (ai + bj + ck) -‐k = -‐ka +ic c = 0 a = 1 Logo, a direção e o sentido do vetor campo magnético é i positivo: B = 3,7.sen(5,9.10^6.z + 1,77.10^15.t).i (Wb/m^2) Exercício 33 – Resposta B A curva A, é característica de um amortecimento fraco, visto que oscila antes de estabilizar. A curva B estabiliza o movimento antes que a curva A, porém, apenas depois que a curva C, isso ocorre devido ao alto valor do coeficiente de resistência viscosa, logo a curva B, é característica de um amortecimento supercrítico. A curva C é a primeira a estabilizar, isso quer dizer que a relação entre o coeficiente de resistência viscosa e a constante elástica possui a melhor relação possível, característica do amortecimento crítico. A, C, B. Exercício 34 – Resposta C A posição inicial pode ser definida por interpretação do gráfico: y(0) = 0,2 m No gráfico há uma reta tangente as curvas no instante zero. O coeficiente angular desta reta é igual a derivada temporal da equação de posição no instante zero, que é por definição a velocidade da partícula no instante zero. v(0) = (0,5 – 0,2)/0,2 v(0) = 1,5 m/s Exercício 35 – Resposta E Analisando o gráfico podemos extrair a posição inicial do termo da amplitude, ou seja, considerando apenas a curva exponencial auxiliar: ym.e^-‐γ0=0,4 ym = 0,4 m Agora que temos a amplitude inicial, podemos calcular a fase inicial com o auxilio da curva principal,ou seja, a curva que descreve o movimento. A posição inicial da partícula é 0,2 m. 0,2 = 0,4.cos(o) o =arccos(0,5) o = -‐Pi/3 Agora através do período podemos calcular a velocidade angular. Pelo gráfico temos que o período é 1,4 s. w = 2.Pi/1,4 w = 1,43.Pi (rad/s) Falta descobrir o valor de g (gama). Para isso pegamos um ponto conhecido no gráfico, vamos pegar o ponto (1;-‐0,2). -‐0,2 = 0,4.e^-‐γ.cos(1,43.Pi -‐ Pi/3) -‐0,5 = -‐e-‐γ.0,954 1/1,84 = e^-‐γ -‐γ = -‐0,61 γ = 0,61 Agora montamos a equação: y = 0,4.e^(-‐0,61t).cos(1,43.Pi.t -‐ Pi/3) (SI) Exercício 36 – Resposta B Primeiro calcular a velocidade angular inicial, w0. W^2 = (w0)^2 – g^2 (1,43.Pi)^2 = (w0)^2 –(0,61)^2 (w0)^2 = 20,55 w0 = 4,5 rad/s Agora calculamos o k da mola: (4,5)^2 = k/m (4,5)^2.0,8 = k k = 16,44 N/m Agora calculamos o coeficiente de viscosidade: 0,61 = c/(2.0,8) c = 0,976 N.s/m Agora calculamos o grau de amortecimento: B = g/w0 = 0,61/4,5 B = 0,135 Exercício 37 – Resposta C Primeiro calculamos o valor de gama. g = (k/m)^(1/2) g = (16,43/0,8)^(1/2) g = 4,53 Agora calculamos o valor da constante de viscosidade. g = c/2m 4,53 = c/(2.0,8) c = 7,25 N/(m/s) Exercício 38 – Resposta A Uma vez que temos o valor de gama, basta descobrir as constantes através de pontos do gráfico: 0,2 = A1 Agora com a velocidade inicial descobrimos a outra constante A2: 1,5 = [-‐4,53.0,2 +A2] 2,41 = A2 Agora montamos a equação: y = [0,2 +2,41.t].e^(-‐4,53t) (SI) Exercício 39 – Resposta A Com o valor do grau de amortecimento calculamos o coeficiente de resistência viscosa: 1,2836 = g/w0 g = c/2m w0 = (K/m)^(1/2) Logo, 1,2836 = (c/2m).[(m/k)^(1/2)] 1,6476 = [(c2)/2,56].[0,8/16,43] 86,624 = c^2 c = 9,307 N/(m/s) Exercício 40 – Resposta B Primeiro calculamos o valor de w0 e do g: w0 = (16,43/0,8)^(1/2) w0 = 4,532 rad/s g = 9,307/1,6 g = 5,817 Agora com as condições iniciais y(0) = 0,2 m, e v(0) = 1,5 m/s, calculamos as constantes A1 e A2. 0,2 = A1 + A2 A2 = 0,2 – A1 e, 1,5 = A1.[-‐5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + A2.[-‐5,817 -‐ (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] 1,5 = A1.[-‐5,817 + (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] + .( 0,2 – A1)[-‐5,817 -‐ (5,817^2 – 4,532^2)^(1/2)] 1,5 = A1.(-‐2,1703) + (0,2 – A1).(-‐ 9,4637) 3,393 = 7,2934.A1 A1 = 0,465 A2 = 0,2 – 0,465 A2 = -‐ 0,265 Agora basta montar a equação e simplificar: y = 0,465.e^(-‐5,817+3,6467)t – 0,265.e^(-‐5,817-‐3,6467)t y = 0,465.e^(-‐2,17)t – 0,265. e^(-‐9,46)t (SI)
