Círculo de Mohr

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Transformações de Tensão e Deformação
O Círculo de Mohr
Fernando Skywalker Santos 
RA 154900815906
Para fins de análise das forças e tensões de cisalhamento adota-se o eixo z como o eixo perpendicular a estes (σz=τxz=τzy=0), assim o plano de tensão Q fica definido a partir de σx,σy,τxy.
Pode-se rotacionar o sistema no eixo Z um ângulo θ, definindo o plano de tensão Q a partir de σx',σy',τx'y'.
Transformaçãodo Estado
Plano de Tensão
Através da analise do sistema rotacionado pod-se obster as tenões msotradas na figura abaixo.
A partir dos valoros das forças em cada eixo podem-se deduzir as equações para os coeficientes que caracterizam o plano de tensão.
Transformação do Estado
Dedução das equações de σx', σy', τx'y'
Resolvendo a primeira equação para σx'e a segunda para τx'y.
Através de utilização de relaçoes trigonométricas podemos reescrever as equações como:
Substituíndo-se θ por θ + 90º na primeira equação obtêm-se a equação
para σy':
Somando as equações para σx' eσy'termo a termo obtêm-se a equação:
Com intuito de representar os valores de tensão normal e tensão de cisalhamento normal em um sistema de eixos cartesiano obtemos aseguinte expressão:
Definindo as variáveis :
	
TENSÕES PRINCIPAIS E TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA
Podemos representar essa equação por meio de circunferência
Ponto A: Tensão Normal Máxima
Ponto B: Tensão Normal Mínima
Para os pontos de Tensão Máxima Temos:
Assim obtemos o seguinte parâmetro
A equação define 2 valores 2θp defasados 180 graus portanto θpgraus defasados
Círculo de Mohr para estado plano tensão
Método gráfico simples para resolver exercícios de estado plano tensão
σx, σyeTxy	X(σx,-Txy)	Y(σy,+Txy)
Ponto C é a intersecção da reta XY com o eixo σ.
A e B: pontos onde o círculo intercepta o eixo σ.
Mesmo círculo pode ser obtido para componentes σx', σy' e Txy' Mesmo esquema para pontos X' e Y'.
Novamente, mesmo sentido de rotação para o círculo e para os planos de tensão
Tensão de cisalhamento máxima para θ = 45°
Se T (tensão de cisalhamento) de uma face tenta girar objeto no sentido horário
O ponto X ou Y correspondente a essa fase está acima do eixo σ.
e vice versa.
Convenção para σ tensões normais: Tração → positiva
Compressão → negativa
Exemplo: Construção do Círculo de Mohr
A tensão normal que atua no eixo x é positiva ea tensão de cisalhamento tende a girar o elemento no sentidoanti-horário.
Figura 1: Corpo em estudo
Construção do círculo deMohr
O ponto X será representado à direita do eixo vertical e abaixo do eixo horizontal. De forma análoga, o ponto Y que representa a face oposta deverá ser representado a 180°de X.
Traçando a linha XY, obtemos o centro C do círculo
de Mohr; sua abscissa é
σmédio= (σx+ σy) / 2 = ( 50 + (-10) ) / 2 = 20 MPa
Como os lados do triângulo CFX são: CF = 50 – 20 = 30 MPa e FX = 40 MPa
O raio do círculo é R = CX = sqrt(30^2+40^2) = 50
MPa	Figura 2:Diagrama
do círculo
Planos principais e tensõesprincipais
As tensões principais são:
σmáx= OA = OC + OA = 20 + 50 = 70 MPa σmín= OB = OC – BC = 20 – 50 = -30 MPa
Como o ângulo ACX representa 2θp,escrevemos:
tg(2θp) = FX / CF = 40 / 30
2θp= 53,1°(ângulo no circulo) Θp= 26,6°(ângulo do objeto)
Figura 2:Diagrama do círculo
Tensãode cisalhamentomáxima
Com mais uma rotação de 90°no sentido anti-horário faz CA coincidir com CD na Figura 4, uma rotação adicional de 45°no sentido anti-horário fará o eixo Oa coincidir com o eixo Od correspondendo à tensão de cisalhamento máxima na Figura 3.
Nota-se na Figura 4 que Tmáx = R = 50 MPa e que a tensão normal correspondente é σ' = σméd= 20 MPa. Como o ponto D está localizado acima do eixo σ na Figura 4, as tensões de cisalhamento que atuam nas faces perpendiculares a Od na Figura 3 devem ser direcionadas de modo que tenham a tendência de rodar o elemento no sentidohorário.
	
Figura3	Figura4