AULA 3_Matemática Aplicada_Slides-1

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Matemática Aplicada
Profª Ana Rebeca Miranda Castillo
O que vimos na aula anterior:
• Resolução de equações (1º e 2º grau);
• Revisão do plano cartesiano (eixos, representações 
gráficas e localizações de pontos);
• Início do trabalho com funções (exemplo da compra 
de pacotes de feijão).
Uma breve revisão de Plano Cartesiano
Plano Cartesiano Ortogonal
Plano com dois eixos perpendiculares X e Y, que o dividem em 4 regiões.
• Eixo horizontal X – eixo das abscissas
• Eixo vertical Y – eixo das ordenadas
• O ponto em que os eixos se cruzam é denominado origem
• As regiões são denominadas quadrantes
Resolver as atividades 1 à 5
1) Trace um plano cartesiano no quadriculado e localize os pontos: (3, 2), (-4, 5),
(-5,5; -2) e (6, -4,5).
2) Responda, em um plano cartesiano, em qual quadrante os pontos têm:
a) Abscissa positiva?
b) Ordenada negativa?
c) Abscissa negativa e ordenada positiva?
d) Abscissa positiva e ordenada negativa?
3) Localize em um plano cartesiano traçado no papel quadriculado abaixo os pontos
A(1,0), B(0,3), C(-4,0), D(0,-2), E(-2,5; 0) e F(0,-4,5).
a)Quais pontos estão sobre o eixo X? O que esses pontos têm em comum?
b)Quais pontos estão sobre o eixo Y? O que esses pontos têm em comum?
5) Determine m para que o ponto P (m, 5)
pertença ao (à):
a) eixo y;
b) 1º quadrante;
c) 2º quadrante;
d) 3º quadrante.
4) Determine as coordenadas dos pontos
indicados no plano cartesiano abaixo:
Respostas
1) 2)
a) 1º e 4 quadrantes
b) 3º e 4º quadrantes
c) 2º quadrante
d) 4º quadrante
4)3) a) Pontos A, C e E, todos têm 0
como ordenada
b) Pontos B, D e F, todos têm 0
como abscissa.
5)
a) m = 0
b) m igual a qualquer valor de x positivo
c) m igual a qualquer valor de x negativo
d) Não existe valor de m que atenda a essa condição
Funções – noção intuitiva
• Em um estudo científico de qualquer fenômeno, sempre procuramos
identificar grandezas mensuráveis que podemos relacionar a esse fenômeno e
verificar relações existentes entre essas grandezas.
Exemplo - Ciclista
Grandezas: tempo x espaço
Uma pista de ciclismo tem marcações a cada 500 m. Enquanto um ciclista treina
para uma prova, o técnico anota seu desempenho. O resultado pode ser
observado na tabela abaixo:
A cada instante (x) corresponde a uma única distância (y). Dizemos, assim, que a
distância é função do instante, e a fórmula que relaciona y com x é:
y = 500x
Instante (min) 0 1 1,1 2,9 3 4 x
Distância (m) 0 500 550 1450 1500 2000 500x
Funções – noção intuitiva
Exemplo - Combustível
Grandezas: litros de combustível x preço
Para encher um tanque de gasolina que comporta 45 litros, vou ao posto e pago
3,20 reais por litro. Para saber quanto pagarei, posso montar a tabela abaixo:
A cada litro (x) corresponde a um único valor (y). Dizemos, assim, que o valor a
pagar é função da quantidade de litros, e a fórmula que relaciona y com x é:
y = 3,20x
Qtde de gasolina (litros) 0 1 1,5 2 2,3 4 x
Valor a pagar (Reais) 0 3,20 4,8 6,40 7,36 12,8 3,20x
Funções – algumas denominações 
• Para cada elemento do domínio há apenas um elemento do contradomínio;
• x é a variável independente e y a variável dependente;
• y = f(x) é chamada lei de correspondência
• Denomina-se conjunto imagem de f, ao subconjunto do contradomínio, cujos
elementos y são imagem de algum x do domínio;
Exemplo - Ciclista
f: R → R
x ⟼ y = 500x
Utilizando a lei de formação:
x = 0 → y = 500.1 → y = 500
x = 1,1→ y = 500.1,1 → y = 550
x = 2,9→ y = 500.2,9 → y = 1450
x = 3 → y = 500.3 → y = 1500
x = 4 → y = 500.4 → y = 2000
Exemplo - Combustível
f: R → R
x ⟼ y = 3,2x
Utilizando a lei de formação:
x = 0 → y = 3,2.0 → y = 0
x = 1,5→ y = 3,2.1,5 → y = 4,8
x = 2→ y = 3,2.2 → y = 6,4
x = 2,3 → y = 3,2.2,3 → y = 7,36
x = 4 → y = 3,2.4 → y = 12,8
Domínio de uma função
Quando se faz referência a uma função, dizendo apenas a lei de
correspondência que a define, sem fazer referência ao domínio, ou sem ter
uma situação contextualizada associada, devemos entender que o domínio é
formado por todos os números reais que podem ser colocados no lugar de x
na lei de correspondência, de forma que, feitos os cálculos resulte em um
valor real de y.
Exemplos:
• Dada uma função f, definida pela lei de correspondência y = 3x + 4, seu
domínio serão todos os números reais, pois para qualquer valor de x,
teremos um valor real para y. Representação: Df = ℝ
• Dada uma função f, definida pela lei de correspondência y =
𝑥+3
𝑥 −1
, seu
domínio serão todos os números reais, menos o 1, pois não há divisão por
zero. Representação: Df = ℝ - {1} ou Df = {x ∈ ℝ |x ≠ 1}
Representação gráfica de uma função
Representação gráfica – esboço e/ou utilizando o GeoGebra (aplicativo de
matemática dinâmica)
- Sistemas de coordenadas retangulares (sistema cartesiano ou coordenadas
cartesianas);
- Para um ponto P (x, y); x é a abscissa do ponto e y é a ordenada;
- Pontos de interseção com os eixos x e y: são da forma (0, y) interseção com o
eixo Y e (x, 0) interseção com o eixo X.
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y), onde x é o domínio
de f e y = f(x) é a imagem. Todos os pontos do gráfico serão da forma (x, f(x)) ou (x, y)
Representação gráfica
Exemplos
Exemplo - Ciclista
f: R → R
x ⟼ y = 500x
x y = 500.x (x, y)
0 y = 500.0 = 0 (0, 0)
1,1 y = 500.1,1 = 550 (1,1; 550)
2,9 y = 500.2,9 = 1450 (2,9; 1450)
3 y = 500.3 = 1500 (3, 1500)
4 y = 500.4 = 2000 (4, 2000)
Representação gráfica 
Exemplos
Exemplo - Combustível
f: R → R
x ⟼ y = 3,2x
x y = 3,2.x (x, y)
0 y = 3,2.0 = 0 (0, 0)
1,5 y = 3,2.1,5 = 4,8 (1,5; 4,8)
2 y = 3,2.2 = 6,4 (2; 6,4)
2,3 y = 3,2.2,3 = 7,36 (2,3; 7,36)
4 y = 3,2.4 = 12,8 (4; 12,8)
Representação gráfica - exemplos
Exemplo
f: ℝ→ ℝ
x ⟼ y = 3x + 4
x y = 3x + 4 (x, y)
-1 y = 3.(-1) + 4 = -3 + 4 = 1 (-1, 1)
0 y = 3.0 + 4 = 4 (0, 4)
0,5 y = 3.0,5 + 4 = 1,5 + 4 = 5,5 (0,5; 5,5)
2 y = 3.2 + 4 = 10 (2, 10)
Resolver - Atividade 6
6) Esboce o gráfico das funções no papel quadriculado:
a) f(x) = x
b) f(x) = x – 1
c) f(x) = 5
d) f(x) = -3x
e) f(x) = 2x
f) f(x) = x2 + 4x + 3
Respostas
a) f(x) = x b) f(x) = x -1 c) f(x) = 5
d) f(x) = -3x e) f(x) = 2x f) f(x) = x2 + 4x + 3
Resolver – Atividade 7
7) Verifique quais são as funções abaixo:
a) y = x2 d) y = -x
b) y = -5x + 8 e) y = -x2 + 3
c) y = -1 f) y = 9x
Respostas
a) função quadrática d) função linear
b) função linear afim e) função quadrática
c) função constante f) função linear
8) Verifique quais são as funções representadas pelos gráficos abaixo:
a) b) c) d)
Atividades
Respostas
a) função constante c) função quadrática
b) função linear d) função linear afim
Função quadrática
Função quadrática ou polinomial de 2º grau:
y = f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais quaisquer e a ≠ 0.
Exemplos: y = 3x2 + 3x – 2 y = -3x2 – 4x y = x2 - 9
x y = 3x2 +3x -2 (x, y)
-1 y = 3.(-1)2+3.(-1)- 2 = -2 (-1, -2)
0 y = 3.02 +3.0 - 2 = -2 (0, -2)
1 y = 3.12 +3.1 - 2 = 5 (1, 4)
2 y = 3.22 +3.2 - 2 = 16 (2, 16)
Representação gráfica: Parábola
Se a > 0 a concavidade é para cima
Se a< 0 a concavidade é para baixo
Pontos principais da função quadrática
Na função quadrática y = f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são números
reais quaisquer e a ≠ 0.
Os pontos principais são:
• Os pontos de cruzamentos com o eixo X: determinados quando y = 0,
ou seja, quando ax2 + bx + c = 0, neste caso devemos encontrar as
raízes x1 e x2 dessa equação, os pontos serão (x1, 0) e (x2, 0)
• O ponto de cruzamento com o eixo Y: determinado quando x = 0, ou
seja, substituindo na função, temos: y = a.02 + b.0 + c → y = c, o
ponto será (0, c)• Vértice da parábola, corresponde ao ponto V (
−𝒃
𝟐𝒂
,
−∆
𝟒𝒂
)
Exemplo: y = x2 + 5x + 6 a = 1 b = 5 c = 6
Pontos principais são:
• Os pontos de cruzamento com o eixo X: sendo as raízes x1 e x2 da equação,
os pontos serão (x1, 0) e (x2, 0)
∆ = b2 – 4.a.c 𝑥 =
−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
=
−5± 1
2.1
x1 =
−5+1
2
= -2
∆ = 52 – 4.1.6 = 1 x2 =
−5−1
2
= -3
Os pontos que cruzam o eixo X são: (-2, 0) e (-3, 0)
• O ponto de cruzamento com o eixo Y: x = 0 então y = c, o ponto será (0, c)
y = 02 + 5.0 + 6 → y = 6
O ponto que cruza o eixo Y é: (0, 6)
• Vértice da parábola, corresponde ao ponto V (
−𝒃
𝟐𝒂
,
−∆
𝟒𝒂
)
xv =
−𝒃
𝟐𝒂
=
−𝟓
𝟐
ou 2,5 yv =
−∆
𝟒𝒂
=
−𝟏
𝟒
ou 0,25 V (
−𝟓
𝟐
,
−𝟏
𝟒
) ou V (-2,5; 0,25)
9) Encontre os pontos principais, cruzamentos com o eixo X (raízes),
cruzamento com o eixo Y e o vértice da parábola. Com esses pontos,
no papel quadriculado esboce o gráfico das seguintes funções:
a) y = x2 + 2x – 3
b) y = 2x2 + 6x + 4
c) y = -x2 + 9
d) y = -x2 + 5x
Resolver – Atividade 9
Algumas questões de concursos
Resposta: B
Resposta: D