Função do 2º Grau - Conceitos e Exercícios

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MATEMÁTICA I
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FUNÇÃO DO 2º GRAU - CONCAVIDADE, 
DISCRIMINANTE, RAÍZES E FORMA FATORADA10
INTRODUÇÃO
Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática é toda 
função f:  → , dada por f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈  e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = x2 – 5x + 6
f(x) = – x2 + 4x + 3
f(x) = 2x2 – 18
f(x) = – 3x2 + 5x
f(x) = x2
O gráfico de uma função do 2o grau é uma curva aberta 
chamada parábola, com eixo de simetria paralelo ao eixo y.
Lembre-se: a forma fatorada do trinômio do 2o grau para 
f(x) = ax2 + bx + c é f(x) = a(x - x1)(x - x2), onde x1 e x2 são as 
raízes da equação ax2 + bx + c = 0.
PROEXPLICA
CONCAVIDADE
Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈  e a ≠ 0, 
sua concavidade será:
Para cima, caso a > 0 Para baixo, caso a < 0
INTERSEÇÕES COM OS EIXOS
Eixo y → x = 0
f(x) = ax2 + bx + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c
logo o ponto é (0, c)
No gráfico
O coeficiente c representa a interseção da parábola com o eixo y.
Eixo x → y = 0 (zero ou raiz da função)
f(x) = ax2 + bx + c
0 = ax2 + bx + c
ax2 + bx + c = 0 → Equação do 2º grau, logo, podemos admitir 
três situações distintas:
• 1º Caso: ∆ > 0 (Duas raízes reais e distintas) 
Exemplo:
A parábola intercepta o eixo em dois pontos, (x’, 0) e (x’’, 0).
• 2º Caso: ∆ = 0 (Duas raízes reais e iguais)
Exemplo:
A parábola intercepta o eixo x em um único ponto (x’, 0).
• 3º Caso: ∆ < 0 (Não existe raiz real)
Exemplo:
 
A parábola não intercepta o eixo x.
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MATEMÁTICA I 10 FUNÇÃO DO 2º GRAU - CONCAVIDADE, DISCRIMINANTE, RAÍZES E FORMA FATORADA
GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Exemplo 1:
Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x + 3
Concavidade para cima pois a = 1 > 0.
Intersecções com os eixos:
Eixo x → (0, c) = (0, 3)
Eixo y → x2 – 4x + 3 = 0
 ∆ = 16 – 12 = 4
(∆ > 0 duas raízes reais e distintas)
4 2x
2
±
= +
 
x' 1 (1,0)
x'' 3 (3,0)
= →
= →
v
v
b ( 4) 4X 2
2a 2(1) 2
V(2,1)
(4) 4Y 4
4a 4(1) 4
− − −
= = = =
−∆ − −
= = = = −


Gráfico:
Exemplo 2:
Esboce o gráfico da função y = – x2 + 2x - 3
Concavidade para baixo pois a = – 1 > 0.
Intersecções com os eixos:
Eixo y → (0, c) = (0, -3)
Eixo y → –x2 + 2x – 3 = 0
 ∆ = 4 – 12 = - 8
v
v
b 2X 1
2a 2
V(1, 2)
( 8)Y 2
4a 4
− −
= = =
−
−
−∆ − −
= = = −
−


y = x2 + 2x – 3
x = 3 → y = – 32 + 2(3) – 3
y = – 6
Vamos precisar atribuir um valor para x para encontrarmos um 
outro ponto.
x y
3 –6
Quando os valores descobertos não forem suficientes para 
o esboço do gráfico podemos utilizar a tabelinha (atribuição de 
valores) como auxílio.
Gráfico:
IMAGEM
A imagem de uma função é a projeção do seu gráfico sobre o 
eixo y.
Então, nos exemplos acima teremos:
No exemplo 1 citado anteriormente teremos:
Im = {y ∈  / y ≥ – 1}
No exemplo 2, citado anteriormente teremos:
Im = {y ∈  / y ≤ – 3}
Logo, podemos generalizar para:
a 0 Im y / y
4a
−∆ > → = ∈ ≥ 
 

a 0 Im y / y
4a
−∆ < → = ∈ ≤ 
 

RESUMO GERAL
∆ > 0
a > 0 a < 0
D = 
Im y / y
4a
−∆ = ∈ ≥ 
 

crescente: x > b
2a
−
decrescente: x < b
2a
−
bV ,
2a 4a
∆ − − 
 
D = 
Im y / y
4a
−∆ = ∈ ≤ 
 

crescente: x < b
2a
−
decrescente: x > b
2a
−
bV ,
2a 4a
∆ − − 
 
A função tem dois zeros reais diferentes, isto é, a parábola corta o eixo x em dois pontos distintos.
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∆ = 0
a > 0 a < 0
D = 
Im = {y ∈  / y ≥ 0}
crescente: x > b
2a
−
decrescente: x < b
2a
−
bV , 0
2a
 − 
  
D = 
Im = {y ∈  / y ≤ 0}
crescente: x < b
2a
−
decrescente: x > b
2a
−
bV , 0
2a
 − 
 
A função tem um zero real duplo, isto é, a parábola tangencia o eixo x.
∆ < 0
a > 0 a < 0
D = 
Im y / y
4a
−∆ = ∈ ≥ 
 

crescente: x > b
2a
−
decrescente: x < b
2a
−
bV ,
2a 4a
∆ − − 
 
D = 
Im y / y
4a
−∆ = ∈ ≤ 
 

crescente: x < b
2a
−
decrescente: x > b
2a
−
bV ,
2a 4a
∆ − − 
 
A função não tem zeros reais, isto é, a parábola não corta o eixo x.
PROTREINO
EXERCÍCIOS
01. O gráfico da função 
y = ax² + bx + c está 
representado ao lado. 
Determine a lei de 
formação.
02. Determine os valores de m de modo que o gráfico da função 
y = x2 + mx + 8 - m seja tangente ao eixo dos x. Faça o gráfico da 
solução (ou das soluções) que você encontrar para o problema.
03. Dada a função f :  → , definida por f(x) = x2 + 5x + 6 determine 
o valor de x de modo que:
a) f(x) = 0
b) f(x) = 6 
04. 
a) Encontre as constantes a, b, e c de modo que o gráfico da 
função y = ax2 + bx + c passe pelos pontos (1, 10), (-2, -8) e 
(3, 12).
b) Faça o gráfico da função obtida no item a, destacando seus 
pontos principais. 
05. O gráfico da função f(x)=x² + x + 2k – 3, k ∈ , não intercepta o 
eixo das abscissas. Determine os possíveis valores de k.
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PROPOSTOS
EXERCÍCIOS
01. (UEMG) Seja p(x) um polinômio do 2º grau, satisfazendo as 
seguintes condições:
– 1 e 4 são raízes de p(x)
p(5) = –12.
O maior valor de x para o qual p(x) = 8 é
a) 0
b) 3
c) 6
d) 12
e) 15
02. (CP2) Uma empresa de turismo vende pacotes para cruzeiros 
marítimos ao preço de 2.000,00. Em dezembro de 2014 foram 
vendidos 50 pacotes. Após análise, o gerente da empresa estimou 
que a cada R$ 100,00 de desconto no preço, conseguiria vender 
10 pacotes a mais. Daí decidiu, a partir de janeiro, que o preço do 
pacote diminuiria R$ 100,00 a cada mês. Abaixo, uma tabela com a 
evolução do preço do pacote e do número de pacotes vendidos, em 
função do número de meses: 
Número de meses Preço do pacote Número de pacotes
1 2000 – 100 ⋅ 1 50 + 10 ⋅ 1
2 2000 – 100 ⋅ 2 50 + 10 ⋅ 2
3 2000 – 100 ⋅ 3 50 + 10 ⋅ 3
... ... ...
x
Sabe-se que em um determinado mês ‘x’, após a aplicação do 
desconto, o faturamento foi de R$ 136.000,00. Assinale a alternativa 
que apresenta uma equação do 2° grau que nos permite determinar 
em que mês ‘x’ esse faturamento ocorreu:
a) x² + 10x – 50 = 136
b) x² + 20x + 50 = 136
c) – x² + 20x + 10 = 136
d) – x² + 15x + 100 = 136
e) – x² + 18x – 200 = 136
03. A função quadrática f(x) = ax² + bx + c, com a real positivo, b e 
c reais, tem como zeros da função os valores x′= – 1 e x′′= 3. Essa 
função é representada pela expressão:
a) f(x) = x² + 2x + 3.
b) f(x) = x² + 4x + 3.
c) f(x) = x² – 2x – 3.
d) f(x) = x² – 4x – 3.
e) f(x) = x² + 2x – 3.
04. (ENEM) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica 
modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, 
em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 
ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 
fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas 
para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a) 
16
3 b) 
31
5 
c) 25
4
 d) 25
3
 e) 75
2
05. (IFCE) A função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos 
(0, –1), (–1, –4) e (1, –2) tem lei de formação
a) f(x) = – 2x² + x – 1.
b) f(x) = 2x² – x + 1.
c) f(x) = – 4x² + x – 1.
d) f(x) = 4x² – x + 1.
e) f(x) = x² + x – 2.
06. (EEAR) Seja a função quadrática f(x) = ax² + bx + 1. Se f(1) = 0 e 
f(-1) = 6, então o valor de a é
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2
07. (UERJ) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e, em 
seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme representado no 
sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas com vértices 
C e D. A equação de uma dessas parábolas é 
2x 2xy
75 5
−
= + . Se a 
abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao ponto B, em metros, 
é igual a:
a) 38 b) 40 c) 45 d) 50
08. (UFRJ) Oscar arremessa uma bola de basquete cujo centro 
segue uma trajetória plana vertical de equação 2
1 8Y x x 2
7 7
= − + + , 
na qual os valores de x e y são dados em metros.
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Oscar acerta o arremesso, e o centro da bola passa pelo centro da 
cesta, que está a 3 m de altura. Determine a distância do centro da 
cesta ao eixo y.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
09. (UECE) Quantos são os valores inteiros que o número real k 
pode assumir, de modo que as raízes da equação x² - 3x + k = 0 
sejam reais não nulas e de sinais contrários, e que a equação 
x² + kx + 1 = 0 não tenha raízes reais? 
a) 3 b) 1 c) 0 d) 2
10. (UNICAMP) Sejam a e b números reais positivos. Considere a 
função quadrática f(x) = x(ax + b), definida para todo número real x. 
No plano cartesiano, qual figura corresponde ao gráfico de y = f(x)? 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
11. (IFCE) A função quadrática f(x) tem gráfico com vértice de 
abscissa igual a 1. Sabendo que f(6) = 10, é correto afirmar-se que 
o valor de f(-4) é
a) 15 b) 12 c) -10 d) 10 e) 6
12. (FUVEST) Considere a função polinomial f :  →  definida por
f(x) = ax² = bx + c,
em que a, b, c ∈  e a ≠ 0. No plano cartesiano xy, a única intersecção 
da reta y = 2 com o gráfico de f é o ponto (2;2) e a intersecção da 
reta x = 0 com o gráfico de f é o ponto (0;-6). O valor de a + b + c é 
a) -2 b) 0 c) 2 d) 4 e) 6
13. (UEG) As raízes da função quadrática y = ax² + bx + c são -1 e 
3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1, -4), os valores de a, b e c 
são, respectivamente: 
a) -1, -2 e -3
b) 1, -2 e -3
c) -1, 2 e 3
d) 1, 2 e 3
e) -1, -2 e 3
14. (CFTMG) O gráfico da função f(x) = ax² + bx + c está representado 
na figura a seguir.
Sobre essa função, é correto afirmar que
a) a < 0 b) b < 0 c) c = 0 d) b² - 4ac = 0
15. (MACKENZIE) Se f(x) = ax² + bx + c é tal que f(2) = 8, f(3) = 15 e 
f(4) = 26, então a + b + c é igual a 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 1 e) 6
16. (PUCRS) A função quadrática tem diversas aplicações no nosso 
dia a dia. Na construção de antenas parabólicas, superfícies de 
faróis de carros e outras aplicações, são exploradas propriedades 
da parábola, nome dado à curva que é o gráfico de uma função 
quadrática.
Seja p(x) = mx² + nx = 1. Se p(2) = 0 e p(-1) = 0, então os valores de 
m e n são, respectivamente, iguais a 
a) -1/2 e 1/2 b) -1 e 1 c) 1 e 1/2 d) -1 e -1/2
17. (UEG) Dadas a funções f(x) = -x² e g(x) = 2x, um dos pontos de 
intersecção entre as funções f e g é
a) (0,2) b) (-2,-4) c) (2,4) d) (0,-2) e) (-2,4)
18. (ENEM PPL) No desenvolvimento de um novo remédio, 
pesquisadores monitoram a quantidade Q de uma substância 
circulando na corrente sanguínea de um paciente, ao longo do 
tempo t. Esses pesquisadores controlam o processo, observando 
que Q é uma função quadrática de t. Os dados coletados nas duas 
primeiras horas foram:
t (hora) 0 1 2
Q (miligrama) 1 4 6
Para decidir se devem interromper o processo, evitando riscos 
ao paciente, os pesquisadores querem saber, antecipadamente, 
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a quantidade da substância que estará circulando na corrente 
sanguínea desse paciente após uma hora do último dado coletado.
Nas condições expostas, essa quantidade (em miligrama) será 
igual a
a) 4 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
19. (ENEM PPL) O proprietário de uma casa de espetáculos observou 
que, colocando o valor da entrada a R$10,00, sempre contava com 
1.000 pessoas a cada apresentação, faturando R$10.000,00 com 
a venda dos ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir 
de R$10,00, a cada R$2,00 que ele aumentava no valor da entrada, 
recebia para os espetáculos 40 pessoas a menos.
Nessas condições, considerando P o número de pessoas presentes 
em um determinado dia e F o faturamento com a venda dos 
ingressos, a expressão que relaciona o faturamento em função do 
número de pessoas é dada por: 
a) 
2PF 60P
20
−
= +
b) 
2PF 60P
20
= −
c) 2F P 1200P= − +
d) 
2PF 60
20
−
= +
e) 2F P 1220P= − −
20. (ENEM 2ª APLICAÇÃO) Para evitar uma epidemia, a Secretaria 
de Saúde de uma cidade dedetizou todos os bairros, de modo a 
evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o número 
f de infectados é dado pela função f(t) = -2t² + 120t (em que t é 
expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal 
expressão é válida para os 60 primeiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda dedetização 
deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse 
à marca de 1.600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou 
acontecer.
A segunda dedetização começou no
a) 19º dia.
b) 20º dia.
c) 29º dia.
d) 30º dia.
e) 60º dia.
05. APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS DE
01. (UFPR) A distância que um automóvel percorre a partir do 
momento em que um condutor pisa no freio até a parada total 
do veículo é chamada de distância de frenagem. Suponha que 
a distância de frenagem d, em metros, possa ser calculada pela 
fórmula
21d(v) (v 8v),
120
= +
sendo v a velocidade do automóvel, em quilômetros por hora, no 
momento em que o condutor pisa no freio.
a) Qual é a distância de frenagem de um automóvel que se 
desloca a uma velocidade de 40 km/h?
b) A que velocidade um automóvel deve estar para que sua 
distância de frenagem seja de 53,2m?
02. (UNICAMP) Sejam a e b reais. Considere as funções quadráticas 
da forma f(x) = x² = ax + b, definidas para todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no ponto 
(0,1) e é tangente ao eixo x, determine os possíveis valores de 
a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas têm 
um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. 
03. (PUCRJ) O retângulo ABCD tem dois vértices na parábola de 
equação 
2x 11y x 3
6 6
= − + e dois vértices no eixo x, como na figura 
abaixo.
Sabendo que D = (3,0), faça o que se pede.
a) Determine as coordenadas do ponto A.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
04. (UFPR) O número N de caminhões produzidos em uma 
montadora durante um dia, após t horas de operação, é dado por 
N(t) = 20·t – t², sendo que 0 ≤ t ≤ 10. Suponha que o custo C (em 
milhares de reais) para se produzir N caminhões seja dado por 
C(N) = 50 + 30 × N. 
a) Escreva o custo C como uma função do tempo t de operação 
da montadora. 
b) Em que instante t, de um dia de produção, o custo alcançará o 
valor de 2300 milhares de reais? 
05. (CFTRJ) Na figura abaixo, os gráficos das funções reais f e g 
são tangentes. Sabendo que f(x) = x² + 2k e g(x) = 2x = k, calcule 
f(2) = g(3).
GABARITO
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. B
02. D
03. C
04. D
05. A
06. D
07. B
08. E
09. B
10. B
11. D
12. B
13. B
14. B
15. A
16. A
17. B
18. B
19. A
20. B
 EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO
01. a) 16 m
b) v = 76 km/h 
02. a) a = ±2 e b = 1
b) (1,2) 
03. a) (3,-1)
b) C = (8,0) 
c) 5 u.a 
04. a) C(t) = –30t2 + 600t + 50
b) t = 5h. 
05. f(2) = g(3) = 13