Focus-Concursos-Raciocínio Lógico Matemático p_ PRF - Parte I (Agente de Polícia) - Pós Edital __ Aula 03 - Raciocínio Lógico-Matemático

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PRF 2019 | Matemática 
1. Modelagem de situações-problema por meio de equações do 1º e 2º graus e sistemas lineares. 
 
 
 
EQUAÇÕES DE 1º GRAU 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo 
equa, que em latim quer dizer "igual". 
 
São exemplos de equações do 1º grau: Não são equações: 
 2x + 8 = 0 
 5x - 4 = 6x + 8 
 3a - b - c = 0 
 4 + 8 = 7 + 5 (não é uma sentença aberta) 
 x – 5 < 3 (não é igualdade) 
 5 ≠ –2 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
 
A forma geral de uma equação do primeiro grau é 
 
 a.x + b = 0 . 
 
onde x é a incógnita, a e b são números reais conhecidos e a ≠ 0. 
 
 
 
Consideremos, a título de exemplo, a equação 2x – 8 = 3x – 10. 
 
Numa equação, a letra é a incógnita. A palavra incógnita significa “desconhecida”. No exemplo acima, a incógnita é x. 
 
Tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede o sinal de igual, 2º membro. Em 
nosso exemplo, 2x – 8 é o 1º membro, enquanto 3x – 10 é o segundo membro. 
 
Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. Assim, em nosso exemplo, 
2x, –8, 3x e –10 
são os termos da equação. 
 
Chamamos de raízes (ou zeros) de uma equação os números que, quando substituídos no lugar da incógnita, tornam 
a igualdade dada pela equação uma sentença verdadeira. 
 
Por exemplo, o número 2 é uma raiz da equação 
 
3x – 6 = 0 
 
pois, quando trocamos o x por 2 temos uma sentença verdadeira. Note que, nesse caso, nenhum outro número 
trocado no lugar do x tornaria a equação uma sentença verdadeira. Logo, o 2 é a única raiz da equação dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA DE EQUAÇÕES 
Vamos considerar o seguinte problema: 
Ruy, em sua última partida de basquete, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 
arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? 
Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: 
 
x + y = 25 (total de arremessos certos) 
2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos) 
 
Essas equações formam um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando uma chave. Assim, temos: 
 
{
 𝑥 + 𝑦 = 25
2𝑥 + 3𝑦 = 55
 
 
O par ordenado (20, 5), onde o primeiro elemento sempre corresponde ao valor de x e o segundo elemento 
corresponde ao valor de y, torna ambas as sentenças verdadeiras. Esse fato pode ser verificado substituindo o x por 
20 e o y por 5 e efetuando as operações. O par ordenado (x, y) que torna ambas as sentenças verdadeiras é chamado 
solução do sistema. 
 
Resolução de sistemas 
A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar os valores de x e y (par 
ordenado) que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. 
Estudaremos a seguir alguns métodos: 
 
Método da substituição 
Vamos resolver o sistema: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 4
2𝑥 − 3𝑦 = 3
 
 
 
 
 
 
 
Método da adição 
Vamos resolver o sistema: 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 10
𝑥 − 𝑦 = 6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
01. CESPE - OTI (ABIN)/ABIN/Criptoanálise - Estatística/2010 
Considere que os símbolos ⊕ e ⊗ representem operações sobre o conjunto dos números racionais, definidas pelas 
fórmulas a ⊕ b = a + b – 1 e a ⊗ b = a + b – a × b, em que a e b são números racionais, e os símbolos +,− e 
x representam as operações comuns de adição e de multiplicação, respectivamente. Considere, ainda, que as 
operações ⊕ e ⊗ determinam uma estrutura de corpo sobre o conjunto dos números racionais. 
Com base nessas informações, julgue o item a seguir. 
A equação (2 ⊕ x) ⊗ 7 = 8 tem como única solução no conjunto dos racionais o número 1. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
TEXTO PARA AS QUESTÕES 02, 03 E 04 
Além das perdas de vidas, o custo financeiro das guerras é astronômico. Por exemplo, um bombardeiro B-2, utilizado 
pela força aérea norte-americana na guerra do Iraque, tem um custo de R$ 6,3 bilhões. Se esse dinheiro fosse utilizado 
para fins sociais, com ele seria possível a construção de várias casas populares, escolas e postos de saúde. No Brasil, o 
custo de construção de uma casa popular, dependendo da sua localização, varia entre R$ 18 mil e R$ 22 mil. O custo 
de construção de uma escola adicionado ao de um posto de saúde equivale ao custo de construção de 20 casas 
populares. Além disso, o total de recursos necessários para a construção de duas casas populares e de dois postos de 
saúde é igual ao custo de construção de uma escola. 
Com base nesses dados e considerando que o governo brasileiro disponha de um montante, em reais, igual ao custo 
de um bombardeiro B-2 para a construção de casas populares, escolas ou postos de saúde, julgue os itens que se 
seguem. 
 
02. CESPE - PRF/PRF/2003 
Com o montante referido, seria possível construir, no máximo, 25.000 escolas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
03. CESPE - PRF/PRF/2003 
O montante citado seria suficiente para se construir 100.000 casas populares e 30.000 postos de saúde. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
04. CESPE - PRF/PRF/2003 
O montante mencionado seria suficiente para a construção de 200.000 casas populares, 10.000 postos de saúde e 
10.000 escolas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
TEXTO PARA AS QUESTÕES 05 E 06 
Uma organização compra mensalmente 2 artigos de informática ao preço de R$ 6,00 e R$ 15,00 a unidade. Neste mês, 
o setor de compras gastou R$ 480,00 na compra dos dois artigos e comprou 17 unidades a mais do artigo mais barato. 
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
05. CESPE - Prog (PF)/PF/2004 
Foram compradas mais de 50 unidades dos dois artigos. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
06. CESPE - Prog (PF)/PF/2004 
O total gasto na compra do artigo mais caro foi superior ao gasto na compra do artigo mais barato. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
 
 
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07. CESPE - Ag Adm (MDIC)/MDIC/2014 
Com relação aos sistemas de equações lineares e às funções de 1.º e de 2.º graus, julgue o item que se segue. 
Se Aldo, Pedro e Júlia confeccionarem, conjuntamente, 50 camisetas em uma semana; se a soma das quantidades 
confeccionadas por Aldo e Júlia for 2 unidades a mais que o dobro da quantidade confeccionada por Pedro; e se a 
quantidade confeccionada por Pedro for 3 unidades a menos que a quantidade confeccionada por Júlia, então Pedro 
confeccionará, nessa semana, mais de 15 camisetas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
08. CESPE - OCE (TCE-RS)/TCE-RS/Classe A/Oficial Instrutivo/2013 
A respeito do controle e manutenção dos 48 veículos de um órgão público, julgue o item seguinte. 
Considere que há, entre os veículos desse órgão, veículos de transporte de passageiros, veículos de carga e de passeio. 
Se a quantidade de veículos de passeio é o triplo da quantidade de veículos de carga, e se há tantos veículos de passeio 
quanto há de carga e de transporte de passageiros juntos, então há mais de 20 veículos de passeio. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
09. CESPE - Sold (CBM CE)/CBM CE/2014 
Em uma pesquisa de preço foram encontrados os modelos I e II de kits de segurança para um prédio. Considerando 
que, o preço de 15 unidades do modelo I e 12 unidades do modelo II, seja de R$ 3.750,00, julgue o item subsequente. 
Considere que o preço de 12 unidades do modelo I e 15 unidades do modelo II, seja de R$ 4.080,00. Nessa situação, o 
preço de uma unidade do modelo I é superior à metade do preço de uma unidade do modelo II. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
10. CESPE - AAmb/IBAMA/2013 
Julgue o item subsequente. 
Se A, B e C são números reais, com C ≠ 1 e A + BC = B + AC, então, necessariamente, A=B. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
11. CESPE - PNS /Pref SL/2017 
Na cidade de São Luís, em 2015, havia 142 mil alunos matriculados no ensino fundamental, distribuídos nas escolas 
estaduais (EE), municipais (EM) e particulares (EP). A diferença entre onúmero de matriculados nas EM e o número 
de matriculados nas EP era igual à metade do número de matriculados nas EE. Além disso, o número de matriculados 
nas EP adicionado ao número de matriculados nas EE excedia o número de matriculados nas EM em 14 mil. Nessa 
situação, em 2015, o número de alunos do ensino fundamental matriculados nas EE de São Luís era 
a) superior a 25 mil e inferior a 40 mil. 
b) superior a 40 mil e inferior a 55 mil. 
c) superior a 55 mil. 
d) inferior a 10 mil. 
e) superior a 10 mil e inferior a 25 mil. 
 
12. CESPE - Sold /PM AL/2017 
No item a seguir é apresentada uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada, a respeito de modelos 
lineares, modelos periódicos e geometria dos sólidos. 
Os soldados Pedro e José, na função de armeiros, são responsáveis pela manutenção de determinada quantidade de 
armas da corporação — limpeza, lubrificação e municiamento. Se Pedro fizer a manutenção das armas que estavam a 
seu encargo e de mais 50 que estavam a cargo de José, então Pedro fará a manutenção do dobro de armas que 
sobraram para José. Se José fizer a manutenção das armas que estavam a seu encargo e de mais 60 que estavam a 
cargo de Pedro, José fará a manutenção do triplo de armas que sobraram para Pedro. Nesse caso, a quantidade de 
armas para manutenção a cargo de Pedro e José é superior a 260. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
 
 
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13. CESPE - PRF/PRF/2008 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes 
um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor 
da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que 
em 2006, pagando um total de R$ 6.720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
 
 
TEXTO PARA AS QUESTÕES 14 ATÉ 17 
Além das perdas de vidas, o custo financeiro das guerras é astronômico. Por exemplo, um bombardeiro B-2, utilizado 
pela força aérea norte-americana na guerra do Iraque, tem um custo de R$ 6,3 bilhões. Se esse dinheiro fosse utilizado 
para fins sociais, com ele seria possível a construção de várias casas populares, escolas e postos de saúde. No Brasil, o 
custo de construção de uma casa popular, dependendo da sua localização, varia entre R$ 18 mil e R$ 22 mil. O custo 
de construção de uma escola adicionado ao de um posto de saúde equivale ao custo de construção de 20 casas 
populares. Além disso, o total de recursos necessários para a construção de duas casas populares e de dois postos de 
saúde é igual ao custo de construção de uma escola. Com base nesses dados e considerando que o governo brasileiro 
disponha de um montante, em reais, igual ao custo de um bombardeiro B-2 para a construção de casas populares, 
escolas ou postos de saúde, julgue os itens que se seguem. 
 
14. CESPE - PRF/PRF/2003 
Com esse montante, seria possível construir mais de 280.000 casas populares. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
15. CESPE - PRF/PRF/2003 
Com o montante referido, seria possível construir, no máximo, 25.000 escolas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
16. CESPE - PRF/PRF/2003 
Com o montante referido, seria possível construir, no máximo, 25.000 escolas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
17. CESPE - PRF/PRF/2003 
O montante mencionado seria suficiente para a construção de 200.000 casas populares, 10.000 postos de saúde e 
10.000 escolas. 
( ) Certo ( ) Errado 
 
 
18. FUNCAB - AA (PRF)/PRF/2014 
No dia 12 de abril de 2014, Paula e Ana comemoraram seus aniversários. Nessa data, a idade que Paula tem equivale 
ao triplo da idade que Ana tinha no dia 12 de abril de 1994. Sabendo que a idade que Paula tinha no dia 12 de abril de 
1994 equivale à idade que Ana tem no dia 12 de abril de2014, calcule a soma das idades que Ana e Paula têm no dia 
12 de abril de 2014. 
a) 60 
b) 40 
c) 100 
d) 20 
e) 80 
 
 
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EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode ser escrita na forma 
 
 a.x² + b.x + c = 0 . 
 
onde x é a incógnita e a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau. 
 a representa o coeficiente de x². 
 b representa o coeficiente de x. 
 c representa o termo independente. 
 
Exemplos de equações do 2º grau. 
5x² - 3x + 2 = 0 onde: a = 5, b = - 3 e c = 2 completa 
x² + 6x + 9 = 0 onde: a = 1, b = 6 e c = 9 completa 
-3x² + 7x + 1 = 0 onde: a = -3, b = 7 e c = 1 completa 
-x² + 5x - 6 = 0 onde: a = - 1, b = 5 e c = -6 completa 
3x² - 5 = 0 onde: a = 3, b = 0 e c = - 5 incompleta (b = 0) 
x² + 4x = 0 onde: a = 1, b = 4 e c = 0 incompleta (c = 0) 
5x² = 0 onde: a = 5, b = 0 e c = 0 incompleta (b = 0 e c = 0) 
 
 
 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Dizemos que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática verdadeira. 
 
 
 
Resolução de uma equação do 2º grau 
Para resolver uma equação do 2º grau, na forma ax² + bx + c = 0, usamos a fórmula de Báskara, dada por: 
 
 𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐
2 ∙ 𝑎
 
 
 
 
Discriminante de uma equação do 2º grau 
Chamamos de discriminante (Δ) o valor dado por 
 
 ∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 
 
Esse valor determina a quantidade de raízes reais da equação do 2º grau, da seguinte forma: 
 Se Δ > 0, existem duas raízes reais distintas; 
 Se Δ = 0, existe uma raiz real (duas raízes reais iguais); 
 Se Δ < 0, não existem raízes reais (duas raízes complexas); 
 
 
 
 
 
 
 
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Soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau 
A soma e o produto das raízes de uma equação do 2º grau podem ser obtidas rapidamente, sem que seja necessário 
encontrar cada raiz separadamente, por meio das relações abaixo. 
 
 SOMA DAS RAÍZES 𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
 
 
PRODUTO DAS RAÍZES 𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
01. CESPE / 2008 / PRF 
No ano de 2006, um indivíduo pagou R$ 4.000,00 pelas multas de trânsito recebidas, por ter cometido várias vezes 
um mesmo tipo de infração de trânsito, e o valor de cada uma dessas multas foi superior a R$ 200,00. Em 2007, o valor 
da multa pela mesma infração sofreu um reajuste de R$ 40,00, e esse mesmo indivíduo recebeu 3 multas a mais que 
em 2006, pagando um total de R$ 6.720,00. Nessa situação, em 2006, o valor de cada multa era 
a) inferior a R$ 750,00. 
b) superior R$ 750,00 e inferior a R$ 850,00. 
c) superior a R$ 850,00 e inferior a R$ 950,00. 
d) superior a R$ 950,00 e inferior a R$ 1.050,00. 
e) superior a R$ 1.050,00. 
 
 
TEXTO PARA OS ITENS 02 E 03 
Fazendo o seu balanço anual de despesas, uma família de classe média verificou que os gastos com moradia foram o 
dobro dos gastos com educação; os gastos com alimentação foram 50% superiores aos gastos com educação; e, 
finalmente, os gastos com alimentação e educação, juntos, representaram o triplo dos gastos com saúde. Com base 
na situação hipotética acima, julgue os itens seguintes. 
 
02. CESPE / 2003 / BANCO DO BRASIL 
Os gastos com alimentação foram 80% superiores aos gastos com saúde. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
03. CESPE / 2003 / BANCO DO BRASIL 
Fazendo o seu balanço anual de despesas, uma família de classe média verificou que os gastos com moradia foram o 
dobro dos gastos com educação; os gastos com alimentação foram 50% superiores aos gastos com educação; e, 
finalmente, os gastos com alimentação e educação, juntos, representaram o triplo dos gastos com saúde. Com base 
na situação hipotética acima, julgue o item que se segue. 
Se os gastos com saúde foram superiores a R$ 10.000,00, é correto afirmar que os gastos com educação foram 
superiores aR$ 12.000,00. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
 
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TEXTO PARA OS ITENS 04, 05 e 06 
Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de 
R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 
deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com 
a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a 
situação hipotética apresentada, julgue os itens seguintes. 
 
04. CESPE / 2007 / BANCO DO BRASIL 
A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
05. CESPE / 2007 / BANCO DO BRASIL 
Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu 
uma quantia superior a R$ 250.000,00. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
06. CESPE / 2007 / BANCO DO BRASIL 
No grupo de amigos havia menos de 8 moradores do bairro onde fica o cinema e a cada um deles coube uma despesa 
superior a R$ 70,00. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
 
07. CESPE / 2009 / ANAC 
Considerando que, de um grupo de n pessoas, devam ser escolhidas duas pessoas distintas, julgue o item a seguir. 
Se houver n + 2 modos possíveis de escolher as duas pessoas, então n será inferior a 5. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
08. CESPE / 2009 / ANAC 
Julgue o item seguinte, que envolvem equações, funções e gráficos. 
Caso se multiplique um número real x por ele mesmo e, do resultado, ao se subtrair 14, obtenha-se o quíntuplo do 
número x, então -2 poderá ser um dos possíveis valores de x. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TEXTO PARA OS ITENS 09 E 10 
Lúcio, Breno, Cláudia e Denise abriram a loja virtual Lik, para a qual, no ato de abertura, Lúcio contribuiu com R$ 
10.000,00; Breno, com R$ 15.000,00; Cláudia, com R$ 12.000,00; e Denise, com R$ 13.000,00. Os lucros obtidos por 
essa loja serão distribuídos de forma diretamente proporcional à participação financeira de cada um dos sócios no ato 
de abertura da loja. A partir dessas informações, julgue os itens a seguir. 
 
09. CESPE / 2014 / MDIC 
Se, diariamente, o valor em reais das vendas da loja Lik for sempre a solução da inequação x² - 700x + 120.000 < 0, 
então o valor diário das vendas poderá ultrapassar R$ 500,00. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
10. CESPE / 2014 / MDIC 
Considerando que y = 100x + 150 e y = 50x + 1.150 sejam, respectivamente, as quantidades de clientes do sexo 
masculino e do sexo feminino que compram na loja Lik, em que x ≥ 1 seja a quantidade de semanas após a inauguração 
da loja, então a quantidade de clientes do sexo masculino ultrapassará a quantidade de clientes do sexo feminino 
antes de seis meses de funcionamento da loja. 
( ) Certo 
( ) Errado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS – EQUAÇÕES DO 1º GRAU E SISTEMA LINEARES 
01) E 02) C 03) C 04) E 05) C 06) C 07) C 08) C 09) E 10) C 
11) A 12) C 13) B 14) C 15) C 16) C 17) E 18) C 
 
RESPOSTAS – EQUAÇÕES DO 2º GRAU 
01) B 02) C 03) C 04) E 05) C 06) E 07) C 08) C 09) E 10) C