FORMULÁRIO PARA AS DISCIPLINAS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA

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FORMULÁRIO PARA AS DISCIPLINAS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA 
ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR. 
MATRIZ INVERSA 
 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO 
Se A = 






dc
ba
 e det A 

0 , então A 1 = 
Adet
1








ac
bd
 
 
 
0AdetA 1  
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: 
 determinado (solução única) - SPD 
 compatível 
Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções) - SPI 
 
 incompatível (não possui solução) - SI 
 
 
ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
 Da mesma forma que o 
n
, qualquer conjunto V

 no qual estão definidas duas 
operações: adição e multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez 
propriedades citadas acima chama-se espaço vetorial real. 
 
 
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza. 
 
Para o conjunto 
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por 
escalar, isto é 
 

u,v 
n
, u+v
n
 e 



,

u 
n
, u
n
 é fácil verificar-se as seguintes 
propriedades: 
 
A1 : u + v = v + u ,  u,v n 
 
A2 : (u + v) + w = u + (v + w) ,  u,v,w n 
 
A3 :  0 n ,  u n , u + 0 = u 
 
A4 :  u n ,  (-u) n , u + (-u) = 0 
 
 2 
M1 : ( + )u = u + u ,    e  u n 

(u + v) = u + v , 



e 

u,v 
n
 
 
M3 : ()u = (u) ,    e  u n 
 
M4 : 1u = u ,  u n 
 
Este conjunto 
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por 
escalar e em relação as quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço 
vetorial real. 
 
SUBESPAÇO VETORIAL 
 
 Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de 
V sse: 
 i) 
Sv,u 
 , 
Svu 
 
 ii)




Su

Su
 
 
Obs.: sse significa “se e somente e se”. 
 
COORDENADAS DE UM VETOR 
 
 Seja B = {
n21 v,...,v,v
} uma base de um espaço vetorial V.
v
 V,
nn2211 va...vavav 
. Os reais 
n21 a,...,a,a
 são chamados de componentes ou 
coordenadas de 
v
 na base B e se representa por 
)a,...,a,a(v n21B 
. 
Notação matricial:















n
2
1
B
a
:
a
a
v . 
 
 
MUDANÇA DE BASE 
 
 Da relação acima, 
ABv 1B

vA e 
BAv 1A

vB , onde: 
 
 -
A1B
 é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por 
A
BM
. 
 -
BA 1
 é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por 
B
AM
. 
 
 
 
VETORES ORTOGONAIS 
 
 Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v=0 . 
 u

v 

u.v = 0 
 3 
 
BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL 
 
 Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois 
ortogonais. 
 Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores 
são unitários. 
 B é ortogonal : vi.vj = 0 para i

j. 
 B é ortonormal : vi.vj =0 para i

j e vi.vj = 1 para i=j. 
 
 
 
PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT 
 
 O processo de Gram-Schmidt que nos possibilita construir uma base ortogonal 
B={u1,u2,...,un} de um espaço vetorial V a partir de uma base qualquer A={v1,v2,...,vn} de V, 
consiste no seguinte: 
 Considera-se u1 = v1 e ui = vi - 
1i
1i1i
1ii
1
11
1i u.
u.u
u.v
....u.
u.u
u.v



















, para i=2,...,n. 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO LINEAR 
 
 Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função T de V em W é chamada transformação linear 
(TL) , se 
 i) T(u+v) = T(u) + T(v) , 
Vv,u 
 
 ii) T(

u) = 

T(u), 

e 
Vu
 
 No caso de V = W, T é chamada operador linear sobre V. 
 
 
MATRIZ ORTOGONAL 
 
 Uma matriz quadrada A é ortogonal se A-1 = At 
 
 
PROPRIEDADES 
 
 a) Se A é uma matriz ortogonal então detA = 
1
. 
 
 b) Se A é uma matriz ortogonal e det A = 1 então A é uma matriz rotação. 
 
 c) Uma matriz A é ortogonal sse as colunas(ou linhas) de A são vetores ortonormais. 
 4 
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER 
 
Sejam T:V

W uma TL, A=
 n21 v,...v,v
uma base de V e B={w1,w2,...wm} uma base 
de W. Como T(v1),T(v2),...T(vn)

W, podemos escrever: 
 
T(v1)=a11w1+a21w2+ . . . +am1wm

T(v1)B= (a11,a21, . . . am1) 
 
T(v2)=a12w1+a22w2+ . . . +am2wm

T(v2)B= (a12,a22, . . . am2) 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
T(vn)=a1nw1+a2nw2+ . . . +amnwm

T(vn)B= (a1n,a2n, . . . amn) 
 
 A matriz que representa a TL T em relação as bases A e B é 
 
 















mnmm
n
n
A
B
aaa
aaa
aaa
T


21
22221
11211
...
...
][ 
 
 T(vn)B 
 T(v2)B 
 T(v1)B 
 
 A matriz 
A
BT ][
 é tal que T(v)B=
A
BT ][
.vA 
 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS 
 
 
 T(v) = 

v 

 A.v = 

v 
 A.v - 

v = 0 
 A.v - 

I.v = 0 
 (A - 

I).v = 0 
 O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v
0
, se det(A - 

I) = 0. 
 A equação é chamada “equação característica de T ” e suas raízes são os valores 
próprios de T. 
 
 
 
 
 
 
 5 
DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES 
 
 
 Seja o operador linear T:V

V com dim V = n. Se os valores próprios de T são distintos, 
o conjunto P, formado pelos correspondentes vetores próprios é LI, e portanto, P é uma 
base de V. 
 Sejam 

1, 

2,..., 

n os valores próprios de T e P=
 n21 v,...v,v
 a base dos vetores 
próprios correspondentes. Então, podemos escrever: 
 
 T(v1) = 

1v1 =

1v1 + 0.v2 + . . . + 0.vn 

T(v1)P = (

1,0, . . .,0) 
 T(v2) = 

2v2 = 0.v1 + 

2v2 + . . . + 0.vn

T(v2)P = (0,

2,. . . ,0) 
 . . . . . . . 
 . . . . . . . 
 . . . . . . . 
 T(vn) = 

nvn = 0.v1 + 0.v2 + . . . +

nvn 

T(vn)P = (0,0, . . .,

n) 
 Logo, a matriz que representa T em relação a base P é 














n
PT





00
0...0
0...0
][
1
2
1
 = D 
 A matriz D é tal que T(v)P =D.vP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sejam T:V

V um operador linear , D a matriz diagonal que representa T na base P dos 
vetores próprios 
 e A a matriz que representa T na base canônica C. 
 
 As matrizes [T]P = D e [T]C = A são semelhantes. 
 
 De relação entre matrizes semelhantes, [T]P = Q-1 .[T]C . Q com Q = 
M
P
C
= C-1.P = P. 
 
 
 
 Logo, D = P-1.A.P 
 
 6 
 
 
 Seja A uma matriz simétrica com valores próprios distintos. A matriz P formada pelos 
vetores próprios unitários é ortogonal, isto é , P-1 = Pt . Nesse caso, dizemos que P 
diagonaliza A ortogonalmente e D =PtAP.