álgebra exercícios + resolução

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Exercícios de Álgebra Linear
Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente
Mestrado Integrado em Engenharia Biológica
Nuno Martins
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
Setembro de 2010
1
Índice
� 1a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares).................3
� Resolução da 1a �cha de exercícios...........................................................................................5
� 2a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes)................................................17
� Resolução da 2a �cha de exercícios.........................................................................................19
� 3a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante)........................................34
� Resolução da 3a �cha de exercícios.........................................................................................38
� 4a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares)....................................46
� Resolução da 4a �cha de exercícios.........................................................................................54
� 5a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Transformações lineares).......................118
� Resolução da 5a �cha de exercícios........................................................................................126
� 6a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Valores próprios e vectores próprios)....179
� Resolução da 6a �cha de exercícios........................................................................................183
� 7a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Produtos internos e ortogonalização)....212
� Resolução da 7a �cha de exercícios........................................................................................216
� 1a Ficha de exercícios facultativos.........................................................................................247
� Resolução da 1a Ficha de exercícios facultativos...................................................................249
� 2a Ficha de exercícios facultativos.........................................................................................254
� Resolução da 2a Ficha de exercícios facultativos...................................................................256
� 3a Ficha de exercícios facultativos.........................................................................................266
� Resolução da 3a Ficha de exercícios facultativos...................................................................267
� 4a Ficha de exercícios facultativos.........................................................................................272
� Resolução da 4a Ficha de exercícios facultativos...................................................................273
2
1a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Sistemas de equações lineares)
1. Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z ?
(a) �3x+
p
3y + z = 1 (b)
1
2
x+ z = 0 (c) x�1 + 3y � z = 2 (d) x� yz = 1
2. Diga qual dos seguintes pontos: (0; 0) ; (1; 1) ; (1;�1) ; (�1; 1) é a solução do seguinte sistema de
equações lineares nas variáveis x; y. 8<:
x+ y = 0
x� 2y = 3
x� y = 2.
3. Diga quais dos seguintes pontos: (0; 0; 0; 0) ; (1;�1; 1; 0) ; (1;�1; 1; 2) ;
�
3;�9; 7;
3
p
�
2
�
são soluções
do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w.�
x� 2y � 3z = 0
x+ y + z = 1.
4. Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos
químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação.
(a) xC3H8 + yO2 ! zCO2 + wH2O (b) xCO2+yH2O! zC6H12O6 + wO2
5. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss.
(a)
�
2x+ 3y = 1
5x+ 7y = 3
(b)
�
2x+ 4y = 10
3x+ 6y = 15
(c)
�
4x� 2y = 5
�6x+ 3y = 1
(d)
8<:
2x+ y � 3z = 5
3x� 2y + 2z = 5
5x� 3y � z = 16
(e)
8<:
2x+ 3y � 2z = 5
x� 2y + 3z = 2
4x� y + 4z = 1
(f)
8<:
x+ 2y + 3z = 3
2x+ 3y + 8z = 4
3x+ 2y + 17z = 1
(g)
8<:
2x+ 3y = 3
x� 2y = 5
3x+ 2y = 7
(h)
8<:
x+ 2y � z + 3w = 3
2x+ 4y + 4z + 3w = 9
3x+ 6y � z + 8w = 10
(i)
8<:
x+ 5y + 4z � 13w = 3
3x� y + 2z + 5w = 2
2x+ 2y + 3z � 4w = 1
(j)
8>><>>:
2x3 + 3x4 = 4
2x1 � 6x3 + 9x4 = 7
2x1 + 2x2 � 5x3 + 2x4 = 4
100x2 + 150x3 � 200x4 = 50
(k)
8<:
x� 2y + 3z � w = 1
3x� y + 2z + 5w = 2
�3x+ 6y � 9z + 3w = �6
6. Discuta em função do parâmetro real � os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y
e z) quanto à existência ou não de solução (isto é, determine os valores (reais) de � para os quais
os seguintes sistemas de equações lineares: (i) tenham solução única, (ii) não tenham solução, (iii)
tenham mais do que uma solução.) Nos casos em que existirem soluções, determine-as.
3
(a)
8<:
�x+ y + z = 1
x+ �y + z = 1
x+ y + �z = 1
(b)
�
x+ 2y + �z = 1
2x+ �y + 8z = 3
(c)
8<:
x+ y + �z = 2
3x+ 4y + 2z = �
2x+ 3y � z = 1
(d)
8<:
�x + y + z = 1
x+ �y + z = �
x+ y + �z = �2
(e)
8<:
�x+ y + �z = 1
2x+ �y � 2�z = �
��x+ �y + z = �1 + 2�
7. Discuta a existência ou não de solução dos seguintes sistemas de equações lineares em termos dos
parâmetros reais � e �. Nos casos em que existirem soluções, determine-as.
(a)
8<:
x+ 4y + 3z = 10
2x+ 7y � 2z = 10
x+ 5y + �z = �
(b)
8>><>>:
2z + �w = �
x+ y + z + 3w = 1
2x+ 2y + z + w = 2
x+ y + 3z + 14w = 4
(c)
8<:
�x+ y � z + �w = 0
x� 2y + 2z + w = 1
x� y + z + (�+ 1)w = �
8. Determine as condições a que a; b e c devem obedecer de forma a que os seguintes sistemas de equações
lineares tenham solução:
(a)
8<:
x+ 2y � 3z = a
3x� y + 2z = b
x� 5y + 8z = c
(b)
8<:
x� 2y + 4z = a
2x+ 3y � z = b
3x+ y + 2z = c
9. Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja:
(a) S = f(1 + t; 1� t) : t 2 Rg
(b) S = f(t; 1� 2t; 1) : t 2 Rg
(c) S = f(3t; 2t; t) : t 2 Rg
(d) S = f(3t� s; t+ 2s� 1; s� 2t+ 1) : s; t 2 Rg
(e) S = f(2t� 3s; t+ s� 1; 2s+ 1; t� 1) : s; t 2 Rg
(f) S = f(1� s; s� t; 2s; t� 1) : s; t 2 Rg
(g) S = ?
10. (i) Determine os coe�cientes a; b; c e d da função polinomial
p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d;
cujo grá�co passa pelos pontos P1 = (0; 10); P2 = (1; 7); P3 = (3;�11) e P4 = (4;�14).
(ii) Determine os coe�cientes a; b e c da equação da circunferência
x2 + y2 + ax+ by + c = 0;
que passa pelos pontos P1 = (�2; 7); P2 = (�4; 5) e P3 = (4;�3).
4
Resolução da 1a Ficha de exercícios
1. As equações das alíneas (a) e (b) são lineares.
2. O ponto (1;�1) é a solução desse sistema de equações lineares.
3. Os pontos: (1;�1; 1; 0) ; (1;�1; 1; 2) ;
�
3;�9; 7;
3
p
�
2
�
são soluções desse sistema de equações lineares.
4 (a)
Tem-se
8<:
3x� z = 0
2y � 2z � w = 0
8x� 2w = 0
e assim,
24 3 0 �1 0 j 00 2 �2 �1 j 0
8 0 0 �2 j 0
35 �!
� 8
3
L1+L2!L2
24 3 0 �1 0 j 00 2 �2 �1 j 0
0 0 8
3
�2 j 0
35.
Logo,
8<:
3x� z = 0
2y � 2z � w = 0
8
3
z � 2w = 0.
,
8>>>><>>>>:
x = 1
4
w
y = 5
4
w
z = 3
4
w.
A solução geral do sistema é: X =
2664
x
y
z
w
3775 =
2666666664
1
4
s
5
4
s
3
4
s
s
3777777775
, para qualquer s 2 R, isto é, o conjunto solução é
dado por: S =
��
1
4
s; 5
4
s; 3
4
s; s
�
: s 2 R
	
.
Para s = 4, tem-se a seguinte solução da equação química: x = 1; y = 5; z = 3; w = 4:
(b) Tem-se
8<:
x� 6z = 0
2x+ y � 6z � 2w = 0
2y � 12z = 0
e assim,
24 1 0 �6 0 j 02 1 �6 �2 j 0
0 2 �12 0 j 0
35 �!
�2L1+L2!L2
24 1 0 �6 0 j 00 1 6 �2 j 0
0 2 �12 0 j 0
35 �!
�2L2+L3!L3
24 1 0 �6 0 j 00 1 6 �2 j 0
0 0 �24 4 j 0
35 :
Logo,
8<:
x� 6z = 0
y + 6z � 2w = 0
�24z + 4w = 0.
,
8<:
x = w
y = w
z = 1
6
w.
A solução geral do sistema é S =
��
s; s; 1
6
s; s
�
: s 2 R
	
.
Para s = 6, tem-se a seguinte solução para a equação química: x = 6; y = 6; z = 1; w = 6:
5
5. (a)
�
2 3 j 1
5 7 j 3
�
�!
� 5
2
L1+L2!L2
�
2 3 j 1
0 �1
2
j 1
2
�
. Logo,
�
2x+ 3y = 1
�1
2
y = 1
2
,
�
x = 2
y = �1.
A solução geral do sistema é S = f(2;�1)g.
(b)
�
2 4 j 10
3 6 j 15
�
�!
� 3
2
L1+L2!L2
�
2 4 j 10
0 0 j 0
�
. Logo, 2x+ 4y = 10, x = 5�2y.
A solução geral do sistema é S = f(5� 2s; s) : s 2 Rg.
(c)
�
4 �2 j 5
�6 3 j 1
�
�!
3
2
L1+L2!L2
�
4 �2 j 5
0 0 j 17
2
�
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível).
S = ?.
(d)
24 2 1 �3 j 53 �2 2 j 5
5 �3 �1 j 16
35 �!
� 3
2
L1+L2!L2
� 5
2
L1+L3!L3
24 2 1 �3 j 50 �7=2 13=2 j �5=2
0 �11=2 13=2 j 7=2
35 �!
� 11
7
L2+L3!L3
�!
� 11
7
L2+L3!L3
24 2 1 �3 j 50 �7=2 13=2 j �5=2
0 0 �26=7 j 52=7
35.
Logo,
8<:
2x+ y � 3z = 5
�7
2
y + 13
2
z = �5
2
�26
7
z = 52
7
,
8<:
x = 1
y = �3
z = �2.
A solução geral do sistema é S = f(1;�3;�2)g.
(e)
24 2 3 �2 j 51 �2 3 j 2
4 �1 4 j 1
35 �!
� 1
2
L1+L2!L2
�2L1+L3!L3
24 2 3 �2 j 50 �7=2 4 j �1=2
0 �7 8 j �9
35 �!
�2L2+L3!L3
24 2 3 �2 j 50 �7=2 4 j �1=2
0 0 0 j �8
35.
Logo, o sistema não tem solução (é impossível). S = ?.
(f)
24 1 2 3 j 32 3 8 j 4
3 2 17 j 1
35 �!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 2 3 j 30 �1 2 j �2
0 �4 8 j �8
35 �!
�4L2+L3!L3
24 1 2 3 j 30 �1 2 j �2
0 0 0 j 0
35.
Logo,
�
x+ 2y + 3z = 3
�y + 2z = �2 ,
�
x = �7z � 1
y = 2z + 2.
A solução geral do sistema é S = f(�7s� 1; 2s+ 2; s) : s 2 Rg.
6
(g)
24 2 3 j 31 �2 j 5
3 2 j 7
35 �!
L1$L2
24 1 �2 j 52 3 j 3
3 2 j 7
35 �!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 �2 j 50 7 j �7
0 8 j �8
35 �!
� 8
7
L2+L3!L3
24 1 �2 j 50 7 j �7
0 0 j 0
35.
Logo,
�
x� 2y = 5
7y = �7 ,
�
x = 3
y = �1. A solução geral do sistema é S = f(3;�1)g.
(h)
24 1 2 �1 3 j 32 4 4 3 j 9
3 6 �1 8 j 10
35 �!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 2 �1 3 j 30 0 6 �3 j 3
0 0 2 �1 j 1
35 �!
� 1
3
L2+L3!L3
24 1 2 �1 3 j 30 0 6 �3 j 3
0 0 0 0 j 0
35.
Logo,
�
x+ 2y � z + 3w = 3
6z � 3w = 3 ,
�
x = �2y � 5
2
w + 7
2
z = 1
2
w + 1
2
.
A solução geral do sistema é S =
��
�2s� 5
2
t+ 7
2
; s; 1
2
t+ 1
2
; t
�
: s; t 2 R
	
.
(i)
24 1 5 4 �13 j 33 �1 2 5 j 2
2 2 3 �4 j 1
35 �!
�3L1+L2!L2
�2L1+L3!L3
24 1 5 4 �13 j 30 �16 �10 44 j �7
0 �8 �5 22 j �5
35 �!
� 1
2
L2+L3!L3
�!
� 1
2
L2+L3!L3
24 1 5 4 �13 j 30 �16 �10 44 j �7
0 0 0 0 j �3
2
35.
Logo, o sistema não tem solução (é impossível). S = ?.
(j)
2664
0 0 2 3 j 4
2 0 �6 9 j 7
2 2 �5 2 j 4
0 100 150 �200 j 50
3775 �!L1$L3
1
50
L4!L4
2664
2 2 �5 2 j 4
2 0 �6 9 j 7
0 0 2 3 j 4
0 2 3 �4 j 1
3775 �!�L1+L2!L2
�!
�L1+L2!L2
2664
2 2 �5 2 j 4
0 �2 �1 7 j 3
0 0 2 3 j 4
0 2 3 �4 j 1
3775 �!L2+L4!L4
2664
2 2 �5 2 j 4
0 �2 �1 7 j 3
0 0 2 3 j 4
0 0 2 3 j 4
3775 �!�L3+L4!L4
�!
�L3+L4!L4
2664
2 2 �5 2 j 4
0 �2 �1 7 j 3
0 0 2 3 j 4
0 0 0 0 j 0
3775.
Logo,
8<:
2x1 + 2x2 � 5x3 + 2x4 = 4
�2x2 � x3 + 7x4 = 3
2x3 + 3x4 = 4
,
8>>>><>>>>:
x1 =
19
2
� 9x4
x2 =
17
4
x4 � 52
x3 = �32x4 + 2
7
A solução geral do sistema é dada por S =
��
19
2
� 9s; 17
4
s� 5
2
;�3
2
s+ 2; s
�
: s 2 R
	
.
(k)
24 1 �2 3 �1 j 13 �1 2 5 j 2
�3 6 �9 3 j �6
35 �!
�3L1+L2!L2
3L1+L3!L3
24 1 �2 3 �1 j 10 5 �7 8 j �1
0 0 0 0 j �3
35.
Logo, o sistema não tem solução (é impossível). S = ?.
6. (a) Sejam A� =
24 � 1 11 � 1
1 1 �
35 e B =
24 11
1
35.
[A� j B] =
24 � 1 1 j 11 � 1 j 1
1 1 � j 1
35 �!
L1$L3
24 1 1 � j 11 � 1 j 1
� 1 1 j 1
35 �!
�L1+L2!L2
��L1+L3!L3
�!
�L1+L2!L2
��L1+L3!L3
24 1 1 � j 10 �� 1 1� � j 0
0 1� � 1� �2 j 1� �
35 �!
L2+L3!L3
24 1 1 � j 10 �� 1 1� � j 0
0 0 (1� �) (�+ 2) j 1� �
35.
Se � = 1 então carA� = car [A� j B] = 1 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema
é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A solução geral deste sistema é então dada por
S� = f(1� s� t; s; t) : s; t 2 Rg.
Se � = �2 então carA�| {z }
=2
< car [A� j B]| {z }
=3
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível). S� = ?.
Se � 6= 1 e � 6= �2 então carA� = car [A� j B] = 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é
possível e determinado, tendo-se8<:
x+ y + �z = 1
(�� 1) y + (1� �) z = 0
(1� �) (�+ 2) z = 1� �
,
8<:
x = 1= (�+ 2)
y = 1= (�+ 2)
z = 1= (�+ 2) .
A solução geral do sistema é então dada por S� =
��
1
�+ 2
;
1
�+ 2
;
1
�+ 2
��
.
(b) Sejam A� =
�
1 2 �
2 � 8
�
e B =
�
1
3
�
.
[A� j B] =
�
1 2 � j 1
2 � 8 j 3
�
�!
�2L1+L2!L2
�
1 2 � j 1
0 �� 4 8� 2� j 1
�
.
8
Se � 6= 4 então carA� = car [A� j B] = 2 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é possível
e indeterminado, tendo-se
�
x+ 2y + �z = 1
(�� 4) y + (8� 2�) z = 1 ,
8>>><>>>:
x = 1� 2
�� 4 � (�+ 4) z
y =
1
�� 4 + 2z.
A solução geral deste sistema é então dada por S� =
��
1� 2
�� 4 � (�+ 4) s;
1
�� 4 + 2s; s
�
: s 2 R
�
.
Se � = 4 então carA�| {z }
=1
< car [A� j B]| {z }
=2
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível). S� = ?.
(c) Sejam A� =
24 1 1 �3 4 2
2 3 �1
35 e B� =
24 2�
1
35. [A� j B�] =
24 1 1 � j 23 4 2 j �
2 3 �1 j 1
35 �!
�3L1+L2!L2
�2L1+L3!L3
�!
�3L1+L2!L2
�2L1+L3!L3
24 1 1 � j 20 1 2� 3� j �� 6
0 1 �1� 2� j �3
35 �!
�L2+L3!L3
24 1 1 � j 20 1 2� 3� j �� 6
0 0 �3 + � j 3� �
35.
Se � = 3 então carA� = car [A� j B�] = 2 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é possível
e indeterminado, tendo-se �
x+ y + 3z = 2
y � 7z = �3 ,
8<:
x = 5� 10z
y = �3 + 7z.
A solução geral deste sistema é então dada por S� = f(8� �+ (2� 4�) s; �� 6 + (3�� 2) s; s) : s 2 Rg.
Se � 6= 3 então carA� = car [A� j B�] = 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é possível e
determinado, tendo-se 8<:
x+ y + �z = 2
y + (2� 3�) z = �� 6
(�3 + �) z = 3� �
,
8<:
x = 6 + 3�
y = �4� 2�
z = �1.
A solução geral do sistema é então dada por S� = f(6 + 3�;�4� 2�;�1)g.
(d) Sejam A� =
24 � 1 11 � 1
1 1 �
35 e B� =
24 1�
�2
35. [A� j B�] =
24 � 1 1 j 11 � 1 j �
1 1 � j �2
35 �!
L1$L3
�!
L1$L3
24 1 1 � j �21 � 1 j �
� 1 1 j 1
35 �!
�L1+L2!L2
��L1+L3!L3
24 1 1 � j �20 �� 1 1� � j �� �2
0 1� � 1� �2 j 1� �3
35 �!
L2+L3!L3
9
�!
L2+L3!L3
24 1 1 � j �20 �� 1 1� � j � (1� �)
0 0 (1� �) (�+ 2) j (1 + �) (1� �2)
35.
Se � = 1 então carA� = car [A� j B�] = 1 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema
é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z = 1. A solução geral deste sistema é então dada por
S� = f(1� s� t; s; t) : s; t 2 Rg.
Se � = �2 então carA�| {z }
=2
< car [A� j B�]| {z }
=3
. O sistema não tem solução (é impossível). S� = ?.
Se � 6= 1 e � 6= �2 então carA� = car [A� j B�] = 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é
possível e determinado, tendo-se8<:
x+ y + �z = �2
(�� 1) y + (1� �) z = � (1� �)
(1� �) (�+ 2) z = (1 + �) (1� �2)
,
8<:
x = � (�+ 1) = (�+ 2)
y = 1= (�+ 2)
z = (1 + �)2 = (�+ 2) .
A solução geral do sistema é então dada por S� =
( 
��+ 1
�+ 2
;
1
�+ 2
;
(1 + �)2
�+ 2
!)
.
(e)
8<:
�x+ y + �z = 1
2x+ �y � 2�z = �
��x+ �y + z = �1 + 2�
Sejam A� =
24 �1 1 �2 � �2�
�� � 1
35 e B =
24 1�
�1 + 2�
35.
[A� j B] =
24 �1 1 � j 12 � �2� j �
�� � 1 j �1 + 2�
35 �!
2L1+L2!L2
��L1+L3!L3
24 �1 1 � j 10 �+ 2 0 j �+ 2
0 0 (1� �) (1 + �) j �1 + �
35 :
Se � = 1 então carA� = car [A� j B] = 2 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é possível
e indeterminado, tendo-se �
�x+ y + z = 1
3y = 3:
,
�
x = z
y = 1:
A solução geral deste sistema é então dada por
S1 = f(s; 1; s) : s 2 Rg :
Se � = �2 então então carA� = car [A� j B] = 2 < 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema
é possível e indeterminado, tendo-se�
�x+ y � 2z = 1
�3z = �3: ,
�
x = y � 3
z = 1:
A solução geral deste sistema é então dada por
S�2 = f(s� 3; s; 1) : s 2 Rg :
10
Se � = �1 então carA�| {z }
=2
< car [A� j B]| {z }
=3
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível).
S�1 = ?:
Se � 6= 1 e � 6= �1 e � 6= �2 então carA� = car [A� j B] = 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o
sistema é possível e determinado, tendo-se8<:
�x+ y + �z = 1
(�+ 2) y = �+ 2
(1� �) (1 + �) z = �1 + �
,
8<:
x = ��= (�+ 1)
y = 1
z = �1= (�+ 1) .
A solução geral do sistema é então dada por
S� =
��
� �
�+ 1
; 1;� 1
�+ 1
��
:
7. (a) Sejam A� =
24 1 4 32 7 �2
1 5 �
35 e B� =
24 1010
�
35. [A� j B�] =
24 1 4 3 j 102 7 �2 j 10
1 5 � j �
35 �!
�2L1+L2!L2
�L1+L3!L3
�!
�2L1+L2!L2
�L1+L3!L3
24 1 4 3 j 100 �1 �8 j �10
0 1 �� 3 j � � 10
35 �!
L2+L3!L3
24 1 4 3 j 100 �1 �8 j �10
0 0 �� 11 j � � 20
35.
Se � = 11 e � = 20 então carA� = car [A� j B�] = 2 < 3 = no de incógnitas do sistema.
Logo o sistemaé possível e indeterminado, tendo-se�
x+ 4y + 3z = 10
�y � 8z = �10 ,
�
x = �30 + 29z
y = 10� 8z.
A solução geral deste sistema é então dada por S�;� = f(�30 + 29s; 10� 8s; s) : s 2 Rg.
Se � = 11 e � 6= �20 então carA�| {z }
=2
< car [A� j B�]| {z }
=3
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível).
S�;� = ?.
Se � 6= 11 então carA� = car [A� j B�] = 3 = no de incógnitas do sistema. Logo o sistema é possível e
determinado, tendo-se8<:
x+ 4y + 3z = 10
�y � 8z = �10
(�� 11) z = � � 20
,
8<:
x = � (30�� 29� + 250) = (�� 11)
y = (10�� 8� + 50) = (�� 11)
z = (� � 20) = (�� 11) .
A solução geral do sistema é então dada por S�;� =
��
�30�� 29� + 250
�� 11 ;
10�� 8� + 50
�� 11 ;
� � 20
�� 11
��
.
11
(b) Sejam A� =
2664
0 0 2 �
1 1 1 3
2 2 1 1
1 1 3 14
3775 e B� =
2664
�
1
2
4
3775 : [A� j B�] =
2664
0 0 2 � j �
1 1 1 3 j 1
2 2 1 1 j 2
1 1 3 14 j 4
3775 �!L1$L3
�!
L1$L3
2664
2 2 1 1 j 2
1 1 1 3 j 1
0 0 2 � j �
1 1 3 14 j 4
3775 �!L1$L2
2664
1 1 1 3 j 1
2 2 1 1 j 2
0 0 2 � j �
1 1 3 14 j 4
3775 �!�2L1+L2!L2
�L1+L4!L4
�!
�2L1+L2!L2
�L1+L4!L4
2664
1 1 1 3 j 1
0 0 �1 �5 j 0
0 0 2 � j �
0 0 2 11 j 3
3775 �!2L2+L3!L3
2L2+L4!L4
2664
1 1 1 3 j 1
0 0 �1 �5 j 0
0 0 0 �� 10 j �
0 0 0 1 j 3
3775 �!L1$L2
�!
L1$L2
2664
1 1 1 3 j 1
0 0 �1 �5 j 0
0 0 0 1 j 3
0 0 0 �� 10 j �
3775 �!�(��10)L3+L4!L4
2664
1 1 1 3 j 1
0 0 �1 �5 j 0
0 0 0 1 j 3
0 0 0 0 j �3 (�� 10) + �
3775.
Se � = 3 (�� 10) então carA� = car [A� j B�] = 3 < 4 = no de incógnitas do sistema.
Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se8<:
x+ y + z + 3w = 1
�z � 5w = 0
w = 3
,
8<:
x = 7� y
z = �15
w = 3.
:
A solução geral deste sistema é então dada por S�;� = f(7� s; s;�15; 3) : s 2 Rg.
Se � 6= 3 (�� 10) então carA�| {z }
=3
< car [A� j B�]| {z }
=4
. Logo, o sistema não tem solução (é impossível).
S�;� = ?.
(c) SejamA� =
24 � 1 �1 �1 �2 2 1
1 �1 1 �+ 1
35 eB� =
24 01
�
35 : [A� j B�] =
24 � 1 �1 � j 01 �2 2 1 j 1
1 �1 1 �+ 1 j �
35 �!
L1$L3
�!
L1$L3
24 1 �1 1 �+ 1 j �1 �2 2 1 j 1
� 1 �1 � j 0
35 �!
�L1+L2!L2
��L1+L3!L3
24 1 �1 1 �+ 1 j �0 �1 1 �� j 1� �
0 �+ 1 ��� 1 ��2 j ���
35 �!
(�+1)L2+L3!L3
�!
(�+1)L2+L3!L3
24 1 �1 1 �+ 1 j �0 �1 1 �� j 1� �
0 0 0 (�2�� 1)� j �� 2�� + 1� �
35.
Se � 6= 0 e � 6= �1
2
então carA� = car [A� j B�] = 3 < 4 = no de incógnitas do sistema.
Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se
12
8<:
x� y + z + (�+ 1)w = �
�y + z � �w = 1� �
(�2�� 1)�w = �+ 1 + (�2�� 1) �
,
8><>:
x = � �+1
2�+1
� 1� (�+1)
2
(�2��1)� �
�
�
y = z � �+1
2�+1
� 1
w = �+1
(�2��1)� +
�
�
.
A solução geral do sistema é então dada por
S�;� =
( 
� �+ 1
2�+ 1
� 1� (�+ 1)
2
(�2�� 1)� �
�
�
; s� �+ 1
2�+ 1
� 1; s; �+ 1
(�2�� 1)� +
�
�
!)
:
Se � = 0 e � = 1 então carA� = car [A� j B�] = 2 < 4 = no de incógnitas do sistema.
Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se�
x� y + z + w = 1
�y + z = 0 ,
�
x = 1� w
y = z.
A solução geral deste sistema é então dada por S�;� = f(1� s; t; t; s) : s; t 2 Rg.
Se (� = 0 e � 6= 1) ou � = �1
2
então carA�| {z }
=2
< car [A� j B�]| {z }
=3
. Logo, o sistema não tem solução (é
impossível). S�;� = ?.
8. (a) Sejam A =
24 1 2 �33 �1 2
1 �5 8
35 e Ba;b;c =
24 ab
c
35 : [A j Ba;b;c] =
24 1 2 �3 j a3 �1 2 j b
1 �5 8 j c
35 �!
�3L1+L2!L2
�L1+L3!L3
�!
�3L1+L2!L2
�L1+L3!L3
24 1 2 �3 j a0 �7 11 j b� 3a
0 �7 11 j c� a
35 �!
�L2+L3!L3
24 1 2 �3 j a0 �7 11 j b� 3a
0 0 0 j c� b+ 2a
35.
Para que haja solução é necessário que carA = car [A j Ba;b;c], isto é, é necessário que
c� b+ 2a = 0:
(b) Sejam A =
24 1 �2 42 3 �1
3 1 2
35 e Ba;b;c =
24 ab
c
35 : [A j Ba;b;c] =
24 1 �2 4 j a2 3 �1 j b
3 1 2 j c
35 �!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
�!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 �2 4 j a0 7 �9 j b� 2a
0 7 �10 j c� 3a
35 �!
�L2+L3!L3
24 1 �2 4 j a0 7 �9 j b� 2a
0 0 �1 j c� b� a
35.
Como carA = car [A j Ba;b;c], este sistema tem solução para quaisquer valores de a; b; c.
13
9. (a) Sejam x = 1 + t e y = 1� t. Logo
x+ y = 2:
(b) Sejam x = t, y = 1� 2t e z = 1. Tem-se então o seguinte sistema:8<:
2x+ y = 1
z = 1.
(c) Sejam x = 3t, y = 2t e z = t. Tem-se então o seguinte sistema:8<:
x� 3z = 0
y � 2z = 0.
(d) Sejam x = 3t� s, y = t+ 2s� 1 e z = s� 2t+ 1. Logo s = 3t� x e assim
y = t+ 2 (3t� x)� 1 = 7t� 2x� 1, t = y + 2x+ 1
7
:
Deste modo:
s = 3
y + 2x+ 1
7
� x = 3y � x+ 3
7
Com
s =
3y � x+ 3
7
e t =
y + 2x+ 1
7
Tem-se então a seguinte equação linear:
z = s� 2t+ 1 = 3y � x+ 3
7
� 2y + 2x+ 1
7
+ 1.
Isto é:
5x� y + 7z = 8.
(e) Sejam x = 2t� 3s, y = t+ s� 1, z = 2s+ 1 e w = t� 1. Logo t = w + 1 e s = z � 1
2
. Assim:8>>><>>>:
x = 2 (w + 1)� 3z � 1
2
y = w + 1 +
z � 1
2
� 1.
14
Deste modo, obtém-se o sistema de equações lineares:8<:
2x+ 3z � 4w = 7
2y � z � 2w = �1.
(f) Seja S = f(1� s; s� t; 2s; t� 1) : s; t 2 Rg.
Sejam x = 1� s, y = s� t, z = 2s, w = t� 1. Uma vez que s = 1� x e t = w+ 1, tem-se então
o seguinte sistema linear não homogéneo�
y = 1� x� (w + 1)
z = 2 (1� x) ,
�
x+ y + w = 0
2x+ z = 2
(g) Por exemplo: 8<:
x+ y = 1
x+ y = 0.
10. (i) Para que o grá�co da função polinomial p(x) = ax3 + bx2 + cx + d passe pelos pontos P1 =
(0; 10); P2 = (1; 7); P3 = (3;�11) e P4 = (4;�14), é necessário que8>><>>:
p(0) = 10
p(1) = 7
p(3) = �11
p(4) = �14.
O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b; c e d:8>><>>:
d = 10
a+ b+ c+ d = 7
27a+ 9b+ 3c+ d = �11
64a+ 16b+ 4c+ d = �14.
Ou seja: 8>><>>:
d = 10
a+ b+ c = �3
27a+ 9b+ 3c = �21
16a+ 4b+ c = �6.
Atendendo a que: 24 1 1 1 j �327 9 3 j �21
16 4 1 j �6
35 �!
�27L1+L2!L2
�16L1+L3!L3
24 1 1 1 j �30 �18 �24 j 60
0 �12 �15 j 42
35 �!
1
6
L2!L2
15
�!
1
6
L2!L2
24 1 1 1 j �30 �3 �4 j 10
0 �12 �15 j 42
35 �!
�4L2+L3!L3
24 1 1 1 j �30 �3 �4 j 10
0 0 1 j 2
35 ;
tem-se 8>><>>:
a = 1
b = �6
c = 2
d = 10.
(ii) Para que os pontos P1 = (�2; 7); P2 = (�4; 5) e P3 = (4;�3) pertençam à circunferência de equação
x2 + y2 + ax+ by + c = 0; é necessário que8<:
(�2)2 + 72 + a (�2) + 7b+ c = 0
(�4)2 + 52 + a (�4) + 5b+ c = 0
42 + (�3)2 + 4a+ b (�3) + c = 0.
O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b e c:8<:
�2a+ 7b+ c = �53
�4a+ 5b+ c = �41
4a� 3b+ c = �25.
Atendendo a que:
24 �2 7 1 j �53�4 5 1 j �41
4 �3 1 j �25
35 �!
�2L1+L2!L2
2L1+L3!L3
24 �2 7 1 j �530 �9 �1 j 65
0 11 3 j �131
35 �!
11
9
L2+L3!L3
24 �2 7 1 j �530 �9 �1 j 65
0 0 16=9 j �464=9
35 ;
tem-se 8<:
a = �2
b = �4
c = �29.
16
2a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Matrizes)
1. Efectue, sempre que possível, as seguintes operações.
(i)
�
�1
3
2
� � 3
� �
�
(ii)
�
0 1
�
+
�
1
0
�
(iii)
�
3
2
�2
1 �1
� �
�1
3
2 4
�3
p
5 1
2
�
(iv) 2
�
1 0
3 �1
2
�
� 1
3
�
0 �6
�2 3
�
(v)
�
1
�3
� �
0 �2
1 �1
�
(vi)
�
�2
p
3 4
� � 0
�1
�
(vii)
� p
2
�3
� �
4 �1
2
2
�
(viii)
0@24 2�1
4
1
35 2 � p2 �3 �
1AT
(ix)
0BBBB@2
24 13 0 12
�1
3
�1
2
�1
35T 24 1 0 12
�1
3
�1
2
�1
35�
266664
8
9
1
3
1
1
3
1
2
1
5
3
1 5
2
377775
1CCCCA
T
(x)
24 1 �12 0 �20 �1 �1
4
0
6 2 5 1
35T 24 1 0�2 4
�1
3
�3
35 (xi)
24 1 0�2 4
�1
3
�3
35T 24 1 �12 0 �20 �1 �1
4
0
6 2 5 1
35
2. Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi�cando os respectivos
pivots.
(i)
24 0 00 0
0 0
35 (ii)
24 1 2 30 1 1
1 2 3
35 (iii)
24 2 12 4
�1 �2
35 (iv)
24 1 2 3 45 6 7 8
9 10 11 12
35
(v)
24 0 1 �1 11 �1 1 0
1 1 2 �1
35 (vi)
2664
1 2 �1 3 2
�1 1 3 �2 �1
2 7 �1 9 8
3 3 �2 4 �6
3775 (vii)
2664
1 3 �1 2
0 11 �5 3
2 �5 3 1
4 1 1 5
3775
(viii)
�
5 �1 2
0 2 0
�
(ix)
24 3 6 92 4 6
1 2 3
35 (x)
24 2 10 �6 8 �4�1 �5 3 �4 2
�2 �10 6 �8 4
35
3. Seja � 2 R. Em função do parâmetro �, calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes.
Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi�cando, os valores de � para os quais essas matrizes
são invertíveis:
(i)
24 1 0 1�1 � �
0 � 1
35 (ii)
24 1 � ��2 1 2
3 �2� � �1
35 (iii)
24 2 �2 ��2 1 1
0 �2 � 1 �+ 1
35
(iv)
2664
�1 0 1 �
0 1 0 0
3 0 � 0
�1 �1 1 2
3775 (v)
2664
�1 0 1 �
0 1 �1 0
1 0 ��2�1
2 0 �2 �2
3775 (vi)
2664
1 �1 � 0
1 � �1 0
1 �1 �3 0
�1 1 �� �2 � 1
3775
17
4. Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes.
(i)
�
0 1
1 0
�
(ii)
�
1 0
0 1
�
(iii) [1] (iv)
�
1 2
3 4
�
(v)
24 1 2 34 5 6
7 8 9
35
(vi)
24 1 0 20 3 0
4 0 5
35 (vii)
24 1 2 14 0 6
1 8 1
35 (viii) � cos � � sen �
sen � cos �
�
(ix)
2664
k 0 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 k
3775, com k 6= 0 (x)
2664
0 0 0 k1
0 0 k2 0
0 k3 0 0
k4 0 0 0
3775, com k1; k2; k3; k4 6= 0
(xi)
2666666664
5
13
2
13
2
13
� 8
13
2
13
� 7
13
6
13
2
13
2
13
6
13
� 7
13
2
13
� 8
13
2
13
2
13
5
13
3777777775
(xii)
2666666664
1 �1
2
�1
2
1
2
�1
2
1 0 �1
2
�1
2
0 1 �1
2
1
2
�1
2
�1
2
1
3777777775
5. Seja A�;� =
2664
1 0 �1 0
1 � �2 + � ��
0 1 � �
1 � �2 + � �+ ��
3775, com �; � 2 R:
(a) Determine a característica e a nulidade de A�;� em função de � e �.
(b) Determine os valores dos parâmetros � e � para os quais A�;� é invertível.
6. Seja A� =
2664
1 0 � 2
2 � �2 4
�4 0 ��3 �8
� 0 �2 �2
3775, com � 2 R.
(a) Determine a característica e a nulidade de A� em função do parâmetro � e diga, justi�cando,
quais são os valores de � para os quais A� é invertível.
(b) Para � = 1; determine a inversa da matriz A1.
7. Seja Ba;b =
2664
0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a b
3 0 6 0
3775, com a; b 2 R:
(a) Determine a característica e a nulidade de Ba;b em função de a e b.
(b) Para a = 1 e b = 0 calcule a matriz inversa da matriz B1;0, isto é, (B1;0)
�1.
(c) Determine a solução geral do sistema linear B1;0X = C, C =
�
1 �2 3 �1
�T
.
(d) Para b = 1, determine a solução geral do sistema linear Ba;1X = D, em que D é o simétrico da
3a coluna de Ba;1.
18
Resolução da 2a Ficha de exercícios
1. (i)
�
�1
3
2
� � 3
� �
�
= [�2� � 1] (ii) Não é possível.
(iii)
24 32 �2
1 �1
3524 �13 2 4
�3
p
5 1
2
35 =
24 112 3� 2p5 5
8
3
2�
p
5 7
2
35
(iv) 2
�
1 0
3 �1
2
�
� 1
3
�
0 �6
�2 3
�
=
�
2 2
20
3
�2
�
(v) Não é possível. (vi) Não é possível.
(vii)
� p
2
�3
� �
4 �1
2
2
�
=
24 4p2 �12p2 2p2
�12 3
2
�6
35
viii)
0@24 2�1
4
1
35 2 � p2 �3 �
1AT =
24 4p2 �12p2 2p2
�12 3
2
�6
35
(ix)
0BBBB@2
24 13 0 12
�1
3
�1
2
�1
35T 24 1 0 12
�1
3
�1
2
�1
35�
266664
8
9
1
3
1
1
3
1
2
1
5
3
1 5
2
377775
1CCCCA
T
=
24 0 0 00 0 0
0 0 0
35
(x)
24 1 �12 0 �20 �1 �1
4
0
6 2 5 1
35T 24 1 0�2 4
�1
3
�3
35 =
2666666664
�1 �18
5
6
�10
�7
6
�16
�7
3
�3
3777777775
(xi)
24 1 0�2 4
�1
3
�3
35T 24 1 �12 0 �20 �1 �1
4
0
6 2 5 1
35 = � �1 56 �76 �73�18 �10 �16 �3
�
2. (i) Seja A =
24 0 00 0
0 0
35. carA = 0; nulA = 2. Não existem pivots.
19
(ii)
24 1 2 30 1 1
1 2 3
35 �!
�L1+L3!L3
24 1 2 30 1 1
0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 1 2 30 1 1
1 2 3
35, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 1 e 1.
(iii)
24 2 12 4
�1 �2
35 �!
L1$L3
24 �1 �22 4
2 1
35 �!
2L1+L2!L2
2L1+L3!L3
24 �1 �20 0
0 �3
35 �!
L1$L3
24 �1 �20 �3
0 0
35.
Assim, sendo A =
24 2 12 4
�1 �2
35, tem-se carA = 2 e nulA = 0. Pivots: �1 e �3.
(iv)
24 1 2 3 45 6 7 8
9 10 11 12
35 �!
�5L1+L2!L2
�9L1+L3!L3
24 1 2 3 40 �4 �8 �12
0 �8 �16 �24
35 �!
�2L2+L3!L3
24 1 2 3 40 �4 �8 �12
0 0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 1 2 3 40 �4 �8 �12
0 0 0 0
35, tem-se carA = 2 e nulA = 2. Pivots: 1 e �4.
(v)
24 0 1 �1 11 �1 1 0
1 1 2 �1
35 �!
L1$L2
24 1 �1 1 00 1 �1 1
1 1 2 �1
35 �!
�L1+L3!L3
�!
�L1+L3!L3
24 1 �1 1 00 1 �1 1
0 2 1 �1
35 �!
�2L2+L3!L3
24 1 �1 1 00 1 �1 1
0 0 3 �3
35.
Assim, sendo A =
24 1 �1 1 00 1 �1 1
0 0 3 �3
35, tem-se carA = 3 e nulA = 1. Pivots: 1; 1 e 3.
(vi)
2664
1 2 �1 3 2
�1 1 3 �2 �1
2 7 �1 9 8
3 3 �2 4 �6
3775 �!L1+L2!L2
�2L1+L3!L3
�3L1+L4!L4
2664
1 2 �1 3 2
0 3 2 1 1
0 3 1 3 4
0 �3 1 �5 �12
3775 �!�L2+L3!L3
L2+L4!L4
20
�!
�L2+L3!L3
L2+L4!L4
2664
1 2 �1 3 2
0 3 2 1 1
0 0 �1 2 3
0 0 3 �4 �11
3775 �!3L3+L4!L4
2664
1 2 �1 3 2
0 3 2 1 1
0 0 �1 2 3
0 0 0 2 �2
3775.
Assim, sendo A =
2664
1 2 �1 3 2
�1 1 3 �2 �1
2 7 �1 9 8
3 3 �2 4 �6
3775, tem-se carA = 4 e nulA = 1. Pivots: 1; 3;�1 e 2.
(vii)
2664
1 3 �1 2
0 11 �5 3
2 �5 3 1
4 1 1 5
3775 �!�2L1+L3!L3
�4L1+L4!L4
2664
1 3 �1 2
0 11 �5 3
0 �11 5 �3
0 �11 5 �3
3775 �!L2+L3!L3
L2+L4!L4
2664
1 3 �1 2
0 11 �5 3
0 0 0 0
0 0 0 0
3775.
Assim, sendo A =
2664
1 3 �1 2
0 11 �5 3
2 �5 3 1
4 1 1 5
3775, tem-se carA = 2 e nulA = 2. Pivots: 1 e 11.
(viii) Sendo A =
�
5 �1 2
0 2 0
�
, tem-se carA = 2 e nulA = 1. Pivots: 5 e 2.
(ix)
24 3 6 92 4 6
1 2 3
35 �!
L1$L3
24 1 2 32 4 6
3 6 9
35 �!
�2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 2 30 0 0
0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 3 6 92 4 6
1 2 3
35, tem-se carA = 1 e nulA = 2. Pivot: 1.
(x)
24 2 10 �6 8 �4�1 �5 3 �4 2
�2 �10 6 �8 4
35 �!
1
2
L1+L2!L2
L1+L3!L3
24 2 10 �6 8 �40 0 0 0 0
0 0 0 0 0
35.
Assim, sendo A =
24 2 10 �6 8 �4�1 �5 3 �4 2
�2 �10 6 �8 4
35, tem-se carA = 1 e nulA = 4. Pivot: 2.
3. (i)
24 1 0 1�1 � �
0 � 1
35 �!
L1+L2!L2
24 1 0 10 � � + 1
0 � 1
35 �!
�L2+L3!L3
24 1 0 10 � � + 1
0 0 �
35.
21
Seja A� =
24 1 0 1�1 � �
0 � 1
35. Se � 6= 0 então carA� = 3 e nulA� = 0.
Se � = 0 então carA� = 2 e nulA� = 1.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= 0, uma vez que é só neste caso que carA� = no de colunas de A�.
(ii)
24 1 � ��2 1 2
3 �2� � �1
35 �!
2L1+L2!L2
�3L1+L3!L3
24 1 � �0 1 + 2� 2 + 2�
0 �2� 4� �1� 3�
35 �!
2L2+L3!L3
24 1 � �0 1 + 2� 2 (1 + �)
0 0 3 + �
35.
Seja A� =
24 1 � ��2 1 2
3 �2� � �1
35. Se � 6= �3 e � 6= �1
2
então carA� = 3 e nulA� = 0.
Se � = �3 ou � = �1
2
então carA� = 2 e nulA� = 1.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= �3 e � 6= �
1
2
, uma vez que é só neste caso que carA� = no de
colunas de A�.
(iii)
24 2 �2 ��2 1 1
0 �2 � 1 �+ 1
35 �!
�L1+L2!L2
24 2 �2 ��0 1� �2 1 + �
0 �2 � 1 �+ 1
35 �!
L2+L3!L3
24 2 �2 ��0 (1� �) (1 + �) 1 + �
0 0 2 (�+ 1)
35.
Seja A� =
24 2 �2 ��2 1 1
0 �2 � 1 �+ 1
35. Se � = �1 então carA� = 1 e nulA� = 2.
Se � = 1 então carA� = 2 e nulA� = 1.
Se � 6= �1 e � 6= 1 então carA� = 3 e nulA� = 0.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= �1 e � 6= 1, uma vez que é só neste caso que carA� = no de
colunas de A�.
(iv)
2664
�1 0 1 �
0 1 0 0
3 0 � 0
�1 �1 1 2
3775 �!3L1+L3!L3
�L1+L4!L4
2664
�1 0 1 �
0 1 0 0
0 0 �+ 3 3�
0 �1 0 2� �
3775 �!L2+L4!L4
2664
�1 0 1 �
0 1 0 0
0 0 �+ 3 3�
0 0 0 2� �
3775.
Seja A� =
2664
�1 0 1 �
0 1 0 0
3 0 � 0
�1 �1 1 2
3775. Se � = 2 ou � = �3 então carA� = 3 e nulA� = 1.
22
Se � 6= 2 e � 6= �3 então carA� = 4 e nulA� = 0.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= 2 e � 6= �3, uma vez que é só neste caso que carA� = no de
colunas de A�.
(v)
2664
�1 0 1 �
0 1 �1 0
1 0 ��2 �1
2 0 �2 �2
3775 �!L1+L3!L3
2L1+L4!L4
2664
�1 0 1 �
0 1 �1 0
0 0 (1� �) (1 + �) �� 1
0 0 0 2 (�� 1)
3775.
Seja A� =
2664
�1 0 1 �
0 1 �1 0
1 0 ��2 �1
2 0 �2 �2
3775. Se � = 1 então carA� = 2 e nulA� = 2.
Se � = �1 então carA� = 3 e nulA� = 1.
Se � 6= 1 e � 6= �1 então carA� = 4 e nulA� = 0.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= 1 e � 6= �1, uma vez que é só neste caso que carA� = no de
colunas de A�.
(vi)
2664
1 �1 � 0
1 � �1 0
1 �1 �3 0
�1 1 �� �2 � 1
3775 �!�L1+L2!L2
�L1+L3!L3
L1+L4!L4
2664
1 �1 � 0
0 �+ 1 �1� � 0
0 0 � (�� 1) (�+ 1) 0
0 0 0 (�� 1) (�+ 1)
3775.
Seja A� =
2664
�1 0 1 �
0 1 �1 0
1 0 ��2 �1
2 0 �2 �2
3775. Se � = 1 então carA� = 2 e nulA� = 2.
Se � = 0 então carA� = 3 e nulA� = 1.
Se � = �1 então carA� = 1 e nulA� = 3.
Se � = 1 então carA� = 2 e nulA� = 2.
Se � 6= 0 e � 6= 1 e � 6= �1 então carA� = 4 e nulA� = 0.
Assim, A� é invertível se e só se � 6= 1 e � 6= �1, uma vez que é só neste caso que carA� = no de
colunas de A�.
4. (i)
�
0 1 j 1 0
1 0 j 0 1
�
�!
L1$L2
�
1 0 j 0 1
0 1 j 1 0
�
. Logo
�
0 1
1 0
��1
=
�
0 1
1 0
�
23
(ii)
�
1 0
0 1
��1
=
�
1 0
0 1
�
(iii) [1]�1 = [1]
(iv)
�
1 2 j 1 0
3 4 j 0 1
�
�!
�3L1+L2!L2
�
1 2 j 1 0
0 �2 j �3 1
�
�!
L2+L1!L1
�!
L2+L1!L1
�
1 0 j �2 1
0 �2 j �3 1
�
�!
� 1
2
L2!L2
�
1 0 j �2 1
0 1 j 3
2
�1
2
�
.
Logo
�
1 2
3 4
��1
=
�
�2 1
3
2
�1
2
�
.
(v)
24 1 2 3 j 1 0 04 5 6 j 0 1 0
7 8 9 j 0 0 1
35 �!
�4L1+L2!L2
�7L1+L3!L3
24 1 2 3 j 1 0 00 �3 �6 j �4 1 0
0 �6 �12 j �7 0 1
35 �!
�2L2+L3!L3
�!
�2L2+L3!L324 1 2 3 j 1 0 00 �3 �6 j �4 1 0
0 0 0 j 1 �2 1
35.
Logo,
24 1 2 34 5 6
7 8 9
35 é singular e como tal não é invertível.
(vi)
24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 0
4 0 5 j 0 0 1
35 �!
�4L1+L3!L3
24 1 0 2 j 1 0 00 3 0 j 0 1 0
0 0 �3 j �4 0 1
35 �!
2
3
L3+L1!L1
�!
2
3
L3+L1!L1
24 1 0 0 j �53 0 230 3 0 j 0 1 0
0 0 �3 j �4 0 1
35 �!
1
3
L2!L2
� 1
3
L3!L3
24 1 0 0 j �53 0 230 1 0 j 0 1
3
0
0 0 1 j 4
3
0 �1
3
35.
Logo
24 1 0 20 3 0
4 0 5
35�1 =
24 �53 0 230 1
3
0
4
3
0 �1
3
35.
(vii)
24 1 2 1 j 1 0 04 0 6 j 0 1 0
1 8 1 j 0 0 1
35 �!
�4L1+L2!L2
�L1+L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 �8 2 j �4 1 0
0 6 0 j �1 0 1
35 �!
3
4
L2+L3!L3
24
�!
3
4
L2+L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 �8 2 j �4 1 0
0 0 3
2
j �4 3
4
1
35 �!
2
3
L3!L3
24 1 2 1 j 1 0 00 �8 2 j �4 1 0
0 0 1 j �8
3
1
2
2
3
35 �!
�2L3+L2!L2
�L3+L1!L1
�!
�2L3+L2!L2
�L3+L1!L1
266664
1 2 0 j 11
3
�1
2
�2
3
j
0 �8 0 j 4
3
0 �4
3
j
0 0 1 j �8
3
1
2
2
3
377775 �!� 18L2!L2
266664
1 2 0 j 11
3
�1
2
�2
3
j
0 1 0 j �1
6
0 1
6
j
0 0 1 j �8
3
1
2
2
3
377775 �!�2L2+L1!L1
�!
�2L2+L1!L1
266664
1 0 0 j 4 �1
2
�1
j
0 1 0 j �1
6
0 1
6
j
0 0 1 j �8
3
1
2
2
3
377775.
Logo
24 1 2 14 0 6
1 8 1
35�1 =
266664
4 �1
2
�1
�1
6
0 1
6
�8
3
1
2
2
3
377775.
(viii) Para � 6= k�
2
; (k 2 Z)
�
cos� � sen� j 1 0
sen� cos� j 0 1
�
�!
(cos�)L1!L1
(sen�)L2!L2
�
cos2 � � cos� sen� j cos� 0
sen2 � sen� cos� j 0 sen�
�
�!
L2+L1!L1
�!
L2+L1!L1
�
1 0 j cos� sen�
sen2 � sen� cos� j 0 sen�
�
�!
(� sen2 �)L1+L2!L2
�!
(� sen2 �)L1+L2!L2
�
1 0 j cos� sen�
0 sen� cos� j � sen2 � cos� sen� (1� sen2 �)
�
�!
1
sen� cos�
L2!L2
�!
1
sen� cos�
L2!L2
�
1 0 j cos� sen�
0 1 j � sen� cos�
�
. Note que sen� cos� 6= 0 para todo o � 6= k�
2
; (k 2 Z).
Logo
�
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
, para todo o � 6= k�
2
; (k 2 Z)
Se � =
�
2
+ 2k�; (k 2 Z) ;
�
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
0 �1
1 0
��1
=
�
0 1
�1 0
�
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
.
25
Se � = 2k�; (k 2 Z),�
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
1 0
0 1
��1
=
�
1 0
0 1
�
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
.
Se � = � + 2k�; (k 2 Z) ;�
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
�1 0
0 �1
��1
=
�
�1 0
0 �1
�
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
.
Se � =
3�
2
+ 2k�; (k 2 Z),
�
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
0 1
�1 0
��1
=
�
0 �1
1 0
�
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
.
Logo, para todo o � 2 R �
cos� � sen�
sen� cos�
��1
=
�
cos� sen�
� sen� cos�
�
.
(ix) Seja k 6= 0.
2664
k 0 0 0 j 1 0 0 0
1 k 0 0 j 0 1 0 0
0 1 k 0 j 0 0 1 0
0 0 1 k j 0 0 0 1
3775 �!� 1
k
L1+L2!L2
1
k
L3!L3
1
k
L4!L4
2664
k 0 0 0 j 1 0 0 0
0 k 0 0 j � 1
k
1 0 0
0 1
k
1 0 j 0 0 1
k
0
0 0 1
k
1 j 0 0 0 1
k
3775 �!� 1
k2
L2+L3!L3
1
k
L1!L1
�!
� 1
k2
L2+L3!L3
1
k
L1!L1
2664
1 0 0 0 j 1
k
0 0 0
0 k 0 0 j � 1
k
1 0 0
0 0 1 0 j 1
k3
� 1
k2
1
k
0
0 0 1
k
1 j 0 0 0 1
k
3775 �!� 1
k
L3+L4!L4
1
k
L2!L2
2664
1 0 0 0 j 1
k
0 0 0
0 1 0 0 j � 1
k2
1
k
0 0
0 0 1 0 j 1
k3
� 1
k2
1
k
0
0 0 0 1 j � 1
k4
1
k3
� 1
k2
1
k
3775.
Logo
2664
k 0 0 0
1 k 0 0
0 1 k 0
0 0 1 k
3775
�1
=
2664
1
k
0 0 0
� 1
k2
1
k
0 0
1
k3
� 1
k2
1
k
0
� 1
k4
1
k3
� 1
k2
1
k
3775.
(x) Sejam k1; k2; k3; k4 6= 0.
26
2664
0 0 0 k1 j 1 0 0 0
0 0 k2 0 j 0 1 0 0
0 k3 0 0 j 0 0 1 0
k4 0 0 0 j 0 0 0 1
3775 �!L1$L4
L2$L3
2664
k4 0 0 0 j 0 0 0 1
0 k3 0 0 j 0 0 1 0
0 0 k2 0 j 0 1 0 0
0 0 0 k1 j 1 0 0 0
3775 �!1
k4
L1!L1
1
k3
L2!L2
1
k2
L3!L3
1
k1
L4!L4
�!
1
k4
L1!L1
1
k3
L2!L2
1
k2
L3!L3
1
k1
L4!L4
2664
1 0 0 0 j 0 0 0 1
k4
0 1 0 0 j 0 0 1
k3
0
0 0 1 0 j 0 1
k2
0 0
0 0 0 1 j 1
k1
1 0 0 0
3775.
Logo
2664
0 0 0 k1
0 0 k2 0
0 k3 0 0
k4 0 0 0
3775
�1
=
2664
0 0 0 1
k4
0 0 1
k3
0
0 1
k2
0 0
1
k1
1 0 0 0
3775.
(xi)
2666666664
5
13
2
13
2
13
� 8
13
2
13
� 7
13
6
13
2
13
2
13
6
13
� 7
13
2
13
� 8
13
2
13
2
13
5
13
3777777775
= 1
13
2666666664
5 2 2 �8
2 �7 6 2
2 6 �7 2
�8 2 2 5
3777777775
:
2666666664
5 2 2 �8 j 1 0 0 0
j
2 �7 6 2 j 0 1 0 0
j
2 6 �7 2 j 0 0 1 0
j
�8 2 2 5 j 0 0 0 1
3777777775
�!
L1$L3
2666666664
2 6 �7 2 j 0 0 1 0
j
2 �7 6 2 j 0 1 0 0
j
5 2 2 �8 j 1 0 0 0
j
�8 2 2 5 j 0 0 0 1
3777777775
�!
�L1+L2!L2
� 5
2
L1+L3!L3
4L1+L4!L4
�!
�L1+L2!L2
� 5
2
L1+L3!L3
4L1+L4!L4
2666666664
2 6 �7 2 j 0 0 1 0
j
0 �13 13 0 j 0 1 �1 0
j
0 �13 39
2
�13 j 1 0 �5
2
0
j
0 26 �26 13 j 0 0 4 1
3777777775
�!
�L2+L3!L3
2L2+L4!L4
27
�!
�L2+L3!L3
2L2+L4!L4
2666666664
2 6 �7 2 j 0 0 1 0
j
0 �13 13 0 j 0 1 �1 0
j
0 0 13
2
�13 j 1 �1 �3
2
0
j
0 0 0 13 j 0 2 2 1
3777777775
�!
1
2
L1!L1
� 1
13
L2!L2
2
13
L3!L3
1
13
L4!L4
�!
1
2
L1!L1
� 1
13
L2!L2
2
13
L3!L3
1
13
L4!L4
2666666664
1 3 �7
2
1 j 0 0 1
2
0
j
0 1 �1 0 j 0 � 1
13
1
13
0
j
0 0 1 �2 j 2
13
� 2
13
� 3
13
0
j
0 0 0 1 j 0 2
13
2
13
1
13
3777777775
�!
�L4+L1!L1
2L4+L3!L3
�!
�L4+L1!L1
2L4+L3!L3
2666666664
1 3 �7
2
0 j 0 � 2
13
9
26
� 1
13
j
0 1 �1 0 j 0 � 1
13
1
13
0
j
0 0 1 0 j 2
13
2
13
1
13
2
13
j
0 0 0 1 j 0 2
13
2
13
1
13
3777777775
�!
L3+L2!L2
7
2
L3+L1!L1
�!
L3+L2!L2
7
2
L3+L1!L1
2666666664
1 3 0 0 j 7
13
5
13
8
13
6
13
j
0 1 0 0 j 2
13
1
13
2
13
2
13
j
0 0 1 0 j 2
13
2
13
1
13
2
13
j
0 0 0 1 j 0 2
13
2
13
1
13
3777777775
�!
�3L2+L1!L1
2666666664
1 0 0 0 j 1
13
2
13
2
13
0
j
0 1 0 0 j 2
13
1
13
2
13
2
13
j
0 0 1 0 j 2
13
2
13
1
13
2
13
j
0 0 0 1 j 0 2
13
2
13
1
13
3777777775
.
Logo
2666666664
5
13
2
13
2
13
� 8
13
2
13
� 7
13
6
13
2
13
2
13
6
13
� 7
13
2
13
� 8
13
2
13
2
13
5
13
3777777775
�1
=
0BBBBBBBB@
1
13
2666666664
5 2 2 �8
2 �7 6 2
2 6 �7 2
�8 2 2 5
3777777775
1CCCCCCCCA
�1
=
= 13
2666666664
1
13
2
13
2
13
0
2
13
1
13
2
13
2
13
2
13
2
13
1
13
2
13
0 2
13
2
13
1
13
3777777775
=
2666666664
1 2 2 0
2 1 2 2
2 2 1 2
0 2 2 1
3777777775
.
28
(xii)
2666666664
1 �1
2
�1
2
1
2
�1
2
1 0 �1
2
�1
2
0 1 �1
2
1
2
�1
2
�1
2
1
3777777775
= 1
2
2666666664
2 �1 �1 1
�1 2 0 �1
�1 0 2 �1
1 �1 �1 2
3777777775
.
2666666664
2 �1 �1 1 j 1 0 0 0
j
�1 2 0 �1 j 0 1 0 0
j
�1 0 2 �1 j 0 0 1 0
j
1 �1 �1 2 j 0 0 0 1
3777777775
�!
L1$L4
2666666664
1 �1 �1 2 j 0 0 0 1
j
�1 2 0 �1 j 0 1 0 0
j
�1 0 2 �1 j 0 0 1 0
j
2 �1 �1 1 j 1 0 0 0
3777777775
�!
L1+L2!L2
L1+L3!L3
�2L1+L4!L4
�!
L1+L2!L2
L1+L3!L3
�2L1+L4!L4
2666666664
1 �1 �1 2 j 0 0 0 1
j
0 1 �1 1 j 0 1 0 1
j
0 �1 1 1 j 0 0 1 1
j
0 1 1 �3 j 1 0 0 �2
3777777775
�!
L2+L3!L3
�L2+L4!L4
2666666664
1 �1 �1 2 j 0 0 0 1
j
0 1 �1 1 j 0 1 0 1
j
0 0 0 2 j 0 1 1 2
j
0 0 2 �4 j 1 �1 0 �3
3777777775
�!
L3$L4
�!
L3$L4
2666666664
1 �1 �1 2 j 0 0 0 1
j
0 1 �1 1 j 0 1 0 1
j
0 0 2 �4 j 1 �1 0 �3
j
0 0 0 2 j 0 1 1 2
3777777775
�!
2L4+L3!L3
� 1
2
L4+L2!L2
�L4+L1!L1
2666666664
1 �1 �1 0 j 0 �1 �1 �1
j
0 1 �1 0 j 0 1
2
�1
2
0
j
0 0 2 0 j 1 1 2 1
j
0 0 0 2 j 0 1 1 2
3777777775
�!
1
2
L3!L3
1
2
L4!L4
�!
1
2
L3!L3
1
2
L4!L4
2666666664
1 �1 �1 0 j 0 �1 �1 �1
j
0 1 �1 0 j 0 1
2
�1
2
0
j
0 0 1 0 j 1
2
1
2
1 1
2
j
0 0 0 1 j 0 1
2
1
2
1
3777777775
�!
L3+L2!L2
L3+L1!L1
2666666664
1 �1 0 0 j 1
2
�1
2
0 �1
2
j
0 1 0 0 j 1
2
1 1
2
1
2
j
0 0 1 0 j 1
2
1
2
1 1
2
j
0 0 0 1 j 0 1
2
1
2
1
3777777775
�!
L2+L1!L1
�!
L2+L1!L1
2666666664
1 0 0 0 j 1 1
2
1
2
0
j
0 1 0 0 j 1
2
1 1
2
1
2
j
0 0 1 0 j 1
2
1
2
1 1
2
j
0 0 0 1 j 0 1
2
1
2
1
3777777775
.
29
Logo
2666666664
1 �1
2
�1
2
1
2
�1
2
1 0 �1
2
�1
2
0 1 �1
2
1
2
�1
2
�1
2
1
3777777775
�1
=
0BBBBBBBB@
1
2
2666666664
2 �1 �1 1
�1 2 0 �1
�1 0 2 �1
1 �1 �1 2
3777777775
1CCCCCCCCA
�1
= 2
2666666664
1 1
2
1
2
0
1
2
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
0 1
2
1
2
1
3777777775
=
2666666664
2 1 1 0
1 2 1 1
1 1 2 1
0 1 1 2
3777777775
.
5. A�;� =
2664
1 0 �1 0
1 � �2 + � ��
0 1 � �
1 � �2 + � �+ ��
3775 �!L2$L3
2664
1 0 �1 0
0 1 � �
1 � �2 + � ��
1 � �2 + � �+ ��
3775 �!�L1+L3!L3
�L1+L4!L4
�!
�L1+L3!L3
�L1+L4!L4
2664
1 0 �1 0
0 1 � �
0 � �2 + �+ 1 ��
0 � �2 + �+ 1 �+ ��
3775 �!��L2+L3!L3
��L2+L4!L4
2664
1 0 �1 0
0 1 � �
0 0 �+ 1 0
0 0 �+ 1 �
3775 �!�L3+L4!L4
�!
�L3+L4!L4
2664
1 0 �10
0 1 � �
0 0 �+ 1 0
0 0 0 �
3775.
Se � = �1 e � = 0 então carA = 2 e nulA = 2.
Se (� = �1 e � 6= 0) ou (� 6= �1 e � = 0) então carA = 3 e nulA = 1.
Se � 6= �1 e � 6= 0 então carA = 4 e nulA = 0.
Assim, A�;� é invertível se e só se � 6= �1 e � 6= 0, uma vez que é só neste caso que carA�;� = no de
colunas de A�;�.
6. (a) Tem-se
A� =
2664
1 0 � 2
2 � �2 4
�4 0 ��3 �8
� 0 �2 �2
3775 �!�2L1+L2!L2
4L1+L3!L3
��L1+L4!L4
2664
1 0 � 2
0 � � (� � 2) 0
0 0 (2� �) (2 + �) � 0
0 0 0 � (� � 2)
3775 :
Logo, como carA� + nulA� = 4,
se � = 0 então carA� = 1 e nulA� = 3;
se � = 2 então carA� = 2 e nulA� = 2;
se � = �2 então carA� = 3 e nulA� = 1;
se � 6= 0 e � 6= 2 e � 6= �2 então carA� = 4 e nulA� = 0.
30
Assim, A� é invertível se e só se � 2 Rn f�2; 0; 2g, uma vez que é só nestes casos que carA� = no de
colunas de A�.
(b)
�
A1 j I
�
=
=
2664
1 0 1 2 j 1 0 0 0
2 1 1 4 j 0 1 0 0
�4 0 �1 �8 j 0 0 1 0
1 0 1 1 j 0 0 0 1
3775 �!�2L1+L2!L2
4L1+L3!L3
�L1+L4!L4
2664
1 0 1 2 j 1 0 0 0
0 1 �1 0 j �2 1 0 0
0 0 3 0 j 4 0 1 0
0 0 0 �1 j �1 0 0 1
3775 �!2L4+L1!L1
� 1
3
L3+L1!L1
1
3
L3+L2!L2
�!
2L4+L1!L1
� 1
3
L3+L1!L1
1
3
L3+L2!L2
2664
1 0 0 0 j �7
3
0 �1
3
2
0 1 0 0 j �2
3
1 1
3
0
0 0 3 0 j 4 0 1 0
0 0 0 �1 j �1 0 0 1
3775 �!�L4!L4
1
3
L3!L3
2664
1 0 0 0 j �7
3
0 �1
3
2
0 1 0 0 j �2
3
1 1
3
0
0 0 1 0 j 4
3
0 1
3
0
0 0 0 1 j 1 0 0 �1
3775
Logo
(A1)
�1 =
2664
�7
3
0 �1
3
2
�2
3
1 1
3
0
4
3
0 1
3
0
1 0 0 �1
3775 :
7. (a) Ba;b =
2664
0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a b
3 0 6 0
3775 �!L1$L2
2664
2 2 0 a
0 0 a 1
0 0 a b
3 0 6 0
3775 �!L2$L4
�!
L2$L4
2664
2 2 0 a
3 0 6 0
0 0 a b
0 0 a 1
3775 �!� 3
2
L1+L2!L2
�L3+L4!L4
2664
2 2 0 a
0 �3 6 �3
2
a
0 0 a b
0 0 0 1� b
3775.
Se a = 0 ou ( a 6= 0 e b = 1) então carBa;b = 3 e nulBa;b = 1.
Se a 6= 0 e b 6= 1 então carBa;b = 4 e nulBa;b = 0.
(b) [B1;0 j I] =
2664
0 0 1 1 j 1 0 0 0
2 2 0 1 j 0 1 0 0
0 0 1 0 j 0 0 1 0
3 0 6 0 j 0 0 0 1
3775 �!L1$L4
2664
3 0 6 0 j 0 0 0 1
2 2 0 1 j 0 1 0 0
0 0 1 0 j 0 0 1 0
0 0 1 1 j 1 0 0 0
3775 �!� 2
3
L1+L2!L2
�L3+L4!L4
�!
� 2
3
L1+L2!L2
�L3+L4!L4
2664
3 0 6 0 j 0 0 0 1
0 2 �4 1 j 0 1 0 �2
3
0 0 1 0 j 0 0 1 0
0 0 0 1 j 1 0 �1 0
3775 �!�L4+L2!L2
�6L3+L1!L1
2664
3 0 0 0 j 0 0 �6 1
0 2 �4 0 j �1 1 1 �2
3
0 0 1 0 j 0 0 1 0
0 0 0 1 j 1 0 �1 0
3775 �!1
2
L2!L2
1
3
L1!L1
31
�!
1
2
L2!L2
1
3
L1!L1
2664
1 0 0 0 j 0 0 �2 1
3
0 1 �2 0 j �1
2
1
2
1
2
�1
3
0 0 1 0 j 0 0 1 0
0 0 0 1 j 1 0 �1 0
3775 �!2L3+L2!L2
2664
1 0 0 0 j 0 0 �2 1
3
0 1 0 0 j �1
2
1
2
5
2
�1
3
0 0 1 0 j 0 0 1 0
0 0 0 1 j 1 0 �1 0
3775.
Logo (B1;0)
�1 =
2664
0 0 �2 1
3
�1
2
1
2
5
2
�1
3
0 0 1 0
1 0 �1 0
3775.
(c) Como B1;0 é invertível,
B1;0X = C , X = (B1;0)�1C , X =
2664
0 0 �2 1
3
�1
2
1
2
5
2
�1
3
0 0 1 0
1 0 �1 0
3775
2664
1
�2
3
�1
3775 =
2666666664
�19
3
19
3
3
�2
3777777775
:
(d) Seja X = (x1; x2; x3; x4).
Ba;1X = D ,
2664
0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a 1
3 0 6 0
3775
2664
x1
x2
x3
x4
3775 =
2664
�a
0
�a
�6
3775 .
A solução geral de Ba;1X = D é dada por:
(Solução particular de Ba;1X = D) + (Solução geral de Ba;1X = 0).
O vector (0; 0;�1; 0) é uma solução particular de Ba;1X = D. Determinemos a solução geral de
Ba;1X = 0.
Tem-se
2664
0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a 1
3 0 6 0
3775 �!�L1+L3!L3
� 3
2
L2+L4!L4
2664
0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 0 0
0 �3 6 �3
2
a
3775 �!L1$L2
L3$L4
�!
L1$L2
L3$L4
2664
2 2 0 a
0 0 a 1
0 �3 6 �3
2
a
0 0 0 0
3775 �!L2$L3
2664
2 2 0 a
0 �3 6 �3
2
a
0 0 a 1
0 0 0 0
3775.
Logo,
8<:
2x1 + 2x2 + ax4 = 0
�3x2 + 6x3 � 32ax4 = 0
ax3 + x4 = 0
,
8>><>>:
x = �2x3
x2 =
�
2 +
a2
2
�
x3
x4 = �ax3
32
Assim, a solução geral de Ba;1X = 0 é dada por:�
(�2s;
�
2 +
a2
2
�
s; s;�as) : s 2 R
�
Logo, a solução geral do sistema linear Ba;1X = D é dada por:
f(0; 0;�1; 0)g+
��
�2s;
�
2 +
a2
2
�
s; s;�as
�
: s 2 R
�
=
��
�2s;
�
2 +
a2
2
�
s; s� 1;�as
�
: s 2 R
�
.
Resolução Alternativa.
[Ba;1 j D] =
2664
0 0 a 1 j �a
2 2 0 a j 0
0 0 a 1 j �a
3 0 6 0 j �6
3775 �!�L1+L3!L3
� 3
2
L2+L4!L4
2664
0 0 a 1 j �a
2 2 0 a j 0
0 0 0 0 j 0
0 �3 6 �3
2
a j �6
3775 �!L1$L2
L3$L4
�!
L1$L2
L3$L4
2664
2 2 0 a j 0
0 0 a 1 j �a
0 �3 6 �3
2
a j �6
0 0 0 0 j 0
3775 �!L2$L3
2664
2 2 0 a j 0
0 �3 6 �3
2
a j �6
0 0 a 1 j �a
0 0 0 0 j 0
3775.
Tem-se então
8><>:
2x+ 2y + aw = 0
�3y + 6z � 3
2
aw = �6
az + w = �a
,
8><>:
x = �2z � 2
y =
�
a2
2
+ 2
�
(z + 1)
w = �a� az
Logo, a solução geral do sistema linear Ba;1X = D é dada por:��
�2s� 2;
�
a2
2
+ 2
�
(s+ 1) ; s;�a� as
�
: s 2 R
�
=
��
�2s;
�
2 +
a2
2
�
s; s� 1;�as
�
: s 2 R
�
:
33
3a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Determinante)
1. Classi�que quanto à paridade as seguintes permutações de números de 1 a 6:
(i) (312645) (ii) (234516) (iii) (654321) (iv) (123456)
(v) (546321) (vi) (453261) (vii) (634125) (viii) (123465)
2. Na expressão do determinante de uma matriz do tipo 6 � 6 diga qual o sinal que afecta cada uma
das seguintes parcelas:
(i) a23a31a42a56a14a65 (ii) a16a25a34a43a52a61
(iii) a54a45a63a32a26a11 (iv) a16a23a34a41a62a55
3. Veri�que que
(i)
������
0 0 a13
0 a22 a23
a31 a32 a33
������ = � a13a22a31 (ii)
��������
0 0 0 a14
0 0 a23 a24
0 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
�������� = a14a23a32a41
4. Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares:
(i)
���� 1 23 4
���� (ii) ���� 18563 1857321472 21482
���� (iii) ���� 1 +p2 2�p32 +p3 1�p2
����
(iv)
���� cos � � sen �sen � cos �
���� (v)
������
�2 0 1
5 3 0
�5 1 2
������ (vi)
������
2 3 2
5 �1 �3
�2 1 1
������
(vii)
������
�2 1 1
5 �1 �3
2 3 2
������ (viii)
������
8 12 8
5 �1 �3
�2 1 1
������ (ix)
������
1 2 3
4 5 6
7 8 9
������ (x)
��������
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
��������
(xi)
��������
�2 �2 8 6
0 1 2 0
0 0 �3 �23
0 0 0 5
�������� (xii)
��������
1 3 �1 1
�1 �2 �1 1
2 1 1 1
2 0 �2 0
�������� (xiii)
��������
0 0 0 5
0 0 �3 �23
0 1 2 0
�2 �2 8 6
��������
(xiv)
��������
12 22 32 42
22 32 42 52
32 42 52 62
42 52 62 72
�������� (xv)
����������
0 4 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
0 0 3 0 0
5 0 0 0 0
����������
(xvi)
����������
a 0 0 0 b
b a 0 0 0
0 b a 0 0
0 0 b a 0
0 0 0 b a
����������
5. Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri�car para que a matriz24 1 a a21 b b2
1 c c2
35
seja invertível?
34
6. Veri�que que a matriz 266664
0 a 0 0 0
e 0 b 0 0
0 f 0 c 0
0 0 g 0 d
0 0 0 h 0
377775
não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.
7. Determine todos os valores do escalar � para os quais a matriz A��I é singular, onde A é dada por:
(i)
�
0 3
2 �1
�
(ii)
24 1 0 20 �1 �2
2 �2 0
35
8. Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter:
(i)
�
1 2
3 4
�
(ii)
24 1 1 10 1 1
0 0 1
35 (iii)
24 �1 0 41 �1 �3
0 6 0
35
9. Sejam
A =
2664
�3 2 0 2
�1 0 0 3
0 9 �2 0
3 �1 0 2
3775 B =
2664
�1 0 0 2
4 0 1 0
0 1 0 �3
0 �1 2 2
3775 .
Sem calcular A�1 e B�1, determine a entrada (2; 2) de A�1 e a entrada (2; 3) de B�1.
10. Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas:
(i)
�
2x+ 3y = 1
5x+ 7y = 3
(ii)
8<:
x+ y = 1
2x+ z = 1
x+ 2y + 2z = �1
11. Sejam C =
24 1 0 12 3 2
0 1 �2
35 e D =
24 9 �8 �1�7 �3 0
�2 0 0
35.
Veri�que que C e D são invertíveis e calcule:
(i) det (2C�1) (ii) det
�
C3 (2C)�1
�
(iii) det
��
CT (trC)C
��1�
(iv) det
�
CT tr
��
1
4
C
�T�
C�2
�
(v) det
�
�2CT
��
�2
3
D3
��1���
DT
��1
C
��1�
Sugestão: Sejam m 2 N, � escalar, A;B e S matrizes n� n com S invertível, tem-se
(a) det (AB) = (detA) (detB) (b) det (�B) = �n detB (c) det
�
AT
�
= detA
(d) det (A�1) =
1
detA
(e) trB = tr
�
BT
�
(f) (�B)T = �BT (g) S�m = (S�1)m
12. Sejam a; b; c; d; e; f 2 R. Sabendo que
������
a b c
d e f
g h i
������ = 5; calcule:
35
(i)
������
d e f
g h i
a b c
������ (ii)
������
�a �b �c
2d 2e 2f
�g �h �i
������ (iii)
������
a+ d b+ e c+ f
d e f
g h i
������
(iv)
������
a b c
d� 3a e� 3b f � 3c
2g 2h 2i
������ (v)
������
a g d
b h e
c i f
������
13. Sejam a; b; c 2 R. Sabendo que
������
a b c
2 1 0
1 2 1
������ = 1; calcule:
(i)
������
a b c
6 3 0
�1
2
�1 �1
2
������ (ii)
������
a b c
2a+ 2 2b+ 1 2c
a+ 1 b+ 2 c+1
������ (iii)
������
a� 1 b� 2 c� 1
3 3 1
1 2 1
������
(iv)
������
1 �1 �1
2 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
������
14. Sejam �; � 2 R. Sabendo que
������
1 2 �
� 1 1
1 �+ � 2
������ = 1; calcule
������
1 2 �
� �� + �2 2�
�� � �
������.
15. Seja � 2 R. Veri�que que ������������
� 1 1 1 1 1
� �+ 1 2 2 2 2
� �+ 1 �+ 2 3 3 3
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 4 4
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 �+ 4 5
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 �+ 4 �+ 5
������������
= �6.
16. Seja � 2 R. Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n� n.2666666664
� � � : : : �
1 �+ 1 1 : : : 1
... 1 �+ 1
. . .
... 1
. . . 1
...
...
. . . �+ 1 1
1 1 1 : : : 1 �+ 1
3777777775
17. Veri�que que ������
1 1 1
x1 y1 y1
x2 x2 y2
������ = (y1 � x1) (y2 � x2) .
18. Mostre que:
(i)
������
a1 b1 a1 + b1 + c1
a2 b2 a2 + b2 + c2
a3 b3 a3 + b3 + c3
������ =
������
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
������ (ii)
������
b+ c c+ a b+ a
a b c
1 1 1
������ = 0
36
(iii)
������
a1 + b1 a1 � b1 c1
a2 + b2 a2 � b2 c2
a3 + b3 a3 � b3 c3
������ = �2
������
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
������
19. Veri�que que ���� a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2
���� = ���� a1 c1a2 c2
����+ ���� a1 c1b2 d2
����+ ���� b1 d1a2 c2
����+ ���� b1 d1b2 d2
���� :
20. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = 2 se tem������
x2 x 2
2 1 1
0 0 �5
������ = 0.
21. Sem calcular o determinante, diga qual o coe�ciente de x3 na expressão��������
2x x 1 2
1 x 1 �1
3 2 x 1
9 8 7 x
�������� .
22. Resolva as seguintes equações.
(i)
������
1 x 1
0 �1 1
1 0 2
������ = 0 (ii)
��������
x x x x
x 4 x x
x x 4 x
x x x 4
�������� = 0 (iii)
��������
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
�������� = 0
23. Sabendo que 533; 715 e 871 são múltiplos de 13, justi�que que
������
5 3 3
7 1 5
8 7 1
������ é também múltiplo de 13,
sem calcular o determinante.
24. Sem calcular o determinante, veri�que que
������
2 1 8
�1 0 10
3 �7 4
������ é múltiplo de 5.
25. Seja A = (aij)n�n com n ímpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A não
é invertível.
37
Resolução da 3a Ficha de exercícios
1.(i) (312645) é par pois tem 4 inversões. (ii) (234516) é par pois tem 4 inversões.
(iii) (654321) é ímpar pois tem 15 inversões. (iv) (123456) é par pois tem 0 inversões.
(v) (546321) é ímpar pois tem 13 inversões. (vi) (453261) é par pois tem 10 inversões.
(vii) (634125) é ímpar pois tem 9 inversões. (viii) (123465) é ímpar pois tem 1 inversão.
2. (i) (234516) é par pois tem 4 inversões e (312645) é par pois tem 4 inversões. Logo, tem-se
+a23a31a42a56a14a65
uma vez que (234516) e (312645) têm a mesma paridade.
(ii) (123456) é par pois tem 0 inversões e (654321) é ímpar pois tem 15 inversões. Logo, tem-se
�a16a25a34a43a52a61
uma vez que (123456) e (654321) têm paridades diferentes.
(iii) (546321) é ímpar pois tem 13 inversões e (453261) é par pois tem 10 inversões. Logo, tem-se
�a54a45a63a32a26a11
uma vez que (546321) e (453261) têm paridades diferentes.
(iv) (123465) é ímpar pois tem 1 inversão e (634125) é ímpar pois tem 9 inversões. Logo, tem-se
+a16a23a34a41a62a55
uma vez que (123465) e (634125) têm a mesma paridade.
3. (i) (123) é par pois tem 0 inversões e (321) é ímpar pois tem 3 inversões. Atendendo à de�nição de
determinante, tem-se ������
0 0 a13
0 a22 a23
a31 a32 a33
������ = � a13a22a31
uma vez que (123) e (321) têm paridades diferentes.
(ii) (1234) é par pois tem 0 inversões e (4321) é par pois tem 6 inversões. Atendendo à de�nição de
determinante, tem-se ��������
0 0 0 a14
0 0 a23 a24
0 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
�������� = a14a23a32a41
uma vez que (1234) e (4321) têm a mesma paridade.
4. (i)
���� 1 23 4
���� = 4� 6 = �2 6= 0, logo a matriz é não singular.
38
(ii)
���� 18563 1857321472 21482
���� = ���� 18563 1021472 10
���� = ���� 18563 102909 0
���� = �29090 6= 0, logo a matriz é não singular.
(iii)
���� 1 +p2 2�p32 +p3 1�p2
���� = 1� 2� (4� 3) = �2 6= 0, logo a matriz é não singular.
(iv)
���� cos � � sen �sen � cos �
���� = cos2 � � (� sen2 �) = 1 6= 0, logo a matriz é não singular.
(v)
������
�2 0 1
5 3 0
�5 1 2
������ = �12 + 5� (�15) = 8 6= 0, logo a matriz é não singular.
(vi)
������
2 3 2
5 �1 �3
�2 1 1
������ = �2 + 18 + 10� 4� 15� (�6) = 13 6= 0, logo a matriz é não singular.
(vii)
������
�2 1 1
5 �1 �3
2 3 2
������ = �
������
2 3 2
5 �1 �3
�2 1 1
������ =por (vi) �13 6= 0, logo a matriz é não singular.
(viii)
������
8 12 8
5 �1 �3
�2 1 1
������ = 4
������
2 3 2
5 �1 �3
�2 1 1
������ =por (vi) 52 6= 0, logo a matriz é não singular.
(ix)
������
1 2 3
4 5 6
7 8 9
������ =
������
1 2 3
2 1 0
4 2 0
������ =
������
1 2 3
2 1 0
0 0 0
������ = 0, logo a matriz é singular.
(x)
��������
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0
�������� =
��������
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
�������� =
��������
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
�������� = 1 6= 0, logo a matriz é não singular.
(xi)
��������
�2 �2 8 6
0 1 2 0
0 0 �3 �23
0 0 0 5
�������� = 30 6= 0, logo a matriz é não singular.
(xii)��������
1 3 �1 1
�1 �2 �1 1
2 1 1 1
2 0 �2 0
�������� =
��������
1 3 �1 1
0 1 �2 2
2 1 1 1
2 0 �2 0
�������� = 2(�1)
4+1
������
3 �1 1
1 �2 2
1 1 1
������+ (�2)(�1)4+3
������
1 3 1
0 1 2
2 1 1
������ =
= �2 [�6 + 1 + (�2)� (�1)� (�2)� 6] + 2 [1 + 12� 2� 2] = 20 + 18 = 38 6= 0,
logo a matriz é não singular.
39
(xiii)
��������
0 0 0 5
0 0 �3 �23
0 1 2 0
�2 �2 8 6
�������� =
��������
�2 �2 8 6
0 1 2 0
0 0 �3 �23
0 0 0 5
�������� =por (xi) 30 6= 0, logo a matriz é não singular.
(xiv)
��������
12 22 32 42
22 32 42 52
32 42 52 62
42 52 62 72
�������� =
��������
12 22 32 42
3 5 7 9
5 7 9 11
7 9 11 13
�������� =
��������
12 22 32 42
3 5 7 9
2 2 2 2
2 2 2 2
�������� =
��������
12 22 32 42
3 5 7 9
2 2 2 2
0 0 0 0
�������� =
= 0, logo a matriz é singular.
(xv)
����������
0 4 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 0 0 1
0 0 3 0 0
5 0 0 0 0
����������
= 5(�1)5+1
��������
4 0 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
0 3 0 0
�������� = 5
244(�1)1+1
������
0 2 0
0 0 1
3 0 0
������
35 =
= 120 6= 0, logo a matriz é não singular.
(xvi)
����������
a 0 0 0 b
b a 0 0 0
0 b a 0 0
0 0 b a 0
0 0 0 b a
����������
= a5 + b5 6= 0 se e só se a 6= �b, logo a matriz é não singular se e só se
a 6= �b.
5. Seja
A =
24 1 a a21 b b2
1 c c2
35 ,
com a; b; c 2 R. A matriz A é invertível se e só se detA 6= 0. Tem-se
detA =
������
1 a a2
1 b b2
1 c c2
������ =
������
1 a a2
0 b� a b2 � a2
0 c� a c2 � a2
������ = 0
se a = b ou a = c. Se a 6= b e a 6= c então
detA =
������
1 a a2
1 b b2
1 c c2
������ =
������
1 a a2
0 b� a b2 � a2
0 c� a c2 � a2
������ =
������
1 a a2
0 b� a b2 � a2
0 0 c2 � a2 � (c� a)(b+ a)
������ =
=
������
1 a a2
0 b� a b2 � a2
0 0 (c� a) [(c+ a)� (b+ a)]
������ =
������
1 a a2
0 b� a b2 � a2
0 0 (c� a) (c� b)
������ = 0
se b = c. Logo, a matriz A é invertível se e só se a 6= b; a 6= c e b 6= c.
40
6. Seja
A =
266664
0 a 0 0 0
e 0 b 0 0
0 f 0 c 0
0 0 g 0 d
0 0 0 h 0
377775 ,
com a; b; c; d; e; f; g; h 2 R. Se a = 0 ou h = 0 então detA = 0, isto é, A não é invertível. Se a 6= 0 e
h 6= 0 então
detA =
����������
0 a 0 0 0
e 0 b 0 0
0 f 0 c 0
0 0 g 0 d
0 0 0 h 0
����������
=
����������
0 a 0 0 0
e 0 b 0 0
0 0 0 0 0
0 0 g 0 d
0 0 0 h 0
����������
= 0,
isto é, A não é invertível. Logo, A não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.
7. Determinemos todos os valores do escalar � para os quais a matriz A� �I é singular, isto é, todos
os valores próprios de A.
(i) det (A� �I) =
���� �� 32 �1� �
���� = � (1 + �)� 6 = �2 + �� 6.
Logo, det (A� �I) = 0, (� = 2 ou � = �3).
(ii) det (A� �I) =
������
1� � 0 2
0 �1� � �2
2 �2 ��
������ = � �1� �2�+ 4 (1 + �)� 4 (1� �) =
= �
��
1� �2
�
+ 8
�
. Logo, det (A� �I) = 0, (� = 0 ou � = �3 ou � = 3).
8. (i) A�1 =
1
detA
(cof A)T =
1
�2
�
4 �3
�2 1
�T
=
�
�2 1
3=2 �1=2
�
(ii) A�1 =
1
detA
(cof A)T =
1
1
24 1 0 0�1 1 0
0 �1 1
35T =
24 1 �1 00 1 �1
0 0 1
35
(iii) A�1 =
1
detA
(cof A)T =
1
6
24 18 0 624 0 6
4 1 1
35T =
24 3 4 2=30 0 1=6
1 1 1=6
35
9. Tem-se
detA =
��������
�3 2 0 2
�1 0 0 3
0 9 �2 0
3 �1 0 2
�������� = (�2) (�1)
3+3
������
�3 2 2
�1 0 3
3 �12
������ = (�2) (2 + 18� (�4)� 9) = �30.
41
Logo,
�
A�1
�
(2;2)
=
1
detA
�
(cof A)T
�
(2;2)
=
1
detA
(cof A)(2;2) =
1
�30(�1)
2+2
������
�3 0 2
0 �2 0
3 0 2
������ = �45 .
detB =
��������
�1 0 0 2
4 0 1 0
0 1 0 �3
0 �1 2 2
�������� =
��������
�1 0 0 2
0 0 1 8
0 1 0 �3
0 0 2 �1
�������� = (�1)(�1)
1+1
������
0 1 8
1 0 �3
0 2 �1
������ = �17.
Logo,
�
B�1
�
(2;3)
=
1
detB
�
(cof B)T
�
(2;3)
=
1
detB
(cof B)(3;2) =
1
�17(�1)
3+2
������
�1 0 2
4 1 0
0 2 2
������ = 1417 .
10. (i) x =
���� 1 33 7
�������� 2 35 7
���� =
�2
�1 = 2 e y =
���� 2 15 3
�������� 2 35 7
���� =
1
�1 = �1
(ii)
x =
������
1 1 0
1 0 1
�1 2 2
������������
1 1 0
2 0 1
1 2 2
������
=
�5
�5 = 1; y =
������
1 1 0
2 1 1
1 �1 2
������������
1 1 0
2 0 1
1 2 2
������
= 0 e z =
������
1 1 1
2 0 1
1 2 �1
������������
1 1 0
2 0 1
1 2 2
������
=
5
�5 = �1
11. detC =
������
1 0 1
2 3 2
0 1 �2
������ = �6 6= 0, logo C é invertível. detD =
������
9 �8 �1
�7 �3 0
�2 0 0
������ = 6 6= 0, logo D é
invertível.
(i) det (2C�1) = 23
1
detC
= �4
3
(ii) det
�
C3 (2C)�1
�
= (detC)3
1
23
1
detC
= (detC)2
1
8
=
9
2
(iii) det
��
CT (trC)C
��1�
= det
�
C�1
1
trC
(C�1)
T
�
=
1
(trC)3
det (C�1) det (C�1) =
=
1
23
�
1
detC
�2
=
1
288
(iv) det
�
CT tr
��
1
4
C
�T�
C�2
�
=
1
23
det
�
CT
�
det (C�2) =
1
23
detC
1
(detC)2
=
42
=
1
23
1
detC
= � 1
48
(v) det
�
�2CT
�
�2
3
D3
��1 ��
DT
��1
C
��1�
= (�2)3 det
�
CT
� 1
det
�
�2
3
D3
� 1
det
�
(DT )�1C
� =
= �8 (detC)
�
�3
2
�3
1
(detD)3
detD
detC
= 8
1
(detD)2
27
8
=
27
36
= 3
4
.
12. (i)
������
d e f
g h i
a b c
������ = 5 (ii)
������
�a �b �c
2d 2e 2f
�g �h �i
������ = 10 (iii)
������
a+ d b+ e c+ f
d e f
g h i
������ = 5
(iv)
������
a b c
d� 3a e� 3b f � 3c
2g 2h 2i
������ = 10 (v)
������
a g d
b h e
c i f
������ = �5
13.(i)
������
a b c
6 3 0
�1
2
�1 �1
2
������ = �32 (ii)
������
a b c
2a+ 2 2b+ 1 2c
a+ 1 b+ 2 c+ 1
������ = 1 (iii)
������
a� 1 b� 2 c� 1
3 3 1
1 2 1
������ = 1
(iv) ������
1 �1 �1
2 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
������ = �
������
�1 1 1
2 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
������ =
= �
������
1 2 1
2 1 0
3a+ 1 3b+ 2 3c+ 1
������ = �
������
1 2 1
2 1 0
3a 3b 3c
������ = 3
������
a b c
2 1 0
1 2 1
������ = 3
14.
������
1 2 �
� �� + �2 2�
�� � �
������ = ���.
15. ������������
� 1 1 1 1 1
� �+ 1 2 2 2 2
� �+ 1 �+ 2 3 3 3
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 4 4
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 �+ 4 5
� �+ 1 �+ 2 �+ 3 �+ 4 �+ 5
������������
=
������������
� 1 1 1 1 1
0 � 1 1 1 1
0 0 � 1 1 1
0 0 0 � 1 1
0 0 0 0 � 1
0 0 0 0 0 �
������������
= �6.
43
16. ��������������
� � � : : : �
1 �+ 1 1 : : : 1
... 1 �+ 1
. . .
... 1
. . . 1
...
...
. . . �+ 1 1
1 1 1 : : : 1 �+ 1
��������������
=
��������������
� 0 0 : : : 0
1 � 0 : : : 0
... 0 �
. . .
... 0
. . . 0
...
...
. . . � 0
1 0 0 : : : 0 �
��������������
= �n.
17.������
1 1 1
x1 y1 y1
x2 x2 y2
������ =
������
1 0 0
x1 y1 � x1 y1 � x1
x2 0 y2 � x2
������ = (y1 � x1) (�1)2+2 det
���� 1 0x2 y2 � x2
���� = (y1 � x1) (y2 � x2) .
18.(i)
������
a1 b1 a1 + b1 + c1
a2 b2 a2 + b2 + c2
a3 b3 a3 + b3 + c3
������ =
������
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
������
(ii)
������
b+ c c+ a b+ a
a b c
1 1 1
������ =
������
a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c
a b c
1 1 1
������ =
������
0 0 0
a b c
1 1 1
������ = 0
(iii)
������
a1 + b1 a1 � b1 c1
a2 + b2 a2 � b2 c2
a3 + b3 a3 � b3 c3
������ =
������
2a1 a1 � b1 c1
2a2 a2 � b2 c2
2a3 a3 � b3 c3
������ =
������
2a1 �b1 c1
2a2 �b2 c2
2a3 �b3 c3
������ = �2
������
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
������
19. ���� a1 + b1 c1 + d1a2 + b2 c2 + d2
���� = ���� a1 c1a2 c2
����+ ���� a1 c1b2 d2
����+ ���� b1 d1a2 c2
����+ ���� b1 d1b2 d2
���� :
20. ������
0 0 2
2 1 1
0 0 �5
������ =
������
0 0 2
2 1 1
0 0 0
������ = 0 e
������
4 2 2
2 1 1
0 0 �5
������ =
������
0 0 0
2 1 1
0 0 �5
������ = 0
21.O coe�ciente de x3 na expressão
��������
2x x 1 2
1 x 1 �1
3 2 x 1
1 1 1 x
�������� é �1.
44
22. (i)
������
1 x 1
0 �1 1
1 0 2
������ = 0,
������
1 x 0
0 �1 1
1 0 1
������ = 0, �1 + x = 0, x = 1
(ii)
��������
x x x x
x 4 x x
x x 4 x
x x x 4
�������� = 0,
��������
x x x x
0 4� x 0 0
0 0 4� x 0
0 0 0 4� x
�������� = 0, x (4� x)
3 = 0, (x = 0 ou x = 4)
(iii)
��������
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 x
�������� = 0,
��������
x 1 1 1
0 x� 1 0 1� x
0 0 x� 1 1� x
1 1 1 x
�������� = 0,
,
��������
x 1� x 1� x 1� x
0 x� 1 0 1� x
0 0 x� 1 1� x
1 0 0 x� 1
�������� = 0,
��������
0 1� x 1� x 1� x2
0 x� 1 0 1� x
0 0 x� 1 1� x
1 0 0 x� 1
�������� = 0,
,
��������
0 0 0 3� 2x� x2
0 x� 1 0 1� x
0 0 x� 1 1� x
1 0 0 0
�������� = 0,
��������
0 0 0 3� 2x� x2
0 x� 1 0 0
0 0 x� 1 0
1 0 0 0
�������� = 0,
, �
��������
1 0 0 0
0 x� 1 0 0
0 0 x� 1 0
0 0 0 3� 2x� x2
�������� = 0, � (x� 1)
2 (3� 2x� x2) = 0, (x = 1 ou x = �3)
23.
������
5 3 3
7 1 5
8 7 1
������ =
������
5 53 3
7 71 5
8 87 1
������ =
������
5 53 533
7 71 715
8 87 871
������. Como 533; 715 e 871 são múltiplos de 13 então a 3a
coluna é também múltipla de 13. Logo
������
5 3 3
7 1 5
8 7 1
������ é múltiplo de 13.
24.
������
2 1 8
�1 0 10
3 �7 4
������ =
������
2 1 8 + (�3)� 1
�1 0 10 + (�3)� 0
3 �7 4 + (�3)� (�7)
������ =
������
2 1 5
�1 0 10
3 �7 25
������. Como a 3a coluna é múltipla
de 5, logo
������
2 1 5
�1 0 10
3 �7 25
������ é múltiplo de 5.
25. Seja A = (aij)n�n com n ímpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n: Mostre que A
não é invertível.
Dem. (aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n), AT = �A. Logo
detA = det
�
AT
�
= det (�A) = (�1)n detA =
n é ímpar
� detA, detA = 0:
Pelo que A não é invertível.
45
4a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (Espaços lineares)
1. Veri�que que os seguintes subconjuntos de R2, com as operações usuais, não são subespaços de R2.
(i) f(x; y) 2 R2 : x � 0g (ii) f(x; y) 2 R2 : xy = 0g (iii) f(x; y) 2 R2 : y = x2g
2. Veri�que que os seguintes conjuntos, com as operações usuais, são (todos os) subespaços de R2.
(i) f(0; 0)g
(ii) Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R
(iii) U = f(0; a) : a 2 Rg
(iv) R2
3. No espaço linear R3, considere o subconjunto
Uk = f(x; y; k) : x; y 2 Rg
onde k é uma constante real. Determine os valores de k para os quais Uk é subespaço de R3.
4. Considere o espaço linear V = R3. Diga quais dos seguintes subconjuntos de V , com as operações
usuais, são subespaços de V e indique os respectivos conjuntos geradores.
(i) f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g (ii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y � z = 0g
(iii) f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g (iv) f(0; 0; z) : z 2 Rg
(v) f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg (vi) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g
(vii) f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x� y � z = 0g
(viii) f(x; y; z) 2 R3 : x = y ou y = zg
(ix) f(x; y; z) 2 R3 : x� y = 0 e 2y + z = 0g (x) f(x; y; z) 2 R3 : xy = 0g
5. Seja Pn o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n,
com as operações usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P2, com as operações usuais, são
subespaços de P2 e indique os respectivos conjuntos geradores.
(i) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a0 = 0g (ii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 = 2a0 e a1 = 0g
(iii) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a1 = 1g (iv) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 � a1 = 2g
(v) fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 � a1 + 2a0 = 0g
6. SejaMm�n(R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo m�n com entradas reais. Diga quais dos
seguintes subconjuntos deM2�3(R), com as operações usuais, são subespaços deM2�3(R) e indique
os respectivos conjuntos geradores.
(i)
��
a b c
d 0 0
�
2M2�3(R) : b = a+ c
�
(ii)
��
a b c
d 0 f
�
2M2�3(R) : b < 0
�
(iii)
��
a b c
d e f
�
2M2�3(R) : a = �2c e f = 2e+ d
�
:
46
7. Determine o espaço das colunas, o espaço das linhas e o núcleo das seguintes matrizes.
(i)
�
1 �1
0 0
�
(ii)
�
1 2 3
0 0 0
�
(iii)
�
0 0 0
0 0 0
�
(iv)
24 2 1 10 0 1
0 0 0
35
(v)
24 1 02 3
2 1
35 (vi)
24 1 22 4
2 4
35 (vii)
24 0 00 0
0 0
35 (viii)
24 1 0 12 3 0
2 1 0
35
8. Veri�que que, com as operações usuais, o seguinte conjunto de matrizes8<:
24 1 00 0
0 0
35 ;
24 0 01 0
0 0
35 ;
24 0 00 1
0 0
35 ;
24 0 00 0
0 1
359=;
gera o subespaço 8<:24 a 0b c
0 d
35 2M3�2(R) : a; b; c; d 2 R
9=;
do espaço linearM3�2(R).
9. Considere, no espaço linear R3, os vectores v1 = (1; 2; 1), v2 = (1; 0; 2) e v3 = (1; 1; 0). Mostre que os
seguintes vectores são combinações lineares de v1; v2 e v3.
(i) (3; 3; 0) (ii) (2; 1; 5) (iii) (�1; 2; 0) (iv) (1; 1; 1)
10. Considere, no espaço linear R4, os vectores v1 = (1; 0; 0; 1), v2 = (1;�1; 0; 0) e v3 = (0; 1; 2; 1). Diga
quais dos seguintes vectores pertencem ao subespaço L (fv1; v2; v3g).
(i) (�1; 4; 2; 2) (ii) (2; 0; 2; 2) (iii) (1; 1;�2; 2) (iv) (0; 1; 1; 0)
11. Determine o valor de k para o qual o vector u = (1;�2; k) 2 R3 é combinação linear dos vectores
v = (3; 0;�2) e w = (2;�1;�5):
12. Considere, no espaço linear P2, os vectores p1(t) = 2 + t+ 2t2, p2(t) = �2t+ t2, p3(t) = 2� 5t+ 5t2
e p4(t) = �2� 3t� t2. O vector
q(t) = 2 + t+ t2
pertence à expansão linear L (fp1(t); p2(t); p3(t); p4(t)g)? Podem os vectores p1(t), p2(t), p3(t) e p4(t)
gerar P2?
13. Veri�que que os seguintes conjuntos de vectores geram R3.
(i) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g (ii) f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g
(iii) f(1; 1; 1) ; (�1; 1;�1); (1;�1;�1); (�1;�1; 1)g
14. Escreva a matriz
�
3 1
1 �1
�
como combinação linear das matrizes
A =
�
1 1
1 0
�
; B =
�
0 0
1 1
�
, C =
�
0 2
0 �1
�
:
47
Encontre uma matriz 2� 2 que não pertença a
L
���
1 1
1 0
�
;
�
0 0
1 1
�
;
�
0 2
0 �1
���
:
Antes de a determinar, explique porque é que essa matriz existe.
15. Determine os vectores (a; b; c) de R3 que pertencem a L (fu; v; wg) onde
u = (2; 1; 0); v = (1;�1; 2) e w = (0; 3;�4):
16. Sejam
A =
�
1 1 5
2 3 13
�
e B =
24 1 �1 �14 �3 �1
3 �1 3
35 :
Veri�que que o espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de B: Conclua então que os
espaços das colunas de AT e de BT são iguais.
17. Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço linear R4.
(i) f(x; y; z; w) 2 R4 : x = 0 e y + z = 0g
(ii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ y + z + w = 0g
(iii) f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y � z = 0 e x+ y + 2w = 0 e y � z + w = 0g
18. De�na por meio de sistemas de equações homogéneas os seguintes subespaços.
(i) Em P2: L (f1� t2; 1 + tg) (ii) L (f(1; 0; 1); (0; 1; 0); (�2; 1;�2)g)
(iii) L (f(0; 1; 0); (�2; 1;�2)g) (iv) L (f(1; 1; 2); (2; 1; 1)g) (v) L (f(1; 0;�1; 1)g)
(vi) L (f(1;�2; 5;�3); (2;�4; 6; 2); (3;�6; 11;�1); (0; 0; 1;�2)g)
19. Determine as condições que os parametros �i; �i(i = 1; 2) devem veri�car para que os vectores
(�1; �1; 3) e (�2; �2; 9), no espaço linear R3, sejam linearmente independentes.
20. Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R3 são linearmente dependentes ou linearmente inde-
pendentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subcon-
junto linearmente independente com o maior no possível de elementos e escreva os restantes como
combinação linear desses vectores.
(i) f(4; 2; 1); (2; 6;�5); (1;�2; 3)g (ii) f(1; 2;�1); (3; 2; 5)g
(iii) f(1; 2; 3); (1; 1; 1); (1; 0; 1)g (iv) f(1; 0;�1); (0; 0; 0); (0; 1; 1)g
(v) f(1; 1; 0); (0; 2; 3); (1; 2; 3); (x; y; z)g (com x; y; z 2 R).
21. Determine todos os valores de a para os quais f(a2; 0; 1); (0; a; 2); (1; 0; 1)g é uma base de R3:
22. Sejam U = L (f(1; 1; 0; 0); (0; 1; 1; 0)g) e Vk = L (f(2; k; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) subespaços deR4:Determine
os valores de k para os quais dim (U \ Vk) = 1.
23. No espaço linear R3, construa uma base que inclua os vectores:
(i) (1; 0; 2) e (0; 1; 2). (ii) (2;�1; 1) e (�4; 2; 1). (iii) (�1; 2; 1) e (1; 0;�1).
48
24. Veri�que que os seguintes subconjuntos do espaço linear de todas as funções reais de variável real são
linearmente dependentes. Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o
maior no possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
(i) S = fcos2 t; sen2 t; cos 2tg (ii) S = f2; sen2 t; cos2 tg
(iii) S = fet; e�t; cosh tg (iv) S =
�
1; t; t2; (t+ 1)2
	
Determine uma base para cada subespaço L(S) e calcule a respectiva dimensão.
25. Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real. Sejam f; g; h 2 V , com f (t) = sen t,
g (t) = cos t e h (t) = t. Mostre que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente.
26. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R2. Determine bases e as dimensões dos
espaços gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R2 encontrada, exprima o vector
(0;�1) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada. Isto é, determine as coordenadas
do vector (0;�1) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada base ordenada de R2,
determine ainda o vector cujas coordenadas são (0;�1).
(i) f(1; 3); (1;�1)g (ii) f(0; 0); (1; 2)g (iii) f(2; 4)g
(iv) f(�5; 0); (0; 2)g (v) f(1; 2); (2;�3); (3; 2)g (vi) f(1; 0); (0; 1)g
27. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R3. Determine bases e as dimensões
dos espaços gerados por cada um desses conjuntos. Em cada base de R3 encontrada, exprima o
vector (�1; 1;�2) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada. Isto é, determine as
coordenadas do vector (�1; 1;�2) em cada base ordenada encontrada. Relativamente a cada base
ordenada de R3, determine ainda o vector cujas coordenadas são (�1; 1;�2).
(i) f(1; 2; 3); (0; 0; 0); (0; 1; 2)g (ii) f(1; 2; 0); (0; 1;�1)g
(iii) f(3; 2; 2); (�1; 2; 1); (0; 1; 0)g (iv) f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g
(v) f(1; 1;�1); (2; 3; 4); (4; 1;�1); (0; 1;�1)g (vi) f(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)g
28. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R4. Determine bases e as dimensões dos
espaços gerados por cada um desses conjuntos. Em cada alínea indique uma base de R4 que inclua
pelo menos dois vectores do conjunto apresentado.
(i) f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 0; 0); (1; 1; 1; 1); (0; 1; 1; 1)g
(ii) f(1;�1; 0; 2); (3;�1; 2; 1); (1; 0; 0; 1)g
(iii) S = f(1; 0; 0; 1); (0; 1; 1; 0); (0; 1; 0; 1); (1; 0; 1; 0); (0; 0; 1; 1)g
(iv) f(1; 0; 0; 2); (1; 0; 2; 0); (1; 2; 0; 0); (3; 0; 0; 0)g
(v) f(1;�2; 5;�3); (2;�4; 6; 2); (3;�6; 11;�1); (0; 0; 5; 5)g
(vi) S = f(2; 1;�1; 2); (�1;�1; 1; 2); (4;�2; 2;�2); (5;�2; 2; 2)g :Nesta alínea, veri�que que (8;�3; 3; 5) 2
L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8;�3; 3; 5).
29. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de P2 (espaço linear dos polinómios reais de
grau menor ou igual a 2). Determine bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses
conjuntos. Determine as coordenadas do vector 1 � t em cada base ordenada de P2 encontrada.
Relativamente a cada base ordenada de P2, determine ainda o vector cujas coordenadas são (�1; 3; 2).
(i) f2 + t� t2; 2t+ 2t2;�t2g (ii) f2t� t2; 1� 2t2; 2 + t; 1� 4tg
(iii) f1 + t2; t� t2; 1� t+ 2t2; 1 + tg (iv) f�1 + 2t+ t2; 2� tg
49
(v) f1 + 2t� t2; 3 + t2; 5 + 4t� t2;�2 + 2t� t2g (vi) f1; t; t2g
30. Mostre que as matrizes �
1 1
0 0
�
;
�
0 0
1 1
�
;
�
1 0
0 1
�
e
�
0 1
1 1
�
formam uma base para o espaço linearM2�2(R):
31. Seja S =
��
1 3
�1 2
�
;
�
0 11
�5 3
�
;
�
2 �5
3 1
�
,
�
4 1
1 5
�
;
�
3 �2
2 3
��
. Seja W um subespaço de
M2�2(R) gerado por S. Determine uma base para W que inclua vectores de S.
32. Determine uma base paraM3�2(R). Qual é a dimensão do espaço linearM3�2(R)?
33. Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de M3�3(R) e calcule a respectiva
dimensão:
(i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo 3� 3:
(ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simétricas do tipo 3� 3:
34. Determine as dimensões e indique bases para: o núcleo, o espaço das linhas e o espaço das colunas
das seguintes matrizes.
(i)
�
3 1
�6 �2
�
(ii)
�
3 0 �6 0
1 0 �2 0
�
(iii)
24 0 1 0 00 0 1 0
0 0 0 1
35 (iv)
24 1 1 �2�1 2 1
0 1 �1
35
(v)
2664
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
3775 (vi)
24 �1 3 0 20 2 2 0
�1 3 0 2
35 (vii)
2664
1 2 3 �1
2 3 2 0
3 4 1 1
1 1 �1 1
3775 :
Determine tambem a característica e a nulidade de cada uma delas.
35. Sejam U e V subespaços de W tais que dimU = 4; dimV = 5 e dimW = 7. Diga quais as dimensões
possíveis para U \ V .
36.Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V , dizendo em que casos U + V é a soma
directa U � V (determine-a) dos subespaços U e V .
(i) U = L (f(1;�1; 1); (0; 1; 1)g) ; V = L (f(1; 1; 2); (�1; 1; 1)g) em R3:
(ii) U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y � z = 0 e x+ y = 0g ; V = L (f(1; 1; 1)g) em R3:
(iii) U = L (f(1; 0; 1); (�1; 1; 2)g) ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + 3z = 0g em R3:
(iv) U = f(x; y; z) 2 R3 : x = y = zg ; V = f(x; y; z) 2 R3 : x = 0g em R3:
(v) U = L (f1 + t; 1� t2g), V = fa0 + a1t+ a2t2 2 P2 : a2 � a1 + a0 = 0g em P2.
(vi) U = L (f1 + t; 1� t3g), V = L (f1 + t+ t2; t� t3; 1 + t+ t3g) em P3.
(vii) U = L (f(2;�2; 1;�2); (�1; 1; 1; 3); (0; 0;�6;�8); (�1; 1;�5;�5)g) ;
V = L (f(0; 0; 0;�1); (0; 1; 2; 3); (0; 2; 4; 8)g) em R4:
(viii) U = f(x; y; z; w) 2 R4 : x+ 2y + 3z = 0 e y + 2z + 3w = 0g,
50
V = L (f(2; 5;�4; 1); (0; 9;�6; 1); (�4;�1; 2;�1)g) em R4:
Neste alínea (viii) mostre que U = V .
(ix) Seja U o subespaço de R5 gerado por
f(1;�1;�1;�2; 0); (1;�2;�2; 0;�3); (1;�1;�2;�2; 1)g .
Seja V o subespaço de R5 gerado por
f(1;�2;�3; 0;�2); (1;�1;�3; 2;�4); (1;�1;�2; 2;�5)g .
Comece por escrever U e V como soluções de sistemas de equações lineares homogéneas.
(x) Sejam U e V subespaços de R4 gerados respectivamente por F e por G, com
F = f(1; 0;�1; 0); (0; 1; 1; 1); (1; 0; 0;�2) ; (0; 0;�1; 2)g ;
G = f(1; 1; 1; 1); (1; 2; 0;�1); (0; 0; 1; 1)g .
37. Seja A =
266664
1 �1 0 2 1
0 0 2 4 0
2 �2 �1 2 1
�1 1 2 2 1
0 0 0 0 0
377775 :
(i) Calcule a nulidade e a característica de A:
(ii) Determine bases para o espaço das colunas de A e para o núcleo de A:
(iii) Usando a alínea anterior, determine a solução geral do sistema de equações lineares homogéneo
Au = 0.
(iv) Resolva o sistema de equações Au = b, com b = (1; 0; 2;�1; 0): Note que b é igual à 1a coluna
de A e use esse facto de modo a encontrar uma solução particular de Au = b.
38. Utilize a informação da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimensão do espaço gerado
pelas linhas de A, do espaço gerado pelas colunas de A, do núcleo de A e do núcleo de AT . Diga
tambem se o correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX = B é possível,
determinando para esses casos, o número de parâmetros que entram na solução geral de AX = B.
A 3� 3 3� 3 3� 3 5� 9 9� 5 4� 4 6� 2
car A 3 2 1 2 2 0 2
car [A j B] 3 3 1 2 3 0 2
39. Construa uma matriz cujo núcleo seja gerado pelo vector (2; 0; 1).
40. Existe alguma matriz cujo espaço das linhas contém o vector (1; 1; 1) e cujo núcleo contém (1; 0; 0)?
41. Quais são as matrizes do tipo 3� 3 cujo núcleo tem dimensão 3?
42. Seja A 2 Mm�n(R) tal que C(A) = N (A). Prove que A 2 Mn�n(R) com n par. Dê um exemplo
para n = 4.
43. Seja A 2Mn�n(R) tal que carA = n e A2 = A. Prove que A = I.
51
44. Sejam B1 = f(1; 2); (0; 1)g e B2 = f(1; 1); (2; 3)g duas bases ordenadas de R2. Seja v = (1; 5).
(i) Determine as coordenadas de v em relação à base B1.
(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base B2.
(iii) Determine as coordenadas de v em relação à base B2, usando as alíneas anteriores.
(iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relação à base B2.
(v) Determine a matriz SB2!B1 de mudança da base B2 para a base B1.
(vi) Determine as coordenadas de v em relação à base B1, usando a alínea anterior, e compare com
o resultado obtido em (i).
45. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de R2, onde
v1 = (1; 2), v2 = (0; 1).
Suponha que a matriz SB2!B1 de mudança da base B2 para a base B1, é dada por:
SB2!B1 =
�
2 1
1 1
�
.
Determine B2.
46. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde
w1 = �1 + t, w2 = 1 + t.
Suponha que a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base B2, é dada por:
SB1!B2 =
�
2 3
�1 2
�
.
Determine B1.
47. Sejam B1 = f1; 1� t; t2g e B2 = f1; 1 + t; 1 + t+ t2g duas bases ordenadas de P2.
(i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) 2 P2 em relação à base B2 são dadas por (1; 2; 3).
Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B1.
(ii) Determine a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base B2 e utilize-a para determinar
as coordenadas do vector 2� t+ t2 na base B2.
48. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1, onde
w1 = t, w2 = 1� t.
Suponha que a matriz SB2!B1 de mudança da base B2 para a base B1, é dada por:
SB2!B1 =
�
2 3
�1 2
�
.
Determine B1.
52
49. Sejam B1 = fv1; v2; v3g e B2 = fw1; w2; w3g duas bases ordenadas de R3, onde
v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 0), v3 = (0; 0; 1).
Suponha que a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base B2, é dada por:
SB1!B2 =
24 1 1 22 1 1
�1 �1 1
35 .
Determine B2.
50. Sejam B1 =
��
1 0
0 0
�
;
�
0 1
0 0
�
;
�
0 0
1 0
�
,
�
0 0
0 1
��
e
B2 =
��
�1 1
1 1
�
;
�
1 �1
1 1
�
;
�
1 1
�1 1
�
,
�
1 1
1 �1
��
duas bases ordenadas deM2�2(R). Determine a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base
B2 e utilize-a para determinar as coordenadas do vector
�
1 2
3 4
�
em relação à base B2.
51. Seja B = fv1; v2g uma base ordenada de P1. Sejam (1;�1) e (2; 2) respectivamente as coordenadas
de dois polinómios 1 + t e 1� t em relação à base B: Determine B.
52. Sejam B1 = fv1; v2g e B2 = fw1; w2g duas bases ordenadas de P1. Suponha que (1;�1) e (2; 2) são
respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B1 e B2: Suponha ainda
que (1; 1) e (2;�2) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases
B1 e B2: Determine a matriz SB1!B2 de mudança da base B1 para a base B2.
53
Resolução da 4a Ficha de exercícios
1. (i) Seja U = f(x; y) 2 R2 : x � 0g. Por exemplo:
(1; 1) 2 U , mas (�1)(1; 1) = (�1;�1) =2 U .
Logo, U não é subespaço de R2.
(ii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : xy = 0g. Por exemplo:
(1; 0); (0; 1) 2 U , mas (1; 0) + (0; 1) = (1; 1) =2 U .
Logo, U não é subespaço de R2.
(iii) Seja U = f(x; y) 2 R2 : y = x2g. Por exemplo:
(1; 1) 2 U , mas 2(1; 1) = (2; 2) =2 U .
Logo, U não é subespaço de R2.
2. Atendendo às respectivas dimensões, os seguintes subespaços de R2, com as operações usuais, são
todos os subespaços de R2.
(i) f(0; 0)g é subespaço de R2.
(ii) Seja Vk = f(x; kx) : x 2 Rg com k 2 R (�xo). Sejam (x1; kx1); (x2; kx2) 2 Vk e � 2 R. Tem-se
(x1; kx1) + (x2; kx2) = (x1 + x2; k (x1 + x2)) 2 Vk
e, com (x; kx) 2 Vk,
�(x; kx) = (�x; k (�x)) 2 Vk.
Logo, para todo o k 2 R, Vk é subespaço de R2.
Em alternativa, uma vez que
Vk = L (f(1; k)g) ,
para todo o k 2 R, conclui-se que Vk é subespaço de R2 (para todo o k 2 R).
(iii) Seja U = f(0; a) : a 2 Rg. Sejam (0; a1) ; (0; a2) 2 U e � 2 R. Tem-se
(0; a1) + (0; a2) = (0; a1 + a2) 2 U
e, com (0; a) 2 U ,
�(0; a) = (0; �a) 2 U .
Logo, U é subespaço de R2.
Em alternativa, uma vez que
U = L (f(0; 1)g) ,
conclui-se que U é subespaço de R2.
(iv) R2 é subespaço de R2.
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3. Uk é subespaço de R3 se e só se k = 0.
4. (i) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : z = 2g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U não é subespaço de R3.
(ii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y � z = 0g. Tem-se
U = f(x; y; x+ y) : x; y 2 Rg .
Uma vez que
(x; y; x+ y) = (x; 0; x) + (0; y; y) = x(1; 0; 1) + y(0; 1; 1),
para quaisquer x; y 2 R, tem-se:
U = L (f(1; 0; 1); (0; 1; 1)g) .
Logo, U é subespaço de R3.
Alternativamente, note que U = N (A) é subespaço de R3, com A =
�
1 1 �1
�
:
(iii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x > 0g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U não é subespaço de R3.
(iv) Seja U = f(0; 0; z) : z 2 Rg. Uma vez que (0; 0; z) = z(0; 0; 1), para qualquer z 2 R, tem-se:
U = L (f(0; 0; 1)g) .
Logo, U é subespaço de R3.
(v) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : y = 2x e z = 3xg. Tem-se U = f(x; 2x; 3x) : x 2 Rg.
Uma vez que (x; 2x; 3x) = x(1; 2; 3), para qualquer x 2 R, tem-se:
U = L (f(1; 2; 3)g) .
Logo, U é subespaço de R3.
Alternativamente, note que U = N (A) é subespaço de R3, com A =
�
�2 1 0
�3 0 1
�
:
(vi) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y = 1g. Ora (0; 0; 0) =2 U . Logo, U não é subespaço de R3.
(vii) Seja U = f(x; y; z) 2 R3 : x+ y + z = 0 e x� y � z = 0g. Tem-se
U = f(0; y;�y) : y 2 Rg .
Uma vez