Solution Unidade 1 Vibrações

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Lista de Exercícios: soluções – Unidade 1 
 
1.1 Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,01 mm e freqüência de 50 Hz. Escrever a equação do 
movimento harmônico e determinar a máxima velocidade e a aceleração máxima. 
 
Dados: A = 0,01 mm e f = 50 Hz. 
rad/s 3145022   f 
Equação do movimento harmônico 
 mm 100sin01,0 tx  
  mm/s 14,3 mm/s 100cos
max
 xtx   
  2
max
22 mm/s 987mm/s 100sin100  xtx   
 
1.2 Um movimento harmônico tem uma amplitude de 0,05 m e uma frequência de 10 Hz. Achar o seu período, 
velocidade máxima e aceleração máxima. 
 
Dados: A = 0,05 mm e f = 10 Hz. 
s 100,0
10
11

f
T 
rad/s 8,621022   f 
Equação do movimento harmônico 
 m 20sin05,0 tx  
  m/s 14,3 m/s 20cos
max
 xtx   
  2
max
22 m/s 197m/s 20sin20  xtx   
 
1.3 Um movimento harmônico é expresso pela equação   ttx 227cos3,0 mm. Determinar a freqüência circular, a 
velocidade máxima e a máxima aceleração. 
 
Dados:  mm 227cos3,0 tx  . 
rad/s 227 
  mm/s 1,68 mm/s 227sin1,68
max
 xtx  
  2
max
23 m/s 5,15mm/s 227cos1046,15  xtx  
 
1.4 Um movimento harmônico é expresso pela equação    4227cos3,05,0  ttx mm. Determinar a 
amplitude, o máximo deslocamento, o ângulo de fase, a freqüência angular, a velocidade máxima e a aceleração 
máxima. 
 
Dados:    mm 4227cos3,05,0  ttx . 
mm 300,0A 
mm 800,03,05,0
max
x 
rad 785,0 
rad/s 227 
  mm/s 1,68 mm/s 4227sin1,68
max
 xtx   
  2
max
23 m/s 5,15mm/s 4227cos1046,15  xtx   
 
1.5 Um movimento harmônico possui velocidade máxima igual a 1,5 mm/s e freqüência de 50 Hz. Escrever a 
equação do movimento harmônico e determinar sua amplitude e máxima aceleração. 
 
Dados: vmax = 1,5 mm/s, f = 50 Hz. 
mm 1077,4
502
5,1
2
3max 


f
x
A

 
 mm 100sin1077,4 3 tx  
 mm/s 100cos5,1 tx  
  2
max
2 mm/s 471mm/s 100sin150  xtx   
 
1.6 Um movimento harmônico possui amplitude de 0,02 mm e velocidade máxima de 2 mm/s. Determinar a 
freqüência angular, a aceleração máxima e escrever a equação do movimento harmônico. 
 
Dados: A = 0,02 mm, vmax = 2 mm/s. 
rad/s 100
02,0
2
max 
A
x
 
2
maxmax
mm/s 2002100  xx   
 mm 100sin02,0 tx  
 
1.7 Em um teste de vibração, um acelerômetro mediu uma aceleração máxima de 14,5 m/s2 e um osciloscópio mediu 
o período da vibração em 16,6 ms. Determinar a amplitude da vibração, assumindo movimento harmônico. 
 
Dados: T = 16,6 ms, amax = 14,5 m/s
2
. 
m 10101
379
5,14
m/s 5,14
rad/s 379
106,16
22
 s 106,16
2
6
22
max22
max
3
3













a
AAa
T
T
 
 
1.8 Durante um teste, a velocidade máxima e a aceleração máxima da vibração de uma máquina foram medidas 
como vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g. Assumindo que ocorre um movimento harmônico, determinar a freqüência 
da vibração. 
 
Dados: vmáx = 0,01 m/s e amáx = 0,2 g. 
rad/s 196
01,0
81,92,0
max
max 


x
x


 
Hz 2,31
2
2,96'
2



f 
 
1.9 Um acelerômetro montado na estrutura de um edifício indica que a mesma está vibrando harmonicamente com 
15 cps, com uma aceleração máxima de 0,5g. Determinar a amplitude do deslocamento e a máxima velocidade 
da estrutura. 
 
Dados: f = 15 Hz, amáx = 0,5 g. 
mm/s 0,52
152
81,95,0
2
max
max




f
x
x

 
mm 552,0
152
0,52
2
max 


f
x
A

 
 
1.10 A máxima amplitude e a máxima aceleração da base de uma bomba centrífuga são xmax= 0,25 mm e amax= 0,4g. 
Achar a velocidade de operação da bomba. 
 
Dados: xmax= 0,25 mm e amax= 0,4g. 
rad/s 125
1025,0
81,94,0
3
max 



A
x
 
rpm 1196Hz 9,19
2
3,125
2



f 
 
1.11 Para localizar a fonte de uma vibração, foram medidas suas amplitude e velocidade máxima, sendo iguais a xmáx 
= 0,002 m e vmáx = 0,75 m/s. Existem duas máquinas operando no mesmo setor: uma a 3580 rpm e outra a 1720 
rpm. A vibração medida é compatível com uma destas duas máquinas? Justifique. 
 
Dados: xmáx = 0,002 m, vmáx = 0,75 m/s, n1 = 3580 rpm e n2 = 1720 rpm. 
rpm 358160Hz 7,59
2
375
2
rad/s 375
002,0
75,0
max
max





f
x
v
 
Próximo a 3600 rpm o que indica que o problema deve se relacionar predominantemente com a primeira 
máquina que opera a 3600 rpm. 
1.12 A velocidade de um movimento harmônico possui uma amplitude de 3,4 mm/s. Determinar o valor rms da 
velocidade e sua amplitude em decibéis usando como referência o valor v0 = 10
-8
 m/s. 
 
Dados: vmáx = 3,4 mm/s, v0 = 10
-8
 m/s. 
mm/s 40,24,3
2
2
2
2
max
 xx
rms
 
dB 111
10
104,3
log20log20
8
3
10
0
max
10





v
x
x
dB

 
 
1.13 Um movimento harmônico possui uma amplitude de 0,5 mm e uma freqüência de 50 Hz. Determinar o valor rms 
do deslocamento e da velocidade máxima em decibéis usando como referência o valor v0 = 10
-8
 m/s. 
 
Dados: A = 0,5 mm, f = 50 Hz e v0 = 10
-8
 m/s. 
mm 353,05,0
2
2
2
2
 Ax
rms
 
mm/s 1575,05022
max
 fAx 
dB 144
10
101,157
log20log20
8
3
10
0
max
10





v
x
x
dB

 
 
1.14 Um movimento harmônico possui uma amplitude de 1 mm e uma freqüência de 60 Hz. Determinar o valor rms 
do deslocamento, velocidade e aceleração máximas em decibéis usando como referências os valores v0 = 10
-8
 
m/s e a0 = 9,81 x 10
-6
 m/s
2
. 
 
Dados: A = 1 mm, f = 60 Hz, v0 = 10
-8
 m/s e a0 = 9,81 x 10
-6
 m/s
2
. 
   
dB 143
1081,9
101602
log20
2
log20log20
dB 152
10
101602
log20
2
log20log20
mm 707,01
2
2
2
2
6
32
10
0
2
10
0
max
10dB
8
3
10
0
10
0
max
10dB




























 
























a
Af
a
a
a
v
Af
v
v
v
AX
rms
 
1.15 O valor rms da amplitude de deslocamento um movimento harmônico é 0,05 mm e sua freqüência angular é 157 
rad/s. Determinar o deslocamento máximo em mm e a velocidade e a aceleração máximas em decibéis usando 
como referência os valores v0 = 10
-8
 m/s e a0 = 9,81 x 10
-6
 m/s
2
. 
 
Dados: Xrms = 0,05 mm,  = 157 rad/s, v0 = 10
-8
 m/s e a0 = 9,81 x 10
-6
 m/s
2
. 
dB 105
1081,9
74,1
log20log20
dB 121
10
101,11
log20log20
m/s 74,11,11157
mm/s 1,110707,0157
mm 0707,005,022
610
0
max
10dB
8
3
10
0
max
10dB
maxmax
maxmax
max





















 















a
a
a
v
v
v
va
xv
Xx
rms


 
 
1.16 Mediu-se a pressão de uma onda sonora verificando-se um comportamento harmônico com valor rms p0 = 2,57 
N/m
2
. Determinar a pressão máxima. 
 
Dados: prms = 2,57 N/m
2
. 
2
max
N/m 63,357,222 
rms
pp 
 
1.17 Um ponto A executa movimento harmônico ao longo de uma linha reta, relativo a um ponto O, com freqüência 
 = 100 rad/s. Se, no instante t = 0, o ponto está a uma distância AO = x0 = 0,1 mm e possui velocidade v0 = 
15 mm/s, determinar a equação do movimento, identificando a amplitude e o ângulo de fase da vibração, 
velocidade máxima e aceleração máxima. 
 
Dados:  = 100 rad/s, t = 0  x0 = 0,1 mm e v0 = 15 mm/s. 
 
  

cos10015cos
sin1,0sin
AtAx
AtAx



 
  0325,0
100
15
1,0cossin
2
2
1
222 





    A 
mm 180,00325,0 A 
rad 588,0
667,0
15
1001,0
tan
cos
sin








 
 m 588,0100sin180,0  tx 
m/s 0,181803,0100
max
 Ax  
222
max
m/s 18031803,0100  Ax  
 
1.18 Uma máquina está submetida ao movimento x(t) = A cos(50t+) mm. As condições iniciais são dadas por x(0) = 
3 mm e x (0) = 1,0 m/s. 
(a) Determinar as constantes A e . 
(b) Expressar o movimento na forma x(t) = A1cost + A2sent, e identificar as constantes A1 e A2. 
 
Dados: x(t) = A cos(50t+)mm, x(0) = 3 mm e x (0) = 1,0 m/s. 
(a) 
003,0
0,1
tan50
cos
sin50
0,1sin50
003,0cos












A
A
A
A
 
rad 42,167,6
003,050
1
tan 

  
mm 2,20A 
(b)        )42,1sin50sin42,1cos50(cos0202,042,150cos0202,050cos  ttttA  
  tttA 50sin02,050cos003,050cos  
 
1.19 Um sensor de velocidade (tipo de instrumento de medição de vibração) indica a velocidade máxima de 125 
mm/s e uma freqüência de 120 Hz. 
(a) Determinar os valores máximos do deslocamento e da aceleração. 
(b) Desenhar um diagrama vetorial de deslocamento, velocidade e aceleração em t = 0. 
 
Dados: mm/s 125
máx
v , rad/s 754 Hz 120  f 
(a) mm 166,0
754
125


máx
máx
v
x 
 
2m/s 2,94754125 
máxmáx
va  
(b) 
vmax = 125 mm/s
amax = 94247,8 mm/s
2 xmax = 0,165786 mm
 
1.20 Expressar o número complexo 5 + 2i na forma exponencial Aei 
 
39,525 22 A 
rad 381,0
5
2
tan 1 





  
iei 381,039,525  
1.21 Somar os números complexos (1 + 2i) e (3 - 4i) e expressar o resultado na forma exponencial Aei 
 
   
rad 464,0
4
2
tan
47,424
244321
1
22





 




A
iii
 
    ieii 464,047,44321  
1.22 Determinar o comprimento de um pêndulo que tenha um período de oscilação de: 
(a) 1 s; 
(b) ½ s. 
(a) s 12 
g
l
T  
mm 24881,9
2
1
2
22














g
T
l 
(b) s 5,02 
g
l
T  
mm 1,6281,9
2
5,0
2
22














g
T
l 
 
1.23 Um relógio de pêndulo é projetado para efetuar uma oscilação completa por segundo, em uma temperatura 
ambiente de 20
o
C. Determinar o atraso diário se a temperatura ambiental é 28
o
C e o coeficiente de expansão 
térmica da haste do pêndulo é  = 22,2 x 10-6 mm/oC. 
 
Comprimento inicial do pêndulo 
   
m 248,0
12
81,9
2
22



f
g
l 
Dilatação térmica 
tll   
Variação do comprimento do pêndulo 
  m 1041,42028248,0102,22 56  L 
Período do pêndulo dilatado 
s 0000888,1
81,9
101,44248,0
22
6
1 




g
l
T 
Em um dia a diferença será 
s 67,70000888,086400360024  TT
dia
 
1.24 Um pêndulo de comprimento l = 0,5 m é deslocado de sua posição inicial por um ângulo de 30o. Determinar a 
velocidade máxima quando o pêndulo passa por sua posição inferior. 
 
tCtC  sincos
21
 
tCtC  cossin
21
 
 
1
6
0 Ct 

 
 
2
00 Ct  
rad/s 43,4
5,0
81,9

l
g
n
 
rad 43,4cos
6
t

  
rad/s 43,4sin32,2 t 
m/s 16,15,032,2
rad/s 32,2
max
max


l



 
 
1.25 O comprimento de um pêndulo é l = 0,5 m mas devido a defeitos de fabricação o mesmo pode variar 0,03 %. 
Determinar qual será a variação correspondente na frequência natural do pêndulo (e em seu período de 
oscilação). 
 
Redução de comprimento 
m 499850,0
100
03,0
1
1






 ll 
s 418291,1
81,9
499850,0
22 1
1
 
g
l
T 
Aumento de comprimento 
m 500150,0
100
03,0
1
2






 ll 
s 418716,1
81,9
500150,0
22 1
2
 
g
l
T 
rad/s 4301,470507,022 Hz 70507,0
418,1
11
11
1
1
  f
T
f 
rad/s 4288,470486,022 Hz 70486,0
419,1
11
11
2
2
  f
T
f 
Diferença no período: ± 0,426 ms 
Diferença na freqüência: ± 0,00133 rad/s