Continuidade e Propriedades das Funções

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Continuidade 
Definição: 
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e “a” um elemento de I. 
Dizemos que f é contínua em “a”, se 
)(lim)( xfi
ax→
∃
 
)()(lim)( afxfii
ax
=
→
 
Definição: 
Dizemos que uma função f é contínua em um intervalo fechado [ ]ba, se f for 
contínua no intervalo ] [ba, e se também for contínua em a, à direita, e em b, à 
esquerda. 
Definição: 
Seja a um ponto do domínio de f. Dizemos que f é contínua à direita de a se 
)()(lim afxf
ax
=
+→
 e dizemos que f é contínua à esquerda de a se 
)()(lim afxf
ax
=
−→
. 
Propriedade das funções contínuas 
Proposição: Se as funções f e g são contínuas em um ponto “a”, então 
(i) f + g é contínua em a; 
(ii) f - g é contínua em a; 
(iii) f . g é contínua em a; 
(iv) f /g é contínua em a; desde que g(a) ≠ 0. 
 
Prova: Item (i) 
Como f e g são contínuas, então 
)()(lim afxf
ax
=
→
 e )()(lim agxg
ax
=
→
. 
=+
→
))((lim xgf
ax
)(lim xf
ax→
+ )( )()(lim agafxg
ax
+=
→
= (f + g)(a). 
Proposição: 
(i) Uma função polinomial é contínua para todo número real. 
(ii) Uma função racional é contínua para todos os elementos do seu 
domínio. 
(iii) As funções xsenxf )( = e xxg cos)( = são contínuas para todo 
número real x. 
(iv) A função exponencial xexf =)( é contínua para todo número real 
x. 
Teorema do Valor Intermediário 
Se f é contínua no intervalo fechado [ ]ba, e L é um número tal que 
)()( bfLaf ≤≤
 ou )()( afLbf ≤≤ , então existe pelo menos um [ ]bax ,∈ tal 
que Lxf =)( . 
 
 
 
 
Consequência: 
Se f é contínua em [ ]ba, e se )(af e )(bf tem sinais opostos, então existe 
pelo menos um número c entre a e b tal que 0)( =cf .