27) Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que cada uma das funções abaixo é contínua em um dado número a. a) ...

Para demonstrar que uma função é contínua em um dado número a, é necessário mostrar que o limite da função quando x se aproxima de a é igual ao valor da função em a. a) Para a função f(x) = 4/(7-x^2), podemos reescrevê-la como f(x) = 4/[(7-x)(7+x)]. Usando as propriedades dos limites, podemos escrever: lim x → a (7-x) = 7-a lim x → a (7+x) = 7+a Assim, temos: lim x → a f(x) = lim x → a [4/[(7-x)(7+x)]] = 4/[(7-a)(7+a)] = 4/(49-a^2) E f(a) = 4/[(7-a)(7+a)] = 4/(49-a^2) Portanto, como lim x → a f(x) = f(a), a função é contínua em a. b) Para a função f(x) = (2x^2 + 4x + 3)/(x-2), podemos reescrevê-la como f(x) = 2x + 8 + 19/(x-2). Usando as propriedades dos limites, podemos escrever: lim x → a (2x + 8) = 2a + 8 lim x → a 19/(x-2) = 19/(a-2) Assim, temos: lim x → a f(x) = lim x → a [2x + 8 + 19/(x-2)] = 2a + 8 + 19/(a-2) E f(a) = 2a + 8 + 19/(a-2) Portanto, como lim x → a f(x) = f(a), a função é contínua em a. c) Para a função f(x) = (x^3 - 3x^2 + 2x)/(x^2 - x - 2), podemos reescrevê-la como f(x) = x - 1 + (3x + 2)/(x-2). Usando as propriedades dos limites, podemos escrever: lim x → a (x - 1) = a - 1 lim x → a (3x + 2)/(x-2) = (3a + 2)/(a-2) Assim, temos: lim x → a f(x) = lim x → a [x - 1 + (3x + 2)/(x-2)] = a - 1 + (3a + 2)/(a-2) E f(a) = a - 1 + (3a + 2)/(a-2) Portanto, como lim x → a f(x) = f(a), a função é contínua em a.