Estatísticas amostrais

4. Estat ´ ısticas amostrais Enquanto que numa p opulac ¸ ˜ ao as medidas de lo calizac ¸ ˜ ao e dis- p ers ˜ ao s ˜ ao ﬁxas , ca racterizando a p opulac ¸ ˜ ao e designando-se p o r pa rˆ ametros , numa amostra estas medidas s ˜ ao estimativas dos pa- r ˆ ametros da p opulac ¸ ˜ ao e designam-se p o r estat ´ ısticas . Seja X uma va ri ´ avel aleat ´ oria que rep resenta uma ca racter ´ ıstica ob- servada numa p opulac ¸ ˜ ao. Efetuam-se n observac ¸ ˜ oes indep endentes e em condic ¸ ˜ oes id ˆ enticas. Sejam X 1 , X 2 ,..., X n as n v.a. asso ciadas ` as n observac ¸ ˜ oes. X 1 , X 2 ,..., X n s ˜ ao v.a. indep endentes seguindo a mesma distribui- c ¸ ˜ ao. A v.a. de dimens ˜ ao n , ( X 1 , X 2 ,..., X n ) constitui uma amostra aleat´ oria ; a amostra ´ e um valo r pa rticula r da amostra aleat ´ oria. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 1 / 36 4. Estat ´ ısticas amostrais A pa rtir de uma amostra aleat ´ oria X 1 , X 2 ,..., X n , vamos esta r pa r- ticula rmente interessados em estima r: a m ´ edia µ da p opulac ¸ ˜ ao; a va ri ˆ ancia σ 2 da p opulac ¸ ˜ ao. A estat ´ ıstica habitualmente usada pa ra estima r a m ´ edia µ ´ e a m´ edia amostral X = X 1 + X 2 + . . . + X n n . A m ´ edia amostral p o de ser vista como uma va ri ´ avel aleat ´ oria. Se considera rmos v ´ arias amostras obtidas da mesma p opulac ¸ ˜ ao, cada uma ter ´ a p rovavelmente uma m ´ edia diferente. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 2 / 36 4.1. Amostragem de uma p opulac ¸ ˜ ao no rmal N ( µ, σ 2 ) M´ edia amostral Se X ∼ N ( µ, σ 2 ), ent ˜ ao X ∼ N ( µ, σ 2 n ) . Ou seja, a m ´ edia amostral tamb ´ em segue uma distribuic ¸ ˜ ao no rmal com m ´ edia µ e desvio padr ˜ ao σ / √ n . Em pa rticula r, reduzindo a va ri ´ avel aleat ´ oria obt ´ em-se X − µ σ / √ n ∼ N (0 , 1) . O desvio padr ˜ ao da m ´ edia amostral, σ / √ n ´ e denominado p o r erro padr ˜ ao da m ´ edia ( σ X , EPM ou SEM) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 3 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. a) Qual a p robabilidade de uma amostra de 25 indiv ´ ıduos ter um p eso m ´ edio entre 68 e 72 kg? b) Estudou-se um grup o de 25 p essoas pa ra as quais o p eso m ´ edio foi de 74 Kg. Qual a p robabilidade de se encontra r uma m ´ edia igual ou sup erio r a esta numa amostra de 25 indiv ´ ıduos? c) Quais os valo res m ´ edios do p eso que limitam os 95% valo res centrais (2.5% em cada cauda) em amostras de dimens ˜ ao 25? d) Qual a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria pa ra que 95% das m ´ edias amostrais estejam inclu ´ ıdas entre ± 1 Kg da m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao? ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 4 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. a) Qual a p robabilidade de uma amostra de 25 indiv ´ ıduos ter um p eso m ´ edio entre 68 e 72 kg? Seja X a va ri ´ avel aleat ´ oria que rep resenta o p eso co rp o ral em Kg de um indiv ´ ıduo da p opulac ¸ ˜ ao. Ent ˜ ao X ∼ N (70 , 10 2 ) e X ∼ N (70 , 10 2 / 25) , onde X rep resenta a m ´ edia amostral de tamanho 25. Assim, P (68 X 72) ≈ 0 . 6827 . Em Excel: NORM.DIST(72;70;2;TRUE)-NORM.DIST(68;70;2;TRUE) Em R: pnorm(72,70,2)-pnorm(68,70,2) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 5 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. b) Estudou-se um grup o de 25 p essoas pa ra as quais o p eso m ´ edio foi de 74 Kg. Qual a p robabilidade de se encontra r uma m ´ edia igual ou sup erio r a esta numa amostra de 25 indiv ´ ıduos? T endo em conta que, X ∼ N (70 , 2 2 ) , segue que P ( X ≥ 74) ≈ 0 . 0228 . Em Excel: 1-NORM.DIST(74;70;2;TRUE) Em R: 1-pnorm(74,70,2) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 6 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. c) Quais os valo res m ´ edios do p eso que limitam os 95% valo res centrais (2.5% em cada cauda) em amostras de dimens ˜ ao 25? Queremos no fundo determina r os quantis 0.025 e 0.975 da m ´ edia amostral. Assim, os limites ser ˜ ao 66 . 08Kg e 73 . 92Kg . Em Excel: NORM.INV(0,025;70;2) e NORM.INV(0,975;70;2) Em R: qnorm(0.025,70,2) e qnorm(0.975,70,2) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 7 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. d) Qual a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria pa ra que 95% das m ´ edias amostrais estejam inclu ´ ıdas entre ± 1 Kg da m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao? Queremos determina r o tamanho n da amostra tal que P (69 X 71) ≥ 0 . 95 . Dada a simetria da distribuic ¸ ˜ ao da m ´ edia amostral, isto equivale a, P ( X 71) ≥ 0 . 975 . Como X ∼ N (70 , (10 / √ n ) 2 ), p o demos fazer a reduc ¸ ˜ ao da va ri ´ avel tomando Z ∼ N (0 , 1) e obtendo P ( X 71) = P ( Z 71 − 70 10 / √ n ) = P ( Z √ n / 10) . ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 8 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 1 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. d) Qual a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria pa ra que 95% das m ´ edias amostrais estejam inclu ´ ıdas entre ± 1 Kg da m ´ edia da p opulac ¸ ˜ ao? A quest ˜ ao resume-se ago ra a determina r n tal que P ( Z √ n / 10) ≥ 0 . 975 , ou seja, √ n / 10 ≥ N 0 . 975 (0 , 1) ⇔ n ≥ (10 N 0 . 975 (0 , 1)) 2 ≈ 384 . 1 Assim, a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria ´ e de 385. Em Excel: (10*NORM.S.INV(,975))ˆ2 Em R: (10*qnorm(.975))ˆ2 ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 9 / 36 4.1. Amostragem de uma p opulac ¸ ˜ ao no rmal N ( µ, σ 2 ) V a riˆ ancia amostral Se X ∼ N ( µ, σ 2 ), ent ˜ ao a va ri ˆ ancia amostral σ 2 = S 2 = 1 n − 1 n X i =1 ( X i − X ) 2 tem m ´ edia e va ri ˆ ancia resp etivamente iguais a E ( S 2 ) = σ 2 , V ( S 2 ) = 2 σ 4 n − 1 . A sua distribuic ¸ ˜ ao ´ e ca racterizada p o r ( n − 1) S 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1) . ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 10 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 2 Sup onha que numa dada p opulac ¸ ˜ ao o p eso co rp o ral ´ e no rmalmente distribu ´ ıdo ap resentando uma m ´ edia de 70 Kg e um desvio padr ˜ ao de 10 Kg. a) Que p ercentagem das amostras de 25 indiv ´ ıduos tem um desvio padr ˜ ao maio r que 10 kg? b) Estudou-se um grup o A de 20 p essoas e um grup o B de 50. Qual a p robabilidade de a va ri ˆ ancia do grup o A ser maio r que a do grup o B? c) Qual o valo r da va ri ˆ ancia amostral do p eso que limita os 95% meno res valo res em amostras de dimens ˜ ao 25? d) Qual a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria pa ra que o desvio padr ˜ ao da va ri ˆ ancia amostral seja meno r que 1? ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 11 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 2 X: p eso em Kg, X ∼ N (70 , 10 2 ) a) Que p ercentagem das amostras de 25 indiv ´ ıduos tem um desvio padr ˜ ao maio r que 10 kg? Quer-se determina r a p robabilidade do desvio padr ˜ ao de uma amos- tra de tamanho 25 ser maio r que 10, ou seja, P ( S > 10) , onde 24 S 2 10 2 ∼ χ 2 (24) Assim, P ( S > 10) = P ( S 2 > 10 2 ) = P (24 S 2 / 10 2 > 24) ≈ 0 . 4616 . Em Excel: 1-CHISQ.DIST(24;24;TRUE) Em R: 1-pchisq(24,24) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 12 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 2 X: p eso em Kg, X ∼ N (70 , 10 2 ) b) Estudou-se um grup o A de 20 p essoas e um grup o B de 50. Qual a p robabilidade de a va ri ˆ ancia do grup o A ser maio r que a do grup o B? Quer-se determina r P ( S 2 A > S 2 B ) onde, U = 19 S 2 A 10 2 ∼ χ 2 (19) e V = 49 S 2 B 10 2 ∼ χ 2 (49) . Reco rdando que U / 19 V / 49 ∼ F (19 , 49), segue que S 2 A / S 2 B ∼ F (19 , 49). Assim, P ( S 2 A > S 2 B ) = P S 2 A S 2 B > 1 ! ≈ 0 . 4775 . Em Excel: 1-F.DIST(1;19;49;TRUE) Em R: 1-pf(1,19,49) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 13 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 2 X: p eso em Kg, X ∼ N (70 , 10 2 ) c) Qual o valo r da va ri ˆ ancia amostral do p eso que limita os 95% meno res valo res em amostras de dimens ˜ ao 25? Quer-se determina r o 0.95-quantil de S 2 , ou seja, o valo r q tal que P ( S 2 q )=0 . 95 , onde 24 S 2 10 2 ∼ χ 2 (24) . Logo, P (24 S 2 / 10 2 24 q / 10 2 )=0 . 95, p elo que 24 q / 10 2 = χ 2 0 . 95 (24) ⇔ q = 10 2 χ 2 0 . 95 (24) / 24 ⇔ q ≈ 151 . 73 . Em Excel: 100/24*CHISQ.INV(,95;24) Em R: 100/24*qchisq(.95,24) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 14 / 36 4.1. Exerc ´ ıcio 2 X: p eso em Kg, X ∼ N (70 , 10 2 ) d) Qual a dimens ˜ ao amostral necess ´ aria pa ra que o desvio padr ˜ ao da va ri ˆ ancia amostral seja meno r que 1? O desvio padr ˜ ao da va ri ˆ ancia amostral ´ e, s 2 σ 4 n − 1 . Dizer que ele ´ e meno r que 1 ´ e equivalente a, 2 σ 4 n − 1 1 . Substituindo σ p o r 10 e resolvendo pa ra n , obtemos n − 1 > 2 · 10 4 ⇔ n > 1+2 · 10 4 = 20001 . Concluimos desta fo rma que n tem de ser p elo menos 20002. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 15 / 36 4.2. T eo rema do Limite Central Quando a dimens ˜ ao amostral n ´ e suﬁcientemente grande, a distri- buic ¸ ˜ ao amostral da m ´ edia ap ro xima-se de uma distribuic ¸ ˜ ao no rmal, qualquer que seja a distribuic ¸ ˜ ao da p opulac ¸ ˜ ao, inclusivamente no caso de uma distribuic ¸ ˜ ao discreta. T eo rema (T eo rema do Limite Central) Sejam X 1 , X 2 ,..., X n va ri ´ aveis aleat ´ orias indep endentes e identica- mente distribu ´ ıdas, com m ´ edia µ e va ri ˆ ancia σ 2 . Pa ra n suﬁciente- mente grande, a m ´ edia amostral X = X 1 + X 2 + · · · + X n n segue ap ro ximadamente uma distribuic ¸ ˜ ao N ( µ, σ 2 / n ) . De fo rma equivalente p o demos dizer que a soma S n = X 1 + X 2 + · · · + X n segue ap ro ximadamente uma distribuic ¸ ˜ ao N ( n µ, n σ 2 ) . ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 16 / 36 4.2. T eo rema do Limite Central O teo rema do limite central n ˜ ao refere a velo cidade de converg ˆ encia da m ´ edia amostral pa ra a distribuic ¸ ˜ ao no rmal em func ¸ ˜ ao de n . Uma regra emp ´ ırica habitual ´ e toma r n ≥ 30 pa ra aceita r a ap ro ximac ¸ ˜ ao p ela distribuic ¸ ˜ ao no rmal. No entanto, a m ´ edia amostral de dis- tribuic ¸ ˜ oes sim ´ etricas p o de ser p raticamente gaussiana mesmo pa ra n mais baixo. P o r outro lado, a m ´ edia amostral de distribuic ¸ ˜ oes ma rcadamente assim ´ etricas p o de esta r muito longe de ser gaussiana mesmo pa ra n muito grande. O teo rema do limite central p ermite obter distribuic ¸ ˜ oes pa ra as es- tat ´ ısticas amostrais mais comuns no caso de amostras grandes. Ele ´ e uma das p rincipais raz ˜ oes pa ra o uso t ˜ ao frequente da distribuic ¸ ˜ ao no rmal em estat ´ ıstica. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 17 / 36 4.2. Exerc ´ ıcio 1 Uma m ´ aquina calculado ra soma 1200 n ´ umeros reais ap ´ os a rredondamento pa ra o inteiro mais p r ´ oximo. Sab endo que o erro cometido em cada a rredondamento ´ e uma va ri ´ avel aleat ´ oria com distribuic ¸ ˜ ao U ( − 1 / 2 , 1 / 2), determine a p robabilidade ap ro ximada de que o erro na soma exceda 10 unidades. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 18 / 36 4.2. Exerc ´ ıcio 2 Uma m ´ aquina de enchimento de b ebidas ´ e uma va ri ´ avel aleat ´ oria com m ´ edia 200 ml e um desvio padr ˜ ao de 15 ml. Qual a p robabilidade de a quantidade m ´ edia de enchimento de uma amostra aleat ´ oria de 36 ga rrafas ser p elo menos 205 ml? ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 19 / 36 4.3. Ap ro ximac ¸ ˜ ao da distribuic ¸ ˜ ao binomial p ela no rmal Sejam X 1 ,..., X n va ri ´ aveis aleat ´ orias indep endentes, cada uma se- guindo a distribuic ¸ ˜ ao binomial B (1 , p ). Em pa rticula r tem-se que E ( X i ) = p e V a r ( X i ) = p (1 − p ) e que X = X 1 + · · · + X n ∼ B ( n , p ) . P elo teo rema do limite central, X a ∼ N ( np , np (1 − p )) . Neste caso pa rticula r ´ e habitual considera r-se que a ap ro ximac ¸ ˜ ao ´ e b oa quando, np > 5 e n (1 − p ) > 5 . Esta ap ro ximac ¸ ˜ ao ´ e usualmente conhecida como o T eorema de De Moivre-Laplace (1738). P a ra ap ro xima r uma distruibuic ¸ ˜ ao discreta p o r uma cont ´ ınua ´ e habitual fazer-se uma co rre¸ c˜ ao de continui- dade , que consiste em estima r cada p robabilidade p ontual p o r uma relativa a um intervalo de raio 0.5 centrado no p onto em quest ˜ ao. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 20 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ B (14 , 1 / 2) determine as seguintes probabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 4); b) P ( X 4); c) P ( X ≤ 4). ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 21 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ B (14 , 1 / 2) determine as seguintes probabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 4). As condic ¸ ˜ oes de aplicabilidade da ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal s ˜ ao satisfeitas: np = 14 × 1 / 2=7 > 5 e n (1 − p ) = 14(1 − 1 / 2) = 7 > 5 . Logo, B (14 , 1 / 2) a ∼ N (7 , 3 . 5) . Assim, P ( X = 4) = P (3 . 5 X 4 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 0600 . Em Excel: NORM.DIST(4,5;7;SQRT(3,5);TRUE)-NORM.DIST(3,5;7;SQRT(3,5);TRUE) Em R: pnorm(4.5,7,sqrt(3.5))-pnorm(3.5,7,sqrt(3.5)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 22 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio X ∼ B (14 , 1 / 2), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 4). O valo r exato da p robabilidade P ( X = 4) ≈ 0 . 0611 p o de ser, p or exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao dbinom(4,14,.5) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.0600, difere ap enas 0.0011 do valo r exato. 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Distribuição Binomial B(14,1/2) x dbinom(x, 14, 0.5) 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Apro ximação Normal N(7,3.5) x dbinom(x, 14, 0.5) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 23 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ B (14 , 1 / 2) determine as seguintes probabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. b) P ( X 4). T endo em conta que B (14 , 1 / 2) a ∼ N (7 , 3 . 5), P ( X 4) = P ( X 3 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 0307 . Em Excel: NORM.DIST(3,5;7;SQRT(3,5);TRUE) Em R: pnorm(3.5,7,sqrt(3.5)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 24 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio X ∼ B (14 , 1 / 2), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. b) P ( X 4). O valo r exato da p robabilidade P ( X 4) ≈ 0 . 0287 p o de ser, p or exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao pbinom(3,14,.5) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.0307, difere 0.0020 do valo r exato. 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Distribuição Binomial B(14,1/2) x dbinom(x, 14, 0.5) 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Apro ximação Normal N(7,3.5) x dbinom(x, 14, 0.5) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 25 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ B (14 , 1 / 2) determine as seguintes probabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. c) P ( X ≤ 4). T endo em conta que B (14 , 1 / 2) a ∼ N (7 , 3 . 5), P ( X ≤ 4) = P ( X 4 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 0907 . Em Excel: NORM.DIST(4,5;7;SQRT(3,5);TRUE) Em R: pnorm(4.5,7,sqrt(3.5)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 26 / 36 4.3. Exerc ´ ıcio X ∼ B (14 , 1 / 2), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. c) P ( X ≤ 4). O valo r exato da p robabilidade P ( X ≤ 4) ≈ 0 . 0898 p o de ser, p or exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao pbinom(4,14,.5) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.0907, difere 0.0009 do valo r exato. 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Distribuição Binomial B(14,1/2) x dbinom(x, 14, 0.5) 0 2 4 6 8 10 12 14 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Apro ximação Normal N(7,3.5) x dbinom(x, 14, 0.5) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 27 / 36 4.4. Ap ro ximac ¸ ˜ ao da distribuic ¸ ˜ ao de P oisson p ela no rmal Sejam X 1 ,..., X n va ri ´ aveis aleat ´ orias indep endentes, cada uma se- guindo a distribuic ¸ ˜ ao de P oisson P ( η ). Em pa rticula r tem-se que E ( X i ) = η , V a r ( X i ) = η e que X = X 1 + · · · + X n ∼ P ( n η ) . P elo teo rema do limite central, X a ∼ N ( n η , n η ) . Considerando λ = n η , concluimos que a distribuic ¸ ˜ ao P ( λ ) po de ser ap ro ximada p ela distribuic ¸ ˜ ao no rmal N ( λ, λ ). Neste caso particula r ´ e habitual considera r-se que a ap ro ximac ¸ ˜ ao ´ e b oa quando λ > 25. ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 28 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ P (30) determine as seguintes p robabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 29); b) P ( X 29); c) P (20 X ≤ 29). ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 29 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ P (30) determine as seguintes p robabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 29). A condic ¸ ˜ ao de aplicabilidade da ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal ´ e satisfeita, isto ´ e, λ = 30 > 25. Logo, P (30) a ∼ N (30 , 30). Assim, P ( X = 29) = P (28 . 5 X 29 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 0715 . Em Excel: NORM.DIST(29,5;30;SQRT(30);TRUE)-NORM.DIST(28,5;30;SQRT(30);TRUE) Em R: pnorm(29.5,30,sqrt(30))-pnorm(28.5,30,sqrt(30)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 30 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio X ∼ P (30), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. a) P ( X = 29). O valo r exato da p robabilidade P ( X = 29) ≈ 0 . 0726 p o de ser, p o r exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao dpois(29,30) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.0715, difere ap enas 0.0011 do valo r exato. 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Distribuição de P oisson P(30) x dpois(x, 30) 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Apro ximação Normal N(30,30) x dpois(x, 30) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 31 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ P (30) determine as seguintes p robabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. b) P ( X 29). T endo em conta que P (30) a ∼ N (30 , 30), P ( X 29) = P ( X 28 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 3921 . Em Excel: NORM.DIST(28,5;30;SQRT(30);TRUE) Em R: pnorm(28.5,30,sqrt(30)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 32 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio X ∼ P (30), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. b) P ( X = 29). O valo r exato da p robabilidade P ( X 29) ≈ 0 . 4031 p o de ser, p o r exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao ppois(29,30) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.3921, difere 0.0110 do valo r exato. 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Distribuição de P oisson P(30) x dpois(x, 30) 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Apro ximação Normal N(30,30) x dpois(x, 30) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 33 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio Sup ondo que X ∼ P (30) determine as seguintes p robabilidades usando a ap ro ximac ¸ ˜ ao ` a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. c) P (20 X ≤ 29). T endo em conta que P (30) a ∼ N (30 , 30), P (20 X ≤ 29) = P (20 . 5 X 29 . 5) (co rrec ¸ ˜ ao de continuidade) ≈ 0 . 4222 . Em Excel: NORM.DIST(29,5;30;SQRT(30);TRUE)-NORM.DIST(20,5;30;SQRT(30);TRUE) Em R: pnorm(29.5,30,sqrt(30))-pnorm(20.5,30,sqrt(30)) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 34 / 36 4.4. Exerc ´ ıcio X ∼ P (30), ap ro xima r com a distribuic ¸ ˜ ao no rmal. c) P (20 X ≤ 29). O valo r exato da p robabilidade P (10 X ≤ 29) ≈ 0 . 4404 p o de ser, p o r exemplo, obtido a partir da instruc ¸ ˜ ao ppois(29,30)-ppois(20,30) em R. A ap ro ximac ¸ ˜ ao obtida, 0.4222, difere 0.0182 do valo r exato. 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Distribuição de P oisson P(30) x dpois(x, 30) 0 10 20 30 40 50 0.00 0.02 0.04 0.06 Apro ximação Normal N(30,30) x dpois(x, 30) ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 35 / 36 4.5. Outras ap ro ximac ¸ ˜ oes 1 Ap ro xima¸ c˜ ao da distribui¸ c˜ ao binomial ` a de Poisson Se X ∼ B ( n , p ), com n > 25 e p 0 . 1, ent ˜ ao B ( n , p ) a ∼ P ( np ) . 2 Ap ro xima¸ c˜ ao da distribui¸ c˜ ao hip ergeom´ etrica ` a binomial Se X ∼ H ( N , D , n ), com n / N 0 . 1, ent ˜ ao H ( N , D , n ) a ∼ B ( n , D / N ) . ´ Oscar F elgueiras 4. Estat ´ ısticas amostrais 36 / 36

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