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e igual).
Exemplos:
2x - 5 < 2, 4x - 3(x+2) > 5(x+9), 2m - 6 £ m - 700
Resolução
A forma que usamos para resolver as inequações é a mesma usada nas equações,
observando que as equações são igualdades e as inequações são desigualdades.
Exemplos:
x - 9 > 7 - x
53
Obs: Observe que no segundo exemplo a inequação foi multiplicada por -1, o sinal da equação
que era <(menor), passou a ser >(maior). Sempre que multiplicarmos uma inequação por -1,
temos que inverter o sinal da desigualdade.
Equações do 2º Grau
De forma geral, chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode ser
escrita na forma, ax2 + bx + c = 0, em que x é a variável e a, b e c são os coeficientes da
equação do 2º grau.
· a representa o coeficiente de x2.
· b representa o coeficiente de x.
· c representa o termo independente.
Exemplos de equações do 2º grau.
5x2 - 3x + 2 = 0 onde: a = 5, b = - 3 e c = 2
x2 + 6x + 9 = 0 onde: a = 1, b = 6 e c = 9
-3x2 + 7x + 1 = 0 onde: a = -3, b = 7 e c = 1
-x2 + 5x - 6 = 0 onde: a = - 1, b = 5 e c = -6
3x2 - 5 = 0 onde: a = 3, b = 0 e c = - 5
x2 + 4x = 0 onde: a = 1, b = 4 e c = 0
Equações do 2º grau Completas e Incompletas
Completas: ax2 + bx + c = 0
Quando possui os coeficientes a, b e c.
Exemplos:
x2 – 4x – 12 = 0, onde: a = 1, b = - 4 e c = -12
- x2 + 11x – 18 = 0, onde: a = -1, b = 11 e c = - 18
Incompletas: ax2 + bx = 0, ax2 + c = 0 ou ax2 = 0
Quando b ou c é igual a zero, ou ambos iguais a zero.
Exemplos:
3x – 4a = 0, onde: a = 3, b = - 4 e c = 0
2x2 + 5 = 0, onde: a = 2, b = 0 e c = 5
3x2 = 0, onde: a = 3, b = 0 e c = 0
Raízes de uma equação do 2º grau
Dizemos que um número é raiz da equação, quando este torna a sentença matemática
verdadeira.
Exemplos:
1. Verifique se o número 9 é raiz da equação x2 – 11x + 18 = 0.
x2 - 11x + 18 = 0
(9)2 - 11(9) + 18 = 0 (substituímos a variável x por 9)
81 - 99 + 18 = 0
0 = 0 (sim, 9 é raiz da equação, observe que os dois membros são iguais)
2. Verifique se 3 é raiz da equação 2x2 + 5x – 3 = 0.
2x2 + 5x - 3 = 0
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2(3)2 + 5(3) - 3 = 0 (substituímos a variável x por 3)
2(9) + 15 - 3 = 0
18 + 15 - 3 = 0
30 ¹ 0 (não, 3 não é raiz da equação, observe que os dois membros são deferentes)
Resolvendo Equações do 2º Grau
Equações Incompletas
ax2 - bx = 0, (c = 0)
a)x2 - 4x = 0
x(x - 4) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)
x = 0
x - 4 = 0
x = 4
S = {0;4}
b)-2x2 - 8x = 0
x(-2x - 8) = 0 (observe: x foi colocado em evidência)
x = 0
-2x = 8 (-1)
2x = - 8
x = - 4
S = {0;-4}
Conclusão: Neste tipo de equação sempre umas das raízes vai ser igual a zero.
ax2 + c = 0, (b = 0)
a)x2 - 16 = 0
x2 = 16 (dois números que elevado ao quadrado dê dezeseis , - 4 e + 4).
x = ± 4
S = {- 4; 4}
b)-2x2 + 8 = 0
-2x2 = - 8(-1)
2x2 = 8
x2 = 4
x2 = 4
x = ± 2
S = {- 2; + 2}
Conclusão: Neste tipo de equação sempre as raízes vão ser opostas.
· ax2 = 0, (b = 0, c = 0)
5x2 = 0
x2 = 0
x = 0 (zero é nulo)
S = { 0 }
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Conclusão: Neste tipo de equação sempre a raiz vai ser igual a zero.
Equações Completas
ax2 + bx + c = 0
Usamos a fórmula de Báskara.(Foi um matemático indiano)
Observe, que a, b e c são os coeficientes da equação do 2º grau.
Resolução
Exemplos:
x2 – 8x + 12 = 0
a = 1, b = - 8 e c = 12
(primeiro vamos calcular o valor de delta)
(substituímos a por 1, b por –8 e c por 12)
(Delta positivo)
(fórmula de Baskara)
(substituímos b por – 8, delta por 16 e a por –1)
S = {-6;-2}
x2 – 12x + 36 = 0
a = 1, b = - 12 e c = 36
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(Delta igual a zero)
S = {6}
2x2 – 4x + 3 = 0
a = 2, b = - 4 e c = 3
(Delta negativo)
S = { }, não existe raiz de número real negativo
Importante
D > 0(Positivo)
A equação possui duas raízes reais e diferentes. (x’ ¹ x”)
D < 0 (Negativo)
A equação não possui raízes reais.
D = 0
A equação possui duas raízes reais e iguais. (x’ = x”)
Problemas Envolvendo o Discriminante (Delta)
Exemplo:
Determine o valor de m na equação 2x2 + 3x + m, para que as raízes sejam reais e iguais.
D = 0 (Raízes reais e iguais)
a = 2, b = 3 e c = m
(Esta equação só vai possuir raízes reais e iguais quando m = 9/8)
Determine o valor de m na equação 2x2 - 4x + 5r, para que as raízes sejam reais e diferentes.
D > 0
a = 2, b = - 4 e c = 5r
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(quando multiplicamos por – 1 o sinal da desigualdade muda)
(Esta equação só vai possuir raízes reais e diferentes quando r < 2/5)
Determine o valor de k na equação -3x2 + 5x – 2k, para que não exista raízes reais.
D < 0
a = - 3, b = 5 e c = -2k
Soma e Produto das Raízes da Equação do 2º Grau
É possível calcular a soma ou produto das raízes da equação do 2º grau sem precisar resolver
a equação. Graças as relações de Girard.
- Soma das raízes.
- Produto das raízes.
Exemplos:
Calcule a soma e o produto das raízes equações do 2º grau.
x2 + 7x + 12 = 0
a = 1, b = 7 e c = 12
Determine o valor de p na equação 4x2 – (m – 2)x + 3 = 0 para que a soma das raízes seja
3/4.
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sistemas
Sistemas do 1º grau
Dizemos que duas equações do 1º grau, formam um sistema quando possuem uma
solução comum (mesma solução).
Nesse caso as duas equações tem o mesmo conjunto universo.
Resolvendo sistemas do 1º grau:
1º) Método da adição:
Esse método consiste em adicionarmos as duas equações membro a membro,
observando que nesta operação deveremos eliminar uma variável.
Exemplo 1:
1º somamos as duas equações membro a membro:
Logo: 2x = 14 logo x = 14/2 Logo x = 7
Voltamos na 1ª ou 2ª equação:
1ª equação: x + y = 9 (vamos substituir x por 2)
2 + y = 9 logo y = 9 – 2 logo y = 7
S = {(2;7)}
Obs: no conjunto solução de um sistema, devemos colocar o par de números dentro de
um parêntesis por ser um par ordenado, primeiro x depois y.
Exemplo 2:
Observe que na forma em que se encontram as equações. Se adicionarmos não
eliminaremos nenhuma das variáveis. Vamos multiplicar a 1ª ou 2ª equação por (-1), para que
os coeficientes de y fiquem opostos –3 e +3.
Voltando na 1ª equação vamos substituir x por 2.
s = {(2;1)}
Sistemas do 2º Grau
Veja os seguintes sistemas de equações, com variáveis x e y.
Note que, em cada sistema temos uma equação do 2º grau e uma equação do 1º grau.
Estes são chamados sistemas do 2º grau.
Polícia Rodoviária Federal 59
Resolvendo sistemas do 2º grau:
Vamos resolver pelo método da substituição.
Isolando a variável x na 1ª equação.
x + y = 5 logo x = 5 - y
Substituímos o valor de x na 2ª equação.
Resolvendo a equação do 2º grau.
Voltando na 1ª equação.
x = 5 - y
x" = 5 - 3 x" = 2 e x' = 5 - 2 x' = 3
S = {(3;2),(2;3)
Equações
Equações Irracionais
Chamamos de equações irracionais toda equação em que a variável ou incógnita se encontra
dentro do radicando (dentro da raiz).
Exemplos:
Resolvendo Equação Irracionais
Para resolvermos as equações irracionais elevamos os dois membros (lados) da equação a
uma determinada potência de forma a eliminar o radical (sinal de raiz), se for raiz quadrada
elevamos ao quadrado, se for raiz cúbica elevamos ao cubo e assim por diante, desta forma
estaremos transformando numa equação racional, que já sabemos resolver.
Exemplos:
Vamos resolver as seguintes equações irracionais sendo o conjunto universo os números reais,
(U = R).
a)
Polícia Rodoviária Federal 60
Verificação:
b)
Verificação:
61
Equações Fracionárias
Definimos como equações fracionárias toda equação que possui variável ou incógnita no
denominador. Lembrando sempre que o termo equação significa igualdade.
Exemplos: