Sebenta

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Sebenta de Álgebra Linear e
Geometria Anaĺıtica
Francisco Miranda, Isabel Araújo, Joana Pires, Sónia Dias
Sebenta de Álgebra Linear e
Geometria Anaĺıtica
Apontamentos dirigidos aos cursos de Engenharia da ESTG
Escola Superior de Tecnologia e Gestão
Instituto Politécnico de Viana do Castelo
2017
Conteúdo
1 Sistemas de equações lineares. Matrizes 5
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Método de Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Definição de matriz e submatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Alguns tipos particulares de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 Operações elementares com matrizes.
Resolução de sistemas - Método de eliminação de Gauss . . . . 13
1.2.4 Resolução de sistemas - Método de Eliminação de Gauss-Jordan 15
1.2.5 Discussão de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.6 Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.7 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.8 Aplicação da inversa de matrizes na resolução de sistemas de
equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.4 Soluções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Determinantes e suas aplicações 55
2.1 Métodos de cálculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Aplicações dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1 Cálculo da inversa de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.2 Resolução de Sistemas de equações lineares - Regra de Cramer . 64
2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Espaços e Subespaços Vectoriais 81
3.1 Espaços Vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Definição e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3
3.1.2 Combinação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.3 Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.4 Conjunto de geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.1.5 Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2 Subespaços vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 Aplicações Lineares 127
4.1 Modos de definir uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2 Operações com aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3 Classificação das aplicações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1 Núcleo de uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.2 Espaço Imagem de uma aplicação linear . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.3 Dimensão do núcleo e do espaço imagem . . . . . . . . . . . . . 137
4.4 Diagonalização de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.1 Vectores e valores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.4.2 Matrizes diagonalizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4.3 Processo de diagonalização de uma matriz . . . . . . . . . . . . 142
4.5 Aplicações lineares e matrizes mudança de base . . . . . . . . . . . . . 143
4.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5 Geometria Anaĺıtica 157
5.1 Espaço Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2 Problemas não métricos entre subespaços afins . . . . . . . . . . . . . . 164
5.3 Problemas métricos entre subespaços afins . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.1 Distância entre subespaços afins de R3 . . . . . . . . . . . . . . 167
5.3.2 Amplitude do ângulo formado por dois subespaços afins . . . . . 170
5.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6 ALGA com o OCTAVE 175
6.1 Resolução de sistemas de equações lineares com o OCTAVE . . . . . . 176
6.2 Gerar e construir matrizes no OCTAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.3 Operações com matrizes. Determinante de uma matriz . . . . . . . . . 190
6.4 Geometria Anaĺıtica com o OCTAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Bibliografia 269
4
Caṕıtulo 1
Sistemas de equações lineares.
Matrizes
1.1 Introdução
1.1.1 Sistemas de equações lineares
Dada a importância e a aplicabilidade dos sistemas de equações lineares, recordemos
os conceitos de equação linear e sistema de equações lineares.
Definição 1.1.1. Uma equação linear nas variáveis x1, . . . , xn é uma equação da
forma
a1x1 + . . .+ anxn = b (1.1)
onde a1, . . . , an, b são números reais ou complexos. Os ai, i = 1, . . . , n são os coefici-
entes e b é o termo independente da equação.
Exemplo 1.1.1. As equações
√
2x− y + 3z = 5, (1.2)
x− 2y = 1 (1.3)
e
x = 1 (1.4)
são equações lineares, enquanto que as equações
2xy − z = 1
e
x2 + y = 3
não são lineares devido aos termos 2xy e x2, respectivamente.
5
6 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Definição 1.1.2. O conjunto de soluções da equação a1x1 + . . .+ anxn = b é:
{(r1, . . . , rn) ∈ Cn : a1r1 + . . .+ anrn = b} .
No conjunto R os conjuntos solução das equações (1.2), (1.3) e (1.4) do Exemplo
1.1.1, são respectivamente:{
(x, y, z) ∈ R3 :
√
2x− y + 3z = 5
}
,{
(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 1} ,
{x ∈ R : x = 1} .
É de salientar que o conjunto solução de uma equação varia de acordo com o conjunto
definido. Consideremos a equação linear x−2y = 1. Em R2 esta equação tem infinitas
soluções reais, como por exemplo (2, 1/2) , enquanto que em C2 tem essas mesmas
soluções, mais as infinitas soluções complexas, como por exemplo (2 + i, (1 + i) /2) ,
ou seja, o conjunto{
(x, y) ∈ C2 : x− 2y = 1} ⊃
{
(x, y) ∈ R2 : x− 2y = 1
}
.
Definição 1.1.3. Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é da forma
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
...
. . .
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
(1.5)
onde os aij, i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n e bi são escalares (reais ou complexos) e
designam-se, respectivamente, por coeficientes e termos independentes.
Caso nada se diga em contrário, consideramos que os escalares são reais e o conjunto
solução está contido em Rn.
Definição 1.1.4. O conjunto de soluções (ou apenas conjunto solução) do sistema
(1.5) é
{(r1, . . . , rn) ∈ Rn : (r1, . . . , rn) é solução de cada uma das m equações do sistema}
ou seja, o conjunto solução é a intersecção dos conjuntos solução de cada uma das m
equações do sistema.
Os sistemas de equações podem ser classificados tendo em conta o seu conjunto
solução. Um sistema diz-se posśıvel quando há uma ou mais soluções comuns às
equações que o constituem, sendo determinado se admite uma única solução e
indeterminado quando tem várias soluções. O sistema é imposśıvel se as equações
não têm solução comum.
Definição 1.1.5. Dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução.
Os problemas essenciais relativamente aos sistemas de equações lineares que vamos
abordar dizem respeito à sua resolução e classificação.
1.1. INTRODUÇÃO7
1.1.2 Método de Eliminação de Gauss
A utilização do método de substituição para a resolução de sistemas de equações
lineares torna-se por vezes demasiado exaustiva. Esta exaustão é tanto maior quanto
maior for o número de equações e incógnitas do sistema.
A introdução de um método que permite a transformação de um dado sistema de
equações lineares noutro equivalente, mais simples de resolver, é então o objectivo desta
subsecção. O método que vamos estudar designa-se por Método de Eliminação de
Gauss, ou simplesmente Método de Gauss. A descrição deste método será feita
com base no exemplo que se segue.
Exemplo 1.1.2. Dado o sistema
2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−x + 2y − 10z = −4
(1.6)
simplifiquemos este sistema, utilizando o Método da Eliminação de Gauss.
1o Passo:
Identificar o 1◦ elemento pivot, que é um escalar não nulo. Consideremos como pivot,
deste primeiro passo de eliminação, o coeficiente 2 da incógnita x na 1a equação.
Assim, vamos somar múltiplos da 1a equação às restantes, de forma a eliminar o
termo em x dessas equações. Assim, obtemos
2x + y + 4z = 2
−2y − 12z = −16
5
2
y − 8z = −3
2o Passo:
No segundo passo de eliminação, identifica-se o 2◦ elemento pivot, coeficiente −2
da incógnita y na 2a equação e soma-se à 3a equação um múltiplo da 2a, de forma a
eliminar o termo em y da 3a equação, obtendo-se
2x + y + 4z = 2
−2y − 12z = −16
−23z = −23
. (1.7)
Termina, assim, o método de eliminação de Gauss.
Nos vários passos utilizados, foram efectuadas as seguintes operações, designadas
por operações elementares (sobre equações):
8 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
i) Multiplicar uma equação por um escalar não nulo;
ii) Adicionar a uma equação um múltiplo de uma outra equação.
Nota: A multiplicação de equações de um sistema por zero pode alterar a solução do
sistema.
É conveniente salientar que nem sempre é directa a aplicação do método de eli-
minação de Gauss. Surgem dificuldades quando um elemento que se pretende usar
como pivot é zero. Mas esta dificuldade de aplicação do método, pode ser ultrapassada,
trocando a equação em que o elemento é nulo por uma das equações seguintes, ou seja,
considerando uma outra operação elementar:
iii) Trocar a posição de duas quaisquer equações.
Pode acontecer que a troca de equações não resolva a dificuldade. Assim, temos que
identificar o pivot, ignorando a coluna em que todos os candidatos a pivot são nulos
e considerar a coluna relativa à incógnita seguinte. Nestes casos o sistema não tem
solução ou tem um conjunto infinito de soluções.
Exemplo 1.1.3. Suponhamos que temos o seguinte sistema
x + 3y − 5z + w = 0
az + 6w = b
y + 7z + 8w = 1
y + (7 + a) z + 2w = 1
, a, b ∈ R.
Como o coeficiente da 1a incógnita de todas as equações, excepto da 1a equação, é
zero, temos que identificar o 2◦ elemento pivot que é o coeficiente da incógnita y na 2a
equação. Surge-nos um problema: o elemento que queremos usar como pivot é zero,
logo a alternativa é trocar a 2a equação pela 3a equação, obtendo-se:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
az + 6w = b
y + (7 + a) z + 2w = 1
.
Podemos, então, continuar com o processo, eliminando a incógnita y da última equação,
sendo o 2◦ elemento pivot igual a 1. Desta forma surge:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
az + 6w = b
az − 6w = 0
.
Agora, identifiquemos o 3◦ elemento pivot. Se a = 0, temos,
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
6w = b
−6w = 0
,
1.1. INTRODUÇÃO 9
e, neste caso, o 3◦ elemento pivot é zero e a troca de equações não resolve a dificuldade.
Portanto o sistema não tem solução ou tem um conjunto infinito de soluções, como
iremos concluir. Tomando, agora, 6 como 4◦ elemento pivot, elimina-se a última
incógnita da última equação. Tem-se, então:
x + 3y − 5z + w = 0
y + 7z + 8w = 1
6w = b
0 = b
.
Então:
• Se b = 0, z tem um valor arbitrário e o sistema tem infinitas soluções (sistema
posśıvel indeterminado);
• Se b 6= 0, então a última equação “ 0 = b” é uma condição falsa e o sistema não
tem solução (sistema imposśıvel).
Se a 6= 0 podemos considerar “ a” como 3o pivot e prosseguir com a resolução do
sistema.
É fácil generalizar e perceber como é posśıvel aplicar este método a outros sistemas
de m equações lineares a n incógnitas. Podemos esquematizar do seguinte modo:
• Ordena-se o sistema, colocando todos os termos com incógnita no 1◦ membro,
alinhando por colunas os termos referentes a cada incógnita;
• Considera-se o 1◦ pivot, o coeficiente da 1a incógnita da 1a equação, se este for
não nulo. Caso contrário, troca-se a 1a equação por outra em que o coeficiente
da 1a incógnita seja não nulo, passando esse elemento a ser o 1◦ pivot;
• Elimina-se a 1a incógnita de todas as equações, excepto da 1a equação (1◦ pivot);
• Identifica-se o 2◦ pivot, de modo análogo ao 1◦ pivot, considerando o subsistema
obtido a partir do anterior, retirando a equação que contêm o 1◦ pivot e as que
se encontrarem antes dessa, caso haja;
• Anulam-se os coeficientes por baixo do 2◦ pivot, de forma a eliminar a 2a
incógnita de todas as equações, excepto das anteriores;
• Procede-se analogamente nas equações seguintes, tomando-se para pivot da
equação r o coeficiente não nulo que multiplica a k-ésima incógnita, com k ≥ r,
até se chegar à última equação, altura em que o método de eliminação termina.
Uma sequência finita de operações elementares (método de eliminação de Gauss)
sobre as equações lineares de um sistema permite então transformar esse sistema
noutro equivalente e portanto com o mesmo conjunto solução.
10 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Voltemos novamente ao sistema 1.7 obtido no ińıcio desta subsecção. Se observarmos
o sistema, verificamos que aplicando a este o método de substituição, da última para
a primeira equação, facilmente obtemos o seu conjunto solução,
C.S. = {(−2, 2, 1)} .
Uma vez que o sistema 1.7 é obtido a partir do sistema 1.6 por aplicação do método
de eliminação de Gauss, estes dois sistemas são equivalentes e portanto {(−2, 2, 1)} é
também o conjunto solução do sistema inicial 1.6.
1.2 Matrizes
1.2.1 Definição de matriz e submatriz
Apesar de num sistema estarem sempre presentes as incógnitas, os coeficientes
das incógnitas e os termos independentes, na simplificação de sistemas de equações
lineares pelo método de eliminação de Gauss só se trabalha efectivamente sobre os
coeficientes das incógnitas e os termos independentes. Ou seja, somente estes escalares,
nas respectivas posições, são importantes. Assim, mantendo as equações cuidadosa-
mente alinhadas, termo a termo, respeitando a parte literal, os coeficientes podem ser
eficientemente organizados numa disposição rectangular, designada por matriz. A
utilização de matrizes permite simplificar consideravelmente a notação dos sistemas.
No Exemplo 1.1.2 os coeficientes que afectam as incógnitas são 9 e distribuem-se por
3 linhas e 3 colunas, o que significa que formam uma matriz 3 × 3, designada por
matriz dos coeficientes,
A =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
 . (1.8)
Os 3 termos independentes que aparecem no lado direito das equações do sistema
podem ser indicados na forma de uma matriz 3 × 1, a qual se designa por matriz
coluna dos termos independentes,
B =
 2−10
−4
 . (1.9)
Utilizando a notação matricial podemos representar o sistema na forma [A|B], i.e., 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
 , (1.10)
a qual se designa por matriz ampliada ou matriz completa do sistema.
1.2. MATRIZES 11
Definição 1.2.1. Uma matriz A do tipo m×n sobre R (ou C) é um arranjo rectangular
com mn elementos reais (ou complexos) que estão organizados em m linhas e n
colunas. Podemos então representar:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22. . . a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 . . . amn
 .
Normalmente, utilizam-se letras maiúsculas para denotar matrizes e as respectivas
letras minúsculas indexadas com dois ı́ndices para designar os elementos ou entradas
dessas matrizes. Por exemplo, o elemento da linha i coluna j da matriz A denota-se
por aij. Portanto, podemos representar abreviadamente a matriz A por A = [aij] , onde
i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n. Representa-se a linha i da matriz A e a coluna j da matriz
A, respectivamente, por ai· e a·j.
Exemplo 1.2.1. Na matriz (1.8), a21 = 6, porque o elemento 6 da matriz localiza-se
na 2a linha e 1a coluna.
Definição 1.2.2. Seja A uma matriz do tipo m×n. Caso se eliminem m− l linhas e
n− k colunas de A, obtém-se uma matriz A′ do tipo l× k, que é uma submatriz de A.
Exemplo 1.2.2. Consideremos a seguinte matriz do tipo 3× 4 :
A =
 1 2 3 4−2 −4 3 2
9 0 0 2
 (1.11)
Se eliminarmos a última linha e as duas primeiras colunas, obtemos
A
′
=
[
3 4
3 2
]
que é uma submatriz de A do tipo 2× 2.
Das matrizes referidas atrás, podemos concluir que quer a matriz (1.8), quer a matriz
(1.9), são submatrizes da matriz ampliada (1.10).
Definição 1.2.3. Uma matriz diz-se real se todos os seus elementos são números
reais.
Exemplo 1.2.3. 1. A matriz (1.11) é real.
2. A matriz B =
[
ln 2 π 0, 53
1
5
7
√
2
]
é real.
3. A matriz C =
[ √
2i 3
4 + 5i 0
]
não é real. C é uma matriz complexa.
Caso não seja dito nada em contrário, as matrizes que vamos considerar serão
matrizes reais.
12 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
1.2.2 Alguns tipos particulares de matrizes
Definição 1.2.4. Uma matriz do tipo m× n diz-se rectangular se m 6= n.
Em particular, temos as seguintes definições:
Definição 1.2.5. Uma matriz do tipo 1× n chama-se matriz linha:[
a11 a12 . . . a1n
]
.
Definição 1.2.6. Uma matriz do tipo m× 1 chama-se matriz coluna:
a11
a21
...
am1
 .
Exemplo 1.2.4. 1. A matriz (1.11) do tipo 3 × 4 e a matriz (1.9) do tipo 3 × 1
são matrizes rectangulares. Em particular, a matriz (1.9) é uma matriz coluna.
2. A matriz
[
2 1 4 7
]
é uma matriz linha.
Nota: As matrizes linha e coluna também se designam por vectores linha e coluna,
respectivamente.
Definição 1.2.7. Uma matriz do tipo m× n diz-se quadrada se m = n :
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 .
As matrizes quadradas do tipo n× n são, geralmente, designadas por matrizes de
ordem n. Por exemplo, a matriz (1.8) é uma matriz quadrada de ordem 3. Seja
A uma matriz quadrada de ordem n. A diagonal principal de A é formada pelos
elementos a11, a22, . . . , ann e a diagonal secundária de A é formada pelos elementos
a1n, a2 n−1, . . . , an1. Existem alguns casos particulares de matrizes quadradas:
• Matriz triangular: matriz quadrada, cujos elementos acima ou abaixo da
diagonal principal são todos nulos, designando-se por matriz triangular inferior,
se for da forma: 
a11 0 . . . 0
a21 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
an1 an2 . . . ann
 ,
1.2. MATRIZES 13
e matriz triangular superior, se for da forma:
a11 a12 . . . a1n
0 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
• Matriz diagonal: matriz quadrada, cujos elementos acima e abaixo da diagonal
principal são todos nulos, 
a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . ann
 .
• Matriz escalar: matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal tomam
todos o mesmo valor, 
a 0 . . . 0
0 a . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . a
 .
• Matriz identidade: matriz escalar, cujos elementos da diagonal principal têm
o valor 1, 
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1
 .
A matriz identidade de ordem n, representa-se por In.
1.2.3 Operações elementares com matrizes.
Resolução de sistemas - Método de eliminação de Gauss
Vamos então simplificar sistemas de equações lineares na forma matricial aplicando
o método de eliminação de Gauss. Vejamos a sucessão de matrizes que se obtêm
efectuando transformações sobre as linhas, equivalentes às que efectuamos sobre as
equações do Exemplo 1.1.2.
[A|B] =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
−−−−−−−−−−−−−−→−3L1 + L2 −→ L2
1
2
L1 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 5
2
−8
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−3

−−−−−−−−−−−−→
5
4
L2 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23

14 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Compare cada uma das matrizes com os sistemas de equações lineares do exemplo
1.1.2.
Facilmente verificamos que as matrizes ampliadas de qualquer sistema se obtêm umas
das outras aplicando operações elementares sobre linhas, equivalentes às operações
elementares já referidas para equações:
i) Multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
ii) Adicionar a uma linha da matriz um múltiplo de outra linha;
iii) Trocar a posição de duas linhas da matriz.
Estas operações designam-se por operações elementares de matrizes sobre li-
nhas. O mesmo pode acontecer com as colunas.
Definição 1.2.8. Duas matrizes dizem-se equivalentes se uma delas pode ser obtida
da outra, realizando-se um número finito de operações elementares de matrizes.
Exemplo 1.2.5. Podemos dizer que a matriz (1.8) é equivalente à matriz: 2 1 40 −2 −12
0 0 −23

e a matriz ampliada (1.10) é equivalente à matriz 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
16
−23
 .
Vimos, então, que a simplificação de um sistema de equações lineares, aplicando
o método de Gauss, se torna mais fácil se utilizarmos a notação matricial. No
entanto, se o nosso objectivo for determinar o conjunto solução do sistema, temos
que reescrever a última matriz na forma de sistema de equações e resolvê-lo pelo
método de substituição.
Contudo, o método de eliminação de Gauss não se aplica só para simplificar matri-
zes que representam sistemas de equações lineares. Em geral, este método, quando
aplicado às matrizes, tem por objectivo a obtenção de uma matriz que se designa por
matriz escalonada.
Definição 1.2.9. Designa-se por matriz escalonada uma matriz onde o número de
zeros precedentes ao primeiro elemento não nulo da linha aumenta de linha para linha
até que, se posśıvel, só sobrem linhas nulas.
Por exemplo, a matriz 
∗ × × × × ×
0 ∗ × × × ×
0 0 0 ∗ × ×
0 0 0 0 ∗ ×
0 0 0 0 0 0
 ,
1.2. MATRIZES 15
é uma matriz escalonada, onde ∗ é elemento pivot (primeiro elemento não nulo em
cada linha) e × são elementos que podem, ou não, ser nulos.
Por vezes, as matrizes escalonadas são designadas por matrizes condensadas,
dáı que alguns autores designem o processo de transformar uma matriz numa matriz
escalonada, através das operações elementares de matrizes (método de eliminação de
Gauss), por método da condensação de matrizes.
Definição 1.2.10. Designa-se por matriz escalonada reduzida uma matriz escalonada
em que os seus elementos pivot são iguais a 1 e os únicos não nulos das suas colunas.
Por exemplo, a matriz 
1 0 × 0 0 ×
0 1 × 0 0 ×
0 0 0 1 0 ×
0 0 0 0 1 ×
0 0 0 0 0 0
 ,
é uma matriz escalonada reduzida.
Podemos sempre através de operações elementares escalonar uma matriz, isto é,
identificar sucessivamente o elemento pivot e anular todos os elementos da mesma
coluna que se encontrem abaixo deste - Método de eliminação de Gauss. E
ainda reescrever esta matriz escalonada como uma matriz escalonada reduzida ou
seja, transformar os elementos pivot no número real 1 e anular todos os elementos da
mesma coluna que se encontrem acima deste - Método de Jordan.
1.2.4 Resolução de sistemas - Método de Eliminação de Gauss-
Jordan
Tal como já vimos, depois de aplicar o método de eliminação de Gauss na re-
solução de sistemas de equações lineares na forma matricial, transformamos a matriz
ampliada escalonada num sistema de equações lineares e, pelo método de substituição
determinamos o conjunto solução do sistema. Alternativamenteà segunda fase deste
processo de resolução (método de substituição) podemos, mantendo o sistema na forma
matricial, determinar o seu conjunto solução. Para tal, basta transformar a matriz
ampliada escalonada numa matriz escalonada reduzida e retirar directamente, a partir
desta, a solução do sistema. Este processo de resolução designa-se por método de
Eliminação de Gauss-Jordan. Aplicando o método de eliminação de Gauss-Jordan
ao sistema do exemplo 1.1.2 temos
[A|B] =
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
∣∣∣∣∣∣
2
−10
−4
−−−−−−−−−−−−−−→−3L1 + L2 −→ L2
1
2
L1 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 5
2
−8
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−3

−−−−−−−−−−−−→
5
4
L2 + L3 −→ L3
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23
−−−−−−−−−−−→− 123L3 −→ L3
−1
2
L2 −→ L2
 2 1 40 1 6
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
2
8
1

16 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
−−−−−−−−−−−−−−→
−6L3 + L2 −→ L2
−4L3 + L1 −→ L1
 2 1 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−2
2
1
−−−−−−−−−−−−−→−1L2 + L1 −→ L1
 2 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−4
2
1

−−−−−−−−→
1
2
L1 −→ L1
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
−2
2
1
 .
Logo C.S. = {(−2, 2, 1)}
Estudamos então dois processos para a resolução de sistemas de equações lineares
ambos com um prinćıpio de resolução comum, o método de eliminação de Gauss. Este
método consiste em transformar a matriz ampliada que define o sistema numa matriz
escalonada. Depois de obtida esta matriz, dois processos podem ser utilizados:
• Escrever a matriz escalonada na forma de um sistema de equações lineares e
terminar a resolução do sistema utilizando o método de substituição;
• Continuar a aplicar as operações elementares de matrizes, até obter uma matriz
escalonada reduzida (método de Jordan).
1.2.5 Discussão de sistemas
Dado um sistema de equações lineares podemos, sem conhecer o seu conjunto solução,
classificá-lo.
Quando o sistema é indeterminado, há um certo número de variáveis, chamadas
variáveis livres, que podem tomar valores arbitrários. O número de variáveis deste
tipo definem o seu grau de indeterminação. Estas variáveis são as correspondentes
a colunas que não contêm pivots. As incógnitas que se exprimem em função das
variáveis livres, chamadas incógnitas principais, são obviamente, as correspondentes
a colunas que contêm pivots. O número de pivots é igual ao número das incógnitas
principais e é igual ao número de linhas não nulas, no final do processo de eliminação.
A este número chama-se caracteŕıstica da matriz do sistema. Formalmente,
podemos então definir:
Definição 1.2.11. A caracteŕıstica de uma matriz A é o número de linhas não nulas
da matriz na sua forma escalonada e representa-se por r(A) ou c(A).
Nota: Se todos os elementos de uma linha de uma matriz são nulos, diz-se que essa
linha é nula.
Exemplo 1.2.6. Consideremos os seguintes sistemas:
1.

2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−2x + 2y − 10z = −4
, cuja matriz ampliada escalonada pode ser,
como já vimos,
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
∣∣∣∣∣∣
2
−16
−23
 e o conjunto solução é {(−2, 2, 1)} .
1.2. MATRIZES 17
2.

x − 2y − 3z = 2
x − 4y − 13z = 14
−3x + 5y + 4z = 0
, cuja matriz ampliada correspondente é
 1 −2 −31 −4 −13
−3 5 4
∣∣∣∣∣∣
2
14
0
 . Aplicando as operações elementares de matrizes sobre
linhas, podemos obter a matriz ampliada escalonada
 1 −2 −30 1 5
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
2
−6
0
 , a
partir da qual obtemos o conjunto solução:
{(−10− 7z,−6− 5z, z) : z ∈ R} .
3.

x − 2y − 3z = 2
x − 4y − 13z = 14
−3x + 5y + 4z = 2
, cuja matriz ampliada correspondente é
 1 −2 −31 −4 −13
−3 5 4
∣∣∣∣∣∣
2
14
2
 e a matriz ampliada escalonada
 1 −2 −30 1 5
0 0 0
∣∣∣∣∣∣
2
−6
2
 .
Deduz-se, então, que o conjunto solução do sistema é o conjunto vazio, Ø, que
também se pode representar por {} .
Analisando as matrizes ampliadas escalonadas dos três sistemas acima descritos, os
respectivos conjuntos solução, e considerando que [A|B] representa a matriz ampliada,
A a matriz dos coeficientes, ambas escalonadas, e nincg o número de incógnitas do
sistema, temos:
Sistema nincg r(A) r([A|B]) Conjunto solução
Classificação
do sistema
1. 3 3 3 {(−2, 2, 1)} Sistema posśıvel
determinado
2. 3 2 2 {(−10− 7z,−6− 5z, 7) : z ∈ R} Sistema posśıvel
indeterminado
3. 3 2 3 Ø
Sistema
imposśıvel
Tabela 1.1: Classificações dos sistemas anteriores, através da caracteŕıstica e do
número de incógnitas.
18 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Analisando criteriosamente, podemos concluir que:
• r([A|B]) =r(A) = nincg: sistema posśıvel e determinado,
• r([A|B]) =r(A) < nincg: sistema posśıvel e indeterminado,
• r([A|B]) 6=r(A): sistema imposśıvel.
O grau de indeterminação, ou seja, o número de variáveis livres de um sistema de
equações linares é igual a nincg−r(A) .
1.2.6 Sistemas Homogéneos
Definição 1.2.12. Um sistema homogéneo é um sistema cujos termos independentes
de todas as equações são nulos, isto é,
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
...
...
...
...
. . .
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
.
Os sistemas homogéneos são sempre posśıveis, pois admitem sempre a solução nula
(solução trivial), podendo ser determinados ou indeterminados.
Teorema 1.2.1. Um sistema homogéneo com mais incógnitas que equações é posśıvel
indeterminado.
Nota: Dado um sistema de equações lineares, designa-se por sistema homogéneo
associado a ele o sistema que resulta do anterior por substituição de todos os termos
independentes por zero.
1.2.7 Operações com matrizes
É, de todo, importante não ficarmos com a noção de que as matrizes se utilizam
apenas para representar e resolver sistemas de equações lineares. Visto que o campo
de aplicação das matrizes é muito vasto, abrangendo não só as diversas áreas da
própria Matemática, desde a Análise até à Estat́ıstica e à Investigação Operacional,
como as dos cursos de F́ısica, Engenharia, Economia, Agronomia, etc. Então, torna-se
necessário fazer um estudo exaustivo sobre este novo conceito. No âmbito da disciplina,
vamos apenas considerar matrizes e escalares reais, embora todos os resultados que
vamos apresentar, no que diz respeito às matrizes, sejam também válidos no conjunto
dos números complexos.
1.2. MATRIZES 19
Igualdade de matrizes
Definição 1.2.13. Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes do tipo m× n. Diz-se que A
e B são matrizes iguais se aij = bij, ∀i, j, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.7. 1. As matrizes A =
[
1 3 5
0 1 −1
]
e B =
[
1 3 5
0 1 −1
]
são
matrizes iguais do tipo 2× 3.
2. As matrizes C =
[
1 2
3 4
]
e D =
[
(−1)2
√
4
3 16
4
]
são matrizes quadradas iguais
de ordem 2.
Adição de matrizes
Definição 1.2.14. Sejam A = [aij] e B = [bij] matrizes do tipo m×n. A matriz soma
S = A + B, é uma matriz do tipo m× n, onde S = [sij] e sij = aij + bij, 1 ≤ i ≤ m,
1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.8. Sejam A =
 1 −13 0
4 1
 e B =
 3 20 0
1 0
 matrizes do tipo 3 × 2.
Então A+B =
 1 −13 0
4 1
+
 3 20 0
1 0
 =
 4 13 0
5 1
 , em que A+B é uma matriz do
tipo 3× 2.
Propriedades da adição de matrizes:
Teorema 1.2.2. Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n.
Então
(i) (A+B) + C = A+ (B + C) , ∀A,B,C ∈Mm×n
(ii) A+B = B + A, ∀A,B ∈Mm×n
(iii) ∃O ∈Mm×n : A+O = O + A = A, ∀A ∈Mm×n
(iv) ∀A ∈Mm×n, ∃A′ ∈Mm×n : A+ A′ = A′ + A = O
Nota: A matriz O é uma matriz do tipo m × n em que todos os seus elementos são
nulos e representa-se abreviadamente por O = [0]m×n .
20 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Multiplicação de matrizes por um escalar
Definição 1.2.15. O produto de uma matriz A = [aij] do tipo m×n por um escalar λ
é uma matriz C = [cij] do mesmo tipo m× n, onde cij = λaij, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 1.2.9. Seja A =
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 do tipo 3× 3.
1. Para λ = 2, temos λA = 2
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 =
 2 6 2−2 4 0
6 8 10
 , em que 2A é uma
matrizdo tipo 3× 3.
2. Para λ = −1, temos λA = −1
 1 3 1−1 2 0
3 4 5
 =
 −1 −3 −11 −2 0
−3 −4 −5
 = −A.
Nota: Subtrair duas matrizes A = [aij] e B = [bij] do tipo m× n, não é mais do que
somar A = [aij] com −B = [−bij] , visto que A+ (−B) = A−B.
Propriedades da multiplicação de matrizes por um escalar:
Teorema 1.2.3. Seja Mm×n o conjunto de todas as matrizes reais do tipo m × n.
Então
(i) λ (A+B) = λA+ λB, ∀A,B ∈Mm×n, ∀λ ∈ R
(ii) (λ+ µ)A = λA+ µA, ∀A ∈Mm×n, ∀λ, µ ∈ R
(iii) (λµ)A = λ (µA) , ∀A ∈Mm×n, ∀λ, µ ∈ R
(iv) 1A = A, ∀A ∈Mm×n
(v) 0A = O, ∀A ∈Mm×n
Multiplicação de matrizes
A multiplicação da matriz A pela matriz B só é posśıvel se o número de colunas
da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B, sendo a matriz produto uma
matriz, cujo número de linhas é igual ao número de linhas da matriz A e o número de
colunas é igual ao número de colunas da matriz B.
Definição 1.2.16. Sejam A e B duas matrizes do tipo m×n e n×q, respectivamente.
A matriz produto, P = AB, é uma matriz do tipo m× q onde,
P = [pij] e pij =
n∑
k=1
aikbkj, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ q.
1.2. MATRIZES 21
Exemplo 1.2.10. 1. Sejam as matrizes A =
[
3 1 2
0 −1 4
]
do tipo 2×3 e B = −2 01 7
1 −5
 do tipo 3× 2. Como o número de colunas de A é 3 e o número de
linhas de B é 3 o produto é posśıvel. Temos então
AB =
[
3× (−2) + 1× 1 + 2× 1 3× 0 + 1× 7 + 2× (−5)
0× (−2) + (−1)× 1 + 4× 1 0× 0 + (−1)× 7 + 4× (−5)
]
=
[
−3 −3
3 −27
]
,
onde AB é uma matriz do tipo 2× 2.
2. É importante tomarmos consciência que se considerarmos a matriz coluna for-
mada por todas as incógnitas do exemplo 1.1.2 , matriz X, designada por matriz
das incógnitas, a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentes
B, de acordo com a definição de multiplicação de matrizes, temos
AX = B ⇔
 2 1 46 1 0
−1 2 −10
 .
 xy
z
 =
 2−10
−4
⇔
⇔
 2x+ y + 4z6x+ y
−x+ 2y − 10z
 =
 2−10
−4
⇔

2x + y + 4z = 2
6x + y = −10
−x + 2y − 10z = −4
Podemos então generalizar dizendo que, sendo A e B matrizes, do tipo n×n e n×1,
respectivamente e X uma matriz coluna n × 1, cujos elementos são as variáveis do
sistema, facilmente se verifica que a equação AX = B representa um sistema de n
equações com n incógnitas, em que A é a matriz dos coeficientes, B a coluna dos
termos independentes e X a matriz coluna das variáveis.
Analisemos algumas situações em que a multiplicação de matrizes se comporta de
modo diferente da multiplicação efectuada com números reais.
1. Dadas duas matrizes A e B, o facto de estar definido o produto AB não sig-
nifica que esteja definido o produto BA. Por exemplo, para as matrizes A =[
3 2 1
0 −1 1
]
e B =
 01
2
 , temos
AB =
[
3 2 1
0 −1 1
] 01
2
 = [ 4
1
]
,
mas BA não está definido, porque a matriz B tem 1 coluna e A tem 2 linhas.
22 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
2. Dadas duas matrizes A e B, o facto dos produtos AB e BA estarem definidos
não significa que AB = BA. Por exemplo, para as matrizes A =
[
1 0
−1 0
]
e
B =
[
0 1
−1 0
]
, temos que
AB =
[
1 0
−1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
0 −1
]
e
BA =
[
0 1
−1 0
] [
1 0
−1 0
]
=
[
−1 0
−1 0
]
.
Portanto AB 6= BA. Ou seja, o produto de matrizes não é comutativo.
3. Quando duas matrizes quadradas A e B são tais que AB = BA, dizem-se
permutáveis. Por exemplo, as matrizes A =
[
1 1
1 2
]
e B =
[
2 1
1 3
]
são
permutáveis, porque AB =
[
3 4
4 7
]
= BA.
4. O produto de duas matrizes pode ser nulo sem que nenhuma das matrizes
intervenientes o seja, isto é, a lei do anulamento do produto não é válida para
o produto de matrizes. Por exemplo, o produto das matrizes A =
[
1 1
1 1
]
e
B =
[
1 1
−1 −1
]
é AB =
[
1 1
1 1
] [
1 1
−1 −1
]
=
[
0 0
0 0
]
= O, sem que A e
B sejam matrizes nulas.
5. O produto das matrizes A por B pode ser igual ao produto das matrizes A por C,
com A 6= O, sem que as matrizes B e C sejam iguais, isto é, a lei do cancelamento
não é válida para o produto de matrizes. Por exemplo, sendo A =
[
1 2
2 4
]
6= O2,
B =
[
2 1
3 2
]
e C =
[
−2 7
5 −1
]
temos que AB = AC =
[
8 5
16 10
]
e B 6= C
Propriedades da multiplicação de matrizes:
Teorema 1.2.4. Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Então, sempre que
façam sentido as operações indicadas, temos que
(i) (AB)C = A (BC) , ∀A,B,C ∈M
(ii) A (B + C) = AB + AC, ∀A,B,C ∈M
(iii) (B + C)A = BA+ CA, ∀A,B,C ∈M
(iv) λ (AB) = (λA)B = A (λB) , ∀A,B ∈M, ∀λ ∈ R
1.2. MATRIZES 23
(v) OA = O ∧BO = O, ∀A,B ∈M
(vi) IA = A ∧BI = B, ∀A,B ∈M
Definição 1.2.17. Seja A uma matriz quadrada, não nula, de ordem n e k ∈ N0. As
potências de A definem-se do seguinte modo:
A0 = In,
A1 = A,
A2 = AA,
. . .
Ak+1 = AkA.
Exemplo 1.2.11. Consideremos a matriz 2× 2, A =
[
0 1
−1 0
]
. Temos que:
A2 = AA =
[
0 1
−1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[
−1 0
0 −1
]
,
A3 = A2A =
[
−1 0
0 −1
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 −1
1 0
]
,
A4 = A3A =
[
0 −1
1 0
] [
0 1
−1 0
]
=
[
1 0
0 1
]
= I2.
Definição 1.2.18. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se existir p ∈ N \ {1}
tal que Ap = A e para qualquer k ∈ N \ {1} , k < p, tem-se Ak 6= A, então A diz-
-se matriz periódica de peŕıodo p. No caso particular de p = 2, a matriz A diz-se
idempotente.
Exemplo 1.2.12. No Exemplo 1.2.11, vimos que A2 6= A, A3 6= A e A4 6= A. Mas
A5 = A4A =
[
1 0
0 1
] [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
−1 0
]
= A.
Logo, A é periódica de peŕıodo 5.
Exemplo 1.2.13. A matriz identidade é uma matriz idempotente, porque I2 = I · I,
e pela propriedade (vi) do teorema 1.2.4, temos I · I = I. Portanto I2 = I.
Definição 1.2.19. Se, para uma matriz quadrada A de ordem n, existe p ∈ N tal que
Ap = O e, para qualquer k ∈ N, k < p temos Ak 6= O, diz-se que A é nilpotente de
grau p.
24 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Exemplo 1.2.14. Seja a matriz quadrada de ordem 2, A =
[
0 1
0 0
]
. Temos que
A2 = AA =
[
0 1
0 0
] [
0 1
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
= O.
Logo, A é uma matriz nilpotente de grau 2.
Transposta de uma matriz
Definição 1.2.20. Seja A = [aij] uma matriz do tipo m × n. A transposta da ma-
triz designa-se por AT e é uma matriz do tipo n × m, que se obtém de A trocando
ordenadamente as linhas com as colunas, ou seja, AT = [aji] .
Exemplo 1.2.15. Seja A =

2 2
−3 1
0 0
6 −7
 . A matriz transposta de A é
AT =
[
2 −3 0 6
2 1 0 −7
]
.
Propriedades da transposta de uma matriz:
Teorema 1.2.5. Seja M o conjunto de todas as matrizes reais. Então, sempre que
as operações estejam definidas, temos que:
(i) (A+B)T = AT +BT , ∀A,B ∈M
(ii)
(
AT
)T
= A, ∀A ∈M
(iii) (λA)T = λAT , ∀A ∈M, ∀λ ∈ R
(iv) (AB)T = BTAT , ∀A,B ∈M
O conceito de transposta de uma matriz permite-nos definir mais dois tipos parti-
culares de matrizes:
Definição 1.2.21. Seja A uma matriz quadrada. A matriz A é simétrica se e só se
A = AT .
Exemplo 1.2.16. 1. Seja A =
 1 −2 5−2 2 0
5 0 3
 logo
AT =
 1 −2 5−2 2 0
5 0 3
 = A.
1.2. MATRIZES 25
2. Como IT = I, a matriz I é uma matriz simétrica.
Nota: Uma matriz quadrada é simétrica quando os elementos situados simetrica-
mente em relação à diagonal principal são iguais,
a11 a12 . . . a1n
a12 a22 . . . a2n
...
...
. . .
...
a1n a2n . . . ann
 .
Definição 1.2.22. Seja A uma matriz quadrada. A matriz A é anti-simétrica se e só
se A = −AT .
Exemplo 1.2.17. Consideremos a matriz A =
 0 1 2−1 0 6
−2 −6 0
 logo
−AT =
 0 1 2−1 0 6
−2 −6 0
 = A.
Nota: Uma matriz quadrada é anti-simétrica se os elementos da diagonal principal
são nulos e os elementos localizados simetricamente em relação a essa diagonal são
simétricos, 
0 a12 . . . a1n
−a12 0 . . . a2n
...
...
. . .
...
−a1n −a2n . . . 0
 .
Teorema 1.2.6. Para toda a matriz quadrada A, A + AT é uma matriz simétrica e
A− AT é uma matriz anti-simétrica.
Teorema 1.2.7. Seja A uma matriz do tipo m× n. Então r(A) =r
(
AT
)
.
Exemplo 1.2.18. Consideremos a matriz escalonadaA =
 2 1 40 −2 −12
0 0 −23
 .
A transposta de A é a matriz
AT =
 2 0 01 −2 0
4 −12 −23
 .
Escalonando a matriz AT ,
26 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
 2 0 01 −2 0
4 −12 −23
−−−−−−−−−−−−−−→−23L1 + L2 −→ L2
−2L1 + L3 −→ L3
 2 0 00 −2 0
0 −12 −23
−−−−−−−−−−−→6L2 + L3 −→ L3
 2 0 00 −2 0
0 0 −23

Logo r(AT ) = r(A) = 3.
Traço de uma matriz
Definição 1.2.23. Seja A = [aij] uma matriz quadrada de ordem n. O traço de uma
matriz A representa-se por tr(A) e é a soma dos elementos da sua diagonal principal
isto é, tr(A) =
∑n
i=1 aii.
Exemplo 1.2.19. Seja A =
 −1 0 05 −2 4
3 3 3
 . O traço da matriz A é:
tr (A) = (−1) + (−2) + 3 = 0.
Propriedades do traço de uma matriz:
Teorema 1.2.8. Seja Mn o conjunto de todas as matrizes reais de ordem n. Então
(i) tr(A+B) =tr(B + A) =tr(B) +tr(A) , ∀A,B ∈Mn
(ii) tr(λA) = λtr(A) , ∀A,B ∈Mn, ∀λ ∈ R
(iii) tr(AB) =tr(BA) , ∀A,B ∈Mn
(iv) tr(ABC) =tr(BCA) =tr(CAB) , ∀A,B,C ∈Mn
(v) tr
(
AT
)
=tr(A) , ∀A ∈Mn
Matrizes invert́ıveis
Definição 1.2.24. Seja A uma matriz quadrada. Chama-se inversa de A a uma
matriz que se representa por A−1, tal que AA−1 = A−1A = I. Uma matriz que admite
inversa é normalmente designada por matriz invert́ıvel, mas também se pode designar
por matriz regular ou não singular.
Toda a matriz invert́ıvel é quadrada, mas nem todas as matrizes quadradas são
invert́ıveis. De facto, recordando a definição 1.2.16, é fácil ver que só podem ser
invert́ıveis as matrizes quadradas.
1.2. MATRIZES 27
Exemplo 1.2.20. A inversa de uma matriz pode ser determinada a partir da definição
1.2.24. Seja A =
[
1 2
0 0
]
. Procuremos A−1 =
[
a b
c d
]
, tal que:
AA−1 = I2, A
−1A = I2.[
1 2
0 0
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
a+ 2c b+ 2d
0 0
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Como podemos observar, estas duas matrizes nunca serão iguais para quaisquer que
sejam a, b, c e d. Portanto a matriz A não tem inversa.
Exemplo 1.2.21. Para calcular a inversa de uma matriz A =
[
1 2
−1 0
]
, conside-
rando a definição 1.2.24 temos que determinar B tal que AB = I e BA = I. Assim,[
1 2
−1 0
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
a+ 2c b+ 2d
−a −b
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Pela igualdade de matrizes temos que:
a = 0, b = −1, c = 1
2
, e d =
1
2
.
Logo a matriz
[
0 −1
1
2
1
2
]
é a “candidata”a inversa de A. Verifiquemos se para esta
matriz se verifica[
0 −1
1
2
1
2
]
.A = I ⇔
[
0 −1
1
2
1
2
] [
1 2
−1 0
]
=
[
1 0
0 1
]
.
Logo
[
0 −1
1
2
1
2
]
é a inversa da matriz A, isto é A−1 =
[
0 −1
1
2
1
2
]
.
Imaginemos que se pretendia o cálculo da inversa de uma matriz de ordem 4. O
método descrito anteriormente levaria à resolução de um sistema de 16 equações a
16 incógnitas. Facilmente se depreende que este é um método muito trabalhoso para
matrizes de ordem superior a 3. O problema ultrapassa-se aplicando as operações
elementares de matrizes sobre linhas, de acordo com a seguinte regra prática:
1. Dispor lado a lado a matriz An e a matriz identidade In, isto é, considerar a
matriz ampliada [An|In] .
2. Efectuar operações elementares de matrizes sobre linhas na matriz [An|In] de
modo a transformá-la na matriz ampliada equivalente [Cn|Dn], sendo C uma
matriz escalonada.
• Se Cn tem pelo menos uma linha nula, a matriz An não admite inversa.
• Se Cn é uma matriz triangular superior continuamos a aplicar operações
elementares sobre a matriz ampliada [Cn|Dn] de modo a transformar Cn
numa matriz escalonada reduzida, isto é, na matriz In. As operações que
simultaneamente se efectuam na matrizDn, transformam-na na matriz A
−1
n .
Ou seja, obtemos a matriz ampliada [In|A−1n ] e portanto a matriz An
admite inversa.
28 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
[An|In] −→ . . . −→ [In|A−1n ]
(operações elementares de matrizes sobre linhas)
Tabela 1.2: Aplicação das operações elementares de matrizes sobre linhas no cálculo
da inversa.
Esquematizando, se A é uma matriz invert́ıvel temos
Exemplo 1.2.22. Consideremos a matriz A =
 2 1 71 3 2
5 3 4
 . Determinemos, se exis-
tir, a matriz inversa A−1, aplicando operações elementares de matrizes sobre linhas.
[A|I] =
 2 1 71 3 2
5 3 4
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−−−−−→L1 ↔ L2
 1 3 22 1 7
5 3 4
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 0 0
0 0 1

−−−−−−−−−−−−−−→
−2L1 + L2 −→ L2
−5L1 + L3 −→ L3
 1 3 20 −5 3
0 −12 −6
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
0 −5 1

−−−−−−−−−−−−−−→
−12
5
L2 + L2 −→ L3
 1 3 20 −5 3
0 0 −66
5
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
−12
5
−1
5
1

−−−−−−−−−−→
− 5
66
L3 −→ L3
 1 3 20 −5 3
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
0 1 0
1 −2 0
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−−−−−−→
−3L3 + L2 −→ L3
−2L3 + L1 −→ L1
 1 3 00 −5 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 4
11
32
33
5
33
5
11
−45
22
15
66
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−→
−1
5
L2 −→ L2
 1 3 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 4
11
32
33
5
33
− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66

−−−−−−−−−−−−−→
−3L2 + L1 −→ L1
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣
− 1
11
−17
66
19
66
− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
Temos então que
A−1 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
1.2. MATRIZES 29
Propriedades da inversa de matrizes:
Teorema 1.2.9. Seja MIn o conjunto de todas as matrizes reais invert́ıveis de ordem
n. Então
(i) (A−1)
−1
= A, ∀A ∈MIn
(ii) (AB)−1 = B−1A−1, ∀A,B ∈MIn
(iii)
(
Ak
)−1
= (A−1)
k
, ∀A ∈MIn, ∀k ∈ N
(iv) (λA)−1 = 1
λ
A−1, ∀A ∈MIn, ∀λ ∈ R\ {0}
(v)
(
AT
)−1
= (A−1)
T
, ∀A ∈MIn
(vi) I−1 = I
No Teorema 1.2.9(ii) provamos que o produto de duas matrizes invert́ıveis ainda é
uma matriz invert́ıvel, mas o mesmo não se passa com a soma.
Exemplo 1.2.23. Consideremos as matrizes I =
[
1 0
0 1
]
e A =
[
−1 0
0 −1
]
. Estas
duas matrizes são invert́ıveis. Mas
I + A =
[
1 0
0 1
]
+
[
−1 0
0 −1
]
=
[
0 0
0 0
]
não é uma matriz invert́ıvel.
Aplicando o resultado que se segue, podemos saber à priori se uma dada matriz
admite ou não inversa.
Teorema 1.2.10. Uma matriz quadrada A de ordem n é invert́ıvel se e só se r(A) = n.
Definição 1.2.25. Seja A uma matriz quadrada invert́ıvel. A matriz A diz-se orto-
gonal se A−1 = AT .
Exemplo 1.2.24. Consideremos a matriz A =
[
1
2
√
3
2√
3
2
−1
2
]
.
Como A−1 =
[
1
2
√
3
2√
3
2
−1
2
]
= AT , a matriz A é uma matriz ortogonal.
30 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
1.2.8 Aplicação da inversa de matrizes na resolução de siste-
mas de equações lineares
Vimos na subsecção 1.2.7 que um sistema pode ser representado matricialmente
pela equação AX = B. Caso A tenha inversa, a determinação do conjunto solução
do sistema resume-se à resolução da referida equação matricial, ou seja, AX = B ⇔
A−1AX = A−1B ⇔ IX = A−1B ⇔ X = A−1B. Logo o conjunto solução é {A−1B} .
Exemplo 1.2.25. Consideremos o seguinte sistema de equações lineares:
2x + y + 7z = 1
x + 3y + 2z = 2
5x + 3y + 4z = 3
.
Na forma matricial este sistema toma a forma
AX = B ⇐⇒
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 12
3
 .
Do exemplo 1.2.22 sabemos que a matriz A é invert́ıvel e A−1 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 .
Logo
AX = B ⇐⇒
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 12
3

⇐⇒
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 2 1 71 3 2
5 3 4
 xy
x
 =
 − 111 −1766 1966− 1
11
9
22
− 1
22
2
11
1
66
− 5
66
 12
3

⇐⇒
 1 0 00 1 0
0 0 1
 xy
x
 =
 176613
22
− 1
66
⇐⇒
 xy
x
 =
 176613
22
− 1
66
⇐⇒ X = A−1B.
Portanto
C.S. =
{
A−1B
}
=
{(
17
66
,
13
22
,− 1
66
)}
.
Observe-se que este processo de resolução de sistemas exige que a matriz A, de ordem
n, admita inversa. De acordo com o teorema 1.2.10 isso só acontece se r(A) = n e
esta condição só se verifica nos sistemas posśıveis e determinados.
1.3. EXERCÍCIOS 31
1.3 Exerćıcios
Matrizes. Resolução de Sistemas.
Exerćıcio 1.3.1. Dê exemplo de uma matriz real:
(a) Quadrada de ordem 3;
(b) Rectangular do tipo 4× 2;
(c) Linha do tipo 1× 6;
(d) Coluna do tipo4× 1;
(e) Triangular superior de ordem 5;
(f) Diagonal de ordem 4;
(g) Escalar de ordem 3.
Exerćıcio 1.3.2.
(a) Escreva por extenso a matriz do tipo m× n definida por:
i. A = [aij] e aij = i+ j (m = 5, n = 4);
ii. B = [bij] e bij =

2 sei = j
−1 se |i− j| = 1
0 caso contrário
(m = 5, n = 4);
iii. D = [dij] e dij = (−1)i+j (m = n = 3) .
(b) Para cada uma das matrizes quadradas determinadas na aĺınea anterior, indique
os elementos que constituem a diagonal principal.
Exerćıcio 1.3.3. * Seja o sistema de equações lineares
2x + y = 5
3x + 6y + z = 1
5x + 7y + z = 8
.
(a) Verifique se x = 2, y = 1 e z = −11 é uma solução do sistema.
(b) Escreva relativamente ao sistema apresentado, a matriz dos coeficientes, a matriz
dos termos independentes e a matriz ampliada.
(c) Resolva matricialmente o sistema, usando o método de eliminação de Gauss.
Exerćıcio 1.3.4. * Um grande edif́ıcio de apartamentos deverá ser constrúıdo usando
técnicas modulares de construção. A distribuição de apartamentos por andar deve
ser feita segundo três plantas básicos. A planta A tem dois apartamentos T3, dois
apartamentos T2 e um apartamento T1. A planta B tem dois apartamentos T3, um
apartamento T2 e nenhum apartamento T1. A planta C tem dois apartamentos T3,
três apartamentos T2 e quatro apartamentos T1.
32 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
(a) É posśıvel planear um edif́ıcio com exactamente 60 apartamentos T3, 44
apartamentos T2 e 22 apartamentos T1? Se for posśıvel, quantos andares seguem
cada uma das plantas?
Foram alteradas as dimensões dos apartamentos T1 no plano C, sendo apenas
viável construir dois apartamentos T1 no plano C.
(b) É posśıvel planear um edif́ıcio com o número de apartamentos T1, T2, e
T3, exigido na aĺınea a) ?
(c) Se forem constrúıdos apenas 14 apartamentos T1, é posśıvel planear um
edif́ıcio nas condições exigidas? Se for posśıvel, existe mais do que uma forma
de o fazer?
Exerćıcio 1.3.5. Calcule a caracteŕıstica de cada uma das matrizes:
(a) A =

1 0 −1 2
2 3 1 −1
0 2 2 1
−3 1 4 1

(b) B =

1 0 −1 2
1 1 1 −1
0 −1 −2 3
5 2 −1 4
−1 2 5 −8

Exerćıcio 1.3.6. * Sejam as seguintes matrizes:
A =
 0 β 01 0 0
0 0 1
 , X =
 xy
z
 e H =
 α1
γ
 .
Discuta o sistema AX = H, em função de α, β e γ.
Exerćıcio 1.3.7. * Discuta a caracteŕıstica da matriz A =

0 0 a 1
2 2 0 a
0 0 a b
3 0 6 a
, em
função dos valores dos parâmetros a e b.
Exerćıcio 1.3.8. * Resolva e classifique os seguintes sistemas de equações lineares:
(a)

x + z = 2
y − z = 2
3x + y + z = 4
;
(b)
{
x + 4y + 6z = 0
−3
2
x − 6y − 9z = 0 ;
1.3. EXERCÍCIOS 33
(c)

x + 2y − z = 1
2x − 3y + 6z = 2
3x − y + 5z = 3
;
(d)

x + z + w = 2
y − z − w = 2
3x + y + z − 2w = 4
;
(e)

x + y + 2z = 1
−x + 3y + 5z = 2
2y + z = −1
6y + 8z = 2
;
(f)

x + 2y + z = 1
2x − 3y − z = 2
− y + 2z = −3
3x − 2y + 2z = 0
3x − 2z = 6
.
(g)

x + 2y + 3z = 1
−x − 2y + z = 2
x + 2y + 7z = 4
.
Exerćıcio 1.3.9. Considere o sistema de equações lineares nas incógnitas x1, x2, x3 e
x4 cuja matriz ampliada é
[A|b] =
 0 1 1 1−2 2 0 2
−2 3 1 3
∣∣∣∣∣∣
0
−1
−1

(a) Resolva o sistema homogéneo associado.
(b) Verifique que
(
3
2
, 0,−1, 1
)
é solução do sistema dado.
Exerćıcio 1.3.10. Considere o sistema cuja matriz ampliada tem a forma
[A|B] =
 1 2 12 5 3
−1 1 β
∣∣∣∣∣∣
0
0
0

(a) Diga, justificando, se o sistema pode ser imposśıvel.
(b) Indique os valores de β para os quais o sistema tem uma infinidade de soluções.
Exerćıcio 1.3.11. * Seja o sistema de equações lineares representado pela matriz
ampliada que se segue: 
a 1 0
0 −2 1
−4 0 b
0 −1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
0
−1
−7
c
 .
34 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
(a) Para que valores de a, b e c, o vector (1, 2, 3) é solução do sistema?
(b) Para que valores dos parâmetros a e b, o respectivo sistema homogéneo associado
é indeterminado?
(c) Qual é a solução do sistema homogéneo que à partida conhece, sem ter de resolver
o sistema? Este sistema homogéneo tem mais soluções?
Exerćıcio 1.3.12. * Considere o seguinte sistema:
S1 :

x + 2y = 1
−x + αy + z = 2
x + y + z = β
Classifique o sistema S1 em função dos parâmetros reais α e β.
Exerćıcio 1.3.13. * Considere o sistema em função dos parâmetros reais a e b:
x+ y + z = 1
x+ ay + z = 2
3x− 3y + az = b
Discuta o sistema em função dos parâmetros reais a e b.
Operações com Matrizes.
Exerćıcio 1.3.14. * Calcule os valores de m e n para que as matrizes A e B sejam
iguais.
(a) A =
[
8 15n
12 +m 3
]
e B =
[
8 75
6 3
]
;
(b) A =
[
m2 − 40 n2 + 4
6 3
]
e B =
[
41 13
6 3
]
.
Exerćıcio 1.3.15. * Calcule, se posśıvel:
(a)
[
1 2 −3 4
0 −5 1 −1
]
+
[
3 −5 6 −1
2 0 −2 −3
]
;
(b)
[
1 2 −3
0 −4 1
]
+
[
3 5
1 −2
]
;
(c) −3
[
1 2 −3
4 −5 5
]
.
1.3. EXERCÍCIOS 35
Exerćıcio 1.3.16. * Dadas as matrizes:
A =
[
0 1
2 3
]
e B =
[
1 1
0 0
]
.
(a) Calcule A+B e B + A.
(b) Olhando para os resultados que obteve, que pode concluir?
Exerćıcio 1.3.17. * Dadas as matrizes:
A =
[
−1 2 3
4 0 1
]
, B =
[
2 3 −1
−2 0 −1
]
e C =
[
1 1 0
0 0 1
]
.
(a) Indique o tipo da matriz A e os elementos a11 e a23.
(b) Determine A+B, A−B e λA+ µ (B + C) .
(c) Verifique que (A+B) + C = A+ (B + C) e (λ+ µ)A = λA+ µA.
Exerćıcio 1.3.18. Prove que:
(a) A+B = B + A; ∀A,B ∈Mm×n
(b) A+O = O + A = A; ∀A ∈Mm×n
(c) (λ+ µ)A = λA+ µA; ∀A ∈Mm×n ∀λ, µ ∈ R
(d) (λµ)A = λ (µA) ; ∀A ∈Mm×n ∀λ, µ ∈ R
(e) 0A = O; ∀A ∈Mm×n
Exerćıcio 1.3.19. * Considerem-se as matrizes:
A =
[
1 0 −1
1 2 1
]
e B =
[
0 −1 1
1 2 1
]
.
Determine:
(a) A+ 1
2
B − 2 (A+B) ;
(b) A+B − 1
2
(A−B) .
Exerćıcio 1.3.20. * Verifique se existem escalares α, β e θ tais que:[
3 3
0 −2
]
= α
[
1 1
0 −1
]
+ β
[
0 1
1 1
]
+ θ
[
−1 0
1 1
]
.
Exerćıcio 1.3.21. * Encontre x, y, z e w tais que:
3
[
x y
z w
]
=
[
x 6
−1 2w
]
+
[
4 x+ y
z + w 3
]
.
36 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Exerćıcio 1.3.22. * Sejam as seguintes matrizes:
A =
[
1 1 1
2 1 3
]
, B =
[
5 1 0
0 2 4
]
e C =
[
0 0 0
1 3 4
]
.
(a) Determine a matriz X tal que: 1
2
(X + A) = 3 [X + (A−X)] + C.
(b) Determine as matrizes X e Y tais que:{
2X − Y = A − B
X + Y = B − A .
Exerćıcio 1.3.23. * Sejam as matrizes:
A =
 1 23 4
5 6
 e B =
 −3 −21 −5
4 3
 .
Determine a matriz D de modo a que se verifique A+B −D = O.
Exerćıcio 1.3.24. Considere as matrizes A, B, C e D do tipo 4× 3, 4× 3, 3× 4, e
4 × 2, respectivamente. Diga quais das seguintes expressões identificam matrizes, e
nesses casos indique o tipo da matriz resultado.
(a) AB;
(b) (A+B)C;
(c) ACD;
(d) 2ACA+B.
Exerćıcio 1.3.25. * Denote por (m× n) uma matriz com forma m× n. Encontre a
forma dos seguintes produtos, se o produto é definido:
(a) (4× 1) (1× 2) ;
(b) (1× 2) (3× 1) ;
(c) (3× 4) (3× 4) ;
(d) (2× 2) (2× 4) .
Exerćıcio 1.3.26. Considere a matriz
A =
 3 −1 −11 1 −1
1 −1 1

1.3. EXERCÍCIOS 37
Verifique que:
(a) A2 − 3A+ 2I3 = O3
(b) AI3 = A = I3A
(c) AO3 = O3
(d) 2A− 3A = −A
Exerćıcio 1.3.27. * Sejam A =
[
2 −1 0
1 0 −3
]
e B =
 1 −4 0 12 −1 3 −1
4 0 −2 0
 .
(a) Determine a forma de AB.
(b) Seja cij o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna do produto matricial AB,
isto é, AB = [cij] . Determine c23, c14 e c21, sem calcular a matriz produto AB.
Exerćıcio 1.3.28. O João pesa 81 Kg. Ele quer perder peso através de um programa
de dieta e exerćıcios. Após consultar a tabela 4, ele cria o seu programa de exerćıcios
na tabela 5. Quantas calorias vai queimar por dia, se seguir esse programa?
Peso Andar (3 Km/h) Correr (9 Km/h) Andar bicicleta (9 Km/h) Jogar ténis
69 213 651 304 420
73 225 688 321 441
77 237 726 338 468
81 249 764 356 492
Tabela 1.3: Calorias queimadas por hora
Andar Correr Andar bicicleta Jogar ténis
Segunda-feira 1 0 1 0
Terça-feira 0 0 0 2
Quarta-feira 0,4 0,5 0 0
Quinta-feira0 0 0,5 2
Sexta-feira 0,4 0,5 0 0
Tabela 1.4: Horas por dia para cada actividade
Exerćıcio 1.3.29. * Seja A =
[
1 3
4 −3
]
. Encontre U =
[
x
y
]
, não nulo, tal que
AU = 3U.
38 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Exerćıcio 1.3.30. * Dadas as matrizes:
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
 , B = [ 1 3 −5 −76 2 −8 3
]
, C =
[
2 4
−3 5
]
e D =

2 1
−3 4
1 2
0 1
 .
Determine:
(a) AB;
(b) (BA)C;
(c) (A+D)B;
(d) BA;
(e) (λA)B;
(f) A (λB) ;
(g) AB +DB;
(h) B (AC) ;
(i) λ (AB) .
Exerćıcio 1.3.31. Demonstre, sempre que façam sentido as operações indicadas:
(a) A (B + C) = AB + AC; ∀A,B,C ∈M
(b) (B + C)A = BA+ CA; ∀A,B,C ∈M
(c) k (AB) = (kA)B = A (kB) ; ∀A,B ∈M, ∀k ∈ R
(d) OA = O ∧BO = O; ∀A,B ∈M
(e) IA = A = AI; ∀A ∈M
Exerćıcio 1.3.32. Simplifique a expressão seguinte onde A, B e C representam ma-
trizes quadradas com a mesma ordem,
A (B + C) +B (C − A)− (A+B)C
Exerćıcio 1.3.33. * Diz-se que as matrizes A e B comutam se AB = BA. Encontre
as matrizes
[
x y
z w
]
que comutam com
[
1 1
0 1
]
.
Exerćıcio 1.3.34. Considere um sistema AX = B, com duas soluções distintas, x1
e x2. Prove que, sendo α1 e α2 dois números reais, tais que α1 + α2 = α, então
α1x1 + α2x2 é solução do sistema AX = αB.
1.3. EXERCÍCIOS 39
Exerćıcio 1.3.35. * Em cada uma das aĺıneas, dê exemplos de matrizes 2 × 2, com
componentes reais e com a propriedade indicada:
(a) A2 = −I;
(b) B2 = O, com B 6= O;
(c) CD = −DC, com CD 6= O;
(d) EF = O, sendo as componentes de E e de F todas diferentes de zero.
Exerćıcio 1.3.36. Desenvolva a expressão (A+B)3 no caso de:
(a) A e B serem matrizes de ordem n quaisquer.
(b) A e B serem permutáveis.
Exerćıcio 1.3.37. *
(a) Verifique que as igualdades indicadas não são válidas para todas as matrizes
n× n :
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2 e (A+B) (A−B) = A2 −B2.
(b) Corrija os lados direitos destas igualdades de forma a obter fórmulas correctas
para todas as matrizes.
(c) Para que matrizes A, B são válidas as formulas indicadas na aĺınea (a)?
Exerćıcio 1.3.38. Dada a matriz
A =
[
2 −1
2 −1
]
(a) Determine uma matriz B quadrada de ordem 2, não nula, tal que AB = O2.
(b) Dê exemplo de matrizes não nulas X e Y tais que
AX = AY mas X 6= Y
Exerćıcio 1.3.39. Dadas as matrizes:
I =
[
1 0
0 1
]
e Y =
[
0 1
−1 0
]
,
mostre que:
(a) Y 2 = −I;
(b) Y 4 = I;
(c) (aI + bY ) (aI − bY ) = (a2 + b2) I, a, b ∈ R.
40 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Exerćıcio 1.3.40. Determine a matriz X tal que
A+ 3X = B
onde A = [2i− 3j] e B = [i+ j] , com i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2.
Exerćıcio 1.3.41. * Determine todas as matrizes A quadradas de ordem 2, tais que
A2 = O.
Exerćıcio 1.3.42. * Considere a matriz:
A =
 0 0 12 1 0
1 0 0
 .
(a) Calcule as matrizes A2 e A3;
(b) Determine a matriz A2 + A− I (sendo I a matriz identidade de ordem 3);
(c) Deduza A4, A5 e A6 em função de A2, A e I.
Exerćıcio 1.3.43. Sendo A, B matrizes quaisquer, demonstre que:
Se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula;
Exerćıcio 1.3.44. * Seja A uma matriz arbitrária. Sob que condições o produto AAT
é definido?
Exerćıcio 1.3.45. * Sejam
A =
[
1 −1 2
0 3 4
]
, B =
[
4 0 −3
−1 −2 3
]
, C =
 2 −3 0 15 −1 −4 2
−1 0 0 3
 e D =
 2−1
3
 .
Determine, se posśıvel:
(a) (A+B)T ;
(b) (AC)T ;
(c) (λD)T ;
(d)
(
BT
)T
;
(e) ATCT ;
(f) AT +BT ;
(g) λDT ;
(h) CTAT .
1.3. EXERCÍCIOS 41
Exerćıcio 1.3.46. Prove que:
(a) (A+B)T = AT +BT ; ∀A,B ∈Mm×n
(b) (kA)T = kAT ; ∀A ∈Mm×n, ∀k ∈ R
Exerćıcio 1.3.47. * Dadas as matrizes reais A =
 2 13 1
0 1
 e B = [ 1 −2 1
0 1 1
]
,
determine a matriz X tal que
(
ATBTX
)T
=
[
2 0
−1 2
3
]
.
Exerćıcio 1.3.48. Considere a seguinte matriz:
A = I − 1
3
MTM, com M =
[
1 1 1
]
.
Mostre que A2 = A.
Exerćıcio 1.3.49. * Sejam as matrizes:[
0 −9 3
4 8 1
]
,
 4 3−1 2
8 1
 e
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 .
(a) Determine S = A + AT , tomando para matriz A uma das matrizes anteriores de
modo que S esteja definida;
(b) Determine ST . Compare o resultado obtido com o da aĺınea anterior. O que pode
concluir sobre a matriz S?
Exerćıcio 1.3.50. Sejam A e B duas matrizes quadradas, de ordem 3, simétricas.
Prove que AB é simétrica se e só se A e B são permutáveis. (Observação: O resultado
é válido para matrizes de ordem n).
Exerćıcio 1.3.51. * Sendo:
A =
[
1 0
1 1
]
, B =
[
1 0
0 −1
]
e C =
[
0 0
β −1
]
e supondo que X é uma matriz simétrica, estude em que condições a equação:
XAB +
(
BTCX
)T
= I
tem apenas uma solução. Resolva a equação.
Exerćıcio 1.3.52. * Sejam as matrizes quadradas
A =
 2 1 10 1 3
1 −1 4
 e B =
 1 1 1−1 0 −1
5 4 −3
 .
42 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Determine:
(a) tr(A) ;
(b) tr(A+B) ;
(c) tr(AB) ;
(d) tr(A) + tr (B) ;
(e) tr
(
AT
)
;
(f) tr(BA) .
Exerćıcio 1.3.53. Sendo A e B matrizes tais que AB e BA existem, prove que
tr(AB) =tr(BA) .
Exerćıcio 1.3.54. Sendo
A =
[
1 0
0 0
]
e B =
[
−1 1
0 −1
]
verifique que tr (A) tr (B) 6= tr (AB) .
Exerćıcio 1.3.55. * Determine, caso exista, a inversa das matrizes:
(a) A =
 1 1 10 1 1
0 1 1
 ;
(b) B =
 1 2 22 −1 1
1 3 2
 ;
(c) C =
 1 0 21 2 3
1 3 7
3
 ;
(d) D =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
.
Exerćıcio 1.3.56. Determine a inversa da matriz simétrica
1 0 1 1
0 0 1 0
1 1 1 0
1 0 0 2

vivia
Nota
fazer
vivia
Nota
help
1.3. EXERCÍCIOS 43
Exerćıcio 1.3.57. * Sejam
A =
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1
 e B =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Determine as seguintes matrizes:
(a) (A−1)
−1
;
(b) B−1;
(c)
(
AT
)−1
;
(d) (A−1)
T
;
(e) (AB)−1 ;
(f) B−1A−1.
Exerćıcio 1.3.58. Considere a seguinte matriz:
H =
[
1
5
−2
√
6
5
2
√
6
5
1
5
]
Mostre que H é uma matriz ortogonal.
Exerćıcio 1.3.59. Prove que:
(a) O produto de duas matrizes ortogonais é ainda uma matriz ortogonal.
(b) A transposta de uma matriz ortogonal é ainda uma matriz ortogonal.
Exerćıcio 1.3.60. * Sendo A uma matriz quadrada invert́ıvel que verifica a relação:
A2 + A+ I = O,
determine a sua inversa, A−1.
Exerćıcio 1.3.61. * Considere a matriz A =

2 0 1 k
0 k + 2 0 k + 1
1 0 2 k
0 1 0 2
 .
(a) Determine k de modo a que A seja invert́ıvel.
(b) Para k = 0 resolva a equação matricial AXA − B = AX, sendo B a matriz tal
que bij = 1 se i+ j é par e bij = 0 se i+ j é ı́mpar.
Exerćıcio 1.3.62. Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, permutáveis, e C
uma matriz tal que CT = C−1, prove que CTAC permuta com CTBC.
44 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Exerćıcio 1.3.63. Mostre que se A é simétrica e invert́ıvel, então A−1 é simétrica.
Exerćıcio 1.3.64. Sendo A e B duas matrizes invert́ıveis e C = AB, prove que
A−1CB−1 = I.
Exerćıcio 1.3.65. * Sejam A, B e C matrizes reais simétricas de ordem n. As
matrizes A e B são tais que:
aij − bij =
{
1, i = j
0, i 6= j .
Sabendo que a matriz A é invert́ıvel, determine a matriz X que verifica a seguinte
equação matricial:
A
(
C−1XTC +B
)T
= A2.
Exerćıcio 1.3.66. * Considere as matrizes:
A =
[
−1 1
−2 1
]
, B =
[
1 −1
0 1
]
e C =
 1 −11 2
0 1

(a) Resolva a equação matricial XA+ 2B = (DC)T , em ordem a X;
(b) Determine a matriz X, sendo D a matriz tal que:
di1 = 2, di3 = 0 e di2 =
{
1 se i é par
−1 se i é impar .
Exerćıcio 1.3.67. * Sejam A =
 −1 0 01 2 0
1 1 1
 e H = [ 2a 2b
6a 6b
]
. Indique o valor
lógico das seguintes afirmações:
(a) A matriz AAT é simétrica e tr(AAT ) = 15.
(b) A matriz H é invert́ıvel.
Exerćıcio 1.3.68. * Supondo que A e B são matrizes invert́ıveis, resolva em ordem
a X a seguinte equação matricial.
[(AT )−1X]T + 6(AB)−1 = A
Exerćıcio 1.3.69. Sejam A = (aij), B = (bij) matrizes regulares e C = (cij) tal que:{
cij = 1 − bij se i = j
cij = − bji se i 6= j
Supondo que X é uma matriz simétrica de ordem n e B = A−1, resolva a equação
X(AB−1)−1 + (BTCX)T = I, onde I é a matriz identidade de ordem n.1.3. EXERCÍCIOS 45
Aplicação da Inversa de uma Matriz na Resolução de Sistemas.
Exerćıcio 1.3.70. * Utilizando a inversa da matriz dos coeficientes, resolva o seguinte
sistema de equações lineares:
x + 2y + z = 0
x + y + z = 0
3x − y + z = 6
.
Exerćıcio 1.3.71. * Considere o seguinte sistema de equações lineares:
2x + y − z = 4
−x + y + z = 2
y + 2z = 3
.
Resolva-o, invertendo a matriz dos coeficientes.
Exerćıcio 1.3.72. * Seja AX = B um sistema de n equações em n incógnitas.
Indique o valor lógico das seguintes afirmações:
(a) Se AX = B é um sistema posśıvel e determinado, então a única solução do
sistema homogéneo associado é a solução nula.
(b) Se A admite inversa, a solução do sistema AX = B é X = BA−1.
Exerćıcio 1.3.73. * Considere o sistema em função dos parâmetros reais a e b:
x + y + w = 0
x + 2y + z = 2
az + w = b
4z + aw = 1
(a) Determine os valores dos parâmetros a e b para os quais o sistema é imposśıvel.
(b) Tomando a = 1, b = −1 e considerando A a matriz dos coeficientes do sistema
dado:
i. Determine a inversa da matriz A.
ii. Calcule a solução do sistema, usando a matriz calculada em i.
iii. Verifique se a matriz A é ortogonal.
46 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
1.4 Soluções.
Só os exerćıcios com * têm solução.
Matrizes. Resolução de Sistemas.
1.3.3
(a) (x, y, z) = (2, 1,−11) não é solução do sistema de equações lineares.
(b) A =
 2 1 03 6 1
5 7 1
 ; b =
 51
8
 ; Matriz ampliada (completa):
 2 1 03 6 1
5 7 1
∣∣∣∣∣∣
5
1
8
 .
1.3.4
(a) SA = {(3, 2, 1)} - sistema posśıvel e determinado;
SB =
{
(x, y, z) : x = −41+z
4
, y = 29−13z
8
e z ∈ R
}
- sistema posśıvel e indeter-
minado; (Nota: Este sistema de equações lineares tem uma variável livre: z)
SC = Ø - sistema imposśıvel.
(b) r(A) =r[A|B] = 3; r(A) =r[A|B] = 2; r(A) = 2 e r[A|B] = 3.
(c) Quando o sistema é posśıvel e determinado, r(A) =r[A|B] = n, sendo n o número
de incógnitas;
Quando o sistema é posśıvel e indeterminado, r(A) =r[A|B] < n;
Quando o sistema é posśıvel e indeterminado, r(A) <r[A|B] .
1.3.6 O sistema é:
• posśıvel e determinado se β 6= 0, ∀α, γ ∈ R;
• posśıvel e indeterminado com grau de indeterminação d = 1, para α = 0, β = 0,
∀γ ∈ R;
• imposśıvel se β = 0 e α 6= 0, ∀γ ∈ R.
1.3.7 r(A) = 4, se b 6= 1, a 6= 0; r(A) = 3, se b = 1, a ∈ R\ {0} ou se b ∈ R e a = 0.
1.3.8
(a) Sistema posśıvel e determinado,S = {(−2, 6, 4)} ;
1.4. SOLUÇÕES. 47
(b) Sistema posśıvel e indeterminado com grau de indeterminação 2,
S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = −4y − 6z} ;
(c) Sistema posśıvel e indeterminado com grau de indeterminação 1;
S =
{(
1− 9
7
z, 8
7
z, z
)
: z ∈ R
}
;
(d) Sistema posśıvel e indeterminado com grau de indeterminação 1,
S = {(−2 + 3w, 6− 3w, 4− 4w,w) : w ∈ R} ;
(e) Sistema posśıvel e determinado; S = {(0,−1, 1)} ;
(f) Sistema posśıvel e determinado, S =
{(
20
17
, 9
17
,−21
17
)}
.
(g) Sistema posśıvel e indeterminado com grau indeterminao 1, S =
{(
−5
4
− 2y, y, 3
4
)
: y ∈ R
}
.
1.3.11
(a) O vector é solução do sistema para: a = −2, b = −1 e c = 4.
(b) O respectivo sistema homogéneo associado não é indeterminado para nenhum
valor dos parâmetros a e b.
(c) A solução que à partida se conhece é a solução nula. Não há mais nenhuma
solução, uma vez que o sistema é posśıvel e determinado.
1.3.12 O sistema é:
• posśıvel e determinado se α 6= −3 ∧ β ∈ R;
• posśıvel e indeterminado se α = −3 ∧ β = 4;
• imposśıvel se α = −3 ∧ β 6= 4.
1.3.13 O sistema é:
• posśıvel e determinado se a ∈ R\{1, 3} ∧ b ∈ R;
• posśıvel e indeterminado se a = 3 ∧ b = 0;
• imposśıvel se a = 3 ∧ b ∈ R\{0} e se a = 1 ∧ b ∈ R
48 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Operações com Matrizes.
1.3.14
(a) (m,n) = (−6, 5) ;
(b) (m,n) = (−9,−3) ∨ (m,n) = (−9, 3) ∨ (m,n) = (9, 3) ∨ (m,n) = (9,−3) .
1.3.15
(a)
[
4 −3 3 3
2 −5 −1 −4
]
;
(b) Não é posśıvel efectuar a adição entre as duas matrizes, porque elas têm tipos
diferentes. Os seus tipos são 2× 3 e 2× 2, respectivamente.
(c)
[
−3 −6 9
−12 15 −15
]
.
1.3.16
(a) A+B =
[
1 2
2 3
]
; B + A =
[
1 2
2 3
]
;
(b) Estas matrizes verificam a propriedade comutativa da adição.(Obs: Caso geral -
A propriedade comutativa da adição verifica-se para quaisquer matrizes.)
1.3.17
(a) A matriz A é uma matriz rectangular do tipo 2× 3, a11 = −1 e a23 = 1;
(b) A+B =
[
1 5 2
2 0 0
]
, A−B =
[
−3 −1 4
6 0 2
]
λA+ µ (B + C) =
[
−λ+ 3µ 2λ+ 4µ 3λ− µ
4λ− 2µ 0 λ
]
.
1.3.19
(a) A+ 1
2
B − 2 (A+B) =
[
−1 3
2
−1
2
−5
2
−5 −5
2
]
;
(b) A+B − 1
2
(A−B) =
[
1
2
−3
2
1
2 4 2
]
.
1.4. SOLUÇÕES. 49
1.3.20 α = 2, β = 1 e θ = −1.
1.3.21 x = 2, y = 4 e w = 3.
1.3.22
(a) X =
[
5 5 5
12 11 23
]
;
(b) X =
[
0 0 0
0 0 0
]
; e Y =
[
4 0 −1
−2 1 1
]
.
1.3.23 D =
 −2 04 −1
9 9
.
1.3.25
(a) O produto é uma matriz do tipo 4× 2;
(b) O produto não está definido, pois o número de colunas da primeira matriz não é
igual ao número de linhas da segunda;
(c) O produto não está definido, pelo mesmo motivo referido na aĺınea anterior;
(d) O produto é uma matriz do tipo 2× 4.
1.3.27
(a) O produto AB é uma matriz do tipo 2× 4;
(b) c23 = 6, c14 = 3 e c21 = −11.
1.3.29 Como existe uma infinidade de soluções, um exemplo para U, não nulo, é
U =
[
3
2
]
.
1.3.30
(a) AB =

−11 −1 11 −13
9 11 −23 −18
−17 13 −3 −61
59 33 −97 −8
 ; (b) (BA)C = [ 6 −450−205 129
]
;
50 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
(c) (A+D)B =

−3 7 −7 −24
30 10 −40 15
−4 20 −24 −62
65 35 −105 −5
 ; (d) BA = [ −60 −42−29 49
]
;
(e) (λA)B =

−11λ −λ 11λ −13λ
9λ 11λ −23λ −18λ
−17λ 13λ −3λ −61λ
59λ 33λ −97λ −8λ
 ;
(f) A (λB) =

−11λ −λ 11λ −13λ
9λ 11λ −23λ −18λ
−17λ 13λ −3λ −61λ
59λ 33λ −97λ −8λ
 ;
(g) AB +DB =

−3 7 −7 −24
30 10 −40 15
−4 20 −24 −62
65 35 −105 −5
 (h) B (AC) = [ 6 −450−205 129
]
;
(i) λ (AB) =

−11λ −λ 11λ −13λ
9λ 11λ −23λ −18λ
−17λ 13λ −3λ −61λ
59λ 33λ −97λ −8λ
 ;
1.3.33 Somente matrizes da forma
[
x y
0 x
]
, ∀x, y ∈ R, comutam com
[
1 1
0 1
]
.
1.3.35
(a) A =
[
0 1
−1 0
]
; (b) B =
[
0 1
0 0
]
;
(c) C =
[
0 1
0 0
]
, D =
[
−1 0
0 1
]
; (d) E =
[
1 −1
−1 1
]
, F =
[
1 1
1 1
]
.
1.3.37
(a) Para verificar que as igualdades não são válidas, basta considerar:
A =
[
0 1
0 0
]
e B =
[
0 0
1 0
]
;
(b) (A+B)2 = A2 +B2 + AB +BA; e (A+B) (A−B) = A2 −B2 − AB +BA;
(c) As formulas indicadas na aĺınea (a) são válidas para as matrizes A, B, tais que,
AB = BA, ou seja, A e B matrizes permutáveis.
1.4. SOLUÇÕES. 51
1.3.41 A =
[
0 b
0 0
]
, ∀b ∈ R, e A =
[
−d −d2
c
c d
]
, ∀c 6= 0, ∀d ∈ R.
1.3.42
(a) A2 =
 1 0 02 1 2
0 0 1
 , A3 =
 0 0 14 1 2
1 0 0
 ;
(b) A2 + A− I =
 0 0 14 1 2
1 0 0
 = A3;
(c) A4 = 2A2 − I, A5 = 2A2 + A− 2I, A6 = 3A2 − 2I.
1.3.44 O produto AAT é sempre definido, qualquer que seja a matriz A.
1.3.45
(a) (A+B)T =
 5 −1−1 1
−1 7
 ; (b) (AC)T =

−5 11
−2 −3
4 −12
5 18
 ;
(c) (λD)T =
[
2λ −λ 3λ
]
; (d)
(
BT
)T
=
[
4 0 −3
−1 −2 3
]
;
(e) O produto ATCT não está definido, porque o número de colunas de AT (2 colunas)
não é igual ao número de linhas de CT (4 linhas);
(f) AT +BT =
 5 −1−1 1
−1 7
 ; (g) λDT = [ 2λ −λ 3λ ] ;
(h) CTAT =

−5 11
−2 −3
4 −12
5 18
 .
1.3.47 X =
[
−1
2
1
2
0 1
3
]
.
1.3.49 (a) S = A+ AT =
 4 −4 6−4 8 −7
6 −7 12
 ; (b) ST =
 4 −4 6−4 8 −7
6 −7 12
 ;
Comparando o resultado com o da aĺınea anterior, conclui-se que S = ST , isto é, S
é uma matriz simétrica.
52 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
1.3.51 A equação só tem uma solução X =
[
0 1
− 1
β
1
β
]
se β 6= 0. Para que X seja
uma matriz simétrica, temos que fazer β = −1, obtendo desta forma como solução da
equação: X =
[
0 1
1 −1
]
.
1.3.52
(a) tr(A) = 7; (b) tr(A+B) = 5; (c) tr(AB) = 8;(d) tr(A) + tr (B) = 5; (e)tr
(
AT
)
= 7; (f) tr(BA) = 8.
1.3.55
(a) A−1 não existe; (b) B−1 = 1
3
 −5 2 4−3 0 3
7 −1 −5
 ;
(c) C−1 = −3
7
 −133 6 −42
3
1
3
−1
1 −3 2
 ; (d) D−1 = [ cos θ sin θ− sin θ cos θ
]
.
1.3.57
(a) (A−1)
−1
=
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1
 ; (b) B−1 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 ;
(c)
(
AT
)−1
=
 −1 0 1−1 −1 −1
0 −1 −3
 ; (d) (A−1)T =
 −1 0 1−1 −1 −1
0 −1 −3
 ;
(e) (AB)−1 =
 −1 −1 00 −1 −1
1 −1 −3
 ; (f) B−1A−1 =
 −1 −1 00 −1 −1
1 −1 −3
 .
1.3.60 A−1 = −A− I.
1.3.61
(a) Para que a matriz A seja invert́ıvel, temos que ter k 6= −3, ou seja,k ∈ R\ {−3} ;
(b) X =

1
3
− a −b a b
−c 1
3
− d c d
1
3
− e −f e f
−g 1
3
− h g h
 , a, b, c, d, e, f, g, h ∈ R.
1.3.65 X = I, I matriz identidade.
1.4. SOLUÇÕES. 53
1.3.66 (a) X = (CTDT − 2B)A−1. (b) X =
[
9 −4
−8 6
]
.
1.3.67 (a) Falsa; (b) Falsa.
1.3.68 (a) X = (A2)T − 6(B−1)T .
Aplicação da Inversa de uma Matriz na Resolução de Sistemas.
1.3.70 S = {(3, 0,−3)} .
1.3.71 S =
{(
4
5
, 13
5
, 1
5
)}
.
1.3.72 (a) Verdadeira; (b) Falsa.
1.3.73
(a) O sistema é imposśıvel para a = ±2 ∧ b ∈ R\{−1
2
, 1
2
};
(b) (i) A−1 =

2 −1 −3 1
−1 1 5
3
−2
3
0 0 −1
3
1
3
0 0 4
3
−1
3
;
(ii) (2,−1
3
, 2
3
,−5
3
);
(iii) A matriz A não é ortogonal.
54 CAPÍTULO 1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. MATRIZES
Caṕıtulo 2
Determinantes e suas aplicações
2.1 Métodos de cálculo de determinantes
Nesta secção vamos associar a cada matriz quadrada A um número a que
chamaremos determinante de A. Os determinantes fornecem informações impor-
tantes sobre as matrizes e são úteis em algumas aplicações da Álgebra Linear.
Passaremos a introduzir esta noção a partir da inversa de uma matriz.
Consideremos a matriz A = [aij] de ordem 2,
A =
[
a11 a12
a21 a22
]
Aplicando o método prático descrito no caṕıtulo anterior para calcular a inversa
de uma matriz, temos então que:
A−1 =
[ a22
a11a22−a21a12
−a21
a11a22−a21a12−a12
a11a22−a21a12
a11
a11a22−a21a12
]
.
Observe-se que os denominadores de todos os elementos desta matriz são iguais.
Este valor comum designa-se por determinante da matriz A, e representa-se
por det(A) ou |A|.
Nesta secção, vamos apenas referir algumas técnicas práticas para o cálculo de
determinantes, não entrando em detalhes relativamente à sua definição.
Assim, no caso de uma matriz de ordem 2, o determinante é simplesmente dado
por: ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a21a12
e as duas parcelas desta expressão são obtidas efectuando os dois produtos que
se sugerem no seguinte esquema:
55
56 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E SUAS APLICAÇÕES
Ou seja, o determinante de uma matriz de ordem 2 é dado pela diferença entre
o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da
diagonal secundária.
Já no caso de uma matriz de ordem 3, o determinante é dado pela expressão:
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12
Esta expressão pode ser obtida, na prática, por uma regra mnemónica, conhecida
por regra de Sarrus, que pode ser enunciada de duas maneiras:
I - Escreve-se uma cópia das primeiras duas linhas da matriz por baixo da
matriz inicial de ordem 3 e calcula-se o determinante somando o produto
dos elementos da diagonal principal e dos elementos das diagonais paralelas
à diagonal principal e subtráındo o produto dos elementos da diagonal
secundária e dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secundária.
Assim,
|A| = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33.
2.1. MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES 57
II - Atribui-se o sinal positivo aos produtos dos elementos da diagonal
principal e aos os produtos dos elementos que se dispõem nos vértices dos
triângulos de bases paralelas a essa diagonal, como mostra a seguinte figura.
Esta regra pode também ser designada por Regra dos Triângulos :
Atribui-se o sinal negativo aos produtos dos elementos da diagonal se-
cundária e aos produtos dos elementos que se dispõem nos vértices dos
dois triângulos de bases paralelas à diagonal secundária.
Assim,
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 − a31a22a13 − a32a23a11 − a33a12a21.
Exemplo 2.1.1. Consideremos as seguintes matrizes A e B de ordem 2 e 3:
A =
[
1 3
1 2
]
B =
 1 0 20 1 1
−1 1 2
 .
Calculemos os determinantes das matrizes A e B usando as regras práticas que
acabamos de descrever.
Para a matriz A, de ordem 2, |A| = 1× 2− 3× 1 = −1.
Para a matriz B, de ordem 3, podemos aplicar a regra de Sarrus, de uma das
seguintes formas:
58 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E SUAS APLICAÇÕES
|B| = (1×1×2)+(0×1×2)+(−1×0×1)−(−1×1×2)−(1×1×1)−(0×0×2) = 3,
ou alternativamente,
|B| = (1×1×2+0×1×(−1)+2×0×1)−((−1)×1×2)−(1×1×1)−(2×0×0) = 3.
Uma vez que as regras enunciadas só são válidas para matrizes de ordem 2 e
3, vamos de seguida enunciar algumas propriedades do determinante de uma
matriz A, que nos vão permitir obter o determinante de matrizes de qualquer
ordem e que em alguns casos, tornam mesmo este cálculo imediato.
Propriedades dos determinantes
Nota: Quando nos referirmos, indiferentemente, a uma linha ou coluna de uma
matriz, chamaremos fila.
Teorema 2.1.1. Seja A uma matriz quadrada real (ou complexa) de ordem n.
(i) Se a matriz A tem uma fila nula, então |A| = 0.
(ii) Se multiplicarmos os elementos de uma fila da matriz A por um escalar λ,
obtém- -se um determinante de valor λ |A| .
(iii) Se multiplicarmos os elementos de m(m ≤ n) filas paralelas da matriz A,
respectivamente, por λ1, λ2, . . . , λm ∈ R obtém-se um determinante de valor
λ1λ2 . . . λm |A| .
(iv) O determinante da transposta da matriz A é igual ao determinante da
matriz A, ou seja,
∣∣AT ∣∣ = |A| .
2.1. MÉTODOS DE CÁLCULO DE DETERMINANTES 59
(v) Se na matriz A trocarmos, entre si, duas filas paralelas, obtém-se uma
matriz B cujo determinante é simétrico ao determinante de A, isto é,
|B| = − |A| .
(vi) Se a matriz A tem filas paralelas iguais, então tem determinante nulo.
(vii) Se a matriz A tem duas filas paralelas proporcionais, então tem determi-
nante nulo.
(viii) Se substituirmos os elementos de uma fila da matriz A por somas de m
parcelas, o determinante dessa matriz A é igual à soma dos determinantes
de m matrizes, obtidas de A, substituindo sucessivamente essa mesma fila
de A pelas m filas formadas pelas primeiras parcelas, pelas segundas par-
celas, ...., pelas últimas parcelas da decomposição dada àquela fila de A,
mantendo as restantes filas inalteráveis.
(ix) Se somarmos uma fila da matriz A com outra fila paralela multiplicada por
um escalar, o valor do seu determinante não se altera.
(x) Se A é uma matriz triangular, o determinante de A é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal. Em particular, |I| = 1, onde I é a matriz
identidade.
Aplicando estas propriedades podemos simplificar o cálculo do determinante de
uma matriz. Vejamos um exemplo:
Exemplo 2.1.2. Consideremos a seguinte matriz:
A =

1 2 0 −2
0 0 3 2
1 0 −2 0
−1 1 0 1
 .
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 0 3 2
1 0 −2 0
−1 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[ix]
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 0 3 2
0 −2 −2 2
0 3 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[ii]
2×
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 0 3 2
0 −1 −1 1
0 3 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[v]
(−2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 −1 −1 1
0 0 3 2
0 3 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[ix]
(−2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 −1 −1 1
0 0 3 2
0 0 −3 2
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[ix]
(−2)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 0 −2
0 −1 −1 1
0 0 3 2
0 0 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
=
[x]
(−2) [1× (−1)× 3× 4] = 24.
Vejamos agora como se comporta o determinante da soma e do produto de duas
matrizes.
60 CAPÍTULO 2. DETERMINANTES E SUAS APLICAÇÕES
Exemplo 2.1.3. Consideremos a matriz A do exemplo anterior e a matriz:
B =

1 2 3 5
0 1 1 2
0 0 1 1
0 0 0 2

Pela propriedade [x], vem que |B| = 2.
Calculemos |A+B| e |AB|.
|A+B| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 4 3 3
0 1 4 4
1 0 −1 1
−1 1 0 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 75
e
|AB| =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 4 5 5
0 0 3 7
1 2 1 3
−1 −1 −2 −1