Apostila - EAM

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Marinha do Brasil 
 
 
 Aprendizes-Marinheiros 
 
 
 
Matemática 
ÁLGEBRA – Conjuntos: Tipos de conjuntos, conjuntos Numéricos (N, Z, Q, Irracionais). Subconjuntos dos 
números reais. Operações entre conjuntos dos números reais. Problemas com conjuntos finitos. Conjuntos e 
Subconjuntos, Conjuntos das Partes. Intervalos com os números reais, operações com intervalos dos números 
reais, ....................................................................................................................................................................................... 1 
 Produto Cartesiano, Plano Cartesiano, Relação Binária. Função: Noção de função, operações com função, 
função constante, função linear, função afim, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, 
gráfico de função. .............................................................................................................................................................. 14 
 Operações com Números: Razão e proporção, regra de três simples, regra de três composta, grandeza direta 
e inversamente proporcional, porcentagem, juros simples. ..................................................................................... 25 
Potenciação e radiciação. ................................................................................................................................................ 32 
Princípio de Contagem: Princípio Fundamental da Contagem, Fatorial, Permutação Simples, Permutação com 
repetição, Combinação Simples. ..................................................................................................................................... 36 
 Probabilidade: Princípio da Inclusão e Princípio da Exclusão, Probabilidade Simples. ..................................... 40 
Matrizes e determinantes: Propriedade das Matrizes, Operações com matrizes, propriedades dos 
determinantes, operações com determinantes. ........................................................................................................... 43 
 Monômios e Polinômios: Operações. Fatoração Equações Algébricas: Equações e inequações do primeiro e 
segundo graus. Frações algébricas. ............................................................................................................................... 51 
TRIGONOMETRIA – Trigonometria no triângulo retângulo: Relações de seno, cosseno e tangente no triângulo 
retângulo, operações com as relações trigonométricas no triângulo retângulo, relações trigonométricas em um 
triângulo qualquer. .......................................................................................................................................................... 64 
Circunferência Trigonométrica: relações trigonométricas na circunferência: seno, cosseno, tangente, 
cotangente e cossecante. ............................................................................................................................................................................. 66 
 Relações trigonométricas: As relações fundamentais entre seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e 
cossecante. .......................................................................................................................................................................... 69 
GEOMETRIA PLANA – Ângulos: operações com ângulos, ângulos complementares, suplementares. ............. 73 
Teorema de Thales: operações em retas paralelas, propriedades. Aplicação do Teorema de Thales. ............. 75 
Polígonos: reconhecimento dos polígonos, polígonos convexos regulares, polígonos quaisquer. Cálculo da 
diagonal, número de diagonais, soma dos ângulos internos, soma dos ângulos externos, ângulos internos e 
ângulos externos. Áreas dos polígonos. ........................................................................................................................ 78 
Triângulos: Classificação dos triângulos, congruência de triângulos, semelhança de triângulos. Pontos notáveis 
dos triângulos, principais cevianas no triangulo. Operações com os triângulos. Lei dos Senos e Lei dos 
Cossenos. Perímetros. Área dos triângulos................................................................................................................... 80 
Quadriláteros: Classificação dos quadriláteros, propriedades dos quadriláteros, pontos notáveis dos 
quadriláteros. Operações com os quadriláteros. Área dos quadriláteros. Perímetro e Áreas. .......................... 84 
Círculos: propriedades dos círculos, pontos notáveis nos círculos, cordas e posições relativas entre retas e 
círculos. ............................................................................................................................................................................... 85 
Perímetro e Áreas. ............................................................................................................................................................. 87 
 
Português 
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS. ......................................................................................................................................... 1 
COERÊNCIA E COESÃO. ...................................................................................................................................................... 3 
VARIEDADES LINGUÍSTICAS. ............................................................................................................................................ 5 
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ACENTUAÇÃO GRÁFICA. ..................................................................................................................................................... 8 
ORTOGRAFIA. .................................................................................................................................................................... 10 
MORFOLOGIA – Classes de Palavras: emprego e flexões, casos particulares. ....................................................... 17 
SINTAXE – Concordância nominal; concordância verbal; ......................................................................................... 40 
Regência nominal; regência verbal; .............................................................................................................................. 44 
Crase; .................................................................................................................................................................................. 48 
Pontuação. ......................................................................................................................................................................... 51 
SEMÂNTICA – Significação de palavras: sinônimos; antônimos; homônimos; parônimos; polissemia. ........... 52 
 
Ciências 
Física - MECÂNICA – Conceito de movimento e de repouso; Movimento Uniforme (MU); Movimento 
Uniformemente Variado (MUV); Interpretação gráficos do MU (posição X tempo) e MUV (posição X tempo e 
velocidade X tempo); Leis de Newton e suas Aplicações; Energia (cinética, potencial gravitacional e mecânica); 
Princípio de Conservação da Energia Mecânica; Máquinas simples (alavanca e sistemas de roldanas); Trabalho 
de uma força; Potência; Conceito de pressão, Teorema (ou Princípio) de Stevin e Teorema (ou Princípio) de 
Pascal. .................................................................................................................................................................................... 1 
TERMOLOGIA – Conceitos de temperatura e de calor; Escalas termométricas (Celsius, Fahrenheit e Kelvin); 
Relação entre escalas termométricas; Equilíbrio térmico; Quantidade de calor sensível (Equação Fundamental 
da Calorimetria); Quantidade de calorlatente; Mudanças de estado físico; Processos de propagação do calor e 
Transformações gasosas (incluindo o cálculo do trabalho). .................................................................................... 23 
ÓPTICA GEOMÉTRICA – Fontes de luz; Princípios da Óptica Geométrica; Reflexão e Refração da luz; Espelhos 
e Lentes. ............................................................................................................................................................................. 37 
ONDULATÓRIA E ACÚSTICA – Conceito de onda; Características de uma onda (velocidade de propagação, 
amplitude, comprimento de onda, período e frequência); Equação Fundamental da Onda; Classificação quanto 
à natureza e à direção de propagação; Som (conceito, características, produção e velocidade de 
propagação)...... .................................................................................................................................................................. 43 
ELETRICIDADE – Processos de Eletrização; Elementos de um circuito (gerador, receptor, resistor); Circuitos 
elétricos (série, paralelo e misto); Aparelhos de medição (amperímetro e voltímetro); Leis de Ohm (primeira 
e segunda); Potência elétrica; Consumo de energia elétrica. ................................................................................... 55 
MAGNETISMO – Ímãs e suas propriedades; Bússola; Campo magnético da Terra; Experimento de 
Oersted...... .......................................................................................................................................................................... 61 
Química - FUNDAMENTOS DA QUÍMICA – Propriedades da matéria; mudanças de estado físico; classificação 
de misturas; fracionamento de misturas. ..................................................................................................................... 63 
ATOMÍSTICA – Modelos atômicos; estrutura do átomo; isótopos, isóbaros, isótonos e isoeletrônicos. ........... 69 
CLASSIFICAÇÃO PERIÓDICA DOS ELEMENTOS – Organização e distribuição dos elementos químicos em 
grupos e períodos na tabela periódica; ......................................................................................................................... 74 
LIGAÇÕES QUÍMICAS – Ligações iônicas, moleculares e metálicas: características e propriedades dos 
compostos. .......................................................................................................................................................................... 84 
FUNÇÕES INORGÂNICAS – Ácidos, bases, sais e óxidos: classificação, nomenclatura e propriedades. ............ 90 
 
Inglês 
READING COMPREHENSION GRAMMAR - Verb tenses (in affirmative, negative, and interrogative forms): 
Present Simple and Continuous, Past Simple and Continuous, Immediate Future, Infinite, and Imperative ...... 1 
There to be. ......................................................................................................................................................................... 11 
Modal verb Can. ................................................................................................................................................................. 12 
WH-questions..................................................................................................................................................................... 13 
Nouns (Countable and Uncountable)............................................................................................................................. 13 
Articles (Definite and Indefinite). ................................................................................................................................... 16 
Adjectives. ........................................................................................................................................................................... 19 
Pronouns (Subject, Object, Possessive Pronouns, Possessive Adjectives and Demonstrative Pronouns). ....... 22 
Prepositions (time and place). ........................................................................................................................................ 25 
Time expressions............................................................................................................................................................... 28 
Conjunctions: but, so, and because................................................................................................................................. 29 
Quantifiers: some, any, no many, much. ........................................................................................................................ 37 
VOCABULARY - Numbers, Dates, Sports, Clothes, Food and related verbs. ............................................................ 40 
 
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MATEMÁTICA 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 1 
 
 
 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O surgimento do Conjunto dos Números Naturais, deveu-
se à necessidade de se contarem objetos. Embora o zero não 
seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente 
de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como 
um número natural uma vez que ele tem as mesmas 
propriedades algébricas que estes números.Subconjuntos notáveis em N: 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P = {2,3,5,7,11,13...} 
 
A construção dos Números Naturais 
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero. 
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado). 
Exemplo: 
 
 
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos 
números naturais pares. P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos 
números naturais ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
As duas principais operações possíveis no conjunto dos 
números naturais são: a adição e a multiplicação. 
 
- Adição de Números Naturais: tem por finalidade reunir 
em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
- Subtração de Números Naturais: é usada quando 
precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa 
da adição. A operação de subtração só é válida nos naturais 
quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando 
a - b tal que a ≥ 𝑏. Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o minuendo, o 193 
subtraendo e 61 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o 
subtraendo como subtrativo. 
 
- Multiplicação de Números Naturais: tem por 
finalidade adicionar o primeiro número denominado 
multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as 
unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
Fique Atento!!! 
2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 
2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. 
Podemos no lugar do “x” (vezes) utilizar o ponto (.), para 
indicar a multiplicação. 
 
- Divisão de Números Naturais: dados dois números 
naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo 
está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é 
denominado dividendo (D) e o outro número que é menor é o 
divisor (d). O resultado da divisão é chamado quociente (Q). Se 
multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o 
dividendo. Muitas divisões não são exatas, logo temos um resto 
(R) maior que zero. 
 
 
Fique Atento!!! 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor 
deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o 
dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
- A divisão de um número natural n por zero não é 
possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: 
n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 
0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos 
números Naturais 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
ÁLGEBRA – Conjuntos: 
Tipos de conjuntos, conjuntos 
Numéricos (N, Z, Q, 
Irracionais). Subconjuntos dos 
números reais. Operações 
entre conjuntos dos números 
reais. Problemas com 
conjuntos finitos. Conjuntos e 
Subconjuntos, Conjuntos das 
Partes. Intervalos com os 
números reais, operações com 
intervalos dos números reais 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 2 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: 
a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à 
subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um 
número natural por outro número natural, continua como 
resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e 
Funções 
 
Questões 
 
01. (UFSBA – Técnico em Tecnologia da Informação – 
UFMT/2017) O esquema abaixo representa a subtração de 
dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram 
substituídos pelas letras A, B, H e I. 
 
Obtido o resultado correto, a sequência BAHIA representa 
o número: 
(A) 69579 
(B) 96756 
(C) 75695 
(D) 57697 
 
02. (Câmara de Sumaré/SP – Escriturário – 
VUNESP/2017) Se, numa divisão, o divisor e o quociente são 
iguais, e o resto é 10, sendo esse resto o maior possível, então 
o dividendo é 
(A) 131. 
(B) 121. 
(C) 120. 
(D) 110. 
(E) 101. 
 
03. (Prefeitura de Canavieira/PI- Auxiliar de serviços 
gerais -IMA) São números pares, EXCETO: 
(A)123 
(B)106 
(C)782 
(D)988 
 
Comentários 
 
01. Resposta: E. 
Sabemos que o minuendo é maior que o subtraendo, pois 
temos como resultado um número natural positivo. 
Fazendo cada número temos: 
8 – 2 = H ⇾ H = 6 
A - 4 = 3 ⇾ A = 3 + 4 ⇾ A = 7 
3 – 1 = 2 
B – A = 8, como já sabemos que A = 7; B – 7 = 8 ⇾ B = 8 – 7 
= 15, sabemos que só podemos ter número de 0 a 9, logo 15 – 
10 = 5, então B = 5. Aqui neste caso o número 5 não tem como 
subtrair de 7, e pede 1 “emprestado” ao do lado. 
Sabemos que o I deve ser acrescido de 1, já que 
“emprestou” um para o lado. I – 4 = 4 ⇾ logo I = 4 + 4 = 8 , 
acrescido de 1 = 9 
B A H I A 
5 7 6 9 7 
 
02. Resposta: A. 
Como o resto é o maior possível e sabemos que R < d, temos 
que: 10 < d. Logo podemos sugerir que d seja igual a 11. 
D = 11 . 11 + R ⇾ D = 121 + 10 = 131 
Também podemos montar a equação através do 
enunciado: 
D = d. Q +R 
d = Q 
R = 10 
D = d. d + 10 ⇾ D = d² + 10 ⇾ D – 10 = x². Observando as 
respostas, temos que o resultado que torna a equação possível 
é 131. 131 – 10 = x² ⇾ 121 = x² ⇾ x = 11 
 
03. Resposta: A. 
Sabemos que: 
- Todo número par é terminado em um dos seguintes (0, 
2, 4,6,8). 
- Todo número ímpar é terminado em um dos 
seguintes (1, 3, 5, ,9). 
Portanto: O número que NÃO é PAR acima é 123 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este 
conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen = número em 
alemão). 
 
 
N ᑕ Z – O conjunto dos números Naturais está contido no 
Conjunto do Números Inteiros. 
 
Subconjuntos notáveis: 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo 
O módulo de um número inteiro é a distância ou 
afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo. 
 
Números opostos ou simétricos 
Dois números inteiros são ditos opostos um do outro 
quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os 
representam distam igualmente da origem. 
Exemplo:O oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, 
pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 
Particularmente o oposto de zero é o próprio zero. 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 3 
 
 
Operações com Números Inteiros 
 
Adição de Números Inteiros: para melhor entendimento 
desta operação, associaremos aos números inteiros positivos 
a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de 
perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, 
mas o sinal (–) antes do número negativo NUNCA pode ser 
dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros: a subtração é 
empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma 
delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é 
sempre do maior número!!! 
3 + 5 = 8 
3 – 5 = -2 
 
Exemplificando: 
1) Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou 
de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – 
(+3) = +3 
 
2) Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o 
dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. 
Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = 
+3 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) 
– (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
ATENÇÃO: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo. 
 
Fique Atento!!! 
Todos parênteses, colchetes, chaves, números, entre 
outros, precedidos de sinal negativo, tem o seu sinal 
invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros: a multiplicação 
funciona como uma forma simplificada de uma adição quando 
os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação 
como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes 
consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode 
ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 
+ 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) 
+ (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
 
Divisão de Números Inteiros: divisão exata de números 
inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do 
dividendo pelo módulo do divisor. 
 
Fique Atento!!! 
* (+7): (–2) ou (–19): (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número 
inteiro. 
* No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é 
associativa e não tem a propriedade da existência do 
elemento neutro. 
* Não existe divisão por zero. 
* Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente 
de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro 
por zero é igual a zero. 
Exemplo: a) 0: (–10) = 0 b) 0: (+6) = 0 c) 0: (–1) = 0 
 
Regra de Sinais aplicado a Multiplicação e Divisão 
 
 
Potenciação de Números Inteiros: a potência an do 
número inteiro a, é definida como um produto de n fatores 
iguais. O número a é denominado a base e o número n é o 
expoente. an = a x a x a x a x ... x a, a é multiplicado por a n vezes 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
Fique Atento!!! 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo. Exemplo: (+3)2 = (+3). (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo. Exemplo: (– 8)2 = (–8). (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é 
um número inteiro negativo. Exemplo: (–5)3 = (–5). (–5) . 
(–5) = –125 
 
Propriedades da Potenciação 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-
se a base e somam-se os expoentes. Ex.: (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 
= (–7)9 
 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-
se a base e subtraem-se os expoentes. Ex.: (-13)8 : (-13)6 = (-
13)8 – 6 = (-13)2 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 4 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e 
multiplicam-se os expoentes. Ex.: [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. Ex.: (-
8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: 
É igual a 1. Ex.: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros: a raiz n-ésima (de 
ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em 
outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n 
fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
 
 
- A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo 
que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
ATENÇÃO: Não existe a raiz quadrada de um número 
inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. 
 
Fique Atento!!! 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais 
didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: √9 = ±3 , mas isto é errado. 
O certo é: √9 = +3 
 
Observação: não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número 
negativo. 
 
- A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao 
cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos 
cálculos somente aos números não negativos. Exemplos: 
(𝐼)√8
3
= 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8 
(𝐼𝐼)√−8
3
= −2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)3 = 8 
 
Fique Atento!!! 
Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz 
de qualquer número inteiro. 
 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos 
números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: 
a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à 
subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z 
diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de 
um número natural por outro número natural, continua como 
resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e 
Funções 
 
Questões01. (Fundação Casa – Analista Administrativo – 
VUNESP) Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a 
respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos 
recursos utilizados em atividades educativas, bem como da 
preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando 
“atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento 
dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) 
pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude negativa. Se 
um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes 
anotadas, o total de pontos atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (CGE/RO – Auditor de Controle Interno – 
FUNRIO/2018) O jornal “O Globo” noticiou assim, em 
10/02/2018, em sua página eletrônica, o desfile 
comemorativo do centenário de fundação do tradicional bloco 
carnavalesco “Cordão da Bola Preta”. 
Se o tradicional bloco desfilou pela primeira vez em 1918 
e, de lá para cá, desfilou todos os anos, apenas uma vez por ano, 
então o centésimo desfile do Cordão da Bola Preta realizou-se 
ou se realizará no ano de: 
(A) 2016. 
(B) 2017. 
(C) 2018. 
(D) 2019. 
(E) 2020. 
 
03. (BNDES - Técnico Administrativo – CESGRANRIO) 
Multiplicando-se o maior número inteiro menor do que 8 pelo 
menor número inteiro maior do que - 8, o resultado 
encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – Cachoeira 
Dourada – MPE-GO/2017) Para o jantar comemorativo do 
aniversa rio de certa empresa, a equipe do restaurante 
preparou 18 mesas com 6 lugares cada uma e, na hora do 
jantar, 110 pessoas compareceram. É correto afirmar que: 
(A) se todos sentaram em mesas completas, uma ficou 
vazia; 
(B) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma 
ficou com apenas 2 pessoas; 
(C) se 17 mesas foram completamente ocupadas, uma ficou 
com apenas 4 pessoas; 
(D) todas as pessoas puderam ser acomodadas em menos 
de 17 mesas; 
(E) duas pessoas não puderam sentar. 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 5 
05. SAP/SP – Agente de Segurança Penitenciária – MS 
CONCURSOS/2017) Dentre as alternativas, qual faz a 
afirmação verdadeira? 
(A) A subtração de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. 
(B) A subtração de dois números naturais sempre 
resultará em um número natural. 
(C) A divisão de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. 
(D) A divisão de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: B. 
Em 1918 ele desfilou uma vez, logo 100 – 1 = 99. Somando 
1918 + 99 = 2017. 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: E. 
Se multiplicarmos o número de mesas por lugares que 
cada uma tem, teremos: 18. 6 = 108 lugares. 
108 lugares – 110 pessoas = -2, isto significa que todas as 
mesas foram preenchidas e 2 pessoas não sentaram. 
 
05. Resposta: A. 
(a) A subtração de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. – V 
(b) A subtração de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. – somente se o primeiro for maior que 
o segundo - F 
(c) A divisão de dois números naturais sempre resultará 
em um número natural. – somente se o dividendo for maior 
que o divisor - F 
 (d) A divisão de dois números inteiros sempre resultará 
em um número inteiro. – somente se o dividendo for maior que 
o divisor - F 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
𝑚
𝑛
, 
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser 
diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar 
a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser 
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão 
pela qual, o conjunto de todos os números racionais é 
reconhecido pela letra Q. Assim, é comum encontrarmos na 
literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n ≠0} 
 
 
N ᑕ Z ᑕ Q – O conjunto dos números Naturais e Inteiros 
estão contidos no Conjunto do Números Racionais. 
 
Subconjuntos notáveis: 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
𝒎
𝒏
, tal que m não seja 
múltiplo de n. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar 
a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos (decimais exatos): 
3
5
= 0,6 
 
2º) O número decimal obtido possui, após a vírgula, 
infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente (Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas): 
1
33
= 0,3030… 
 
Existem frações muito simples que são representadas por 
formas decimais infinitas, com uma característica especial 
(existência de um período): 
 
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito 
pode ser associada a uma soma com infinitos termos desse 
tipo: 
0, 𝑎𝑎𝑎𝑎. . . = 𝑎.
1
(10)1
+ 𝑎.
1
(10)2
+ 𝑎.
1
(10)3
+ 𝑎.
1
(10)4
… 
 
Aproveitando, vejamos um exemplo: 
0,444. . . = 4.
1
(10)1
+ 4.
1
(10)2
+ 4.
1
(10)3
+ 4.
1
(10)4
… 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Estando o número racional escrito na forma decimal, e 
transformando-o na forma de fração, vejamos os dois casos: 
1º) Transformamos o número em uma fração cujo 
numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador 
é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quanto 
forem as casas decimais após a virgula do número dado: 
0,7 =
7
10
 
 
0,007 =
7
1000
 
 
2º) Devemos achar a fração geratriz (aquela que dá 
origem a dízima periódica) da dízima dada; para tanto, vamos 
apresentar o procedimento através de alguns exemplos: 
 
a) Seja a dízima 0, 444... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 
4), então vamos colocar um 9 no denominador e repetir no 
numerador o período. 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 6 
Assim, a geratriz de 0,444... é a fração 
4
9
. 
 
b) Seja a dízima 3, 1919... 
O período que se repete é o 19, logo dois noves no 
denominador (99). Observe também que o 3 é a parte inteira, 
logo ele vem na frente, formando uma fração mista: 
3
19
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 
→ (3.99 + 19) = 316, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
316
99
 
 
Assim, a geratriz de 3,1919... é a fração 
316
99
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica 
simples em fração, basta utilizarmos o dígito 9 no 
denominador para cada dígito que tiver o período da 
dízima. 
 
c) Seja a dízima 0,2777... 
Agora, para cada algarismo do anteperíodo se coloca um 
algarismo zero, no denominador, e para cada algarismo do 
período se mantém o algarismo 9 no denominador. 
No caso do numerador, faz-se a seguinte conta: 
 
(Parte inteira com anteperíodo e período) - (parte inteira 
com anteperíodo) 
 
 
 
d) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do anteperíodo com o período. 
Neste caso temos uma dízima periódica composta, pois existe 
uma parte que não se repete e outra que se repete. Nestecaso 
temos um anteperíodo (2) e o período (34). Ao subtrairmos 
deste número o anteperíodo (234-2), obtemos como 
numerador o 232. O denominador é formado pelo dígito 9 – 
que corresponde ao período, neste caso 99(dois noves) – e 
pelo dígito 0 – que corresponde a tantos dígitos que tiverem o 
anteperíodo, neste caso 0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎: 
(1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos 𝑥 =
611
495
 , a fração geratriz da 
dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero. 
 
 
Logo, o módulo de: 
−
5
7
 é 
5
7
 . 
𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟: |−
5
7
| =
5
7
 
 
Números Opostos: dizemos que −
5
7
 𝑒 
5
7
 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos −
5
7
 é 
5
7
 ao ponto zero da reta 
são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
(
a
b
)
−n
, a ≠ 0 = (
b
a
)
n
, b ≠ 0 → (
5
7
)
−2
= (
7
5
)
2
 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem 
infinitos números racionais. 
 
Operações com Números Racionais 
 
Soma (Adição) de Números Racionais: como todo 
número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de 
uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b 
e, c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
 
Subtração de Números Racionais: a subtração de dois 
números racionais p e q é a própria operação de adição do 
número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q), onde p =
𝑎
𝑏
 e 
q = 
𝑐
𝑑
. 
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑏𝑑
 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais: como 
todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na 
forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a/b e, c/d, da mesma forma que o produto de 
frações, através de: 
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode 
ser indicado por a/b × c/d ou a/b . c/d. Para realizar a 
multiplicação de números racionais, devemos obedecer à 
mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática. 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais: a divisão 
de dois números racionais p e q é a própria operação de 
multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × 
q-1 onde p = 
𝑎
𝑏
, q = 
𝑐
𝑑
 e q-1=
𝑑
𝑐
; 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 7 
𝑎
𝑏
:
𝑐
𝑑
=
𝑎
𝑏
.
𝑑
𝑐
 
 
Potenciação de Números Racionais: a potência bn do 
número racional b é um produto de n fatores iguais. O número 
b é denominado a base e o número n é o expoente. 
bn = b × b × b × b × ... × b, (b aparece n vezes) 
Exemplos: 
𝑎) (
3
7
)
2
=
3
7
.
3
7
=
9
49
 
 
𝑏) (−
3
7
)
3
= (−
3
7
) . (−
3
7
) . (−
3
7
) = −
27
343
 
 
Propriedades da Potenciação 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
(
3
7
)
0
= 1 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
(
3
7
)
1
=
3
7
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número 
racional, diferente de zero é igual a outra potência que tem a 
base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao 
oposto do expoente anterior. 
(
3
7
)
−2
= (
7
3
)
2
=
49
9
 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal 
da base. 
(−
3
7
)
3
= (−
3
7
) . (−
3
7
) . (−
3
7
) = −
27
343
 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
(
3
7
)
2
=
3
7
.
3
7
=
9
49
 
 
6) Produto de potências de mesma base: reduzir a uma só 
potência de mesma base, conservamos as bases e somamos os 
expoentes. 
(
3
7
)
2
. (
3
7
)
3
= (
3
7
)
2+3
= (
3
7
)
5
 
 
7) Divisão de potências de mesma base: reduzir a uma só 
potência de mesma base, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes. 
(
3
7
)
5
: (
3
7
)
3
= (
3
7
)
5−3
= (
3
7
)
2
 
 
8) Potência de Potência: reduzir a uma potência (de 
mesma base) de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes. 
[(
3
7
)
2
]
3
= (
3
7
)
2.3
= (
3
7
)
6
 
 
Radiciação de Números Racionais: se um número 
representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então 
cada fator é chamado raiz do número. 
 
Exemplos: 
1) √
𝟏
𝟐𝟓
, representa o produto 
1
5
.
1
5
 ou (
1
5
)
2
. 
Logo, 
1
5
 é a raiz quadrada de 
1
25
. 
 
2) 0,216 representa o produto 0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 
0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se: √0,216
3 = 0,6. 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. 
 
Fique Atento!!! 
Os números racionais negativos não têm raiz quadrada 
em Q. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
https://educacao.uol.com.br 
http://mat.ufrgs.br 
 
Questões 
 
01. (SAP/SP – Oficial Administrativo – MS 
CONCURSOS/2018) Um menino ganhou sua mesada de 
R$120,00, guardou 1/6 na poupança, do restante usou 2/5 
para comprar figurinhas e gastou o que sobrou numa excursão 
da escola. Quanto gastou nessa excursão? 
(A) 32 
(B) 40 
(C) 52 
(D) 60 
(E) 68 
 
02. (IPSM - Analista de Gestão Municipal – 
Contabilidade – VUNESP/2018) Saí de casa com 
determinada quantia no bolso. Gastei, na farmácia, 2/5 da 
quantia que tinha. Em seguida, encontrei um compadre que me 
pagou uma dívida antiga que correspondia exatamente à terça 
parte do que eu tinha no bolso. Continuei meu caminho e gastei 
a metade do que tinha em alimentos que doei para uma casa 
de apoio a necessitados. Depois disso, restavam-me 420 reais. 
O valor que o compadre me pagou é, em reais, igual a 
(A) 105. 
(B) 210. 
(C) 315. 
(D) 420. 
(E) 525. 
 
03. (Pref. Santo Expedito/SP – Motorista – Prime 
Concursos/2017) Qual a alternativa que equivale a 9/40 em 
forma decimal 
(A) 0,225 
(B) 225 
(C) 0,0225 
(D) 0,22 
 
04. (Pref. Santo Expedito/SP – Motorista – Prime 
Concursos/2017) Ao simplificar a fração 36/100, dividindo o 
numerador e o denominador por 2, obtemos: 
(A) 18/50 
(B) 9/25 
(C) 12/50 
(D) 9/50 
 
05. (Câmara de Dois Córregos/SP – Oficial de 
Atendimento e Administração – VUNESP/2018) Uma 
empresa comprou um lote de envelopes e destinou 3/ 8 deles 
ao setor A. Dos envelopes restantes, 4/ 5 foram destinados ao 
setor B, e ainda restaram 75 envelopes. O número total de 
envelopes do lote era 
(A) 760. 
(B) 720. 
(C) 700. 
(D) 640. 
(E) 600. 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 8 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Ele recebeu 120 de mesada, deste guardou 1/6 na 
poupança, logo: 
120
6
= 20 
Então ele guardou na poupança 20 e sobrou 120 – 20 = 
100. 
Desses 100, gastou 2/5 com figurinhas: 
100.
2
5
= 40 
Ele gastou 40,00 com figurinhas e sobrou 100 – 40 = 60, 
que ele gastou com a excursão. 
 
02. Resposta: B. 
 Quantia que eu tinha: x 
Gastei na farmácia: 2/5 x, logo sobrou em meu bolso 3/5x 
Compadre pagou 1/3 do que eu tinha no bolso: 
3𝑥
5
.
1
3
=
3𝑥
15
 
Fiquei com a quantia total de: 
3𝑥
5
+
3𝑥
15
=
9𝑥 + 3𝑥
15
=
12𝑥
15
 
Gastei metade deste valor em alimentos: 
12𝑥
15
2
=
12𝑥
15
.
1
2
=
12𝑥
30
 
Logo o que sobrou(metade) corresponde a 420,00: 
12𝑥
30
= 420 → 12𝑥 = 12600 → 𝑥 =
12600
12
→ 𝑥 = 1050 
Como o compadre pagou 3x/15, basta substituirmos o 
valor de x por 1050 e acharmos o valor: 
3.1050
15
= 210
 
 
03.Resposta: A. 
Basta dividirmos 9/40 = 0,225. 
 
04. Resposta: A. 
Simplificando temos: 
36/2 = 18 
100/2 = 50 
Logo temos 18/50 
 
05. Resposta: E. 
X = envelopes 
𝐴 =
3
8
𝑥 
 
𝐵 =
5
8
𝑥.
4
5
=
4
8
𝑥 
 
Sobrou 75 
Logo o número de envelopes total é 
𝑥 =
3𝑥
8
+
4𝑥
8
+ 75 → 𝑥 =
3𝑥 + 4𝑥 + 600
8
→ 
 
8x = 7x + 600 → 8x – 7x = 600 → x = 600 
O número total de envelopes é 600. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - I 
 
Uma classe de números que não podem ser escritos na 
forma de fração a/b, são conhecidos como números 
irracionais. 
 
 
 
 
Exemplo: 
O número real abaixo é um número irracional, embora 
pareça uma dízima periódica: x = 
0,10100100010000100000... 
Observe que o número de zeros após o algarismo 1 
aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que 
não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito 
importantes, são: 
e = 2,718281828459045..., 
Pi (𝜋) = 3,141592653589793238462643... 
 
Que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas 
como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, 
previsão populacional, etc. 
 
Classificação dos Números Irracionais 
 
- Números reais algébricos irracionais: 
são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Todo 
número real que pode ser representado através de uma 
quantidade finita de somas, subtrações, multiplicações, 
divisões e raízes de grau inteiro a partir dos números inteiros 
é um número algébrico, por exemplo: 
 . 
A recíproca não é verdadeira: existem números algébricos 
que não podem ser expressos através de radicais, conforme 
o teorema de Abel-Ruffini. 
 
- Números reais transcendentes: não são raízes de 
polinômios com coeficientes inteiros. Várias constantes 
matemáticas são transcendentes, como pi ( ) e o número de 
Euler ( ). Pode-se dizer que existem mais números 
transcendentes do que números algébricos (a comparação 
entre conjuntos infinitos pode ser feita na teoria dos 
conjuntos). 
A definição mais genérica de números algébricos e 
transcendentes é feito usando-se números complexos. 
 
Identificação de números irracionais 
Fundamentado nas explanações anteriores, podemos 
afirmar que: 
- Todas as dízimas periódicas são números racionais. 
- Todos os números inteiros são racionais. 
- Todas as frações ordinárias são números racionais. 
- Todas as dízimas não periódicas são números irracionais. 
- Todas as raízes inexatas são números irracionais. 
- A soma de um número racional com um número 
irracional é sempre um número irracional. 
- A diferença de dois números irracionais, pode ser um 
número racional. 
 
Exemplos: 
1) √3 - √3 = 0 e 0 é um número racional. 
- O quociente de dois números irracionais, pode ser um 
número racional. 
 
2) √8 : √2 = √4 = 2 e 2 é um número racional. 
- O produto de dois números irracionais, pode ser um 
número racional. 
 
3) √5 . √5 = √25 = 5 e 5 é um número racional. 
- A união do conjunto dos números irracionais com o 
conjunto dos números racionais, resulta num conjunto 
denominado conjunto R dos números reais. 
- A interseção do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais, não possui elementos 
comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio ( ∅ ). 
Simbolicamente, teremos: 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 9 
 
Q ∪ I = R 
Q ∩ I = ∅ 
 
Questões 
 
01. Considere as seguintes afirmações: 
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
4𝑥−1 + 4𝑥 + 4𝑥+1
4𝑥−2 + 4𝑥−1
= 16,8 
 
II. (8
1
3 + 0,4444…) :
11
135
= 30 
 
III. Efetuando-se (√6 + 2√5
4
) 𝑥(√6 − 2√5
4
) obtém-se um 
número maior que 5. 
Relativamente a essas afirmações, é certo que 
(A) I,II, e III são verdadeiras. 
(B) Apenas I e II são verdadeiras. 
(C) Apenas II e III são verdadeiras. 
(D) Apenas uma é verdadeira. 
(E) I,II e III são falsas. 
 
02. A soma S é dada por: 
𝑆 = √2 + √8 + 2√2 + 2√8 + 3√2 + 3√8 + 4√2 + 4√8 +
5√2 + 5√8 
Dessa forma, S é igual a 
(𝐴) √90 
(𝐵) √405 
(𝐶) √900 
(𝐷) √4050 
(𝐸) √9000 
 
03. O resultado do produto: (2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) é: 
(𝐴) √2 − 1 
(B) 2 
(𝐶) 2√2 
(𝐷) 3 − √2 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
 
I 
4𝑥(4−1+1+4)
4𝑥(4−2+4−1)
 
 
 
1
4
+5
1
16
+
1
4
=
1+20
4
1+4
16
=
21
4
5
16
=
21
4
∙
16
5
=
21∙4
5
= 16,8 
 
II 
 8
1
3 = √8
3
= 2 
10x = 4,4444... 
- x = 0,4444..... 
9x = 4 
x = 4/9 
 
 (2 +
4
9
) :
11
135
=
18+4
9
∙
135
11
=
22
9
∙
135
11
=
2∙135
9
= 30 
 
 
1 IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
III 
 √62 − 20
4
= √16
4
= 2 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
 
02. Resposta: D. 
𝑆 = 15√2 + 15√8 
√8 = 2√2 
𝑆 = 15√2 + 30√2 = 45√2 
𝑆 = √452. 2 
𝑆 = √4050 
 
03. Resposta: D. 
(2√2 + 1) ∙ (√2 − 1) = 2(√2)
2
− 2√2 + √2 − 1 
= 4 − √2 − 1 = 3 − √2 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais1 R será a união entre os 
números racionais Q e os números irracionais I. Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø (Se um número real é racional, 
não irracional, e vice-versa). 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama 
abaixo: 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros 
subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x 
≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 
0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
Ordenação dos números reais 
A representação dos números reais permite definir uma 
relação de ordem entre eles. Os números reais positivos são 
maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a 
relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números 
reais a e b, 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Operações com números reais 
Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de 
intervalos fixos que determinam um número real. É assim que 
vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e 
Funções 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 10 
e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de 
recomendações úteis para operar com números reais. 
 
Intervalos reais 
O conjunto dos números reais possui também 
subconjuntos, denominados intervalos, que são determinados 
por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo 
aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ou ] ; [ 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos 
incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ou [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as 
extremidades abertas dos intervalos. 
 
Às vezes, aparecem situações em que é necessário 
registrar numericamente variações de valores em sentidos 
opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como 
as medidas de temperatura ou reais em débito ou em haver 
etc... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto 
para o lado direito (positivos) como para o lado esquerdo 
(negativos), são chamados números relativos. 
 
Valor absoluto de um número relativo é o valor do número 
que faz parte de sua representação, sem o sinal. 
 
Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, 
diferindo apenas o sinal. 
 
Operações comnúmeros relativos 
 
1) Adição e subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar 
os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o 
numeral de menor valor e dá-se o sinal do maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e divisão de números relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de 
mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de 
sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
 
 
Questões 
01. Mário começou a praticar um novo jogo que adquiriu 
para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 
pontos a menos que o dobro marcado na partida anterior. Se 
na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos 
algarismos da quantidade de pontos adquiridos na primeira 
partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. Considere m um número real menor que 20 e avalie as 
afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
A) I, II e III são verdadeiras. 
B) apenas I e II são verdadeiras. 
C) I, II e III são falsas. 
D) apenas II e III são falsas. 
 
03. Na figura abaixo, o ponto que melhor representa a 
diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 
8. 
 
02. Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Resposta: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 11 
CONJUNTOS 
 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são 
primitivos, ou seja, não são definidos. 
Esses objetos podem ser de qualquer natureza. Podemos 
falar em conjunto de casas, de alunos, de logotipos, de figuras 
geométricas, de números etc. 
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm 
elementos. Um conjunto geralmente é indicado por uma letra 
maiúscula do alfabeto. 
Os objetos que compõem um conjunto são chamados 
elementos. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo 
ser elemento de algum outro conjunto. 
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas 
A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, 
y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. 
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência 
que nos dá um relacionamento entre um elemento e um 
conjunto. 
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A 
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. 
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos 
x∉A 
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A. 
 
Como representar um conjunto 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os 
elementos entre chaves, separando os por vírgula. 
 
Exemplos 
{3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 
7 e 8. 
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, 
b, m. 
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma 
propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, 
este fica bem determinado. 
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de 
um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer 
temos: 
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a 
propriedade P é indicado por: 
{x, tal que x tem a propriedade P} 
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou 
ainda :, podemos indicar o mesmo conjunto por: 
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, 
{x : x tem a propriedade P} 
 
Exemplos 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} 
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3} 
- {x : x em um número inteiro e x² = x } é o mesmo que {0, 
1} 
 
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler 
consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de 
tal forma que seus elementos e somente eles estejam no 
“círculo”. 
 
Exemplos 
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
 
 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então 
 
 
Conjunto Vazio 
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. 
Representa-se pela letra do alfabeto norueguês Ø ou, 
simplesmente { }. 
 
Exemplos 
 - Ø= {x : x é um número inteiro e 3x = 1} 
- Ø= {x | x é um número natural e 3 – x = 4} 
- Ø= {x | x ≠ x} 
 
Subconjunto 
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é 
também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B 
ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos 
por A ⊂ B. 
 
Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B 
ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. 
Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, 
um elemento de A que não é elemento de B. 
 
Exemplos 
- {2, 4} ⊂{2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4} 
- {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4} 
- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6} 
 
Inclusão e pertinência 
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento 
entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão 
(⊂). 
A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento 
entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da 
relação de inclusão. 
 
Exemplo 
{1, 3} ⊂{1, 3, 4} 
 2 ∈ {2, 3, 4} 
 
Igualdade 
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B 
é também subconjunto de A. 
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, 
segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A. 
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e 
somente se, possuem os mesmos elementos. 
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A 
≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é 
subconjunto de A. 
 
Exemplos 
- {2, 4} = {4, 2}, pois {2, 4} ⊂ {4, 2} e {4, 2}⊂ {2, 4}. Isto nos 
mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve 
ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto 
fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não 
pela ordem em que esses elementos são descritos. 
- {2, 2, 2, 4} = {2, 4}, pois {2, 2, 2, 4} ⊂ {2, 4} e {2, 4} ⊂ {2, 2, 
2, 4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é 
desnecessária. 
- {a, a} = {a} 
- {a, b} = {a} ↔ a= b 
- {1, 2} = {x, y} ↔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 12 
Número de Elementos da União e da Intersecção de 
Conjuntos 
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos 
números de elementos. 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) 
 
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)) 
evitamos que eles sejam contados duas vezes. 
 
Observações: 
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira. 
b) Podemos ampliar arelação do número de elementos 
para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. 
 
Observe o diagrama e comprove. 
 
 
 
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) − 
−𝑛(𝐴 ∩ 𝐶) − 𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 
 
Conjunto das partes 
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo 
conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) 
de A e é indicado por P(A). 
 
Exemplos 
a) = {2, 4, 6} 
P(A) = {Ø, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} 
 
b) = {3,5} 
P(B) = {Ø, {3}, {5}, B} 
 
c) = {8} 
P(C) = {Ø, C} 
 
d) = Ø 
P(D) = {Ø} 
 
Propriedades 
Seja A um conjunto qualquer e Ø o conjunto vazio. Valem 
as seguintes propriedades: 
 
Ø≠(Ø) Ø∉Ø Ø⊂Ø Ø∈{Ø} 
Ø⊂A ↔ Ø ∈ P(A) A ⊂ A ↔ A ∈ P(A) 
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, 
portanto, P(A) possui 2n elementos. 
União de conjuntos 
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto 
formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. 
Representa-se por A∪B. 
Simbolicamente: A∪B = {X | X∈A ou X∈B} 
 
 
 
Exemplos 
- {2, 3}∪{4, 5, 6}={2, 3, 4, 5, 6} 
- {2, 3, 4}∪{3, 4, 5}={2, 3, 4, 5} 
- {2, 3}∪{1, 2, 3, 4}={1, 2, 3, 4} 
- {a, b}∪{a, b} 
 
Intersecção de conjuntos 
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a 
B. Representa-se por A∩B. Simbolicamente: A∩B = {X | X∈A e 
X∈B} 
 
 
 
Exemplos 
- {2, 3, 4}∩{3, 5}={3} 
- {1, 2, 3}∩{2, 3, 4}={2, 3} 
- {2, 3}∩{1, 2, 3, 5}={2, 3} 
- {2, 4}∩{3, 5, 7}=Ø 
Observação: Se A∩B=Ø, dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos. 
 
 
 
Subtração 
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a 
B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A 
e X∉B} 
 
 
 
O conjunto A – B é também chamado de conjunto 
complementar de B em relação a A, representado por CAB. 
Simbolicamente: CAB = A – B = {X | X∈A e X∉B} 
 
Exemplos 
A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
CAB = A – B = {1, 3} e CBA = B – A =Ø 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 13 
 A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} 
CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14} 
 
 A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
CAB = A – B = {0, 2, 4} e CBA = B – A = {1, 3, 5} 
 
Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito 
de completar de B em relação a A somente nos casos em que B 
⊂ A. 
- Se B ⊂ A representa-se por B̅ o conjunto complementar 
de B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ↔ B̅= A – B = CAB´ 
 
 
 
Exemplos 
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: 
a) A = {2, 3, 4} → A̅ = {0, 1, 5, 6} 
b) B = {3, 4, 5, 6 } → B̅ = {0, 1, 2} 
c) C = Ø→ C̅ = S 
 
Número de elementos de um conjunto 
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, 
ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de 
elementos temos: 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
A ∩ B = Ø → n(A ∪ B) = n(A) + n(B) 
n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) 
B ⊂ A → n(A - B) = n(A) - n(B) 
 
Questões 
 
01. (MGS- Nível Fundamental Incompleto-IBFC) A união 
entre os conjuntos A ={ 0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} é: 
(A){0,1,2,3,5,6,7,8} 
(B){0,1,2,3,4,5,6,7,8} 
(C){1,2,3,4,5,6,7,8} 
(D){0,1,2,3,4,5,6,8} 
 
02. (Pref. de Maria Helena/PR - Professor - Ensino 
Fundamental - FAFIPA) Considere os conjuntos A= 
{3,6,11,13,21} e B= {2,3,4,6,9,11,13,19,21,23,26}. Sobre os 
conjuntos A e B podemos afirmar que: 
(A)A ⊂ B 
(B)9 ∉ B 
(C)17 ∈ A 
(D)A ⊃ B 
 
03. (Metrô/SP – Oficial Logística –Almoxarifado I – 
FCC) O diagrama indica a distribuição de atletas da delegação 
de um país nos jogos universitários por medalha conquistada. 
Sabe-se que esse país conquistou medalhas apenas em 
modalidades individuais. Sabe-se ainda que cada atleta da 
delegação desse país que ganhou uma ou mais medalhas não 
ganhou mais de uma medalha do mesmo tipo (ouro, prata, 
bronze). De acordo com o diagrama, por exemplo, 2 atletas da 
delegação desse país ganharam, cada um, apenas uma medalha 
de ouro. 
 
A análise adequada do diagrama permite concluir 
corretamente que o número de medalhas conquistadas por 
esse país nessa edição dos jogos universitários foi de: 
(A) 15. 
(B) 29. 
(C) 52. 
(D) 46. 
(E) 40. 
 
04. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde 
NM – AOCP) Qual é o número de elementos que formam o 
conjunto dos múltiplos estritamente positivos do número 3, 
menores que 31? 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
05. (Pref. de Camaçari/BA – Téc. Vigilância em Saúde 
NM – AOCP) Considere dois conjuntos A e B, sabendo que 𝐴 ∩
𝐵 = {3}, 𝐴 ∪ 𝐵 = {0; 1; 2; 3; 5} 𝑒 𝐴 − 𝐵 = {1; 2}, assinale a 
alternativa que apresenta o conjunto B. 
(A) {1;2;3} 
(B) {0;3} 
(C) {0;1;2;3;5} 
(D) {3;5} 
(E) {0;3;5} 
 
06. (Metrô/SP – Engenheiro Segurança Do Trabalho – 
FCC) Uma pesquisa, com 200 pessoas, investigou como eram 
utilizadas as três linhas: A, B e C do Metrô de uma cidade. 
Verificou-se que 92 pessoas utilizam a linha A; 94 pessoas 
utilizam a linha B e 110 pessoas utilizam a linha C. Utilizam as 
linhas A e B um total de 38 pessoas, as linhas A e C um total de 
42 pessoas e as linhas B e C um total de 60 pessoas; 26 pessoas 
que não se utilizam dessas linhas. Desta maneira, conclui-se 
corretamente que o número de entrevistados que utilizam as 
linhas A e B e C é igual a: 
(A) 50. 
(B) 26. 
(C) 56. 
(D) 10. 
(E) 18. 
 
Comentários 
 
01. Resposta: B. 
A ={0,1,2,3,4,5} e B = {1,2,3,5,6,7,8} 
A união entre conjunto é juntar A e B: 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8} 
 
02. Resposta: A. 
A "está contido em" B ou seja todos os números do 
conjunto A estão no conjunto B. 
⊂ = A está contido em 
∉ = não pertence 
∈ = Pertence 
 
 
 
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Matemática 14 
03. Resposta: D. 
Pelo diagrama verifica-se o número de atletas que 
ganharam medalhas. 
No caso das intersecções, devemos multiplicar por 2 (por 
ser 2 medalhas )e na intersecção das três medalhas 
(multiplica-se por 3). 
Intersecções: 
6 ∙ 2 = 12 
1 ∙ 2 = 2 
4 ∙ 2 = 8 
3 ∙ 3 = 9 
Somando as outras: 
2+5+8+12+2+8+9=46 
 
04. Resposta: B. 
A={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} 
10 elementos 
 
05. Resposta: E. 
Como a intersecção dos dois conjuntos, mostra que 3 é 
elemento de B. 
A-B são os elementos que tem em A e não em B. 
Então de AB, tiramos que B={0;3;5}. 
 
06. Resposta: E. 
 
92-38+x-x-42+x+94-38+x-x-60+x+110-42+x-x-60+x+38-
x+x+42-x+60-x+26=200 
X=200-182 
X=18 
 
 
 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois 
eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em 
um determinado espaço. Além do mais, o plano cartesiano foi 
dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguinte 
propriedades em relação ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
Par Ordenado 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, 
na verdade, representando o mesmo conjunto, sem nos 
preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns 
casos, é conveniente distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto 
de formado por dois elementos, onde o primeiro é a ou x e o 
segundo é b ou y. 
 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 
→ a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais podeser 
representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano, Plano 
Cartesiano, Relação Binária. 
Função: Noção de função, 
operações com função, função 
constante, função linear, 
função afim, função 
quadrática, função 
exponencial, função 
logarítmica, gráfico de função 
Propriedade 
Dois pares ordenados (a, b) = (c, d) são 
iguais se e somente se, a = c e b = d 
Ou 
Dois pares ordenados (x, y) = (w, z) são 
iguais se e somente se, x = w e y = z 
 
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Matemática 15 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto 
cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis pares 
ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º 
conjunto (A) e o 2º elemento pertença ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁}
 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto 
A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por 
meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do 
produto cartesiano. 
 
Exemplo: 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto 
cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-
lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, 
quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam 
o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o 
produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto 
cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou 
seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = 
B x A quando A e B forem conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do 
conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao 
número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) 
x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 
6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama 
de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no 
diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” 
que partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) 
e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o 
produto cartesiano A x B fica assim representado no diagrama 
de flechas: 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, 
quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 
2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de 
pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um 
dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, 
teremos pontos que estarão representando, no plano 
cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A 
cartesiano B (B x A). 
 
 
Noção de Relação 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), 
(6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R 
formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a seguinte lei de 
formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
x 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 6 
y 5 6 7 8 5 6 7 8 5 6 7 8 
x
 +
 y
 
9 
1
0 
1
1 
1
2 
1
0 
1
1 
1
2 
1
3 
1
1 
1
2 
1
3 
1
4 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x 
B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B 
qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando 
o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em 
B, mas se cada elemento dessa relação associar cada 
elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é 
uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem 
toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
 
 
 
 
 
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APOSTILAS OPÇÃO 
 
 
Matemática 16 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
 
 
 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois 
conjuntos não vazios A e B chamamos de função a relação que 
associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento 
y (ou b) de B, conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma 
função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto 
partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou 
conjunto chegada, representado pelas letras CD ou somente C. 
Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, 
denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). (Lê-se: y é igual a f 
de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos 
elementos x de A dos elementos x de A, dá-se o nome de 
conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou 
Im(f). Têm:-se que Im ⊂ B. 
 
A notação para representar função é dada por: 
 
 
Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto 
imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei 
de associação e acharmos a imagem deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois 
conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa cada elemento 
x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos 
considerar A e B sendo subconjuntos de R e diremos que f é 
uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos 
os elementos do conjunto real de x, para os quais as operações 
indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos 
para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual 
a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente 
de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL 
DO 1º GRAU 
 
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por 
definição: Toda função f: R → R, definida por: 
 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado 
é ou não função, é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e 
se verificarmos se no eixo do x existem elementos com mais 
de uma correspondência, aí podemos dizer se é ou não uma 
função, conforme os exemplos acima. 
 
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