calculo financeiro atuaria

Prévia do material em texto

ATUÁRIA BÁSICA 
 
1 
 
I. Cálculo Financeiro - Apontamentos 
NOÇÕES PRELIMINARES 
a) - Juros Compostos 
Juros correspondem à remuneração do capital aplicado. 
Nos juros Compostos os juros gerados em cada período são incorporados ao capital 
aplicado que servirá de base de cálculo para o cálculo dos juros do(s) período(s) subseqüente(s). 
Haverá a capitalização – “Juros sobre Juros” – e o montante terá crescimento exponencial. 
• Simbologia: 
J = Juros 
C0 = Capital Aplicado 
i = Taxa de Juros 
n = Período, Prazo de Aplicação 
Cn = Capital Resgatado ao final da época n (Montante) 
 
Dada a fórmula do Montante Composto por: n0n i)(1CC +⋅= 
 
Para determinarmos os Juros Compostos basta-nos efetuar a diferença: 0CCJ −= n 
 
Ou, substituirmos Cn na fórmula anterior: 
 
0
n
0 Ci)(1CJ −+⋅= 
 
Com C0 em evidência vem: 
 
 
]1)i1[(CJ n0 −+⋅= 
 b) - Desconto Composto 
Desconto corresponde ao abatimento que se obtém ao saldar-se um compromisso antes de 
sua data de vencimento. No desconto composto haverá a “descapitalização” exponencial que gerará 
o valor atual do compromisso: 
• Simbologia: 
DescontoD = 
0CCD n −= 
C0 = Valor Atual do Compromisso (ou Valor descontado) 
Cn = Compromisso Futuro (Valor Nominal que poderia ser N) 
i = Taxa de Juros 
n = Período, Prazo de Aplicação 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 2
Rearranjando a expressão: n0n i)(1CC +⋅= , o Valor Atual do compromisso fica expresso por: 
( ) ( )
n
nn
n iCCou
i
C
C −+⋅=+= 11 00 
Para determinarmos o Desconto Composto basta-nos efetuar a diferença: 0CCD n −= 
 
Ou, substituirmos C0 na fórmula anterior: 
 
n
n i)(1C
−+⋅−= nCD 
 
Com Cn em evidência vem: 
 [ ]nn i)(11C −+−=D 
 
c) - Fator de Acumulação Composta (ou fator de capitalização) 
O fator de capitalização é utilizado para o cálculo do valor futuro (Cn ) de uma aplicação. 
( )ni+1 
Para levarmos certo valor C0 da época zero para a época n , a uma taxa de juro i , temos 
que multiplicar esse valor por ( 1 + i )n. 
Ex.: C0 = R$ 1.000,00
 i = 6% a.a. 
 n = 4 
 C4 = ? 
 
 
n
n iCC )1(0 +⋅= 
 
4
4 )06,01(00,000.1C +⋅= 
 
)262477,1(00,000.14 ⋅=C 
48,262.1C4 = 
 
0 1 2 3 4
C 4 = ?
C0 = 1.000,00
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 3
d) - Fator de Desconto Composto (ou fator de descapitalização) ( v n) 
O fator de desconto composto é utilizado para o cálculo do valor atual ( C0 ) da aplicação. 
n
n
i
v
)1(
1
+= 
Para trazermos um certo valor Cn da época n para a época zero, a uma taxa de juro i , 
temos que multiplicar esse valor por n)i1(
1
+ ou por 
ni −+ )1( . 
 
Ex.: C0 = ? 
 i = 5% a.a. 
 n = 4 
 Cn = R$ 5.000,00 
 
 
( ) nn iCC −+⋅= 10 
( ) 40 05,0100,000.5 −+⋅=C ( )822702,000,000.50 ⋅=C 
51,113.40 =C 
Os valores da expressão ( )ni1+ “Fatores de Capitalização” e ni −+ )1( “Fatores de 
Desconto” são dadas pelas Tábuas Financeiras I e II para as taxas de 3,5%; 4,0%; 4,5%; 5,0%; 
5,5%; 6% e 12,0%, conforme segue: 
0 1 2 3 4
C0 = ?
C4 = 5.000,00
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 4
 
TÁBUA FINANCEIRA – I 
Fatores de Capitalização 
(1+i) n 
n 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% 12,0% 
1 1,035000 1,040000 1,045000 1,050000 1,055000 1,060000 1,120000 
2 1,071225 1,081600 1,092025 1,102500 1,113025 1,123600 1,254400 
3 1,108718 1,124864 1,141166 1,157625 1,174241 1,191016 1,404928 
4 1,147523 1,169859 1,192519 1,215506 1,238825 1,262477 1,573519 
5 1,187686 1,216653 1,246182 1,276282 1,306960 1,338226 1,762342 
6 1,229255 1,265319 1,302260 1,340096 1,378843 1,418519 1,973823 
7 1,272279 1,315932 1,360862 1,407100 1,454679 1,503630 2,210681 
8 1,316809 1,368569 1,422101 1,477455 1,534687 1,593848 2,475963 
9 1,362897 1,423312 1,486095 1,551328 1,619094 1,689479 2,773079 
10 1,410599 1,480244 1,552969 1,628895 1,708144 1,790848 3,105848 
11 1,459970 1,539454 1,622853 1,710339 1,802092 1,898299 3,478550 
12 1,511069 1,601032 1,695881 1,795856 1,901207 2,012196 3,895976 
13 1,563956 1,665074 1,772196 1,885649 2,005774 2,132928 4,363493 
14 1,618695 1,731676 1,851945 1,979932 2,116091 2,260904 4,887112 
15 1,675349 1,800944 1,935282 2,078928 2,232476 2,396558 5,473566 
16 1,733986 1,872981 2,022370 2,182875 2,355263 2,540352 6,130394 
17 1,794676 1,947900 2,113377 2,292018 2,484802 2,692773 6,866041 
18 1,857489 2,025817 2,208479 2,406619 2,621466 2,854339 7,689966 
19 1,922501 2,106849 2,307860 2,526950 2,765647 3,025600 8,612762 
20 1,989789 2,191123 2,411714 2,653298 2,917757 3,207135 9,646293 
21 2,059431 2,278768 2,520241 2,785963 3,078234 3,399564 10,803848 
22 2,131512 2,369919 2,633652 2,925261 3,247537 3,603537 12,100310 
23 2,206114 2,464716 2,752166 3,071524 3,426152 3,819750 13,552347 
24 2,283328 2,563304 2,876014 3,225100 3,614590 4,048935 15,178629 
25 2,363245 2,665836 3,005434 3,386355 3,813392 4,291871 17,000064 
26 2,445959 2,772470 3,140679 3,555673 4,023129 4,549383 19,040072 
27 2,531567 2,883369 3,282010 3,733456 4,244401 4,822346 21,324881 
28 2,620172 2,998703 3,429700 3,920129 4,477843 5,111687 23,883866 
29 2,711878 3,118651 3,584036 4,116136 4,724124 5,418388 26,749930 
30 2,806794 3,243398 3,745318 4,321942 4,983951 5,743491 29,959922 
31 2,905031 3,373133 3,913857 4,538039 5,258069 6,088101 33,555113 
32 3,006708 3,508059 4,089981 4,764941 5,547262 6,453387 37,581726 
33 3,111942 3,648381 4,274030 5,003189 5,852362 6,840590 42,091533 
34 3,220860 3,794316 4,466362 5,253348 6,174242 7,251025 47,142517 
35 3,333590 3,946089 4,667348 5,516015 6,513825 7,686087 52,799620 
36 3,450266 4,103933 4,877378 5,791816 6,872085 8,147252 59,135574 
37 3,571025 4,268090 5,096860 6,081407 7,250050 8,636087 66,231843 
38 3,696011 4,438813 5,326219 6,385477 7,648803 9,154252 74,179664 
39 3,825372 4,616366 5,565899 6,704751 8,069487 9,703507 83,081224 
40 3,959260 4,801021 5,816365 7,039989 8,513309 10,285718 93,050970 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 5
 
TÁBUA FINANCEIRA – II 
Fatores de Desconto 
(1+i) – n 
n 3,5% 4,0% 4,5% 5,0% 5,5% 6,0% 12,0% 
1 0,966184 0,961538 0,956938 0,952381 0,947867 0,943396 0,892857 
2 0,933511 0,924556 0,915730 0,907029 0,898452 0,889996 0,797194 
3 0,901943 0,888996 0,876297 0,863838 0,851614 0,839619 0,711780 
4 0,871442 0,854804 0,838561 0,822702 0,807217 0,792094 0,635518 
5 0,841973 0,821927 0,802451 0,783526 0,765134 0,747258 0,567427 
6 0,813501 0,790315 0,767896 0,746215 0,725246 0,704961 0,506631 
7 0,785991 0,759918 0,734828 0,710681 0,687437 0,665057 0,452349 
8 0,759412 0,730690 0,703185 0,676839 0,651599 0,627412 0,403883 
9 0,733731 0,702587 0,672904 0,644609 0,617629 0,591898 0,360610 
10 0,708919 0,675564 0,643928 0,613913 0,585431 0,558395 0,321973 
11 0,684946 0,649581 0,616199 0,584679 0,554911 0,526788 0,287476 
12 0,661783 0,624597 0,589664 0,556837 0,525982 0,496969 0,256675 
13 0,639404 0,600574 0,564272 0,530321 0,498561 0,468839 0,229174 
14 0,617782 0,577475 0,539973 0,505068 0,472569 0,442301 0,204620 
15 0,596891 0,555265 0,516720 0,481017 0,447933 0,417265 0,182696 
16 0,576706 0,533908 0,494469 0,458112 0,424581 0,393646 0,163122 
17 0,557204 0,513373 0,473176 0,436297 0,402447 0,371364 0,145644 
18 0,538361 0,493628 0,452800 0,415521 0,381466 0,350344 0,130040 
19 0,520156 0,474642 0,433302 0,395734 0,361579 0,330513 0,116107 
20 0,502566 0,456387 0,414643 0,376889 0,342729 0,311805 0,103667 
21 0,485571 0,438834 0,396787 0,358942 0,324862 0,294155 0,092560 
22 0,469151 0,421955 0,379701 0,341850 0,307926 0,277505 0,082643 
23 0,453286 0,405726 0,363350 0,325571 0,291873 0,261797 0,073788 
24 0,437957 0,390121 0,347703 0,310068 0,276657 0,246979 0,065882 
25 0,423147 0,375117 0,332731 0,295303 0,262234 0,232999 0,058823 
26 0,408838 0,360689 0,318402 0,281241 0,248563 0,219810 0,052521 
27 0,395012 0,346817 0,304691 0,267848 0,235605 0,207368 0,04689428 0,381654 0,333477 0,291571 0,255094 0,223322 0,195630 0,041869 
29 0,368748 0,320651 0,279015 0,242946 0,211679 0,184557 0,037383 
30 0,356278 0,308319 0,267000 0,231377 0,200644 0,174110 0,033378 
31 0,344230 0,296460 0,255502 0,220359 0,190184 0,164255 0,029802 
32 0,332590 0,285058 0,244500 0,209866 0,180269 0,154957 0,026609 
33 0,321343 0,274094 0,233971 0,199873 0,170871 0,146186 0,023758 
34 0,310476 0,263552 0,223896 0,190355 0,161963 0,137912 0,021212 
35 0,299977 0,253415 0,214254 0,181290 0,153520 0,130105 0,018940 
36 0,289833 0,243669 0,205028 0,172657 0,145516 0,122741 0,016910 
37 0,280032 0,234297 0,196199 0,164436 0,137930 0,115793 0,015098 
38 0,270562 0,225285 0,187750 0,156605 0,130739 0,109239 0,013481 
39 0,261413 0,216621 0,179665 0,149148 0,123924 0,103056 0,012036 
40 0,252572 0,208289 0,171929 0,142046 0,117463 0,097222 0,010747 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 6
RENDAS CERTAS (ANUIDADES OU SÉRIE DE PAGAMENTOS / RECEBIMENTOS) 
Os fatores financeiros (de capitalização ou desconto) supracitados levavam ou traziam 
apenas um único valor aplicado, para determinar o seu respectivo valor futuro ou valor atual. 
Na análise das Rendas Certas ou Séries de Pagamentos estudaremos as respectivas 
fórmulas para determinamos numa Data Focal Zero, pelo fator de desconto composto, o valor 
atual desta Série. O fator de desconto composto financeiro trará a valor atual os vários valores da 
seqüência de pagamentos/recebimentos. 
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS 
Inicialmente as rendas são classificadas em Certas ou Aleatórias: 
Rendas Certas Î também chamadas de rendas garantidas, visto que o fator de 
probabilidade associado ao pagamento/recebimento dos respectivos 
termos de renda é sempre 100% (certeza). 
Rendas Aleatórias Î são as rendas onde o pagamento/recebimento dos respectivos 
termos de renda está condicionado a fatores de probabilidade entre 
zero e 100% (incerteza). 
Em decorrência de às Séries de Rendas Aleatórias encontrarem-se conjugados fatores 
probabilísticos, diz-se que a álgebra das Séries de Rendas Certas é estritamente financeira enquanto 
a álgebra das Séries de Rendas Aleatórias é atuarial. 
CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS CERTAS 
De conformidade com a sua duração, periodicidade, valores, carência e vencimentos dos 
Termos, as séries de rendas certas podem ser classificadas segundo os seguintes critérios: 
Critérios utilizados para classificação: 
1. Quanto à duração dos termos da anuidade de rendas certas: 
Séries de Rendas Certas Temporárias/Perpétuas: Temporárias são aquelas em que o 
número de termos é finito. Quando o número de termos é infinito, a série de renda é 
denominada perpétua. A maioria das séries de rendas certas, inclusive as de interesse da 
matemática aplicada a planos previdenciários fechados, são temporárias de “n” 
pagamentos. 
2. Quanto à periodicidade dos termos da anuidade de rendas certas: 
Séries de Rendas Certas Periódicas/Não Periódicas: Periódicas são aquelas em que o 
intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante (mensais, trimestrais, 
semestrais, anuais, etc.). Caso contrário, a série de renda é Não Periódica. 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 7
3. Quanto aos valores dos termos da anuidade de rendas certas: 
Séries de Rendas Certas Constantes/Variáveis: Constantes são aquelas em que todos os 
Termos (pagamentos/recebimentos) têm o mesmo valor. Se pelo menos um dos 
pagamentos for diferente dos demais, a série de renda será Variável. 
4. Quanto à existência de carência para pagamento/recebimento dos termos da anuidade de 
rendas certas: 
 
Série de Rendas Certas Imediatas/Diferidas: Imediatas são aquelas em que os 
pagamentos/recebimentos se iniciam imediatamente no começo ou final do primeiro 
período sem a exigência de carências. Caso os pagamentos se iniciem após o primeiro 
período, a série de renda será Diferida. 
5. Quanto ao vencimento dos termos da anuidade de rendas certas: 
Série de Rendas Certas Antecipadas/Postecipadas: Antecipadas são aquelas em que o 
vencimento dos pagamentos/recebimentos se dará no início de cada período. Caso o 
vencimento se dê no final de cada período, a série de renda será Postecipada. 
 
O quadro abaixo demonstra, de forma resumida, a classificação das séries de rendas 
certas, sendo que os títulos que serão desenvolvidos neste estudo aparecem sob grifos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendas 
Certas 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
Temporárias 
 
Perpétuas 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
Periódicas 
 
 
Não 
Periódicas 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
Constantes 
 
 
Variáveis 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
Imediatas 
 
Diferidas 
 
 
{
 
{
 
 
 
Antecipadas 
Postecipadas 
 
 
 
Antecipadas 
Postecipadas 
Com base na classificação acima, podemos definir em linguagem corrente cada uma das 
funções de renda certa com as respectivas simbologias e definições. 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 8
 
 
 
 
 
 
 
RENDAS CERTAS – SIMBOLOGIA E DEFINIÇÃO 
Valores Atuais (Unitários ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
9
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
1 Imediata Antecipada inä 
Valor atual de uma série de renda certa unitária, temporária, 
periódica, constante, imediata e antecipada, à taxa “i” e prazo 
“n”. v
vä
n
in −
−=
1
1
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
Rendas Certas – Simbologia e Definição 
1243210 ... −− +++++++= nn
in
vvvvvvvä
1
11 −
−⋅=
v
vä
n
in
v
vä
n
in −
−=
1
1
( )hh
n
h
h
in i
vcomvä +==∑
−
= 1
11
0
0
v0
1,00
...
...
...
n
vn-1
4 n-2 n-1
vn-2v1 v2 v3 v4
1,001,00 1,00
1 2
1,00 1,00 1,00
3
in
ä
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
10
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
2 Imediata Postecipada ina 
Valor atual de uma série de renda certa unitária, temporária, 
periódica, constante, imediata e postecipada, à taxa “i” e prazo 
“n”. i
va
n
in
−= 1 
Fluxo Financeiro: 
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
 
nnn
in
vvvvvvva +++++++= −− 124321 ... 
 
( )hh
n
h
h
in i
vcomva +== ∑= 1
1
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
11
−
−⋅=
v
vva
n
in
v
vva
n
in −
−⋅=
1
11
0
...
...
...
1,00
n
vn-1 vn
n-2 n-1
v1 v2 v3 v4 vn-2
2 3 4
1,001,00 1,00 1,00 1,00 1,00
1
in
a
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
11
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrete: A título de ilustração transcrevemos a seguinte relação matemática que nos permite obter a função de renda certa imediata antecipada recorrendo-se à função de renda 
certa imediata postecipada, e vice-versa. Com o auxílio da Tábua Financeira III, certifique-se da validade da referida relação matemática: 
 
 
 
( ) ( ) ⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−
−⋅+=
i
v
i
a
n
in
1
11
1
1
1
( )
( ) ⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−+
−⋅+=
i
i
v
i
a
n
in
1
11
1
1
1
i
nv
in
a −= 1
1
11
1 −=−−+= inäinaouinainä
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
12
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
3 Diferida Antecipada inm ä/ 
Valor atual de uma série de renda certa unitária, temporária, 
periódica, constante, diferida de “m” períodos e antecipada, à taxa 
“i” e prazo “n” v
vvä
n
m
in
m −
−⋅=
1
1
/ 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
 
 
1221
/
... −+−+++ +++++= nmnmmmm
inm
vvvvvä 
∑−
=
+=
1
0/
n
h
hm
inm
vä 
 
h
n
h
m
inm
vvä ⋅= ∑−
=
1
0/
 
∑−
=
⋅=
1
0/n
h
hm
inm
vvä 
 
 
in
m
inm
ävä ⋅=
/
 
 
v
vvä
n
m
inm −
−⋅=
1
1
/
 
0
"carência" (diferimento até "m")
...
1,00 1,00
m+n-1 m+n
vm+n-2 vm+n-1
m+1 m+2 ... m+n-2m-2
...
...
...vm vm+1 vm+2
1,001,00
3 mm-1
1,00
1 2
inm
ä
/
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
13
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
4 Diferida Postecipada inm a/ 
Valor atual de uma série de renda certa unitária, temporária, 
periódica, constante, diferida de “m” períodos e postecipada, à taxa 
“i” e prazo “n” i
vva
n
m
inm
−⋅= 1
/
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
nmnmnmmm
inm
vvvvva +−+−+++ +++++= 1221
/
... 
∑
=
+=
n
h
hm
inm
va
1/
 
h
n
h
m
inm
vva ⋅= ∑
=1/
 
∑
=
⋅=
n
h
hm
inm
vva
1/
 
in
m
inm
ava ⋅=
/
 
 
 
 
i
vva
n
m
inm
−⋅= 1
/
0
"carência" (diferimento até "m")
vm+n-2 vm+n-1
1,00
vm+nvm+1 vm+2 ...
... m+n-2 m+n-1 m+nm-1 m m+1 m+22 3 ... m-2
1,00
... ...
1,00 1,00
1
1,00
inm
a
/
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
14
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
5 Perpétua Postecipada ia∞ 
Valor atual de uma série de renda certa unitária, perpétua, 
periódica, constante, e postecipada, à taxa “i” ii
a 1=∞ 
Fluxo Financeiro: 
0 ...
1,00
...
1,00 1,00 1,00
1 2 3
i
a ∞ 
Desenvolvimento da Fórmula: 
O Valor Atual é o limite da soma dos valores atuais de seus termos quando o número de termos tende ao infinito, portanto: 
 
in
alim
ni
a
∞→
=∞
i
nv
lim
ni
a −
∞→
=∞
1
( )∞+=
∞∞−
∞→
=∞ i
vcom
i
v
lim
ni
a
1
11
ii
a 1=∞
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
15
 
N.º Tipo de Renda Certa Simbologia Definição Fórmula 
6 Perpétua Antecipada ia∞
&& Valor atual de uma série de renda certa unitária, perpétua, 
periódica, constante, e antecipada, à taxa “i” i
i1
i
a +=∞
&& 
Fluxo Financeiro: 
0 ...
1,00
...
1,00 1,00 1,00
1 2 3
i
a ∞
&&
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
Recorrendo-se à relação matemática abaixo: 
 
Podemos, por analogia, obter o valor atual em função de uma perpetuidade postecipada, conforme a seguir: 
 
i1
a1
i
ä −∞+=∞
i
i1
i
11
i
ä +=+=∞
i1n
a1
in
ä −+=
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
16
Exercícios - Rendas Certas 
 
Na resolução dos exercícios abaixo construir a formulação com base na seguinte simbologia: 
 
 PV = Valor presente 
P = Prestação 
f(a)= função valor atual a juros i , prazo n e diferimento m 
i = Taxa de juros 
n = número de prestações 
 
* Usar as funções da calculadora HP 12C e similares apenas para conferência dos cálculos. 
 
 
1.1. Esboce o gráfico do fluxo financeiro e calcule o valor atual unitário da seguintes 
funções, por meio do desenvolvimento do somatório (somar a série) e pela fórmula 
deduzida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Esboce o gráfico do fluxo financeiro e calcule o valor atual unitário da seguintes 
funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
==∑−
=
1
0%5,44
)
n
h
hväa
== ∑
=
n
h
hvab
1%5,44
)
=
%5,44
/2) äa
( ) :ondeafPVP ⋅=
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
%5,44
/2) ab
=
∞ %5,4
) ac
=
∞ %5,4
) äd
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
18
1.3. Calcular o valor atual de uma série de rendas antecipadas de 10 termos, à taxa de 2% ao 
mês, com pagamentos mensais de R$1.000,00. Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
1.4. Adquiri um seguro de automóvel pagando 12 prestações mensais de R$ 300,00, 
ocorrendo a primeira um mês após estar segurado, a uma taxa de 2,50% ao mês. Calcule 
o valor do seguro a vista. Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. (Matemática Financeira 
e Atuarial – FUNENSEG – Ex. 62) 
 
 
 
 
 
 
 
1.5. Adquiri um seguro residencial no valor de R$ 12.000,00 a ser pago em 24 prestações 
mensais e iguais, ocorrendo a primeira um mês após estar segurado, a uma taxa de 
0,50% não mês. Calcule o valor das prestações. Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. 
(Matemática Financeira e Atuarial – FUNENSEG – Ex. 63) 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. Numa apólice estava escrito que um seguro foi adquirida através de dez prestações 
mensais de R$ 620,00, ocorrendo a primeira um mês após a aquisição, a uma taxa de 
2% ao mês. Calcule o valor do seguro à vista. Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. 
(Matemática Financeira e Atuarial – FUNENSEG – Ex. 68) 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
19
1.7. Uma instituição de ensino destinará a quantia anual de R$ 50.000,00 durante cinco anos 
a título de bolsa de estudo. Para garantir os pagamentos anuais a instituição pretende 
depositar o dinheiro num Fundo de Investimentos e espera uma rentabilidade de 12 % 
a.a. Quanto deverá ser aplicado, no primeiro dia útil de janeiro/2010, para assegurar 
que: 
a) Os cinco pagamentos sejam efetuados no início de cada ano, a partir de 
janeiro/2010? Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. Fazer o demonstrativo dos 5 
pagamentos . Registrar toda a memória de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda Certa Imediata Antecipada 
Demonstrativo dos 5 Pagamentos 
Saldo ( - ) Rendimento Saldo 
n Inicial Pagamento Sub Total 12% a.a. Final 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
20
b) Os cinco pagamentos sejam efetuados no final de cada ano, a partir de 
dezembro/2010? Esboçar o gráfico do fluxo financeiro. Fazer o demonstrativo dos 
5 pagamentos. Registrar a memória de cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda Certa Imediata Postecipada 
Demonstrativo dos 5 Pagamentos 
Saldo ( - ) Rendimento Saldo 
n Inicial Pagamento Sub Total 12% a.a. Final 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
21
 
c) Os cinco pagamentos sejam efetuados no início de cada ano, porém com carência 
[diferimento] de dois anos, contados a partir de janeiro/2010? Esboçar o gráfico do 
fluxo financeiro. Fazer o demonstrativo dos 5 pagamentos. Registrar a memória de 
cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda Certa Diferida Antecipada 
Demonstrativo dos 5 Pagamentos 
Saldo ( - ) Rendimento Saldo 
n Inicial Pagamento Sub Total 12% a.a. Final 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
22
d) Os cinco pagamentos sejam efetuados no final de cada ano, porém com carência 
[diferimento] de dois anos, contados a partir de dezembro/2009? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Renda Certa Diferida Postecipada 
Demonstrativo dos 5 Pagamentos 
Saldo ( - ) Rendimento Saldo 
n Inicial Pagamento Sub Total 12% a.a. Final 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
23
1.8. Um patrocinador deve repassar ao Fundo de Previdência, a título de dotação inicial, o 
montante de R$ 25.000.000,00 financiado em 15 anos a uma taxa de 5% a.a. Com base nas 
informações do enunciado e utilizando pelo menos 6 casas decimais no cálculo das funções 
financeiras, esboce o fluxo financeiro, bem como determine o valor de cada prestação 
utilizando-se da formulação estudada e; supondo: 
a) Que os aportes serão efetuados no início de cada ano: 
 
 
 
b) Que os aportes serão efetuados no final de cada ano: 
 
 
 
c) Que os aportes serão efetuadosno início de cada ano, mas com carência de 5 anos: 
 
 
 
d) Que os aportes serão efetuados no final de cada ano, mas com carência de 5 anos: 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
24
TÁBUA FINANCEIRA – III 
Valores Atuais de Rendas Certas Imediatas 
 
 
 
 
 Antecipadas Postecipadas 
n 4,5% 5% 6% n 4,5% 5% 6% 
1 1 1 1 1 0,956938 0,952381 0,943396 
2 1,956938 1,952381 1,943396 2 1,872668 1,85941 1,833393 
3 2,872668 2,85941 2,833393 3 2,748964 2,723248 2,673012 
4 3,748964 3,723248 3,673012 4 3,587526 3,545951 3,465106 
5 4,587526 4,545951 4,465106 5 4,389977 4,329477 4,212364 
6 5,389977 5,329477 5,212364 6 5,157872 5,075692 4,917324 
7 6,157872 6,075692 5,917324 7 5,892701 5,786373 5,582381 
8 6,892701 6,786373 6,582381 8 6,595886 6,463213 6,209794 
9 7,595886 7,463213 7,209794 9 7,268790 7,107822 6,801692 
10 8,268790 8,107822 7,801692 10 7,912718 7,721735 7,360087 
11 8,912718 8,721735 8,360087 11 8,528917 8,306414 7,886875 
12 9,528917 9,306414 8,886875 12 9,118581 8,863252 8,383844 
13 10,118581 9,863252 9,383844 13 9,682852 9,393573 8,852683 
14 10,682852 10,393573 9,852683 14 10,222825 9,898641 9,294984 
15 11,222825 10,898641 10,294984 15 10,739546 10,379658 9,712249 
16 11,739546 11,379658 10,712249 16 11,234015 10,83777 10,105895 
17 12,234015 11,83777 11,105895 17 11,707191 11,274066 10,47726 
18 12,707191 12,274066 11,47726 18 12,159992 11,689587 10,827603 
19 13,159992 12,689587 11,827603 19 12,593294 12,085321 11,158116 
20 13,593294 13,085321 12,158116 20 13,007936 12,46221 11,469921 
21 14,007936 13,46221 12,469921 21 13,404724 12,821153 11,764077 
22 14,404724 13,821153 12,764077 22 13,784425 13,163003 12,041582 
23 14,784425 14,163003 13,041582 23 14,147775 13,488574 12,303379 
24 15,147775 14,488574 13,303379 24 14,495478 13,798642 12,550358 
25 15,495478 14,798642 13,550358 25 14,828209 14,093945 12,783356 
26 15,828209 15,093945 13,783356 26 15,146611 14,375185 13,003166 
27 16,146611 15,375185 14,003166 27 15,451303 14,643034 13,210534 
28 16,451303 15,643034 14,210534 28 15,742874 14,898127 13,406164 
29 16,742874 15,898127 14,406164 29 16,021889 15,141074 13,590721 
30 17,021889 16,141074 14,590721 30 16,288889 15,372451 13,764831 
31 17,288889 16,372451 14,764831 31 16,544391 15,592811 13,929086 
32 17,544391 16,592811 14,929086 32 16,788891 15,802677 14,084043 
33 17,788891 16,802677 15,084043 33 17,022862 16,002549 14,23023 
34 18,022862 17,002549 15,23023 34 17,246758 16,192904 14,368141 
35 18,246758 17,192904 15,368141 35 17,461012 16,374194 14,498246 
36 18,461012 17,374194 15,498246 36 17,666041 16,546852 14,620987 
37 18,666041 17,546852 15,620987 37 17,862240 16,711287 14,73678 
38 18,862240 17,711287 15,73678 38 18,049990 16,867893 14,846019 
39 19,049990 17,867893 15,846019 39 18,229656 17,017041 14,949075 
40 19,229656 18,017041 15,949075 40 18,401584 17,159086 15,046297 
 
 
 
in
a
in
ä
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
25
 
II. Cálculo Atuarial – Apontamentos 
 
TÁBUA DE MORTALIDADE 
A tábua de mortalidade é uma matriz que aponta a probabilidade de morte (qx) de uma 
população observada, em ordem crescente de idade (x), desde a origem até a extinção completa 
desse grupo. A partir destas duas informações básicas (idade e probabilidade de morte) é possível 
determinar, com o auxílio de fórmulas, os demais elementos de uma tábua de mortalidade. 
As tábuas de mortalidade são construídas com fundamento na experiência acumulada 
pelas companhias de seguros. Entretanto existem tábuas construídas com base nas estatísticas vitais 
(registro de nascimento e óbitos), movimentos migratórios e demais características da população em 
geral obtidas através de censo demográfico. Estes dados, depois de adequado tratamento resultam 
nas tábuas demográficas. Estas tábuas são indicadas para produzir informações que servirão para 
apontar, de forma estatística, as condições de vida da população, elemento fundamental para 
subsidiar o desenho das políticas de saneamento básico pelos governos. Cita-se como exemplo de 
tábua demográfica a “MSP 69/71” e “IBGE 1999”. 
Nas tábuas de mortalidade, o número de pessoas vivas correspondente à idade inicial 
(origem) denominamos “raiz da tábua” e à idade final, a partir da qual não há mais sobrevivente, 
denominamos “idade Ômega” ( ω ). Registre-se que as tábuas de mortalidade não precisam iniciar-
se obrigatoriamente na idade zero. 
Os elementos abaixo, que chamamos de funções biométricas, cuja simbologia é de 
consenso universal, compõem as tábuas de mortalidade: 
Símbolo Definição 
qx 
Função biométrica que indica a probabilidade anual de morte, ou a probabilidade de 
“x” morrer antes de atingir a idade “x+1”. 
px 
Função biométrica que indica a probabilidade anual de sobrevivência, ou a 
probabilidade de “x” sobreviver à idade “x+1”. 
lx Função biométrica que indica o número de pessoas vivas na idade “x”. (living, life) 
dx 
Função biométrica que indica o número de pessoas mortas entre as idades “x” e 
“x+1”. (death) 
Lx Função biométrica que indica o número de pessoas vivas no meio do ano. 
Tx Função biométrica que indica a quantidade de existência. 
 eox 
Esperança completa de vida ou número médio de anos que “x” deverá viver. 
(expectation of life) 
Nota: “x” é a variável das funções biométricas que, em ordem cronológica, indicará a idade da 
pessoa. 
A título de exemplo introduzimos a tábua de mortalidade geral – CSO 1958: 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
26
 
TÁBUA DE MORTALIDADE CSO 58 
Commissoners 1958 standart ordinary mortality table 
x qx px lx dx Lx Tx eox 
14 0,00139 0,99861 100.000 139 99.931 5.586.949 55,9 
15 0,00146 0,99854 99.861 146 99.788 5.487.018 54,9 
16 0,00154 0,99846 99.715 154 99.638 5.387.230 54,0 
17 0,00162 0,99838 99.562 161 99.481 5.287.592 53,1 
18 0,00169 0,99831 99.400 168 99.316 5.188.111 52,2 
19 0,00174 0,99826 99.232 173 99.146 5.088.794 51,3 
20 0,00179 0,99821 99.060 177 98.971 4.989.648 50,4 
21 0,00183 0,99817 98.882 181 98.792 4.890.677 49,5 
22 0,00186 0,99814 98.701 184 98.610 4.791.885 48,5 
23 0,00189 0,99811 98.518 186 98.425 4.693.276 47,6 
24 0,00191 0,99809 98.332 188 98.238 4.594.851 46,7 
25 0,00193 0,99807 98.144 189 98.049 4.496.613 45,8 
26 0,00196 0,99804 97.954 192 97.858 4.398.564 44,9 
27 0,00199 0,99801 97.762 195 97.665 4.300.706 44,0 
28 0,00203 0,99797 97.568 198 97.469 4.203.041 43,1 
29 0,00208 0,99792 97.370 203 97.269 4.105.572 42,2 
30 0,00213 0,99787 97.167 207 97.064 4.008.303 41,3 
31 0,00219 0,99781 96.960 212 96.854 3.911.239 40,3 
32 0,00225 0,99775 96.748 218 96.639 3.814.385 39,4 
33 0,00232 0,99768 96.530 224 96.418 3.717.746 38,5 
34 0,00240 0,99760 96.306 231 96.191 3.621.328 37,6 
35 0,00251 0,99749 96.075 241 95.955 3.525.137 36,7 
36 0,00264 0,99736 95.834 253 95.708 3.429.182 35,8 
37 0,00280 0,99720 95.581 268 95.447 3.333.475 34,9 
38 0,00301 0,99699 95.313 287 95.170 3.238.028 34,0 
39 0,00325 0,99675 95.027 309 94.872 3.142.858 33,1 
40 0,00353 0,99647 94.718 334 94.551 3.047.986 32,2 
41 0,00384 0,99616 94.383 362 94.202 2.953.435 31,3 
42 0,00417 0,99583 94.021 392 93.825 2.859.233 30,4 
43 0,00453 0,99547 93.629 424 93.417 2.765.408 29,5 
44 0,00492 0,99508 93.205 459 92.975 2.671.991 28,7 
45 0,00535 0,99465 92.746 496 92.498 2.579.016 27,8 
46 0,00583 0,99417 92.250 538 91.981 2.486.518 27,0 
47 0,00636 0,99364 91.712 583 91.420 2.394.537 26,1 
48 0,00695 0,99305 91.129 633 90.812 2.303.116 25,3 
49 0,00760 0,99240 90.495 688 90.152 2.212.304 24,4 
50 0,00832 0,99168 89.808 747 89.434 2.122.152 23,6 
51 0,00911 0,99089 89.061 811 88.655 2.032.718 22,8 
52 0,00996 0,99004 88.249 879 87.8101.944.063 22,0 
53 0,01089 0,98911 87.370 951 86.894 1.856.254 21,2 
54 0,01190 0,98810 86.419 1.028 85.905 1.769.359 20,5 
55 0,01300 0,98700 85.390 1.110 84.835 1.683.455 19,7 
56 0,01421 0,98579 84.280 1.198 83.681 1.598.619 19,0 
57 0,01554 0,98446 83.083 1.291 82.437 1.514.938 18,2 
58 0,01700 0,98300 81.792 1.390 81.096 1.432.501 17,5 
59 0,01859 0,98141 80.401 1.495 79.654 1.351.404 16,8 
60 0,02034 0,97966 78.906 1.605 78.104 1.271.751 16,1 
61 0,02224 0,97776 77.302 1.719 76.442 1.193.647 15,4 
62 0,02431 0,97569 75.582 1.837 74.664 1.117.205 14,8 
63 0,02657 0,97343 73.745 1.959 72.765 1.042.541 14,1 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
27
TÁBUA DE MORTALIDADE CSO 58 
Commissoners 1958 standart ordinary mortality table 
x qx px lx dx Lx Tx eox 
64 0,02904 0,97096 71.786 2.085 70.743 969.776 13,5 
65 0,03175 0,96825 69.701 2.213 68.594 899.033 12,9 
66 0,03474 0,96526 67.488 2.345 66.316 830.438 12,3 
67 0,03804 0,96196 65.143 2.478 63.904 764.123 11,7 
68 0,04168 0,95832 62.665 2.612 61.359 700.218 11,2 
69 0,04561 0,95439 60.053 2.739 58.684 638.859 10,6 
70 0,04979 0,95021 57.314 2.854 55.888 580.175 10,1 
71 0,05415 0,94585 54.461 2.949 52.986 524.288 9,6 
72 0,05865 0,94135 51.512 3.021 50.001 471.301 9,1 
73 0,06326 0,93674 48.490 3.068 46.957 421.300 8,7 
74 0,06812 0,93188 45.423 3.094 43.876 374.344 8,2 
75 0,07337 0,92663 42.329 3.106 40.776 330.468 7,8 
76 0,07918 0,92082 39.223 3.106 37.670 289.692 7,4 
77 0,08570 0,91430 36.117 3.095 34.570 252.022 7,0 
78 0,09306 0,90694 33.022 3.073 31.486 217.452 6,6 
79 0,10119 0,89881 29.949 3.031 28.434 185.966 6,2 
80 0,10998 0,89002 26.919 2.961 25.438 157.532 5,9 
81 0,11935 0,88065 23.958 2.859 22.528 132.094 5,5 
82 0,12917 0,87083 21.099 2.725 19.736 109.566 5,2 
83 0,13938 0,86062 18.373 2.561 17.093 89.830 4,9 
84 0,15001 0,84999 15.812 2.372 14.626 72.737 4,6 
85 0,16114 0,83886 13.440 2.166 12.358 58.110 4,3 
86 0,17282 0,82718 11.275 1.948 10.300 45.753 4,1 
87 0,18513 0,81487 9.326 1.727 8.463 35.452 3,8 
88 0,19825 0,80175 7.600 1.507 6.846 26.990 3,6 
89 0,21246 0,78754 6.093 1.295 5.446 20.143 3,3 
90 0,22814 0,77186 4.798 1.095 4.251 14.698 3,1 
91 0,24577 0,75423 3.704 910 3.249 10.446 2,8 
92 0,26593 0,73407 2.793 743 2.422 7.198 2,6 
93 0,28930 0,71070 2.051 593 1.754 4.776 2,3 
94 0,31666 0,68334 1.457 461 1.227 3.022 2,1 
95 0,35124 0,64876 996 350 821 1.795 1,8 
96 0,40056 0,59944 646 259 517 974 1,5 
97 0,48842 0,51158 387 189 293 458 1,2 
98 0,66815 0,33185 198 132 132 165 0,8 
99 1,00000 0,00000 66 66 33 33 0,5 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
28
FUNÇÕES BIOMÉTRICAS CONSIDERANDO UMA VIDA 
São expressões algébricas que permitem o cálculo da duração provável da vida nos seres 
vivos com base nas tábuas de mortalidade. Também servem para calcular probabilidades e taxas em 
relação aos eventos de sobrevivência, morte, invalidez, etc., segundo a experiência de uma tábua 
biométrica. 
Complementamos a tabela das funções biométricas utilizadas na tábua de mortalidade 
acima, conforme segue: 
 
 
Símbolo Definição 
npx Função biométrica que indica a probabilidade de “x” sobreviver à idade “x+n”. 
/nqx 
Função biométrica que indica a probabilidade de uma pessoa de idade “x” morrer antes 
de atingir a idade “x+n”. 
n/qx 
Função biométrica que indica a probabilidade de uma pessoa de idade “x” sobreviver à 
idade “x+n”, vindo a falecer no decurso do ano seguinte. 
n/mqx 
Função biométrica que indica a probabilidade de uma pessoa de idade “x” morrer entre 
as idades “x+n” e “x+n+m” 
Expressões matemáticas de algumas funções biométricas 
1. No espaço de um ano o indivíduo sobrevive ou morre, de forma que as probabilidades de 
sobrevivência e de morte, se somadas resultam na certeza de 100% ou 1: 
 
1=+ xx qp 
Desta fórmula deduz-se, algebricamente, que: 
xx qp −= 1 
xx pq −= 1 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
29
 
2. A probabilidade de “x” sobreviver à idade “x+n” é determinada pelo quociente entre o número 
de vivos na idade “x+n” e o número de vivos da idade atual obtidos na tábua de mortalidade. 
 
x x+n
●●
...
p = viver
 
 
x
nx
xn l
l
p += 
Nota: Esta fórmula é genérica e serve também para calcular a probabilidade seguinte, onde “n = 1”. 
 
2.1. A probabilidade anual de sobrevivência, ou a probabilidade de “x” sobreviver à idade 
“x+1” é determinada pelo quociente entre o número de vivos na idade seguinte e o número 
de vivos da idade atual, obtidos na tábua de mortalidade: 
x x+1
●●
p = viver
 
x
x
x l
l
p 1+=
 
3. A função biométrica que indica o número de pessoas vivas na idade “x” é calculada da seguinte 
maneira: Na raiz da tábua, por convenção, fixamos o número de vivos como sendo 100.000, 
1.000.000, etc. O número de pessoas vivas para as idades seguintes pode ser obtido pelas 
seguintes fórmulas: 
xxx pll ⋅=+1 
ou ( )xxx qll −⋅=+ 11 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
30
4. A função biométrica que indica o número de pessoas mortas entre as idades “x” e “x+1” tem a 
seguinte fórmula: 
1+−= xxx lld 
 
5. A probabilidade de uma pessoa de idade “x” sobreviver à idade “x+n”, vindo a falecer no 
transcorrer do ano em curso pode ser calculada por uma das seguintes fórmulas: 
x x+n
●●
x+n+m...
●○
p = viver q = morrer
n /
diferimento
/m=1 
temporariedade 
 
nxqxpnxqn +⋅= 1// 
ou 
nxxnxn qpq +⋅=/ 
ou 
x
nx
xn l
d
q +=/ 
ou 
x
nxnx
xn l
ll
q 1/
+++ −= 
ou 
xnxnxn ppq 1/ +−= 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
31
 
6. A probabilidade de uma pessoa de idade “x” morrer antes de atingir a idade “x+n” é a 
probabilidade “contrária” a “npx” tem a seguinte fórmula: 
x ...
/n 
temporariedade
x+n
●○
q = morrer
 
xnxn pq −= 1/ 
ou 
xl
1nxd...
xl
3xd
xl
2xd
xl
1xd
xl
xd
xqn
−+++++++++=/ 
ou 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
xl
nxlnxl...4xl3xl3xl2xl2xl1xl1xlxl
xqn
+−−++++−+++−+++−+++−= 1/ 
ou 
xl
nxlxl
xqn
+−=/ 
Nota: Esta fórmula é genérica e serve também para calcular a probabilidade seguinte, onde “n = 1”. 
 
6.1. A probabilidade anual de morte, ou a probabilidade de “x” morrer antes de atingir a 
idade “x+1” é representada pela seguinte fórmula: 
x
/n = 1
temporariedade
x+1
●○
q = morrer
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
32
 
xpxq/1 −= 1 ou 
x
x
x
xx
x/1 l
d
l
llq =−= +1 
 
7. A probabilidade de uma pessoa de idade “x” morrer entre as idades “x+n” e “x+n+m” tem a 
seguinte fórmula: 
p = viver
x ... x+n+m
●○
q = morrer
x+n
●●
n / 
diferimento
/m 
temporariedade 
xl
mnxdnxdnxd
xqmn
1...1
/
−++++++++= 
ou 
x
mnxnx
xmn l
ll
q +++
−=/ 
ou 
 
xmnxnxmn ppq +−=/ 
 
Nota: Esta probabilidade pode ser enunciada da seguinte maneira: Probabilidade de uma pessoa de idade “x” 
morrer dentro do período que se inicia “n” anos após a idade atual e vai até “m” anos depois deste início. 
 
8. A função biométrica Lx, que indica o número de pessoas vivas no meio do ano, deduzida da 
“Hipótese de Proporcionalidade dos Mortos”, tem as seguintes expressões: 
xxx dlL ⋅−= 2
1
 
Ou 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
33
 
( )12
1
+−⋅−= xxxx lllL ou 2
1++= xxx llL 
 
Nota: A “Hipótese de Proporcionalidade dos Mortos”, onde se admite que entre duas idades consecutivas as 
mortes se distribuem proporcionalmente ao tempo, é dada por: xxtx dtll ⋅−=+ 
onde t é fração de período menor que um ano. 
9. A função biométrica que indica a Quantidade de Existência pode ser calculada pelas seguintes 
expressões abaixo descritas.Esta função, admitindo-se a distribuição uniforme dos mortos, 
determina o número de anos que, a partir da idade “x”, viverão os componentes do grupo inicial 
“lx”, da tábua de mortalidade considerada, até sua completa extinção. 
∑∞
=
+=
0h
hxx LT 
ou 
∑∞
=
++⋅=
12
1
h
hxxx llT 
10. A função biométrica que indica a Esperança Completa de Vida, que significa o número médio 
de anos que “x” deverá sobreviver pode ser calculada por uma das seguintes fórmulas: 
xl
xTxe =
0
 
ou 
∑∞
=
+=
1
0
2
1
h
xhx pe 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
34
2. Exercício - Tábua de mortalidade e funções biométricas 
Esboçar graficamente e calcular: 
 
2.1. A probabilidade de uma pessoa de 30 anos estar viva daqui a um ano, de acordo com 
a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.2. A probabilidade de uma pessoa de 35 anos estar viva daqui a 20 anos, de acordo com 
a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.3. A probabilidade de uma pessoa de 40 anos morrer antes de completar a idade 41, de 
acordo com a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.4. A probabilidade de uma pessoa de idade 20 falecer antes de completar 45 anos, de 
acordo com a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
35
 
2.5. A probabilidade de uma pessoa de 20 anos falecer na idade 47, de acordo com a 
experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.6. A probabilidade de uma pessoa de 30 anos falecer (estar morto) na idade 55, de 
acordo com a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.7. A probabilidade de uma pessoa de 35 anos falecer entre as idades 45 e 55 anos, de 
acordo com a experiência da tábua de mortalidade AT – 49. 
 
 
 
 
 
 
2.8. A esperança completa de vida, ou o número médio de anos que uma pessoa de 105 anos 
deverá sobreviver, de acordo com a experiência da tábua de mortalidade AT – 49.
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
36
TÁBUA DE MORTALIDADE AT – 49 
ANNUITY TABLE – Elementary Values (Males) – AT-49 
x qx lx dx 
0 0,00404 100.000 404 
1 0,00158 99.596 157 
2 0,00089 99.439 89 
3 0,00072 99.350 72 
4 0,00063 99.279 63 
5 0,00057 99.216 57 
6 0,00053 99.160 53 
7 0,0005 99.107 50 
8 0,00049 99.057 49 
9 0,00048 99.009 48 
10 0,00048 98.961 48 
11 0,00049 98.914 48 
12 0,0005 98.865 49 
13 0,00051 98.816 50 
14 0,00052 98.766 51 
15 0,00054 98.714 53 
16 0,00055 98.661 54 
17 0,00057 98.607 56 
18 0,00058 98.550 57 
19 0,0006 98.493 59 
20 0,00062 98.434 61 
21 0,00065 98.373 64 
22 0,00067 98.309 66 
23 0,0007 98.243 69 
24 0,00073 98.175 72 
25 0,00077 98.103 76 
26 0,00081 98.027 79 
27 0,00085 97.948 83 
28 0,0009 97.865 88 
29 0,00095 97.777 93 
30 0,001 97.684 98 
31 0,00107 97.586 104 
32 0,00114 97.482 111 
33 0,00121 97.370 118 
34 0,0013 97.253 126 
35 0,00139 97.126 135 
36 0,00149 96.991 145 
37 0,00161 96.847 156 
38 0,00173 96.691 167 
39 0,00187 96.524 180 
40 0,00203 96.343 196 
41 0,00222 96.147 213 
42 0,00248 95.934 238 
43 0,0028 95.696 268 
44 0,00319 95.428 304 
45 0,00363 95.124 345 
46 0,00412 94.778 390 
47 0,00466 94.388 440 
48 0,00525 93.948 493 
49 0,00588 93.455 550 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
37
ANNUITY TABLE – Elementary Values (Males) – AT-49 
50 0,00656 92.905 609 
51 0,00728 92.296 672 
52 0,00804 91.624 737 
53 0,00884 90.887 803 
54 0,00968 90.084 872 
55 0,01057 89.212 943 
56 0,01149 88.269 1.014 
57 0,01246 87.255 1.087 
58 0,01348 86.167 1.162 
59 0,01454 85.006 1.236 
60 0,01566 83.770 1.312 
61 0,01687 82.458 1.391 
62 0,0182 81.067 1.475 
63 0,01967 79.592 1.566 
64 0,02128 78.026 1.660 
65 0,02307 76.366 1.762 
66 0,02503 74.604 1.867 
67 0,02719 72.737 1.978 
68 0,02958 70.759 2.093 
69 0,0322 68.666 2.211 
70 0,03509 66.455 2.332 
71 0,03827 64.123 2.454 
72 0,04177 61.669 2.576 
73 0,04562 59.093 2.696 
74 0,04985 56.397 2.811 
75 0,0545 53.586 2.920 
76 0,05961 50.665 3.020 
77 0,06522 47.645 3.107 
78 0,07137 44.538 3.179 
79 0,07811 41.359 3.231 
80 0,0855 38.129 3.260 
81 0,09359 34.869 3.263 
82 0,10244 31.605 3.238 
83 0,11211 28.368 3.180 
84 0,12267 25.187 3.090 
85 0,13418 22.098 2.965 
86 0,14671 19.133 2.807 
87 0,16033 16.326 2.617 
88 0,17512 13.708 2.401 
89 0,19115 11.308 2.161 
90 0,20849 9.146 1.907 
91 0,22719 7.239 1.645 
92 0,24733 5.595 1.384 
93 0,26896 4.211 1.133 
94 0,29212 3.078 899 
95 0,31683 2.179 690 
96 0,34312 1.489 511 
97 0,37097 978 363 
98 0,40035 615 246 
99 0,4312 369 159 
100 0,46342 210 97 
101 0,49687 113 56 
102 0,53139 57 30 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
38
ANNUITY TABLE – Elementary Values (Males) – AT-49 
103 0,56676 27 15 
104 0,60271 11 7 
105 0,63896 5 3 
106 0,67514 2 1 
107 0,7109 1 0 
108 0,74582 0 0 
109 1 0 0 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
39
 
3. Exercício 
 
3.1. Com as probabilidades anuais de morte, segundo a experiência da Tábua de 
Mortalidade Geral AT 83 MALES, abaixo, calcular, em planilha Excel, as seguintes 
funções biométricas: lx, dx e e0x . 
x qx lx dx e0x 
5 0,000377 
6 0,000350 
7 0,000333 
8 0,000352 
9 0,000368 
10 0,000382 
11 0,000394 
12 0,000405 
13 0,000415 
14 0,000425 
15 0,000435 
16 0,000446 
17 0,000458 
18 0,000472 
19 0,000488 
20 0,000505 
21 0,000525 
22 0,000546 
23 0,000570 
24 0,000596 
25 0,000622 
26 0,000650 
27 0,000677 
28 0,000704 
29 0,000731 
30 0,000759 
31 0,000786 
32 0,000814 
33 0,000843 
34 0,000876 
35 0,000917 
36 0,000968 
37 0,001032 
38 0,001114 
39 0,001216 
40 0,001341 
41 0,001492 
42 0,001673 
43 0,001886 
44 0,002129 
45 0,002399 
46 0,002693 
47 0,003009 
48 0,003343 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
40
x qx lx dx e0x 
49 0,003694 
50 0,004057 
51 0,004431 
52 0,004812 
53 0,005198 
54 0,005591 
55 0,005994 
56 0,006409 
57 0,006839 
58 0,007290 
59 0,007782 
60 0,008338 
61 0,008983 
62 0,009740 
63 0,010630 
64 0,011664 
65 0,012851 
66 0,014199 
67 0,015717 
68 0,017414 
69 0,019296 
70 0,021371 
71 0,023647 
72 0,026131 
73 0,028835 
74 0,031794 
75 0,035046 
76 0,038631 
77 0,042587 
78 0,046951 
79 0,051755 
80 0,057026 
81 0,062791 
82 0,069081 
83 0,075908 
84 0,083230 
85 0,090987 
86 0,099122 
87 0,107577 
88 0,116316 
89 0,125394 
90 0,134887 
91 0,144873 
92 0,155429 
93 0,166629 
94 0,178537 
95 0,191214 
96 0,204721 
97 0,219120 
98 0,234735 
99 0,251889 
100 0,270906 
101 0,292111 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
41
x qx lx dx e0x 
102 0,315826 
103 0,342377 
104 0,372086 
105 0,405278 
106 0,442277 
107 0,483406 
108 0,528989 
109 0,579351 
110 0,634814 
111 0,695704 
112 0,762343 
113 0,835056 
114 0,914167 
115 1,000000 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
42
RENDAS ALEATÓRIAS (Probabilísticas) 
Na análise das Rendas Aleatórias estudaremos as respectivas fórmulas para 
determinamos numa Data Focal Zero, pelo fator de desconto composto atuarial, o valor atual da 
Série. O fator de desconto composto atuarial trará a valor atual os vários valores da Série. 
Iniciaremos o estudo, classificando referidas rendas:CLASSIFICAÇÃO DAS SÉRIES DE RENDAS ALEATÓRIAS – SOBREVIVÊNCIA 
De conformidade com a sua duração, periodicidade, valores, carência e vencimentos dos 
termos, as séries de rendas aleatórias podem ser classificadas segundo os seguintes critérios: 
Critérios utilizados para classificação: 
1. Quanto à duração dos termos da anuidade de rendas aleatórias: 
Séries de Rendas Aleatórias Temporárias/Vitalícias: Temporárias são aquelas em que os 
pagamentos/recebimentos ocorrerão enquanto a pessoa sobreviver, porém, no máximo 
durante “n” períodos. Já as rendas aleatórias vitalícias serão pagas/recebidas durante 
toda a existência da pessoa. 
2. Quanto à periodicidade dos termos da anuidade de rendas aleatórias: 
Séries de Rendas Aleatórias Periódicas/Não Periódicas: Periódicas são aquelas em que 
o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante (mensais, 
trimestrais, semestrais, anuais, etc.). Caso contrário, a série de renda é Não Periódica. 
3. Quanto aos valores dos termos da anuidade de rendas aleatórias: 
Séries de Rendas Aleatórias Constantes/Variáveis: Constantes são aquelas em que todos 
os Termos (pagamentos/recebimentos) têm o mesmo valor. Se pelo menos um dos 
pagamentos for diferente dos demais, a série de renda será Variável. 
4. Quanto à existência de carência para pagamento/recebimento dos termos da anuidade de 
rendas aleatórias: 
Série de Rendas Aleatórias Imediatas/Diferidas: Imediatas são aquelas em que os 
pagamentos/recebimentos se iniciam imediatamente no começo ou final do primeiro 
período sem a exigência de carências. Caso os pagamentos se iniciem após o primeiro 
período, a série de renda será Diferida. 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
43
5. Quanto ao vencimento dos termos da anuidade de rendas aleatórias: 
Série de Rendas Aleatórias Antecipadas/Postecipadas: Antecipadas são aquelas em que 
o vencimento dos pagamentos/recebimentos se dará no início de cada período. Caso o 
vencimento se dê no final de cada período, a série de renda será Postecipada. 
 
O quadro abaixo demonstra, de forma resumida, a classificação das séries de rendas 
aleatórias, sendo que os títulos que serão desenvolvidos neste estudo aparecem sob grifos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rendas 
 
Aleatórias 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
Temporárias 
 
Vitalícias 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
Periódicas 
 
Não 
Periódicas 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
Constantes
 
 
Variáveis 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
Imediatas 
 
Diferidas 
 
{
 
{
 
 
 
Antecipadas 
Postecipadas 
 
 
 
Antecipadas 
Postecipadas 
 
Com base na classificação acima, podemos definir em linguagem corrente cada uma das 
funções de renda aleatória, de forma similar, às funções de renda certa. Entretanto trabalharemos as 
expressões “Valor Atual” e “Prêmio Único Puro”, que são usuais, para definir referidas funções. 
Transcrevemos, na seqüência, algumas funções atuariais de rendas aleatórias com as respectivas 
simbologias e definições. 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
44
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RENDAS ALEATÓRIAS CONSIDERANDO UMA VIDA 
 
SIMBOLOGIA E DEFINIÇÃO 
 
Valores Atuais e Prêmios Únicos Puros unitários- PUP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
45
 
Rendas Aleatórias – Simbologia e Definição 
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
1 Dotal Puro xn E 
Capital Diferido, Esperança matemática de um 
desembolso, Fator de desconto Atuarial ou: 
Prêmio Único Puro para a garantia de uma unidade 
de capital pagável a “x” caso sobreviva à “x+n”. 
xn
n
xn pvE ⋅= 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
( ) x
nx
nxn l
l
i
E +⋅+= 1
1 
xn
n
xn pvE ⋅= 
0
x
...
1 2 43
npx
n-2 n-1 n
vn
...
1,00
x+n
xnE
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
46
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
2 Temporária Imediata Antecipada nx
ä
:
 
Valor atual de uma série de rendas pagáveis a “x”, 
no inicio de cada ano, enquanto viver, mas no 
máximo durante “n” anos. 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária 
temporária de “n” anos, periódica, constante, 
imediata e antecipada sobre a vida de “x”. 
∑−
=
⋅=
1
0
:
n
h
xh
h
nx
pvä 
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
xn
n
xn
n
xxxxxnx
pvpvpvpvpvpvpvä 1
1
2
2
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
:
... −
−
−
− ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= 
∑−
=
⋅=
1
0
:
n
h
xh
h
nx
pvä 
0
x
v0
0px n-1px3px 4px n-2px
v3 v4
1,00
1 2
1,00 1,00 1,00 1,00
1px 2px
v1 v2 vn-1
3 4 n-2 n-1
...
...
...
vn-2
... n
x+n
1,00 1,00
nx
ä
:
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
47
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
3 Temporária Imediata Postecipada nx
a
:
 
Valor atual de uma série de rendas pagáveis a “x”, 
no final de cada ano, enquanto viver, mas no máximo 
durante “n” anos. 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária 
temporária de “n” anos, periódica, constante, 
imediata e postecipada e sobre a vida de “x”. 
∑
=
⋅=
n
h
xh
h
nx
pva
1
:
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
xn
n
xn
n
xn
n
xxxxnx
pvpvpvpvpvpvpva ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅= −−−− 112244332211: ... 
∑
=
⋅=
n
h
xh
h
nx
pva
1
:
0
x
npxn-2px n-1px
...
...1px 2px 3px 4px
x+n...
v1 v2 v3 v4 vn-2 vn-1 vn
1 2 3
...
4 ... n-2 n-1 n
1,001,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
nx
a
:
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
48
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
4 Temporária Diferida Antecipada nxm
ä
:/
 
Valor atual de uma série de rendas pagáveis a 
“x” a partir da idade “x+m”, no inicio de cada 
ano, enquanto viver, mas no máximo durante 
“n” anos. 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, 
temporária de “n” anos, periódica, constante, 
diferida de “m” anos e antecipada sobre a vida 
de “x”. 
∑−
=
+
+ ⋅=
1
0
:/
n
h
xhm
hm
nxm
pvä 
Fluxo Financeiro: 
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
xnm
nm
xnm
nm
xm
m
xm
m
xm
m
nxm
pvpvpvpvpvä 1
1
2
2
2
2
1
1
:/
... −+
−+
−+
−+
+
+
+
+ ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅= 
∑−+
=
⋅=
1
:/
nm
mh
xh
h
nxm
pvä 
∑−
=
+
+ ⋅=
1
0
:/
n
h
xhm
hm
nxm
pvä 
0
x
1,00 1,001,00
m-11 2 3
vm+2 ...
m+n-2pxmpx m+1px m+2px 
vm+n-2vm vm+1
...
... m-2 m m+1
...
...m+2 m+n-1 m+n
x+m+n
1,00 1,00
m+n-2
vm+n-1
m+n-1px
...
...
nxm
ä
:/
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
49
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
5 Temporária Diferida Postecipada nxm
a
:/
 
Valor atual de uma série de rendas pagáveis a 
“x” a partir da idade “x+m”, no final de cada 
ano, enquanto viver, mas no máximo durante 
“n” anos. 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, 
temporária de “n” anos, periódica, constante, 
diferida de “m” anos e postecipada sobre a vida 
de “x”. 
∑
=
+
+ ⋅=
n
h
xhm
hm
nxm
pva
1
:/
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
xnm
nm
xnm
nm
xnm
nm
xm
m
xm
m
nxm
pvpvpvpvpva +
+
−+
−+
−+
−+
+
+
+
+ ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅= 11222211:/ ... 
∑+
+=
⋅=
nm
mh
xh
h
nxm
pva
1
:/
 
∑
=
+
+ ⋅=
n
h
xhm
hm
nxm
pva
1
:/
 
0
x
1,00
vm+n
m+npx
vm+n-2 vm+n-1
m+n-1px
m+n-2 m+n-1 m+n
m+1px m+2px m+n-2px
... x+m+n
1 2 3 ... m+1
1,00 1,00
... ...
1,00 1,00
vm+1
m-2 m-1 m
vm+2
m+2
nxm
a
:/
ATUÁRIABÁSICA 
 
 
 
50
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
6 Vitalícia Imediata Antecipada xä 
Valor atual de uma série rendas pagáveis a “x” no 
inicio de cada ano e enquanto viver. 
 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, , 
vitalícia, periódica, constante, imediata e antecipada 
sobre a vida de “x”. 
∑∞
=
⋅=
0h
xh
h
x pvä 
Fluxo Financeiro: 
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
...9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= xxxxxxxxxxx pvpvpvpvpvpvpvpvpvpvä 
∑∞
=
⋅=
0h
xh
h
x pvä
0
x
v0
0px ...8px 9px
... ... ... ...
9 ...
...
v8 v9
...
...
1,001,00
5px 6px 7px
1,00
1px 2px 3px 4px
...
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
x+1 x+2 x+3 ...
5 6 7 81 2 3 4
1,00 1,001,00 1,00 1,00 1,00 1,00
xä
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
51
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
7 Vitalícia Imediata Postecipada xa 
Valor atual de uma série rendas pagáveis a “x” no 
final de cada ano e enquanto viver. 
 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, 
vitalícia, periódica, constante, imediata e postecipada 
sobre a vida de “x”. 
∑∞
=
⋅=
1h
xh
h
x pva 
Fluxo Financeiro: 
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
...9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= xxxxxxxxxx pvpvpvpvpvpvpvpvpva 
∑∞
=
⋅=
1h
xh
h
x pva
0
x
9px ...
v9 ...
1px 2px 3px 4px 5px 6px 7px 8px
... ...
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8
9 ...
x+1 x+2 x+3 ... ... ... ... ...
5 6 7 81 2 3 4
1,00
...
1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
xa
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
52
 
N. º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
8 Vitalícia Diferida Antecipada xm ä/ 
Valor atual de uma série rendas pagáveis a “x” no 
início de cada ano, enquanto viver, mas a partir da 
idade “x+m”. 
 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, 
vitalícia, periódica, constante, diferida de m anos, e 
antecipada sobre a vida de “x”. 
xhm
h
hm
xm pvä +
∞
=
+ ⋅= ∑
0
/
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
...3
3
2
2
1
1
/ +⋅+⋅+⋅+⋅= ++++++ xmmxmmxmmxmmxm pvpvpvpvä 
xh
mh
h
xm pvä ⋅= ∑∞
=
/ 
xhm
h
hm
xm pvä +
∞
=
+ ⋅= ∑
0
/
0
x
...
...
...
mpx m+1px m+2px m+3px
...
vm vm+1 vm+2 vm+3
...
x+1 x+2 x+3 ... ... ... ... ... ...
...
1 2 3 ... m-1 m m+1 m+2 m+3
1,00 1,00 1,00 1,00
xm ä/
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
53
 
N.º Tipo de Renda Aleatória Simbologia Definição Fórmula 
9 Vitalícia Diferida Postecipada xm a/ 
Valor atual de uma série rendas pagáveis a “x” no 
final de cada ano, enquanto viver, mas a partir da 
idade “x+m”. 
 
Prêmio Único Puro de renda anual, unitária, 
vitalícia, periódica, constante, diferida de m anos, e 
postecipada sobre a vida de “x”. 
xhm
h
hm
xm pva +
∞
=
+ ⋅= ∑
1
/
 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
...3
3
2
2
1
1
/ +⋅+⋅+⋅= ++++++ xmmxmmxmmxm pvpvpva 
xh
mh
h
xm pva ⋅= ∑∞
+= 1
/ 
xhm
h
hm
xm pva +
∞
=
+ ⋅= ∑
1
/ 
 
0
x
1,00 1,00 1,00
...
1 2 3 ... m-1 m m+1 m+2 m+3 ...
x+1 x+2 x+3 ... ... ... ... ... ... ...
vm+1 vm+2
m+3px ...
...
vm+3 ...
m+1px m+2px
xm a/
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
54
SEGUROS PAGÁVEIS POR FALECIMENTO CONSIDERANDO UMA VIDA – 
SIMBOLOGIA E DEFINIÇÕES 
Os seguros pagáveis por falecimento mais comuns são: 
• Seguro Ordinário Vida (imediato ou diferido) 
• Seguro temporário de “n” anos (imediato ou diferido) 
Serão abordados apenas os seguros imediatos, cuja cobertura se inicia no momento da 
contratação, sem quaisquer diferimentos. 
Transcrevemos algumas funções atuariais de seguros pagáveis por falecimento com as 
respectivas simbologias e definições. 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
55
Seguros Pagáveis por Falecimento – Simbologia e Definição 
N.º Tipo de Seguro por Morte Simbologia Definição Fórmula 
10 Seguro Ordinário Vida xA 
Valor Atual da unidade de capital pagável no final do 
ano em que “x” venha a falecer, qualquer que seja a 
época. 
 
Premio Único Puro de um Seguro Ordinário Vida. 
∑∞
=
+ ⋅=
0
/
1
h
xh
h
x qvA 
Fluxo Financeiro: 
 
Desenvolvimento da Fórmula: 
.../5
6
/4
5
/3
4
/2
3
/1
2
/0
1 ++++++= xxxxxxx qvqvqvqvqvqvA 
∑∞
=
−⋅=
1
/1
h
xh
h
x qvA 
∑∞
=
+ ⋅=
0
/
1
h
xh
h
x qvA 
0
x
8/qx
Morte = 1,00 
...
v1 ...v2 v3 v4 v5 v7v6 v8 v9
x+9 ...
0/qx 1/qx 2/qx 3/qx 4/qx 5/qx 6/qx 7/qx
9 ...
x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 x+7 x+8
5 6 7 81 2 3 4
...
xA
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
56
 
N.º Tipo de Seguro por Morte Simbologia Definição Fórmula 
11 Seguro Temporário de “n” anos nx
A
:
' 
Valor Atual da unidade de capital pagável no 
final do ano em que “x” venha a falecer, 
qualquer que seja a época do óbito, mas desde 
que antes da idade “x + n”. 
 
Prêmio Único Puro de um Seguro Temporário de 
“n” anos. 
xh
n
h
h
nx
qvA /
1
0
1
:
' ⋅= ∑−
=
+ 
Fluxo Financeiro: 
Desenvolvimento da Fórmula: 
xn
n
xn
n
xn
n
xxxxnx
qvqvqvqvqvqvqvA /1/2
1
/3
2
/3
4
/2
3
/1
2
/0
1
:
...' −−
−
−
− ⋅+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+⋅= 
xh
n
h
h
nx
qvA /1
1
:
' −
=
⋅= ∑ 
xh
n
h
h
nx
qvA /
1
0
1
:
' ⋅= ∑−
=
+ 
0
x x+n-1
n-1/qx
vn
 Morte = 1,00 ...
... n-3/qx
... x+n-2
n-2/qx0/qx 2/qx 3/qx1/qx
v1 v2 v3 v4 ... vn-2 vn-1
x+1 x+2 x+3 x+4 x+n
1 2 3 4 ... n-2 n-1 n
nx
A
:
'
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
57 
4. Exercícios – Rendas Aleatórias 
4.1. Calcular o prêmio único puro (PUP) para uma pessoa de 35 anos que deseja receber, ela 
própria, R$ 500.000,00 aos 65 anos, utilizando a taxa de juros de 6% a.a. e a tábua de 
mortalidade AT – 49. Esboce o gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
4.2. Uma pessoa de 35 anos contratou um plano onde a seguradora garante o capital segurado 
de R$ 100.000,00 caso esta pessoa esteja viva aos 50 anos, R$ 200.000,00 caso esteja viva 
aos 60 anos e R$ 300.000,00 caso esteja viva aos 65 anos. Sabendo-se que a seguradora 
opera com a tábua AT – 49 e taxa de juros de 6% a.a., calcular o prêmio único puro (PUP) a 
ser pago pelo participante segurado para obter esta cobertura. Esboce o gráfico do fluxo 
financeiro. 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
58
4.3. Quanto deveria ter sido cobrado, à vista [prêmio único puro], em 02/01/2002, para 
garantir a uma pessoa de idade 105, imediatamente, uma renda anual vitalícia no valor de 
R$ 15.600,00 a ser paga no começo de cada ano? Usar as bases técnicas: i = 6% a.a. e tábua 
AT – 49. Esboce o gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4. Considerando os dados do exercício anterior, calcule o valor do prêmio, caso a pessoa 
tivesse 60 anos. Esboce o gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
59
4.5. Uma pessoa de 95 anos quer contratar a cobertura de um pecúlio por morte, cujo Capital 
Segurado (CS) equivale a R$ 100.000,00 e será pago ao beneficiário no final do ano em que 
o segurado vier a falecer, qualquer que seja a época. Com base na experiência da tábua 
CSO 58 e taxa de juros de 6% a.a., calcule o Prêmio Único Puro (PUP) deste pecúlio. Fazer 
o esboço do gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6. Uma pessoa de 35 anos quer contratar a cobertura de um pecúlio por morte, cujo Capital 
Segurado (CS) equivale a R$ 100.000,00e será pago ao beneficiário no final do ano em que 
o segurado vier a falecer, qualquer que seja a época. Com base na experiência da tábua 
CSO 58 e taxa de juros de 6% a.a., calcule o Prêmio Único Puro (PUP) deste pecúlio. Fazer 
o esboço do gráfico do fluxo financeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
60
COMUTAÇÕES 
O cálculo das comutações foi desenvolvido para simplificar o cálculo atuarial e consiste 
em substituir a expressão de somatório da série por outra expressão equivalente. Esta nova 
expressão, sob a forma de quociente – denominada fórmula de comutação – nos permitirá 
determinar o valor atual [ou o valor do prêmio único puro] da função atuarial, mediante o uso da 
tábua de comutação e da tabela de comutação. 
 
Tabela de Comutação 
 
Cada uma das funções atuariais de renda por sobrevivência e de seguros pagáveis por 
falecimento tem a sua respectiva fórmula de comutação, que é deduzida algebricamente. Para efeito 
deste trabalho utilizaremos as seguintes simbologia, que se aplicam às comutações das funções 
atuariais estudadas: 
Para as rendas por sobrevivência 
x
x
x
x
x
x
x lii
llvD .)1(
)1(
−+=+=⋅=
∑∑ ∞
=
+
+∞
=
+ ⋅==
00 h
hx
hx
h
hxx lvDN 
 
Para os seguros pagáveis 
por falecimento 
x
x
x
x
x
x
x lii
llvD .)1(
)1(
−+=+=⋅= 
x
x
x dvC ⋅= +1 
∑∑ ∞
=
+
++∞
=
+ ⋅==
0
1
0 h
hx
hx
h
hxx dvCM 
 
As fórmulas de comutação das funções atuariais quando transcritas em tabela apropriada 
formam a Tabela de Comutação. A título de exemplo demonstraremos a dedução de apenas uma 
fórmula de comutação de valor atual de renda por sobrevivência e outra de comutação referente a 
seguro pagável por morte. 
Dedução da fórmula de comutação da Renda Aleatória Vitalícia Antecipada 
∑∞
=
⋅=
0h
xh
h
x pvä 
x
x
h x
hxh
x v
v
l
lvä ⋅⋅= ∑∞
=
+
0
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
61
x
x
h
hx
hx
x lv
lv
ä ⋅
⋅
=
∑∞
=
+
+
0 
x
x
x D
N
ä = 
 
Dedução da fórmula de comutação do Seguro “Ordinário Vida” Pagável por Falecimento 
∑∞
=
+ ⋅=
0
/
1
h
xh
h
x qvA 
∑∞
=
−
−+ ⋅=
1
/1
11
h
xh
h
x qvA 
∑∞
=
−+ ⋅⋅=
1
1
h
x
x
x
hxh
x v
v
l
dvA 
∑∞
=
−+
+
⋅
⋅=
1
1
h x
x
hx
hx
x lv
dvA 
x
x
h
hx
hx
x lv
dv
A ⋅
⋅
=
∑∞
=
−+
+
1
1
 
x
x
h
hx
hx
x lv
dv
A ⋅
⋅
=
∑∞
=
+
++
0
1
 
x
h
hx
x D
C
A
∑∞
=
+
= 0 
x
x
x D
M
A = 
O quadro a seguir apresenta as simbologias e fórmulas pelo somatório de cada uma das 
funções atuariais tratadas até agora, bem como as respectivas fórmulas de comutação que formam 
tabela de comutação: 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
62
 
RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA E SEGUROS POR MORTE 
N° SIMBOLO FÓRMULAS POR SOMATÓRIO 
TABELA DE COMUTAÇÃO 
(FÓRMULAS DE COMUTAÇÃO)
01 xn E xn
n
xn pvE ⋅= 
x
nx
xn D
D
E += 
02 nxä : ∑−
=
⋅=
1
0
:
n
h
xh
h
nx
pvä 
x
nxx
nx D
NN
ä +
−=
:
 
 
03 nx
a
:
 ∑
=
⋅=
n
h
xh
h
nx
pva
1
:
 
x
nxx
nx D
NN
a 11
:
+++ −= 
04 nxm ä :/ ∑−
=
+
+ ⋅=
1
0
:/
n
h
xhm
hm
nxm
pvä 
x
nmxmx
nxm D
NN
ä +++
−=
:/
 
05 nxm a :/ ∑
=
+
+ ⋅=
n
h
xhm
hm
nxm
pva
1
:/
 
x
nmxmx
nxm D
NN
a 11
:/
+++++ −= 
06 xä ∑∞
=
⋅=
0h
xh
h
x pvä 
x
x
x D
N
ä = 
07 xa ∑∞
=
⋅=
1h
xh
h
x pva 
x
x
x D
N
a 1+= 
08 xm ä/ xhm
h
hm
xm pvä +
∞
=
+ ⋅= ∑
0
/ 
x
mx
xm D
N
ä +=/ 
09 xm a/ xhm
h
hm
xm pva +
∞
=
+ ⋅= ∑
1
/ 
x
mx
xm D
N
a 1/
++= 
10 xA ∑∞
=
+ ⋅=
0
/
1
h
xh
h
x qvA 
x
x
x D
M
A = 
11 nxA :' xh
n
h
h
nx
qvA /
1
0
1
:
' ⋅= ∑−
=
+ 
x
nxx
nx D
MM
A +
−=
:
' 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
63
 
Tábua de Comutação 
 
A tábua de comutação pode ser construída utilizando-se fórmulas e as bases técnicas 
inerentes aos riscos (taxas de juros, tábuas biométricas, etc.) de cada cobertura securitária (rendas 
por sobrevivência e seguros pagáveis por morte), observando-se os seguintes lay out. Referidas 
fórmulas são expressas por: 
 
 
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: Tábua, i = % a.a. 
x qx lx Dx Nx 
0 ... ... ... ... 
1 ... ... ... ... 
2 ... ... ... ... 
... ... ... ... ... 
 
x
x
x
x
x
x
x lii
l
lvD .)1(
)1(
−+=+=⋅= 
∑∞
=
+=
0h
hxx DN 
 
 
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - SEGUROS PAGÁVEIS POR MORTE 
Bases Técnicas: Tábua, i = % a.a. 
x qx lx dx Dx Cx Mx 
0 ... ... ... ... ... ... 
1 ... ... ... ... ... ... 
2 ... ... ... ... ... ... 
... ... ... ... ... ... ... 
x
x
x
x
x
x
x lii
l
lvD .)1(
)1(
−+=+=⋅= 
x
x
x dvC ⋅= +1 
∑∞
=
+=
0h
hxx CM 
 
 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
64
• TÁBUA DE COMUTAÇÃO – EXEMPLOS 
• EXEMPLO 1 - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 83 MALES, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
5 0,000377 10.000.000 7.472.581,7 128.934.375 
6 0,000350 9.996.230 7.046.947,7 121.461.793 
7 0,000333 9.992.731 6.645.737,0 114.414.845 
8 0,000352 9.989.404 6.267.475,5 107.769.108 
9 0,000368 9.985.887 5.910.631,5 101.501.633 
10 0,000382 9.982.213 5.574.015,4 95.591.001 
11 0,000394 9.978.399 5.256.496,4 90.016.986 
12 0,000405 9.974.468 4.957.005,0 84.760.489 
13 0,000415 9.970.428 4.674.525,9 79.803.484 
14 0,000425 9.966.291 4.408.099,9 75.128.959 
15 0,000435 9.962.055 4.156.817,4 70.720.859 
16 0,000446 9.957.721 3.919.820,0 66.564.041 
17 0,000458 9.953.280 3.696.294,1 62.644.221 
18 0,000472 9.948.722 3.485.472,9 58.947.927 
19 0,000488 9.944.026 3.286.629,9 55.462.454 
20 0,000505 9.939.173 3.099.081,2 52.175.824 
21 0,000525 9.934.154 2.922.185,0 49.076.743 
22 0,000546 9.928.938 2.755.331,0 46.154.558 
23 0,000570 9.923.517 2.597.949,6 43.399.227 
24 0,000596 9.917.861 2.449.498,9 40.801.277 
25 0,000622 9.911.950 2.309.470,7 38.351.779 
26 0,000650 9.905.785 2.177.390,8 36.042.308 
27 0,000677 9.899.346 2.052.807,1 33.864.917 
28 0,000704 9.892.644 1.935.299,4 31.812.110 
29 0,000731 9.885.680 1.824.468,8 29.876.811 
30 0,000759 9.878.453 1.719.938,8 28.052.342 
31 0,000786 9.870.955 1.621.352,2 26.332.403 
32 0,000814 9.863.197 1.528.375,3 24.711.051 
33 0,000843 9.855.168 1.440.689,8 23.182.676 
34 0,000876 9.846.860 1.357.995,6 21.741.986 
35 0,000917 9.838.234 1.280.005,6 20.383.990 
36 0,000968 9.829.213 1.206.445,2 19.103.984 
37 0,001032 9.819.698 1.137.054,1 17.897.539 
38 0,001114 9.809.564 1.071.585,5 16.760.485 
39 0,001216 9.798.636 1.009.803,5 15.688.900 
40 0,001341 9.786.721 951.486,44 14.679.096 
41 0,001492 9.773.597 896.425,00 13.727.610 
42 0,001673 9.759.015 844.422,20 12.831.185 
43 0,001886 9.742.688 795.291,96 11.986.763 
44 0,002129 9.724.313 748.860,42 11.191.471 
45 0,002399 9.703.610 704.968,01 10.442.610 
46 0,002693 9.680.331 663.468,67 9.737.642,2 
47 0,003009 9.654.262 624.228,26 9.074.173,5 
48 0,003343 9.625.213 587.122,60 8.449.945,2 
49 0,003694 9.593.035 552.037,59 7.862.822,6 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
65
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 83 MALES, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
50 0,004057 9.557.599 518.866,38 7.310.785,0 
51 0,004431 9.518.824 487.510,70 6.791.918,7 
52 0,004812 9.476.646 457.877,87 6.304.408,0 
53 0,005198 9.431.044 429.881,66 5.846.530,1 
54 0,005591 9.382.022 403.440,69 5.416.648,4 
55 0,005994 9.329.567378.476,47 5.013.207,7 
56 0,006409 9.273.645 354.913,09 4.634.731,3 
57 0,006839 9.214.210 332.677,79 4.279.818,2 
58 0,007290 9.151.194 311.700,57 3.947.140,4 
59 0,007782 9.084.482 291.913,47 3.635.439,8 
60 0,008338 9.013.787 273.246,98 3.343.526,4 
61 0,008983 8.938.630 255.630,80 3.070.279,4 
62 0,009740 8.858.334 238.994,78 2.814.648,6 
63 0,010630 8.772.054 223.270,73 2.575.653,8 
64 0,011664 8.678.807 208.393,73 2.352.383,1 
65 0,012851 8.577.577 194.304,74 2.143.989,3 
66 0,014199 8.467.347 180.950,69 1.949.684,6 
67 0,015717 8.347.119 168.284,31 1.768.733,9 
68 0,017414 8.215.927 156.263,58 1.600.449,6 
69 0,019296 8.072.855 144.851,32 1.444.186,0 
70 0,021371 7.917.081 134.015,35 1.299.334,7 
71 0,023647 7.747.886 123.727,65 1.165.319,3 
72 0,026131 7.564.671 113.964,02 1.041.591,7 
73 0,028835 7.366.999 104.703,80 927.627,68 
74 0,031794 7.154.571 95.928,929 822.923,88 
75 0,035046 6.927.099 87.621,665 726.994,95 
76 0,038631 6.684.332 79.764,977 639.373,28 
77 0,042587 6.426.109 72.342,996 559.608,31 
78 0,046951 6.152.441 65.341,628 487.265,31 
79 0,051755 5.863.577 58.748,842 421.923,68 
80 0,057026 5.560.108 52.554,996 363.174,84 
81 0,062791 5.243.037 46.752,825 310.619,84 
82 0,069081 4.913.822 41.336,952 263.867,02 
83 0,075908 4.574.370 36.303,164 222.530,07 
84 0,083230 4.227.139 31.648,550 186.226,90 
85 0,090987 3.875.314 27.372,115 154.578,35 
86 0,099122 3.522.711 23.473,215 127.206,24 
87 0,107577 3.173.533 19.949,531 103.733,02 
88 0,116316 2.832.134 16.795,680 83.783,492 
89 0,125394 2.502.711 14.001,956 66.987,813 
90 0,134887 2.188.886 11.553,014 52.985,857 
91 0,144873 1.893.634 9.428,9269 41.432,843 
92 0,155429 1.619.297 7.606,5377 32.003,916 
93 0,166629 1.367.612 6.060,6238 24.397,378 
94 0,178537 1.139.728 4.764,8567 18.336,754 
95 0,191214 936.244 3.692,5976 13.571,898 
96 0,204721 757.221 2.817,4729 9.879,2999 
97 0,219120 602.202 2.113,8462 7.061,8270 
98 0,234735 470.248 1.557,2267 4.947,9808 
99 0,251889 359.864 1.124,2368 3.390,7541 
100 0,270906 269.218 793,44712 2.266,5173 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
66
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 83 MALES, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
101 0,292111 196.285 545,75239 1.473,0702 
102 0,315826 138.948 364,46426 927,31778 
103 0,342377 95.065 235,24242 562,85352 
104 0,372086 62.517 145,94418 327,61110 
105 0,405278 39.255 86,453201 181,66692 
106 0,442277 23.346 48,505302 95,213721 
107 0,483406 13.021 25,521248 46,708418 
108 0,528989 6.726 12,437852 21,187170 
109 0,579351 3.168 5,52675970 8,74931812 
110 0,634814 1.333 2,19323202 3,22255842 
111 0,695704 487 0,75560154 1,02932640 
112 0,762343 148 0,21691182 0,27372486 
113 0,835056 35 0,04863265 0,05681304 
114 0,914167 6 0,00756761 0,00818039 
115 1,000000 0 0,00061278 0,00061278 
• EXEMPLO 2 - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 49, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
0 0,00404 100.000 100.000,0000 1.714.369,3197 
1 0,00158 99.596 93.958,4906 1.614.369,3197 
2 0,00089 99.439 88.500,0341 1.520.410,8292 
3 0,00072 99.350 83.416,2916 1.431.910,7951 
4 0,00063 99.279 78.637,9546 1.348.494,5035 
5 0,00057 99.216 74.140,0119 1.269.856,5489 
6 0,00053 99.160 69.903,5398 1.195.716,5370 
7 0,0005 99.107 65.911,7838 1.125.812,9972 
8 0,00049 99.057 62.149,8377 1.059.901,2134 
9 0,00048 99.009 58.603,1927 997.751,3757 
10 0,00048 98.961 55.259,4936 939.148,1830 
11 0,00049 98.914 52.106,5745 883.888,6894 
12 0,0005 98.865 49.133,0588 831.782,1149 
13 0,00051 98.816 46.328,7663 782.649,0561 
14 0,00052 98.766 43.684,0930 736.320,2898 
15 0,00054 98.714 41.189,9786 692.636,1968 
16 0,00055 98.661 38.837,4868 651.446,2182 
17 0,00057 98.607 36.618,9870 612.608,7314 
18 0,00058 98.550 34.526,5228 575.989,7444 
19 0,0006 98.493 32.553,2994 541.463,2217 
20 0,00062 98.434 30.692,2334 508.909,9222 
21 0,00065 98.373 28.936,9851 478.217,6888 
22 0,00067 98.309 27.281,2982 449.280,7037 
23 0,0007 98.243 25.719,8299 421.999,4055 
24 0,00073 98.175 24.247,0057 396.279,5755 
25 0,00077 98.103 22.857,8353 372.032,5698 
26 0,00081 98.027 21.547,3913 349.174,7345 
27 0,00085 97.948 20.311,2622 327.627,3433 
28 0,0009 97.865 19.145,2807 307.316,0811 
29 0,00095 97.777 18.045,3302 288.170,8004 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
67
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 49, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
30 0,001 97.684 17.007,7237 270.125,4702 
31 0,00107 97.586 16.028,9773 253.117,7465 
32 0,00114 97.482 15.105,4965 237.088,7692 
33 0,00121 97.370 14.234,2229 221.983,2726 
34 0,0013 97.253 13.412,2637 207.749,0497 
35 0,00139 97.126 12.636,6299 194.336,7861 
36 0,00149 96.991 11.904,7783 181.700,1561 
37 0,00161 96.847 11.214,1889 169.795,3778 
38 0,00173 96.691 10.562,3906 158.581,1890 
39 0,00187 96.524 9.947,2808 148.018,7984 
40 0,00203 96.343 9.366,6787 138.071,5176 
41 0,00222 96.147 8.818,5512 128.704,8389 
42 0,00248 95.934 8.300,9189 119.886,2877 
43 0,0028 95.696 7.811,6346 111.585,3688 
44 0,00319 95.428 7.348,8321 103.773,7342 
45 0,00363 95.124 6.910,7446 96.424,9022 
46 0,00412 94.778 6.495,9043 89.514,1576 
47 0,00466 94.388 6.102,9634 83.018,2532 
48 0,00525 93.948 5.730,6826 76.915,2898 
49 0,00588 93.455 5.377,9213 71.184,6072 
50 0,00656 92.905 5.043,6784 65.806,6859 
51 0,00728 92.296 4.726,9735 60.763,0075 
52 0,00804 91.624 4.426,9444 56.036,0340 
53 0,00884 90.887 4.142,7847 51.609,0896 
54 0,00968 90.084 3.873,7382 47.466,3049 
55 0,01057 89.212 3.619,0947 43.592,5667 
56 0,01149 88.269 3.378,1518 39.973,4719 
57 0,01246 87.255 3.150,3178 36.595,3201 
58 0,01348 86.167 2.934,9668 33.445,0024 
59 0,01454 85.006 2.731,5127 30.510,0356 
60 0,01566 83.770 2.539,4307 27.778,5229 
61 0,01687 82.458 2.358,1728 25.239,0922 
62 0,0182 81.067 2.187,1608 22.880,9194 
63 0,01967 79.592 2.025,8061 20.693,7586 
64 0,02128 78.026 1.873,5457 18.667,9525 
65 0,02307 76.366 1.729,8837 16.794,4068 
66 0,02503 74.604 1.594,3163 15.064,5231 
67 0,02719 72.737 1.466,4250 13.470,2069 
68 0,02958 70.759 1.345,8047 12.003,7818 
69 0,0322 68.666 1.232,0715 10.657,9772 
70 0,03509 66.455 1.124,9045 9.425,9057 
71 0,03827 64.123 1.023,9921 8.301,0012 
72 0,04177 61.669 929,0603 7.277,0091 
73 0,04562 59.093 839,8617 6.347,9489 
74 0,04985 56.397 756,1766 5.508,0871 
75 0,0545 53.586 677,8125 4.751,9105 
76 0,05961 50.665 604,5959 4.074,0980 
77 0,06522 47.645 536,3736 3.469,5021 
78 0,07137 44.538 473,0106 2.933,1285 
79 0,07811 41.359 414,3886 2.460,1179 
80 0,0855 38.129 360,3969 2.045,7293 
ATUÁRIA BÁSICA 
 
 
 
68
TÁBUA DE COMUTAÇÃO - RENDAS POR SOBREVIVÊNCIA 
Bases Técnicas: AT 49, i = 6% a.a. 
x qx lx Dx Nx 
81 0,09359 34.869 310,9273