Todas as fórmulas para cálculo

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TURMA DO M˘RIO 
Álgebra 
 
Porcentagem 
 
Taxa percentual ou porcentagem de um número a sobre um número b, b é a razão 0≠
x
100
 tal que: x
100 b
= a , e se indica: x x%
100
= . 
A palavra porcentagem deriva de por (dividido) e centagem (100). Quando se fala x % de 
um número, significa multiplicar este número por x
100
. 
Exemplo: 15 % de 200 = 15 . 200 30
100
= . 
 
Potenciação 
 
Definições 
 
0
n n 1
 a R a 1
 a R e n N a a . a−
∀ ∈ ⇒ =
∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ =
 
 
Propriedades 
 
1. m n m na . a a +=
2. 
m
m n
n
a a ,a
a
−= ≠ 0
n
 
3. m n m . n(a ) a=
4. n n(a . b) a . b=
5. (a : b)n = an : bn , b 0≠
6. a – n = n
1 , a 0
a
≠ 
 
Nota: Em geral ( ) nnm ma a≠ 
 Em geral ( ) n n na b a b+ ≠ +
 
Radiciação 
 
Propriedades 
 
1. n na . b a . b= n 
2. n n na : b a : b , b 0= ≠ 
3. ( )m mnn a a= 
4. m n . mn a a= 
5. 
m
mn na a= 
6. n . p m . p mna a= 
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Produtos notáveis
(a + b) � (a – b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b + c)2 = a2+ b2 + c2 + 2 � (ab + ac + bc)
Fatoração
ab + ac = a � (b + c)
ab + ac + db + dc = a � (b + c) + d � (b + c) = (b +c) � (a + d)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
ax2 + bx + c = a.(x – �1) � (x – �2), onde �1 e �2 são as raízes de ax
2 + bx + c = 0.
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3
a3 + b3 = (a + b) � (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) � (a2 + ab + b2)
a2 + b2 +c2 + 2 � (ab + ac + bc) = (a + b + c)2
Números naturais
Números primos: Um número natural e maior que 1 é primo se ele tiver apenas dois
divisores naturais distintos: 1 e ele mesmo.
Números primos entre si: Dois números naturais são primos entre si se o único divisor
natural comum entre eles for 1.
Quantidade de divisores naturais de um número natural
Se n = ap.bq.cr.ds..., então n tem (p+1) � (q+1) � (r+1)... divisores positivos, sendo n um
número natural e a, b, c, d, ... fatores primos do número n.
Seqüências
Definições
Seqüência real é toda função f : I � R, onde I = N* ou I = {1, 2, 3, ... ..., n}
Se I = N*, a seqüência é chamada infinita.
Se I = {1, 2, 3, ... ..., n} , a seqüência é chamada finita.
2
Progressão Aritmética (PA)
Definição
Progressão aritmética (PA) é toda seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo
encontramos os demais somando ao anterior um valor fixo r chamado de razão da PA.
Conseqüência da definição: r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... ... = a n+1 – a n = r
Classificação das PA´s
Uma PA de números reais pode ser:
I.crescente: (razão positiva): r >0 � a n+1 > a n
II.decrescente (razão negativa): r < 0 � a n+1 < a n
III. constante (razão nula): r = 0 � a n+1 = a n
Fórmula do termo geral de uma PA
Termos eqüidistantes em PA
Na PA genérica: PA(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), tem-se:
Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA(a1, a2, a3,... ..., an,......) , a soma de seus n primeiros termos é dada por:
3
Seja a PA(a1, a2, a3, ... ... an). Então:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = a1 + (n – 1) � r, n� N*
an = ap + (n – p) � r, n,p� N*
a
a a
2p
p k p k
�
	
 	 com p, k� IN*
S
(a a ) n
2n
1 n
�
	 �
Progressão Geométrica (PG)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é
igual ao produto do termo anterior por uma constante q, que é chamada razão da P.G.
Conseqüência da definição:
Se an � 0, então q =
a
a
n 1
n
	 ; ou seja, encontramos a razão da PG dividindo um termo
qualquer pelo seu antecessor.
Classificação das PG´s:
Uma PG pode ser:
I.Crescente: quando an+1 > an
Exemplo: PG(1, 2, 4, 8, 16, ...), q = 2
II.Decrescente: quando an+1 < an
Exemplo: PG(81, 27, 9, 3, 1, ...), q = 1/3
III.Constante: quando an+1 = an
Exemplo: PG(2, 2, 2, 2, 2, ...), q = 1
IV.Alternante: quando a1 � 0 e q < 0
Exemplo: PG(2, – 4, 8, – 16, 32, ...), a1 = 2 e q = –2
V. Não decrescente: quando a1 < 0 e q = 0
Exemplo: PG(– 2, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = – 2 e q = 0
VI.Não crescente: quando a1 > 0 e q = 0
Exemplo: PG(5, 0, 0, 0, 0, ...), a1 = 5 e q = 0
Fórmula do termo geral da PG
Termos eqüidistantes em PG
Na PG genérica: PG(a1, a2, a3,... ..., ap-1, ap, ap+1,... ...,an), então:
Produto dos n primeiros termos de uma PG (Pn)
4
Seja a PG genérica: PG(a1, a2, a3, a4, ......). Assim:
Conseqüência: Para obtermos um termo qualquer an, a partir de um termo de ordem p
(ap), poderemos utilizar a regra:
an = a1 �qn – 1, n� N*
an = ap �qn – p, n,p� N*
(ap)2 = (ap – k) � (ap + k), p,k� N*
Seja a PG(a1, a2, a3, ..., an, ..., .... ) indicaremos por Pn o produto de seus n primeiros
termos. Assim: Pn = a1n �q
n(n 1)
2
� 
ou Pn = (a1 � an)
n
2
Soma dos n primeiros termos de uma PG (Sn)
Soma dos termos de uma PG infinita (S)
Seja a P.G. = (a1, a2, a3, . . . , an, . . . ) de razão q e a soma de seus infinitos termos
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (série)
Quando lim S = S
n
n
��
existe e é finito, dizemos que a série converge para S.
Quando esse limite não existe ou não é finito dizemos que a série diverge (não se pode
determinar tal soma). Se – 1 < q < 1, pode-se demonstrar que: lim S = S
n
n
��
=
a
1 q
1
Função Exponencial
f(x) = ax ; a > 0 e a � 1 Imf = IR 	
*
Df = IR
Propriedades de potência
1. am . an = am + n
2. am : an = am – n , a � 0
3. (am)n = am .n
4. amn = am n, n� IN / n >1
5. a– n =
1
an
, a � 0
5
0
1
x
a > 1
função crescente
0 x
0 < a < 1
função decrescente
y y
Sn =
a (q 1)
q 1
1
n
� 
Sn = n � a1
Seja (a1, a2, a3, ..., an, ...) uma PG de razão q e indiquemos por Sn a soma de seus n
primeiros termos. Assim:
Se a PG não for constante, ou seja q � 1 teremos:
Se a PG for constante, ou seja q = 1 teremos:
Equação exponencial
af(x) = ag(x) � f(x) = g(x)
Inequação exponencial
af(x) > ag(x) � f(x) > g(x), se a >1
af(x) > ag(x) � f(x) < g(x), se 0 < a < 1
Logaritmo
Definição
logba = x � a = b
x com a > 0, 0 < b � 1
Propriedade de logaritmo
1. logc (a.b) = logca + logcb; a > 0, b > 0, 0 < c � 1
2. logc
a
b
�
�
�
�
�
= logca – logcb; a > 0, b > 0, 0 < c � 1
3. logc a
m = m . logca; a > 0, 0 < c � 1 e m� IR
4. log a
cm
=
1
m
. logca; a > 0, 0 < c � 1 e m� IR*
Função Logarítmica
f(x) = logax , a > 0 e a � 1 Imf = IR
Df = IR 	
*
6
0 01 1x x
a > 1
função crescente
0 < a < 1
função decrescente
y y
Geometria Plana
Relações métricas no triângulo retângulo
Relações métricas no círculo
PA � PB = PC � PD PA � PB = PC � PD (PT)2 = PA � PB
Lei dos
Lei dos cossenos
7
A
B
C
D
P
T
B
A
P
A
B
C
DP
h
m n
a
b c
h2=m � n b � c=a � h
b2=a � m a2=b2 + c2 (Pitágoras).
c2=a � n
a
sen
b
sen
c
sen
2R
� � �
� � �
a2 = b2 + c2 – 2 � b � c �cos �
b2 = a2 + c2 – 2 � a � c �cos �
c2 = a2 + b2 – 2 � a � b �cos �
Teorema de Tales
a1 // a2 // a3 // .....
Teorema da bissetriz interna
Teorema da bissetriz externa
Semelhança de triângulos
a
x
b
y
c
z
H
h
k� � � �
Área ABC
Área PQR
k2
�
�
�
8
AB
A'B'
BC
B'C'
CD
C'D'
AC
A'C'
AD
A'D'
� � � �
x y
b c
S
A
b
x
c
y
�
c
y
x
b c
C S
B
A
b
x
c
y
�
b
c
A
aB C
H y
z
P
xQ R
h
Arcos e ângulos
� = a � �
a
2
� �
a+b
2
� �
a – b
2
��
a
2
Razões trigonométricas
Comprimento da circunferência
Base média de triângulo
9
b
sen
b
a
� � sen
c
a
� �
cos
c
a
� � cos
b
a
� �
tg
b
c
� � tg
c
b
� �
R
C 2� �R
MN
�
// BC
�
MN =
BC
2
Base média de trapézio
Baricentro de triângulo
Polígonos convexos
Sendo n = número de lados;
d = número de diagonais;
Si = soma dos ângulos internos e
Se = soma dos ângulos externos,
temos: d=
n(n – 3)
2
Si = (n – 2) � 180ºe Se = 360º
Áreas
Retângulo Quadrado Paralelogramo
Triângulo Trapézio
10
MN
�
// AB
�
MN =
AB+CD
2
Losango 1 Losango 2
Fórmulas especiais para área do triângulo
A
3
4
�
�
2
A
b c
2
�
�
A p(p – a) (p – b)(p – c)� �
em que p
a b c
2
�
	 	
A
1
2
a b sen� � � � � A = r p A
a b c
4R
�
� �
p
a b c
2
�
	 	
Círculo
Setor circular
A
R2
�
� �� �
360º
A
R2
�
��
2
A
R
�
��
2
� em radianos
11
C
B A
(AC) (BD)
Los �
�
2
R
A R2� ��
Análise Combinatória / Probabilidades
Número binomial:
n
p
=
n!
p!(n – p)!
= C =
combinação de n objeto
n, p
�
�
�
�
�
�
�
s distintos
agrupados de p em p
�
�
�
�
�
�
�
Teorema binomial: (a + b)n =
n
0
�
�
�
�
�
�
�
anb0 +
n
1
�
�
�
�
�
�
�
an – 1b1 +. . .+
n
n
�
�
�
�
�
�
�
a0bn =
n
i
a b
i o
n
n–i i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Arranjo: An, p =
n!
(n – p)!
� n objetos distintos seqüenciados (enfileirados) de p em p
Permutação de n objetos distintos: Pn = n!
Probabilidade de ocorrer um evento =
n.o de elementos do conjunto evento
n.o de elementos do espaço amostral
=
n(A)
n(E)
= P(A)
probabilidade de ocorrer
o evento A
e em se
�
�
�
�
�
�
�
guida
ocorrer o
evento B
=
�
�
�
�
�
�
�
=
probabilidade de
ocorrer o evento A
x
prob
�
�
�
�
�
�
�
abilidade de
ocorrer o evento B
que A ocorsabendo reu
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� Teorema da multiplicação
Exemplo:
Conjuntos, Funções e Inequações
Relação
Considerando dois conjuntos A e B, não-vazios, chamamos relação (binária) de A e B a
qualquer subconjunto do produto cartesiano ( A x B = {(x; y) / x� A � x� B}).
Definição
Uma relação f de A em B é uma função de A em B, se, para todo x� A, existe um único y
� B tal que (x; y)� f. (Indica-se: f : A � B).
12
Permutação de elementos repetidos: Pn� � �, , =
n!
! ! !� � �
, � objetos iguais entre si
� objetos iguais entre si
� objetos iguais entre si
2 bolas azuis
5 bolas verdes
P
tirar uma bola azul e em
seguida uma bola azul
�
�
�
�
�
�
�
=
2
7
1
6
�
chance de retirar uma
bola azul sabendo que
já saiu uma azul
Exemplo Contra-exemplo
Tipos de função
Função crescente e decrescente
� Uma função f é crescente em A � Df � (x1 < x2 � f(x1) < f(x2), � x1, x2� A).
� Uma função f é decrescente em A � Df � (x1 < x2 � f(x1) > f(x2), � x1, x2� A).
Função injetora, sobrejetora e bijetora
� Uma f : A � B é injetora se todos os elementos distintos em A têm imagens distintas em
B (� x1, x2� A, x1 � x2 � f(x1) � f(x2)).
� Uma f : A � B é sobrejetora se todos os elementos de B são imagens de elementos de A
(Im(f) = CD(f) ou � y� B, � x� A / f(x) = y)
� Uma função de f : A � B é bijetora se é injetora e sobrejetora.
Exemplos:
Função par e ímpar
� Uma função f : A � B é par � � x� A, f(x) = f( – x).
� Uma função f : A � B é ímpar � � x� A, f(x) = – f( – x).
Função periódica
� Uma função f : A � B é periódica de período p � � x� A, f(x + p) = f(x), p > 0.
Função composta
� Dadas duas funções f e g, podemos obter uma outra função fog, tal que
fog(x) = f(g(x)), chamada função composta de f com g.
13
1
2
3
4
5
A B
f
f é sobrejetora
e não é injetora
3
4
6
1
2
3
A B
f
f é bijetora
1
2
3
4
5
6
A B
f
f não é injetora
e nem sobrejetora
1
3
5
4
3
2
1
A B
f
f é injetora
e não é sobrejetora
1
2
5
1
2
3
3
4
6
4
5
6
A AB B
f g
f é função g não é função
� Domínio de f = D(f) = A = {1, 2, 5}
� Conjunto Imagem de f = Im(f) = {3, 4}
� Contradomínio = CD(f) = B = {3, 4, 6}
� 4 é imagem de 5, isto é, 4 = f(5)
� 4 é imagem de 2, isto é, 4 = f(2)
Função inversa
� Denomina-se inversa da função bijetora y = f(x), f : A � B a função f– 1: B � A, tal que
f–1 (y) = x.
Observação:
Para se obter a inversa de uma função f (bijetora) definida por uma sentença matemática
y = f(x)
a. troca-se x por y e y por x;
b. coloca-se o novo y em função do novo x.
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Propriedades dos determinantes
a. det(At) = det(A).
b. Se uma linha (ou coluna) é formada só de zeros, o determinante é igual a zero.
c. Quando trocamos de lugar duas linhas (ou colunas) paralelas, o determinante fica
multiplicado por –1.
d. Se duas linhas (ou colunas) paralelas são iguais (ou proporcionais), o determinante é
igual a zero.
e. Se os elementos de uma linha (ou coluna) apresentam um fator comum k, este pode ser
colocado em “evidência”.
f. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então det(k.A) = kn.det(A)
g. Teorema de Binet: det(A.B) = det(A).det(B)
Atenção: em geral, det(A+B) � det(A) + det(B)
h. Teorema de Jacobi (importante para obtenção de zeros). O determinante de uma
matriz não se altera quando somamos a uma linha (ou coluna) outra linha (ou coluna)
paralela multiplicada por uma constante.
i. Matriz Triangular: A
1 0 0 0
–3 4 0 0
2 3 – 5 0
5 6 7 8
det(A) 1 4(–5) 8�
�
�
 
 
 
 
!
"
#
#
#
#
� � � �
Multiplicação de matrizes
a b
c d
x y
z w
=
ax+bz ay+bw
cx+dz cy+dw
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a. Todo sistema de equações lineares apresenta apenas uma solução, ou seja, é um
sistema possível e determinado (s. p. d.), quando D � 0, onde D é o determinante da
matriz dos coeficientes de tal sistema.
b. Para os casos onde D = 0, para analisar o sistema, ou seja, dizer se o mesmo é
impossível (s. i.) ou indeterminado (s. p. i.), deve-se escalonar tal sistema, eliminando
ordenadamente as incógnitas das equações.
A equação, na incógnita x, ax = b tem apenas uma solução para a � 0; tem infinitas
soluções para a = 0 e b = 0 e não tem solução para a = 0 e b � 0.
14
Trigonometria
Relações Fundamentais Conseqüências x k
2
�
�
�
�
�
�
�
sen2x + cos2x = 1, � �x R cotgx
1
tgx
�
tgx
senx
cosx
x
2
k� � 	
�
�
�
�
�
�
� 1 + tg2x = sec2x
cotgx
cosx
senx
x k� �( �$ 1 + cotg2x = cossec2x
secx
1
cosx
x
2
k� � 	
�
�
�
�
�
�
� cos x
1
1+ tg x
2
2
�
cossecx
1
senx
x k� �( )� sen x
tg x
1+ tg x
2
2
2
�
Fórmulas de adição
cos(a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
cos(a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen(a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
tg(a b)
tg a tg b
1– tg a tg b
	 �
	
�
tg(a b)
tg a tg b
1+ tg a tg b
–
–
�
�
Fórmulas de multiplicação
15
Arcos duplos
sen 2a = 2 sen a cos a
cos 2a =
cos a – sen a
ou
2cos a – 1
ou
2 2
2
1– 2sen a2
%
&
'
'
'
(
'
'
'
tg 2a =
2 tg a
1– tg a2
Arcos Triplos
sen 3a = 3 sen a – 4 sen3 a
cos 3a = 4 cos3 a – 3 cos a
tg 3a =
3 tga – tg a
1– 3tg a3
2
Fórmulas de divisão
sen
x
2
=
1– cos x
2
) cos
x
2
=
1+cos x
2
) tg
x
2
=
1– cos x
1+cos x
)
Fórmulas de transformação em produto
cos p+cos q= 2 cos
p+q
2
cos
p – q
2
cos p – cos q= –2 sen
p+q
� �
�
2
sen
p – q
2
sen p+sen q= 2 sen
p+q
2
cos
p – q
2
sen p – sen q=
�
� �
2 sen
p – q
2
cos
p+q
2
tg p+ tg q=
sen(p+q)
cos p cos q
tg p
� �
�
– tg q=
sen(p – q)
cos p cos q�
Equações trigonométricas fundamentais
sen � = sen �� � = �+ 2k� ou � = (� – �) + 2k�
cos � = cos �� � = )� + 2k�
tg � = tg �� � = �+ k�
Funções circulares inversas
y = arc senx � seny = x e –
�
2
* y *
�
2
y = arc cosx � cosy = x e 0 * y * �
y = arc tgx � tgy = x e –
�
2
< y <
�
2
16
Geometria Espacial
� O volume de um prisma e o de um cilindro (retos ou oblíquos) é igual ao produto da
área da base (B) pela altura (H). E o volume de uma pirâmide e o de um cone reto (ou
oblíquo) é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura.
� Planificando a superfície lateral de um cilindro reto de raio R e altura H obtemos um
retângulo de lados 2�R e H. Então a área lateral (AL) do cilindro reto é:
� Planificando a superfície lateral de um cone reto de raio R e geratriz g obtemos um setor
circular de raio g e arco 2�R. Então a área lateral do cone reto é.
� O volume V e a área A de uma esfera de raio R são dados por:
17
B
H H
R
V = BH
B
H H
g
R
V = BH1
3
—
AL = Asetor � AL =
2
2
�R g�
� AL = �Rg
Sendo � a medida, em graus, do setor,
temos:
Asetor =
2
2
�R g�
=
�
360º
�g2 � R =
�
360º
g
R A = 4 �R2 e V =
4
3
�R3
Números Complexos
Forma algébrica
Nomenclatura
z = a + bi (a, b� IR)
i = unidade imaginária
a = Re (z) = parte real de z
b= Im (z) = coeficiente da parte imaginária de z
Exemplos de números complexos
z = 3i = 0 + 3i = número imaginário puro.
z = – 6 = – 6 + 0i = número real.
z = a + bi (b � 0) = número imaginário ou número complexo não real.
Potências inteiras de i (ik, k� ZZ)
i0 = 1 e i4k = 1
i1 = i e i4k+1 = i4k . i1 = i
i2 = – 1 e i4k+2 = i4k . i2 = – i
i3 = – i e i4k+3 = i4k . i3 = – i
Conjugado de z = a + bi (a, b� IR)
z = a – bi
Propriedades
1. z + w = z + w
2. z . w = z . w
3.
z
w
=
z
w
�
�
�
�
�
4. z = z )n n( (n� ZZ)
5. ( z ) = z
Produtos e divisões notáveis
1. (1 + i)2 = 2i
2. (1 – i)2 = – 2i
3. (1+ i)(1 – i) = 2
4.
1+i
1– i
= i
5.
1– i
1+i
= – i
18
Igualdade na forma algébrica
Representação no plano de Argand-Gauss
Propriedades
1. | z |2 = z . z
2. |z . w | = | z | . | w |
3.
z
w
=
z
w
(w 0)�
4. | z n | = | z | n , n� ZZ
5. | z + w | * | z | + | w |
6. | z | = | z |
Forma trigonométrica de z � C*
z = a + bi = | z | (cos isen )+ +	
| z | = a b2 2	 e
cos =
a
z
sen =
b
z
+
+
%
&
'
'
(
'
'
Igualdade na forma trigonométrica
|z|( cos +i sen
z
+ + $
� ���� ����
= |w|( cos +i sen
w
� � $
� ���� ����
19
a + bi = c + di � a = c e b = d (a, b, c, d� IR)
z = a + bi = (a, b) = P (a, b� IR)
P = afixo de z
dop = |z| = a +b
2 2 = módulo de z
+ + k . 2� = arg(z) = argumento de z
(0 * + < 2�)
+ = argumento principal de z
0
z = w � |z| = |w| e
+ = � + k . 2�
k� ZZ
Operações na forma trigonométrica
Sejam z = |z| (cos isen )+ +	
z1 = |z1| (cos isen )+ +1 1	
z2 = |z2| (cos isen )+ +2 2	
� Multiplicação
z1 . z2 = |z1| . |z2| . [cos (+1 + +2) + isen (+1 + +2)]
� Divisão
z
z
1
2
=
|z
|z
1
2
|
|
[cos (+1 – +2) + isen (+1 – +2)]
� Potenciação
zn = |z|n . [cos (n +) + isen (n+)]
� Radiciação
z = w = z cos
n
+k
n
+i sen
n
+k
n
n C
k n
+ � + �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 
2 2
!
"
#
, (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Propriedades
1. w0 + w1 + w2 + . . . + wn – 1 = 0
2. A raiz enésima de z divide a circunferência em n partes iguais.
3. O raio dessa circunferência é | z |n .
4. O “ponto de partida” (wo) é o arco
+
n
e o “pulo’ de uma raiz para outra é de
2�
n
.
Equação binômia em C
axn + b = 0 (a � 0)
axn = – b � xn =
–b
a
� x =
–b
a
n
C
= wk , (k = 0, 1, 2, . . . , n – 1)
Geometria Analítica
Distâncias
De dois pontos A e B
d (x – x ) (y – y )AB B A
2
B A
2
� 	
Do ponto P à reta (r) ax + by + c = 0
d
|ax +by +c|
a +b
P P
2 2
�
20
Pontos especiais
a.
M divide AB na razão
AM
MB
= r
r =
x – x
x x
=
y – y
y y
M A
B M
M A
B M– –
Se M é ponto médio de AB, M =
x + x y + yA B A B
2 2
,
�
�
�
�
�
b. Ponto do eixo x: A = (a, 0)
Ponto do eixo y: B = (0, b)
Ponto da bissetriz dos quadrantes pares: C = (k, k)
Ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares: D = (k, – k)
Baricentro do �ABC: G =
x x x
3
y y y
3
A B C A B C	 	 	 	
�
�
�
�
�
,
Área do �ABC
S =
|D|
2
onde D =
x y 1
x y 1
x y 1
A A
B B
C C
Observação: Se A, B e C são colineares, D = 0.
Equação de circunferência
(x – xC)
2 + (y – yC)
2 = r2
Centro C e raio r, equação reduzida.
Equação de reta
� Geral: ax + by + c = 0 (r)
Conhecendo 2 pontos A e B de r:
x y 1
x y 1
x y 1
A A
B B = 0
� Reduzida: y = mx + k
21
m... coeficiente angular de r
k.... coeficiente linear de r
m = tg� (não existe, se m é vertical)
Conhecendo 2 pontos A e B da reta, m
y – y
x – x
B A
B A
�
Paralelas / perpendiculares
� r // s � mr = ms
Exemplos:
Paralela a y = 2x – 3 é y = 2x + k
Paralela a 2x + 5y – 3 é 2x + 5y + k = 0
� r , s �mr . ms = – 1
Exemplos:
Perpendicular a y =
2
3
x – 3 é y = –
3
2
x + k
Perpendicular a 2x + 5y – 6 = 0 é 5x – 2y + k = 0
Observação:
Se P pertence a ax + by + c = 0, então axP + byP + c = 0.
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