6 Distribuições Contínuas

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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
6. DISTRIBUIÇOES 
CONTÍNUAS
As distribuições contínuas são as seguintes:
Uniforme (Contínua)
Exponencial
Normal
Qui-Quadrado
t (de Student)
F 
Outras (Gama, Beta, Weibull, Pareto, etc.)
• Distribuição Uniforme Contínua
É a distribuição contínua 
mais simples que existe.
Pressupõe que as probabilidades estejam 
distribuídas de maneira uniforme pelo 
intervalo de variação de X (de α a β).
Fórmula da Uniforme:
f(x) = 1/(β-α), α<x<β.
Parâmetros: α e β.
Notação: X ~ Unif(α,β).
Cálculo de Probabilidades 
Utilizando a Uniforme:
P(a≤X≤b) = (b-a)/(ββββ-αααα)
Valor Esperado e Variância da Uniforme:
E(X) = (αααα+ββββ)/2
V(X) = (ββββ-αααα)2/12
Exemplo 6.1- As notas de uma turma 
apresentam média 5 e variância 3. A 
nota mínima para aprovação é 7. 
Supondo distribuição uniforme, calcule 
a probabilidade de um aluno ser aprovado.
R: 1/6.
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• Distribuição Exponencial
Distribuição definida para valores de X 
estritamente positivos, usual para 
representar tempo (duração, espera, etc.).
Fórmula da Exponencial:
.0 ;0x ,e)x(f x >λ>λ= λ−
Parâmetro: λ. 
Notação: X ~ Expo(λ).
Valor Esperado e Variância:
E(X) = 1/λλλλ
V(X) = 1/λλλλ2
Demonstração do Valor Esperado:
Esta integral deve ser resolvida por partes, 
fazendo u = x e dv = e-λxdx. 
Temos então que: du = dx e v = -e-λx/λ. 
Assim: 
.dxxedxex)X(E
0
x
0
x
∫∫
∞
λ−
∞
λ− λ=λ=
( )
( ) .1exe
dxexe
dx
ee
x)X(E
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
λ
=





λ
−+−=
+−=








λ
−−



λ
−λ=
∞λ−
∞λ−
∞
λ−∞λ−
∞ λ−
∞λ−
∫
∫
Demonstração da Variância:
V(X) = E(X2) – E2(X). 
E(X2) é calculado da seguinte forma:
Esta integral também deve ser resolvida 
por partes, mas agora fazendo u = x2 e 
dv = e-λxdx.
.dxexdxex)X(E
0
x2
0
x22
∫∫
∞
λ−
∞
λ− λ=λ=
Função Distribuição 
Acumulada da Exponencial:
F(x) = P(X≤≤≤≤x) = 0, x≤≤≤≤0
= 1-e-λλλλx, x>0.
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Demonstração da F.D.A.:
Para x≤≤≤≤0, F(x) = P(X≤x) = 0.
Para x>0:
.e1
e1
dxe
dxe )xP(X)x(F
x
xx
0
x
x
0
x
λ−
λ−
λ−
λ−
−=
λ
−λ=λ
=λ=≤=
∫
∫
Exemplo 6.2- O tempo de espera em 
uma fila segue distribuição exponencial. 
Se um cliente espera, em média, 10 minutos
para ser atendido, qual a probabilidade: 
a) De que demore menos do que 12 minutos 
para ele ser atendido? R: 1-e-1,2.
b) De que demore menos do que 7 minutos 
para ele ser atendido? R: 1-e-0,7.
c) E entre 7 e 12 minutos? R: e-0,7-e-1,2.
d) De que ele espere mais do que 10 minutos 
(isto é, mais do que a média E(X))? R: e-1.
• Falta de Memória
É uma importantíssima propriedade 
da distribuição exponencial. Ela diz que: 
P(X>x+s|X>x) = P(X>s). 
Interpretação: se uma lâmpada já durou x 
horas, a probabilidade dela durar mais s 
horas a partir dali é a mesma que ela teria 
de durar s horas a partir da sua fabricação.
Em outras palavras, não há desgaste.
Isto é considerado uma crítica ao uso da 
exponencial para este tipo de aplicação.
Demonstração:
P(X>x+s|X>x) =
P[(X>x+s)∩(X>x)]/P(X>x) =
P(X>x+s)/P(X>x) =
e-λ(x+s)/e-λx = e-λs
= P(X>s), C.Q.D. 
• Distribuição de Weibull
Utilizada como alternativa à exponencial, a 
função de densidade correspondente é:
Notação: X ~ Weibull(α,β).
Caso particular: β = 1 ⇒ X ~ Expo(α).
.0, ;0x ;ex)x(f x1 >βα>αβ= βα−−β
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• Relação entre a Exponencial e a Poisson
Se o número X de ocorrências de um 
evento por unidade de tempo segue 
distribuição de Poisson com parâmetro λ:
X ~ Poisson (λ),
então o intervalo de tempo T (medido 
na mesma unidade de tempo) entre duas 
ocorrências sucessivas segue distribuição 
exponencial com parâmetro λ, ou seja: 
T ~ Expo(λ). 
Exemplo 6.3- O número de navios que 
chega a um porto cujo estaleiro comporta 
4 navios segue distribuição de Poisson. A 
a cada 24 horas, aportam, em média, 12 
navios. Com base nestes dados, calcule:
a) A probabilidade de que, no intervalo de 
uma hora, pelo menos um navio aporte.
b) A probabilidade de que o tempo decorrido 
entre dois navios seja superior a uma hora.
Parâmetros: µ (=E(X)) e σ2 (=V(X)).
Notação: X ~ N(µ,σ2).
.0,;x;e
2
1
)x(f 22
)x(
2
2
>σℜ∈µℜ∈
πσ
= σ
µ−−
• Distribuição Normal
Distribuição Normal para diferentes valores de µ:
Distribuição Normal para diferentes valores de σ:
• Cálculo de Probabilidades Normais
Exemplo 6.4 -Considere que as 
alturas dos alunos desta turma sigam 
distribuição Normal, com média igual 
a 170 cm e desvio padrão igual a 5 cm. 
Seja o experimento que consiste na 
seleção de um aluno qualquer e na 
medição de sua altura.
A v.a. que representa o resultado 
deste experimento é X ~ N(170,25).
Qual a probabilidade de que a altura 
do aluno esteja entre 170 e 172,3 cm?
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Em princípio, você calcularia:
Problema: 
A integral de 
não possui solução analítica!
∫
−−
π
=≤≤
3,172
170
50
)170x(
dxe
25
1
)3,172X170(P
2
2
2
2
)x(
e
2
1
)x(f σ
µ−−
πσ
=
altura de um aluno selecionado ao acaso
Para calcular a probabilidade 
solicitada, usaremos a tabela Normal.
A tabela Normal fornece probabilidades 
associadas a uma v.a. padronizada, ou seja:
que possui média 0 e variância 1 
(como vimos no capítulo 3 do curso).
,
X
Z
σ
µ−=
P(0 < Z < 0,46) é encontrada na tabela.
).46,0Z0(P
5
1703,172
Z
5
170170
P
3,172X170
P
)3,172X170(P
<<=
=




 −<<−
=





σ
µ−<
σ
µ−<
σ
µ−
=<< Usando a Tabela Normal:
Resposta final do item a):
A probabilidade de que a altura de um aluno 
selecionado ao acaso esteja entre 170 e 
172,3 cm é 0,1772.
b) Qual a probabilidade de que a altura 
do aluno esteja entre 170 e 175 cm?
Neste caso:
).1Z0(P
5
170175
Z
5
170170
P
175X170
P
)175X170(P
<<=
=




 −<<−
=





σ
µ−<
σ
µ−<
σ
µ−
=<<
6
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k
Ilustrando na Tabela Normal: Resposta final do item b): 0,3413.
c) Qual a probabilidade de que a altura do 
aluno esteja entre 165 e 170 cm?
Solução: 
Pela simetria da Normal, temos: 
P(-1 < Z < 0) = P(0 < Z < 1) = 0,3413.
Ilustração da Simetria da Normal:
P(-1 < Z < 0) P(0 < Z < 1)
P(-1 < Z < 1)
d) Qual a probabilidade de que a altura do 
aluno esteja entre 165 e 175 cm?
Esta é a probabilidade de X estar a no máximo 
1 desvio padrão de distância da sua média.
Solução: do slide anterior, 
P(-1 < Z < 1) = 0,6826.
99,72%
Algumas Probabilidades Normais Importantes:
e) Qual a probabilidade de que a altura 
do aluno esteja entre 170 e 180 cm?
Solução: P(170 < X <180) = 
P(0 < Z < 2) = 0,4772.
f) E entre 160 e 180 cm?
Solução: P(160 < X <180) = 
P(-2 < Z < 2) = 2*0,4772 = 0,9544.
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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Camposg) Qual a probabilidade de que a altura do 
aluno seja maior do que 170 cm? 
Solução: P(X > 170) = P(Z > 0). 
A área total sob a curva é igual a 1. 
Logo, a resposta é 0,5.
h) E maior do que 175 cm?
Solução: P(X > 175) = P(Z > 1) = 0,5 -
P(0 < Z < 1) = 0,5 - 0,3413 = 0,1587.
P(Z > 0)
i) E menor do que 175 cm?
Solução: P(X < 175) = P(Z <1) = 0,5 + 
P(0 < Z < 1) = 0,5 + 0,3413 = 0,8413.
j) E menor do que 165 cm?
Solução: P(X <165) = 
P(Z < -1) = P(Z > 1) = 0,1587. 
P(Z < 0)
Exemplo 6.5- As notas dos alunos de um 
vestibular distribuem-se normalmente, com 
média 8 e desvio padrão 1. Se a relação 
candidato/vaga é de 40 para 1, calcule a nota 
mínima para que o aluno seja aprovado. 
Obs - será necessário achar * 
tal que: P(X > *) = 0,025. 
Buscaremos na tabela o valor k tal que: 
P(Z > k) = 0,025, denotado por z0,025.
k
Temos que achar na tabela o valor de k 
correspondente à probabilidade 0,475:
Assim: z0,025= 1,96.
Resposta do Exemplo 6.5: 9,96.
k
Outro valor importante na tabela Normal: 
z0,05 = valor de k tal que P(Z>k) = 0,05.
?
Interpolando: z0,05= 1,645.
k
Outro valor importante na tabela Normal: 
z0,005= valor de k tal que P(Z>k) = 0,005.
?
Interpolando: z0,005= 2,575.
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• Função Linear de uma Normal
Se X segue distribuição Normal, então Y 
= aX+btambém é Normal, com médias e 
variâncias, conforme visto no capítulo 2:
E(Y) = aE(X) + b 
e V(Y) = a2V(X).
• Distribuição Lognormal
Seja uma v.a. Normal 
X ~ N(µ,σ2) e seja Y = eX.
A distribuição de Y é chamada 
lognormal, com parâmetros µ e σ2.
Fórmula:
A distribuição Lognormal 
apresenta assimetria positiva.
Valor Esperado:
.0 , 0,y ;e
2y
1
)y(f
2
2
)y(ln
2
1
>σℜ∈µ>
πσ
=
µ−
σ
−
2
2
e)Y(E
σ+µ
=
• Distribuição Qui-Quadrado
Fórmula:
Parâmetro: υ (graus de liberdade) 
Notação: 
0. ;0x ;ex
2
1
)x(f 2
x
1
2
2
>υ>
π
=
−−υ
υ
.~X 2υχ
A distribuição qui-quadrado 
apresenta assimetria positiva 
e é tabelada.
Valor Esperado e Variância:
E(X) = υυυυ
V(X) = 2υυυυ
Relação entre a Qui-Quadrado e a Normal:
Observação importante: a variável Z 
precisa estar padronizada, caso contrário 
o resultado acima não vale (a distribuição 
resultante seria outra, mais complicada, 
chamada qui-quadrado não centrada).
2
1
2 ~ZY
 :N(0,1)~ ZSe
χ=
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• Soma de Normais Independentes
Considere a soma S de n v.a.`s Xi, 
i = 1,2,...,n, Normais e independentes, 
c/ médias µ e variâncias σ2. Então:
).n,n(N~S 2σµ
A soma de Normais independentes 
também segue distribuição Normal. 
Exemplo 3.6(revisitado/cont.)
e queremos P(S>500).
Vimos que S ~ N(490,700). Assim:
,XS
7
1i
i∑
=
=
peso da i-ésima pessoa
.3520,0)38,0Z(P
)
700
490500
Z(P)500S(P
=>
=−>=>
Exemplo 6.6 -Uma máquina de café é 
calibrada para produzir pacotes com peso 
500g. Entretanto, na prática, os pesos reais 
dos pacotes produzidos serão v.a.`s.
Suponha que os pesos dos pacotes 
produzidos pela máquina sigam 
distribuição normal com média 
500 g e variância 16 g2. 
a) Qual a probabilidade de que um pacote 
qualquer tenha peso maior do que 502 g?
Solução:
.3085,0)5,0Z(P
4
500502
ZP
502X
P
)502X(P
=>=
=




 −>
=





σ
µ−>
σ
µ−
=>
peso de um pacote 
selecionado ao acaso
Se selecionarmos 100 pacotes (considere 
os pesos dos pacotes independentes):
b) Qual a probabilidade de que o peso 
total seja maior do que 49,96 Kg?
Solução:
( )
.8413,05,0)1Z0(P
5,0)0Z1(P1ZP
40
000.50960.49
ZP)960.49S(P
=+<<
=+<<−=−>=





 −>=>
).n,n(N~XS 2
n
1i
i σµ=∑
=
peso total = soma dos pesos
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• Média de Normais Independentes
Considere a média de n v.a.`s Xi, 
i = 1,2,...,n, independentes e Normais, 
c/ médias µ e variâncias σ2. Então:
).
n
,(N~X
2σµ
X
O valor esperado e a variância de 
já foram demonstrados no capítulo 3.
X
Exemplo 6.6(cont.) – c) Qual a 
probabilidade do peso médio dos 100 
pacotes ser menor do que 500,7 g?
Solução:peso médio = 
média dos pesos.
( )
.9599,04599,05,0
)75,1Z0(P5,0
75,1ZP
4,0
5007,500
ZP)7,500X(P
=+
=<<+
=<
=




 −<=<
).
n
,(N~X
2σµ
• Combinação Linear de 
Normais Independentes
Assim como a soma e a média, uma 
combinação linear de v.a.`s Normais 
independentes segue distribuição Normal.
• Combinação Linear de 
Normais Dependentes
Se houver dependência entre as variáveis, 
a normalidade da combinação linear 
só pode ser garantida caso as variáveis 
envolvidas sigam distribuição conjunta 
Normal multivariada (se n = 2, bivariada).
• Distribuição Normal Bivariada
2
2
YX
)y)(x(
2
)y()x(
)1(2
1
R)y,x(,
12
e
)y,x(f
YX
YX
2
Y
2
Y
2
X
2
X
2
∈
ρ−σπσ
=








σσ
µ−µ−
ρ−
σ
µ−
+
σ
µ−
ρ−
−
Representação Gráfica da Normal Bivariada:
f(x,y)
xy
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Vamos à prova de que, se ρXY = 0 e X e Y 
seguem distribuição Normal Bivariada, 
então X e Y são independentes (capítulo 3).
Faça ρ = 0 na fórmula da Normal 
bivariada, e verifique que f(x,y) = f(x)f(y).
Teorema Importante: 
Se (X,Y) é um vetor aleatório com distribuição 
Normal Bivariada, as distribuições marginais 
de X e Y são Normais, com parâmetros:
.)Y(V,)X(V,)Y(E,)X(E 2Y
2
XYx σ=σ=µ=µ=
Valor Esperado e Variância Condicionais:
Se X e Y são variáveis aleatórias distribuídas 
segundo uma Normal bivariada, então:
)x()x|Y(E X
X
Y
Y µ−σ
σρ+µ=
)1()x|Y(V 22y ρ−σ=
Exemplo 6.7- Sejam X e Y v.a.`s com 
distribuição Normal Multivariada. 
a) Ache E(Y|x) e V(Y|x) se ρXY = 0.
b) Ache V(Y|x) se ρXY = 1. Interprete.
• Distribuição t de Student
Uma v.a. com distribuição t com υ graus 
de liberdade é obtida da seguinte forma:
υ
=
Q
Z
T
Z~N(0,1).
(qui-quadrado 
com υ g.l.), 
independente de Z. 
2~Q υχ
Notação: T ~ tυ.
Esta distribuição 
é tabelada.
Distribuição t de Student x Normal:
A distribuição t aproxima-se da Normal à 
medida que os graus de liberdade aumentam.
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• Distribuição F
Uma v.a. com distribuição F com υ1
graus de liberdade no numerador e υ2 no 
denominador é obtida da seguinte forma:
.tesindependen Q e Q sendo
 ,~ Q e ~ Q com ,
Q
Q
F
21
2
2
2
1
2
2
1
1
21 υυ
χχ
υ
υ=
Notação: 
F ~ Fυ1, υ2.
Esta distribuição 
é tabelada.
Relação entre a t e a F:
Se T segue distribuição t de Student com υ
graus de liberdade (T ~ tυ), Y = T2 segue 
distribuição F com 1 e υ graus de liberdade:
Esta relação tem aplicação em 
modelos de regressão linear.
.f~TY ,1
2
υ=
• Soma de Qui-Quadrados 
Independentes
 ~ 2
n
1i
2
n
1i
i
i
∑
=
υ=
υ χχ∑
• Distribuição Gama
Fórmula:
Notação: X ~ Gama(α,β).
.Z se ,)!1(dxex)( :dosen
,0, ;0x ;ex
)(
)x(f
0
x1
x1
∈α−α==αΓ
>βα>
αΓ
β=
∫
∞
−−α
β−−α
α
A distribuição gama possui dois 
casosparticulares importantes:
- A distribuição exponencial (α = 1 e β = λ);
- A qui-quadrado com υ graus de liberdade 
(α = υ/2 e β = 1/2).
A gama pode ser vista como uma família 
de distribuições, que engloba os dois 
casos acima. Outra distribuição com esta 
característica é a beta, definida para 0<X<1. 
• Distribuição Beta
Fórmula:
Notação: X ~ Beta(α,β).
A gama e a beta nunca caíram na ANPEC. 
.0, ;1x0
;)x1(x
)()(
)(
)x(f 11
>βα<<
−
βΓαΓ
β+αΓ= −β−α