19 Regressão Linear Simples (Parte 3)

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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
19. REGRESSÃO 
L INEAR SIMPLES
(PARTE 3: IC PARA PREVISÕES/ 
REGRESSÃO PELA ORIGEM/ 
MUDANÇAS DE ESCALA/FORMAS 
FUNCIONAIS NÃO-LINEARES)
• Intervalos de Confiança para Previsões
Vimos que a reta de regressão ajustada, 
ou função de regressão amostral (FRA), 
permite estimar o valor esperado de Y
associado a cada valor de X: E(Y|X).
O estimador de E(Y|X0) é chamado 
previsor de Y (no ponto X = X0). 
O previsor de Y “herda” as boas 
propriedades dos estimadores de β0 e β1, 
visto que é uma combinação linear deles:
Em particular, é o melhor 
estimador linear não viciado de E(Y|X0).
.XˆˆŶ 010 β+β=
Ŷ
Uma vez estabelecidas as propriedades do 
previsor pontual, voltamos nossa atenção 
para a incerteza associada a ele, em 
particular, para a construção de um 
intervalo de confiança para E(Y|X0).
Para isto, será necessário trabalhar 
com a distribuição amostral de .Ŷ
(a rigor, o que mais precisamos supôr?)
Valor esperado e variância desta distribuição 
podem ser calculados de forma simples, 
como mostrado no slide seguinte.
Ŷ de Amostral ãoDistribuiç
Normal. ãodistribuiç segue Ŷ 6, RLS. a sob que,
 temos,ˆ e ˆ delinear combinação é Ŷ Como 10 ββ
Valor Esperado:
Variância:
( ) ( ) ( ) .XˆEXˆEŶE 010100 β+β=β+β=
( ) ( ) ( ) ( ).ˆ,ˆCovX2ˆVXˆVŶV 1001200 ββ+β+β=
FRP
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Usando fórmulas já derivadas e 
manipulando-as algebricamente, obtemos:
( )
.
)XX(
)XX(
n
1
)XX(
X
X2
)XX(
X
)XX(n
X
ŶV
n
1i
2
i
2
02
n
1i
2
i
2
0
n
1i
2
i
2
2
0n
1i
2
i
n
1i
2
i
2










−
−+σ=
−
σ−+
−
σ+
−
σ
=
∑∑
∑∑
∑
==
==
=
Note que a variância aumenta com a 
distância de X0 em relação à sua média. 
Previsões para valores de X0 próximos à 
média de X na amostra são mais confiáveis. 
À medida que nos afastamos de , vai se 
tornando cada vez mais difícil prever Y.
Qual a variância da previsão em X0 = 
Este é o ponto em que a variância é mínima!
X
?X
Assim:
⇓⇓⇓⇓
.
)XX(
)XX(
n
1
,XN~Ŷ n
1i
2
i
2
02
010




















−
−+σβ+β
∑
=
( ).1,0N~
)XX(
)XX(
n
1
)X(Ŷ
n
1i
2
i
2
02
010










−
−+σ
β+β−
∑
=
.
2n
û
ˆ
n
1i
2
i
2
−
=σ
∑
=
Substituindo σ2 por seu estimador não viciado:
⇓⇓⇓⇓
.t~
)XX(
)XX(
n
1
ˆ
)X(Ŷ
2n
n
1i
2
i
2
02
010
−
=










−
−+σ
β+β−
∑
O IC para E(Y|X0) é obtido da forma 
usual, e apresentado no slide a seguir.
.
2n
û
ˆ
n
1i
2
i
2
−
=σ
∑
=
Intervalo de Confiança para E(Y|X0):






















−
−+σ=
∑
=
α−α−
n
1i
2
i
2
02
2
;2n
0)%1(100
)XX(
)XX(
n
1
ˆtŶ))X|Y(E(IC m
Deve ser reforçado que a capacidade 
preditiva da reta cai à medida que nos 
afastamos da média de X na amostra.
Por esta razão, deve-se ter cautela ao 
utilizar uma previsão para valores de X0
muito distantes da média da amostra. Em 
particular, não é recomendável extrapolar
a reta para valores fora e muito distantes 
do intervalo contemplado pela amostra.
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Há uma forma engenhosa de obter o 
intervalo de confiança para uma previsão, 
sem precisar usar as fórmulas encontradas.
Reparametrizando o modelo:
Y = β0 + β1 X + u 
Y = β0 + β1X0 - β1X0 + β1X + u 
Y = ββββ0 + ββββ1X0 + β1(X-X 0) + u 
Y = θθθθ0 + ββββ1(X-X0) + u
Portanto, basta “rodar” a 
regressão de Y em (X-X0). 
O intercepto θ0 deste modelo é a FRP. A 
sua estimativa, portanto, é o previsor de Y. 
O IC de θ0, fornecido diretamente por 
qualquer software, será o IC de E(Y|X0).
Previsão Individual x Previsão pela Média 
Suponha agora que, ao invés de prever a 
média E(Y|X0), estejamos interessados em 
prever uma observação individual: Y0 . 
Isto certamente é mais complicado, pois:
Y0 = E(Y|X0) + u0 fonte de 
incerteza!
Pode-se provar que, conforme esperado, a 
variância é maior, dada pela fórmula:
e o intervalo de confiança passa a ser:
( ) ,
)XX(
)XX(
n
1
1ŶV n
1i
2
i
2
02
0










−
−++σ=
∑
=
.
2n
û
ˆ
n
1i
2
i
2
−
=σ
∑
=
Intervalo de Confiança para Y0:






















−
−++σ=
∑
=
α−α− n
1i
2
i
2
02
2
;2n
00)%1(100
)XX(
)XX(
n
1
1ˆtŶ)Y(IC m
Em algumas situações, será razoável estimar 
um modelo sem intercepto, ou seja, que 
passa pela origem (ponto X = Y = 0).
Um exemplo é um modelo para relacionar 
imposto de renda pago e renda auferida.
Neste caso, pode-se utilizar um 
modelo de regressão pela origem.
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• Modelo de Regressão Pela Origem
É o modelo de regressão 
estimado sem β0: Y = ββββ1X + u.
Estimador de MQO de β1:
.
X
XY
ˆ
n
1i
2
i
n
1i
ii
RPO
1
∑
∑
=
==β
Demonstração: os resíduos do modelo são:
Assim, para fins de estimação por MQO, a 
soma dos quadrados dos resíduos torna-se:
}.n,...,2,1i ,XˆYû{ i1ii =β−=
.)XˆY(ûSQR
n
1i
n
1i
2
i1i
2
i∑ ∑
= =
β−==
Como passamos a ter um único parâmetro a 
ser estimado, β1, temos apenas uma CPO: 
.0 XˆXY
0 Xû :ou 0)X)(XˆY(
0)X)(Xˆ Y(2
0ˆd
dSQR
n
1i
n
1i
2
i1ii
n
1i
iiii1
n
1i
i
ii1
n
1i
i
1
∑ ∑
∑∑
∑
= =
==
=
=β−
==β−
=−β−
=
β
Resolvendo, obtemos o 
estimador de MQO de β1:
.
X
XY
ˆ
n
1i
2
i
n
1i
ii
RPO
1
∑
∑
=
==β
O estimador de β1 correspondente ao modelo 
“cheio” (com β0) seria viciado, e o estimador 
acima é viciado para o β1 do modelo cheio. 
0x se exceto =
Mas o estimador acima não é eficiente
(pois não é o estimador de MQO)
Obs1 - No MRPO, o seguinte estimador 
também será não viciado para β1:
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
−
−
=
−
−−
=β n
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
2
i
n
1i
ii
*
1
)XX(
)XX(Y
)XX(
)XX)(YY(
ˆ
Obs2 - Apesar do estimador de MQO do 
modelo cheio ser também não viciado para 
o β1 do modelo pela origem, o estimador de 
MQO sob o modelo pela origem será 
viciado para o β1 do modelo cheio:
.uX Y :se ,
X
YX
ˆE 101n
1i
2
i
n
1i
ii
RPO
1 +β+β=β≠










=β
∑
∑
=
=
calcular este vício!
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Portanto, mesmo se a teoria indique que 
o modelo deva passa pela origem, é 
recomendável estimar o modelo “cheio”.
Se omitirmos β0 quando ele deveria estar 
presente, o estimador de MQO para β1
será viciado (a única exceção é o caso 
em que a média de X na amostra é zero, 
pois neste caso ele fica igual ao 
estimador de MQO do modelo cheio). 
O estimador não viciado de σ2 torna-se, 
modelo de regressão pela origem:
.
1n
û
ˆ
n
1i
2
2
i
−
=σ
∑
=
pois passamos a ter 
1 único parâmetro 
sendo estimado ⇒
uma única restrição 
no processo de 
estimação ⇒
perde-se apenas 1 
grau de liberdade!
Assim, ICs e testes de hipóteses para β0 e β1
passam a basear-se na distribuição t com 
n-1 graus de liberdade, e não mais n-2.
• Propriedades dos Resíduos no 
Modelo de Regressão pela Origem
Pode-se verificar facilmente que:
.seguinte) (slide imediata é ãodemonstraç cuja 
 ,3 PR. epropriedad a é 0Ŷû
 .2 PR. epropriedad a se-mantémportanto ,estimar para CPO a é 0Xû
n
1i
ii
1
n
1i
ii
→=
β→=
∑
∑
=
=
Verificação de PR. 3 para o modelo de 
regressão pela origem:
.0 Xûˆ 
XˆûŶû
n
1i
ii1
n
1i
i1i
n
1i
ii
∑
∑∑
=
==
=β
=β=
A novidade de impacto, em relação às 
propriedades verificadas no modelo 
cheio, é que PR. 1 não vale mais, logo:
.0û
n
1i
i ≠∑
=
Demonstração:
.
X
XY
X
Y
ˆ
0XˆY
0)XˆY(
 : terque teríamosentão ,zero a igual fosse û Se
n
1i
2
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
1
n
1i
n
1i
i1i
n
1i
i1i
n
1i
i
∑
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
=
=
=
=
= =
=
=
≠=β
=β−
=β−
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O fato da soma dos resíduos ser diferente 
de zero no modelo de regressão pela 
origem faz com que a decomposição SQT 
= SQE + SQR não seja mais válida, isto é:
SQT ≠≠≠≠ SQE + SQR.
)ûYŶû(2)YŶ(û
)YY( :ãoDemonstraç
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
2
i
n
1i
2
i
n
1i
2
i
∑∑∑∑
∑
====
=
−+−+
=−
como já vimos, no modelo de 
regressão pela origem: .0û
n
1i
i ≠∑
=
Logo: 
Assim, o R2 não possui mais a interpretação 
apresentada anteriormente, podendo até ser 
negativo! Não faz sentido utilizar o R2
no modelo de regressão pela origem.
.SQESQR de diferente é que
,ûY2SQESQRSQT
n
1i
i
+
−+= ∑
=
Resumo das Propriedades do Modelo 
de Regressão Pela Origem:
1 - A reta não necessariamente passa 
pelo ponto das médias de X e Y.
2 - A soma dos resíduos não é 
necessariamente zero.
3 - SQT ≠ SQE + SQR, e portanto o R2
não possui mais nenhum significado.
• Mudanças de Escala em X e Y
Objetivo: avaliar como mudanças de escala ou 
nas unidades de medida de Y e/ou X afetam as 
estimativas de β0 e β1, e suas respectivas 
estimativas de variância e erro padrão.
Em particular, estudar o efeito de fazer: 
Caso 1: Y* = c0Y 
Caso 2: X* = c1X
Caso 3: Y* = c0Y e X* = c1X
Caso 1: Y* = c0Y 
Exemplo 19.1: seja Y = salário (em 1.000 R$), 
X = anos de estudo, e o modelo estimado:
O que acontece com as estimativas pontuais se 
o salário for expresso em R$(Y* = 1.000Y)?
 .X2,06,0Ŷ +=
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Solução: Y* = c0Y, com c0 = 1.000. 
00100
*
1
**
0
10n
1i
2
i
n
1i
0i0i
*
1
0
*
i0
*
i
ˆcXˆcYcXˆYˆ
ˆc
)XX(
)YcYc)(XX(
ˆ
:Assim
.YcYYcY se que, ver fácil É
β=β−=β−=β
β=
−
−−
=β
=⇒=
∑
∑
=
=
Conclusão: se Y for multiplicada por c0, as 
estimativas de β0 e β1 também devem ser 
multiplicadas por c0. 
No exemplo, o modelo para Y*,
os salários em R$, torna-se: 
Note que a interpretação dos coeficientes, assim 
como a da reta estimada, permanece inalterada.
 .X200600Ŷ * +=
Caso 2: X* = c1X 
Exemplo 19.2- sejam Y = gasto com alimentos 
em R$), X = renda (em 1.000 R$), e o modelo:
O que acontece com as estimativas pontuais se 
a renda for expressa em R$(X* = 1.000X)?
 .X500100Ŷ +=
Solução: X* = c1X, com c1 = 1.000. 
011
1
1**
1
*
0
1
1
n
1i
2
1i1
n
1i
i1i1
*
1
1
*
i1
*
i
ˆXˆYXc
c
ˆ
YXˆYˆ
c
ˆ
)XcXc(
)YY)(XcXc(
ˆ
:ogoL .XcXXcX se
 Y, com como assim Novamente,
β=β−=β−=β−=β
β=
−
−−
=β
=⇒=
∑
∑
=
=
Conclusão: se X for multiplicada por c1, a 
estimativa de β1 deve ser dividida por c1, Já a 
estimativa de β0 permanece inalterada.
No exemplo, o modelo para o gasto como 
função da renda X* (ambos em R$) torna-se: 
Novamente, a interpretaçãodos coeficientes 
e da reta estimada permanecem inalteradas.
 .X5,0100Ŷ +=
Efeitos Sobre as Variâncias e Erros Padrão:
Caso 1 - Y* = c0Y: 
)ˆ(Vc)ˆV( e )ˆ(Vc)ˆV( 1
2
0
*
10
2
0
*
0 β=ββ=β
)ˆ(PEc)ˆEP( e )ˆ(PEc)ˆEP( 10
*
100
*
0 β=ββ=β
Caso 2 - X* = c1X: 
2
1
1*
10
*
0 c
)ˆ(V
)ˆV( e )ˆ(V)ˆV(
β=ββ=β
1
1*
10
*
0 c
)ˆ(PE
)ˆEP( e )ˆ(PE)ˆEP(
β=ββ=β
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Caso 3: Y* = c0Y e X* = c1X 
Neste caso, é imediato verificar que:
)ˆ(PE
c
c
)ˆEP( e )ˆ(PEc)ˆEP(
)ˆ(V
c
c
)ˆV( e )ˆ(Vc)ˆV(
ˆ
c
cˆ e ˆcˆ 
1
1
0*
100
*
0
1
2
1
0*
10
2
0
*
0
1
1
0*
100
*
0
β





=ββ=β
β





=ββ=β
β





=ββ=β
Caso Particular 3.1 (c0=c1=c):
)ˆ(EP)ˆEP( e )ˆ(EPc)ˆEP(
)ˆ(V)ˆV( e )ˆ(Vc)ˆV(
ˆˆ e ˆcˆ 
1
*
10
*
0
1
*
10
2*
0
1
*
10
*
0
β=ββ=β
β=ββ=β
β=ββ=β
Em particular, no que diz respeito à 
estimação de β1 é afetado (qual é a lógica?)
Outras consequências importantes de mudanças 
nas unidades de medida de X e/ou Y são que, 
em todos os casos, permanecem inalterados as 
propriedades dos estimadores de MQO, o R2 e 
as interpretações dos coeficientes estimados.
.ûû :2 caso No
.ˆc
2n
û
ˆûcû :3 e 1 casos Nos
 :que note Obs
i
*
i
22
0
n
1i
2*
i
2*
i0
*
i
=
σ=
−
=σ⇒=
−
∑
=
mas isto não afeta 
o R2 (por que?)
Resumo dos Efeitos de Mudanças 
de Escala em X e Y:
Se Y for multiplicada por c0, as estimativas de 
β0 e β1 também devem ser multiplicadas por c0. 
Se X é multiplicada por c1, a estimativa de β1 é 
dividida por c1, e a estimativa de β0 não muda.
• Formas Funcionais Não-Lineares
O “linear” do modelo de regressão linear 
não se refere à linearidade nas variáveis, 
mas sim à linearidade nos parâmetros
(veja novamente a hipótese RLS. 1)
Isto significa que os seguintes modelos 
lineares nos parâmetros, também são 
chamados modelos de regressão linear: 
1) Y = ββββ0 + ββββ1X2 + u 
2) Y = ββββ0 + ββββ1(1/X) + u 
3) ln(Y) = ββββ0 + ββββ1X + u
e
4) ln(Y) = ββββ0 + ββββ1ln(X) + u.
É fácil ver que os modelos acima podem 
ser estimados por MQO. Por exemplo, para 
estimar 1), basta trabalhar com X* = X2.
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Por outro lado, em muitas situações, a 
especificação linear em Y e X não será 
suficiente para capturar a relação de interesse.
Daremos uma atenção especial aos modelos 
3 e 4 do slide anterior, que assumem papéis 
muito importantes para dados econômicos.
• Modelo Log-Nível
Relembre o exemplo 17.1: Y = salário e X 
= anos de educação. O coeficiente β1 de um 
modelo linear em Y e X reflete a variação 
esperada no salário para cada ano a mais de 
educação, ou (outra forma de interpretar): a 
variação no salário para cada ano adicional 
de educação, com tudo o mais constante.
(estamos falando da variação absoluta ∆Y)
A questão é: faz sentido que a variação no 
salário seja independente dos anos de 
educação, como o modelo considera?
Ou seja, parece razoável considerar que o 
aumento no salário de pessoas que tenham 
apenas 1 ano de educação formal, e que 
estudem por mais um ano, seja a mesma
que o de pessoas com 15 anos de educação 
formal, e que estudem por mais um ano?
A resposta, claramente, é não.
Uma especificação mais realista consideraria 
que a variação em Y deve aumentar com o 
tempo de educação, ou ainda, que a variação 
relativa em Y, ∆Y/Y, é que seja constante.
Em economia, isto se chama: 
hipótese de retornos crescentes.
A seguinte relação entre X e Y:
ln(Y) = ββββ0 + ββββ1X
apresenta as características mencionadas.
.1-e 1-)/Y(Y))/YY-(Y(
:é Y em relativa variaçãoa ,Finalmente
.e)/Y(Y )/Yln(Y
:assim e ),/Yln(Y )ln(Y-)ln(Y Mas
.)X()X()ln(Y-)ln(Y
:é 1 X à resposta em ln(Y), em variaçãoA
).1X( )ln(Y e X )ln(Y :Sejam
:ovaPr
1
1
12112
12112
1212
11011012
102101
β
β
==
=⇒β=
=
β=β+β−β+β+β=
=∆
+β+β=β+β=
10
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A relação proposta pode ser estimada por 
meio do seguinte modelo de regressão:
ln(Y) = ββββ0 + ββββ1X + u.
Este modelo, linear nos 
parâmetros, é chamado log-nível.
Interpretação Econômica:
 . X em unitária variaçãouma a associada Y em
 percentual variaçãoa constante, mais o tudoou,
 X, em unitária (absoluta) variaçãouma a associada
 Y, em esperada percentual variaçãoa representa Ela
 )%.1e100( :como expressa geral em
 ,X a relação em Y de deelasticida-semi
chamado é 1e nível,-log modelo No
1
1
−
−
β
β
Exemplo 19.3(Y = salário e X = educação):
183,0R X083,0584,0Yln 2 =+=
Interpretação: 
Estima-se que, tudo o mais constante, um 
ano a mais de educação leve a um aumento 
de 100(e0,083-1)% = 8,65% no salário.
.ˆ
A semi-elasticidade pode ser aproximada 
pelo coeficiente β1 do modelo log-nível.
A aproximação vem do fato de que, para 
k pequeno, ln(1+k) ≅ k. Daí: ln(Y2/Y1) ≅
∆Y/Y. Por outro lado, já vimos que 
ln(Y2/Y1) = β1, e assim:β1 ≅ ∆Y/Y.
Importante: esta interpretação para β1 é 
uma aproximação, que vale apenas para 
variações bem pequenas em Y e X.
Outra forma de perceber a aproximação 
é utilizando o conceito de derivada:
Derivando os 2 lados com respeito a X:
1
10
dX
)X(d
dX
dY
Y
1
dX
Ylnd
β=β+β
=
dX
Y
dY
1 =β
Da própria definição de derivada, foram 
consideradas variações infinitesimais
(muito pequenas) em X e Y, ratificando 
que o resultado é uma aproximação.
Dependendo da natureza das variáveis 
(frequentemente, de X), esta aproximação 
pode ser bem grosseira, ou até inválida.
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T.E.A. II (Curso Preparatório para o Exame da ANPEC) 
Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
Exemplo 19.3(cont.):
183,0R X083,0584,0Yln 2 =+=
Interpretação aproximada: estima-se que, 
tudo o mais constante, um ano a mais de 
educação leve a um aumento de 
aproximadamente 8,3% no salário (avalie 
a validade da aproximação, neste exemplo).
.ˆ
O modelo log-nível embute a seguinte 
relação (não linear) entre Y e X: 
.)ek( keY 01X ββ ==
β1 > 0 traduz retornos crescentes. 
β1 < 0 traduz retornos decrescentes. 
• Modelo Log-Log
Em certas situações, nosso interesse estará 
voltado para um importantíssimo parâmetro 
econômico: a elasticidade de Y em relação à X. 
A elasticidade mede o impacto de uma 
variação relativa (ou %) em X sobre a 
variação relativa (ou %) em Y.
Por exemplo, se X = preço e Y = demanda 
por um bem, temos particular interesse na 
elasticidade de Y em relação a X, que é 
chamada elasticidade-preço da demanda.
A elasticidade de Y com respeito 
a X é definida da seguinte forma:
.
Y
X
Y
X
X
Y
 
X
X
Y
Y
 1β=∆
∆=∆
∆
=η
inclinação do modelo linear usual.
Questão: em qual ponto (X,Y) calcular η?
Exemplo 19.4- Estimação da demanda por 
café nos EUA, considerando apenas a 
dependência no preço, usando 12 
observações anuais entre 1980 e 1991 de:
Y = Consumo de café, medido em número de 
xícaras diárias por pessoa;
X = Preço real do café no varejo, em US$ por 
libra-peso (1 libra-peso = 0,454 Kg).
(preço real = preço nominal/IPC, 1967 = 100)
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Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
Modelo estimado:
Interpretação: estima-se que, tudo o mais 
constante, um aumento de US$ 1 no preço 
gere uma redução de aproximadamente 0,5 
xícara diária por indivíduo (0,4795 xícara).
6628,0R X4795,06911,2Ŷ 2
)0114,0()1216,0(
=−=
Esta especificação corresponde a uma 
função demanda linear: Y = β0 + β1X.
Esta não é uma função demanda adequada.
Qual o formato de uma função demanda 
mais realista? (considere um bem comum)
Uma função demanda apropriada é:
(β1<0 para bens comuns). 
Passando o ln nos dois lados da equação: 
lnY = ln(k) + β1lnX.
,kXY 1β=
lnY = β0 + β1lnX.
A função demanda do slide anterior 
corresponde à seguinte relação entre Y e X:
sendo β1 uma aproximação da elasticidade 
de Y em relação a X (válida para variações 
pequenas em X e Y, e suposta constante).
Prova: 
Derivando os 2 lados com respeito a X:
XdX
)Xln(d
dX
dY
Y
1
dX
Ylnd
110 β=β+β
=
igualando 
X
dX
Y
dY
1 =β
O modelo de regressão que permite estimar 
os parâmetros da equação proposta é:
lnY = β0 + β1lnX + u
Este modelo, chamado log-log, é usado para 
estimar a elasticidade de Y em relação à X.
O modelo log-log também costuma ser 
chamado modelo de elasticidade constante.
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Disciplina: Estatística - Professor: Eduardo Lima Campos
Exemplo 19.5- No exemplo da demanda por 
café, considere agora o seguinte modelo:
7448,0R Xln2530,07774,0Yln 2
)0494,0()0152,0(
=−=
Interpretação: a estimativa da elasticidade-
preço da demanda por café é -0,2530, o que 
significa que um aumento de 1% no preço 
gera, tudo o mais constante, uma redução 
de aproximadamente 0,25% na demanda.
.ˆ
Obs1 - no modelo do exemplo 19.4, até 
poderíamos calcular uma elasticidade 
no ponto das médias amostrais
A elasticidade calculada desta forma é 
chamada pontual pois cada ponto (X,Y) 
gera um valor diferente para ela. Sua 
interpretação é, por esta razão, difícil.
.22,0219,0
43,2
11,1
4795,0
Y
Xˆ
1 −≅−=−=β=η
:)Y,X(
Obs2 - outras vantagens de trabalhar com 
o logaritmo de Y, ao invés de Y em nível:
- Reduzir os efeitos da heterocedasticidade 
(exemplo dos salários x educação)
- Reduzir o impacto de outliers
Outras especificações podem ser 
consideradas, como o modelo nível-log: 
Y = ββββ0 + ββββ1ln(X) + u
(aplicação: estimar o efeito sobre ∆Y de 
uma variação relativa ou percentual em X)
Ou o modelo recíproco:
Y = ββββ0 + ββββ1/X + u
Obs - o R2 não pode ser usado para 
comparar modelos cujas variáveis 
dependentes sejam diferentes, por exemplo:
- modelo log-nível x modelo nível-log
- modelos dos exemplos 19.4 e 19.5
Outro modelo importante é o de regressão 
quadrática, que será abordado mais à frente, 
no contexto de regressão múltipla.