Aula 4 - Curvas horizontais circulares e de transição

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ESTRADAS E PAVIMENTAÇÃO
CURVAS HORIZONTAIS
Tatiana Oliveira
a) CURVAS HORIZONTAIS 
CIRCULARES
ESTRADAS E PAVIMENTAÇÃO
Curvas horizontais circulares
1. INTRODUÇÃO
- Curvas horizontais: geralmente usadas para desviar de
obstáculos. Ex: lagos, pântanos, rochedos, ...
- Deflexões podem harmonizar o traçado com a topografia.
- Determinação de curvas horizontais:
a) Pela topografia da região;
b) Pelas características geológicas e geotécnicas dos solos
de fundação;
c) Pela hidrografia; e
d) Pelos problemas de desapropriação.
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Curvas horizontais circulares
- O raio das curvas horizontais devem garantir:
a) A inscrição dos veículos (os veículos contidos nas faixas
de tráfego da curva);
b) A visibilidade dentro dos cortes; e
c) A estabilidade dos veículos que percorrem a via com
grandes velocidades.
- Curvas horizontais simples são as mais comuns.
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Curvas horizontais circulares
2. GEOMETRIA DA CURVA CIRCULAR
- Tipo de curva simples de ser projetada e locada.
Elementos geométricos da curva circular simples utilizados tanto no 
seu projeto como na sua locação
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Curvas horizontais circulares
2.1 Característica dos elementos geométricos da curva circular
simples
a) Ponto de início da curva circular: PC (ponto da curva) –
pode ser PCD (direita) ou PCE (esquerda); PT é o ponto da
tangente.
b) Raio (R): raio em metros;
OBS: Em função das características técnicas da rodovia, e
da topografia;
Também pode ser feita por gabaritos que representam
os trechos das curvas circulares.
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c) Ângulo central (AC): formado pelos raios que passam
pelo PC e PT , e que se interceptam no ponto O (centro da curva).
É igual à deflexão entre os alinhamentos das tangentes do eixo da
estrada.
d) Desenvolvimento (D): comprimento do arco de PC até o
PT;
e) Grau da curva (G): ângulo central igual a corda de
comprimento c;
f) Afastamento (E): distância entre o PI e o ponto médio 
da curva; e
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g) Deflexão por metro (dm): ângulo formado entre a
tangente T e uma corda que parte do PC, e que tem comprimento
c = 1 m.
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2.2 Indicações usuais dos elementos da curva circular nas folhas
de projeto
a) Indicar as estacas com numeração múltiplos de 5.
b) Indicar o PC e o PT, com o número escrito ao longo dos
raios externos das curvas;
c) Interno a curva, indicar os valores dos principais elementos
geométricos da curva (R, ∆, G, T, D e dm).
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d) Indicar cortes e os aterros e enquadrar o eixo da estrada
entre dois traços paralelos, igual à largura da plataforma
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2.3 Principais relações entre alguns elementos geométricos da
curva circular simples
𝑻 = 𝑹. 𝒕𝒂𝒏
∆
𝟐
E= 𝑹.
𝟏
𝒄𝒐𝒔
∆
𝟐
− 𝟏 E = afastamento (m);
R = raio da curva (m); e
∆ = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus).
T = tangente externa (m);
R = raio da curva circular (m); e
∆ = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus).
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Curvas horizontais circulares
D=
π.𝑹.∆
𝟏𝟖𝟎º
E(PC) = estaca do PC (ponto de curva);
E(PI) = estaca do PI (interseção das tangentes);
[T] = valor da tangente em estacas;
E(PT) = estaca do PT (ponto de tangente); e
[D] = valor do desenvolvimento em estacas.
/E(PC) = E(PI) - [T] 
E(PT) = E(PC) - [D] 
D = desenvolvimento (m);
R = raio da curva (m); e
∆ = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus)
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Curvas horizontais circulares
G=
𝟏𝟖𝟎.𝒄
π.𝑹
G = grau da curva (ângulo da corda c) (graus);
c = corda (m); e
R = raio da curva circular (m)
OBS: Quando o comprimento de arco é substituído por uma corda, se
comete um erro, que cresce com o comprimento da corda;
O erro será menor que 0,01 m, ou desprezível se adotarmos:
a) Cordas de 20 m, para locar curvas com R ≥ 180 m;
b) Cordas de 10 m, para locar curvas com 65 m ≤ R < 180 m;
c) Cordas de 5 m, para locar curvas com 25 m ≤ R < 65 m; e
d) Cordas de 2 m, para locar curvas com R < 25 m.
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Curvas horizontais circulares
- Para uma corda de c = 20 m:
G𝟐𝟎 =
𝟏𝟏𝟒𝟓,𝟗𝟐
𝑹
G20 = grau da curva (corda de 20 m) (graus); 
R = raio da curva (m)
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G = grau da curva (graus);
R = raio da curva (m); 
c = corda (m).
G= 𝟐. 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏
𝒄
𝟐𝑹
G = grau da curva (graus);
D = ângulo de deflexão entre as tangentes (graus);
D = desenvolvimento (m); 
c = corda (m)
G=
𝒄.∆
𝑫
- Outras equações:
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D=
𝑮
𝟐
d = deflexão sobre a tangente correspondente à corda c; 
G = grau da curva (correspondente à corda c)
dm=
𝑮
𝟐.𝒄
dm = deflexão por metro (graus/m ou minutos/m);
G = grau da curva (corda c) (graus ou minutos); 
c = corda (m
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3. LOCAÇÃO DE CURVAS CIRCULARES HORIZONTAIS POR
DEFLEXÃO
3.1. Locação de curvas circulares por deflexão sucessiva
- Deflexão sucessiva: ângulo que a visada da estaca forma
com a tangente ou com a estaca anterior.
i) Locação de curva circular com cordas de 20 m:
a) Cálculo da primeira deflexão sucessiva (ds1)
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Curvas horizontais circulares
a) Cálculo da primeira deflexão sucessiva (ds1)
ds1 = primeira deflexão sucessiva em relação à tangente externa (min.);
(20–a) = distância ente o PC e a primeira estaca inteira da curva (m);
a = parte fracionada da estaca do PC (m);
G = grau da curva (min.);
c = corda (m); 
dm = deflexão por metro (min. / m)
𝒅𝒔𝟏 = 𝟐𝟎 − 𝒂 . 𝒅𝒎 = 𝟐𝟎 − 𝒂 .
𝑮
𝟐. 𝒄
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b) Cálculo da última deflexão sucessiva (dsPT):
𝒅𝒔𝑷𝑻 = 𝒃. 𝒅𝒎 =
𝒃. 𝑮
𝟐. 𝒄
dsPT= última deflexão sucessiva da curva (min.);
b = parte fracionada da estaca do PT (m);
G = grau da curva (min.);
c = corda (m);
dm = deflexão por metro (min./m).
c) Demais deflexões da curva, entre a última estaca inteira e
a primeira estaca inteira da curva
𝒅𝒔 =
𝑮
𝟐
ds = deflexão da curva (entre a última estaca inteira e a primeira
estaca inteira da curva, ou situada entre a última e a primeira
deflexão sucessiva);
G = grau da curva
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Primeira deflexão 
pela tangente 
externa
Deflexões sucessivas 
em relação as estacas 
anteriores
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i) Locação de curva circular com cordas de 10, 5 e 2 m
a) Grau da curva
G=
𝟏𝟖𝟎°.𝒄
π.𝑹
G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c);
c = corda; 
R = raio da curva circular
b) Deflexão correspondente á corda de locação (d)
d=
𝑮
𝟐
G = grau da curva (ou ângulo que corresponde à corda c); 
d = deflexão correspondente à corda de locação.
c) Deflexão por metro (dm)
dm=
𝑮
𝟐.𝒄
G = grau da curva (correspondente à corda c);
c = corda da curva; 
Dm = deflexão por metro.
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3.2 Locação de curvas circulares horizontais por deflexão 
acumuladas
- As deflexões são em relação à tangente externa e
representam valores acumulados das deflexões sucessivas.
Esquema de cálculo das deflexões acumuladas com base nas 
deflexões sucessivas, para curvas circulares com cordas de 20 m
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OBS: Para verificação dos cálculos, a deflexão acumulada para o
PT deverá ser igual à metade do ângulo central da curva, ou seja,
∆/2.
Esquema da caderneta de locação da curva 
circular horizontal
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4 RAIO MÍNIMO DA CURVA HORIZONTAL
- É o menor raio da curva de concordância horizontal, que
poderá ser usado no projeto rodoviário ou ferroviário.
4.1 Esforços atuantes no veículo nos trechoscurvos
- Veículos em curva estão submetidos à força centrífuga
conforme a equação:
Fc=
𝒎.𝒗²
𝑹
v = velocidade do veículo;
m = massa do veículo; e
R = raio de curvatura da curva.
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Forças atuantes no veículo, quando percorre uma curva horizontal, 
inclusive a superelevação da pista na curva
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Observações:
1 - Veículo é forçado para fora da curva pela força centrífuga.
2- A força centrífuga é compensada:
a) Pelo peso devido à superelevação
b) Pela força de atrito lateral entre os pneus e a superfície do
pavimento.
- Problemas causados pela força centrífuga:
a) Rodovias: causa derrapagens jogando os veículos para
fora da pista;
b) Ferrovias: causa descarrilamentos e tombamentos
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4.1. Relação geral entre: o raio, a superelevação, o coeficiente
de atrito e a velocidade
R=
𝑽²
𝟏𝟐𝟕(𝒆+𝒇𝑻)
R = raio da curva horizontal (m);
V = velocidade do veículo (km/h);
e = superelevação (m/m); 
fT = coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento
4.2 Expressão para o cálculo do raio mínimo de curvas
horizontais
R𝐦í𝐧 =
𝑽²
𝟏𝟐𝟕(𝒆𝒎
á𝒙
+
𝑻𝒎á𝒙
)
R = raio mínimo de curvatura horizontal (m);
V = velocidade diretriz ou de projeto (km/h);
emax = máxima taxa de superelevação admissível (m/m); 
fTmax = máximo coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento
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4.3 Valores máximos do coeficiente de atrito e da
superelevação
a) Determinação do máximo coeficiente de atrito transversal
pneu/pavimento
- O máximo coeficiente de atrito adota valores bem
menores do que os obtidos na eminência do escorregamento do
veículo, estes valores são corrigidos com um fator de segurança.
Valores máximos admissíveis para o coeficiente de 
atrito Transversal pneu/pavimento
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- AASHTO recomenda para cálculo do atrito transversal:
fT = coeficiente de atrito transversal pneu/pavimento; 
V = velocidade de projeto (km/h)
fT= 𝟎, 𝟏𝟗 −
𝑽
𝟏𝟔𝟎𝟎
b) Determinação da superelevação máxima
- AASHTO: os valores máximos adotados para
superelevação são em função:
a) Das condições climáticas;
b) Das condições topográficas;
c) Do tipo de área, que pode ser rural ou urbana; e
d) Da frequência do tráfego tipo lento no trecho
considerado.
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Curvas horizontais circulares
Valores da superelevação máxima admissível para 
diversas situações, e para determinadas classes de projeto 
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4.4. Raio mínimo para curvas circulares em ferrovias
a) Superelevação para ferrovias: é a cota entre os trilhos.
b: bitola da ferrovia
S: superelevação dos trilhos
- Superelevações máximas para o caso ferroviário são:
𝒂) 𝑺𝒎á𝒙 =
𝒃
𝟏𝟎
b) 𝑺𝒎á𝒙 =
𝒃
𝟖
→ Para bitola larga (b = 1,60 m)
→ Para bitola estreita (b = 1,00 m)
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- A superelevação (S), metros, para o raio de uma curva
circular qualquer de uma ferrovia:
V = velocidade de projeto do trem (km/h);
b = bitola da ferrovia (m);
R = raio da curva horizontal (m)
S = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟐.
𝒃.𝑽²
𝑹
b) Equação para obtenção do raio mínimo de curvas
circulares em ferrovias
Rmín =
𝒃.𝑽²
𝟏𝟐𝟕.𝑺𝒎
á𝒙
V = velocidade de projeto do trem (km/h);
b = bitola da ferrovia (m); 
Smax = superelevação máxima (m)
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5. VISIBILIDADE NAS CURVAS HORIZONTAIS
5.1 Considerações gerais acerca da visibilidade nas curvas
- As curvas horizontais devem atender às condições mínimas
de visibilidade, assegurando uma distância de visibilidade maior que
a distância de visibilidade de parada.
- Obstruções no interior das curvas horizontais podem limitar
a visibilidade e requerer:
a) Ajuste na seção transversal da estrada;
b) Modificação no alinhamento da estrada
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5.2 Cálculo do valor de M
- É o afastamento mínimo do motorista para um obstáculo
visual lateral, satisfazendo a distância de visibilidade de parada ou de
ultrapassagem no interior da curva.
Elementos geométricos envolvidos 
no cálculo do afastamento 
horizontal mínimo (M)
A = veículo que percorre a pista;
B = obstáculo na pista ao longo do percurso do olho
do motorista;
R = raio do percurso do olho do motorista;
RC = raio da curva;
O = centro da curva;
∝ = ângulo AÔB;
M = afastamento horizontal mínimo para o obstáculo
visual lateral (talude de corte); ou distância
perpendicular da linha de percurso do olho do
motorista ao obstáculo lateral
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Curvas horizontais circulares
- Afastamento horizontal mínimo
R = raio do percurso do olho do motorista (m);
D = distância de visibilidade de parada ou de ultrapassagem (m); 
M = afastamento horizontal mínimo (m)
M=
𝑫²
𝟖.𝑹
OBS: Considerar R = RC (raio da curva)
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6 TANGENTE MÍNIMA
a) Tangente mínima para rodovias: é o comprimento
mínimo da tangente entre duas curvas de curvaturas opostas.
- Tem como função:
a) Possibilitar a distribuição da superelevação;
b) Facilitar a inscrição (ou inclusão) do veículo na curva.
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Curvas horizontais circulares
- Curvas com transição: não há necessidade de tangente
mínima.
- Curvas circulares cujos raios dispensam o uso de
transição, adota-se tangente mínima de 40 m.
b) Tangente mínima para ferrovias
- Deve comportar com folga o maior trem que trafega na
linha
- Tangentes mínimas:
a) 210 m, para curva circular horizontal simples e ferrovia
de bitola larga; e
b) 50 m, no caso de se usar curva de transição; este
comprimento é suficiente para evitar torção nos trilhos causada
pela mudança brusca de direção do trem.
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b) CURVAS HORIZONTAIS 
DE TRANSIÇÃO
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1. INTRODUÇÃO
- Ojbjetivo: assegurar conforto e segurança nas curvas,
através da redução da variação brusca da aceleração
centrífuga, com uso de curva de transição entre a tangente.
- Com este tipo de curva, o raio de curvatura passa do
valor infinito na tangente, para um valor finito na curva circular
de forma gradativa e suave.
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2. CURVAS DE TRANSIÇÃO: CARACTERÍSTICA, FUNÇÕES E
TIPOS
2.1 Características das curvas de transição
- Curvatura progressiva com raio variável.
2.2 Funções das curvas de transição
a) Aumento gradual da aceleração centrífuga: do trecho reto
para o trecho curvo.
b) Trecho adequado para efetuar o giro da pista, até a
superelevação.
c) Condução a um traçado fluente para o tráfego e
visualmente satisfatório (sem sustos) para os motoristas.
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2.3 Tipos usuais de curva de transição
- Vantagens da curva de transição:
a) Cálculo mais fácil;
b) Atendem melhor às exigências técnicas de um bom
traçado, fornecendo segurança e conforto aos usuários.
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i) Curvas de transição mais comuns
a) Clotóide ou espiral de Cornu: o raio instantâneo de
curvatura (R) é inversamente proporcional ao comprimento da curva
(L).
b) Lemniscata de Bernouille: o raio instantâneo de curvatura
(R) é inversamente proporcional ao raio vetor correspondente (p).
c) Parábola cúbica: y = k.x³
x = abscissa de um ponto qualquer da curva
y = ordenada de um ponto qualquer da curva
k = coeficiente
Aspecto das curvas de raio 
variável ou de transição mais 
usadas nos projetos 
geométricos de estradas 
OBS: A parábola cúbica é usada
em ferrovias na Europa
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ii) as horizontais que dispensam o uso de transição
- DNIT: é dispensadoo uso de curvas de transição em
função dos parâmetros:
a) Velocidade de projeto ou diretriz;
b) Raio da curva de concordância horizontal.
- É dispensado o uso dessa curva quando a aceleração
centrífuga é menor ou igual a 0,4 m/s².
Valores-limite dos raios R acima para 
dispensa das curvas de transição
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3. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS PARA O PROJETO E A
LOCAÇÃO DA CURVA HORIZONTAL SIMÉTRICA
COM ESPIRAIS DE TRANSIÇÃO
- Dividida em:
a) Parte inicial: curva espiral
b) Parte central: curva circular
c) Parte final: curva espiral
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OBS: As duas espirais que formam a curva composta são simétricas em relação
ao PI (ponto de interseção das tangentes).
Elementos geométricos da curva horizontal simétrica com espirais 
de transição
Curvas 
espirais 
Trecho circular 
Curvas 
espirais 
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3.2 Cálculo dos elementos geométricos da curva horizontal
simétrica com espirais de transição (Método do raio
conservado)
i) Considerações iniciais
- É necessário o afastamento da curva circular em relação
à tangente, que pode ser obtido por:
a) Método do centro conservado: o raio RC é reduzido para
RC-p, onde: RC é o raio da curva circular, e p é o afastamento da
curva circular em relação à tangente.
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Curvas horizontais de transição
b) Método do raio conservado: o centro O da curva circular
é afastado para o centro O’, e se conserva o raio (RC) da curva
circular definido inicialmente.
c) Método do raio e centro conservados: as tangentes são
afastadas a uma distância p da curva circular.
OBS: O método do raio conservado é o método MAIS
USADO porque:
a) Não altera o raio RC da curva circular;
b) Não altera a posição das tangentes.
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Curvas horizontais de transição
ii) Cálculo do ângulo de transição (θS)
θS = ângulo de transição (rad);
LS = comprimento da espiral de transição (nos trechos
entre os pontos TS e SC, ou entre os pontos CS e ST)
(m);
RC = raio da curva circular (m).
iii) Cálculo da abscissa dos pontos SC e CS (XS)
θS = ângulo de transição (rad);
LS = comprimento da espiral de transição (nos
trechos entre os pontos TS e SC, ou entre os
pontos CS e ST) (m);
XS = abscissa dos pontos SC e CS(m).
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Curvas horizontais de transição
iv) Cálculo da ordenada dos pontos SC e CS (YS)
θS = ângulo de transição (rad);
LS = comprimento da espiral de transição (nos
trechos entre os pontos TS e SC, ou entre os
pontos CS e ST) (m);
YS = ordenada dos pontos SC e CS(m).
v) Cálculo da abscissa do centro O’ (k)
k = abscissa do centro O’ (m);
RC = raio da curva circular (m);
θS = ângulo de transição (graus); 
XS = abscissa dos pontos SC e CS (m).
ESTRADAS E PAVIMENTAÇÃO
Curvas horizontais de transição
vi) Cálculo do afastamento da curva circular (p)
RC = raio da curva circular (m);
θS = ângulo de transição (graus);
YS = ordenada dos pontos SC e CS (m); 
p = afastamento da curva circular (m)
vii) Cálculo da tangente total (TT)
TT = tangente total (m);
k = abscissa do centro O’ (m);
RC = raio da curva circular (m);
p = afastamento da curva circular (m);
D = deflexão das tangentes (graus).
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viii) Cálculo da distância do PI à curva circular (E)
p = afastamento da curva circular (m);
∆ = deflexão das tangentes (graus);
RC = raio da curva circular (m);
E = distância do PI ao ponto médio da curva circular (m).
ix) Cálculo do desenvolvimento (ou comprimento) da curva circular
(para o caso de espirais simétricas)
∆ = deflexão das tangentes (rad);
θS = ângulo de transição (rad);
Ф = ângulo central do trecho circular (rad);
RC = raio da curva circular (m);
D = desenvolvimento (ou comprimento) da curva circular (m)
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Curvas horizontais de transição
Ф = ângulo central do trecho circular (graus); 
RC = raio da curva circular (m).
- Para Ф em graus, o desenvolvimento é calculado por:
OBS:
a) O valor de D (desenvolvimento) não deverá ser negativo; 
b) Quando forem escolhidos LS muito grandes, pode acontecer que
2.θS>D, isto é, D < 0. Assim, os valores de LS devem ser diminuídos para que
seja obtido D ≥ 0.
Lembrando: Ф = fi, θ = teta e ∆ = delta. 
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Curvas horizontais de transição
x) Estacas dos pontos notáveis da curva horizontal simétrica com
espiral de transição
E(TS) = estaca do ponto tangente-espiral;
E(PI) = estaca do ponto de interseção das tangentes;
[TT] = valor da tangente total em estacas;
E(SC) = estaca do ponto espiral-circular;
[LS] = valor do comprimento da espiral em estacas;
E(CS) = estaca do ponto circular-espiral;
[D] = valor do desenvolvimento em estacas; 
E(ST) = estaca do ponto espiral tangente
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3.3 Comprimento mínimo da curva de transição
V = velocidade de projeto (km/h);
RC = raio da curva circular (m); 
LSmin = comprimento mínimo da curva de transição (m).
3.4 Comprimento máximo da curva de transição
RC = raio da curva circular (m);
D = deflexão das tangentes (graus); e
LSmax = comprimento máximo da curva de transição (m)
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3.5 Comprimento da curva de transição recomendado para
projeto
LS = comprimento da curva de transição (m);
LSmin = comprimento mínimo da curva de transição (m);
LSmax = comprimento máximo da curva de transição (m);
RC = raio da curva circular (m); 
LS(NORMAL) = comprimento normal da curva de transição (m).
3.6 Comprimento das cordas de locação da curva horizontal
com espirais de transição
a) 5 metros: quando o raio de curvatura no trecho circular
for menor que 100 m;
b) 10 m: quando o raio de curvatura do trecho circular for
maior ou igual a 100 m.
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4. LOCAÇÃO DA CURVA HORIZONTAL SIMÉTRICA COM
ESPIRAIS DE TRANSIÇÃO (RAIO CONSERVADO)
Elementos geométricos utilizados 
para locação da curva horizontal 
simétrica com espirais de transição
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4.1. Locação dos trechos correspondentes às curvas espirais
Esquema de locação das espirais de transição
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Exemplo de uma caderneta de projeto e locação de uma curva 
horizontal simétrica com espirais de transição