Estrutura-Cristalina

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Sistemas Cristalinos
Profa Euliane Correia
Estruturas Cristalinas
• São divididas em grupos de acordo com as
configurações da célula unitária;
• Sistema de coordenadas x, y e z;
• A geometria da célula unitária é definida em
seis parâmetros (parâmetros de rede):
• Aresta (a, b, c);
• Três ângulos entre os eixos (α, β e γ);
Coordenadas dos Pontos
qa – coordenada do eixo x;
rb – coordenada do eixo y;
sc – coordenada do eixo z;
A posição de qualquer
ponto localizado no interior de
uma célula unitária pode ser
especificados por
coordenadas, calculadas como
múltiplos fracionários dos
comprimentos das arestas.
Exercício de Fixação
1) Escrevas as coordenadas dos pontos em que
se localizam os átomos em uma célula
unitária CCC:
A
B
C
D
E F
G
H
• Um vetor com comprimento
conveniente é posicionado
tal que ele passe através da
origem do sistema de
coordenadas;
• Os comprimentos são
medidos em termos das
arestas a, b e c;
• Esses três números são
multiplicados por um fator
comum para reduzi-los aos
menores valores inteiros u,
v e w.
Direções Cristalográficas
Direções [100], [110] e [111] no
interior da célula unitária.
Direções Cristalográficas
Projeção sobre o 
eixo y
Projeção sobre o 
eixo x
x y z
Projeções a/2 b 0c
Projeções (a,b e c) 1/2 1 0
Redução 1 2 0
Indice Miller [120]
Direções Cristalográficas
x y z
Projeções a -a 0a
Projeções (a,b e c) 1 -1 0
Redução 1 -1 0
Indice Miller [110]
Nos cristais cúbicos,
todas as direções
representadas pelos
seguintes índices são
equivalentes: [100], [010],
[001] e os respectivos
negativos. Esses grupos
equivalentes são chamados
de famílias.
Cristais Hexagonais
• Sistema de coordenadas
com quatro eixos ou de
Miller-Bravais;
• Três eixos a1, a2 e a3, todos
em um mesmo plano e um
único perpendicular;
• Os índices de direção
[uvtw], sendo os três
primeiros referentes as
projeções do plano basal. Plano Basal
Determinação do Índice Miller
'
)(
)''2(
3
1
)''2(
3
1
][]'''[
ww
vut
uvv
vuu
uvtwwvu
=
+−=
−=
−=
→
Formulas para
conversão do sistema com
três coordenadas para o
sistema com quatro:
Os três primeiros índices são relativos às
projeções ao longo dos respectivos
eixos a1, a2 e a3.
][
][
321 waaa
uvtw
Exercício de Aplicação
1) Determine os índices para a direção mostrada na
célula unitária hexagonal da figura abaixo:
]3211[
1'
3
2
3
1
3
1)(
3
1]1)1)(2[(
3
1)''2(
3
1
3
1]1)1)(2[(
3
1)''2(
3
1
][]'''[
==
−=




 +−=+−=
=−=−=
=−=−=
→
ww
vut
uvv
vuu
uvtwwvu
Planos Cristalográficos
• A célula unitária é a base, com sistema de
coordenadas com três eixos;
• Se o plano passa pela origem selecionada, um outro
plano paralelo deve ser construído no interior da
célula unitária;
• O plano cristalográfico ou interceptará cada um dos
três eixos ou será paralelo;
• Os valores inversos desses números são calculados.
Um plano que é paralelo a um eixo pode ser
considerado como tendo uma interseção no infinito
(índice igual a zero);
Planos Cristalográficos
x y z
Projeções ∞a ∞b c
Projeções (a,b e c) 0 0 1
Redução 0 0 1
Indice Miller [001]
x y z
Projeções a b c
Projeções (a,b e c) 1 1 1
Redução 1 1 1
Indice Miller [111]
x y z
Projeções a b ∞c
Projeções (a,b e c) 1 1 0
Redução 1 1 0
Indice Miller [110]
Planos Cristalográficos
Ouve, nesse
caso, a necessidade
de translação da
origem das
coordenadas.
Arranjos Atômicos
Plano (110), CFC
Plano (110), CCC
O arranjo
atômico depende da
estrutura cristalina,
observa-se que o
empacotamento
atômico é diferente
para cada caso.
Para cristais
que possuem simetria
hexagonal, é
desejável que os
planos equivalentes
possuam os mesmos
índices.
Densidade Linear
Densidade linear (DL) – é definida como o numero
de átomos por unidade de comprimento cujos centros
estão sobre o vetor direção para uma direção
cristalográfica específica.
vetordoocompriment
direçãovetornocentradoátomosnDL
..
....°
=
Densidade Linear
Em relação ao número de átomos, é necessário levar
em consideração o compartilhamento de átomos com células
unitárias adjacentes. Os átomos X e Z, também são
compartilhados com uma célula unitária adjacente ao longo
dessa direção [110].
RR
átomosDL
2
1
4
2
110 ==
Densidade Planar
Plano (110), CFC
De maneira
análoga, a
densidade planar
(DP) é definida
como um número
de átomos por
unidade de área
que estão contidos
em um plano
cristalográfico
específico.planodoárea
planonoátomosnDP
..
..°
=
As unidades de área planar são o inverso da área, exemplo: nm-2, m-2.
Densidade Planar
Plano (110), CFC
Considere a seção de um plano (110) no
interior da célula unitária CFC. Embora seis
átomos tenham centro localizados nesse plano,
apenas um quarto (1/4) de cada átomo A, C, D e
Fe metade dos átomos B e E.
22
2
14
4
1
=










 ×+




 ×=°átomosN
Importância da DP
A densidade linear e planar são consideradas importantes
relacionadas ao processo de escorregamento, ou seja, ao mecanismo
pelo qual os metais se deformam plasticamente. O escorregamento
ocorre nos planos cristalográficos mais compactos e, nesses planos,
ao longo das direções que possuem maior empacotamento.
24
1
28
2
22110 RR
átomosDP ==
Monocristal
Quando em um sólido cristalino o arranjo periódico
e repetido dos átomos é perfeito ou se estende ao longo
da totalidade da amostra.
Monocristal de Granada (Fonte: Callister, 2008).
Monocristais se
tornaram de grande
importância em muitas das
nossas tecnologias modernas,
em particular os microcircuitos
eletrônicos, que empregam
monocristais de silício.
Policristal
Fotomicrografia da superfície de uma
amostra de uma liga ferro-cromo
policristalina, polida e atacada
quimicamente, onde os contornos de
grãos aparecem escuros (Fonte:
Callister).
Policristais são sólidos
cristalinos compostos por um
conjunto de muitos cristais ou grãos.
Imagem de uma pedra de granito, onde
podemos observar os diferentes minerais
dentro do mesmo material.
Policristal
(a) Pequenos núcleos
de cristalização;
(b) Crescimento dos
cristalitos;
(c) Conclusão da
solidificação, grãos
com formas
irregulares;
(d) Estrutura granular
como ela se
pareceria em um
microscópio.
Fonte: Callister.
Anisotropia
As propriedades físicas dos monocristais
de algumas substâncias dependem da
direção cristalográfica na qual as medições
são feitas. O modulo da elasticidade, a
condutividade elétrica e o índice de
refração podem ter valores diferentes nas
direções [100] e [111], esse direcionamento
das propriedades é chamada de
Anisotropia.
Anisotropia
Planos Cristalográficos
Plano (100) Plano (110) Plano (111)
O grau de anisotropia aumenta com a diminuição da
simetria estrutural, as estruturas triclínicas são altamente
anisotrópicas. Assim, o valor medido de uma propriedade
representa uma média dos valores direcionais.
Difração de Raio x
Wilhelm Konrad Rontgen nasceu em
Lennep em 27 de março de 1845. Tornou-se
engenheiro mecânico pela Universidade de
Zurique. Começou a lecionar em 1888 no Instituto
de Física de Wrzburg onde, ao investigar a
possibilidade de os raios catódicos emitidos pelas
ampolas de Crookes serem detectados por telas
florescentes, descobriu os raio x.
Primeira
radiografia obtida
por Rontger por
ocasião da
descoberta,
publicada na Nature
em 1896, 53, 274.
Química Nova, 18(6), 1995.
Raio X
• Os Raios X são feixes invisíveis;
• São produzidos por tubos de raios catódicos;
• Capazes de penetrar grandes espessuras de
diversos materiais (especialmente os menos
densos);
• São absorvidos mais fortemente pelo chumbo
ou platina;
Raio X
Raio X
Difração de Raio x
Os tipos de interação mais interessantes em espectroscopia
envolvem transições entre diferentes níveis energéticos das espécies
químicas. Outros tipos de interações, como a reflexão, refração,
espalhamento elástico, interferência e difração, são frequentemente mais
relacionados com alterações das propriedades globais dos materiais do
que com os níveis energéticos de moléculas ou átomos específicos.Evento de 
dispersão
Evento de 
dispersão
Onda 1 Onda 1’
Onda 2’Onda 2
Onda 3’
Onda 4’
Onda 4
Onda 3
Difração de Raio x
• Descoberto em 1912 por P. P. Ewald em sua pesquisa
de tese de doutorado sob orientação de Sommerfeld;
• O cristal deveria atuar como uma rede de difração
óptica tridimensional na qual os átomos se comportam
como fontes secundárias de radiação;
• A onda encontra uma série de obstáculos
regularmente espaçados que são capazes de
dispersar a onda e possuem espaçamentos
compatíveis em magnitude ao comprimento de onda
que incidem no material;
• Lei de Bragg de espalhamento da radiação de raio–x.
Lei de Bragg
• O raio x é uma forma de radiação
eletromagnética que possui altas energias e
comprimentos de onda curtos;
• Quando um feixe de raio s incide sobre um
material sólido, uma fração desse feixe será
dispersa em todas as direções pelos elétrons
que estão associados a cada átomo ou íon;
Quais as condições necessárias para 
ocorrer a difração de raios x???!!!
Fenômeno da Difração
222 lkh
adhkl
++
=
Lei de Bragg
Distância Interplanar 
ou Espaçamento 
interatômico
hklhkl sendn θλ .2=
Os feixes 1 e 2, são
dispersos pelos
átomos P e Q.
Se a diferença entre os
comprimentos das
trajetórias 1-P-1’ e 2-Q-2’
for igual a um numero
inteiro, n, de
comprimento de onda, a
difração tem
interferência construtiva.QTSQn +=λ
	Sistemas Cristalinos
	Estruturas Cristalinas
	Número do slide 3
	Coordenadas dos Pontos
	Exercício de Fixação
	Número do slide 6
	Direções Cristalográficas
	Número do slide 8
	Cristais Hexagonais
	Determinação do Índice Miller
	Exercício de Aplicação
	Planos Cristalográficos
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Densidade Linear
	Densidade Linear
	Densidade Planar
	Densidade Planar
	Importância da DP
	Monocristal
	Policristal
	Policristal
	Anisotropia
	Anisotropia
	Planos Cristalográficos
	Difração de Raio x
	Raio X
	Raio X
	Raio X
	Difração de Raio x
	Número do slide 32
	Difração de Raio x
	Lei de Bragg
	Fenômeno da Difração