Álgebra Linear e Geometria Analítica Parte VIII Transformações Lineares

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Álgebra Linear e Geometria Analítica 
Bacharelados e Engenharias 
Parte VIII – Transformações Lineares 
 
Prof.a Tânia Preto 
Departamento Acadêmico de Matemática 
UTFPR - 2014 
 
 
Importante 
• Material desenvolvido a partir dos livros da 
referencia bibliográfica da disciplina e das 
notas de aulas dos Professores do 
DAMAT/UTFPR; 
• Seu estudo não substitui a consulta e estudo 
profundo dos conteúdos dos livros da 
referencia bibliográfica ! 
Bons estudos !!! 
Transformação Linear 
1. Definições: 
• Sejam V e W dois espaços vetoriais reais. Uma 
função T (ou aplicação) é denominada 
Transformação Linear de V em W se: 
– T (v1+v2) = T(v1) + T(v2),  v1, v2  V 
– T ( v) =  T(v) + T(v2),    v1, v2  V 
• Notação: T:U  V 
• Sendo T uma função, cada vetor v  V tem apenas 
um vetor imagem w  W, indicado por w = T(v) 
• Se V = W, a transformação é um Operador Linear. 
 
Transformação Linear 
1. Definições - Exemplos 
Exemplo 1) Seja U = 2 e V = 3. Uma 
transformação T: 2 3 associa vetores u = (x, 
y)  2 com vetores w = (x, y, z)  3 . Seja a 
seguinte lei de transformação: 
T(x, y) = (3x, -2y, x – y) 
 Alguns valores obtidos são: 
T(-1, 3) = (-3, -6, -4) 
T(0, 0) = (0, 0, 0) 
T(2, 1) = (6, -2, 1) 
 
 
 
Transformação Linear 
2.Definições - Exemplos (cont.) 
Ex2) Seja T: 2 3 definida por: 
T(x, y) = (3x, -2y, x – y). 
Mostre que T é transformação linear: 
(i) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2), logo: 
T(u + v) = T (x1 + x2, y1 + y2) = 
 = ( 3(x1 + x2), -2(y1 + y2) ,(x1 + x2) - (y1 + y2)) = 
 = (3x1, -2y1 , x1 - y1) + (3x2, -2y2 , x2 – y2) = 
 = T(u) + T(v) 
(ii) T(u) = T((x1, y1)) = T(x1, y1) = 
 = (3(x1), -2(y1), x1- y1) = 
 = (3x1,-2y1,x1- y1) = 
 = (3x1,-2y1,x1-y1) =  T(u) 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
2. Definições (cont.) 
Teorema: Sejam U e V dois espaços vetoriais e T: 
UV uma transformação linear. Então T(0) = 0. 
 
 
 
Transformação Linear 
2. Definições (cont.) 
 
 
 
Transformação Linear 
2. Definições - Exemplos (cont.) 
Ex3) Mostre que a transformação identidade é 
linear: 
 
Basta fazer: 
 
Ex4) Idem para a 
transformação nula: 
 
Transformação Linear 
2. Definições - Exemplos (cont.) 
Ex5) Idem para a transformação simétrica: 
 
 
Basta fazer: 
 
Ex5) Mostre que a projeção 
ortogonal do 3 sobre o 2 , 
ou seja, T(x, y, z) = (x, y, 0) é 
linear. 
 
 
Transformação Linear 
2. Definições - Exemplos (cont.) 
Ex5) (cont.) - T(x, y, z) = (x, y, 0) 
(i) 
 
 
 
 
(ii) 
 
 
 
Transformação Linear 
Exercícios 
Exercício 1) Seja T:   definida por: 
T(x) = 3x. Verifique se T é transformação linear. 
Exercício 2) Seja T:   definida por: 
T(x) = 3x +1. Verifique se T é transformação linear. 
Exercício 3) Seja T: 4 2 definida por: 
T(x, y, z, w) = (x +y+1, z – w -1). Verifique se T é 
transformação linear. 
Exercício 4) Seja T: 2 2 definida por: 
T(x, y) = (x2, 3y). Verifique se T é transformação 
linear. 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.1 Expansão (ou contração) uniforme 
T: 2  2 v  2v ou T(x, y) = (2x, 2y) 
Cada função leva cada vetor do plano em outro de 
mesma direção e sentido, mas de módulo maior: 
 
 
 
Na forma de vetores colunas: 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.2 Reflexão em torno do eixo x 
T: 2  2 T(x, y) = (x, -y) 
 
 
 
Na forma de vetores colunas: 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.3 Reflexão na origem 
T: 2  2 T(x, y) = (x, -y) 
 
 
 
Na forma de vetores colunas: 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.4 Rotação de um ângulo  (sent. anti-horário) 
x’ = r cos(+) = 
 r cos cos - 
 r sen sen 
Como x= r cos 
e y= r sen, 
então x’= x cos - y sen 
Analogamente: 
y’ = r sen(+) = r (sen cos + cos sen) => 
 y´ = y cos + x sen 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.4 Rotação de um ângulo  (sent. anti-horário)-cont. 
T(x, y) = (x cos - y sen, y cos + x sen) 
 
 
No caso onde  = /2, cos  = 0 e sen  = 1, a 
matriz de transformação e a rotação são as 
seguintes: 
 
 
 
 
Transformação Linear 
3. Transformações Lineares no plano - Aplicações 
3.5 Cisalhamento Horizontal 
T(x, y) = (x + ky, y ) onde k   
Exemplo: T(x, y) = (x + 2y, y ) 
 
 
 
 
Transformação Linear 
4. Propriedades: 
I) Teorema: Dados dois espaços vetoriais V e W e 
uma base de V, {v1, v2, v3, ..., vn}, sejam w1, ..., wn 
elementos arbitrários de W; Então existe uma 
única aplicação linear T: V W tal que 
T(v1) = w1, T(v2) = w2, ..., T(vn) = wn. 
 Essa aplicação é dada por: 
Se v= a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + ... + an vn então 
T(v) = a1 T(v1) + a2 T(v2 ) + a3 T(v3 ) + ... + an T(vn) 
 Sejam U e V dois espaços vetoriais e 
T: UV uma transformação linear, então T(0) = 0. 
 
 
 
Transformação Linear 
4. Propriedades: 
II) Definição: 
Dada uma aplicação T: V W, a mesma é injetora 
se, dados u  U e v  V, com 
T(u) = T(v) , então u = v. 
Ou ainda: se u  v então T(u)  T(v). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
4.Propriedades: 
II) Definição: 
Dada uma aplicação T: V  W, a mesma é 
sobrejetora se, dados a imagem de T coincidir com 
W, ou seja T(v) = W. 
Ou ainda: dado w  W, existe v  V tal que T(v) = 
W. 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
Exercícios (cont.) 
Exercício 5) Verifique se a translação, definida por 
T(x, y) = (x + a, y +b ), é transformação linear. 
Exercício 6) Determine a transformação linear 
T: 2 3 , sabendo que T(1, 0)= (2, 1, 0) e 
T(0, 1)= (0, 0, 1). 
Exercício 7) Seja T: 2 3 uma transformação 
linear e B = {v1, v2, v3 } uma base do 
3 onde 
v1= (0, 1, 0), v2= (1, 0, 1) e v3 = (1, 1, 0). 
Determine T(v), onde v = (5, 3, -2), sabendo que 
T(v1)= (1, -2), T(v2)= (3, 1) e T(v3)= (0, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
5. Núcleo de uma transformação linear 
Definição: Dados dois espaços vetoriais V e W 
reais e uma transformação linear T: V W entre 
eles, denomina-se núcleo da transformação ao 
conjunto de todos os vetores tal que T(v) = 0, 
seguindo a notação: 
 N(T) = Ker(T) = {v  V; T(v) = 0} 
 
 obs.: não confundir 
 nulo com vazio. 
 
 
Transformação Linear 
5. Núcleo de uma transformação linear 
Propriedades do núcleo: 
I) 
 
 
 
 
 
 
II) 
 
Transformação Linear 
5 Núcleo de uma transformação linear 
Propriedades do núcleo (cont.): 
a) 
 
 
 
b) 
Transformação Linear 
Exercícios (cont.) 
Exercício 8) Determine o núcleo da seguinte 
transformação linear: T: 2 2 , onde 
T(x, y)= (x+y, 2x-y) 
Exercício 9) Idem para T: 3 2 , sabendo que 
T(x, y, z)= (x-y+4z, 3x+y+8z) 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
6 Imagem da Transformação Linear 
Definição: Dados dois espaços vetoriais V e W 
reais e uma transformação linear T: V W entre 
eles, denomina-se Imagem Da Transformação ao 
conjunto de todos os vetores w  W que são 
imagens de pelo menos um vetor v  V, sendo este 
conjunto indicado por Im(T), ou seja, 
 Im(T) = {w  W; T(v) = w para algum v  V, } 
 
 
 
Transformação Linear 
6 Imagem da Transformação Linear 
Importante: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios (cont.) 
Exercício 10) Determine a imagem e o núcleo para 
T: 3 3 , onde T(x, y, z )= (x, y, 0). 
Exercício 11) Idem para T(v )= 0; 
Exercício 12) Idem para T(v )= I(v) = v;Transformação Linear 
7. Teorema do Núcleo e Imagem 
Teorema: 
Sejam V e W espaços vetoriais de dimensão finita 
e T: V  W uma transformação linear. Segue que: 
dim (N(T)) + dim (Im(T)) = dim (V) 
Corolário: 
Seja T: V  W uma transformação linear entre V e 
W. Se dim(V) = dim (W) então T é injetora se e 
somente se T é sobrejetora. 
 
 
Transformação Linear 
8. Mais Definições 
I) Em uma transformação linear temos: 
• O núcleo da transformação é um subespaço 
vetorial do domínio da função. 
• A imagem da transformação é um subespaço 
vetorial do contra-domínio da função. 
II) Uma função do conjunto A no conjunto B é dita 
bijetora se é injetora e sobrejetora ao mesmo 
tempo. 
III) Dados dois espaços vetoriais reais. Uma 
transformação linear entre eles é um isomorfismo 
se a mesma é bijetora (injetora e sobrejetora). 
Notação: U  V. 
 
 
 
 
 
 
Transformação Linear 
8. Mais Definições (cont.) 
IV) Dois espaços vetoriais de dimensão finita são 
isomorfos se e somente se dim(U) = dim (V). 
Exercícios (cont.): 
Exercício 13) Determine a dimensão do núcleo e da 
imagem para as transformações dos exerc. 10, 11, 12. 
Exercício 14) Seja T: 3 3. Determine uma base 
para o núcleo e outra para a imagem de T(x, y, z) = 
(x + 2y –z, y +z, x + y –2z). 
Exercício 15) Determine o núcleo e a imagem (e as 
respectivas bases) para T: 3 3 , sabendo que 
T(x, y, z )= (x + y –z, -2x + y +z, - x+ 2y).