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2019 2a Edição CálCulo DiferenCial e integral ii Profa. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Leonardo Garcia dos Santos Copyright © UNIASSELVI 2019 Elaboração: Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. Impresso por: H811c Horbach, Jaqueline Luiza Cálculo diferencial e integral II. / Jaqueline Luiza Horbach; Leonardo Garcia dos Santos. – Indaial: UNIASSELVI, 2019. 209 p.; il. ISBN 978-85-515-0295-2 1. Cálculo diferencial. – Brasil. 2. Cálculo integral. – Brasil. I. Santos, Leonardo Garcia dos. II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. CDD 517.1 III apresentação Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, vimos que a necessidade de calcular as taxas de variação de uma função (de forma instantânea) levou os “criadores” do cálculo a se interessarem pelo estudo dos coeficientes angulares de retas tangentes a uma função dada, ou seja, a derivada da função, a esse estudo foi atribuído o nome de “Cálculo Diferencial”. Mas é óbvio que as derivadas só contam a metade da história do Cálculo Diferencial e Integral. Além de calcular como as funções estão variando, os “criadores” do cálculo diferencial precisavam determinar (ou descrever) como as variações instantâneas de uma função poderiam “acumular” ao longo do tempo para desta forma modelar a função descritiva, ou seja, conhecendo como uma grandeza física “variou”, era possível descrever o comportamento da grandeza em si. Por exemplo, conhecendo-se a velocidade de um dado objeto que se move, é possível determinar a sua posição em um dado intervalo de tempo. Para determinar a posição do objeto é realizado uma análise da área abaixo da curva dada pela velocidade, esta pesquisa culminou no segundo principal objeto de estudo do cálculo: O cálculo integral! A partir deste momento, como houve a obtenção de um método para determinar coeficientes angulares e um método para calcular áreas sob curvas (duas operações geométricas que parecem não se assemelhar), o desafio foi criar uma relação entre eles, mais tarde essa relação ficou conhecida como “Teorema Fundamental do Cálculo”, tornando o Cálculo Diferencial e Integral uma das ferramentas mais poderosas da matemática. Este livro fala mais especificadamente do Cálculo Integral e está dividido em três unidades. Na primeira unidade iremos definir integral de uma função usando limite, veremos que a principal motivação de integral é o cálculo de área. Na Unidade 2 usaremos o conceito de integral para calcular área lateral de um sólido de revolução e o seu volume. Já na sequência, Unidade 3, iremos definir funções de várias variáveis reais e da mesma forma que no Cálculo Diferencial e Integral I definir o limite e continuidade de funções de várias variáveis. Sabemos, acadêmico, que para ter sucesso esta disciplina exige organização, determinação e um horário de estudos pré-definido. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença! Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação vamos iniciar a leitura deste livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico. IV Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos! NOTA Esperamos, que ao final deste estudo, você consiga notar a evolução do seu entendimento na área do Cálculo Diferencial e Integral e consiga aplicar estes conhecimentos nas mais diversas áreas. Desta forma, esta disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes. Bons estudos! Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Leonardo Garcia Santos V VI VII UNIDADE 1 – INTEGRAL DE RIEMANN ..........................................................................................1 TÓPICO 1 – CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN ..................................................3 1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3 2 CÁLCULO DE ÁREA .............................................................................................................................3 3 SOMAS DE RIEMANN ....................................................................................................................... 11 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL .................................................................................................... 14 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 15 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 16 TÓPICO 2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ........................................................... 19 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 19 2 INTEGRAIS INDEFINIDAS ............................................................................................................. 21 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ............................................................................... 25 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 30 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 31 TÓPICO 3 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO ..................................................................................... 33 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 33 2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO ....................................................................................................... 33 3 INTEGRAÇÃO POR PARTES ............................................................................................................38 4 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA ......................................................................................... 43 4.1 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 – x2............................... 44 4.2 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 + x2............................... 45 4.3 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √x2 – a2 ............................... 46 5 INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA ............................................................................................ 48 6 INTEGRAÇÃO USANDO FRAÇÕES PARCIAIS ......................................................................... 54 LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 63 RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 69 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 70 UNIDADE 2 – INTEGRAIS, ÁREA E VOLUME ............................................................................... 73 TÓPICO 1 – APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS DEFINIDAS ......................................................... 75 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 75 2 CÁLCULO DE ÁREA ........................................................................................................................... 75 3 VOLUMES ............................................................................................................................................. 86 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 92 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 94 TÓPICO 2 – INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .......................................................................................... 97 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 97 2 INTERVALOS INFINITOS ................................................................................................................. 97 3 INTEGRANDOS DESCONTÍNUOS ............................................................................................100 sumário VIII 4 COMPARAÇÃO ENTRE INTEGRAIS ..........................................................................................103 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................105 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................107 TÓPICO 3 – INTEGRAL DE COMPRIMENTO DE ARCO ..........................................................111 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................111 2 DEMONSTRAÇÃO ALGÉBRICA E DEFINIÇÃO ......................................................................111 3 COMPRIMENTO DE ARCO PARA CURVAS PARAMÉTRICAS ...........................................116 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................119 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................120 TÓPICO 4 – OUTRAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL .................................................................121 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121 2 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA ...........................................................................121 2.1 CONCEITO DE TRABALHO .......................................................................................................122 2.2 DEFINIÇÃO DE TRABALHO .....................................................................................................122 3 PRESSÃO E FORÇA HIDROSTÁTICA .........................................................................................126 3.1 DEFINIÇÃO DE PRESSÃO ..........................................................................................................126 3.2 DEFINIÇÃO DE FORÇA HIDROSTÁTICA ..............................................................................126 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................130 RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................134 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................135 UNIDADE 3 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS .....................................................................137 TÓPICO 1 – FUNÇÕES COM MAIS DE UMA VARIÁVEL .........................................................139 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................139 2 FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS REAIS ....................................................................................139 3 CURVAS DE NÍVEL DE FUNÇÕES DE DUAS VÁRIAVEIS REAIS .....................................147 4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS ...............................................................................153 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................157 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................158 TÓPICO 2 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ............161 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................161 2 LIMITE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ......................................................................161 3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS ..................................................172 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................176 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................178 TÓPICO 3 – DERIVADAS PARCIAIS ...............................................................................................181 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................181 2 DERIVADAS PARCIAIS ...................................................................................................................181 3 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR .....................................................................186 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................191 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................192 IX TÓPICO 4 – APLICAÇÕES .................................................................................................................195 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................1952 INVESTIMENTOS EM PRODUÇÃO ...........................................................................................195 3 ELASTICIDADES ...............................................................................................................................198 4 DIFERENCIAL ....................................................................................................................................199 LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................202 RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................207 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................208 REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................209 X 1 UNIDADE 1 INTEGRAL DE RIEMANN OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você será capaz de: • definir integral usando o cálculo de área; • definir integral em um intervalo; • calcular integrais usando várias técnicas; • relacionar derivada com integral. Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN TÓPICO 2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO TÓPICO 3 – TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 1 INTRODUÇÃO Neste material, abordaremos o conceito de integração, que é uma parte do Cálculo Diferencial e Integral que possui uma vasta quantidade de aplicações práticas, principalmente no campo da Física e das Ciências Naturais. Abordaremos este conceito ainda nesta unidade, como uma extensão do conceito de derivação, porém, numa concepção de “operação inversa” do processo. Para tal, introduziremos um conceito bastante elementar, que é o conceito de área. A partir dele, desenvolveremos o conceito de integração e mostraremos na sequência que a integração e a derivação realmente são processos “íntimos”, ligados por tratativas matemáticas bastante fortes e coerentes. Caro acadêmico, você deve estar se perguntando: O que uma taxa de variação tem a ver com área? Bom, ressalto que este será nosso objeto de estudos para as linhas que seguem. 2 CÁLCULO DE ÁREA Iniciaremos, como já citado, com o processo do entendimento de integração pela motivação geométrica do cálculo de área. Este objeto de análise ainda será ponto fundamental da própria definição de integral. Desta forma, vamos pensar como calculamos áreas. Por exemplo, para a área do retângulo, imaginaremos o gráfico da função constante, entre dois pontos a e b. UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 4 GRÁFICO 1 – GRÁFICO DA FUNÇÃO CONSTANTE ENTRE a E b FONTE: Os autores GRÁFICO 2 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y = x FONTE: Os autores a b f (x) = C x y C y y = x x b0 A função que temos no gráfico é dada pela expressão y = c . É fácil perceber que a medida da base deste retângulo é dada por (b – a) e a altura do retângulo é dado pela medida c . Assim, a área do retângulo pode ser expressa por: A b a c� � �( ) Imaginando um outro tipo de figura que possamos calcular a área, nos vem à mente o gráfico da função identidade y = x, apresentado a seguir: . Notamos que este gráfico nos dá a ideia de um triângulo, sendo que sua área é dada pela região abaixo da linha do gráfico, limitada pelo eixo das abscissas (X) de zero até b. Como a função é a identidade, esse triângulo é isósceles de lado congruente b e sua área pode ser descrita por: A b= 2 2 . TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 5 FONTE: Os autores Para o caso citado, também poderíamos imaginar uma variação no ângulo de referência, criando retas do tipo y=ax. ATENCAO É fato que os exemplos até aqui analisados são figuras “retas”, do tipo retângulo e triângulo, e daqui em diante podemos começar a combinar figuras deste tipo para conseguir outras, porém, com as mesmas características do cálculo de áreas, sendo que o cálculo da área destas figuras se dará pela composição de triângulos e retângulos. Isso quer dizer que é possível, até o momento, com o uso da geometria plana clássica, calcular a área entre a linha do gráfico de uma função qualquer e o eixo x, desde que este gráfico seja composto apenas por segmentos de reta. Entretanto, quais outras figuras nós sabemos calcular área? Se tomarmos a função y = x2, obteremos o seguinte gráfico: GRÁFICO 3 – GRÁFICO DA FUNÇÃO y=x2 ENTRE ZERO E b y y = x2b2 b x Pelo que parece, utilizando apenas a geometria básica fica difícil calcular a área indicada, pois esta ferramenta pode se reduzir a retângulos e triângulos combinados (com a exceção do círculo). Outro ponto que refuta a utilização da geometria para o caso é o fato de não conseguirmos decompor a área indicada em “quadrados de área unitária”, para que a quantidade desses quadrados represente a área em valor. UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 6 GRÁFICO 4 – PARTICIPAÇÃO DA REGIÃO FONTE: Os autores x b b2 y Um engenheiro, por exemplo, poderia nos dar a alternativa de imaginar que tenhamos uma chapa de um material com densidade constante, retangular, com base b e altura b², ou seja, com preenchimento total da parte vazada do gráfico y = x2. Em seguida, mediríamos a massa desta chapa, em kg, para que posteriormente, utilizando uma ferramenta de corte de precisão, talharmos a chapa com o formato da função y = x2 (minunciosamente). Medindo a massa da chapa “cortada” e utilizando a área e a massa da chapa completa, poderíamos chegar na área da chapa “cortada” usando regra de três. No entanto, obviamente, seria um processo pouco prático e demorado, atitude que os matemáticos procuram evitar. Sendo assim, devemos buscar uma alternativa mais precisa e formal para a resolução deste problema, fato que iniciaremos a buscar através de aproximações. Imaginemos, neste caso, a quantidade de retângulos de área (qualquer) que cabem na parte interna da região considerada, digamos, M1. Como esta forma ainda deixará regiões sem serem preenchidas, consideraremos a quantidade de quadrados de área (qualquer) que extrapolam a região considerada, digamos M1. Para o caso da Gráfico 4, temos M1 = 5 e M1 = 5 o que nos traz: TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 7 A desigualdade acima nos fornece uma aproximação para a área a ser calculada, porém é uma aproximação um tanto quanto imprecisa para nossas necessidades. E assim, podemos diminuir a área dos retângulos utilizados como referência pela metade, obtendo quantidades de m2 retângulos pela região interna e M2 retângulos que extrapolam a área. Realizando este procedimento de redução da área dos retângulos de referência, chegaremos a um momento que os valores mn e Mn terão os mesmos valores de área e assim teremos uma aproximação boa para tal área, ou seja: m m m m Área M M Mn n n1 2 1 1 2 1� � ��� � � � ��� � � ��� � � ��� � �� � . Esta desigualdade nos mostra que, quando a quantidade de retângulos internos e que extrapolam a área, tendem a ser iguais, esta quantidade pode ser considerada a área real que estamos procurando. Outro ponto a ser considerado é o fato de que este é um processo infinito, em que esta quantidade de retângulos a priori nunca passará a ser exatamente a área considerada, até mesmo pelo fato de que estamos tentando calcular a área abaixo de um gráfico curvo, suave e diferenciável. Entretanto, nós temos ferramentas de cálculo suficientes e já vistas para lidar com processos infinitos.Neste caso específico, estamos lidando com o conceito de limites, desta forma, quando imaginamos que cada vez mais estamos reduzindo os “erros” do processo, mitigando-os ao máximo, podemos afirmar que em um dado momento, para um erro aceitável, teremos a área desejada. Retomando o conceito de limites, veremos que se o limite, quando n tende ao infinito, dos valores mn e Mn forem iguais, então este valor é a área exata a ser considerada. De modo informal, neste momento podemos dizer que este “valor exato” para esta área é a integral da função considerada, no intervalo considerado. Vamos fazer isso agora? Analisando novamente a função f(x) = x2 no intervalo de 0 a b. Chamaremos de k a quantidade de subdivisões no intervalo [0,b], ou seja, dividiremos o intervalo em k pedaços. Logo, teremos: � � � �� �x b k b kk 0 . em que ∆x(k) é o tamanho da subdivisão considerada sobre o eixo x, ou seja, se k = 1 teremos um intervalo de tamanho b, se k = 2, teremos um intervalo de tamanho b/2 e assim por diante. UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 8 GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DO RACIOCÍNIO PARA O DESENVOLVIMENTO FONTE: Os autores Assim, teremos que: x0 0= x x x b k b kk1 0 0� � � � � �� � x x x x b k b k b kk2 0 1 0 2 � � � � � � � �( ) E assim por diante, até: x x x x x k b k bk k k� � � ���� � � � � ��0 1 1 ( ) Para cada k ϵ Z e > 1, iremos calcular uma aproximação para a área considerada, sendo por baixo ou por cima da curva, a critério. Por exemplo, se tomarmos o ponto inicial como sendo x0, teremos a aproximação por baixo da curva. Lembrando que a função é dada por f(x) = x2 e tendo os pontos x0, ..., xk, teremos: mk = f(x0) · ∆x(k) + f(x1) · ∆x(k) + ··· + f(xk–2) · ∆x(k) + f(xk–1), em que mk é uma aproximação da área, por baixo, conforme a figura a seguir: K sobintervalos y x x1x0 xK-1 b=xK TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 9 Calculando mk, temos: m x f x f x f x f xk k k k� � � � � ��� � �� �� �( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 m b k b k b k k k bk � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � �� � � � � � � � � � � � � � 0 2 12 2 2 2 . Organizando a expressão e como b2/k2 aparece em todos os termos, podemos escrever: m b k b k kk � � � � � ���� �� ��� �� 2 2 2 2 2 20 1 2 1 m b k kk � � � � ���� �� ��� �� 3 3 2 2 2 20 1 2 1 . Devemos perceber agora que a soma que se encontra dentro dos colchetes é uma soma de quadrados que pode variar de acordo com a quantidade de subdivisões k escolhida. Neste momento, devemos introduzir uma expressão para números inteiros: 1 2 3 1 2 1 6 2 2 2 2� � � ���� � � �� � � �� �k k k k . Escolha alguns valores de k para comprovar que esta relação é válida. Em seguida, pesquise em livros de análise matemática ou estruturas algébricas o conceito de indução matemática. Este conceito auxiliará você a comprovar o porquê desta relação funcionar para soma de quadrados. Note que isso não será feito neste material, por fugir do escopo do Cálculo Integral. IMPORTANT E Adaptando a expressão descrita anteriormente para k – 1, teremos: m b k k k k k � �� � � � �� � � � � � 3 3 1 2 1 6 ( ) ( ) UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 10 Ao realizar as divisões, criando a área “por cima” (a cargo do leitor), chegaremos a um valor: M bk = 3 3 . sendo que determinamos duas somas que convergem para o mesmo valor, podendo gerar a seguinte definição: ● Definição 1: Definimos a área sob o gráfico f(x) = x2, entre 0 e b, com b > 0, sendo: A b= 3 3 . Calculando: m b k k k k � � �� � � � � � 3 2 22 3 1 6 ) m b k k kk � � ��� �� 3 2 2 6 2 3 1 Colocando k2 em evidência, teremos: m b k kk � � �� �� � �� 3 26 2 3 1 . Por fim, seguindo a ideia considerada, faremos k crescer, de modo que os subintervalos fiquem cada vez menores para aproximar a área considerada, teremos, então: lim . k k m b k k b b �� � � �� �� � �� � � �� � � 3 2 3 3 6 2 3 1 6 2 0 0 3 Dizemos que o procedimento realizado resultou em uma sequência: m m m b Áreak1 2 3 3 � � ��� � � . TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 11 3 SOMAS DE RIEMANN Para formalizar o conceito “à exaustão”, realizado anteriormente, iremos imaginar uma função genérica y = f(x), no intervalo [a,b], sendo que estamos interessados em calcular a área desta região abaixo da curva e dentro do intervalo considerado. GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DE y = f(x), ENTRE [A,B] FONTE: Os autores y x a b y = f(x) Em suma, lidamos aqui com dois “ingredientes” importantes: o cálculo da área de um retângulo e o conceito de limites. Sabemos que o procedimento realizado foi calcular uma soma infinita de áreas de retângulos contida na área desejada e, em seguida, o cálculo da área que contém a mesma. “Espremendo” estas duas aproximações, chegamos à área desejada. Este procedimento será formalizado no próximo tópico. A ideia é realizar o mesmo procedimento, escolhendo um valor k ≥ 1, que representará a quantidade de subintervalos entre a e b, em que: � � �x b a kk( ) . O próximo passo é escolher um ponto de referência dentro de cada subintervalo gerado, sendo que este pode ser escolhido como sendo o ponto inicial, final, ponto de mínimo, máximo etc., não importa qual seja o ponto escolhido, sempre teremos uma soma bem definida a considerar. Para este caso, escolheremos o ponto xi ϵ [xi–1,xi], em que cada xi é dado por:* UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 12 FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO DO PROCEDIMENTO UTILIZADO NO RACIOCÍNIO FONTE: Os autores Representaremos a soma de todos os retângulos que podemos gerar por Sk, que é dependente da escolha do xi, ou seja, para cada escolha de xi teremos uma respectiva soma Sk correspondente: S f x x f x x f x xk k k k k * * ( ) * ( ) * ( )( ) ( ) ( ) .� �� � �� � ��� � ��1 2 y x a Δx x0 xK b y = f(x) * * * x a i b a k com a i ki � � � � � �, . Logo, teremos: x a0 = x a x k1 � � � ( ) . . . .x a k xk k� � � � ��1 1( ) ( ) x bk = . Desta forma, para cada subintervalo [xi–1,xi] tomaremos o ponto xi e verificaremos o valor da função neste ponto, ou seja, f(xi), realizando, assim, o cálculo da área do pequeno retângulo de base ∆x(k) e altura f(xi). * * * * TÓPICO 1 | CÁLCULO DE ÁREA E INTEGRAL DE RIEMANN 13 * * * * S f x xk i i k k * * ( )( ) .� �� � � 1 E, similarmente, podemos escrever a simbologia da integração que será vista no próximo tópico, que é: S f x dx a b � � ( ) . Essa simbologia será lida como “a integral de a até b da função f(x) com relação a x”. Por fim, este tópico procurou motivar geometricamente o conceito de integral, tão importante para a continuidade dos estudos acerca do cálculo diferencial e integral. Por meio dele já sabemos, relembrando os cálculos desenvolvidos neste Tópico 1, resolver três tipos de integrais. São elas: Esta soma terá um nome. Ela será chamada de Soma de Riemann. O uso do artigo indefinido “uma” (em: uma respectiva soma Sk) se deve ao fato de que a escolha de xi pode ser feita de várias formas. Isso quer dizer, também, que para cada k escolhido podemos ter uma soma distinta. Logo, teremos a sequência de somas: S S S Sk1 2 3 * * * *, , , , ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A pergunta que temos que nos fazer agora é: Será que esta sequência de números converge para algum valor quando k tende ao infinito? Podemos chamar este valor de S? A resposta é sim. Esse valor S é a integral da função considerada independe da escolha realizada para a definiçãodos retângulos. Isto quer dizer que quando todas as Somas de Riemann convergem para o mesmo valor, ou seja, quando k tende ao infinito, estamos diante da definição de integral. ● Definição 2: Seja f:[a,b] → . Seja k ≥ 1um número inteiro e Sk a Soma de Riemann associada a f em [a,b], a partir de uma escolha de xi. Dizemos que f é integrável em [a,b] se para qualquer escolha dos pontos as sequências Sk tendem a S quando k tende ao infinito. As Somas de Riemann são definidas, algebricamente, pela expressão: * UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 14 a c dx c b a a b ) ( )� � �� b x dx b b ) �� 2 0 2 c x dx b b ) .2 3 0 3 �� No próximo tópico, voltaremos a discutir como iremos proceder para a resolução de integrais. Entretanto, mostraremos algumas propriedades importantes para as operações que virão, sendo que elas estão pautadas no “bom comportamento” do conceito de áreas, em que, por exemplo, ela pode ser calculada por decomposição, multiplicação etc. ESTUDOS FU TUROS 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL As propriedades aqui descritas são embasadas pelas somas de Riemann, em que são conservadas as propriedades de área e de somatório. Propriedade 1: seja a integral de uma soma ou subtração de funções, temos: [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx a b a b a b � � �� � � Propriedade 2: esta propriedade, refere-se à linearidade da integração. Dado c ϵ , temos que: c f x dx c f x dx a b a b � � �� �( ) ( ) . Propriedade 3: se f(x) ≤ 0, temos que: f x dx f x dx a b a b ( ) ( ) .� �� � a b 15 Neste tópico, você aprendeu que: ● A motivação para o conceito de integral é o cálculo de área. ● A expressão: S f x x f x x f x xk k k k k * * ( ) * ( ) * ( )( ) ( ) ( ) .� �� � �� � ��� � ��1 2 é uma Soma de Riemann, sendo que se ela converge para um valor comum S (qualquer), dizemos que este valor é a integral da função f (x) considerada. ● A integral de uma função entre dois pontos a e b é simbolizada por: a b f x dx� � � . ● É possível integrar três funções elementares, são elas: a cdx c b a a b )� �� � � �� � 2 0 ) . 2 b bb x dx =∫ 3 2 0 ) . 3 b bc x dx =∫ RESUMO DO TÓPICO 1 ◦ ◦ ◦ 16 1 Construa a soma superior Mk para a função f(x)= x² do exemplo desenvolvido no tópico, mostrando que esta soma também converge para b3/3. 2 Calcule, através de uma soma de Riemann adequada, que: 4 3 0 . 4 b bx dx =∫ 3 Calcule: 1 1 ) 5 a dx =∫ 4 0 ) b x dx =∫ 3 0 ) ² c x dx =∫ 4 Podemos definir o valor médio de uma função em um intervalo [a,b], no qual a função é diferenciável através da integral ( )1 . b m a V f x dx b a = − ∫ Se o custo de produção de x unidades de um certo produto é dado pela função f (x) = x3 + x2 – x + 20. Qual é o valor médio do custo de produção, para um intervalo do 15 a 30 unidades do produto: a) ( ) R$ 11 680,00. b) ( ) R$ 12 300,58. c) ( ) R$ 13 178,72. d) ( ) R$ 21 420,50. e) ( ) R$ 27 200,85. AUTOATIVIDADE 17 5 Sabemos que para definir a integral, usamos somas parciais de Riemann. Calcule a integral 1 0 2 3x dx+∫ usando a soma de Riemann com uma partição k = 5 e usando a definição de integral. Qual a diferença numérica entre essas duas formas de calcular a integral apresentada anteriormente? 18 19 TÓPICO 2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Prezado acadêmico, este tópico é destinado a mostrar os dispositivos de cálculo conceituais que devemos utilizar para a resolução de integrais de funções. Obviamente, deveremos partir de um ponto-base para que daí em diante possamos fazer adaptações necessárias para o desenvolvimento de técnicas e processos de cálculo mais rebuscados. Para o caso das integrais, partiremos do pressuposto de que o Cálculo Integral pode ser relacionado a “uma operação inversa” do Cálculo Diferencial. Isso não lhe parece estranho? Vimos em Cálculo Diferencial e Integral I que a derivada é associada à taxa de variação de uma função em um certo intervalo, e no tópico anterior a este, motivamos você a compreender que a integral provém do cálculo de uma área. Você deve estar se perguntando: O que uma “taxa de variação” e uma “área” têm em comum (ou incomum) para serem chamadas, em Cálculo, de “operações inversas”? Em resposta a isso, vamos relembrar um conceito físico importante aprendido em estudos anteriores. Dada uma função que descreve a posição de um móvel ao longo do tempo, s(t), definimos a velocidade instantânea deste móvel v(t) como sendo a derivada da função da posição, ou seja: ( ) ( )´ .v t s t= Depois dessa lembrança, partiremos de uma situação prática. Imagine que você necessita ir da cidade A até a cidade B, sendo que elas distam uma da outra 100 km. Como você já é acostumado a realizar esse percurso, normalmente você executa a viagem em 1h. Obviamente, a velocidade média descrita é dada por: 100 100 . 1 média km kmv h h = = Entretanto, para descrever esta velocidade “média” é fato conhecer que, ora o automóvel que você dirige se encontra a mais de 100 km/h, ora em uma velocidade abaixo desta (vide teorema do valor médio). O Gráfico 4 na sequência descreve a velocidade em relação ao tempo no percurso: UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 20 GRÁFICO 8 – GRÁFICO v x t DO PERCURSO ENTRE AS CIDADES a E b. FONTE: Os autores É notório pelo gráfico que o percurso possui uma série de “variações de velocidade”, pois existem trechos entre as cidades A e B que não permitem altas velocidades, a estrada não é tão boa etc. Contudo, existem trechos em bom estado e composto por retas em que é possível ligar o piloto automático do veículo e manter uma velocidade fixa acima de 100 km/h. Observe que no intervalo entre 20 e 30 min, a velocidade se manteve constante em 120 km/h (digamos que é dentro da lei). Para este trecho, relembrando que distância = velocidade · tempo, podemos associar a distância percorrida pelo móvel, com a área do retângulo perfeito abaixo do gráfico v x t entre 20 e 30 min. Dessa maneira, é possível mesmo que de modo infinitesimal, calcular áreas de retângulos em intervalos de tempo muito pequenos ao longo de todo o percurso e determinar uma distância percorrida. Ora, se podemos calcular a área de uma infinidade de retângulos abaixo do gráfico v x t, podemos afirmar que: Distância Total entre A e B = Soma de todos os retângulos abaixo de v x t. A afirmação é justamente uma analogia entre o conceito de integral e o caso prático que envolve distância, velocidade e tempo, em que a distância é a integral da função velocidade ao longo de um intervalo de tempo. Então: ( ) ( ) . b a distância s t v t dt= = ∫ 120 100 10 20 30 40 50 60 t(min) Δt V(km/h) distância = V x t TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 21 mas, ( ) ( )´ .v t s t= Note que está comprovado através do exemplo físico, que ao integrar a função velocidade, obtemos a função distância, e na sequência, ao derivar a função distância, obtemos a velocidade, ou seja, a integração é um procedimento de cálculo que pode ser “considerado o inverso” ao da derivação. Veremos, na próxima seção, que para calcular uma integral basta partir do pressuposto de que já conhecemos a derivada da função que queremos obter. 2 INTEGRAIS INDEFINIDAS No Tópico 1 trabalhamos com integrais definidas, ou seja, integrais que tinham um intervalo de integração. Essas integrais devolvem um número, similar ao que foi feito na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I quando definimos derivada; calculávamos a derivada da função num ponto e obtínhamos como derivadaum número real; depois estendemos o conceito de derivada e conseguíamos derivar uma função e encontrar outra função. Faremos o mesmo aqui, em integral: calcular a integral de uma função e encontrar uma outra função. Esse tipo de integral é chamada de integral indefinida. Você já deve ter visto ou ouvido falar que a integral é a inversa da derivada. Isso está errado, porque elas não são uma inversa à outra, porém elas têm uma relação muito próxima disso. Para entendermos melhor, vamos definir o que é uma primitiva de uma função. Definição 1: dada uma função F(x) definida num intervalo I, dizemos que F(x) é uma primitiva de f (x) nesse intervalo se: ( ) ( ).F x f x′ = para todo x ϵ I. A primitiva também é chamada, por alguns autores, de antiderivada. ATENCAO UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 22 Exemplo: Determine a primitiva da função f (x) = 1. Resolução: Relembrando da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, sabemos que se derivarmos a função F(x) = x temos que: ( ) 1 ( )dF x x f x dx = = =′ , portanto encontamos a primitiva da função f. Mas será que ela é única? Considere a função F1(x) = x + 2 é fácil de verificar que ela também é uma primitiva de f, pois ( ) ( 2) ( ).dF x x f x dx = + =′ Acrescentando uma constante na primitiva F(x) = x, a nova função continua sendo primitiva, já que a derivada de uma constante é 0. Então podemos concluir que: F(x) = x + c, para toda constante c ϵ é uma primitiva de f(x) = 1. Proposição 1 : seja F(x) uma primitiva da função f(x), então para toda constante c ϵ temos que G(x) = F(x) + c também é primitiva de f(x). Demonstração: Vamos verificar que G(x) é primitiva de f (x), observe que G'(x) = (F(x) + c) = F'(x) = f(x), pois F'(x) = f(x), já que F é uma primitiva de f. O fato de a integral não ser a inversa da derivada se deve à proposição escrita anteriormente, pois para uma função podem ter várias primitivas, ou seja, a integral de uma função não é única. ATENCAO Relembrando algumas derivadas estudadas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, podemos determinar algumas primitivas de funções já estudadas. Na Tabela a seguir apresentamos apenas três funções e suas primitivas. Esperamos que você, acadêmico, se sinta instigado a aumentar essa tabela com outras funções que já estudamos. TABELA 1 – PRIMITIVA DAS FUNÇÕES DADAS FONTE: Os autores Função Primitiva f (x) = 0 F (x) = c f (x) = xn f (x) = ex F (x) = ex + c 1 ( ) 1 nxF x c n + = + + d dx TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 23 Definição 2: dada f (x) uma função F (x) e uma primitiva de f (x), a integral indefinida de f (x) é: ( ) ( ) .f x dx F x c= +∫ e para toda constante c ϵ . Observe que ela é chamada de integral indefinida, pois o limite de integração não é definido. As propriedades de soma e multiplicação por escalar, que você estudou no Tópico 1, continuam válidas para integrais indefinidas. Exemplo: Calcule a integral indefinida de f (x) = 3x2 + √x. Resolução: Queremos calcular: 2 23 3 .x x dx x dx x dx∫ + = ∫ + ∫ Para calcular essas integrais, primeiro precisamos determinar as primitivas das funções f (x) = x2 e g(x) = √x. Note que a primitiva de f (x) é F' (x) = , F' (x) = Portanto, concluímos que: pois G' (x) =Já a primitiva da função g (x) é G (x) = x3 3 ( ) 3 2 23 . 3 3 d x x x f x dx = = = 3 22 3 x d dx d dx ( ) 3 1 2 22 2 3 . 3 3 2 d x x x g x dx = ⋅ = = ( )3332 32 223 3 . 3 3 3 xxx x dx x x c∫ + = ⋅ + = + + Exemplo: Calcule a integral indefinida da função f (x) = sen (x). Resolução: A primitiva da função f (x) é a função F (x) = – cos(x) pois F' (x) = (–cos(x) = f (x). Portanto, concluímos que: ( ) ( )sen cos .x dx x c∫ = − + Note que podemos, através deste mesmo conceito de primitivas, adequar uma lista-base para o cálculo de algumas integrais de modo imediato, por exemplo, se dissermos que a função f (x) = u, temos a seguinte tabela: UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 24 TABELA 2 – TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS FONTE: Os autores du u c= +∫ v 1) 1 , 1 1 n n uu du c n n + = + ≠ − +∫ n du u c u = +∫ , 0, 1 ln u u aa du c a a a = + > ≠∫ u ue du e c= +∫ sen cos u du u c= − +∫ cos sen u du u c= +∫ 2sec u du tg u c= +∫ 2cossec cotg u du u c= − +∫ sec . tg sec u u du u c= +∫ cossec . cotg cossec u u du u c= − +∫ sec ln sec u du u tg u c= + +∫ cossec ln cossec cotg u du u u c= − +∫ ln sec tg u du u c= +∫ cotg ln sen u du u c= +∫ 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) Exemplo: 4 1 5 4 4 1 5 x xx dx c c + = + = + +∫ TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 25 Exemplo: 4 4 3 32 2 2 4 2 x xx dx x dx c c= = + = +∫ ∫ Exemplo: 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 x xdx x dx c c c x x − + − −= = + = + = − + − + −∫ ∫ Exemplo: 31 2 2 1 2 1 3 31 2 2 2 1 3 x xx dx x dx c c x c + = = + = + = + +∫ ∫ Exemplo: ( ) 122 26 4 3 6 4 3x x dx x dx dx x dx− + = − +∫ ∫ ∫ ∫ Na próxima seção estudaremos técnicas de integração que ampliaram o número de funções que poderemos integrar. 3 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Calcular integrais através das somas de Riemann é uma tarefa um tanto quanto penosa. Já vimos que o processo para calcular uma integral indefinida parte do pressuposto de que a integral de uma função é a função resultado, cuja derivada é a função original. Após compreender esse fato, precisamos retornar para o conceito inicial de motivação para o cálculo de integrais, que é o problema da área, neste caso, a integral definida entre dois pontos. Para tal, introduziremos o conceito do Teorema Fundamental do Cálculo. Teorema 1(Fundamental do Cálculo): considere uma função f contínua no intervalo [a,b], então: ∫ f (x)dx = F(b) – F(a), com F uma função tal que F'(x) = f (x). Demonstração: a demonstração deste resultado depende de um caso preliminar que devemos tomar como válido. Trata-se de uma outra forma de representar primitivas ou antiderivadas: ( ) ( ) . x a A x f t dt= ∫ Com A'(x) = f (x), para todo x em [a,b]. ( ) ( ) ( ) , 0 0 . b a E assim temos que A e A b f t dt= = ∫ a b = 2x3 – 4x + 2√x3 + c UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 26 Por hipótese, temos que A'(x) = f (x), logo temos também que F' (x) = f (x). Como sabemos que A e F são primitivas da mesma função, temos que elas diferem apenas por uma constante C, logo: A(x) = F(x) + C. Para x = a, temos que 0 = A(a) = F(a) + C ⇒ C = – F(a). Assim, A(x) = F(x), e então, para x = b: A(b) = ∫ f(t) dt = F(b) – F(a).b a 1) Utilizaremos a notação F (x)| para denotar F(b) – F(a), assim escreveremos: ( ) ( ) ( ) ( ) | b b a a f x dx F x F b F a= = −∫ 2) Qualquer primitiva de f servirá para o cálculo de ∫ f(x) dx. ATENCAO Exemplo: Calcular ∫ x5 dx. Resolução: Uma primitiva para a função a ser integrada pode ser escrita como: ( ) 6 . 6 xF x C= + Logo: ( )2 62 6 65 1 1 12 64 1 63 . 6 6 6 6 6 6 xx − − − = = − = − = ∫ Exemplo: Este exemplo tratará de um conceito importante, que é o “saldo de área”. Quando temos um caso em que o intervalo de integração ora possui gráfico acima do eixo X, ora abaixo do eixo X, então devemos saber que o resultado encontrado na resolução da integral, como um todo, é a diferença entre a parte que estava acima e abaixo do eixo X. Por exemplo, para calcular a seguinte integral: 1 3 2 2 2 2 4 .x x x dx − + −∫ Resolução: Note que analisando o gráfico da referida função, no intervalo de -2 até 1, temos: -1 2 TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTALDO CÁLCULO 27 GRÁFICO 9 - GRÁFICO DA FUNÇÃO 2X3 + 2X2 – 4X FONTE: Os autores -1 -1-2-3 0 R1 1 1 2 3 4 5 2 R2 O caso de R2 “descontará” a quantidade de área de R1, caso calculemos a integral como um todo. Veja: ( )411 4 3 2 4 3 33 2 2 2 2 22 2 4 1 2 1 2 ( 1) 92 2 4 2 1 2 ( 1) . 4 3 2 2 3 2 3 2 x x xx x x dx − − ⋅ ⋅ − + − = + − = + − ⋅ − + − ⋅ − = ∫ Para calcular a área real, devemos dividir o cálculo em dois. A primeira integral R1, contemplando o intervalo de -2 até 0, e a segunda integral R2, contemplando o intervalo de 0 até 1 (vide Gráfico 5). Calculando R1: 0 4 3 2 4 3 4 3 3 2 0 2 2 2 2 2 2 4 0 2 0 ( 2) 2 ( 1) 162 2 4 | 2 0 2 ( 1) 4 3 2 2 3 2 3 3 x x xx x x dx − − ⋅ − ⋅ − + − = + − + − ⋅ − + − ⋅ − = ∫ Calculando R2: Neste caso, como a parte do gráfico está abaixo do eixo X, devemos inverter o sinal da integral definida: 1 4 3 2 4 3 4 3 3 2 1 2 2 0 0 2 2 4 1 2 1 (0) 2 (0) 52 2 4 | 2 1 2 (0) . 4 3 2 2 3 2 3 6 x x xx x x dx ⋅ ⋅ − + − = − − + − − + ⋅ − − + ⋅ = ∫ UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 28 E assim, a área da região completa é dada por: 16 5 371 2 . 3 6 6 R R R= + = + = Exemplo: Calcule o saldo de área e a área real, dada pela integral: ( ) 2 0 .sen x dx π ∫ Resolução: A primitiva da função f (x) = sen(x) é F(x) = –cos (x). Logo: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 0 0 cos cos 2 cos 0 1 1 0.sen x dx x π π π= − = − − − = − + =∫ Perceba que o cálculo do saldo de área foi igual a zero. Analise o gráfico da função f (x) = sen (x): GRÁFICO 10 – GRÁFICO DA FUNÇÃO 2X3 + 2X2 – 4x FONTE: Os autores -1 0.5 1 0 g R1 R2 2ππ -0.5 TÓPICO 2 | TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 29 O valor resulta em zero, pois as áreas acima e abaixo do gráfico são iguais. Desta forma, devemos, caso objetivemos calcular a área real, realizar o seguinte procedimento: 2 0 ( ) ( )A sen x dx sen x dx π π π = −∫ ∫ 2 0cos( ) | ( cos( ) | )A x x π π π= − − − [ cos( ) ( cos(0))] [ cos(2 ) ( cos( ))]A π π π= − − − − − − − [1 1] [ 1 1] 4 . .A u a= + − − − = Nesse exemplo, podemos perceber a diferença entre a área real e o saldo de área, fique atendo ao comportamento do gráfico das funções observando se eles estão acima ou abaixo do eixo x. 30 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que: ● Para calcular uma integral, basta partir do pressuposto de que já conhecemos a derivada da função que queremos obter. ● Dada f (x) uma função e F (x) uma primitiva de f (x), a integral indefinida de f (x) é ∫ f (x) dx = F (x) + c, para toda constante c ϵ . ● Utilizaremos a notação F (x)| para denotar F(b) – F(a), assim escreveremos: ( ) ( ) ( ) ( ) | . b b a a f x dx F x F b F a= = −∫ ● O “saldo de área” resulta do fato de que quando temos um caso em que o intervalo de integração ora possui gráfico acima do eixo X, ora abaixo do eixo X. O resultado encontrado na resolução da integral como um todo é a diferença entre a parte que estava acima e abaixo do eixo X. a b 31 1 Calcule as integrais indefinidas: a) nx dx∫ b) xe dx∫ c) ( )cos x dx∫ d) 4x dx∫ e) 1 dx x ∫ f) ( )2sec x dx∫ g) ( ) ( ) cosec x cotg x dx∫ ⋅ 2 Calcule as integrais definidas: a) ( ) 3 2 0 9 x dx−∫ b) ( ) 3 2 1 2 x dx+∫ c) ( ) 1 3 4 3 1 4 x x dx− +∫ d) ( ) 3 2 1 3 5 2 x x dx− +∫ e) ln3 0 5 xe dx∫ f) 2 2 3 0 2 1 x x dx+∫ 3 Ache a área da região limitada pela curva y = –x2 + 4x e pelo eixo x no intervalo 1 ≤ x ≤ 3. 4 Encontre a área da região limitada pela curva y = x3 – 2x2 – 5x + 6, pelo eixo x e pelas retas x = –1 e x = 2. 5 Calcule a área da região limitada pela curva y = √x, pelo eixo x e pelas retas x = – 1 e x = 2. AUTOATIVIDADE 32 6 Encontre a área da região limitada pela curva y = 1 – x2 e pelo eixo x no intervalo 0 ≤ x ≤ 2. 7 (ENADE, 2008) Considere g: → uma função com derivada contínua e f a função definida f (x) = ∫ para todo x ϵ . Nessas condições, avalie as afirmações que se seguem. I- A função f é integrável em todo intervalo [a,b], a, b ϵ , a < b. II- A função f é derivável e sua derivada é a função g. III- A função diferença f – g é uma função constante. É CORRETO o que se afirma em: a) ( ) I, apenas. b) ( ) II, apenas. c) ( ) I e III, apenas. d) ( ) I e III, apenas. e) ( ) I, II e III. 8 Como no caso de derivadas, a integral tem várias propriedades, com relação a essas propriedades analise as afirmações a seguir: I- Se f e g forem continuas no intervalo [a,b], então: ( ) ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx⋅ = ⋅∫ ∫ ∫ II- Se f é continua num intervalo [2,5], então: ( ) ( ) ( ) 5 2 5 2 .f x dx f f= −′∫ III- Se f e g são continuas no intervalo [a,b], então: ( ) ( ) ( ) ( )4 4 . b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ Então as afirmações verdadeiras são: a) ( ) I e II. b) ( ) II e III. c) ( ) I e III. d) ( ) I, II e III. dg dt (t)dtdgdt x 0 33 TÓPICO 3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Análogo ao que foi feito quando estudamos o conceito de derivada, aqui apresentaremos técnicas para calcular as integrais indefinidas, que também servem para calcular integrais definidas. Nos tópicos anteriores, estudamos como calcular a integral definida através da Soma de Riemann, bem como calcular integral usando a primitiva (antiderivada) de uma função. Calcular a integral usando a Soma de Riemann é demorado, já usando a primitiva da função é mais rápido, porém não conhecemos as primitivas de todas as funções e o que fazer com essas funções, como integra-las? Neste tópico apresentaremos os métodos mais comuns para o cálculo de integrais. Dependendo da função que você quer obter a integral, determinado método será mais adequado que outro. Acadêmico, com a prática você determinará com mais facilidade qual método usar. É importante que você entenda todos os métodos e os pratique, pois eles serão de fundamental importância para muitas outras disciplinas do seu curso. 2 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO Para entendermos melhor o método da substituição, precisamos de um conceito de derivação chamado de diferencial. Se consideramos uma função y = f (x) derivável então sua derivada em relação a x é: ( ).dy f x dx ′= Neste caso, o diferencial dx é uma variável independente e o diferencial dy depende de dx e é dado por: ( ) .dy f x dx= ′ 34 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Essa relação entre o diferencial dx e o diferencial dy será muito importante para aplicarmos o método da substituição. Além disso usaremos a Regra da Cadeia: ( )( )( ) ( )( ) ( )d f g x f g x g xdx = ⋅′ ′ Caro acadêmico! É de suma importância que todas as regras de derivação que você estudou na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I estejam claras para você. Caso não lembre de algumas, sugerimos que você tenha uma tabela com todas as regras anotadas. DICAS Para entendermos o método da substituição, vamos começar com um exemplo, e então faremos a dedução formal. Exemplo: Calcule a integral: 2 33 5 .x x dx∫ + Resolução: Já comentamos anteriormente que no método da substituição usaremos a Regra da Cadeia. Para isso, precisaremos de uma composição de funções, e no caso da nossa integral temos que: ( )( )3 5 .x f g x+ = com f (x) = √x e g (x) = x3 + 5. Agora defina: y = g (x) = x3 + 5, então temos que: 23 .dy x dx = Reescrevendo na forma diferencial obtemos: 23 .dy x dx= ⋅ TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 35 Voltando a nossa integral, e usando a identidade anterior, podemosreescrever a integral da seguinte forma: 3 2 2 3 5 33 5 .x x dxx x dx dyy + ⋅ ∫ + = ⋅∫ Note que considerando y = x3 + 5, a função que está na composição conseguimos substituir a variável x pela variável y, portanto: 2 33 5 .x x dx ydy∫ + = ∫ Essa nova integral é simples de resolver: 3 22 . 3 ydy y c∫ = + Substituindo y por x3 + 5 concluímos que: ( ) 3 2 3 3 223 5 5 . 3 x x dx x c∫ + = + + Verifique se a integral feita no exemplo anterior está correta, calculando a derivada da função 33 22( ) ( 5) . 3 f x x c= + + AUTOATIVIDADE Teorema 1: considere y = g (x) uma função derivável e f uma função contínua, então: ( )( ) ( ) ( ) .f g x g x dx f y dy′∫ = ∫ Demonstração: como f é uma função contínua, então ela é integrável, e sua primitiva é: ( ) ( ) .f y dy F y c∫ = + 36 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Ou, ainda, f(y) = F'(y), substituindo essa igualdade temos que: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) .f g x g x dx F g x g x dx∫ ′ ′=′ ∫ Usando a Regra da Cadeia sabemos que: ( )( )( ) ( )( ) ( ).d F g x F g x g xdx = ⋅′ ′ Assim: ( ( ) '( ) ( ( ( ))) ( ( )) ( ) ( ) .df g x g x dx F g x dx F g x c F y c f y dy dx = = + = + =∫ ∫ ∫ Portanto, o Teorema está provado. Observe, acadêmico, que a regra da substituição não vale para todas as integrais. É imprescindível que a função que queremos integrar seja escrita da seguinte forma: f (g (x))g'(x) a menos de uma constante. ATENCAO Exemplo: Calcule a integral ( )3 3 . 1 2 dx x ∫ + Resolução: Primeiro vamos reescrever a função ( )3 3 1 2x+ da seguinte maneira: f(g(x))g'(x). Considere a função g(x) = 1 + 2x. Note que a sua derivada é g'(x) e seja ( ) 3 1f x x = , então: ( ) ( )( ) ( )3 3 3 . 21 2 f g x g x x = ⋅ + ′ Observe que apareceu a constante 32 na frente do termo que queríamos, mas isso não é um problema, pois já estudamos que a constante pode sair da integral, então: TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 37 3 3 3 3( ( )) '( ) ( ( )) '( ) . (1 2 ) 2 2 dx f g x g x dx f g x g x dx x = ⋅ = ⋅ +∫ ∫ ∫ Pela Regra da Substituição, concluímos que: ( ) ( ) ( )3 3 3 1 21 2 dx f y dy x ∫ = ∫ + em que y = g(x) = 1 + 2x. Vamos calcular a integral: ( ) 4 3 3 4 1 1 . 4 4 yf y dy dy y dy y y − −∫ = ∫ = ∫ = = − − Substituindo em (1) concluímos: ( ) ( )3 44 3 3 1 3 . 2 41 2 8 1 2 dx yx x ∫ = − = − + + Da mesma maneira que calculamos as indefinidas, podemos calcular as integrais definidas. Devemos calcular a integral definida como se ela fosse indefinida e então avaliar a função resultante nos extremos do intervalo (nos limites de integração). Exemplo: Calcule a integral: 2 1 0 .xxe dx−∫ Resolução: Considere y = g(x) = –x2, temos que , e considere f (x) = ex, então: ( )( ) ( )2 1 .2 xxe f g x g x− = ′− Pela Regra da Substituição: 2 21 1 1 . 2 2 2 x y y xxe dx e dy e e− −∫ = − ∫ = − = − 38 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Agora só falta avaliar nos limites de integração: 2 2 2 21 1 1 0 00 1 1 1 1 1| . 2 2 2 2 2 x xxe dx e e e e − − − − = − = − − − = − + ∫ 3 INTEGRAÇÃO POR PARTES Um outro método é a integração por partes, muito usada para integrações de funções que podem ser escritas como o produto de outras duas funções. Lembre-se de que na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I deduzimos a fórmula da derivada do produto de duas funções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).d f x g x f x g x f x g x dx ′ ⋅ = ⋅ ⋅ ′+ Também podemos reescrever da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).df x g x f x g x f x g x dx ′ ⋅ = ⋅ − ⋅ ′ Integrando em relação a x em ambos os termos da igualdade temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .df x g x dx f x g x dx f x g x dx dx ∫ ∫′ ′⋅ = ⋅ − ∫ ⋅ Observe que a integral da derivada pode ser calculada e encontramos ( ) ( ) ( ) ( ) .d f x g x dx f x g x c dx ∫ ⋅ = ⋅ + ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx c∫ ⋅ = ′⋅ − ⋅′ ∫ + Como a integral f (x) · g'(x) vai resultar em uma função mais uma constante, podemos desconsiderar a constante c. Portanto, a fórmula da integração por partes é dada pela igualdade: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x g x f x g x dx∫ − ∫ ⋅ ′⋅ =′ ⋅ TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 39 Uma outra maneira de escrevermos a fórmula da integração por partes é: .u dv uv vdu=′∫ − ∫ ATENCAO Caro acadêmico, você deve estar pensando que essa fórmula não ajuda em nada, não é mesmo? Já que se quisermos integrar uma função da forma f'(x) · g(x), e usarmos a fórmula da integração por partes, transferimos o problema de integração para a função f'(x) · g(x). Isso é verdade, pois a fórmula de integração por partes transfere a integral de um a função para outra, porém cabe a nós a escolha dessas funções e devemos escolher de forma adequada para que a nova integral seja mais fácil de ser calculada. Vamos analisar como fazer isso através de um exemplo padrão para esse assunto. Exemplo: Calcule a integral: .xxe dx∫ Resolução: Primeiro precisamos determinar quem é f e quem é g para usarmos a fórmula de integração por partes. Note que: ( ) ( ) .xf x g x xe⋅ =′ Podemos escolher f e g de duas formas: Primeira forma: f'(x) = x e g(x) = ex. Para aplicarmos a fórmula de integração por partes, temos que determinar que f e g': ( ) ( ) 2 ' . 2 xf x f x dx xdx= ∫ = ∫ = Não vamos colocar a constante c novamente nessa integral, pois como já comentamos, todas elas irão aparecer depois de resolvermos a última integral. E: ( ) x xdg x e e dx ′ = = 40 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Portanto, a fórmula de integração por partes é reescrita da seguinte maneira: 2 2 . 2 2 x x xx xx e dx e e dx∫ ⋅ = ⋅ − ∫ ⋅ Observe que a segunda integral ficou pior para ser calculada do que a integral inicial. Segunda forma: f'(x) = ex e g(x) = x. Vamos determinar que é f e g': ( ) ( )' .x xf x f x dx e dx e= ∫ = ∫ = e ( ) [ ] 1.dg x x dx = =′ Portanto, a fórmula de integração por partes é reescrita da seguinte maneira: 1 .x x xe x dx e x e dx∫ ⋅ = ⋅ − ∫ ⋅ Já na segunda forma, a fórmula de integração por partes gerou uma integral mais simples que a primeira e sabemos que: 1 .x x xe dx e dx e c∫ ⋅ = ∫ = + Portanto, usando a segunda forma, concluímos que: .x x xxe dx xe e c∫ = − − Esse exemplo nos mostra que a escolha das funções f e g são fundamentais para conseguirmos calcular a integral ou não. Fique atento a essa escolha. Outra situação é termos que calcular a integral definida de uma função, então primeiro integramos de forma indefinida e depois avaliamos a função no intervalo de integração, como apresentamos a seguir: ( ) 22 2 2 1 1 2 11 | 2 1 . | x x xxe dx xe e e e e e e = − = − − − = ∫ TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 41 Uma maneira de reescrevermos a fórmula de integração por partes usando integrais definidas é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | . | bb b aa a f x g x dx f x g x f x g x dx −′ ′⋅ = ⋅ ⋅ ∫ ∫ Verifiquei que vale a igualdade ∫ xex dx = e2 usando a fórmula de integração por partes com integrais definidas. 2 1 A partir de agora, vamos apresentar a escolha de f' e g que são adequadas para a resolução, mas não esqueça acadêmico, essa escolha demanda treino. ATENCAO Acadêmico, você deve ficar atento! Em algumas situações não teremos uma multiplicação de funções, mesmo assim é possível usar a fórmula de integração por partes. O exemplo a seguir ilustra essa situação. Exemplo: Usando a fórmula de integral por partes, calcule a integral: ( )ln x dx∫ Resolução: Considere f' (x) = 1 e g(x) = In(x) então temos que:( ) 1 .f x dx x= ∫ = e ( ) ( ) 1ln .dg x x dx x ′ = = Usando a fórmula de integração por partes temos: 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ( ) 1).In x dx x In x x dx x In x dx x In x x x In x x = − ⋅ = − = − = −∫ ∫ ∫ 42 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Outra situação que pode acontecer é precisar usar a fórmula de integração por partes mais de uma vez para encontrar um integral que você consiga resolver. No exemplo a seguir é apresentada uma função que, para ser integrada, usaremos duas vezes a integral por partes: Exemplo: Calcule a integral: ( )2cos .x x dx∫ Resolução: Considere f'(x) = cos (x) e g (x) = x2 então: ( ) ( ) ( )cos sen .f x x dx x= ∫ = e ( ) 2 2 .dg x x x dx =′ = Usando a fórmula de integral por partes, temos: ( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 senx x dx x x x x dx∫ = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos sen 2 sen . 1x x dx x x x x dx∫ = − ∫ Ainda não conseguimos calcular a segunda integral, porém, usando novamente a integração por partes, com f'(x) = sen(x) e g(x) = x temos que: ( ) ( ) ( ) sen cos cos .x x dx x x x dx∫ = − + ∫ pois f(x)= –cos(x) e g'(x) = 1. Substituindo na igualdade (1) temos: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 cos cosx x dx x x x x x dx∫ = − − + ∫ ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2cos sen 2 cos sen x x dx x x x x x c∫ = − + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos 2 sen 2 cos .x x dx x x x x c∫ = − + + TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 43 4 SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA O método da substituição trigonométrica, como o nome já diz, é fazer uma substituição adequada trocando algum termo na função original por uma função trigonométrica. Esse método é muito similar ao método da substituição. Antes de apresentarmos o método, precisamos relembrar algumas relações trigonométricas do triângulo retângulo. Considere a figura a seguir: FIGURA 1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO FONTE: Os autores. FONTE: Os autores. A B c a b C Assim temos as seguintes relações: QUADRO 1 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO Ângulo 0 Ângulo B Ângulo C ( ) catetoopostosen hipotenusa θ = cos( ) cateto adjacente hipotenusa θ = ( ) catetoopostotg cateto adjacente θ = ( ) bsen B a = ( ) csen C a = cos( ) cB a = cos( ) bC a = ( ) btg B c = ( ) ctg C b = Também usaremos algumas identidades trigonométricas e suas variações: ( ) ( )2 2cos sen 1x x+ = ( ) ( )2 21 tg sec .x x+ = Dependendo do tipo de função, precisamos fazer uma substituição diferente, por isso vamos dividir essa seção em subseções, apresentando separadamente cada uma das substituições. 44 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN 4.1 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 – x2 Das relações expressas no quadro anterior, temos sen(θ)= para um ângulo θ, tal que o cateto que é oposto a esse ângulo mede x e a hipotenusa mede a, ou ainda, x = a sen(θ). Substituindo x = a sen(θ) no radical √a2 – x2, concluímos que: ( )2 2 2 2 2sena x a a θ− = − ( )( )2 2 2 21 en .a x a s θ− = − Usando a igualdade trigonométrica 1 – sen2(θ) = cos2(θ), temos que: ( )2 2 2 2cosa x a θ− = ( )2 2 cos .a x a θ− = pois a ≥ 0 e 2 2 π πθ− ≤ ≤ . Quando a função for envolver um radical da forma √a2 – x2 faremos a seguinte mudança de variável: √a2 – x2 = a cos(θ) com dx = a cos(θ) dθ, pois: ( ) ( ) sen cos .dx d a a d d θ θ θ θ = = Exemplo: Calcule a integral: 2 2 . 16 x dx x ∫ − Resolução: Note que nesse caso: 4a = ( )4 senx θ= ( )216 4cosx θ− = ( )4 cos .dx dθ θ= x a TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 45 então reescrevemos a integral: 2 2 2 4 ( )4cos( ) 8 ( ) 8cos( ). 4cos( )16 x sendx d sen d x θ θ θ θ θ θ θ ⋅ = = = − − ∫ ∫ ∫ pois, vale que: ( ) ( )sen cos .dθ θ θ∫ = − Como √16 – x2 = 4 cos(θ) podemos escrever ( ) 216 cos 4 x θ− = e, portanto: 2 2 2 2 8 16 2 16 . 416 x xdx x x − ∫ = − = − − − 4.2 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √a2 + x2 Das relações expressas no Quadro 1, temos que tg(θ) = para um ângulo θ, tal que o cateto que é oposto a esse ângulo mede x e o cateto adjacente mede a, ou ainda, x = a tg(θ). Substituindo x = a tg(θ) no radical √a2 + x2 concluímos que: ( )2 2 2 2 2 tga x a a θ+ = + ( )( )2 2 2 21 tg .a x a θ+ = + Usando a igualdade trigonométrica 1 + tg2(θ) = sec2(θ), temos que: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 sec sec , pois 0e . 2 2 a x a a x a a θ θ π πθ + = + = ≥ − < < Quando a função for envolver um radical da forma √a2 + x2 faremos a seguinte mudança de variável: √a2 + x2 = a sec(θ) com dx = a sec2(θ) dθ, pois: ( ) ( )2 tg sec .dx d a a d d θ θ θ θ = = x a 46 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Das relações expressas no Quadro 1 temos que sec(θ) = para um ângulo θ, tal que o cateto que é adjacente a esse ângulo mede x e o cateto oposto mede a, ou ainda, x = a sec(θ). Resolução: Essa integral não está escrita da mesma forma como apresentamos anteriormente, porém: ( ) ( )22 2 236 9 9 4 9 4 .x x x+ = + = + Logo, a integral pode ser reescrita como: ( )22 2 1 1 . 36 9 9 4 dx dx x x ∫ = ∫ + + Nesse caso: 2a = ( )2 tgx θ= ( )24 2secx θ+ = ( )22 sec .dx dθ θ= Então reescrevemos a integral: 2 22 2 1 1 1 1 12sec ( ) . 9 (2sec( )) 9 2 189( 4 ) dx d d x θ θ θ θ θ = = = ⋅+ ∫ ∫ ∫ Como x = 2 tg(θ), podemos escrever θ = arctg e, portanto: 2 1 1 arctg . 36 9 18 2 xdx x ∫ = + ( x2 ( x a 4.3 QUANDO A FUNÇÃO ENVOLVE UM RADICAL DA FORMA √x2 – a2 Exemplo: Calcule a integral: 2 1 . 36 9 dx x ∫ + TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 47 π 2 Usando a igualdade trigonométrica 1 + tg2(θ) = sec2(θ), temos que: ( )2 2 2 2tgx a a θ− = ( )2 2 tg .x a a θ− = pois a ≥ 0 e 0 ≤ θ < . Quando a função envolver um radical da forma √x2 – a2 faremos a seguinte mudança de variável: √x2 – a2 = a tg(θ) com dx = a sec(θ) tg(θ)dθ, pois: ( ) ( ) ( ) sec sec tg .dx d a a d d θ θ θ θ θ = = Exemplo: Calcule a integral: 2 2 . 4 x dx x x − ∫ − Resolução: Essa integral não está escrita da mesma forma como apresentamos anteriormente, porém: ( )22 24 4 4 4 2 4.x x x x x− = − + − = − − Fazendo a substituição de variável y = x – 2 temos que: ( )2 22 4 4.x y− − = − e .dy dx= Logo, a integral pode ser reescrita como: Substituindo x = a sec(θ) no radical √x2 – a2, concluímos que: ( )2 2 2 2 2secx a a aθ− = − ( )( )2 2 2 2sec 1 .x a a θ− = − 48 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Então, reescrevemos a integral: 2 2 2sec( )2sec( ) ( ) 2 sec ( ) 2 ( ). 2 ( )4 y dy tg d d tg tgy θ θ θ θ θ θ θ θ = = = − ∫ ∫ ∫ Como √y2 – 4 = 2 tg(θ), podemos escrever tg(θ) = e, portanto: 2 2 4 . 4 y dy y y ∫ = − − Por último, trocamos y = x – 2 temos que: 2 2 2 4 4 x dx y x x − ∫ = − − ( )2 2 2 2 4 4 x dx x x x − ∫ = − − − 2 2 2 4 . 4 x dx x x x x − ∫ = − − 2 √y2 – 4 5 INTEGRAÇÃO TRIGONOMÉTRICA Nesta seção apresentaremos estratégias para resolver integrais que são potências das funções trigonométricas e/ou produto delas. Sabemos que: ( ) ( )cossen x dx x c∫ = − + ( ) ( )cos .x dx sen x c∫ = + 2 2 2 . 4 4 x ydx dy x x y − ∫ = ∫ − − Nesse caso: 2a = ( )2 secy θ= ( )2 4 2 tgy θ− = ( ) ( )2 sec tg .dy dθ θ θ= TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 49 Trancando a variável, temos que: ( ) ( ) ( ) 2 cos . 2 sen x sen x x dx c∫ ⋅ = + Note que sen2(x) = 1 – cos2(x) logo podemos reescrever a integral como: ( ) ( ) ( ) 2 cos . 2 sen x sen x x dx c∫ ⋅ = + As duas respostas estão corretas, a única diferençaé a constante. Fique atento a esses ajustes na solução das integrais trigonométricas. ATENCAO Suponha, agora, que queremos calcular: ( ) ( )cos .m nsen x x dx∫ ⋅ com n um número ímpar, ou seja, n = 2k + 1. Vamos reescrever a nossa integral de outra maneira, mais adequada à situação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos cos cos .m n m ksen x x dx sen x x x dx∫ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅ Lembre-se de que cos2(x) = 1 – sen2(x), então cos2k(x) = (1 – sen2(x))k, logo ∫ senm(x) · cosn(x) dx = ∫ senm(x) · (1 – sen2(x))k · cos(x) dx. Mas como calculamos, por exemplo, a integral? ( ) ( )cos .sen x x dx∫ ⋅ Das propriedades de integração sabemos que não podemos apenas multiplicar o resultado das integrais. A ideia aqui também é usar substituição. Considere u = sen(x) então du = cos(x)dx, fazendo a substituição temos: ( ) ( ) 2 cos . 2 usen x x dx u du c∫ ⋅ = ∫ = + 50 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Resolução: Pela observação anterior temos, para u = sen(x), que: 5 7 5 7 4 3 4 2 1 4 6 ( ) ( )( ) cos ( ) (1 ) . 5 7 5 7 u u sen x sen xsen x x dx u u du u u du c c⋅ = ⋅ − = − = − + = − +∫ ∫ ∫ Aqui é importante ressaltar que m = 0 também vale a propriedade. Exemplo: Calcule a integral de: ( )5cos .x dx∫ Resolução: Pela observação anterior temos, para u = sen(x), que: ( ) ( )25 2cos 1 .x dx u du∫ = ∫ − Usando produtos notáveis temos: 3 5 3 5 5 2 4 2 ( ) ( )cos ( ) 1 2 2 ( ) . 3 5 3 5 u u sen x sen xx dx u u du u c sen x c= − + = − + + = − + +∫ ∫ Outra situação é termos o valor de m ímpar, ou seja, m = 2j + 1 nesse caso a integral pode ser reescrita da seguinte maneira: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2cos cos .m n j nsen x x dx sen x sen x x dx∫ ⋅ = ∫ ⋅ ⋅ Usando novamente a identidade trigonométrica sen2(x) = 1 – cos2(x) temos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2cos 1 cos cos .jm n nsen x x dx x x sen x dx∫ ⋅ = ∫ − ⋅ ⋅ Nesse caso, usamos a substituição trigonométrica u = cos(x), pois du = – sen(x) dx, e assim: ( ) ( ) ( )2cos 1 .jm n nsen x x dx u u du∫ ⋅ = ∫ − Agora, usando a substituição trigonométrica u = sen(x) sabemos que du = cos(x) dx, então ∫ senm(x) · (1 – sen2(x))k cos(x)dx. Exemplo: Calcule a integral de: ( ) ( )4 3cos .sen x x dx∫ ⋅ TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 51 ( ) ( ) ( )25 3 2 3cos 1 .sen x x dx u u du∫ ⋅ = ∫ − Usando produtos notáveis temos: 4 6 8 4 6 8 5 3 2 4 3 5 7 cos ( ) cos ( ) cos ( )( ) cos ( ) (1 2 ) 2 . 4 3 8 4 3 8 u u u x x xsen x x dx u u udu u u u du c c⋅ = − + − + = − + + = − + +∫ ∫ ∫ Observe que se n = 0, temos que: ( ) ( )21 .jmsen x dx u du∫ = ∫ − ATENCAO Outra situação que pode ocorrer é quando, tanto m quanto n, são números pares. Nesse caso a estratégia é um pouco diferente, lembre-se de que podemos escrever o produto de seno e cosseno usando as identidades dos ângulos metades, ou seja: ( ) ( )( )2 1 1 cos 22sen x x= − ( ) ( )( )2 1cos 1 cos 2 .2x x= + Assim a integral, quando m = 2j e n = 2k, é reescrita da seguinte maneira: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1cos 1 cos 2 1 cos 2 .2 2 j k m nsen x x dx x x dx ∫ ⋅ = ∫ − ⋅ + Exemplo: Calcule a integral: ( ) ( )5 3cos .sen x x dx∫ ⋅ Resolução: Fazendo a substituição trigonométrica u = cos(x) podemos reescrever a integral da seguinte maneira: 52 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN Resolução: Usando as propriedades de arco metade, temos: 1 1 2 2 2 2 21 1 1 1 1( ) cos ( ) (1 cos(2 )) (1 cos(2 )) 1 cos(2 ) cos(2 ) cos (2 ) 1 cos (2 ) (2 ) . 2 2 4 4 4 sen x x dx x x dx x x x dx x dx sen x dx ⋅ = − ⋅ + = + − − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Usando novamente a identidade do arco metade, temos que sen2(2x) = (1 – cos(4x)), logo: 2 1 1 1 (4 )(2 ) (1 cos(4 )) 1 cos(4 ) . 2 2 2 2 8 x sen xsen x dx x dx dx x dx c= − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫ Portanto, podemos concluir que: ( ) ( ) ( )2 2 1 4 cos . 8 32 sen xxsen x x dx c∫ ⋅ = − + 1 2 Outra maneira de resolver essa integral é usando a identidade do produto entre o seno e o cosseno: ( ) ( ) ( )1cos 2 2 x sen x sen x⋅ = Porém, fique atento, pois você só pode usar no caso em que m = n. Refaça o exemplo anterior usando essa igualdade. AUTOATIVIDADE Mesmo que apareçam outras funções trigonométricas, podemos usar as estratégias citadas no UNI anterior, pois sempre podemos reescrever como um produto de função seno e cosseno, já que: ATENCAO Exemplo: Calcule a integral: ( ) ( )2 2cos .sen x x dx∫ ⋅ TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 53 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 1, , sec cos cos sen x x tg x cotg x x x sen x x = = = ( ) ( ) 1 .cossec x sen x = No exemplo anterior precisamos calcular a integral de ( )cos 4 .x dx∫ Para isso basta usar mudança de variável, como aprendemos nas seções anteriores, porém, o que acontece se temos um produto de seno e cosseno dessa forma? Por exemplo, como calculamos ( ) ( )sen 5 cos 4 .x x dx∫ A estratégia aqui é usar as seguintes identidades: Caso 1: Para resolver uma integral da forma ( ) ( )cos .sen mx nx dx∫ usamos a identidade ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2sen mx nx sen m n x sen m n x= − + + Caso 2: Para resolver uma integral da forma ( ) ( )sen .sen mx nx dx∫ usamos a identidade ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2cos mx nx cos m n x cos m n x= − + + Caso 3: Para resolver uma integral da forma ( ) ( )cos .cos mx nx dx∫ 54 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN logo, a integral pode ser reescrita da seguinte maneira: 1 1 cos(9 ) cos( ) cos(9 )(5 )cos(4 ) ( ) (9 ) cos( ) . 2 2 9 2 18 x x xsen x x dx sen x sen x dx x c c = + = − − + = − − + ∫ ∫ 6 INTEGRAÇÃO USANDO FRAÇÕES PARCIAIS Antes de apresentarmos a integração usando frações parciais, vamos entender o que são frações parciais. Considere a função: ( ) 2 2 . 1 xf x x = − Sabemos que x2 – 1 = (x + 1)(x – 1), então a função f é reescrita: ( ) ( )( ) 2 . 1 1 xf x x x = + − Agora vamos reescrever essa função como soma de frações, já que o denominador é o produto de duas funções queremos, então, encontrar A e B tal que a igualdade a seguir seja verdadeira: ( )( ) 2 . 1 1 1 1 x A B x x x x = + + − + − Desenvolvendo o lado direito, concluímos que: Então, para resolver ( ) ( )sen 5 cos 4 .x x dx∫ vamos usar a identidade ( ) ( ) ( ) ( )( )15 cos 4 9 .2sen x x sen x sen x= + usamos a identidade ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1cos .2cos mx nx cos m n x cos m n x= − + + TÓPICO 3 | TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 55 Resolvendo o sistema linear, encontramos A = 1 e B = 1, portanto: 2 2 1 1 . 1 1 1 x x x x = + − + − Suponha, agora, que o objetivo era integrar essa função, assim: 2 2 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 x dx dx dx dx x x x x x = + = + − + − + −∫ ∫ ∫ ∫ Reescrevendo a função como uma soma de frações, transformamos o cálculo da integral de uma função em duas integrais cujo cálculo é mais simples de ser feito. No caso anterior, vemos que as integrais que aparecem são calculadas usando substituição de variáveis. Seja y = x + 1, então dy = dx e ( ) 2 1 22 1 1 1 1 . 1 2 2 2 1 ydx dy y dy x y y x − −∫ = ∫ = ∫ = = − = − + − + E considerando y = x – 1 temos dy = dx e ( ) 2 1 22 1 1 1 1 . 1 2 2 2 1 ydx dy y dy x y y x − −∫ = ∫ = ∫ = = − = − − − − Portanto: ( ) ( )2 22 2 1 1 . 1 2 1 2 1 x dx c x x x ∫ = − − + − + − ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 12 1 1 1 1 A x B xx x x x x − + + = + − + − ( )( ) ( )( ) 2 1 1 1 1 x Ax A Bx B x x x x − + + = + − + − ( )( ) ( ) ( )( ) 2 . 1 1 1 1 A B x A Bx x x x x + − + = + − + − Portanto, precisamos escolher A e B de forma que: 2 0 A B A B + = − + = 56 UNIDADE 1 | INTEGRAL DE RIEMANN O método de integração por partes é um método aplicado para
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