Matematica apostila

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autor
LUIZ ALBERTO GRAVINA BELMIRO
1ª edição
SESES
rio de janeiro 2015
MATEMÁTICA PARA 
NEGÓCIOS
Conselho editorial solange moura; roberto paes; gladis linhares
Autor do original luiz alberto gravina belmiro
Projeto editorial roberto paes
Coordenação de produção gladis linhares
Projeto gráfico paulo vitor bastos
Diagramação bfs media
Revisão de conteúdo luiz alberto gravina belmiro
Imagem de capa adam radosavljevic | dreamstime.com
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida 
por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em 
qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip)
B451m Belmiro, Luis Alberto Gravina
 Matemática pra Negócios / Luis Alberto Gravina Belmiro
 Rio de Janeiro : SESES, 2015. 
 208 p
 isbn: 978-85-5548-117-8
 1. Matemática. 2. Economia. 3. Finanças. I. SESES. II. Estácio.
cdd 658.15
Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento
Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa
Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063
Sumário
Prefácio 7
1. Revisão de Funções e Gráficos 9
Objetivos 10
1.1 Conceito 11
1.2 Domínio 12
1.3 Funções lineares e não lineares 13
1.3.1 Função quadrática e representação gráfica 14
1.3.1.1 Introdução 14
1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos 16
1.4 Funções crescentes e decrescentes 17
1.5 Pontos de máximo e mínimo 21
1.5.1 Gráfico da função de segundo grau: a parábola 21
1.6 Estudo do sinal de funções elementares e suas aplicações 22
1.6.1 Intercepto 22
1.6.2 Vértice da parábola 23
1.6.3 Exemplos de gráficos 23
2. Limites 27
Objetivos 28
2.1 Introdução ao Limite 29
2.1.1 O conceito intuitivo de limite 29
2.1.2 Funções contínuas 29
2.2 Análise Gráfica de Limite 33
2.2.1 Funções descontínuas 33
2.3 Como Calcular Limites 35
3. Derivada de uma função 37
Objetivos 38
3.1 Introdução à Derivada 39
3.2 O coeficiente angular 40
3.3 Interpretação gráfica da derivada 43
3.3.1 Derivada pela definição 43
3.3.2 Interpretação gráfica da derivada 44
4. Regras de Derivação 55
Objetivos 56
4.1 Regras de Derivação 57
4.2 Derivada de função 57
4.2.1 Derivada da função xn 57
4.2.2 Derivada de k· f(x) 61
4.2.3 Derivada de f(x) = k 65
4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de funções 65
4.4 Derivada do produto de duas funções: a regra do produto 67
4.5 Derivada da divisão de duas funções: a regra do quociente 71
Referências bibliográficas 74
4.6 Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos – 
Problema de Otimização 75
5. Aplicações Matemáticas em Economia 77
Objetivos 78
5.1 Maximização do lucro de uma empresa 79
5.1.1 Maximização do lucro 79
5.2 Receita, Custo e Lucro Marginais 82
5.3 Ponto de Equilíbrio 85
5.3.1 Equilíbrio de firma (break-even-point) 86
5.3.1.1 Custo total 87
5.3.1.2 Receita total ou faturamento 87
5.3.1.3 Ponto de equlíbrio 88
5.4 Elasticidade – preço da demanda 91
6. Aplicações Matemáticas em Marketing 93
Objetivos 94
6.1 Previsão e mensuração da demanda em marketing 95
6.2 Pesquisa de marketing 98
6.3 Mensuração do valor da marca 101
6.4 Gerenciamento de preços 105
6.5 PROMOÇÃO DE VENDAS/ DESCONTOS 109
6.6 Propaganda/ dispêndio de marketing 112
6.7 Orçamento de marketing 114
7. Aplicações Matemáticas em Produção 121
Objetivos 122
7.1 Medida da produtividade 123
7.2 Projeto e medida do trabalho 127
7.3 Medida da capacidade 130
7.4 Avaliação de alternativas de localização 135
8. Aplicações Matemáticas em Logística 139
Objetivos 140
8.1 Operações de armazenagem 141
8.2 Controle de estoque 146
8.3 Operações de transporte 150
8.4 Operações de movimentação e embalagem 153
8.5 Otimização de sistemas de transporte 154
9. Aplicações Matemáticas em Finanças 157
Objetivos 158
9.1 Risco sistemático e beta de carteira de investimentos 159
9.2 CAPM (modelo de precificação de ativos financeiros) 161
9.3 WACC (Custo de capital médio ponderado) /Obtenção de capital 165
9.4 Modelo de dividendos 170
9.5 Análise de investimentos 175
9.6 Alavancagem financeira 183
9.7 Medidas de liquidez, rentabilidade, estrutura de capital e de giro 187
10. Matemática Aplicada a Negócios 193
Objetivos 194
10.1 Plano de Negócios 195
7
Prefácio
Prezados(as) alunos(as),
Nos dias atuais, presenciamos avanços tecnológicos inimagináveis há al-
guns anos. Isso ocorre em todas as áreas e facilita, de forma significativa, a ob-
tenção de informações a respeito dos fenômenos que nos cercam. E, se parar-
mos para prestar atenção, veremos a presença da Matemática em praticamente 
todos os acontecimentos relacionados com tais fenômenos. Essa evolução gera 
um grande volume de informações e também a necessidade crescente de reso-
lução de diversos tipos de problemas. Isso, certamente, aumenta a importância 
do conhecimento matemático. Compreender e aplicar os conceitos, métodos 
e algoritmos matemáticos tem fundamental importância aos profissionais de 
diversas áreas do conhecimento. E não é somente no campo profissional que a 
Matemática é importante. Em nosso dia a dia, cada vez mais, vemos a necessi-
dade da utilização do raciocínio matemático. 
Participante, há muito tempo, da evolução humana, a Matemática desen-
volveu-se (e desenvolve-se) a partir da necessidade do homem em resolver seus 
problemas. E não é muito diferente nos dias atuais. Nosso aprimoramento pro-
fissional passa pelo conhecimento, superficial ou abrangente, dessa ciência. 
Não permita que eventuais dificuldades de compreensão dos conceitos mate-
máticos diminuam sua capacidade de ação profissional. Dedique-se aos estu-
dos e procure sempre construir, gradativamente, o conhecimento e o raciocínio 
lógico que lhe ajudarão a compreender melhor os fenômenos que o cercam.
Veremos aqui a aplicação de conceitos matemáticos na resolução de diver-
sos tipos de problemas, desenvolvendo assim o raciocínio lógico e analítico, 
habilidade fundamental para a tomada de boas decisões, mesmo em momen-
tos que não envolvam a matemática propriamente dita, pois o raciocínio lógico 
auxilia na análise de vários tipos de situações encontradas no cotidiano de uma 
organização. 
Este livro está dividido em cinco capítulos. Começaremos, no Capítulo 1, 
pelo estudo dos conjuntos e suas operações com ênfase na resolução de pro-
blemas envolvendo tais conceitos. No Capítulo 2, estudaremos as equações do 
1º grau, razões, proporções e suas aplicações na resolução de problemas en-
volvendo porcentagens. A função linear, seu comportamento e características 
serão apresentados no Capítulo 3. Nele também serão apresentadas aplicações 
importantes desse tipo de função: funções custo, receita e demanda, além do 
ponto de equilíbrio. O Capítulo 4 apresenta a função quadrática e sua aplica-
ções, com ênfase no estudo da receita, do lucro e da maximização do lucro. O 
estudo da taxa de variação de funções matemáticas é abordado no Capítulo 5, 
através da apresentação dos limites e derivadas de funções.
Mesmo considerando que apenas uma pequena parte das aplicações da Ma-
temática será aqui apresentada, estamos certos de que será de grande valia para 
sua vida, tanto particular como profissional.
Bons estudos!
Revisão de Funções 
e Gráficos
1
10 • capítulo 1
OBJETIVOS
•  Compreender o que é uma função matemática;
•  Reconhecer uma função do primeiro grau;
•  Realizar cálculos de valores de função de primeiro grau e determinar sua raiz e intercepto;
•  Esboçar e interpretar gráficos de funções do primeiro grau;
•  Aplicar o conhecimento sobre função do primeiro grau em situações práticas do cotidiano.
capítulo 1 • 11
1.1 Conceito
Em nosso cotidiano, mesmo sem perceber, estamos envolvidos por diversos ti-
pos de funções. A relação existente, por exemplo, entre o consumo de água em 
nossacasa e o valor que iremos pagar, o tempo para cumprir um trajeto e a ve-
locidade desenvolvida, a quantidade de açúcar para adoçar certa quantidade de 
suco, a quantidade de itens comprados e o valor a ser pago, entre tantas outras 
situações em que há a relação entre duas (ou mais) grandezas, que chamare-
mos de variáveis.
Para muitos profissionais, determinadas variáveis necessitam ser analisa-
das com certa precisão. Considere, por exemplo, a quantidade de itens produ-
zidos que determina o custo total envolvido nessa produção; a receita total ob-
tida com a venda de uma utilidade que depende da quantidade vendida; o lucro 
com a venda de certa utilidade que, entre outras coisas, depende também da 
quantidade vendida; o volume de vendas (demanda) tem relação com o preço 
praticado; a quantidade ofertada de certo produto, no mercado, relaciona-se 
com o preço desse produto. 
É lógico que tais relações não são exclusivas. Por exemplo, a quantidade 
ofertada de certo produto, no mercado, tem relação com o preço que está sendo 
praticado, mas também depende de outras variáveis tais como a taxa de juros 
vigente, a quantidade de parcelas praticado nos financiamentos para aquisição 
desse produto, os preços dos produtos similares concorrentes, entre tantas ou-
tras. No entanto, conhecer individualmente cada uma das relações entre a vari-
ável de interesse volume de vendas e as variáveis que, de certa forma, provocam 
alteração de seus valores é imprescindível para se ter informações importantes 
sobre a variável de interesse.
CONEXÃO
Um vídeo interessante sobre aplicações de funções está disponível no endereço:<http://
revistaescola.abril.com.br/matematica/pratica-pedagogica/vide-funcao-afim-resolucao- 
problemas-604921.shtml>.
Ele apresenta a experiência de uma professora do ensino fundamental que trabalhou 
com seus alunos aplicações de um tipo específico de função: a função afim. Vale a pena con-
ferir, pois nele são apresentados alguns procedimentos que faremos no estudo de funções.
12 • capítulo 1
Neste capítulo estudaremos um tipo de função que conhecemos por função 
do primeiro grau. É uma das formas mais elementares de função que existe, 
mas que possui uma infinidade de aplicações.
1.2 Domínio
Uma ideia intuitiva de função que podemos ter é a de uma “máquina” que pro-
duz um valor y quando nela inserimos um valor x. Há uma “transformação” da 
variável x para a produção da variável y. E isso acontece através de uma fórmula 
matemática que relaciona valores de dois conjuntos.
Considere dois conjuntos A e B. Uma função matemática entre A e B, nes-
sa ordem, é uma relação que associa a cada um dos elementos de A um único 
elemento de B. Há uma infinidade de tipos de função. Neste capítulo, estuda-
remos a função de primeiro grau, que é aquela que pode ser escrita na forma:
y ax b f x ax b= + ( ) = + ou 
em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0.
A letra a é denominada de coeficiente angular (ou de inclinação) da função. 
Como o gráfico da função de primeiro grau é sempre uma reta, então o valor de 
a determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). A letra b é o co-
eficiente angular (ou intercepto) da função e determina o ponto no qual a reta 
(gráfico da função de primeiro grau) cruza com o eixo vertical (que é também 
conhecido por eixo y).
O conjunto de valores x numa função é denominado domínio da função e 
denotado por D(f). Já os valores de y que são relacionados aos valores do do-
mínio constituem um conjunto denominado imagem da função, denotado por 
Im(f).
O coeficiente da variável x numa função de primeiro grau não pode assumir valor zero 
porque, se isso acontecer, a função deixa de ser de primeiro grau para tornar-se uma 
função constante (aquela cujo valor não varia mesmo quando alteramos o valor de x).
capítulo 1 • 13
É comum utilizarmos as letras x e y para representar as variáveis em uma 
função matemática. No entanto, podemos utilizar as letras que quisermos. 
Quando, por exemplo, relacionamos o custo de produção de determinada utili-
dade com a sua quantidade produzida, utilizamos as letras C e q para represen-
tar tais variáveis.
Vamos ver, inicialmente, dois exemplos de funções do primeiro grau, cal-
culando alguns de seus valores e construindo seus gráficos. Mais adiante, vere-
mos algumas aplicações.
1.3 Funções lineares e não lineares
EXEMPLO
Considere a função f x x( ) = +2 3 .
Vamos determinar alguns de seus valores a partir dos seguintes valores de x: –2, –1, 0, 
1, 2 e 3.
•  Se x = –2, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + = −2 2 2 3 4 3 1.
•  Se x = –1, então f −( ) = ⋅ −( ) + = − + =1 2 1 3 2 3 1.
•  Se x = 0, então f 0 2 0 3 0 3 3( ) = ⋅ + = + = .
•  Se x = 1, então f 1 2 1 3 2 3 5( ) = ⋅ + = + = .
•  Se x = 2, então f 2 2 2 3 4 3 7( ) = ⋅ + = + = .
•  Se x = 3, então f 3 2 3 3 6 3 9( ) = ⋅ + = + = .
Podemos apresentar os resultados numa tabela:
X F(X)
–2 –1
–1 1
0 3
1 5
2 7
3 9
Tabela 1.3 – Valores da função f(x) = 2x + 3.
14 • capítulo 1
Note que os valores de x que escolhemos estão variando de uma em uma unidade. Já 
os valores calculados de y variam de duas em duas. Isso já era esperado, pois o coeficiente 
angular (a) da função dada é igual a 2. Ele determina qual será a variação de y cada vez que x 
aumenta uma unidade.
Os valores da tabela representam apenas alguns pontos da função f(x) = 2x + 3 (ou 
y = 2x + 3). Existem outros infinitos, mas eles já são suficientes para que possamos verificar 
o comportamento do gráfico dessa função. Na verdade, como o gráfico de uma função é uma 
reta, apenas dois dos pontos acima seriam suficientes.
É comum indicar os pontos de uma função através de pares ordenados (x, y). No caso 
dos valores calculados para a função desse exemplo (tabela 1.3), temos os seguintes pares 
ordenados: (–2, –1), (–1,1), (0,3), (1,5), (2,7) e (3,9).
1.3.1 Função quadrática e representação gráfica 
1.3.1.1 Introdução
Vamos iniciar nosso estudo sobre função do segundo grau mostrando uma si-
tuação que exemplifica bem o surgimento desse tipo de função, a partir de uma 
função de primeiro grau em que a variável independente x é função de outra 
variável.
EXEMPLO
O proprietário de um restaurante que comercializa somente pratos executivos, todos com 
o mesmo preço, resolveu realizar um estudo sobre a receita diária do estabelecimento e 
como o volume de vendas varia em função do preço praticado. Para isso, realizou, durante 
longo período, um levantamento comparando a quantidade x de pratos vendidos diariamente 
e o preço p cobrado por unidade. Chegou, assim, ao seguinte modelo:
x = 100 – 2p
Notou, então, que, para cada real aumentado no preço da refeição, há uma redução de 
2 unidades na quantidade vendida (pois o coeficiente angular da função é –2). Esse modelo 
obtido permite também outras conclusões. Veja como ele pode influenciar a receita diária do 
restaurante.
capítulo 1 • 15
Como vimos em um dos exemplos do capítulo anterior, a função que fornece a receita 
total y de uma utilidade em relação à quantidade comercializada x tem a forma:
y = p · 2p
em que p é o preço unitário de venda.
Se o preço p for fixo, a função receita total é considerada de primeiro grau e seu valor 
cresce indefinidamente à medida que a quantidade x aumenta. No entanto, no caso desse 
restaurante, temos a informação de que a quantidade vendida está diretamente relacionada 
com o preço unitário através da relação:
x = 100 – 2p
Da mesma forma que podemos escrever x em função de p, podemos fazer o inverso: 
escrever p em função de x. Para isso, basta isolar p na função x = 100 – 2p:
x p
p x
p
x
p x
= −
= −
=
−
= −
100 2
2 100
100
2
50 0 5,
Substituindo a expressão p = 50 – 0,5 x na função receita total, temos:
y x x
p
= −( ) ⋅50 0 5,
� �� ��
Aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever:
y = 50 x – 0,5 x2
Note que o formato da função obtida difere daquele que vimos quando estudamos as 
funções de primeirograu. Temos, agora, uma função de segundo grau (pois a variável indepen-
dente aparece elevada à potência 2).
Vamos estudar algumas das características dessas funções. Podemos determinar, entre 
outras coisas, qual deve ser a quantidade comercializada para que o valor da receita seja 
máximo. Você pode pensar assim: quanto maior a quantidade vendida, maior será o valor re-
cebido (receita). Mas não podemos nos esquecer que, agora, para que a quantidade vendida 
aumente, o preço deve baixar. E se o preço for muito baixo, mesmo com uma quantidade 
grande, a receita pode parar de crescer. É isso que acontece em casos como o deste exem-
plo.
16 • capítulo 1
Mais adiante, após estudarmos as características de uma função de segundo grau, reto-
maremos este exemplo para determinar “qual é a melhor relação preço versus quantidade para 
que a receita seja a maior possível”.
1.3.2 A função de segundo grau: definição e exemplos
Toda função que relaciona elementos de A e B (x ∈ A e y ∈ B), nessa ordem, é 
uma função de A em B se puder ser escrita na forma:
y = f(x) = ax2 + bx + c
em que a, b e c são valores reais, com a ≠ 0. 
EXEMPLO
São exemplos de funções do segundo grau:
a) f (x) = x2 – 6 x + 5, em que a = 1, b = – 6, c = 5;
b) g (x) = – x2 + 4x – 3, em que a = – 1, b = 4, c = – 3;
c) y = – 5x2 + 2x, em que a = – 5, b = 2, c = 0;
d) h (x) = x2 + 7, em que a = 1, b = 0, c = 7;
e) f (x) = 2 – 5 x + 3x2, em que a = 3, b = – 5, c = 2;
f) y + 2x2 + x = 9, que pode ser escrita na forma y = – 2x2 – x + 9, em que a = – 2, 
 b = –1, c = 9.
capítulo 1 • 17
1.4 Funções crescentes e decrescentes
Associando cada valor de x a seu respectivo valor y (da tabela 1.3 – Valores da 
função f(x) = 2x + 3), no gráfico, temos:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1(–1, 1)
0
0–3 –2 –1
–1
–2
(–2 –)1
1 2 3 4
(0, 3)
(1, 5)
(2, 7)
(3, 9)
Figura 1 – Localização dos pontos da tabela 1.3.
Na figura, apenas os pontos que calculamos é que foram inseridos no gráfi-
co. Apenas para facilitar os cálculos e a localização dos pontos, escolhemos va-
lores inteiros para a variável x. Contudo, o domínio de uma função do primeiro 
grau compreende todos os números reais. Se escolhermos, por exemplo, mais 
valores de x entre 1 e 2, tais como: 1,1; 1,2; 1,3 etc., ou refinando ainda mais: 
1,01; 1,02; 1,03 etc, iremos preenchendo o espaço entre os pontos (1,5) e (2,7). 
18 • capítulo 1
O mesmo acontece com relação aos outros pontos e em toda a extensão do do-
mínio da função. Por isso, após localizarmos os pontos calculados, podemos 
ligá-los através de segmentos de reta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0–3 –2
–2
–1
–1
1 2 3 4
Figura 2 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.3.
Note que, no gráfico, a reta é crescente (à medida que x cresce, y também 
cresce) e a taxa de crescimento é de 2 unidades em y para cada unidade em x. 
Essa taxa de crescimento é determinada pelo coeficiente angular (ou de inclina-
ção) da função. Outro ponto notável é o intercepto (ou coeficiente linear), que 
no caso da função abordada é o 3. Ele determina onde o gráfico irá interceptar 
o eixo y.
capítulo 1 • 19
Embora a representação do gráfico da função f(x) = 2x + 3 da figura 2 limite-
se ao domínio (valor de x) de –2 a 3, poderíamos expandi-la infinitamente tanto 
para valores maiores quanto para valores menores que os considerados na ta-
bela 1.3. Representamos a função de forma finita, mas não podemos esquecer 
que ela é infinita.
Vejamos, agora, um exemplo em que o coeficiente angular é negativo.
EXEMPLO
Considere, agora, a função f(x) = – 2x + 3.
Vamos determinar, como no exemplo anterior, alguns de seus valores a partir dos seguin-
tes valores de x: –2, –1, 0, 1, 2 e 3.
•  Se x = –2, então f(–2) = – 2 · (–2) + 3 = 4 + 3 = 7.
•  Se x = –1, então f(–1) = – 2 · (– 1) + 3 = 2 + 3 = 5.
•  Se x = 0, então f(0) = – 2 · 0 + 3 = 0 + 3 = 3.
•  Se x = 1, então f(1) = – 2 · 1 + 3 = – 2 + 3 = 1.
•  Se x = 2, então f(2) = – 2 · 2 + 3 = – 4 + 3 – 1.
•  Se x = 3, então f(3) = – 2 · 3 + 3 = – 6 + 3 = – 3.
Resumindo os resultados numa tabela, temos:
X F(X)
–2 7
–1 5
0 3
1 1
2 –1
3 –3
Tabela 1.4 – Valores da função f(x) = –2x + 3. 
20 • capítulo 1
Nesse caso também, os valores de x escolhidos estão aumentando de uma em uma 
unidade, mas os valores calculados de y, ao contrário do exemplo anterior, estão diminuindo 
de duas em duas. Isso porque o coeficiente angular (a) da função considerada é igual a –2. 
O intercepto, por sua vez, é o mesmo.
A partir dos valores calculados, podemos construir o gráfico da função:
8
7
6
5
4
3
2
1
0
–3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
0 1 2 3 4
Figura 3 – Gráfico de função do primeiro grau do exemplo da tabela 1.4.
Nos dois exemplos dados, é possível perceber que, quando a > 0, a função é crescente 
e quando a < 0, a função é decrescente.
capítulo 1 • 21
1.5 Pontos de máximo e mínimo
1.5.1 Gráfico da função de segundo grau: a parábola
O gráfico de qualquer função de segundo grau tem o formato de uma parábola, 
com concavidade que pode estar voltada para cima ou para baixo, conforme o 
sinal do coeficiente da variável x2. Veja:
Vértice
Vértice
Se a > 0, a concavidade é voltada
para cima.
Se a < 0, a concavidade é voltada
para baixo.
Figura 4 – Concavidade e vértice da parábola.
Portanto, dada a função, já podemos prever sua concavidade. No entanto, é 
preciso ter mais informações para poder esboçar seu gráfico. 
O vértice da parábola é o seu ponto mais baixo (quando a concavidade é 
voltada para cima) ou o ponto mais alto (quando a concavidade é voltada para 
baixo). Outra informação importante é a simetria que a parábola possui com 
relação ao eixo vertical que passa sobre seu vértice. 
Veja a figura.
Vértice
Figura 5 – Simetria da parábola.
22 • capítulo 1
Se traçarmos uma linha horizontal que cruze a parábola em dois pontos, o 
segmento determinado por um desses pontos e a intersecção dessa linha com 
o eixo vertical têm a mesma medida que o segmento determinado por essa in-
terseção e o outro ponto de cruzamento da linha horizontal com a parábola. 
Para compreender melhor, considere que o eixo vertical da figura 5 é uma 
dobra que você pode realizar. As linhas que determinam os dois lados da mes-
ma parábola vão coincidir após a dobra.
Já temos algumas informações interessantes que nos auxiliarão no gráfico 
da função de segundo grau. Mas, ainda, há pontos importantes que devem ser 
determinados através de cálculos: as raízes, o intercepto e o próprio vértice.
Assim como acontece com a função do primeiro grau, para calcularmos as 
raízes da função de segundo grau (se elas existirem), devemos igualar a função 
y a zero e resolver a equação resultante. Contudo, essa resolução não é, geral-
mente, tão simples como ocorre com as funções lineares. Só para relembrar, 
as raízes (soluções) de uma equação de segundo grau, da forma ax2 + bx + c = 0 
podem ser dadas pela fórmula de Bhaskara:
x
b raiz ac
a
=
− ± − de b2 4
2
em que Δ = b2 – 4ac.
1.6 Estudo do sinal de funções elementares 
e suas aplicações
1.6.1 Intercepto
O intercepto de uma função y = f(x) é sempre o valor que y assume quando a 
variável x é igual a zero. No caso geral da função de segundo grau, quando x = 0, 
temos:
f(0) = a · 02 + b · 0 + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c
Portanto, o intercepto de uma função de segundo grau é sempre (0,c).
capítulo 1 • 23
1.6.2 Vértice da parábola
Como já vimos, o vértice está no eixo de simetria da parábola. Então, sua coor-
denada x pode ser obtida calculando-se a média entre as raízes (se elas existi-
rem). Mas há casos em que elas não existem e temos que recorrer a outro tipo 
de cálculo. Portanto, para facilitar, podemos utilizar as fórmulas abaixo para 
determinar as coordenadas x e y do vértice, que denotaremos, respectivamente, 
por xv e yv:
x
b
av
= −
2
y
av
= −
∆
4
A coordenada yv representa o valor máximo ou mínimo da função, con-
forme a concavidade seja voltada, respectivamente,para baixo ou para cima. 
Consequentemente, a coordenada xv é o valor que atribuímos à variável indepen-
dente x para que obtenhamos o valor máximo ou mínimo da função.
CONEXÃO
No endereço:<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/10956>, você irá en-
contrar um aplicativo que realiza uma simulação interativa com gráficos de funções do pri-
meiro e do segundo grau. Vale a pena conferir, pois através desse aplicativo, você poderá 
compreender melhor o papel de cada coeficiente nesses tipos de função.
1.6.3 Exemplos de gráficos
Agora vamos aplicar as fórmulas vistas na construção de alguns exemplos de 
gráficos de funções quadráticas.
24 • capítulo 1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Esboce o gráfico da função y = x2 – 4x – 5 , identificando (e calculando) as raízes (se 
existirem), o intercepto e o vértice.
Resolução
Temos a = 1, b = –4 e c = –5. Como a > 0, então concluímos que a parábola tem con-
cavidade voltada para cima.
O intercepto é o ponto (0, c), isto é, (0,–5).
As raízes são calculadas igualando-se y a zero e resolvendo a equação resultante:
y x x= ⇒ − − =0 4 5 02
Temos:
∆
∆
∆
∆
= −
= −( ) − ⋅ ⋅ −( )
= +
=
b ac2
2
4
4 4 1 5
16 20
36
Como o valor do discriminante ∆ é positivo, então concluímos que a função possui duas 
raízes reais distintas. Vamos calculá-las utilizando a fórmula de Bhaskara:
x
b
a
x
x
x
x
=
− ±
=
− −( ) ±
⋅
=
±
= =
=
−
= −
∆
2
4 36
2 1
4 6
2
10
2
5
2
2
1
1
3
 
Portanto, as raízes são 5 e –1.
Quando obtemos as raízes de uma função quadrática, como no exemplo em que elas 
são –1 e 5, significa que determinamos os pontos (–1,0) e (5,0), e não o ponto (–1,5). 
Não se esqueça de que, para obtê-las, igualamos a função (y) a zero e elas indicam 
onde ocorrem as interseções do gráfico com o eixo x. Portanto, de forma geral, consi-
derando que uma função tenha as raízes x1 e x2, os pontos por elas determinados são 
(x1,0) e (x2,0).
capítulo 1 • 25
As coordenadas do vértice são:
x
b
av
= − = −
−
⋅
= −
−
= − − =
2
4
2 1
4
2
2 2( )
e
y
av
= − = −
⋅
= − = −
∆
4
36
4 1
36
4
9
Logo, o vértice é o ponto (2,–9).
Com essas informações, podemos construir o gráfico.
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0–3 –2 –1–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
x
26 • capítulo 1
Limites
2
28 • capítulo 2
OBJETIVOS
Um dos objetivos deste capítulo é introduzir o conceito e cálculo do limite de uma função. 
Ao ler este capítulo e resolver todos os exercícios, o aluno terá compreendido o conceito de 
limite e estará pronto para adentrar a segunda parte deste capítulo, que tratará da função 
derivada.
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de 
conhecê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto 
é, sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Como a próxima unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente 
angular, então devemos, agora, conhecer mais de perto o limite de funções.
Ao final deste capítulo, depois da leitura e da resolução dos exercícios (resolvidos e pro-
postos), o aluno terá aprendido:
•  a noção e o conceito de limite de uma função;
•  a calcular o valor do limite de uma função num ponto qualquer;
•  a diferença conceitual entre o valor da função e o valor do limite num ponto.
capítulo 2 • 29
2.1 Introdução ao Limite
2.1.1 O conceito intuitivo de limite
O limite de uma função num determinado valor de x, isto é, o lim x → x0
 f(x) é 
definido como aquele valor que a função assume nas vizinhanças de x = x0. 
Note que o lim x → x0
 f(x) está relacionado aos valores que a função assume 
nas vizinhanças de x0, mas não necessariamente em x0. A função pode até não 
ser definida em x = x0 (x0 fora do domínio da função), mas o limite poderá existir.
Separemos, pois, os dois principais casos de cálculo do limite: o de funções 
contínuas e o de descontínuas, conforme segue.
2.1.2 Funções contínuas
O valor do limite de uma função, quando x tende para um valor x0 confunde-se 
com o valor da função f(x0)) no ponto x = x0, se a função f(x) for contínua no pon-
to x = x0, isto é, se f(x) for definida neste ponto.
Desta forma, se f(x) é contínua em x = x0, então: 
lim x → x0
 f(x0)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontrar o limx → 2(3x – 1).
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) = 3x – 1 assume nas vizinhanças de x = 2. As duas 
próximas tabelas apresentam resultados suficientes para que possamos verificar o compor-
tamento da função f(x) nas vizinhanças de x = 2.
X Y = 3X – 1
–1 –4,00000
0 –1,00000
1 2,00000
1,5 3,50000
1,6 3,80000
1,9 4,70000
1,99 4,97000
1,999 4,99700
1,9999 4,99970
1,99999 4,99997
X Y = 3X – 1
5 14,00000
4 11,00000
3 8,00000
2,5 6,50000
2,2 5,60000
2,1 5,30000
2,01 5,03000
2,001 5,00300
2,0001 5,00030
2,00001 5,00003
30 • capítulo 2
Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 5,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 5, isto é, limx → 2(3x – 
1) = 5.
Nesse caso, o valor do limite da função quando x tende para 2 se confunde com o valor 
da função. Eles são iguais, pois a função é contínua em x = 2.
Desta forma: limx → 2(3x – 1) = f(2) = 5.
Para que exista o limite de uma função com x tendendo a certo valor x0, é necessário que 
esta função esteja tendendo ao mesmo valor conforme x se aproxima de x0, tanto pela 
esquerda como pela direita (tanto por valores menores que x0 como por valores maiores 
que x0).
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Vamos calcular os limites a seguir, apenas efetuando a substituição do valor mencio-
nado para x. Até o item (q), é possível determinar os valores dos limites dessa forma, pois 
todas as funções apresentadas são contínuas para x = x0. No entanto, no item (r) isso não 
ocorre. Vejamos:
a) limx → 1 (3x – 4)
limx → 1 (3x – 4) = f(1) = –1
b) limx → –2 (3x – 4)
limx → –2 (3x – 4) = f(–2) = –10
c) limx → 0 (3x – 4)
limx → 0 (3x – 4) = f(0) = – 4
capítulo 2 • 31
d) limx → 10 (x)
limx → 10 (x) = f(10) = 10
e) limx → –4 (–x – 4)
limx → –4 (–x – 4) = f(– 4) = 0
f) limx → 2 (5)
limx → 2 (5) = f(2) = 5
g) limx → –3 (10)
limx → –3 (10) = f(–3) = 10
h) lim
1
2
2
x
x
→
( )
lim =f
1
2
2
x
x
→
( ) 




=
1
2
1
4
i) limx → 1 (x
3 – 1)
limx → 1 (x
3 – 1) = f(1) = 0
j) limx → –1 (x
3 – 1)
limx → –1 (x
3 – 1) = f(–1) = –2
k) limx → 0 (x
2 – 3x + 4)
limx → 0 (x
2 – 3x + 4) = f(0) = 4
l) limx → –1 (x
4 + 1)
limx → –1 (x
4 + 1) = f(–1) = 2
m) lim
1
2
1x x
+ x→






lim
1
2 f
1x x
+ x→





 = ( )=1 3
32 • capítulo 2
n) lim
4
2x x
+→ −





3 1x
 
lim
4
f
2x x
+→ −





 = ( )=3 1 2 8x
o) limx → 3 4 13x +
 limx → 3 4 13x + = f(3) =5
p) limx → 2 
3 4
2 1
2x x
x
a
−
−






limx → 2 
3 4
2 1
2x x
x
−
−






 18 − x
q) limx → 3 
x
x
2 4
2
−
−






limx → 3 
x
x
2 4
2
−
−





 = f(3) = 5
r) limx → 2 
x
x
2 4
2
−
−






limx → 2 
x
x
2 4
2
−
−





 = f(2) = ?
No item (s), observamos que a função no ponto x = 2 não existe, mas o limite existe? 
Quanto vale?
Vimos, até aqui, que, se a função é contínua no ponto em que estamos querendo cal-
cular o limite, então o limite se confunde com o próprio valor da função neste ponto. 
Como a função (item s acima) não é contínua no ponto x = 2, então sabemos que não 
existe o valor da função nesse ponto, mas o limite existe? Como calculá-lo? Veremos que 
capítulo 2 • 33
o limite existe, sim, nesse caso (item s acima), apesar de não existir o valor da função no 
ponto x = 2. Temos que recorrer ao conceito original do limite de vizinhança. O limiteé 
definido pela tendência da função em torno do ponto (nas suas vizinhanças), mas não nele 
exatamente, isto é, precisamos descobrir o comportamento da função em torno do ponto 
x = 2, mas não nele. Continuaremos com esta discussão.
2.2 Análise Gráfica de Limite
2.2.1 Funções descontínuas
Para encontrarmos o limite de funções em pontos de descontinuidades, deve-
mos calcular os valores da função nas vizinhanças do ponto em questão. Mes-
mo que a função não esteja definida no ponto x0 (descontínuo), o limite poderá 
existir, pois o conceito de limite está ligado ao comportamento da função nas 
proximidades de x0 (ponto de descontinuidade). Retomemos o caso do item (s) 
do exemplo anterior.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
limx
x
x→
−
−





2
2 4
2
Resolução
Vamos calcular os valores que f(x) assume nas vizinhanças de x = 2.
X
 
−
−





y=
x 4
x 2
2
–1 1,00000
0 2,00000
1 3,00000
1,5 3,50000
1,6 3,60000
34 • capítulo 2
X
 
−
−





y=
x 4
x 2
2
1,9 3,90000
1,99 3,99000
1,999 3,99900
1,9999 3,99990
1,99999 3,99999
Podemos observar que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas vizinhan-
ças à esquerda de x = 2.
Tomemos, agora, as vizinhanças à direita:
X
 
−
−





y=
x 4
x 2
2
5 7,00000
4 6,00000
3 5,00000
2,5 4,50000
2,2 4,20000
2,1 4,10000
2,01 4,01000
2,001 4,00100
2,0001 4,00010
2,00001 4,00001
Podemos observar, também, que a função assume valores muito próximos de 4,0 nas 
vizinhanças à direita de x = 2.
Podemos dizer, então, que o limite de f(x), quando x tende a 2, é igual a 4, isto é:
limx
x
x→
−
−





2
2 4
2
Neste caso, f(2) nem existe, ou seja, a função não está definida em x = 2 (f(x) é des-
contínua em x = 2), mas o limite existe e vale 4.
Vimos que obter o valor do limite num ponto (x), em que a função não é contínua, não é 
capítulo 2 • 35
uma operação difícil, mas sim trabalhosa. Porém, nos casos em que podemos fatorar a fun-
ção, a obtenção do limite é menos trabalhosa, conforme apresentado a seguir.
Outra forma de se obter o valor do limite da função no ponto x0 (descontínuo) passa 
pela utilização do método da fatoração. Com a fatoração, podemos encontrar outra função 
(g(x)) que seja contínua em x0 e que tenha exatamente o mesmo comportamento da função 
original (f(x)) do nosso problema (que é descontínua no ponto x0). Se esta segunda função 
(g(x)) apresentar o mesmo comportamento que a função original (f(x)), então os limites das 
duas funções terão o mesmo valor, ainda que f(x) seja descontínua em x = x0, e o limite 
será o próprio valor da função g(x) em x0. 
O segredo está no fato de que devemos lembrar que o valor do limite depende única e 
exclusivamente do comportamento da função nas vizinhanças do ponto x0, e não necessaria-
mente sobre ele. Assim, como as duas funções f(x) e g(x) têm o mesmo comportamento em 
todos os pontos, então os limites das duas funções são os mesmos e assumem o valor de 
g(x0). Vejamos o exemplo seguinte (ainda o caso do item s do exemplo 1 anterior).
2.3 Como Calcular Limites
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre o valor-limite:
limx
x
x→
−
−





2
2 4
2
Resolução
Já sabemos que a função não é definida em x = 2. Vamos, então, fatorá-la.
Fatorando a expressão do denominador (parte superior da fração), obtemos:
x
x
x x
x
x
2 4
2
2 2
2
2
−
−





 =
−( ) +( )
−





 = +
36 • capítulo 2
Temos, então, duas funções:
(I) A função original de nosso problema que não é definida (descontínua) em x = 2, que é:
f(x) = 
x
x
2
4
2
−
−




(II) A função obtida pela fatoração de f(x), que é:
g(x) = x – 2 
Como os comportamentos destas duas funções são exatamente os mesmos para todo e 
qualquer valor de x, exceto em x = 2, em que a função f(x) não é contínua, e lembrando que, 
para o cálculo do limite, só precisamos conhecer o comportamento da função nas vizinhan-
ças do ponto em questão (x = 2, no caso), mas não necessariamente nele, então:
lim lim ( )x x
x
x
x→ →
−
−





 ≡ + =2
2
2
4
2
2 4
 
Derivada de uma 
função
3
38 • capítulo 3
O estudo de limites de funções é importante e sua maior importância está no fato de conhe-
cê-lo para poder compreender a definição e o cálculo da função derivada.
A função derivada nos informa sobre o comportamento da variação de uma função, isto é, 
sobre o impacto que a variável independente (x) tem sobre a função (variável dependente – 
y). Esta unidade nos apresentará a derivada como sendo um limite do coeficiente angular.
OBJETIVOS
•  Relembrar o conceito e o cálculo do coeficiente angular como medida de variação no valor 
da função (y) e como um impacto;
•  na variação da variável independente (x);
•  No conceito da função derivada como uma taxa “pontual” de variação da função;
•  No cálculo da função derivada num ponto qualquer;
•  No cálculo da função derivada analiticamente por meio de sua definição, utilizando o cál-
culo do limite.
capítulo 3 • 39
3.1 Introdução à Derivada
A derivada de uma função é outra função que tem a característica poderosa de 
nos mostrar o comportamento da função original. A derivada de uma função 
nos mostra a forma de seu crescimento/decrescimento. Ela apresenta a taxa de 
variação (crescimento/decrescimento) da função, isto é, o quanto a função (y) 
cresceria ou decresceria se incrementássemos “um pouco” a variável indepen-
dente (x). Na natureza, temos alguns exemplos de derivadas.
A velocidade (função velocidade) é a derivada do espaço no estudo da 
cinemática, pois é a velocidade que nos “mostra” como os espaços estão 
sendo percorridos em relação ao tempo por um veículo. Se este veículo está 
imprimindo grande aceleração, então, com o passar do tempo, a função es-
paço vai aumentando e a cada segundo o aumento é maior, isto é, a taxa de 
aumento do espaço percorrido por segundo, por exemplo, vai aumentando. 
Se, em contrapartida, o espaço percorrido aumenta, mas sempre numa mes-
ma taxa – por exemplo, 5 metros a cada segundo –, é porque a sua velocidade 
(taxa de variação) é constante.
O exemplo mais comum na Administração Geral é o do custo marginal. O 
custo marginal é a função derivada do custo em relação à quantidade produzi-
da de bens ou serviços. Sabemos que, para produzir certa quantidade Q de pro-
duto final, precisamos gastar cQ com matérias-primas, energia, capital, mão de 
obra, transporte etc. Desta forma, para cada nível de produção Q, é conhecida a 
quantia monetária para a sua obtenção, isto é, o custo. 
O custo marginal, por ser a derivada do custo, apresenta-nos o quanto a em-
presa terá de gastar a mais (aumento no custo) para conseguir produzir “um 
pouco” mais de produto final. Assim, o custo marginal mostra a taxa de varia-
ção do custo quando se altera o nível de produção de uma empresa ou de uma 
linha de produção.
Vamos começar revendo um conceito que nos será de bastante utilidade: o 
coeficiente angular.
40 • capítulo 3
3.2 O coeficiente angular
O coeficiente angular nos apresenta a variação no valor da função (y) como de-
corrência de uma variação na variável x (independente), isto é, ele nos mostra o 
impacto provocado na função (y) pela variação em x.
Se a função é crescente, isto é, se um aumento em x provoca um aumento 
no valor da função (y), então o coeficiente angular irá mostrar o quanto (Δy) a 
função cresce provocada pelo aumento na variável x (Δx). 
A forma utilizada para se determinar uma função derivada, que será abordada neste 
capítulo, não é a mais prática nem a mais ágil, mas é necessária para que se compre-
enda o conceito de derivada. Na próxima unidade, veremos formas bem mais práticas 
de obter tais funções.
Em contrapartida, se a função é decrescente, isto é, se um aumento em x 
provoca uma diminuição no valor da função, então o coeficiente angular irá 
mostrar o quanto (Δy) a função diminui de valor como decorrência do aumento 
na variávelx (Δx).
O coeficiente angular, que denotaremos por m, entre dois pontos, P1(x1, y1) e 
P2(x2 , y2), é dado pela expressão abaixo:
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
2 1
2 1
Ele é numericamente igual à tangente do ângulo α, formado pelo prolon-
gamento do segmento de reta P P1 2 e pelo eixo x (eixo das abscissas ou eixo 
horizontal), conforme mostrado na figura 14 a seguir:
capítulo 3 • 41
x1
P2
x2
x
y2
y
y1
∆y
∆x
αP1
Figura. 6 – Esquema para a obtenção do coeficiente angular
Nos exemplos seguintes, veremos como calcular o coeficiente angular entre 
dois pontos. Note que uma das funções apresentadas é do primeiro grau e a 
outra é do segundo. Procure notar a diferença entre os resultados.
A utilização da letra grega delta maiúscula (D) seguida de uma variável (x, por exemplo) 
indica a variação ocorrida nessa variável, isto é, Dx é uma forma de indicar um intervalo 
da variável x.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = 3x + 1:
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
4 1
1 0
3
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
7 4
2 1
3
42 • capítulo 3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
10 7
3 2
3
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
x
y
y y
x x
= =
−
−
=
−
−
=
∆
∆
2 1
2 1
34 31
11 10
3
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
31 1
10 0
3
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
304 4
101 1
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Calcule o coeficiente angular entre os pontos abaixo, todos sobre a função y = x2.
a) x1 = 0 e x2 = 1
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
1 0
1 0
1
b) x1 = 1 e x2 = 2
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
4 1
2 1
3
c) x1 = 2 e x2 = 3
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
9 4
3 2
5
capítulo 3 • 43
d) x1 = 10 e x2 = 11
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
121 100
11 10
21
e) x1 = 0 e x2 = 10
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
−
−
=2 1
2 1
100 0
10 0
10
f) x1 = 1 e x2 = 101
m
y
x
y y
x x
=
∆
∆
=
−
−
=
⋅ −
−
=2 1
2 1
10 201 1
101 1
102
3.3 Interpretação gráfica da derivada
3.3.1 Derivada pela definição
A definição matemática da derivada vem da ideia do coeficiente angular, po-
rém é muito mais refinada, apurada. O coeficiente angular mede ou calcula a 
variação que ocorre na função (y) ao provocarmos uma variação na variável in-
dependente (x). Graficamente, o coeficiente angular de uma reta é um número 
que representa a inclinação da reta em seu gráfico num determinado ponto, 
como vimos nos exemplos anteriores, em que x variava de 0 até 1 ou de 1 até 2 
ou, ainda, de 0 a 10.
A derivada, entretanto, mostra-nos a variação da função quando provocada 
por uma mudança (aumento/diminuição) muito pequena (infinitesimal) na va-
riável x. Assim, a derivada é capaz de medir “a tendência de variação da função 
num Δx muito pequeno, tendendo a zero”. A derivada mostra, por assim dizer, 
a variação da função não mais entre dois pontos (coeficiente angular), mas sim 
“a tendência de variação da função num ponto” (já que Δx → 0). 
A derivada da função no ponto x0 pode ser entendida como sendo a taxa de 
variação pontual, no ponto x0.
44 • capítulo 3
A notação de derivada pode ser encontrada, entre vários autores, como 
sendo:
y’; f’(x); dy
dx
; Δxy
Todas estas notações dizem respeito à mesma função matemática: “a deri-
vada de y em relação a x”.
Voltando à definição de derivada, podemos dizer que ela é a mesma do coe-
ficiente angular entre dois pontos, porém com a única e importante diferença 
de que o acréscimo na variável x, a partir de x0, é muito pequeno, tendendo a 
zero (Δx → 0), conforme expressão abaixo:
y
y
x
f x x f x
xx x
lim lim
( ) ( )
= =
+ −
→ →∆ ∆
∆
∆
∆
∆0 0
0 0
3.3.2 Interpretação gráfica da derivada
Já sabemos que a derivada de uma função nos apresenta sua “tendência de 
variação em cada ponto” e que, desta forma, há pequena diferença em rela-
ção ao coeficiente angular, no sentido de que este último torna uma variação 
finita (grande) em variável independente (x). É por isso que precisamos de 2 
pontos para calcular o coeficiente angular, sendo representado graficamente 
pelo ângulo α, formado entre o segmento de reta entre os dois pontos P P1 2 e 
a abscissa, conforme podemos observar pela figura 7, a seguir.
A interpretação gráfica da derivada também se baseia na ideia de um ân-
gulo, o θ da figura 6. No entanto, este ângulo é formado pela tangente à cur-
va que passa pelo ponto x0, não necessitando de outro ponto para defini-la, 
como ocorre com o coeficiente angular. Assim, podemos dizer que a derivada 
de uma função é dada pela tangente do ângulo θ da tangente à curva em cada 
ponto x.
Embora estejamos falando em tangente de ângulo, não precisaremos utili-
zar os conceitos da trigonometria para trabalhar com derivadas.
capítulo 3 • 45
f(x0 + ∆x)
θ
α
f(x)
f(x0) P1
P2
Reta tangente
a f(x) pelo
ponto x0
(x0) (x0) + ∆x
Figura 7 – Representações gráficas do coeficiente angular e das derivadas (respectivamen-
te as tangentes dos ângulos α e θ)
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = 3x + 1:
a) y’(x0 = 1) ou y(1), que representam a derivada da função no ponto x0 = 1;
b) y’(2);
c) y’(0);
d) y’(x).
Para representarmos a derivada de uma função y em um ponto x0 específico, podemos 
escrever y’(x0).
Resolução
a) y (1) 
Vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) 
e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
1 3 1 1 4
1 3 1 1 3 3 1 4 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆




46 • capítulo 3
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
 
y
x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
1
1 1
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
0
0
4 3 4
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/11411>, você encon-
trará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado “fun-
ción derivada”, que mostra o conceito de taxa de variação média e sua interpretação geomé-
trica, de taxa de variação instantânea, a função derivada e a derivada de função composta. 
Também apresenta exemplos e exercícios que poderão auxiliar sua aprendizagem. O texto é 
apresentado em espanhol.
b) y’(2)
Novamente vamos determinar, inicialmente, as expressões que representam f(x0) e 
f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
2 3 2 1 7
2 3 2 1 6 3 1 7 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + + = +∆ ∆ ∆ ∆ ∆




Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
capítulo 3 • 47
y
x x x
x
x f
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
2
2 2
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f
00
7 3 7+ −∆
∆
x
x
=
=
=
→
→
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆x
x
x
x0
0
3
3
3
c) y’(0)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x
x x x x x x
0
0
0 3 0 1 1
0 3 0 1 3 1 1 3
= = ⋅ + =
+ = + = + + = + = +


∆ ∆ ∆ ∆ ∆


Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a e no limite, que é a definição da 
derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y
x x x
x
x
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
0
0 0
0
0 0
0
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
f f
f f
00
0
0
1 3 1
3
3
3
+ −
=
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆∆
∆
x
x
x
xx
x
lim
lim ( )
CONEXÃO
No endereço:<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/4998>,você en-
contrará um interessante aplicativo (disponível gratuitamente para download), denominado 
“limits”, que calcula limites de funções.
48 • capítulo 3
d) y’(x)
Determinando as expressões que representam f(x0) e f(x0 + Dx), temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x
0
0
3 1
3 1 3 3 1
= = +
+ = + = + + = + +



 ∆ ∆ ∆ ∆
Agora, vamos substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é 
a definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado 
a seguir:
y x
x x x
x
x x x
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim
=
+ −
=
+ −
=
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
f f
f f
00
0
0
3 3 1 3 1
3 3 1 3 1
3
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
+ + − +
=
+ + − −
=
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
( )
lim
lim
limm ( )∆x→
=
0 3
3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, as seguintes derivadas, sendo y = x2 – 2x + 1:
a) y’(2);
b) y’(x).
Resolução
a) y’(2) 
Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos determinar, inicialmente, as expres-
sões que representam f(x0) e f(x0 + Dx):
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
x
x x x x x
0
2
0
2
2 2 2 2 1 4 4 1 1
2 2 2 2
= = − ⋅ + = − + =
+ = + = + − +∆ ∆ ∆ ∆ ))
( )
( )
+
= + + − − +
= + +







1
4 4 4 2 1
2 1
2
2
∆ ∆ ∆
∆ ∆
x x x
x x
capítulo 3 • 49
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a de-
finição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a seguir:
y
x x x
x
i
x x
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
l m
( )
lim
2
2 1 1
0
0 0
0
2
=
+ −
=
+ + −
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
f f
→→
+
0
2 2( )∆ ∆
∆
x x
x
=
+
= +
= +
=
→
→
lim
( )
lim ( )
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x x
x
x
0
0
2
2
0 2
2
b) y’(x) 
Nesse caso, para determinar as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx), devemos 
substituir x0 por x e proceder ao cálculo do limite que define a derivada.
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
x x x x x x x x
x x
0
2
0
2
2
2 1
2 1
2
= = − +
+ = + = + − + +
= +
∆ ∆ ∆ ∆
∆∆ ∆ ∆x x x x+ − − +




 ( )2 2 2 1
Agora, basta substituir as expressões equivalentes a (x0) e f(x0 + Dx) no limite, que é a 
definição da derivada que desejamos calcular, e determinar seu valor, como apresentado a 
seguir:
y
x x x
x
x x x x x x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( )
2
2 2 2
0
0 0
0
2 2
=
+ −
=
+ + − − +
→
→
∆
∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
f f
11 2 1
2 2 2 1 2 1
2
0
2 2 2
− − +
=
+ + − − + − + −
=
→
( )
lim
( )
lim
x x
x
x x x x x x x x
xx
∆
∆ ∆ ∆
∆∆
∆∆
∆
∆
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x
x x x
x
x x
→
→
→
+ −
=
+ −
= + −
0
2
0
0
2 2
2 2
2 2
( )
lim
( )
lim ( ))
= + −
= −
2 0 2
2 2
x
x
50 • capítulo 3
EXEMPLO
Encontre, pela definição, a derivada de:
a) y = 4x + 3;
b) y = 1 – 5x;
c) y
x
=
4
;
d) y = x2
Resolução
Note que não está sendo especificado nenhum valor para x0. Dessa forma, iremos consi-
derar um valor genérico x0 = x. No mais, o procedimento é semelhante ao que já realizamos 
nos exemplos anteriores.
a) y = 4x + 3
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
4 3
4 3
4 4 3
= = +
+ = + = + +
= + +





∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a deri-
vada, temos:
y x
x x x
x
x x x
x
x
x
'( ) lim
( ) ( )
lim
( )
lim
=
+ −
= + + − +
=
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
4 4 3 4 3
f f
∆∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
→
→
→
+ + − −
=
=
=
0
0
0
4 4 3 4 3
4
4
4
lim
lim ( )
capítulo 3 • 51
b) y = 1 – 5x;
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x
x x
0
0
1 5
1 5
1 5 5
= = −
+ = + = − +
= − −





∆ ∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que define a deri-
vada, temos:
y x
f x x f x
x
x x x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( )
=
+ −
=
− − − −
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
1 5 5 1 5
=
− − − +
=
−
= −
= −
→
→
→
lim
lim
lim ( )
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x
x
x
x
0
0
0
1 5 5 1 5
5
5
5
c) y
x
=
4
;
Temos:
f
f f
( ) ( )
( ) ( )
x f x
x
x x x x
x x
0
0
4
4
= =
+ = + =
+






∆ ∆
∆
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) e no limite que define a 
derivada, temos:
52 • capítulo 3
y x
x x x
x
x x x
x
x
x
x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
lim
=
+ −
= +
−
=
−
→
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
0
0 0
0
0
4 4
4
f f
44
4 4 4
4
0
0
( )
( )
lim ( )
lim (
x x
x x x
x
x x x
x x x
x
x
x x
x
x
+
+
=
− −
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
++
=
−
+
⋅
=
−
+
=
−
+
=
−
→
→
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆
∆
x
x
x
x x x x
x x x
x x
x
x
)
lim
( )
lim
( )
( )
0
0
4 1
4
4
0
44
2x
CONEXÃO
No exemplo anterior, item (c), o mínimo múltiplo comum (mmc) de x e (x + Dx) é igual a 
 x(x + Dx).
d) y = x2
Temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
x x x x x x x x x x
0
2
0
2 2 22
= =
+ = + = + = + +



 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆
capítulo 3 • 53
Substituindo as expressões equivalentes a e no limite que define a derivada, temos:
y x x
f x x f x
x
x
x x x x x
x
’( ) lim
( ) ( )
lim
( )
li
= →
+ −
= →
+ + −
=
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
∆
0
0 0
0
2 2 2 2
mm
( )
lim
( )
lim ( )
∆
∆ ∆
∆
∆
∆ ∆
∆
∆ ∆
x
x x x
x
x
x x x
x
x x x
x
→
+
= →
+
= → +
= +
=
0
2 2
0
2
0 2
2 0
22x
54 • capítulo 3
Regras de 
Derivação
4
56 • capítulo 4
OBJETIVOS
Depois de ler e resolver os exercícios deste capítulo, o aluno terá aprendido as regras de 
diferenciação de funções e saberá rapidamente obter a derivada:
•  de uma função potência f(x) = x n;
•  de uma função multiplicada por uma constante k: k · f(x);
•  de uma função constante f(x) = k;
•  da soma (ou subtração) de duas funções: f(x) ± g(x);
•  do produto de duas funções: f(x) · g(x);
•  da divisão de duas funções: f x
g x
( )
( )
.
capítulo 4 • 57
4.1 Regras de Derivação
Vimos, no capítulo 3, como calcular a derivada originalmente, isto é, pela 
sua definição.
Porém, a todo momento precisamos calcular derivadas e levaremos bastan-
te tempo resolvendo-as “pela definição” (usando o cálculo do limite). Este tema 
traz, então, uma série de regras de diferenciação (derivação) para que o pro-
cesso de obtenção do cálculo seja bastante prático. O aluno aprenderá, neste 
capítulo, as principais regras de diferenciação (ou derivação) de funções. São 
regras bastante simples que permitirão ao aluno obter rapidamente a forma 
mais simples da derivada de uma função sem ter que recorrer ao cálculo do 
limite (derivada pela definição). 
4.2 Derivada de função
4.2.1 Derivada da função xn
Seja uma função do tipo y = xn, então a sua derivada é:
y’ = nx(n – 1), ∀ n ∈ R
Demonstração utilizando a definição de limite
As demonstrações destas regras (apresentadas a seguir) podem ser obtidas através 
da definição de derivada, utilizando-se o limite. Para efeito de curiosidade, vamos de-
monstrar apenas o primeiro caso (função potência). Não vamos nos prender a demons-
trações, já que não é o objetivo deste curso. O importante aqui é a utilização correta 
das regras para encontrarmos as derivadas das funções e as utilizarmos em aplicações 
importantes no curso de Administração.
58 • capítulo 4
Vamos então considerar y = xn. Daí, temos:
f f
f f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
x x x
x x x x x x
x nx x nx x
n
n
n n n
0
0
1 2
= =
+ = + = +
= + +− −
∆ ∆ ∆
∆ ∆ 22
2 2 1
+
+ + + +






 − −… nx x nx x xn n n∆ ∆ ∆( )
Substituindo as expressões equivalentes a f(x0) e f(x0 + Dx) no limite que de-
fine a derivada, temos:
y x
x x x
x
x nx x nx x
x
x
n n n
( ) lim
( ) ( )
lim
( )
=
+ −
=
+ +
→
→
− −
∆
∆
∆
∆
∆ ∆
0
0 0
0
1 2 2
f f
++ + + + −
=
+
− −
→
− −
… nx x nx x x x
x
nx x nx
n n n n
x
n n
2 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( )
lim
(
∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
x nx nx
n n n
x
n n
) ( ) ( ) ( )
lim
[
2 2 2 1
0
1 2
+ + + +
=
+
− −
→− −
… ∆ ∆ ∆
∆
∆ ∆
∆
xx nx x nx x x
x
nx nx x
n n n
x
n n
+ + + +
= +
− − −
→
− −
… 2 3 2 1
0
1 2
( ) ( ) ( ) ]
lim [
∆ ∆ ∆
∆
∆∆ ++ + + +
= + ⋅ + + ⋅
− − −
− − −
…
…
nx x nx x x
nx nx nx
n n n
n n n
2 3 2 1
1 2 2 30 0
( ) ( ) ( ) ]∆ ∆ ∆
++ ⋅ +
=
− −
−
nx
nx
n n
n
0 02 1
1
EXEMPLO
Se y = x3, então y’ = 3x3–1 ⇒ y’ = 3x2.
 Como não está sendo pedida a derivada em determinado ponto, consideremos x0 = x.
capítulo 4 • 59
EXEMPLO
Encontre a derivada de cada uma das funções apresentadas a seguir, utilizando a regra 
da derivada da função y = xn.
a) y = x2
b) y = x8
c) y = x10
d) y = x100
e) y = x
f) y
x
=
1
3
g) y
x
=
1
h) 
y
x
=
1
10
i) y x=
j) y x= 3
k) y x= 5
l) y x= 3
m) y x= 47
Resolução
a) y = x2
Se y = x2, então y’ = 2x2–1 ⇒ y’ = 2x.
b) y = x8
Se y = x8, então y’ = 8x8–1 ⇒ y’ = 8x7.
c) y = x10
Se y = x10, então y’ = 10x10–1 ⇒ y’ = 10x9.
d) y = x100
Se y = x100, então y’ = 100x100–1 ⇒ y’ = 100x99.
e) y = x
Se y = x, então y’ = 1x1–1 ⇒ y’ = x0 ⇒ y’ = 1.
f) 
y
x
=
1
3
Se y
x
=
1
3
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–3 Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −3 3
3
03 1 4
4
 , 
60 • capítulo 4
g) y
x
=
1
Se y
x
=
1 , podemos escrever, de forma equivalente, y = x–1. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −1
1
01 1 2
2
 , 
h) y
x
=
1
10
Se y
x
=
1
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y = x–10. Então:
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= − ⇒ = − ⇒ = − ≠− − −10 10
10
010 1 11
11
 , 
i) y x=
Se y x= , podemos escrever, de forma equivalente, y x=
1
2 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − >
− −1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
2
1
1
2
1
2
 , 
j) y x= 3
Se y x= 3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x=
3
2 . Então:
 
y x y x y
x
x’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ≥
−3
2
3
2
3
2
0
3
2
1
1
2 , 
k) y x= 5
Se y x= 5 , podemos escrever, de forma equivalente, y x=
5
2 . Então:
capítulo 4 • 61
l) y x= 3
Se y x= 3 , podemos escrever, de forma equivalente, y x=
1
3 . Então:
m) y x= 47
Se y x= 47 , podemos escrever, de forma equivalente, y x=
4
7 . Então:
 
y x y x y
x
y
x
x’ ’ ’ ’ .= ⇒ = ⇒ = ⇒ = >
− −4
7
4
7
4
7
4
7
0
4
7
1
3
7
3
7
37
, 
4.2.2 Derivada de k· f(x)
Seja uma função do tipo y = k · f(x), em que:
•  k é uma constante (∀ k ∈ R);
•  f(x) é uma função qualquer, cuja derivada é f ’(x).
Então, sua derivada será:
y’ = k · f ’(x)
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes, utilizando as regras de derivação que você 
conhece:
a) y = 3x2
b) y
x
=
8
10
c) y = 100x3
d) y
x
=
10
10
e) y = 100x100
f) y
x
=
5
g) y
x
= −
6
3
h) y x= 2
62 • capítulo 4
i) y
x
=
25
3
3
j) y x= 20 3 5
k) y
x
=
8
2
23
l) y = 3
Quando encontramos, numa função, uma constante (k) que esteja multiplicando ou 
dividindo outra função, então, se queremos aplicar a derivação, devemos nos preocupar 
somente com a parte funcional (parte que apresenta o x), mantendo a constante intac-
ta, ou seja, da forma (multiplicando ou dividindo) como se apresenta na função original, 
antes de começar a derivação.
Resolução
a) y = 3x2
Se y = 3x2, então:
y’ (x) = 3 · (2)x(2 – 1) = 6x1 = 6x 
b) y
x
=
8
10
Se y
x
=
8
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y x=
1
10
8
. Então:
y x y x y
x
’ ’ ’ .= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ =−
1
10
8
1
10
8
8
10
8 1 7
7
c) y = 100x3
Se y = 100x3, então:
y’ = 100 · (3)x3 – 1 = 300x2
d) y
x
=
10
10
Se y
x
=
10
10
, podemos escrever, de forma equivalente, y
x
=
10
10
. Então: 10 10
10 1 9x x−( ) =
e) y = 100x100
Se y = 100x100, então:
y’= 100 · (100)x100 – 1 = 10.000 · x99 
capítulo 4 • 63
f) y
x
=
5
Se y
x
=
5 , podemos escrever, de forma equivalente, y
x
x= = ⋅ −5 1 5 1. Então:
g) y
x
= −
6
3
Se y
x
= −
6
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y
x
x= − = − ⋅ −6
1
6
3
3. Então:
y x y x y
x
’ ( ) ’ ’ .= − ⋅ − ⇒ = ⇒ =− − −6 3 18
183 1 4
4
h) y x= 2
Se y x= 2 , podemos escrever, de forma equivalente, y x= 2
1
2 . 
 
y x y x y
x
y
x
’ ’ ’ ’ .= ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −
2
1
2
1 11
2
1
1
2
1
2
i) y
x
=
25
3
3
Se y
x
=
25
3
3
, podemos escrever, de forma equivalente, 
y
x x
x=
⋅
=
⋅
= ⋅
25
3
5
3
5
3
3
3
2 3
2 Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20
1
3
20
3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3
1
2
x
y x
64 • capítulo 4
j) y x= 20 3 5
Se y x= 20 3 5 , podemos escrever, de forma equivalente, y = 20 · 3½ · x5/2
Então:
y x
y
y x
y x
y
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
− −
20 3
20 3 5
20
1
3
20
3
3
1
2
5
2
1
2 1
5
2 1
1
2
3
2
1
2 3
2
’
’
’
’’
’
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅( )
20
3
3
20
3
3
1
2
3
2
3
1
2
x
y x
 
k) y
x
=
8
2
23
Se y
x
=
8
2
23 , podemos escrever, de forma equivalente, 
y
x
y
x
y x= ⇒ = ⇒ =
8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y
x
y
x
y x= ⇒ = ⇒ =
8
2
2
2
3 23 23 2
3 . Então:
y x y x y
x
y
x
· · · · .= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− −2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
1
1
3
1
3
3
l) y = 3
Como y = 3 é uma função constante, podemos escrevê-la na forma y = 3x0. E, aplicando 
as mesmas regras que aplicamos nos itens anteriores, temos:
y’ = 3 · 0 · x0–1 = 0
Em situações como essas (de funções constantes), não é necessário que apliquemos 
tais regras, pois, na próxima seção, definiremos uma regra para derivadas de funções cons-
tantes. Podemos dizer que a derivada de uma função constante é sempre igual a zero.
capítulo 4 • 65
4.2.3 Derivada de f(x) = k
Seja uma função constante, isto é, y = k, em que k é uma constante (k ∈ R). 
Então, sua derivada será: 
y’ = 0
EXEMPLO
Encontre as derivadas das funções seguintes:
a) y = 3
b) y = 10 400
c) y =
1
10
d) y = 5
e) y = p
f) y = 53
Resolução
Todas as funções apresentadas nos itens de (a) a (f) são funções constantes. Portanto, 
para todos esses casos, temos:
y’ = 0
4.3 Derivada de uma soma (ou subtração) de 
funções
Seja uma função do tipo y = f(x) ± g(x), em que:
•  f(x) é uma função cuja derivada é f’(x);
•  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x).
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) ± g’(x)
66 • capítulo 4
EXEMPLO
Derive as funções seguintes, utilizando as regras de derivação:
a) y = 3x2 + 2x – 10
b) y = 3x2 + 4x – 5
c) y
x
x= −
8
10
3
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Resolução:
a) y = 3x2 + 2x – 10
Se y = 3x2 + 2x – 10, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 2 0 6 22 1 1 1 .
b) y = 3x2 + 4x – 5
Se y = 3x2 + 4x – 5, então:
y x x y x· ·= ⋅ + − ⇒ = +− −3 2 4 0 6 42 1 1 1 .
c) y
x
x= −
8
10
3
Se y
x
x= −
8
10
3 , então:
y
x
x y
x
· ·= − ⇒ = −
−
−8
10
3
4
5
3
8 1
1 1
7
.
d) y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10
Se y = 100x3 – 4x2 + 3x – 10, então:
y x x x y x x’ ’ .= ⋅ − ⋅ + − ⇒ = − +− − −100 3 4 2 3 0 300 8 33 1 2 1 1 1 2
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramos de que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x)
capítulo 4 • 67
4.4 Derivada do produto de duas funções: a 
regra do produto
Seja uma função do tipo y = f(x) · g(x), em que:
•  f(x) é uma função cuja derivada é f ’(x); 
•  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x). 
Então, sua derivada será:
y’(x) = f ’(x) · g(x) + g’(x) · f(x)
Para obter a derivada de uma função, que é a soma ou a subtração de várias funções, 
é só derivar cada uma delas separadamente e depois somar ou subtrair as derivadas. 
É bastante intuitivo que a derivada de uma função constante seja nula, principalmente 
quando nos lembramosde que a derivada é justamente uma medida de quanto a fun-
ção varia em decorrência de uma mudança na variável independente (x).
EXEMPLO
Utilizando as regras de derivação, obtenha as derivadas de cada uma das funções se-
guintes:
a) y = x3 · (4x + 2)
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
d) y
x
x x= − +5
2
25 4 22( )
Resolução
a) y = x3 · (4x + 2)
Podemos observar que a função y é o produto de duas funções, que denotaremos, res-
pectivamente, por f(x) e g(x). Portanto:
y = f(x) · g(x)
68 • capítulo 4
em que 
f ( )
( )
x x
g x x
=
= +




3
4 2
, 
e suas derivadas são
f'( )
’( )
x x
g x
=
=




3
4
2
Para simplificar a notação, vamos denotar as funções f(x), g(x), f´(x) e g´(x) por f, g, f´ e 
g´. Além disso, podemos suprimir o uso do sinal da multiplicação “·”, quando esta operação 
estiver evidente.
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x
’ ’
’ ( ) ( )
= +
= + +
f' f
3 4 2 42 3
A expressão y x x x’ ( ) ( )= + +3 4 2 42 3 já é a derivada que queríamos determinar. No 
entanto, podemos continuar a desenvolvê-la e simplificá-la (sempre que possível). Portanto:
y x x x
y x x x
y x x
’ ( ) ( )
’
’
= + +
= + +
= +
3 4 2 4
12 6 4
16 6
2 3
3 2 3
3 2
A regra do produto de duas funções não é tão intuitiva quanto a regra da soma (ou 
subtração). Agora, a derivada de uma multiplicação não é simplesmente a multiplicação 
das derivadas.
capítulo 4 • 69
b) y = (2x3 + 3x + 1) · (x – 3)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f =
= −



2 3 1
3
3x + x + 
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=



6 3
1
2x
g’
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x
y x x x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= + − + + +
= − + − + +
f' f
6 3 3 12 3 1
6 18 3 9 2
2 3
3 2 3 33 1
8 18 6 83 2
x
y x x x
+
= − + −’
c) y = (100x3 – 4x2) · (3x – 20)
Escrevendo a função y como o produto de duas funções, f e g, temos:
y = f · g,
em que 
f
x
g x x
=
= − +




5
2
25 4 22
,
e suas derivadas são
f' =
= −




5
2
50 4g x’
.
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x x x
y x x
’ ’
’ ( )( ) ( )
’
= +
= − − + −
= − −
f' f
300 8 3 20 3 100 4
900 600
2 3 2
3 2 224 160 300 12
1200 636 160
2 3 2
3 2
x x x x
y x x x
+ + −
= − +’
70 • capítulo 4
d) y
x
x x= − +
5
2
25 4 22( )
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos escrever a função y como o produto 
de duas funções f e g:
y = f · g,
em que 
f =
= − +




5
2
25 4 22
x
g x x
,
e suas derivadas são
f' =
= −




5
2
50 4g x’
.
Aplicando a regra do produto, temos:
y g g
y x x x
x
y
x
x x
’ ’
’ ( ) ( )
’
= +
= − + + −
= − + +
f' f
5
2
25 4 2 50 4
5
2
125
2
10 5 125
2
2
2 −−
= − +
10
375
2
20 5
2
x
y
x
x’
Note que, em cada um dos casos resolvidos anteriormente, poderíamos ter obtido a deri-
vada sem aplicar a regra do produto. Bastaria, para isso, multiplicar as expressões (utilizando 
a propriedade distributiva), transformando cada uma das funções em polinômios (sem utiliza-
ção da forma de multiplicação). No entanto, haverá casos em que esse tipo de recurso não 
será possível. Por isso, é imprescindível que se saiba aplicar a regra do produto.
CONEXÃO
No endereço:<http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/6091>, você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do produto” (“the pro-
duct rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. Você 
capítulo 4 • 71
mesmo insere a função produto que deseja derivar (a partir de algumas funções já predefini-
das) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma representação 
gráfica da função produto e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será necessário o plug in 
“Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
4.5 Derivada da divisão de duas funções: a 
regra do quociente
Seja uma função do tipo em que:
y
x
g x
=
f ( )
( )
•  f(x) é uma função cuja derivada é f ’(x),
•  g(x) é uma função cuja derivada é g’(x).
Então, sua derivada será:
y
x g x g x x
g x
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )]
=
⋅ − ⋅f' f
2
.
Utilizando uma notação mais simplificada, podemos escrever:
y
g g
g
'
'= −f' f
2
EXEMPLO
Aplicando as regras de derivação, determine as derivadas das funções seguintes:
a) y
x
x
=
5
3
4
2
b) y
x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
c) y
x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
72 • capítulo 4
Resolução
a) y
x
x
=
5
3
4
2
Note que essa função pode ser simplificada antes de ser derivada. Podemos escrever:
y
x
ou y x= =
5
3
5
3
2
2,
e, em seguida, derivá-la:
y x y
x
’ ’= ⇒ =−
5
3
2
10
3
2 1
Apenas para ilustrar e mostrar que, pela aplicação da regra do quociente. a derivada 
obtida será a mesma, vamos determinar y´ dessa forma.
Vamos, inicialmente, escrever a função y como o quociente de duas funções, f e g:
y
g
=
f
,
em que 
f =
=




5
3
4
2
x
g x
,
e suas derivadas são
f' =
=



20
6
3x
g x’
.
Aplicando a regra do quociente, temos: y x y x’ ’= ⋅ ⇒ = ⋅
20
6
10
3
2 2
b) y
x x
x
=
+ −
−
5 8 1
2 3
2
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções f e g, temos:
y
g
=
f
,
capítulo 4 • 73
em que 
f = + −
= −



5 8 1
2 3
2x x
g x
,
e suas derivadas são
f' = +
=



10 8
2
x
g’
.
Aplicando a regra do quociente, temos:
y
g g
g
y
x x x x
x
y
x x
’
’
’
( )( ) ( )
( )
’
=
−
=
+ − − + −
−
=
−
f' f
2
2
2
2
10 8 2 3 2 5 8 1
2 3
20 30 ++ − − − +
−
=
− −
−
16 24 10 16 2
2 3
10 30 22
2 3
2
2
2
2
x x x
x
y
x x
x
( )
’
( )
c) y
x
x x
=
+
−
4
3 2
25
4
Escrevendo a função y como o quociente de duas funções, f e g, temos:
y
g
=
f
,
em que 
f x
g x x
= +
= −




4
3 2
25
4
e suas derivadas são
f' =
= −




4
3 8
3
2
x
g x x’
.
74 • capítulo 4
Aplicando a regra do quociente, temos:
y
g g
g
y
x x x x x x
x x
y
x
’
’
’
( ) ( )( )
( )
’
=
−
=
− − − +
−
=
−
f' f
2
3 3 2 2 4
3 2 2
6
4 4 3 8 25
4
4 116 3 75 8 200
4
8 75 200
4
5 6 2 5
3 2 2
6 5 2
3 2
x x x x x
x x
y
x x x x
x x
− − + +
−
=
− − +
−
( )
’
( ))2
CONEXÃO
No endereço: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/6090>, você irá en-
contrar um interessante aplicativo que apresenta a aplicação da “regra do quociente” (“the 
quotiente rule”) para a obtenção de derivadas de alguns exemplos específicos de funções. 
Você mesmo insere a função quociente que deseja derivar (a partir de algumas funções já 
predefinidas) e o programa fornece o resultado da derivada, bem como apresenta uma re-
presentação gráfica da função quociente e de sua derivada. Para poder utilizá-lo, será neces-
sário o plug in “Mathematica Player”, que está disponível para download na mesma página.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CHIANG, A. Matemática para economistas. Edusp/McGraw-Hill, 1982.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2005.
GOLDSTEIN, L. J. Matemática aplicada à economia, administração e ciências contá-
beis. Bookman, 1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Vol. 1. Rio de Janeiro: LTC, 1997.
LEITHOLD, L. Matemática aplicada à economia e administração. Harbra, 2001.
SILVA, S. M.; SILVA, E. M.; SILVA, H. M. Matemática: para os cursos de economia, admi-
nistração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Matemática aplicada à administração e economia. Pioneira Thomson 
Learning, 2001.
WEBER, J. E. Matemática para economia e administração. Harbra, 1988.
capítulo 4 • 75
4.6 Aplicação de Derivada para 
Determinação de Máximos e Mínimos – 
Problema de Otimização
O primeiro passo para resolver este tipo de problema é determinar, de forma 
precisa, a função a ser otimizada. Em geral, obtemos uma expressão de duas va-
riáveis, mas, usando as condições adicionais do problema, esta expressão pode 
ser reescrita como uma função de uma variávelderivável e, assim, poderemos 
aplicar os teoremas.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Aplicação de regra de derivação
O custo para produzir certo produto é dado por C(x) = x3/3 − 6 x2 + 30 x + 25. 
Determine o lucro máximo se o preço do produto for R$ 10,00.
O lucro é dado por L(x) = R(x) − C(x), em que a receita é R(x) = 10 x; logo;
= − + − − L x x x x( )
1
3
18 60 753 2
Derivando e igualando a zero:
− 3 x2 + 36 x − 60 = 0 =⇒ x = 2 e x = 10.
Derivando novamente:
L ̀ ` (x) = 1/3 . [36 – 6x]
Logo: L’’ (2) = 8 e x = 2 é ponto de mínimo; L’’ (10) = −8 e x = 10 é ponto de máximo.
L(10) = R$ 41,66.
 
2 4 6 8 10 12
100
50
Disponível em: <http://www.ime.uerj.br/~calculo/Ecomat/cap7.pdf, pdf>. 
Acesso em: 02 mai. 2015. Adaptado.
 
Note que o ganho da empresa é 
devido ao fato de que o custo é 
C(10) = R$ 58,33 e a receita é 
R(10) = R$ 100,00.
76 • capítulo 4
Aplicações 
Matemáticas em 
Economia
5
78 • capítulo 5
OBJETIVOS
Ao final desse capítulo, o aluno deverá estar apto a:
•  Entender porque as empresas precisam de funções que maximizem seus lucros;
•  Aplicar seus conhecimentos a situações em que a tomada de decisão visa a elevar lucros, 
sem descuidar do cumprimento de outras restrições próprias do ambiente de negócios;
•  Calcular o ponto de equilíbrio de uma operação;
•  Compreender a elasticidade - preço da demanda.
capítulo 5 • 79
5.1 Maximização do lucro de uma empresa
5.1.1 Maximização do lucro
Quando uma firma está em condição de monopólio, só ela produz e vende o 
produto no mercado. Assim, recai sobre ela toda a demanda. O preço não é mais 
constante como em concorrência, quando a empresa não tem controle sobre 
quanto cobrar pelo produto. Em concorrência, o preço é estabelecido pelo merca-
do. Em monopólio, a empresa tem poder de mercado e, portanto, ela pode decidir 
o quanto irá produzir e qual o preço que colocará no produto, conhecendo a função 
de demanda que relaciona o preço e a quantidade demandada.
No exemplo a seguir, veremos uma situação em que há esse tipo de rela-
ção entre preço e demanda (ou quantidade demandada) e como essa relação 
influencia o comportamento das funções receita total e lucro total.
EXEMPLO
Encontre a quantidade e o preço ótimos, isto é, aqueles valores, respectivamente, que a 
empresa deveria produzir e colocar no preço unitário do produto, de forma a maximizar seu 
lucro, sabendo-se que a empresa apresenta custo fixo de R$ 1.000,00 e custo unitário de 
produção de R$ 4,00. A empresa conhece a função (curva) de demanda de seu produto 
(Q = 120 – p ou p = 120 – Q). Encontre também o lucro máximo. 
Sugestão: obtenha as funções CT e RT e faça um gráfico. 
Resolução
Custo total: CT = CF + CV = 1.000 + 4Q
Receita total: RT = pQ = (120 – Q)Q = 120Q – Q
2
Note agora que a função receita total será uma parábola (função do segundo grau).
Lucro da empresa: L = RT – CT = 120Q – Q
2 – 1.000 – 4Q, que simplificando resulta em 
L = – Q2 + 116Q – 1.000
O valor máximo do lucro (Lucro máximo: Lmáx) ocorre no vértice da parábola:
− −




 =
−
−
−
−





 = ( )
b
a a2 4
116
2
9 456
4
58 2 364; ;
.
; .
∆
Produzindo uma quantidade de 58 unidades do produto (conforme podemos observar 
pelo gráfico abaixo), a empresa obterá o maior lucro possível, que será de R$ 2.364,00, já 
80 • capítulo 5
que o preço seria, segundo a função da demanda, anterior: p = 120 – Q = 120 – 58 = 62,00 
reais. Para compreender melhor, devemos raciocinar que a empresa colocaria o preço em 
R$ 62,00 e, assim, as pessoas estariam interessadas em comprar 58 unidades do produto, 
gerando, então, um lucro total (máximo) de R$ 2.364,00 para a empresa. Este é o ponto de 
operação da empresa monopolista.
O gráfico a seguir representa as funções envolvidas nesse exemplo.
4.000 $
3.000
2.000
1.000
0
–1.000
–2.000
0 20 40 60 80 100 120
Qótima = 58
Lmáx. = 2.364 LT RT
CT Q
EXEMPLO
Dadas as funções receita total RT(Q) = –Q
2 + 200Q e custo total CT(Q) = 4.000 + 30Q, para 
Q variando de 0 a 120 unidades, de uma determinada utilidade:
a) determine a quantidade para a qual essa utilidade proporciona receita máxima;
b) obtenha a função lucro total para essa utilidade;
c) determine a quantidade para a qual o lucro proporcionado por essa utilidade é má-
ximo;
d) esboce os gráficos das funções custo total, receita total e lucro total dessa utilidade.
Resolução
a) Como a função receita total é uma função do segundo grau, cujo gráfico é uma 
parábola com concavidade voltada para baixo, então seu valor máximo (receita má-
xima) ocorre no vértice dessa parábola. Portanto, a quantidade que proporciona 
receita máxima é dada pela fórmula:
capítulo 5 • 81
Q
b
av
=
−
2
Note que, na fórmula mostrada, o valor que será obtido é referente à coordenada x do 
vértice (xv).
Na função RT(Q) = –Q
2 + 200Q, temos a = –1 e b = 200. Portanto, o valor da coorde-
nada Qv é:
Q
b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
200
2 1
200
2
100
( )
O resultado nos diz que o valor máximo de receita ocorre quando a quantidade Q vendida 
(e produzida) é igual a 100. Caso seja necessário calcular o valor dessa receita máxima, bas-
ta substituir Q por 100 na função RT(Q) = –Q
2 + 200Q e calcular o valor de RT. 
Pode parecer estranho, mas, de acordo com a função, se a quantidade for maior que 100, 
a receita começará a diminuir. Isso pode ocorrer na prática, pois há relação entre quantidade 
e preço e, à medida que a quantidade aumenta, o preço pode cair. E lembre-se de que a 
receita é obtida pela multiplicação da quantidade pelo preço. Portanto, mesmo a quantidade 
aumentando, se o preço cair, o valor de receita poderá diminuir.
b) A função lucro total LT pode ser obtida pela diferença entre as funções receita total 
RT e custo total CT. Portanto:
LT(Q) = RT(Q) – CT(Q)
LT(Q) = – Q
2 + 200Q – (4.000 + 30 Q)
LT(Q) = – Q
2 + 200Q – 4.000 – 30 Q
LT(Q) = – Q
2 + 170Q – 4.000
c) Assim como ocorreu com a função receita, quando determinamos a quantidade 
para a qual ela era máxima, vamos aqui proceder da mesma forma para determinar 
a quantidade que gera lucro máximo, ou seja, que maximiza a função lucro total.
Na função LT(Q) = – Q
2 + 170Q – 4.000, que é do segundo grau, temos a = –1, b = 170 
e c = –4000. Portanto, a coordenada Qv é dada por:
Q
b
av
=
−
=
−
−
=
−
−
=
2
170
2 1
170
2
85
( )
82 • capítulo 5
d) Os gráficos das funções lucro total, receita total e custo total são apresentados a 
seguir. As linhas pontilhadas indicam o comportamento das funções apresentadas, 
mas em uma região (domínio) que já não é mais válida para esta aplicação, pois no 
enunciado há menção de que as funções receita e custo apresentadas, nesse caso, 
são válidas para Q variando de 0 a 120 unidades.
 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Quantidade
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
Custo
Receita
Lucro
5.2 Receita, Custo e Lucro Marginais
RMg(x) = R′(x). A receita marginal RMg(x) é a receita aproximada da venda x+1 
após ter vendido x unidades. O lucro marginal de um bem é o lucro aproximado 
ao vender uma unidade adicional do bem.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Interpretação de dados em uma tabela – aplicação de custo fixo, variável, total, médio e 
marginal.
capítulo 5 • 83
01. Dada a tabela a seguir de custos de uma operação de produção de um bem, calcule e/
ou descreva:
a) o custo adicional (marginal) para a produção da nona unidade;
b) o lucro obtido para a venda das 9 (nove) unidades, ao preço unitário de R$ 10,00;
c) o lucro obtido com a venda de 10 (dez) unidades, ou seja, uma unidade adicional do bem;
d) em quantas unidades produzidas se dá a maximização de lucro dessa empresa na ope-
ração de produção analisada;
e) o que ocorre com os custos fixos, variáveis e totais médios de produção;
f) o que a empresa deve fazer em relação à tomada de decisão da produção da décima 
unidade, caso a sua estratégia seja de aumento de participação de mercado.
PRODUÇÃO CUSTO