AP1-MB-2017 2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
AP1 - Matemática Básica-Critério- 2017/2 
 
1ª questão: (valor 1,5 ponto) 
Efetue e apresente o resultado na forma de fração irredutível. 
(
5/3
2
)
−1
×
√50
 √62 + 62
+
3/2
5 −
1
2
− 0,72 × 
1
0,8
 
Solução: Vejamos as contas por termos: 
(
5/3
2
)
−1
×
√50
 √62+62
=
2
5/3
×
√2×52
 √2×62
= 2 ×
3
5
⏞
0,2
×
5√2
 6√2
⏞
0,2
= 1. 
3/2
5−
1
2
=
3/2
9
2
=
3
2
×
2
9
=
1
3
. [Dar 0,3] 
0,72 × 
1
0,8
=
72
100
×
1
8
10
=
72
100
×
10
8
=
8×9×10
8×102
=
9
10
. [Dar 0,3] 
Assim, temos 
(
5/3
2
)
−1
×
√50
 √62+62
+
3/2
5−
1
2
− 0,72 × 
1
0,8
= 1 +
1
3
−
9
10
=
30+10−27
30
=
13
30
. [Dar 0,5] 
 
 
2ª questão: (valor 1,6 ponto) 
Associe cada conjunto à sua escrita em termos de intervalos e explique como decidiu 
por cada associação: 
a) 𝐴1 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑜𝑢 0 < 𝑥 < 2} ( ) [0,2) 
b) 𝐴2 = {𝑥 ∈ ℝ; 1 ≤ 𝑥 ≤ 6 𝑒 0 < 𝑥 < 2} ( ) [1,2) 
c) 𝐴3 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑥 < 2} ( ) (-∞,0]∪[6,+∞) 
d) 𝐴4 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ 6 𝑜𝑢 𝑥 ≤ 0} ( ) (0,6] 
Solução: Vejamos cada conjunto. 
a) A1 = {x  ℝ; 1  x  6}  {x  ℝ; 0 < x < 2} = [1, 6]  (0, 2) = (0, 6]. 
b) A2 = {x  ℝ; 1  x  6}  {x  ℝ; 0 < x < 2} = [1, 6]  (0, 2) = [1, 2). 
c) A3 = {x  ℝ; x  0}  {x  ℝ; x < 2} = [0, +)  (, 2) = [0, 2). 
d) A4 = {x  ℝ; x  6}  {x  ℝ; x  0} = [6, +)  (, 0] = (, 0]  [6, +). 
Assim, as associações ficam: 
 (c) [0,2) (b) [1,2) (d) (-∞,0]∪[6,+∞) (a) (0,6] 
[Dar 0,4 por cada item correto; descontar 0,1(uma só vez por item) se o intervalo for 
fechado e o aluno colocar aberto ou vice-versa] 
3ª questão: (valor 1,4 pontos) 
Considere o conjunto 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ ; |𝑥 − 1| > 3}. 
a) Descreva o conjunto 𝐶 utilizando a noção de distância na reta numérica. 
b) Represente 𝐶 na reta orientada. 
Solução: a) A expressão |x – 1| representa a distância, na reta numérica, do ponto x ao 
ponto 1. Assim, o conjunto C representa os pontos da reta cuja distância ao ponto 1 é 
maior do que 3. [Dar 0,8] 
b) Na representação de C, é importante deixar claro que as “bolinhas” na reta orientada 
em 𝑥 = −2 e 𝑥 = 4 são abertas e que a região do conjunto é formada por linhas 
contínuas. A marcação usando tracinhos, por exemplo, não é aceitável. 
 
[Dar 0,7] 
4ª questão: (valor 2,0 pontos) 
Defina o conjunto solução e represente-o na reta numérica. 
a) 5 −
√2
𝑥
=
1
2𝑥
− 3√2 , onde x  ℝ e x  0; 
b) 
2−𝑥
3
 ≤ 2𝑥 −
1
2
 , onde x  ℝ . 
Solução: 
a) 5 −
√2
𝑥
=
1
2𝑥
− 3√2 ⟺ 10𝑥 − 2√2 = 1 − 6𝑥√2 [Dar 0,4 até aqui] ⟺
(10 + 6√2)𝑥 = 1 + 2√2 ⟺ 𝑥 =
1+2√2
10+6√2
 . [Dar mais 0,4] Se racionalizarmos, 
obtemos 𝑥 =
1+2√2
10+2√2
 × 
10−6√2
10−6√2
= 
14√2 − 14
28
=
14(√2 − 1)
28
= 
√2 − 1
2
. 
Logo, 𝑆 = { 
√2 − 1
2
}. 
 
 
[Dar 0,2] 
b) 
2−𝑥
3
 ≤ 2𝑥 −
1
2
 ⟺ 4 − 2𝑥 ≤ 12𝑥 − 3 ⟺ 7 ≤ 14𝑥 ⟺ 𝑥 ≥
1
2
 . 
Logo, 𝑆 = [1/2, +∞). [Dar 0,7] 
 
 
[Dar 0,3] 
 
 
5ª questão: (valor 1,5 ponto) 
Das 1.350 pessoas que vivem em um condomínio residencial, sabe-se que 20% têm, 
cada uma, um único animal de estimação; a terça parte do número de pessoas restantes 
tem, cada uma, exatamente dois animais de estimação; os demais moradores não têm 
quaisquer animais de estimação. Determine o total de animais de estimação dos 
moradores desse condomínio. 
Solução: 
Número de moradores com um único animal de estimação: 0,20 × 1350 = 270 . [Dar 
0,6] 
Número de moradores com 2 animais de estimação: 
1
3
 × (1350 − 270) =
1
3
× 1080 =
360. [Dar 0,6] 
Total de animais no condomínio: 270 + 2 × 360 = 270 + 720 = 990 . [Dar 0,3] 
 
6ª questão: (valor 2,0 pontos) 
Um “Food Truck” especializado em hambúrguer vendeu numa noite um total de 227 
hambúrgueres de dois tamanhos: o Grande, com duas carnes, e o Mega, com 3 carnes. Sabe-
se que foram utilizadas 22 caixas de carne processada e que cada caixa contém 24 unidades. 
Determine quantos hambúrgueres de cada tamanho foram vendidos. (Sugestão: monte um 
sistema e resolva.) 
Solução: 
Sejam 𝑴 o número de hambúrgueres do tamanho Mega e 𝑮 o número de hambúrgueres 
do tamanho Grande servidos. Pelos dados do problema, temos que o total de 
hambúrgueres servidos é dado por 𝑀 + 𝐺 = 227 𝑒 o número de carnes processadas é 
 3𝑀 + 2𝐺 = 22 × 24 = 528, ou seja, formamos o sistema 
{ 
𝑀 + 𝐺 = 227
 3𝑀 + 2𝐺 = 528 
 (*) . [Dar 1,0] 
Multiplicando a primeira equação por 2, obtemos 
{ 
2𝑀 + 2𝐺 = 454
 3𝑀 + 2𝐺 = 528
 
Subtraindo a primeira equação da segunda, temos que 𝑴 = 𝟓𝟐𝟖 − 𝟒𝟓𝟒 = 𝟕𝟒. [Dar 
0,5]Substituindo o valor encontrado para M na primeira equação do sistema original (*), 
obtemos 𝑮 = 𝟐𝟐𝟕 − 𝟕𝟒 = 𝟏𝟓𝟑. [Dar 0,5] 
OBS: dar 0,3 se o aluno tentar achar a solução por algum método de resolução de 
sistemas.