Introdução ao Cálculo Numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO
Elaboração:
Ma. Andresa Pescador
24 de fevereiro de 2015.
Sumário
1 Conceitos e Pŕıncipios Gerais 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Efeitos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Sistemas Lineares 10
2.1 Sistemas Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Sistema Triangular Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Sistema Triangular Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Métodos Numéricos para Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Métodos Diretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1 Eliminação de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.2 Método de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Método da pivotação parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.4 Decomposição LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.5 Método da pivotação completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.6 Decomposição de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Métodos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2 Médoto de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Interpolação 27
3.1 Interpolação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Interpolação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Interpolação Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Interpolação Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Interpolação de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Forma Simplificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Erro na Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Interpolação de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.1 Diferenças Divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4.2 Fórmula de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
SUMÁRIO iii
4 Ajuste de Curvas 38
4.1 Ajuste Linear Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Ajuste Linear Múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Ajuste Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Casos Não-Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.5 Forma Matricial para gerar as Equações Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.6 Usando a Calculadora CASIO fx-82MS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.7 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5 Zeros de Funções 54
5.1 Método Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Método da Bisseção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Processo de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Método das Cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.5 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.6 Método da Iteração Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.7 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Integração Numérica 61
6.1 Método dos Trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Método de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Método dos Três Oitavos (Segunda de Simpson) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.4 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Sistemas Não Lineares 69
7.1 Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.2 Lista de Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A Diferenças Finitas 72
A.1 Aproximação das derivadas de uma função de uma variável por diferenças finitas . . . 72
B Normas 75
Referências 77
iv SUMÁRIO
Caṕıtulo 1
Conceitos e Pŕıncipios Gerais
Algarismos Significativos: Você provavelmente já deve ter ouvido a história sobre um guia
tuŕıstico eǵıpcio que contou aos visitantes que a pirâmide que eles estavam admirando tinha 5013
anos. “cinco mil e treze!”, disse um visitante. “como você sabe?” “Bem, disse o guia, quando eu
comecei a trabalhar aqui, há 13 anos, me disseram que a pirâmide tinha 5000 anos.”
1.1 Introdução
Considere o seguinte problema:
Determinar a altura de um edif́ıcio dispondo apenas
de uma bolinha de metal e um cronômetro.
Para calcular a altura podemos fazer uso dos conhecimentos da F́ısica e utilizar
a equação que descreve o deslocamento de um objeto em queda livre dada por
d = d0 + v0t +
1
2
at2 em que d0 é a posição inicial, v0 é a velocidade inicial, t é o
tempo, a é a aceleração (neste caso a aceleração da gravidade) e d é a distância
que o objeto percorreu.
Tendo esta expressão, pode-se subir ao topo do edif́ıcio e medir o tempo que a bolinha gasta para
tocar o solo. Por exemplo, se o tempo foi de t = 3 segundos então a altura é de 44, 1 metros pois
d = 0 + 0 · t + 1
2
· 9, 8 · 32 = 44, 1
Este é um exemplo simples de como podemos transformar situações reais em equações matemáticas
e obter a solução do problema real por meio da solução da equação.
Em geral, a resolução de problemas f́ısicos envolvem várias fases que podem ser assim estruturadas:
1
2 Caṕıtulo 1. Conceitos e Pŕıncipios Gerais
A partir do problema f́ısico, considerando-se as caracteŕısticas de cada situação e limitações de
cada situação, chega-se a um modelo matemático.
Uma vez feita a modelagem matemática, a fase seguinte consiste na resolução do modelo mate-
mático. Nesta fase deve-se verificar a existência e unicidade da solução para o problema. Feito ou
admitido isso, resolver o modelo matemático numericamente significa obter uma solução, mesmo que
aproximada, exclusivamente por processos numéricos.
A área da matemática que trata da concepção de processos numéricos e estuda sua praticabilidade
para encontrar aproximações à solução do modelo matemático denomina-se análise numérica.
Foi com o surgimento do computador na década de 40 que a importância da análise numérica
começou a ser notada, uma vez que, por meio do processamento eletrônico de dados, as técnicas
numéricas se tornaram viáveis.
O cálculo numérico temsua importância centrada no fato de que, mesmo quando a solução anaĺıtica
é dif́ıcil de ser obtida, as técnicas numéricas podem ser empregadas sem maiores dificuldades. Até
mesmo quando o problema não possui uma solução anaĺıtica, pode-se tentar obter, numericamente,
uma solução aproximada que atenda ao problema real.
Exemplo: São exemplos de problemas sem solução anaĺıtica que podem ser resolvidos usando o
cálculo numérico:
a) x6 − 20x5 − 110x4 + 50x3 − 5x2 + 70x − 100 = 0
b)
1∫
0
ex
2
dx
c) y
′
= y2 + t2
Com a popularização de computadores de baixo custo e de alta capacidade de processamento,
praticamente todas as atividades de engenharia tem feito uso cada vez mais intensivo dos métodos
e técnicas computacionais na resolução de problemas reais. No entanto, o uso do computador como
ferramenta de trabalho requer o entendimento dos seus prinćıpios de operação e de como eles interferem
nos resultados obtidos. O entendimento desses procedimentos numéricos exige conhecimento prévio
1.2. Conceitos Básicos 3
de conceitos de cálculo diferencial e integral e da álgebra linear, bem como conhecimentos básicos de
programação para computadores digitais.
1.2 Conceitos Básicos
Problema Numérico
É o tipo de problema que é resolvido por meio de cálculo numérico, onde tanto os dados de entrada
com os resultados (dados de sáıda) para o problema são conjuntos numéricos finitos.
A equação x6 − 20x5 − 110x4 + 50x3 − 5x2 + 70x− 100 = 0 é exemplo de um problema numérico.
Já, o problema de resolver a equação diferencial ordinária
d2y
dt2
= t2 + y2, para x ∈ (0, 5)
y(0) = 0
y(5) = 1
(1.1)
não é um problema numérico. No entanto, isso não significa que esse problema não possa ser resolvido
numericamente. Quando o modelo matemático não conduz a um problema numérico, primeiramente,
é preciso transformá-lo num problema numérico. A equação (1.1), usando-se os conceitos de diferenças
finitas, pode ser transformada na seguinte equação:
yi+1 − 2yi + yi−1 = h2(t2i + y2i ), i = 1, 2, . . . ,m − 1
y0 = 0
ym = 1
(1.2)
onde yi = y(ti). O problema (1.2) é agora um problema numérico, pois os dados de entrada formam um
conjunto finito de números. Resolvê-lo implica calcular y1, y2, ..., ym−1, que são os valores aproximados
da função solução y(t), nos pontos t1, t2, ..., tm−1, que são igualmente espaçados com espaçamento h.
Método Numérico
Método numérico é um conjunto de procedimentos utilizados para transformar um modelo matemá-
tico num problema numérico ou um conjunto de procedimentos para resolver um problema numérico.
A escolha do método mais eficiente para resolver um problema numérico deve envolver os seguintes
aspectos:
(i) precisão desejada para os resultados;
(ii) capacidade do método em conduzir ao resultado desejado (convergência e ordem de convergên-
cia);
(iii) esforço ou complexidade computacional (número de operações aritméticas e lógicas realizadas,
tempo de processamento, economia de memória necessária para a resolução)
4 Caṕıtulo 1. Conceitos e Pŕıncipios Gerais
Algoritmo
É a descrição sequencial dos passos que caracterizam um método numérico. O algoritmo fornece
uma descrição completa de operações bem definidas por meio das quais o conjunto de dados de entrada
é transformado em dados de sáıda. Por operações bem definidas entendem-se as aritméticas e lógicas
que um computador pode realizar. Dessa forma, um algoritmo consiste de uma sequência de n passos,
cada um envolvendo um número finito de operações. Ao fim desses n passos, o algoritmo deve fornecer
valores ao menos“próximos”daqueles que são procurados. O número n pode não ser conhecido a priori.
É o caso de algoritmos iterativos. Nesse caso, em geral tem-se para n apenas uma cota superior.
Iteração
Uma das ideias fundamentais do cálculo numérico é a de iteração ou aproximação sucessiva. Num
sentido amplo, iteração significa a repetição de um processo. Grande parte dos métodos numéricos
são iterativos. Um método iterativo se caracteriza por envolver os seguintes elementos constitutivos:
(i) Tentativa inicial: consiste em uma primeira aproximação para a solução desejada do problema
numérico;
(ii) Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são
realizadas as iterações para a solução desejada;
(iii) Teste de parada: é o instrumento por meio do qual o procedimento iterativo é finalizado.
Maiores detalhes sobre métodos iterativos serão discutidos ao longo dos caṕıtulos.
1.3 Erros
Segundo Sperandio & Mendes (2003), na busca da solução do modelo matemático por meio de
cálculo numérico, os erros surgem de várias fontes e merecem cuidado especial. Do contrário, pode-se
chegar a resultados distantes do que se esperaria ou até mesmo obter outros que não têm nenhuma
relação com a solução do problema original.
As principais fontes de erro são as seguintes:
(i) erros nos dados de entrada;
(ii) erros no estabelecimento do modelo matemático;
(iii) erros de arredondamento durante a computação;
(iv) erros de truncamento;
(v) erros humanos.
Erros nos dados de entrada
Os dados de entrada do problema numérico contêm uma imprecisão inerente, isto é, não há como
evitar que ocorram, uma vez que representam medidas obtidas usando equipamentos espećıficos, como,
por exemplo, no caso de medidas de corrente e tensão num circuito elétrico, ou então podem ser dados
1.3. Erros 5
resultantes de pesquisas ou levantamentos, como no caso de dados populacionais obtidos num recen-
seamento. Portanto, é preciso minimizar os erros no restante do processo de resolução do problema
f́ısico já que estas imprecisões nesta fase são inevitáveis.
Como exemplo, voltemos ao problema de calcular a altura de um edif́ıcio dispondo de uma bolinha
de metal e um cronômetro. Usando a equação d = d0 + v0t +
1
2
at2 com t = 3 segundos obtemos uma
altura de 44, 1 metros. No entanto, se o cronômetro marcasse t = 3, 5 segundos, a altura obtida seria
de 60 metros. Ou seja, um erro de 16, 7% no valor lido no cronômetro causaria um erro de 36% na
altura do edif́ıcio.
Erros no modelo matemático
O modelo matemático para o problema real deve traduzir e representar o fenômeno que está
ocorrendo no mundo f́ısico. Entretanto, nem sempre isso é fácil. Normalmente, são necessárias sim-
plificações no modelo f́ısico para se obter um modelo matemático que fornecerá uma solução para o
problema original. As simplificações realizadas geram fonte de erro, o que pode implicar a necessidade
de reformulação do modelo f́ısico e matemático.
Por exemplo, na equação citada anteriormente, d = d0 + v0t +
1
2
at2, não se leva em consideração,
dentre outros fatores, a resistência do ar.
Erros de arredondamento
Os erros de arredondamento surgem devido ao fato de algumas propriedades básicas da aritmética
real não valerem quando executadas no computador, pois, enquanto na matemática alguns números
são representados por infinitos d́ıgitos, na máquina isso não é posśıvel. Por exemplo 1 ÷ 3 = 0, 333....
Qualquer representação com finitos algarismos 3 será uma aproximação do resultado esperado. Tem-se,
então, um erro de arredondamento.
Também, devido ao fato da máquina usar uma quantidade finita de d́ıgitos, os números com mais
d́ıgitos do que esse máximo não serão representados corretamente. Assim, não é posśıvel representar
todos os números de um dado intervalo [a, b].
Os erros de arredondamento dependem de como os números são representados na máquina, e a
representação, por sua vez, depende da base em que são escritos os números e da quantidade máxima
de d́ıgitos usados nessa representação. Quanto maior o número de d́ıgitos utilizados após a v́ırgula,
maior será a precisão.
Observação: Para números na base 10 (decimal), costuma-se arredondar um número usandok casas
decimais após a v́ırgula da seguinte forma: se a k + 1-ésima casa decimal for maior ou igual a 5,
adiciona-se 1 ao algarismo da k-ésima casa decimal. Caso contrário, mantém-se as k primeiras casas
decimais, sem modificações. Por exemplo, considerando 4 casas decimais após a v́ırgula tem-se
2, 14357234 ≈ 2, 1436
2, 14382932 ≈ 2, 1438
Vale ressaltar que o arredondamento é feito após cada operação, o que pode fazer com que as
operações aritméticas (adição, subtração, divisão e multiplicação), associativas e distributivas em
aritmética infinita, percam tais propriedades.
Exemplo: Efetue as operações a seguir usando arredondamento após cada operação.
6 Caṕıtulo 1. Conceitos e Pŕıncipios Gerais
a) (11, 4 + 3, 18) + 5, 05 e 11, 4 + (3, 18 + 5, 05)
b)
3, 18 × 11, 4
5, 05
e
3, 18
5, 05
× 11, 4
c) 3, 18 × (5, 05 + 11, 4) e 3, 18 × 5, 05 + 3, 18 × 11, 4
Compare os resultados.
Um fato importante quando se trata de erros de arredondamento deve-se a base utilizada. É
usual representar e realizar operações com números na base decimal mas um número real pode ser
representado em qualquer base. Existem máquinas que operam na base 2 (binária) e outras que
operam na base 8 (octal).
Na iteração entre o usuário e o computador que opera em base binária, por exemplo, ocorre o
seguinte: o usuário passa seus dados na base decimal, e toda a informação é convertida para a base
binária pelo computador. Os resultados obtidos no sistema binário são convertidos para o sistema
decimal e, finalmente, transmitidos ao usuário. Esse processo de conversão de base pode se constituir
em fonte de erro de arredondamento.
Além disso, um número pode ter representação finita em uma base e não finita em outra. Por
exemplo, em base decimal, o número 0,6 possui uma representação finita mas em base binária sua
representação é 0, 1001100...
Observação: Não se pretende discutir detalhadamente neste material os conceitos de sistemas de
numeração (bases e conversões), aritmética de ponto flutuante ou tipos de dados numéricos no com-
putador. Tais tópicos podem ser encontrados nas referências bibliográficas, em especial nos livros de
[1] a [4].
Erros de truncamento
Truncar um número após k casas decimais depois da v́ırgula é simplesmente cortar os seus d́ıgitos
a partir do k + 1. Por exemplo, considerando o truncamento 4 casas decimais após a v́ırgula tem-se
2, 14357234 ≈ 2, 1435
2, 14382932 ≈ 2, 1438
Outra situação onde ocorre erro de truncamento é o de funções representadas por séries de potência.
Sabe-se que
ex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
Por se tratar de uma série infinita, devemos escolher um número limitado de termos da série para
que possamos calcular o valor numérico da função ex e, independente da quantidade de algarismos
significativos utilizados, o resultado será sempre aproximado. Esse constitui o erro de truncamento.
Exemplo: Calcule o valor de e2 usando:
a) a série truncada contendo 3 termos e usando oito d́ıgitos após a v́ırgula;
b) a série truncada contendo 7 termos e usando oito d́ıgitos após a v́ırgula;
Compare o resultado com e2 = 7, 38905610.
1.4. Efeitos numéricos 7
Erros humanos
Os erros humanos podem ocorrer em qualquer momento do processo de resolução, caracterizando-se
principalmente por informações incorretas no modelo matemático ou problema numérico.
Erros por estouro de memória
Não enquadrados nos erros descritos anteriormente os erros por estouro de memória são conhecidos
como overflow e underflow. O erro de overflow ocorre quando o resultado de uma operação aritmética
ultrapassa o maior valor representado pela máquina. Analogamente, o erro de underflow ocorre para
um resultado inferior ao menor valor que a máquina consegue representar. Esses limitantes superior e
inferior dependem de cada máquina.
Análise de erros
Para Sperandio & Mendes (2003), a partir do momento em que se calcula um resultado por
aproximação, é preciso saber como estimar ou delimitar o erro cometido na aproximação. Sem isso, a
aproximação obtida não tem significado. Frenquentemente é posśıvel, no cálculo numérico, estimar o
erro ou até delimitá-lo, isto é, estabelecer a menor das cotas superiores para o erro. A delimitação do
erro é sempre desejável, pois com ela tem-se um valor em que o erro cometido seguramente é inferior
a um limite.
Para essa estimativa, utiliza-se os conceitos de erro absoluto e erro relativo, definido como:
Erro Absoluto: |Valor Real - Valor Aproximado|
Erro Relativo:
|Valor Real - Valor Aproximado|
|Valor Real|
O erro relativo é frenquentemente dado como uma porcentagem. Por exemplo, 3% de erro relativo
significa que o erro é 0,03.
1.4 Efeitos numéricos
Além dos problemas dos erros causados pelas operações aritméticas, existem certos efeitos numé-
ricos que contribuem para que o resultado obtido não seja o desejado. Dentre eles podemos citar:
(i) cancelamento;
(ii) instabilidade numérica;
(iii) mal condicionamento.
Cancelamento
O cancelamento ocorre quando dois números aproximadamente iguais são subtráıdos e é a maior
fonte de erro nas operações de ponto flutuante.
Exemplo: Resolva o sistema
{
0, 003x1 + 30x2 = 5, 001 (I)
1x1 + 4x2 = 1 (II)
usando arredondamento com 4 casas
decimais.
a) Encontre x2 e, usando a equação (I), encontre x1.
8 Caṕıtulo 1. Conceitos e Pŕıncipios Gerais
b) Encontre x2 e, usando a equação (II), encontre x1.
Compare os resultados. Repita o exemplo usando 6 casas decimais. Obs.: A solução exata deste
sistema é x1 =
1
3
e x2 =
1
6
.
Instabilidade numérica
Um dos aspectos importantes do cálculo numérico é manter o “controle” dos erros de arredonda-
mento e truncamento. Dada uma sequência de operações, é importante saber como o erro se propaga
ao longo das operações subsequentes. Se a propagação não é significativa, então se diz que o problema
é estável numericamente. Caso contrário, se os erros intermediários têm uma influência muito grande
no resultado final, tem-se a chamada instabilidade numérica.
Mal condicionamento
Franco(2006) estabelece que a maioria dos processos numéricos segue a seguinte linha geral:
• Dados são fornecidos;
• Os dados são processados de acordo com o algoritmo;
• Resultados são produzidos.
Se os resultados dependem continuamente dos dados, isto é, pequenas alterações nos dados forne-
cidos produzem pequenas mudanças nos resultados, diz-se que o problema é bem condicionado. Caso
contrário, o problema é mal condicionado. O exemplo a seguir traz um problema mal condicionado.
Exemplo: Considere o sistema linear Ax = b, com
A =
(
1 0.99
0.99 0.98
)
e b =
(
1.99
1.97
)
,
cuja solução exata é x = [ 1 1 ]t.
Se substituirmos o vetor b por um vetor com uma pequena perturbação b̃ = [ 1.99 1.98 ]t ≈ b
obtemos como solução do sistema Ay = b̃ o vetor y = [ 100 − 99 ]t. Portanto, uma pequena
perturbação no vetor de termos independentes ocasionou uma grande modificação no vetor solução.
Considere agora a matriz à =
(
1 0.99
0.99 0.99
)
≈ A. A solução exata do sistema Ãz = b é z =
[ 2 − 1/99 ]t. Neste caso, foi uma pequena perturbação na matriz dos coeficientes que acarretou uma
grande mudança no vetor solução. Estes problemas são causados porque a matriz A é quase singular
(det(A) = −10−4).
1.5. Conclusão 9
1.5 Conclusão
Com algumas ideias preliminares e que são básicas para o cálculo numérico, o fluxograma apresen-
tado na seção 1.1 deste caṕıtulo, que indicava as fases de resolução de um problema real, pode agora
ser assim reestruturado:
Caṕıtulo 2
Sistemas Lineares
Aplicações: Cálculo de Estruturas; Cálculo de Redes Elétricas; Solução de Equações Diferenciais;
etc.
Seja um sistema linear Sn de n equações e n incógnitas:
Sn =

a11x1 + a12x2 + ...a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...a2nxn = b2
............................................
an1x1+ an2x2 + ...annxn = bn
ou
Sn =
n∑
j=1
aijxj = bi i = 1, 2, 3, ..., n
Matricialmente: Ax=b
Quando b=0 o sistema é chamado homogêneo. Um sistema homogêneo sempre admite uma solução
trivial x=0.
Um sistema linear pode ser
 compat́ıvel
{
determinado (uma única solução)
indeterminado(infinitas soluções)
incompat́ıvel (sem solução)
Exemplos:
1.
{
x1 + x2 = 0
x1 + x2 = 1
2.
{
x1 + x2 = 0
x1 − x2 = 0
3.
{
x1 + x2 = 0
2x1 + 2x2 = 0
10
2.1. Sistemas Triangulares 11
2.1 Sistemas Triangulares
2.1.1 Sistema Triangular Inferior
Sn =

l11x1 = c1
l21x1 + l22x2 = c2
............................................
ln1x1 + ln2x2 + ... lnnxn = cn
A solução de um sistema triangular inferior é calculada pelas substituições sucessivas:
l11x1 = c1 → x1 =
c1
l11
l21x1 + l22x2 = c2 → x2 =
c2 − l21x1
l22
l31x1 + l32x2 + l33x3 = c3 → x3 =
c3 − l31x1 − l32x2
l33
...
ln1x1 + ln2x2 + · · · + ln,n−1xn−1 + lnnxn = cn →
xn =
cn − ln1x1 − ln2x2 − · · · − ln,n−1xn−1
lnn
As substituições sucessivas podem ser representadas por
xi =
ci −
i−1∑
j=1
lijxj
lii
, i = 1, 2, ..., n. (2.1)
Exemplo. Calcular a solução do sistema triangular inferior, usando substituições sucessivas:
2 0 0 0
3 5 0 0
1 −6 8 0
−1 4 −3 9
 .

x1
x2
x3
x4
 =

4
1
48
6

2.1.2 Sistema Triangular Superior
Sn =

u11x1 + u12x2 + ... u1nxn = d1
u22x2 + ... u2nxn = d2
............................................
unnxn = dn
O vetor solução de um sistema triangular superior é obtido pelas substituições retroativas:
unnxn = dn → xn =
dn
unn
un−1,n−1xn−1 + un−1,nxn = dn−1 → xn−1 =
dn−1 − un−1,nxn
un−1,n−1
...
u22x2 + u23x3 + · · · + u2nxn = d2 → x2 =
d2 − u23x3 − · · · − u2nxn
u22
u11x1 + u12x2 + u13x3 + · · · + u1,nxn = d1 →
x1 =
d1 − u12x2 − u13x3 − · · · − u1nxn
u11
12 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
As substituições retroativas podem ser representadas por
xi =
di −
n∑
j=1+1
uijxj
uii
, i = n, n − 1, ..., 1. (2.2)
Exerćıcio:
a)

5 −2 6 1
0 3 7 −4
0 0 4 5
0 0 0 2
 ·

x1
x2
x3
x4
 =

1
−2
28
8

b)

3x1 + 4x2 − 5x3 + x4 = −10
x2 + x3 − 2x4 = −1
4x3 − 5x4 = 3
2x4 = 2
c)

3x1 + 4x2 − 5x3 + x4 = −10
x3 − 2x4 = 0
4x3 − 5x4 = 3
2x4 = 2
d)

3x1 + 4x2 − 5x3 + x4 = −10
x3 − 2x4 = −1
4x3 − 5x4 = 3
2x4 = 2
2.2 Métodos Numéricos para Resolução
Métodos Diretos: número finito de operações;
Métodos Iterativos: Calcular uma sequência x(1), x(2), ... de aproximações da solução −→x sendo dada
uma aproximação inicial x(0).
Obs: O método de Crammer é inviável numericamente devido ao tempo de computação:
Ax = b → xi =
Di
D
.
2.3 Métodos Diretos
2.3.1 Eliminação de Gauss
Transforma-se um sistema Ax = b num sistema triangular superior equivalente (por operações
elementares ) Ux = d que se resolve por substituição retroativa. A exatidão da solução pode ser
verificada pelo cálculo do vetor reśıduo r = b − Ax, de modo que se r = 0, então a solução é exata.
Operações Elementares:
Trocar a ordem de duas equações;
Multiplicar uma equação por uma constante não nula;
2.3. Métodos Diretos 13
Somar uma equação à outra;
Exemplo: Resolver o sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da
solução:

1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
−2x1 + 8x2 − 1x3 = −15
4x1 − 6x2 + 5x3 = 29
Os elementos da primeira coluna abaixo da diagonal devem ser eliminados, baseando-se no elemento
da diagonal da primeira linha a11 = 1. Por esta razão, a11 é chamado de elemento pivô e a linha que o
contém é a linha pivotal. Assim, para eliminar a21 = −2, a primeira linha deve ser multiplicada por um
fator m21 e somada à segunda linha. Este fator é tal que m21a11+a21 = 0 → m21 = −
a21
a11
= −−2
1
= 2.
A nova linha 2 será L
′
2 = 2L1 + L2. Do mesmo modo, para eliminar a31 = 4 deve-se multiplicar a
primeira linha por m31 e somar à terceira linha, com m31a11 + a31 = 0 → m31 = −
a31
a11
= −4
1
= −4,
ou seja, L
′
3 = −4L1 + L3.
Após estas duas operações elementares, o sistema equivalente intermediário terá os dois elementos
abaixo da diagonal iguais a zero.
1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
0x1 + 2x2 + 3x3 = 7
0x1 + 6x2 − 3x3 = −15
Agora, para eliminar o elemento da segunda coluna abaixo da diagonal, deve-se usar a
′
22 = 2 como
pivô e a segunda linha como pivotal. A segunda linha é multiplicada pelo fator m32 e somada à terceira
linha, com m32a
′
22 + a
′
32 = 0 → m32 = −
a
′
32
a
′
22
= −6
2
= −3. A nova linha 3 será L′′3 = −3L
′
2 + L
′
3,
resultando finalmente no sistema triangular superior equivalente
1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
0x1 + 2x2 + 3x3 = 7
0x1 + 0x2 − 12x3 = −36
O vetor solução do sistema é x = [2 − 1 3]T .
Exerćıcio 1:

2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
Solução: −→x = [1 2 3]T .
Exerćıcio 2:

8.7x1 + 3x2 + 9.3x3 + 11x4 = 16.4
24.5x1 − 8.8x2 + 11.5x3 − 45.1x4 = −49.7
52.3x1 − 84x2 − 23.5x3 + 11.4x4 = −80.8
21x1 − 81x2 − 13.2x3 + 21.5x4 = −106.3
Solução: −→x = [0.97 1.98 − 0.97 1]T .
Reśıduo: b − Ax = [0.042 0.214 0.584 − 0.594]T .
2.3.2 Método de Gauss-Jordan
Transforma-se um sistema Ax = b num sistema diagonal equivalente (matriz identidade.)
1. o primeiro elemento não nulo de cada linha deve ser um.
14 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
2. os demais elementos desta coluna devem ser zero.
3. se houver alguma linha nula esta deve ser a última.
Exemplo:

x1 + x2 + 2x3 = 4
2x1 − x2 − x3 = 0
x1 − x2 − x3 = −1
Solução: −→x = [1 1 1]T .
2.3.3 Método da pivotação parcial
O método de Gauss irá falhar quando um pivô for nulo, pois, neste caso, não será posśıvel calcular os
multiplicadores mij utilizados na eliminação. Este sério problema pode ser evitado pelo uso da estraté-
gia da pivotação parcial, que consiste em escolher como pivô o maior elemento em módulo da coluna,
cujos elementos serão eliminados. A pivotação parcial garante que o pivô seja não nulo, exceto quando
a matriz for singular. Outra vantagem é que todos os multiplicadores satisfazem −1 ≤ mij ≤ 1, evi-
tando, assim, que eles sejam muito grandes. Multiplicadores grandes podem ampliar os erros de
arredondamento de tal modo a comprometer a solução do sistema.
Obs: Para eliminar o elemento da segunda coluna, escolhe-se o maior elemento em módulo desta
coluna, sem considerar o elemento da linha pivotal usada na eliminação da primeira coluna.
Exemplo:
Resolver o sistema abaixo pelo método de Gauss com pivotação parcial:
−2x1 + 3x2 + x3 = −5
2x1 + x2 − 4x3 = −9
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
Neste exemplo, na primeira coluna o maior elemento, em módulo é o valor a31 = 4, este é o
pivô, e assim a linha pivotal é a linha 3. Assim, para eliminar a11 = −2, a linha pivotal deve ser
multiplicada pelo fator m11 e somada à primeira linha. m11 = −
a11
a31
= −−2
4
= 1/2. A nova linha 1
será L
′
1 = 1/2L3 + L1.
Do mesmo modo, para eliminar a21 = 2 deve-se multiplicar a terceira linha por m21 e somar à
segunda linha, m21 = −
a21
a31
= −2
4
= −1/2, deste modo, L′2 = −1/2L3 + L2.
Após estas duas operações o sistema equivalente intermediário será:
0x1 + 8x2 − 2x3 = −4
0x1 − 4x2 − x3 = −10
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
Agora, para trabalhar na segunda coluna, deve-se usar a
′
12 = 8 como pivô e a primeira linha como
pivotal. A primeira linha é multiplicada pelo fator m22 e somada à segunda linha, com m22 = −
a
′
22
a
′
12
=
−−4
8
= 1/2. A nova linha 2 será L
′′
2 = 1/2L
′
1 + L
′
2, resultando finalmente no sistema equivalente:
0x1 + 8x2 − 2x3 = −4
0x1 + 0x2 − 2x3 = −12
4x1 + 10x2 − 6x3 = 2
O vetor solução do sistema é x = [7 1 6]T .
2.3. Métodos Diretos 15
2.3.4 Decomposição LU
Uma matriz quadrada qualquer pode ser escrita como o produto de duas matrizes, por exemplo,(
4 3
8 5
)
=
(
1 0
2 1
)
.
(
4 3
0 −1
)
.
Assim, uma matriz A foi fatorada tal que A = LU, onde Lé uma matriz triangular inferior unitária
(lii = 1, ∀i) e U é uma matriz triangular superior. Deste modo, para resolver o sistema Ax = b, usa-se
a matriz A na forma decomposta
Ax = b → LUx = b. (2.3)
Fazendo
Ly = b e Ux = y (2.4)
tem-se que a solução y do sistema triangular inferior Ly = b é obtida pelas substituições sucessivas
com lii = 1 pois L é uma matriz unitária. O vetor y é usado como termo independente no sistema
triangular superior Ux = y, cuja solução x é calculada pelas substituições retroativas.
Cálculo dos fatores:
Uma matriz A pode ser fatorada, usando-se o método da eliminação de Gauss. A matriz triangular
superior U é a mesma do método de Gauss e a matriz triangular inferior unitária L, além de lii =
1, lij = 0, i < j, possui lij = −mij , i > j, sendo mij os multiplicadores usados no processo de eliminação
de Gauss.
Por exemplo, o sistema acima resolvido,

1x1 − 3x2 + 2x3 = 11
−2x1 + 8x2 − 1x3 = −15
4x1 − 6x2 + 5x3 = 29
fica assim fatorado: L =
 1 0 0−2 1 0
4 3 1
 e U =
 1 −3 20 2 3
0 0 −12

De modo similar ao método de eliminação de Gauss, a estratégia da pivotação parcial de ser
usada na decomposição LU para evitar um pivô nulo e que os multiplicadores mij tenham valores
muito grandes. Quando a pivotação parcial for usada, a decomposição é da forma PA = LU, onde
P é a matriz de permutações, que será constitúıda das linhas de uma matriz identidade I, colocadas
na mesma ordem das linhas pivotais que geram a matriz triangular superior U. A matriz triangular
inferior unitária L é formada pelos multiplicadores, com sinais contrários, utilizados na eliminação. A
ordem em que os multiplicadores são atribúıdos a cada linha L é dada pelos ı́ndices das linhas pivotais.
Para resolver o sistema Ax = b, tem-se Ax = b → PAx = Pb → LUx = Pb.
Assim, basta fazermos
Ly = Pb e Ux = y. (2.5)
16 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
2.3.5 Método da pivotação completa
Dado Ax = b; seja M = [A|b] sua matriz aumentada:
M =

a11 a12 · · · a1j · · · a1q · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2j · · · a2q · · · a2n b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
ap1 ap2 · · · · · · · · · apq · · · apn bp
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
an1 an2 · · · anj · · · anq · · · ann bn

Escolhe-se em M o elemento apq ̸= 0 de maior módulo e não pertencente à coluna dos termos
independentes e calculam-se os fatores mi :
mi = −
aiq
apq
; ∀i ̸= p (2.6)
apq é o pivô e a linha p é a linha pivotal.
Soma-se, a cada linha não pivotal, o produto da linha pivotal pelo correspondente mi da linha
não pivotal. Resulta-se uma nova matriz, cuja q-ésima coluna é composta de zeros, exceto o pivô.
Rejeita-se esta coluna e a p-ésima linha do pivô tendo-se uma nova matriz M (1), cujo número de linhas
e colunas é diminúıdo de um. Repete-se obtendo-se M (2), · · · , M (n−1) onde M (n−1) é uma linha com
dois termos (linha pivotal) para se obter a solução, constrói-se o sistema formado por todas as linhas
pivotais e, a partir da última linha resolve-se por substituições retroativas o sistema criado.
Exemplo:

0.8754x1 + 3.0081x2 + 0.9358x3 + 1.1083x4 = 0.8472
2.4579x1 − 0.8758x2 + 1.1516x3 − 4.5148x4 = 1.1221
5.2350x1 − 0.8473x2 − 2.3582x3 + 1.1419x4 = 2.5078
2.1015x1 + 8.1083x2 − 1.3233x3 + 2.1548x4 = −6.4984
Solução: −→x = [1 − 1 2 1]T .
2.3.6 Decomposição de Cholesky
O Processo de Cholesky é definido para a resolução de sistemas lineares (n x n) cuja matriz do
Sistema é Simétrica A = AT e Definida Positiva xT Ax > 0 (Ruggiero). A decomposição feita a seguir
considera estas hipóteses.
Seja:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
an1 an2 · · · ann
 =

g11 0 0 0
g21 g22 0 0
......
gn1 gn2 · · · gnn
 .

g11 g21 · · · gn1
0 g22 · · · gn2
......
0 0 0 gnn

Aplicando a definição de produtos de matrizes obtemos:
a) Elementos diagonais.
a11 = g211
2.3. Métodos Diretos 17
a22 = g221 + g
2
22
...
ann = g2n1 + g
2
n2 + ... + g
2
nn
Assim:

g11 =
√
a11
gii =
(
aii −
i−1∑
k=1
g2ik
) 1
2
,
i = 2, 3, ..., n (2.7)
b) Elementos não diagonais.
b.1) Primeira coluna
a21 = g21g11
a31 = g31g11
...
an1 = gn1g11
b.2) Segunda coluna
a32 = g31g21 + g32g22
a42 = g41g21 + g42g22
...
an2 = gn1g21 + gn2g22
b.3) Para a j-ésima coluna, teŕıamos:
aj+1,j = gj+1,1gj1 + gj+1,2gj2 + ... + gj+1,jgjj
aj+2,j = gj+2,1gj1 + gj+2,2gj2... + gj+2,jgjj
...
anj = gn1gj1 + gn2gj2 + ... + gnjgjj
Assim: 
gi1 =
ai1
g11
, i = 2, 3..., n
gij =
(
aij −
j−1∑
k=1
gikgjk
)
/gjj , 2 < j < i
(2.8)
Utilizadas numa ordem conveniente as fórmulas 2.7 e 2.8 determinam os gij . Uma ordem conveni-
ente pode ser : g11, g21, g31, ...., gn1; g22, g32, ...., gn2; ...gnn
18 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
Observação:
1 Temos que na decomposição LU, det A = u11u22...unn, uma vez que os elementos diagonais de
L são unitários.
No caso do método de Cholesky temos: A = G · Gt
det(A) = (det(G))2 = (g11g22...gnn)2
2 Uma vez calculado G, a solução de Ax = b fica reduzida a solução do par de sistemas triangulares:
Gy = b
Gtx = y
Exemplo: Seja:
A =
 1 1 01 2 −1
0 −1 3

a.) Verificar se A pode ser decomposta em G.Gt
b.) Decompor A em G.Gt
c.) Calcular o determinante de A.
d.) Resolver o sistema Ax = b onde b =
 21
5

Solução:
a.) A é simétrica. Devemos verificar se é positiva definida. Temos: xT Ax > 0 se, e somente se,
(x1, x2, x3).
 1 1 01 2 −1
0 −1 3
 .
 x1x2
x3
 =
x21 + 2x1x2 + 2x
2
2 − 2x2x3 + 3x23 =
(x21 + 2x1x2 + x
2
2) + (x
2
2 − 2x2x3 + x23) + 2x23 > 0
(x1 + x2)2 + (x2 − x3)2 + 2x23 > 0 OK!
Logo A pode ser decomposta em G.Gt
b.)
g11 =
√
a11 =⇒ g11 = 1
g21 =
a21
g11
=⇒ g21 = 1
g31 =
a31
g11
=⇒ g31 = 0
g22 = (a22 − g221)
1
2 =⇒ g22 = 1
2.4. Métodos Iterativos 19
g32 =
a32 − g31g21
g22
=⇒ g32 = −1
g33 = (a33 − g231 − g232)
1
2 =⇒ g33 =
√
2
 1 1 01 2 −1
0 −1 3
 =
 1 0 01 1 0
0 −1
√
2
 .
 1 1 00 1 −1
0 0
√
2

c.) det A = (g11g22g33)2 = 2
d.) Devemos resolver dois sistemas:
d1.) Gy = b 1 0 11 1 0
0 −1
√
2
 .
 y1y2
y3
 =
 21
5

Portanto :
y1 = 2
y1 + y2 = 1 =⇒ y2 = −1
−y2 +
√
2y3 = 5 =⇒ y3 = 2
√
2
d2.) Gt.x = y 1 1 00 1 −1
0 0
√
2
 .
 x1x2
x3
 =
 2−1
2
√
2

Portanto:
√
2x3 = 2
√
2 =⇒ x3 = 2
x2 − x3 = −1 =⇒ x2 = 1
x1 + x2 = 2 =⇒ x1 = 1
Logo a solução de 1 1 01 2 −1
0 −1 3
 .
 x1x2
x3
 =
 21
5
 é x =
 11
2
 .
2.4 Métodos Iterativos
A solução −→x do sistema Ax = b é obtida calculando-se uma sequência
x(1), x(2), · · · , x(k), · · · de aproximações de −→x , sendo dado um“ chute ”inicial x(0). Para isso transforma-
se o sistema dado num equivalente da forma
x = Fx + d onde F é matriz n × n e x e d são vetores n × 1.
20 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
Temos um chute inicial
−→
x0 = (x01, x
0
2, ..., x
0
n)
T Obtém-se:
x1 = Fx0 + d
x2 = Fx1 + d
...
xk+1 = Fxk + d (2.9)
...
Seja
||xk − x|| = max
1≤i≤n
{xki − xi}
então x1, x2, · · · , xk, · · · converge quando k → ∞ se lim ||xk − x|| → 0.
Como obter x = Fx + d ? Por exemplo,
Ax = b
Ax + Ix − b = Ix
x = (A + I)︸ ︷︷ ︸x − b︸︷︷︸
Condição de convergência: O método iterativo (2.9) converge com qualquer valor inicial x(0)
se , e somente se, ρ(F ) < 1, sendo ρ(F ) o raio espectral (maior autovalor em módulo) da matriz de
iteração F.
Porém, a determinação do raio espectral da matriz iteração pode requerer maior esforço computa-
cional que a própria solução do sistema linear. Por isto, para alguns métodos iterativos, usualmente
se utiliza o chamado critério das linhas para prever a convergência.
Teorema: É condição suficiente para a convergência dos métodos iterativos de Jacobi e Gauss-
Seidel que a matriz dos coeficientes A seja diagonal estritamente dominante, ou seja,
|aii| >
n∑
j=1;j ̸=i
|aij |, i = 1, 2, . . . , n.(2.10)
Em palavras, cada elemento de uma linha que pertença a diagonal principal dever ser maior em
módulo que a soma, em módulo, dos demais elementos desta linha da matriz dos coeficientes. (Ou
você faz o mesmo com as colunas.)
Critério das linhas: O método converge se
max
1≤i≤n
n∑
j=1j ̸=i
∣∣∣∣aijaii
∣∣∣∣ < 1 (2.11)
2.4. Métodos Iterativos 21
2.4.1 Método de Jacobi
Seja o sistema: 
a11x1 + a12x2 + ...a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...a2nxn = b2
............................................
an1x1 + an2x2 + ...annxn = bn
Isola-se x1 na primeira equação; Isola-se x2 na segunda equação; e assim por diante. Tem-se:
x1 =
b1 − (a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn)
a11
x2 =
b2 − (a21x1 + a23x3 + · · · + a2nxn)
a22
...
xn =
bn − (an1x1 + an2x2 + · · · + an,n−1xn−1)
ann
aii ̸= 0.
Assim x =

x1
x2
...
xn
 d =

b1
a11
b2
a22
· · ·
bn
ann

F =

0 −a12
a11
−a13
a11
· · · −a1n
a11
−a21
a22
0 −a23
a22
· · · −a2n
a22
· · · · · · · · · · · · · · ·
−an1
ann
−an2
ann
−an3
ann
· · · 0

Portanto o método de Jacobi funciona do seguinte modo:
a) Escolhe-se uma aproximação inicial x0;
b) Geram-se sucessivas xk a partir da iteração xk+1 = Fxk + d; k = 0, 1, 2, ...
c) Continua-se iterando até que um dos critérios de parada seja alcançado.
Critério de Parada:
||xk − xk−1||
||xk||
≤ ε
ou
k ≥ kmax.
onde ε é a tolerância e kmax é o número máximo de iterações.
Neste texto, será adotada a norma-∞, ou seja,
max1≤i≤n |xki − x
k−1
i |
max1≤i≤n |xki |
≤ ε
Exemplo: Resolver o seguinte sistema com tolerância ϵ ≤ 10−2 ou K > 10 :
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
Solução: −→x = [0, 998 1, 002]T .
22 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
Exemplo: Resolver o seguinte sistema com tolerância ϵ ≤ 10−2 :
3x1 − 18x2 + 2x3 = −4.2
29.4x1 + 3x2 − 5x3 = 10.9
7.4x1 − 5.1x2 + 37.1x3 = 47.4
Faça
−→
x0 = [0 0 0]T . Solução: −→x = [0.5317 0.4589 1.2345]T .
2.4.2 Médoto de Gauss-Seidel
Seja o sistema Ax = b. Escolhemos um “chute” inicial
−−→
x(0) = (x01, x
0
2, x
0
3, · · · , x0n) e fazemos as
aproximações
−−→
x(1),
−−→
x(2), · · · ,
−−→
x(k), · · · utilizando-se de:
xk+11 =
b1 − (a12xk2 + a13xk3 + · · · + a1nxkn)
a11
xk+12 =
b2 − (a21xk+11 + a23xk3 + · · · + a2nxkn)
a22
xk+1n =
bn − (an1xk+11 + an2x
k+1
2 + · · · + an,n−1x
k+1
n−1)
ann
aii ̸= 0.
Ou seja,
xk+1i = d +
i−1∑
j=1
Fijx
k+1
j +
n∑
j=i+1
Fijx
k
j i = 1, 2, 3, · · · ; k = 0, 1, 2, · · ·
satisfazendo
||xk − xk−1||
||xk||
≤ ε
ou
k ≥ kmax.
Exemplo 1: Resolver o seguinte sistema com tolerância ϵ ≤ 10−2 ou K > 10 :
{
2x1 − x2 = 1
x1 + 2x2 = 3
Solução: −→x = [0, 998 1, 002]T .
Exemplo 2: Resolver o seguinte sistema com tolerância ϵ ≤ 10−2 :
10x1 + 2x2 + 6x3 = 28
x1 + 10x2 + 9x3 = 7
2x1 − 7x2 − 10x3 = −17
Faça
−→
x0 = [0 0 0]T . Solução: −→x = [1 − 3 4]T .
2.5. Lista de Exerćıcios 23
2.5 Lista de Exerćıcios
1. Implementar um dos algoritmos de resolução de sistemas lineares diretos e resolver os sistemas
abaixo (apresentar a solução). Entregar em anexo o algoritmo.
a)

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6, 9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6, 6
x1 + x2 + x3 + x4 = 10, 2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12, 3
Solução: −→x = [0, 9 2, 1 3 4, 2]T
b)

4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 − x2 − x3 − x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
Solução: indeterminado
c)

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 10
2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 7
3x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 6
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5
Solução: −→x = [0 1 0 2]T
d)

x2 + 3x3 + 2x4 + 4x5 = 3
8x1 − 2x2 + 9x3 − x4 + 2x5 = −5
5x1 + x2 + x3 + 7x4 + 2x5 = 6
−2x1 + 4x2 + 5x3 + x4 = −1
7x1 − 3x2 + 2x3 − 4x4 + x5 = 8
Solução: −→x = [2, 347; 4, 354; −2, 391; −1, 768; 2, 339]
e)

4x1 − x2 + 3x3 + 8x4 = 43
x1 + 6x2 + 2x3 − 3x4 = 7
5x1 + 5x2 + x3 = 18
2x1 + 4x2 − 2x3 + x4 = 8
Solução: −→x = [1 2 3 4]
2. Resolva os Seguintes Sistemas Lineares:
a)

6x1 + 2x2 − 1x3 = 7
2x1 + 4x2 + 1x3 = 7
3x1 + 2x2 + 8x3 = 13
Solução: −→x = [1 1 1]
b)

10x1 + 1x2 − x3 = 10
x1 + 10x2 + x3 = 12
2x1 − 1x2 + 10x3 = 11
Solução: −→x = [1 1 1]
24 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
c)

4x1 − 6x2 − x3 = −7
2x1 − 3x2 + x3 = 5
x1 + 2x2 + x3 = 4
Solução: −→x = [1 2 − 1]
d)
 5 2 1−1 4 2
2 −3 10
 .
 x1x2
x3
 =
 −1220
3

Solução: −→x = [−4 3 2]
3. Resolva os Seguintes Sistemas Lineares utilizando o método de Gauss com pivotamento parcial:
a)

3 −2 5 1
−6 4 −8 1
9 −6 19 1
6 −4 −6 15
 .

x1
x2
x3
x4
 =

7
−9
23
11

b)
 0.25 0.36 0.120.112 0.16 0.24
0.147 0.21 0.25
 .
 x1x2
x3
 =
 78
9

c)

2 2 1 1
1 −1 2 −1
3 2 −3 −2
4 3 2 −1
 .

x1
x2
x3
x4
 =

7
1
14
12

4. Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando decomposição LU
a)
 5 2 1−1 4 2
2 −3 10
 .
 xy
z
 =
 −1220
3

b)
 2 3 −11 0 2
0 3 −1
 .
 x1x2
x3
 =
 43
2

c)

9x1 − 6x2 + 3x3 = −3
−6x1 + 29x2 − 7x3 = −8
3x1 − 7x2 + 18x3 = 33
Solução: −→x = [−1 0 2]
5. Sistema Esparso:
EDO de 2a Ordem:
d2y
dx2
+ f(x) = 0; y(0) = y(1) = 0
2.5. Lista de Exerćıcios 25
Fisicamente pode-se pensar que esta EDO (problema de contorno) é o modelo de uma barra fina
aquecida no eixo x, no intervalo 0 ≤ x ≤ 1. y(x) é a temperatura da barra em estado estacionário
no ponto x, e a função -f(x) fornece a taxa na qual o calor está sendo gerado (ou suprido) na barra
no ponto x. As condições dos extremos significam que cada extremidade da barra é mantida em
temperatura zero. Para isso faz-se uma substituição da Equação Diferencial por um sistema de
Diferenças Finitas. Isto implica num sistema Ay = b onde A é uma matriz tridiagonal,
A =

2 −1 0 0 0 0
−1 2 −1 0 0 0
0 −1 2 −1 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 −1 2 −1
0 0 0 0 −1 2

, por exemplo se n=9 então A é 9 × 9;
y é nosso objetivo e b = h2(f(x1), f(x2), ..., f(xn))T sendo que h =
1
n + 1
(que é a subdivisão
dos intervalos, tendo xi = i.h).
Escolha f(x) = 12x e resolva o sistema pelos métodos iterativos conhecidos (Jacobi ou Gauss-
Seidel); Compare os resultados; Tente plotar a solução exata e as soluções encontradas;
Solução Exata: y(x) = 2x − 2x3
6. Determinar o vetor solução por um método iterativo partindo de−−→
x(0) = [1 1 1 1 1 1]T , com precisão ϵ < 10−4 e como número máximo de iterações k=30:
10x1 + x2 + x3 + 2x4 + 3x5 − 2x6 = 6, 57
4x1 − 20x2 + 3x3 + 2x4 − x5 + 7x6 = −68, 448
5x1 − 3x2 + 15x3 − x4 − 4x5 + x6 = −112, 05
−x1 + x2 + 2x3 + 8x4 − x5 + 2x6 = −3, 968
x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 9x5 − x6 = −2, 18
−4x1 + 3x2 + x3 + 2x4 − x5 + 12x6 = 10, 882
Solução: −→x = [1, 222 2, 968 − 7, 393 0, 866 − 0, 410 0, 865]T
7. Resolver usando Jacobi, com no máximo 10 iterações:
x1 − 0, 25x2 − 0, 25x3 = 0
−0, 25x1 + x2 − 0, 25x4 = 0
−0, 25x1 + x3 − 0, 25x4 = 0, 25
−0, 25x2 + x4 = 0, 25
Faça
−−→
x(0) = [0 0 0 0]T e ϵ < 10−2
Solução: −→x = [0, 107 0, 09 0, 342 0, 272]T
8. Resolver usando Gauss-Seidel, com no máximo 10 iterações:
5x1 − x2 + 2x3 − x4 = 5
x1 + 9x2 − 3x3 + 4x4 = 26
3x2 − 7x3 + 2x4 = −7
−2x1 + 2x2 − 3x3 + 10x4 = 33
Faça
−−→
x(0) = [1 3 1 3]T e ϵ < 10−2
26 Caṕıtulo 2. Sistemas Lineares
Solução: −→x = [0, 999 2 3 4]T
9. Resolver o sistema a seguir pelos métodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel com k máximo
= 10 ou ϵ < 10−3 :
10x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 48
x1 + 8x2 − x3 + 2x4 = 4
2x1 − x2 − 5x3 + x4 = −11
−x1 + 2x2 + 3x3 + 20x4 = 150
Resposta: −→x = [3;−1; 5; 7]
10. Sejam as matrizes:
A =
 4 2 −42 10 4
−4 4 9
 B =
 3 1 01 3 2
0 2 0
 b =
 216
9

Usando b dado acima, escolha adequadamente e resolva um dos sistemas Ax=b, Bx=b, pelo
processo de Cholesky.
11. Resolva o sistema abaixo pelo processo de Cholesky, completando adequadamente os espaços em
branco.
2x1 + ...x2 − x3 = 3
x1 + 10x2 + ...x3 = 6
...x1 + 2x2 − 4x3 = −6
12. Considerando-se que o sistema de equações lineares algébricas Ax=b onde A é a matriz não
singular, é transformado no sistema equivalente Bx=c, com B = At.A; C = At.b onde At é a
trasposta de A, então , o último sistema pode sempre ser resolvido pelo processo de Cholesky
(isto é, a matriz B satisfaz às condições para a aplicação do método.) Aplicar a técnica acima
para achar, pelo processo de Cholesky, a solução do sistema: 1 0 11 1 0
1 −1 0

 x1x2
x3
 =
 22
0

Caṕıtulo 3
Interpolação
Muitas funções são conhecidas apenas em um conjunto finito e discreto de pontos de um intervalo
[a,b]. Neste caso, tendo-se que trabalhar com esta função e não dispondo de sua forma anaĺıtica,
pode-se substitúıla por outra função, que seja uma aproximação da função dada deduzida a partir dos
dados tabelados.
Exemplo: Número de habitantes de BH:
ano 1950 1960 1970 1980
No hab. 352724 683908 1235030 1814990
Como determinar o número aproximado de habitantes de BH em 1975? Devemos fazer uma
interpolação (aproximação)!
3.1 Interpolação Polinomial
3.1.1 Interpolação Linear
Dados dois pontos diferentes de uma função y = f(x), (x0, y0) e (x1, y1) deseja-se calcular o valor de
y para um determinado valor de x entre x0 e x1, usando-se interpolação. Sempre que tivermos um
número de pontos podemos encontrar um polinômio interpolador de grau uma unidade menor. Neste
caso, grau 1, isto é:
P1(x) = a1x + a0
P1(x0) = f(x0) = y0 ⇒ a1x0 + a0 = y0
P1(x1) = f(x1) = y1 ⇒ a1x1 + a0 = y1
Gerando um sistema:[
x0 1
x1 1
][
a1
a0
]
=
[
y0
y1
]
Exemplo: Sejam dois pontos (0; 1.35), (1; 2.94) Encontrar p(0.73) usando uma interpolação linear.
(Resposta: p(0.73)= 2.51)
Erros: a)Arredondamento
b)Truncamento=escolha do polinômio.
3.1.2 Interpolação Quadrática
Tendo três pontos conhecidos fazemos p(x) = a2x2 + a1x + a0.
Formamos o sistema:
27
28 Caṕıtulo 3. Interpolação

a2x0
2 + a1x0 + a0 = y0
a2x1
2 + a1x1 + a0 = y1
a2x2
2 + a1x1 + a0 = y2
⇒
 x0
2 x0 1
x1
2 x1 1
x2
2 x2 1

 a2a1
a0
 =
 y0y1
y2

Ver exemplo.
3.1.3 Interpolação Polinomial
Queremos um polinomio interpolador de grau ≤ n sendo dados n+1 pontos distintos.
Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn =
n∑
j=0
aix
j .
Pn(xi) = yi ⇒

anx0
n + · · · + a2x02 + a1x0 + a0 = y0
anx1
n + · · · + a2x12 + a1x1 + a0 = y1
· · · · · · · · ·
anxn
n + · · · + a2xn2 + a1xn + a0 = yn
3.2 Interpolação de Lagrange
Polinômio de Lagrange:
Pn(x) =
n∑
i=0
yi.
n∏
j=0,j ̸=i
x − xj
xi − xj
(3.1)
Exemplo 1:
x 1 5 7
y 7 39 67
P2(x) =
2∑
i=0
yi.
2∏
j=0,j ̸=i
x − xj
xi − xj
= y0
(x − x1)
(x0 − x1)
(x − x2)
(x0 − x2)
+ y1
(x − x0)
(x1 − x0)
(x − x2)
(x1 − x2)
+
+y2
(x − x0)
(x2 − x0)
(x − x1)
(x2 − x1)
= · · · = x2 + 2x + 4.
Exemplo 2:
x 0 0.2 0.4 0.5
y 0 2.008 4.064 5.125
Calcular P (0.3).
3.3. Erro na Interpolação 29
3.2.1 Forma Simplificada
Construir a tabela:
x0 x1 ... xn
∏
Dif 0 Dif 1 Dif n PRODX
xobj xobj − x0 xobj − x1 ... xobj − xn (xobj − x0) ∗ (xobj − x1) ∗ ... ∗ (xobj − xn)
PROD0
x0 — x0 − x1 ... x0 − xn (x0 − x1) ∗ ... ∗ (x0 − xn)
PROD1
x1 x1 − x0 — ... x1 − xn (x1 − x0) ∗ ... ∗ (x1 − xn)
...
...
...
...
...
...
PRODn
xn xn − x0 xn − x1 ... — (xn − x0) ∗ (xn − x1) ∗ ... ∗ (xn − xn−1)
Em seguida fazer
Pn(xobj) = y0.
PRODX
Dif0
PROD0
+ y1.
PRODX
Dif1
PROD1
+ + · · · + yn.
PRODX
Difn
PRODn
(3.2)
3.3 Erro na Interpolação
É o polinômio de interpolação uma boa aproximação para f(x)? Para respondermos esta pergunta
devemos estudar a teoria do termo do erro. Para isso devemos conhecer os seguintes teoremas:
Teorema de Rolle: Seja f(x) cont́ınua em [a, b] e diferenciável em cada ponto de (a, b). Se
f(a) = f(b), então existe um ponto x = ξ, a < ξ < b, tal que f
′
(ξ) = 0.
Prova: Pode ser encontrada em [8].
Teorema de Rolle generalizado: Seja n ≥ 2. Suponhamos que f(x) seja cont́ınua em [a, b]
e que f (n−1)(x) exista em cada ponto de (a, b). Suponhamos que f(x1) = f(x2) = · · · = 0 para
a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b. Então existe um ponto ξ, x1 < ξ < xn, tal que f (n−1)(ξ) = 0.
Prova: A prova é feita aplicando-se sucessivamente o Teorema de Rolle.
Teorema: Seja f(x) cont́ınua em [a, b] e suponhamos que fn+1(x) exista em cada ponto (a, b). Se
a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b, então:
Rn(f ; x) = f(x) − Pn(f ; x) =
(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn)
(n + 1)!
f (n+1)(ξ) (3.3)
onde min{x, x0, x1, · · · , xn} < ξ < max{x, x0, x1, · · · , xn.} O ponto ξ depende de x.
Prova: Pode ser encontrada em [2].
O termo Rn(f ; x) na expressão acima é chamado termo do erro ou erro de truncamento.
É o erro que se comete no ponto x quando se substitui a função por seu polinômio de interpolação
calculado em x. Na prática, para estimar o erro cometido ao aproximar o valor da função num ponto
por seu polinômio de interpolação, fazemos:
|Rn(f ; x)| ≤
|x − x0||x − x1| · · · |x − xn|
(n + 1)!
· maxa≤t≤b|f (n+1)(t)|. (3.4)
Exemplo: Dada a tabela
30 Caṕıtulo 3. Interpolação
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e3x 1 1.3499 1.8221 2.4596 3.3201 4.4817
Calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamos f(0.25), onde f(x) =
x.e3x, usando polinômio de interpolação do segundo grau.
Solução:
|R2(f ; x)| ≤
|x − x0| · |x − x1| · |x − x2|
3!
· maxx0≤t≤x2 |f
′′′
(t)|.
Como f(t) = te3t, segue que;
f
′
(t) = e3t + 3te3t = e3t(1 + 3t),
f
′′
(t) = 3e3t(1 + 3t) + 3e3t = 6e3t + 9te3t,
f
′′′
(t) = 18e3t + 9e3t + 27te3t = 27e3t(1 + t).
Como queremos estimar o valor da função xe3x no ponto 0.25 usando polinômio do segundo grau,
devemos tomar três pontos consecutivos na vizinhança de 0.25. Tomando então: x0 = 0.2, x1 = 0.3 e
x3 = 0.4, obtemos:
maxx0≤t≤x2 |f
′′′
(t)| = 27e3.(0.4)(1 + 0.4) = 125.4998.
Estamos, portanto, em condições de calcular um limitante superior para o erro de truncamento.
Assim:
|R2(f ;x)| ≤
|0.25 − 0.2| · |0.25 − 0.3| · |0.25 − 0.4|
6
(125.4998) ≃ 0.0078 ≃ 8 × 10−3.
Pelo resultado obtido, vemos que, se tomarmos um polinômio do segundo grau para avaliar f(0.25),
obteremos o resultado com duas casas decimais corretas!!
Observações:
O número de zeros depois do ponto decimal, no resultado do erro, fornece o número de d́ıgitos
significativos corretos que teremos na aproximação.
Observe que podeŕıamos ter tomado: x0 = 0.1, x1 = 0.2 e x3 = 0.3. Se tomarmos estes pontos,
obtemos que |R2(f ; x)| ≃ 0.0054, o que implica que obteremos duas casas decimais corretas na apro-
ximação. Assim, tanto faz tomarmos um ponto à esquerda e dois à direita de 0.25, ou dois pontos à
esquerda e um à direita, que o erro será da mesma ordem de grandeza.
3.4 Interpolação de Newton
3.4.1 Diferenças Divididas
Definição: Sejam n + 1 pontos distintos x0, x1, ..., xn no intervalo [a, b], e sejam f0, f1, ..., fn; n+1
valores de uma função y = f(x) sobre x = xk, k = 0, 1, ..., n. Define-se:
3.4. Interpolação de Newton 31
f [xk] = f(xk), k = 0, 1, ..., n.
f [x0, x1, ..., xn] =
f [x1, x2, ..., xn] − f [x0, x1, ..., xn−1]
xn − x0
,
onde f [x0, x1, ..., xn] é a diferença dividida de ordem n da função f(x) sobre os pontos x0, x1, ..., xn.
Assim, usando a definição temos:
f [x0, x1] =
f [x1] − f [x0]
x1 − x0
,
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2] − f [x0, x1]
x2 − x0
,
f [x0, x1, x2, x3] =
f [x1, x2, x3] − f [x0, x1, x2]
x3 − x0
,
...
Observe que, do lado direito de cada uma das igualdades anteriores devemos aplicar sucessivamente a
definição de diferença dividida até que os cálculos envolvam apenas o valor da função nos pontos, isso
é:
f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2] − f [x0, x1]
x1 − x0
=
=
f(x2) − f(x1)
x2 − x1
− f(x1) − f(x0)
x1 − x0
x2 − x0
Entretanto, podemos calcular as diferenças divididas de uma função, de uma maneira mais simples,
conforme segue:
Para calcular as diferenças divididas de uma função f(x) sobre os pontos x0, ..., xn, constrúımosa
tabela de diferenças divididas:
xi f [xi] f [xi, xj ] f [xi, xj , xk]...
x0 f [x0] = f0
f [x0, x1] =
f [x1] − f [xo]
x1 − x0
x1 f [x1] = f1 f [x0, x1, x2] =
f [x1, x2] − f [x0, x1]
x2 − x0
f [x1, x2] =
f [x2] − f [x1]
x2 − x1
. . .
x2 f [x2] = f2 f [x1, x2, x3] =
f [x2, x3] − f [x1, x2]
x3 − x1
f [x2, x3] =
f [x3] − f [x2]
x3 − x2
. . .
x3 f [x3] = f3 f [x2, x3, x4] =
f [x3, x4] − f [x2, x3]
x4 − x2
f [x3, x4] =
f [x4] − f [x3]
x4 − x3
... . . .
x4 f [x4] = f4
...
...
...
A tabela é constrúıda da seguinte forma:
32 Caṕıtulo 3. Interpolação
a) a primeira coluna é constitúıda dos pontos xk, k = 0, 1, ..., n
b) a segunda contém os valores de f(x) nos pontos xk, k = 0, 1, ..., n
c) nas colunas 3,4,5,... estão as diferenças divididas de ordem 1,2,3... Cada uma dessas diferenças
é uma fração cujo numerador é sempre a diferença entre duas diferenças divididas consecutivas
e de ordem imediatamente inferior, e cujo denominador é a diferença entre os dois extremos dos
pontos envolvidos.
Exemplo utilizando diferenças divididas
Pela seguinte função tabelada, construir a tabela de diferenças divididas:
x −2 −1 0 1 2
f(x) −2 29 30 31 62
Solução: Utilizando o esquema anterior, obtemos a tabela:
xi f [xi] f [xi, xj ] f [xi, xj , xk] f [xi, ..., xl] f [xi], ..., xm]
−2 −2
29 − (−2)
−1 − (−2)
= 31
−1 29 1 − 31
0 − (−2)
= −15
30 − 29
0 − (−1)
= 1
0 − (−15)
1 − (−2)
= 5
0 30
1 − 1
1 − (−1)
= 0
5 − 5
2 − (−2)
= 0
31 − 30
1 − 0
= 1
15 − 0
2 − (−1)
= 5
1 31
31 − 1
2 − 0
= 15
62 − 31
2 − 1
= 31
2 62
Assim, o elemento 0 corresponde à diferença dividida f [x1, x2, x3]. Portanto, usando a definição, segue
que: f [x1, x2, x3] =
f [x2, x3] − f [x1 − x2]
x3 − x1
e, usando o item c) anterior temos que: f [x1, x2, x3] =
1 − 1
1 − (−1)
= 0
3.4.2 Fórmula de Newton
Para obtermos a fórmula de Newton do polinômio de interpolação precisamos inicialmente definir
algumas funções. Para tanto consideremos que f(x) seja cont́ınua e que possua derivadas cont́ınuas
em [a, b] e, além disso, que os pontos x0, x1, ..., xn sejam distintos em [a, b]. Definimos então as funções:
(1) f [x0, x] =
f [x] − f [x0]
x − x0
, definida em [a, b], para x ̸= x0,
(2) f [x0, x1, x] =
f [x0, x] − f [x0, x1]
x − x1
, definida em [a, b], para x ̸= x0 e x ̸= x1,
...
3.5. Lista de Exerćıcios 33
(n+1) f [x0, x1, · · · , xn, x] =
f [x0, x1, ..., xn−1, x] − f [x0, x1, ..., xn]
x − xn
,
definida em [a, b], para x ̸= xk , k = 0, 1, ..., n.
Observe que nestas funções acrescentamos, sucessivamente, na diferença dividida, o próximo ponto
da tabela. Nosso objetivo agora é encontrar uma fórmula de recorrência para f(x). Assim de (1),
temos:
f(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x].
De (2), usando (1), obtemos:
f [x0, x1, x](x − x1) = f [x0, x] − f [x0, x1]
=> f [x0, x1, x](x − x1) =
f [x] − f [x0]
x − x0
− f [x0, x1]
=> f(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x]
De maneira análoga, de (n+1), segue que:
f(x) = {f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2]
+(x − x0)(x − x1)(x − x2)f [x0, x1, x2, x3]+...]
+(x − x0)(x − x1)...(x − xn−1)f [x0, x1, ..., xn]}1.
+{(x − x0)(x − x1)...(x − xn)f [x0, x1, ..., xn, x]}2.
Obtivemos, assim, uma fórmula de recorrência para f(x).
Sendo que {..}1 na equação anterior representa a Fórmula de Newton do Polinômio de In-
terpolação. e {..}2 é o erro de truncamento.
Pn(x) = f [x0] + (x − x0)f [x0, x1] + (x − x0)(x − x1)f [x0, x1, x2] + · · ·
+(x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1)f [x0, x1, x2, · · · , xn] = {...}1 (3.5)
Teorema:
Para x ∈ [a, b], x ̸= xk, k = 0, · · · , n,
f [x0, x1, x2, · · · , xn, x] =
fn+1(ξ)
(n + 1)!
; ξ ∈ (x0, xn).
3.5 Lista de Exerćıcios
1. A tabela a seguir relaciona o calor espećıfico da água com a temperatura. Calcular a capacidade
caloŕıfica cp da água à temperatura t = 2500C, usando interpolação.
t,0 C 200 220 240 260 280
cp,Kcal/(Kg0C) 1,075 1,102 1,136 1,183 1,250
34 Caṕıtulo 3. Interpolação
2. Seja a tabela relacionando a temperatura com a densidade do mercúrio (Hg). Determinar a
densidade ρ do mercúrio à temperatura t = 250C, usando interpolação.
t,0 C -20 20 100 200 300
ρ, g/cm3 13,645 13,546 13,352 13,115 12,881
3. Por três dias consecutivos em determinada cidade foram medidas as temperaturas que segue
indicado na tabela abaixo. Estimar a temperatura média destes 3 dias às 11h. Resposta:
TEMPM (11) = 18, 63o
Hora/Dia 1 2 3
8 16 14 17
10 19 16 18
12 22 17 20
14 25 19 23
4. Um automóvel percorreu um trajeto que liga 2 cidades de 80 km e foi registrado as distâncias
percorridas nos tempos indicados abaixo. Encontrar
a) A distância percorrida após 35 minutos Resposta: 40,3292 km.
b) O tempo para 60 km. Resposta: 49,45 minutos.
Tempo Distância
0
′
0
15
′
20 km
30
′
35 km
45
′
53 km
60
′
80 km
5. A que temperatura a água entra em ebulição no Pico da Bandeira ( altitude = 2890 m ), sabendo
que o ponto de ebulição da água varia com a altitude, conforme mostra a Tabela 3 ( usar os
cinco pontos mais próximos de 2890 m. ) Resposta: 90, 37oC
6. Usando os cinco primeiros pontos da Tabela 3 determinar o ponto de ebulição da água em um
local de Belo Horizonte que possui altitude igual a 1000 m. Resposta: 96, 66oC.
3.5. Lista de Exerćıcios 35
Tabela 3:
Altitude (m) Ponto de Ebulição da Água (o C )
850 97,18
950 96,84
1050 96,51
1150 96,18
1250 95,84
. .
. .
. .
2600 91,34
2700 91,01
2800 90,67
2900 90,34
3000 90,00
7. A velocidade do som na água varia com a temperatura. Usando os valores da Tabela 4, deter-
minar o valor aproximado da velocidade do som na água a
100 o C. Resposta:1542,94 m/s
Tabela 4:
Temp (o C) Veloc (m)
86 1552
93,3 1548
98,9 1544
104,4 1538
110 1532
8. Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2
horas e 30 minutos. A Tabela 5 dá o tempo gasto e a distância percorrida em alguns pontos
entre as duas cidades. Determine:
a) Qual foi aproximadamente a distância percorrida pelo automóvel nos primeiros 45 minutos
da viagem, considerando apenas os 4 primeiros pontos da tabela? Resposta: 42,5625 km.
b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho? Resposta: 77,84
minutos.
Tabela 5:
Tempo(min) Dist (m)
0 0
10 8
30 27
60 58
90 100
120 145
150 160
9. Considerando a função y = f(x) dada pela tabela abaixo, determine o polinômio de interpolação
utilizando a fórmula de Newton,
36 Caṕıtulo 3. Interpolação
x −1 0 1 2
f(x) −2 0 2 4
10. Dada a função y = sin x tabelada, usando a interpolação de Newton, calcular sin 1.35 e dar um
limitante superior para o erro.
x 1.2 1.3 1.4 1.5
sin x 0.932 0.964 0.985 0.997
11. Dada a tabela:
0 1 2 3 4 5 6
−1 α 5 β 7 γ 13
Calcular α, β e γ, sabendo que ela corresponde a um polinômio de terceiro grau.
12. Dada a tabela:
x −2 −1 0 1
f(x) 15 0 −1 0
Calcular f(0, 5) usando o polinômio de interpolação sobre todos os pontos.
13. A raiz de uma função pode ser aproximada pela raiz do seu polinômio de interpolação. Use uma
parábola para determinar a raiz da função tabelada a seguir:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 0.841 0.909 0.141 −0.757 −0.959 −0.279
14. Os resultados da densidade da água ρ em várias temperaturas são demonstrados na tabela a
seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
ρ 0.9999 0.9998 0.9997 0.9991 0.9982 0.9971 0.9957 0.9941 0.9902
Calcular:
a)ρ(13),
b)ρ(27).
15. Um pára-quedista realizou seis saltos, pulando de alturas distintas em cada salto. Foi testada
a precisão de seus saltos em relação a um alvo de raio de 5 metros de acordo com a altura. A
distância apresentada na tabela seguinte é relativa a circunferência.
Altura(m) Distância do Alvo(m)
1o salto 1500 35‘
2o salto 1250 25
3o salto 1000 15
4o salto 750 10
5o salto 500 7
3.5. Lista de Exerćıcios 37
Levando em consideração os dados da tabela acima, a que provável distância do alvo cairia o
pára-quedista se ele saltasse de uma altura de 850 metros? Use retae parábola.
16. Conhecendo o diâmetro e a resistividade de um fio ciĺındrico, verificou-se a resistência do fio de
acordo com o comprimento. Os dados obtidos estão indicados a seguir:
Comprimento (m) 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Resisttência(Ohms) 2.74 5.48 7.90 11.00 13.93 16.43 20.24 23.52
Usando parábolas de 2o e 3o graus determine quais serão as prováveis resistências deste fio para
o comprimento de:
a)1730 m
b)3200 m
17. Sendo 200 candelas a intensidade de uma lâmpada, foi calculada a iluminação em casos de inci-
dência normal sobre uma superf́ıcie situada a distâncias conhecidas, quando para cada distância
foi calculada a iluminação, conforme a tabela a seguir:
Distância (metros) 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50
Iluminação(Lux) 200 128 88.39 65.30 50.00 39.50 32.00
Usando parábolas de 2o e 3o graus calcular a iluminação, quando a superf́ıcie estiver situada a:
a)1.60 m da lâmpada
b)2.38 m da lâmpada
Caṕıtulo 4
Ajuste de Curvas
Na engenharia comumente faz-se o uso de medições experimentais para relacionar duas ou mais
variáveis. Objetiva-se que esta relação tenha um comportamento matemático adequado. Escreve-se
este comportamento por meio de um modelo onde tem-se a relação entre uma variável dependente
(variável resposta) com uma, ou mais, variáveis independentes. O gráfico destes pontos é chamado
diagrama de dispersão e segue na figura abaixo sua ilustracão.
Figura 4.1: Gráfico de Dispersão
Entretanto, dado um diagrama de dispersão, é pouco provável que haja uma curva que passe
exatamente por cada ponto e que descreva fielmente o sistema observado em laboratório. A razão
disto é que a obtenção de dados experimentais possuem erros inerentes ao processo. Além do mais,
algumas variáveis podem sofrer alterações durante a experiência, o que irá provocar desvios na resposta.
Como o sistema da experiência é descrito por um conjunto de pontos, então a abordagem a ser
apresentada será válida para os casos discretos. Assim, o problema de ajuste de curvas no caso
em que se tem uma tabela de pares de pontos (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn), com xi pertencentes ao
intervalo [a, b], consiste em dadas m + 1 funções g0(x), g1(x), · · · , gm(x), cont́ınuas em [a, b], obter
m + 1 coeficientes β0, β1, · · · , βm de tal forma que a combinação linear
f(x) = β0g0(x) + β1g1(x) + · · · + βmgm(x) (4.1)
se aproxime de y(x), que fornece os valores y1, y2, · · · , yn dos pontos tabelados, de tal modo que a
distancia entre f(x) e y(x) seja a menor posśıvel em algum sentido.
Este é um modelo matemático linear do sistema real pois os coeficientes βi a serem determinados
aparecem linearmente arranjados, embora as funções gi(x) possam ser não-lineares, como g0(x) = ex
e g1(x) = 1 + x2, por exemplo.
O grande problema é como escolher adequadamente estas funções. Para isto, normalmente faz-se
a observação do diagrama de dispersão para ver a forma geral dos pontos, ou então deve-se basear em
38
39
fundamentos teóricos do experimento, em geral fornecido.
O objetivo que é aproximar a função f(x) aos pontos y(x), obtidos a partir de experimentos, pode
ser solucionado minimizando a distância entre os mesmos, isto é,
dist(f(x), y(x)) = mı́nima
Define-se esta distância como sendo a norma euclidiana, ou seja, para quaisquer x, y tem-se
d(x, y) = ||x − y|| =
√
(x − y), (x − y),
e deseja-se minimizá-la ao quadrado, justificando, inclusive, o nome desta técnica, Método dos Mı́nimos
Quadrados.
D(β0, β1, · · · , βm) = dist2(f(xi), y(xi)) =
n∑
i=1
(yi − f(xi))2
=
n∑
i=1
(yi − β0g0(x) − β1g1(x) − · · · − βmgm(x))2. (4.2)
O que se busca então é determinar os βis para que D(.) seja mı́nimo.
Do cálculo diferencial, sabe-se que para determinar o valor mı́nimo de uma função (ou o seu valor
cŕıtico) deve-se derivar parcialmente esta função em relação às variáveis independentes. Dessa forma:
∂D
∂β0
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi) − β1g1(xi) − · · · − βmgm(xi)]g0(xi)
∂D
∂β1
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi) − β1g1(xi) − · · · − βmgm(xi)]g1(xi)
∂D
∂β2
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi) − β1g1(xi) − · · · − βmgm(xi)]g2(xi)
...
∂D
∂βm
= 2
n∑
i=1
[yi − β0g0(xi) − β1g1(xi) − · · · − βmgm(xi)]gm(xi)
Para simplificação de notação usaremos apenas
∑
para representar
n∑
i=1
. Igualando as equações
acima a zero e rearranjando os termos temos:
(∑
(g0(xi))2
)
β0 +
(∑
g1(xi)g0(xi)
)
β1 + · · · +
(∑
g0(xi)gm(xi)
)
βm =
∑
yig0(xi)
(∑
g0(xi)g1(xi)
)
β0 +
(∑
(g1(xi))2
)
β1 + · · · +
(∑
g1(xi)gm(xi)
)
βm =
∑
yig1(xi)
40 Caṕıtulo 4. Ajuste de Curvas
...
(∑
g0(xi)gm(xi)
)
β0 +
(∑
g1(xi)gm(xi)
)
β1 + · · · +
(∑
(gm(xi))2
)
βm =
∑
yigm(xi) ⇒
que se trata de um sistema linear que pode ser solucionado por qualquer método numérico direto
(Gauss, Jordan, LU, Gauss com pivotamento, ou outro.)

∑
(g0(xi))2
∑
g0(xi)g1(xi) · · ·
∑
g0(xi)gm(xi)∑
g0(xi)g1(xi)
∑
(g1(xi))2 · · ·
∑
g1(xi)gm(xi)
...
...
...
...∑
g0(xi)gm(xi)
∑
g1(xi)gm(xi) · · ·
∑
(gm(xi))2
 .

β0
β1
...
βm
 =

∑
yig0(xi)∑
yig1(xi)
...∑
yigm(xi)

(4.3)
As equações deste sistema são chamadas de equações normais. Nota-se que a matriz dos coeficientes
deste sistema é simétrica com relação a diagonal principal, ou seja, a parte triangular inferior é igual
a parte triangular superior.
4.1 Ajuste Linear Simples
O modelo mais simples de relacionar duas variáveis é através de uma equação de reta, caracte-
rizando o comportamento linear do sistema que foi submetido à experiência. Se a distribuição dos
pontos no diagrama de dispersão assume uma aparência de reta, então pode-se afirmar que:
g0(x) = 1
g1(x) = x
g2(x) = g3(x) = · · · = gm(x) = 0
o que faz com que o modelo matemático que se ajuste aos pontos do diagrama de dispersão seja uma
equação de reta, dada por:
f(x) = β0 + β1x (4.4)
O problema então é determinar os coeficientes β0 e β1. Sabe-se, porém, que para diferentes valores
destes coeficientes (ou parâmetros) haverá diferentes retas que se ajustam aos pontos dados. Quer-se
a melhor reta que se ajuste a estes pontos. Dessa forma, utilizando o Método dos Mı́nimos Quadrados
para minimizar a medida:
D(β0, β1) =
∑
(yi − β0 − β1xi)2
tem-se o seguinte sistema linear:(
n
∑
xi∑
xi
∑
(xi)2
)
.
(
β0
β1
)
=
( ∑
yi∑
yi.xi
)
(4.5)
Exemplo 1: Ajustar os pontos abaixo a uma reta:
4.2. Ajuste Linear Múltiplo 41
i 1 2 3 4 5
xi 1.3 3.4 5.1 6.8 8.0
yi 2.0 5.2 3.8 6.1 5.8
Resposta: y = 2.01 + 0.522x.
Pergunta: Quão bom é este ajuste?
Avaliação da Qualidade do Ajuste: A questão fundamental é qual a função que representa o
melhor ajuste entre todas as outras funções. Um método pelo qual podemos avaliar a qualidade de
um ajuste é através do coeficiente de correlação de Pearson. O coeficiente de correlação de Pearson
R2 pode ser calculado na forma mais geral como:
R2 = 1 − n
∑
(yi − yaj)2
n
∑
(yi)2 − (
∑
yi)2
(4.6)
O coeficiente de correlação é limitado aos seguintes valores: 0 < R2 < 1. Quanto mais próximo de
1 for o valor de R2, melhor será o ajuste.
4.2 Ajuste Linear Múltiplo
Quando, em uma experiência, a variável resposta depende de duas ou mais variáveis explicativas
e o gráfico de dispersão apresenta um comportamento linear, pode-se então aplicar o ajuste linear
múltiplo. Para estes casos tem-se:
g0(x) = 1
g1(x) = X1
g2(x) = X2
...
gm(x) = Xm
onde Xi, com i = 1, 2, · · · , m, são variáveis distintas entre si. Isto resulta na seguinte equação:
f(x) = β0 + β1X1 + β2X2 + · · · + βmXm (4.7)
Pode-se mostrar, de maneira análoga ao ajuste linear simples, que as estimativas de βj que mini-
mizam a soma dos quadrados dos desvios é a solução do seguinte sistema de equações lineares:

n
∑
X1i
∑
X2i · · ·
∑
Xmi∑
X1i
∑
(X1i)2
∑
X1iX2i · · ·
∑
X1iXmi∑
X2i
∑
X2iX1i
∑
(X2i)2 · · ·
∑
X2iXmi
...
...
...
...
...∑
Xmi
∑
XmiX1i
∑
XmiX2i · · ·
∑
(Xmi)2
.

b0
b1
b2
...
bm

=

∑
yi∑
X1iyi∑
X2iyi
...∑
Xmiyi

(4.8)
Exemplo 2: Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação Ŷ = b0 + b1X1 + b2X2.
42 Caṕıtulo 4. Ajuste de Curvas
i 1 2 3 4 5 6 7 8
x1i -1 0 1 2 4 5 5 6
x2i -2 -1 0 1 1 2 3 4
yi 13 11 9 4 11 9 1 -1
Resposta: b0 = 4.239; b1 = 3.4; b2 = −6.464; R2 = 0.977
4.3 Ajuste Polinomial
Um caso especial de ajuste de curvas ocorre quando o diagrama de dispersão não apresenta as
caracteŕısticas lineares presentes nos outros tipos de ajuste. Nestas situações pode-se realizar o ajuste
polinomial utilizando as seguintes funções gi(x).
g0(x) = 1
g1(x) = x
g2(x) = x2
...
gm(x) = xm
Deste modo, tem-se a seguinte equação:
f(x) = β0 + β1x + β2x2 + · · · + βmxm (4.9)
ou seja, f(x) é um polinômio de grau m.
Para o ajuste polinomial de curvas, o sistema linear torna-se:

n
∑
xi
∑
(xi)2 · · ·
∑
(xi)m∑
xi
∑
(xi)2
∑
(xi)3 · · ·
∑
(xi)m+1∑
(xi)2
∑
(xi)3
∑
(xi)4 · · ·
∑
(xi)m+2
...
...
...
...
...∑
(xi)m
∑
(xi)m+1
∑
(xi)m+2 · · ·
∑
(xi)2m

.

b0
b1
b2
...
bm

=

∑
yi∑
xiyi∑
(xi)2yi
...∑
(xi)myi

(4.10)
Exemplo 3: Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação Ŷ = b0 + b1X + b2X2.
i 1 2 3 4 5 6
xi -2 -1.5 0 1 2.2 3.1
yi -30.5 -20.2 -3.3 8.9 16.8 21.4
Resposta: b0 = −2.018; b1 = 11.33; b2 = −1.222; R2 = 0.977
4.4 Casos Não-Lineares
Nos casos em que a famı́lia de funções gi(x) é não-linear faz-se necessário linearização das mesmas.
É importante observar que os parâmetros assim obtidos não são ótimos dentro do critério dos mı́nimos
4.4. Casos Não-Lineares 43
quadrados. Isto porque o que se ajusta é o problema linearizado, e não o original.
Nosso objetivo consiste na linearização do problema, através de transformações convenientes, de
modo que o método dos mı́nimos quadrados possa ser aplicado. Ilustra-se na sequencia alguns casos.
1. Para aproximar a função exponencial do tipo y = a.ebx faz-se a linearização, por uma trans-
formação logaŕıtma: ln y = ln a + bx, sendo que para reduzir este ao problema original (linear)
basta escolher f(x) = ln y, β0 = ln a, β1 = b; g0(x) = 1 e g1(x) = x.
2. Para aproximar a função exponencial do tipo y = a.bx faz-se a linearização, por uma transfor-
mação logaŕıtma: ln y = ln a + x. ln b, sendo que para reduzir este ao problema original (linear)
basta escolher f(x) = ln y, β0 = ln a, β1 = ln b; g0(x) = 1 e g1(x) = x.
3. Para aproximar a função geométrica do tipo y = a.xb faz-se a linearização, por uma transfor-
mação logaŕıtma: ln y = ln a + b. ln x, sendo que para reduzir este ao problema original (linear)
basta escolher f(x) = ln y, β0 = ln a, β1 = b; g0(x) = 1 e g1(x) = ln x.
4. Para aproximar a função hiperbólica do tipo y =
1
a + bx
faz-se a linearização:
1
y
= a + bx,
sendo que para reduzir este ao problema original (linear) basta escolher f(x) =
1
y
, β0 = a, β1 =
b; g0(x) = 1 e g1(x) = x.
5. Para aproximar a função do tipo y =
√
a + bx faz-se a linearização: y2 = a + bx, sendo que para
reduzir este ao problema original (linear) basta escolher f(x) = y2, β0 = a, β1 = b; g0(x) =
1 e g1(x) = x.
6. Para aproximar a função do tipo y = x ln (a + bx) faz-se a linearização, por uma transformação
logaŕıtma: e
y
x = a + bx, sendo que para reduzir este ao problema original (linear) basta escolher
f(x) = e
y
x , β0 = a, β1 = b; g0(x) = 1 e g1(x) = x.
7. Para aproximar a função do tipo y =
a + x2
b + x
faz-se a linearização: y(b + x) = a + x2 ⇒ by =
a + x2 − xy ⇒ y = a
b
− 1
b
(xy − x2), sendo que para reduzir este ao problema original (linear)
basta escolher f(x) = y, β0 =
a
b
, β1 = −
1
b
; g0(x) = 1 e g1(x) = xy − x2.
Outros exemplos de linearização:
1. y = a.xb1.x
c
2.x
d
3 ⇒ ln y = ln a + b. ln x1 + c. ln x2 + d. ln x3
2. y = ea+bx1+cx2 ⇒ ln y = a + bx1 + cx2
3. y =
1
a + bx1 + cx2
⇒ 1
y
= a + bx1 + cx2
4. y =
1
1 + ea+bx1+cx2
⇒ ln
(
1
y
− 1
)
= a + bx1 + cx2
Exemplo 4: Ajustar os pontos abaixo à equação Ŷ = aebX :
i 1 2 3 4 5
xi 0.1 1.5 3.3 4.5 5
yi 5.9 8.8 12 19.8 21.5
44 Caṕıtulo 4. Ajuste de Curvas
Resposta: a = 5.66; b = 0.2646; R2 = 0.982 Ou ainda, na forma linear: ln z = 1.734 + 0.2646x
Exemplo 5: Ajustar os pontos da tabela do exerćıcio anterior à equação ŷ = abx e compare os
resultados.
4.5 Forma Matricial para gerar as Equações Normais
Sejam os n pares de pontos (x1, y1), (x2, y2), · · · , (xn, yn).
Supondo que o modelo matemático dos pontos experimentais seja uma reta, f(x) = β0 + β1x
pode-se escrever estes valores na forma matricial:
A =

1 x1
1 x2
...
...
1 xn
 ; y =

y1
y2
...
yn
 e x =
(
β0
β1
)
.
A solução deste problema, por mı́nimos quadrados, é resolver o sistema linear dado por
(AT A)x = AT y. (4.11)
Percebe-se que resolver o sistema linear acima citado é o mesmo que resolver o sistema citado na
seção 4.1. Ou seja,
AT A =
(
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
)
.

1 x1
1 x2
...
...
1 xn
 =
(
n
∑
xi∑
xi
∑
(xi)2
)
. (4.12)
AT y =
(
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn
)
.

y1
y2
...
yn
 =
( ∑
yi∑
xiyi
)
. (4.13)
De forma análoga, se o modelo matemático dos pontos experimentais for expandido para o ajuste
na forma polinomial de grau m, f(x) = β0 + β1x + β2x2 + · · · + βmxm tem-se:
A =

1 x1 x21 · · · xm1
1 x2 x22 · · · xm2
...
...
... · · ·
...
1 xn x2n · · · xmn
 e x =

β0
β1
...
βm
 .
Cuja solução também é resolver o sistema linear dado acima 4.11.
4.6 Usando a Calculadora CASIO fx-82MS
A calculadora cient́ıfica CASIO traz algumas ferramentas que nos auxiliam nas principais funções
de ajustes de curvas. Segue o passo a passo.
4.6. Usando a Calculadora CASIO fx-82MS 45
1. Limpar a calculadora: Utilize a tecla SHIFT MODE 3 = = .
2. Escolher a função: Utilize a tecla MODE para selecionar o modo REG. Neste modo, a telca
M+ funciona como a tecla DT .
3. Ao selecionar o modo REG a calculadora exibirá as seguintes telas.
LIN(1) LOG(2) EXP(3) I PWR(1) INV(2) QUAD(3)
4. Basta pressionar a tecla numérica ( 1 , 2 ou 3 ) que corresponde ao tipo de ajuste que deseja
utilizar.
1 (Lin) : Regressão Linear
2 (Log) : Regressão Logaŕıtmica
3 (Exp) : Regressão Exponencial
I 1 (Pwr) : Regressão de Potência
I 2 (Inv) : Regressão Inversa
I 3 (Quad) : Regressão Quadrática
5. Para introduzir os dados use a seguinte sequência de teclas: <dados-x> , <dados-y> DT
6. Os resultados podem ser chamados usando as teclas seguintes.
Valor Operação∑
x2 SHIFT S-SUM 1∑
x SHIFT S-SUM 2
n SHIFT S-SUM 3∑
y2 SHIFT S-SUM I 1∑
y SHIFT S-SUM I 2∑
xy SHIFT S-SUM I 3
Coeficiente A SHIFT S-VAR I I 1
Coeficiente B SHIFT S-VAR I I 2
Coeficiente r SHIFT S-VAR I I 3∑
x3 SHIFT S-SUM I I 1∑
x2y SHIFT S-SUM I I 2∑
x4 SHIFT S-SUM I I 3
Coeficiente C SHIFT S-VAR I I 3
7. Tipos de ajustes possiveis:
Linear y = A + Bx
Quadrática y = A + Bx + Cx2
Logaŕıtmica y = A + B ln x
Exponencial y = AeBx
Potência y = A.xB
Inversa y = A + B.
1
x
46 Caṕıtulo 4. Ajuste de Curvas
4.7 Lista de Exerćıcios
1. Ajustar os pontos abaixo a uma reta:
i 1 2 3 4 5 6
xi -2.0 -0.5 1.2 2.1 3.5 5.4
yi 4.4 5.1 3.2 1.6 0.1 -0.4
Fazer o diagrama de dispersão com a reta encontrada. Encontrar o coeficiente de determinação.
Resposta: ŷ = 3.62 − 0.798x, R2 = 0.889
2. Considerando a tabela abaixo, calcule o coeficiente de determinação R2 do modelo
u = b0 + b1x
i 1 2 3 4
x 1.4 2.1 3.0 4.4
y 4.2 2.3 1.9 1.1
3. (CAMPOS, [10]) Transforme os modelos abaixo em relações lineares:
a) y =
a
b + cx
,
b) y = abx,
c) y =
a
b + x
,
d) y =
1
1 + ebx
.
4. Deduza as equações normais para o modelo u = b1x1 + b2x2.
5. (CAMPOS, [10]) Seja a tabela:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
yi 0.01 0.05 0.08 0.14 0.18 0.26 0.44 0.51 0.79 1.02
Qual dos modelos abaixo é o melhor? Por quê?
a) u = b0 + b1x,
b) u = b0 + b1x + b2x2,
c) u = b0