Unidade 3 - Funções Polinomiais e Racionais

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1 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
 
 
 
 
 
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE CAMPINAS 
Química - CEATEC 
Matemática A 
Prof. Miro 
valdomiro.santos@puc-campinas.edu.br 
 
Unidade 3 – Funções polinomiais e racionais 
 
Avaliações 
T1 P1 T2 P2 P3 P4 
05/03 20/03 17/04 07/05 05/06 19/06 
 
Exercícios para aula 
 
Introdução às funções reais: domínio e imagem 
 
Definição: uma função real, geralmente 
representada por : Df → , é uma regra que 
associa a cada número real x do seu domínio D um 
número real y, chamado de imagem de x e denotado 
por ( )y f x= . 
O Domínio D da função f é o conjunto dos números 
reais que satisfazem as restrições ou condições de 
existência da função, isto é, os valores reais de x que 
podem ser utilizados na função. 
A Imagem Im( )f é o conjunto dos números reais 
( )y f x= , isto é, são os números que podem ser 
obtidos da função f (resultados possíveis para f ). 
 
1) Considere a função real f cujo gráfico está 
representado abaixo. 
 
 
 
a) Determine o domínio D da função f . 
b) Determine a imagem Im( )f da função f . 
c) Qual é o valor máximo da função f ? 
 
2) Determine o domínio D de cada uma das funções 
reais a seguir: 
a) ( ) 2 6f x x= + 
b) ( )
12
3
f x
x
=
−
 
c) ( )
4 2
2 4
f x
x
x
=
+
−
 
d) 
2
( )
3 4
5 6
f x
x
x x
=
+
− +
 
e) ( ) 4f x x= − 
f) 
2
( )
2
9
f x
x
x
=
−
−
 
 
 
Função polinomial do 1º grau e função afim 
 
Definição 1: toda função real :f → que pode 
ser escrita na forma y ax b= + , isto é, ( )f x ax b= +
, com ,a b , é chamada de função afim, onde a 
é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
 
Definição 2: toda função afim pode ser reclassificada: 
• Se 0a = , a função afim é função constante; 
• Se 0a  , a função afim é função do 1º grau. 
 
Raiz (ou zero) de uma função do 1º grau 
 
Definição: dada uma função do 1º grau 
( )f x ax b= + , chama-se raiz de f(x) ou zero de 
f(x) ao valor r de x tal que ( ) 0f r = , isto é, r anula o 
valor da função. 
 
3) Determine a raiz e represente graficamente as 
funções afim a seguir: 
a) ( ) 2 6f x x= + 
b) ( ) 2 6f x x= − + 
c) ( ) 60 5f x x= − 
d) ( ) 3f x x= 
e) ( ) 3f x = 
f) ( ) 5 60, com 2 8f x x x= − +   
 
Funções definidas por partes 
 
4) Faça o gráfico da função 
a) ( )
2 16, se 3
2 4, se 3
f x
x x
x x
=
− + 
+ 


 
b) ( )
2 20, se 5
2 4, se 3
10, se 3 5f x
x x
x x
x=
− + 
+ 

 


 
 
Significado dos parâmetros a e b 
 
5) Considere uma função afim qualquer
( )f x ax b= + . Sejam 
1 1 1( , )P x y e 2 22( , )P x y dois 
pontos distintos do gráfico de ( )f x . 
a) Mostre que 
y
x
a


= , onde 2 1
2 1
y
x
y y
x x


−
=
−
. 
b) Mostre que o gráfico passa por (0, b ). 
 
 
2 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
Expressão da função afim ou equação da reta 
 
Sabemos que uma função afim :f → sempre 
tem a forma ( )f x ax b= + . Portanto, para 
determinar a expressão da função, basta 
determinarmos os valores dos coeficientes a e b . 
 
Quando são conhecidos 2 pontos do gráfico de f, 
há 3 estratégias bem populares para se determinar a 
expressão da função afim (equação da reta) que passa 
pelos dois pontos dados, a saber: 
 
1ª) Resolver o sistema linear 2x2 decorrente: 
 
2ª) Determinar o coeficiente a e substituir na 
expressão da função. 
• Coeficiente angular a (taxa de variação): 
2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( )
 ou 
y y f x f xy
a a
x x x x x
− −
= = =
 − −
 
• Para obter o coeficiente linear b : 
Basta substituir um dos pontos (
1
P ou 2P ) na 
expressão após calcular o valor de a . 
 
3ª) Utilizar a equação fundamental da reta: 
0 0( )y y m x x− = − 
 0 0( , )x y → qualquer um dos pontos da reta. 
 m a= → taxa de variação (coeficiente angular). 
 
6) Determine a expressão da função afim (equação 
da reta) que passa pelos pontos: 
a) 1(1, 3)P e 2 (4, 9)P 
b) 
1
(5,100)P e 
2
(10,80)P 
 
Aplicações de funções afim e de 1º grau 
 
Resolução de inequações e o sinal da função afim 
 
7) Resolva as inequações a seguir fazendo o estudo 
do sinal da função polinomial envolvida na 
inequação. 
a) ( 2)(5 ) 0x x− −  
b) 
1
0
8 2
x
x
−

−
 
 
8) O volume V de água restante em um reservatório 
é modelado pela função linear ( ) 5 200V t t= − + , 
onde V(t) é o volume de água restante no 
reservatório no instante t, sendo o tempo dado em 
horas e o volume restante em metros cúbicos. 
a) Qual é a taxa de vazão da água desse 
escoamento? 
b) Quantas horas tinham decorrido de 
escoamento quando o volume restante no 
reservatório chegou a 80 m3? 
c) Quantas horas são necessárias para esvaziar 
este reservatório? 
 
9) Um certo móvel está se deslocando com 
velocidade em função do tempo expressa por uma 
função da forma v at b= + . Sabe-se que 
Instante (em s) Velocidade (em m/s) 
3 45 
5 35 
 
a) Qual é a taxa de variação da velocidade em 
função do tempo? 
b) Qual é a expressão da função velocidade? 
c) Faça o gráfico da velocidade mostrando as 
intersecções com os eixos coordenados. 
 
Função polinomial do 2º grau (quadrática) 
 
Definição: toda função real :f → que pode ser 
escrita na forma 
2y ax bx c= + + , isto é,
2( )f x ax bx c= + + , com 0a  , é chamada de 
função polinomial do 2º grau (ou função 
quadrática) e tem como gráfico uma parábola. 
 
10) Considere a família de funções
2( ) Cf x x= + , 
onde C é uma constante real. Represente a 
família de curvas para 0, 2 e 2C C C= = = − . 
 
Técnicas para construir o gráfico (parábola) 
 
• 1ª: utilizar o vértice e dois pontos simétricos 
Toda parábola tem vértice no ponto ( , )V VV x y , 
onde 
2
V
b
x
a
−
= e ( ) ou = 
4
V V Vy f x y
a
−
= . Além 
do vértice, utilize dois pontos apropriados que 
sejam simétricos ao eixo de simetria da parábola. 
 
• 2ª: utilizar as raízes e o vértice ( 0  ) 
Só se aplica quando 0  , pois, neste caso, a 
função tem duas raízes reais e distintas 1x e 2x . 
Logo, o gráfico intercepta o eixo x nos pontos 
1( ,0)x e 2( ,0)x . Usando também o vértice 
( , )V VV x y , temos os três pontos necessários para 
fazer o gráfico. 
 
Máximos e mínimos em uma função do 2º grau 
 
O Vy de uma parábola pode ser o valor máximo ou o 
valor mínimo da função do 2º grau, dependendo do 
sinal do parâmetro a e de restrições de domínio. 
• Se 0a  , a parábola tem concavidade voltada 
para baixo → Vy é o valor máximo da função; 
• Se 0a  , a parábola tem concavidade voltada 
para cima → Vy será o valor mínimo da função. 
 
 
 
 
 
3 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
11) Faça o gráfico das funções, determine o valor 
extremo que a função assume e dê a imagem. 
a) 
2( ) 6 5f x x x= − + − 
b) 
2( ) 10f x x x= − + 
c) 
2( ) 10f x x x= − 
d) 
2( ) 4 7f x x x= − + − 
e) 
2( ) 10 30v t t t= − + 
 
Inequações (desigualdades) do 2º grau 
 
Análise do sinal da expressão (análise gráfica) 
 
A melhor maneira de resolver uma inequação do 2º 
grau é por análise gráfica do sinal da expressão. 
 
12) Considere a função
2( ) 8 12f x x x= − + . 
a) Represente graficamente esta função. 
b) Analise o sinal de ( )f x , em função de x. 
c) Resolva a inequação
2 8 12 0x x− +  . 
d) Resolva a inequação
2 8 12 0x x− +  . 
 
13) Considere a função
2( ) 10f x x x= − + . 
a) Represente graficamente esta função. 
b) Resolva a inequação
2 10 0x x− +  . 
c) Resolva a inequação
2 10 21x x− +  . 
d) Interprete esta solução no gráfico do itema. 
 
Funções do 2º grau com restrição de domínio 
 
14) Para cada função a seguir, faça o gráfico, calcule 
os valores máximo e mínimo e dê a imagem. 
a) 
2
( ) 2 8 12f x x x= − + , com 1 4x−   . 
b) 
2
( ) 12f x x x= − + , com 1 5x  . 
 
Expressão da função do 2º grau 
 
15) Obtenha a expressão (fórmula matemática) da 
função do segundo grau cujo gráfico passa pelos 
pontos A(0, -3), B(1, -4) e C(2, -3). 
 
16) Obtenha a expressão (fórmula matemática) da 
função do segundo grau cujo gráfico passa pelos 
pontos A(0, 0), B(1, 10) e C(6, 0). 
 
Aplicações de função do 2º grau 
 
17) A velocidade v de uma reação química depende 
da temperatura t e pode ser modelada pela 
função quadrática 
2( ) 0,25 30 26v t t t= − + + , 
onde ( )v t é a velocidade à temperatura t , dada 
graus Celsius (0C). 
a) Qual é a temperatura que faz com que a 
velocidade da reação seja máxima? 
b) Qual é a velocidade máxima atingida por esta 
reação? 
c) Faça um esboço do gráfico. 
18) A quantidade y de reagente, em mililitros, 
restante em uma reação química foi modelada 
pela função quadrática 
2
40 400y x x= − + , onde 
x é o tempo decorrida da reação, em minutos. 
Esse modelo só é válido para 0x  e enquanto o 
gráfico for decrescente. 
a) Faça um esboço do gráfico do decaimento do 
reagente. 
b) Qual é a quantidade inicial de reagente? 
c) Em quantos minutos a quantidade de reagente 
irá zerar? 
d) Em que instante a quantidade de reagente 
será decairá para 100 mililitros? 
 
19) Uma calha será construída a partir de folhas 
metálicas em formato retangular, cada uma 
medindo 1 m por 40 cm. Fazendo-se duas dobras 
de largura x, paralelas ao lado maior de uma 
dessas folhas, obtém-se três faces de um bloco 
retangular, como mostra a figura abaixo. 
 
a) Obtenha uma expressão para o volume desse 
bloco retangular em termos de x, isto é, 
escreva a função V(x) que expressa o volume 
(capacidade) da calha em função da medida x. 
b) Determine o domínio da função volume v(x). 
c) Determine a imagem da função volume v(x). 
d) Qual deve ser o valor de x (largura da dobra) 
para que a capacidade (volume) da calha seja 
a maior possível? 
e) Qual é a capacidade (volume) máxima dessa 
calha, em litros? 
 
20) Um terreno, na forma de triângulo retângulo, tem 
catetos de medidas 60 metros e 80 metros. Um 
engenheiro pretende construiu uma casa 
retangular, com lados paralelos aos catetos do 
triângulo e, de tal modo, que área da construção 
seja a maior possível, conforme ilustrado a seguir. 
 
a) Usando semelhança de triângulos, é possível 
determinar uma equação linear (função do 1º 
grau) que relaciona o comprimento x e a 
altura y do retângulo da figura. Determine y 
em função de x, isto é, y(x). 
b) É possível determinar uma função f(x) que 
expressa a área da casa apenas em função do 
comprimento x do retângulo. Determine tal 
função. 
c) Determine o domínio da função f(x). 
 
4 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
d) Determine a imagem da função f(x). 
e) Determine o valor de x para que a área do 
retângulo seja máxima. 
f) Determine a área máxima possível para este 
retângulo. 
 
21) A figura abaixo é de um túnel cuja curvatura pode 
ser aproximada por um arco de parábola. 
 
Sabe-se que a entrada tem 18 m de largura 
máxima e 6 metros de altura máxima. Para obter 
a função que modela a curvatura do túnel, adote 
as seguintes convenções: 
• O sistema de coordenadas cartesianas tem 
origem no canto inferior esquerdo. 
• O sentido positivo do eixo x aponta à direita; 
• O sentido positivo do eixo y aponta para cima; 
• h(x) representa a altura do túnel acima de um 
ponto x do eixo x. 
a) Obtenha a expressão da função h(x). 
b) Qual é o domínio da função h(x)? 
c) Qual é a imagem da função h(x)? 
d) Qual é a altura do túnel sobre o ponto x = 3? 
e) Nesta rodovia, a largura de cada pista é de 
2,58 m e a altura mínima do túnel sobre cada 
pista deve ser de 4 m. Quantas pistas é 
possível construir neste local? Justifique. 
 
Funções polinomiais (polinômios) 
 
Toda função :f →
 
que pode ser escrita na forma 
1 2 2
1 2 2 1 0( )
n n n
n n nf x a x a x a x a x a x a
− −
− −= + + + + + +
, com 0na  , é chamada de função polinomial de 
grau n. 
 
22) Represente graficamente as funções polinomiais. 
a) 
3
( )f x x= 
b) 
3
( ) ( 2)f x x= − 
c) 
4
( )f x x= 
d) 
4
( ) ( 2)f x x= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções racionais 
 
Uma função racional ( )R x é dada pela razão de dois 
polinômios, isto é, ( )
( )
( )
R x
p x
q x
= , sendo q(x) um 
polinômio não nulo. 
 
23) Seja a função custo total ( ) 10 200C x x= + . 
a) Calcule o custo médio (por unidade) para a 
produção de 5 unidades. 
b) Calcule o custo médio (por unidade) para a 
produção de 10 unidades. 
c) Obtenha a expressão da função racional que 
representa o custo médio CM(x) por unidade 
para a produção de x unidades (x > 0). 
d) Faça o gráfico da função custo médio CM(x). 
 
24) Faça o gráfico das funções racionais a seguir e 
determine as equações das assíntotas horizontais 
e verticais. 
a) 
1
( )
3
f x
x
=
−
 
b) 
1
( ) 2
3
f x
x
= +
−
 
c) 
1
( )
5
x
f x
x
+
=
−
 
 
25) Considere as funções racionais 
2
1
( )
1
f x
x
=
+
 e 
2
10
( )
1 ( 3)
g x
x
=
+ −
. 
a) Faça os gráficos dessas funções. 
b) Determine a imagem de cada função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
Exercícios para prática e aplicações 
 
1) Considere a função real f cujo gráfico está 
representado abaixo. 
 
a) Determine o domínio D da função f. 
b) Determine a imagem Im(f) da função f. 
c) Qual é o valor máximo da função f? 
d) Qual é o valor mínimo da função f? 
 
2) Determine o domínio D de cada uma das funções 
reais a seguir (resolva analiticamente estudando o 
sinal da expressão, sem usar o gráfico de função): 
a) ( ) 3 6f x x= − 
b) ( )
8 1
6
f x
x
x
=
+
−
 
c) ( )
4 2
2 10
f x
x
x
=
+
+
 
d) 
2
( )
2 1
2 18
f x
x
x
=
+
−
 
e) 
2
( )
7 10
f x
x
x x
=
− +
 
f) ( ) 5f x x= + 
g) ( ) 20 2f x x= − 
h) ( )
19 1
5
f x
x
x
=
−
−
 
i) 
2
( ) 16f x x= − 
 
3) Em cada caso, explicite os pontos nos quais cada 
função intercepta os eixos coordenados ( x e y ). 
a) ( ) 5 3f x x= + 
b) ( ) 20 4f x x= − 
c) ( ) 12
3
x
f x = − + 
d) ( ) 2f x x= 
e) ( ) 2f x = 
 
4) Faça o gráfico da função 
a) ( )
2 6, se 1
2 2, se 1
f x
x x
x x
=
− + 
+ 


 
 
 
 
 
b) ( )
4, se 2
4, se 2
2, se 2 2f x
x x
x x
x=
− + 
+  −

−  


 
 
5) Determine a função afim cujo gráfico passa pelos 
pontos: 
a) (1, 3)A − e (4, 6)B 
b) (5,180)P e (15, 60)Q 
 
6) Uma barra de ferro com temperatura inicial de -
10°C foi aquecida até 30°C. 
 
O gráfico anterior representa a variação da 
temperatura da barra em função do tempo gasto 
nessa experiência. 
a) Denotando como x o tempo, em minutos, e 
como y a temperatura, obtenha a expressão 
da função. 
b) Calcule em quanto tempo (minutos e 
segundos), após o início da experiência, a 
temperatura da barra atingiu 0°C. 
 
7) O valor v(t) de um equipamento em função do 
tempo de uso é dado por ( ) 6000 100v t t= − , onde 
t é o tempo de uso, em meses, e v(t) é o valor no 
instante t, em reais. 
a) Faça o gráfico de v(t), observando o domínio. 
b) Qual é a taxa de desvalorização mensal? 
c) Qual é a vida útil desse equipamento? 
 
8) Dadas as funções afim ( ) 3 8f x x= + e 
( ) 4 4g x x= + , faça o que se pede: 
a) Determine o ponto de intersecção dos gráficos 
das funções ( )f x e ( )g x . 
b) Faça os gráficos dessas funções emum 
mesmo plano cartesiano evidenciando o ponto 
de intersecção. 
c) Para que valores de x se tem ( ) ( )g x f x ? 
 
9) O reservatório A perde água a uma taxa constante 
de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B 
ganha água a uma taxa constante de 12 litros por 
hora. No gráfico, estão representados, no eixo y , 
os volumes, em litros, da água contida em cada 
um dos reservatórios, em função do tempo, em 
horas, representado no eixo x . 
 
6 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
 
Seja ( )f x a função afim que representa o volume 
do reservatório A, em função do tempo x , dados 
em horas. Seja ( )g x a função que representa o 
volume do reservatório B, também em função do 
tempo x . 
a) Determine as expressões das duas funções 
( )f x e ( )g x . 
b) Determine o tempo 0x , em horas, indicado no 
gráfico. 
 
10) Um administrador precisa contratar uma 
consultoria. Na região, existem duas empresas de 
consultoria com os seguintes planos de cobrança: 
Opção/custo Taxa fixa (R$) Custo/dia (R$) 
Consultoria A 2.000,00 400,00 
Consultoria B 3.440,00 320,00 
Considere como x o número de dias do serviço e: 
( )
A
C x : custo total de x dias da consultoria A. 
( )
B
C x : custo total de x dias da consultoria B. 
a) Escreva as expressões das funções custo total. 
b) Determine o ponto de intersecção dos gráficos 
das funções. 
c) Represente as duas funções em um mesmo 
plano e explicite o ponto de intersecção. 
d) Qual deve ser a estratégia de decisão do 
administrador? 
 
11) O custo mensal C de certo plano de assinatura de 
um site é uma função afim que depende do volume 
v (em Gb) de conteúdo baixado pelo usuário, mais 
uma parcela fixa. 
• Em certo mês, o usuário baixou 4Gb de 
conteúdo e o custo total foi de R$26,00; 
• No mês seguinte, ele baixou 8Gb e o custo 
total da assinatura foi de R$32,00. 
a) Escreva a expressão da função C(v) = av+b. 
b) Represente graficamente a função C(v). 
 
12) O gráfico a seguir representa a velocidade v(t), em 
m/s, de um ponto móvel no instante t, em 
segundos. Estão em destaque os pontos A(5, 60) 
e B(10, 40). 
 
a) Obtenha a função do 1º grau v(t) = at + b 
que está representada neste gráfico. 
b) Em que instante a velocidade será nula? 
13) O gráfico abaixo é a representação de uma função 
de mais de uma sentença (função definida por 
partes). Determine a expressão desta função. 
Dica: use pontos identificáveis na malha. 
 
 
 
 
14) Determine o valor extremo que cada uma das 
funções quadráticas abaixo assume (indicando se 
é máximo ou mínimo) e explicite a imagem. 
a) 
2( ) 12 6f x x x= − + − 
b) 
2( ) 80R p p p= − + 
c) 
2( ) 2 12 38f x x x= − + 
d) 
2( ) 8 232v t t t= − + 
 
15) Seja a família de funções 
2( )f x c x= − , onde c 
é uma constante real. Represente graficamente, 
em um mesmo plano cartesiano, essa família de 
curvas para 0c = , 1c =  e 2c =  . 
 
16) Seja a família de funções 
2( ) ( )f x x c= + , onde c 
é uma constante real. Represente graficamente, 
em um mesmo plano cartesiano, essa família de 
curvas para 0c = , 1c =  e 2c =  . 
 
17) A velocidade v de uma reação química depende 
da temperatura t e pode ser modelada pela 
função quadrática 
2( ) 0,5 40 30v t t t= − + + , 
onde ( )v t é a velocidade à temperatura t , dada 
graus Celsius (0C). 
a) Qual é a temperatura que faz com que a 
velocidade da reação seja máxima? 
b) Qual é a velocidade máxima atingida por esta 
reação? 
 
18) A quantidade y de reagente, em miligramas, 
restante em uma reação química foi modelada 
pela função quadrática 
2
20 100y x x= − + , onde 
x é o tempo decorrida da reação, em minutos. 
Esse modelo só é válido para 0x  e enquanto o 
gráfico for decrescente. 
a) Faça um esboço do gráfico do decaimento do 
reagente. 
b) Qual é a quantidade inicial de reagente? 
c) Em quantos minutos a quantidade de reagente 
irá zerar? 
d) Em que instante a quantidade de reagente 
será decairá para 36 miligramas? 
 
7 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
19) Um reservatório de água está sendo esvaziado 
para limpeza. A quantidade de água restante no 
reservatório, t horas após o escoamento ter 
começado, é dada por 
2
( ) 60 900V t t t= − + , 
válida para o intervalo 0 30t  , onde ( )V t 
indica o volume de água, em metros cúbicos, 
restante no reservatório num instante t qualquer, 
sendo t o tempo dado em horas. 
a) Faça um esboço do gráfico no intervalo dado. 
b) Qual é o volume de água restante no 
reservatório após 5 horas de escoamento? 
c) Em que instante, do intervalo considerado, o 
volume restante é de 400 m3? 
d) Em que instante o reservatório ficará 
completamente vazio? 
 
20) Resolva as inequações a seguir. 
a) 
2 12 20 0x x− + −  . 
b) 
2 8 7x x− +  . 
c) 
2 75 20x x+  . 
d) 
2 60 500p p− +  
 
21) Considere que a temperatura T, em oC, de um 
equipamento após decorridos t minutos de uso 
seja dada por 
2( ) 40 25T t t t= − + + , onde T(t) 
indica a temperatura no instante t. 
a) Em que instante a temperatura máxima é 
atingida? 
b) Qual é a temperatura máxima atingida? 
c) Em que intervalo de tempo a temperatura se 
mantém maior ou igual a 200oC? 
d) Faça uma ilustração que mostre a análise 
gráfica desse problema. 
 
22) Para delimitar uma área a ser utilizada como 
depósito retangular, um engenheiro está 
estudando as possíveis dimensões do retângulo, 
utilizando como um dos lados uma parede extensa 
(reta AD) já existente. Para isso, ele precisa 
construir outras três paredes, conforme a figura. 
 
 
A empresa dispõe de material para construir 
apenas 120 m lineares de parede. Utilizando este 
limitante, ele pretende obter a área máxima 
possível para o retângulo. Considerando como x a 
largura AB do retângulo, a área A(x) deste pode 
ser expressa apenas em função de x . 
a) Determine a função A(x) que expressa a área 
do retângulo em função de x . 
b) Determine o domínio da função A(x) 
c) Faça um esboço do gráfico da função A(x). 
d) Qual dever ser a largura x para que a área 
seja máxima? 
e) Qual é a área máxima possível? 
 
23) A parábola representada abaixo representa o 
modelo geométrico do perfil de uma passagem em 
certa ferrovia. A largura e a altura máximas são 
de 5 m. 
 
Seja h(x) a altura da parábola em um ponto x do 
eixo x . 
a) Determine h(x) em função de x . 
b) No ponto 1x = , qual é a altura da parábola? 
c) Um vagão que tenha 4,2 m de altura total 
poderá ter no máximo quanto de largura para 
passar neste espaço? 
 
24) Um triângulo isósceles ABC tem altura de 8 cm e 
base BC = 6 cm. Neste triângulo será inscrito um 
retângulo MNPQ de tal forma que o lado MN está 
sobre o lado BC do triângulo, o vértice P pertence 
ao lado AC e o vértice Q, ao lado AB. Sejam x a 
medida da altura PN do retângulo e y a medida da 
largura MN. 
a) Determine y em função de x . 
b) Determine a função área A(x) do retângulo em 
função apenas da altura x . 
c) Quais devem ser as dimensões do retângulo 
(largura e altura) para que a área seja 
máxima? 
d) Qual é a área máxima possível? 
 
25) Para cada função racional a seguir, faça um esboço 
do gráfico, determine o domínio, a imagem e as 
equações das assíntotas (quando existirem). 
a) 
1
( )f x
x
= 
b) 
2
1
( )f x
x
= 
c) 
1
( )
x
f x
x
+
= 
d) 
3
( )
2
x
f x
x
+
=
+
 
e) 
2
( )
60
1
f x
x
=
+
 
f) 
2
( )
20
( 5) 1
f x
x
=
− +
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
Gabarito dos exercícios para prática e aplicações 
 
1) Respostas:a) D=[1, 4[ 
b) Im(f)=[2, 6] 
c) Máximo = 6 
d) Mínimo = 2 
2) Respostas: 
a) D = 
b) { | 6}D x x=   
c) { | 5}D x x=   − 
d) { | 3}D x x=    
e) { | 2 e 5}D x x x=    
f) { | 5} [ 5, [D x x=   − = −  
g) { | 10} ] ,10]D x x=   = −  
h) { | 5} ]5, [D x x=   =  
i) { | 4 4} [ 4, 4]D x x=  −   = − 
 
3) Intercepta 
a) O eixo y em (0, 3) e o eixo x em (-3/5, 0). 
b) O eixo y em (0, 20) e o eixo x em (5, 0). 
c) O eixo y em (0, 12) e o eixo x em (36, 0). 
d) Ambos os eixos na origem (0, 0). 
e) O eixo y em (0, 2) e não intercepta o eixo x. 
 
4) Respostas 
a) Gráfico 
 
 
b) Gráfico 
 
 
5) Respostas: 
a) ( ) 3 6f x x= − 
b) ( ) 12 240f x x= − + 
 
6) Respostas 
a) 8 10y x= − 
b) 1min15seg. 
 
7) Respostas: 
a) Gráfico 
 
b) taxa = -100 (desvaloriza R$100,00 por mês). 
c) 60 meses. 
 
8) Respostas: 
a) É o ponto I(4, 20). 
b) Gráfico 
 
c) g(x) > f(x) quando x > 4. 
 
9) Respostas 
a) ( ) 720 10f x x= − e ( ) 60 12g x x= + 
b) 30 horas. 
 
10) Respostas: 
a) ( ) 2000 400AC x x= +
 
( ) 3440 320BC x x= +
 
b) I(18, 9200) 
c) Gráfico 
 
d) Se x < 18, opção A 
Se x > 18, opção B 
Se x = 18, ambas 
 
11) Respostas: 
a) C(v) = 20 + 1,5v 
b) Gráfico 
 
 
12) Respostas: 
a) ( ) 4 80v t t= − + 
b) No instante t = 20 s. 
 
13) Análise 
1ª parte: passa pelos pontos (0, 4) e (1, 2) 
2ª parte: é uma função constante f(x) = 2; 
3ª parte: passa pelos pontos (3, 2) e (4, 4). 
Resposta: 
( )
2 4, se 3
2 4, se 1
2, se 1 3f x
x x
x x
x=
− 
− + 

 


 
 
 
 
 
 
9 Matemática A – Lista de Exercícios e Aplicações – Prof. Valdomiro Placido dos Santos | 2020 
 
14) Respostas: 
a) Valor máximo = 30; Imagem = ] , 30]−  
b) Valor máximo = 1600; Imagem = ] ,1600]−  
c) Valor mínimo = 20; Imagem = [20, [ 
d) Valor mínimo = 216; Imagem = [216, [ 
 
15) Família de curvas 
 
 
16) Família de curvas 
 
 
17) Respostas 
a) 400C 
b) 830 
 
18) Respostas 
a) Gráfico 
 
b) 100 mg 
c) 10 min 
d) 4 min 
 
19) Respostas 
a) Gráfico 
 
b) 625 m3 
c) 10 h 
d) 30 h 
 
 
 
 
20) Respostas: 
a) 2 10x  
b) 1 7x  
c) 5 15x  
d) 10 50p  
 
21) Respostas: 
a) 20 min 
b) 425oC 
c) 5 35t  
d) Ilustração 
 
 
 
22) Respostas 
a) 
2
( ) 2 120A x x x= − + 
b) 0 60x  
c) Gráfico 
 
d) x = 30 m 
e) 1800 m2 
 
23) Respostas 
a) 
2
( ) 0,8 4h x x x= − + 
b) 3,2 m 
c) 2 m 
 
24) Respostas 
a) 
3
6
4
y x= − + 
b) 
23
( ) 6
4
A x x x= − + 
c) Altura x = 4 cm e largura y = 3 cm 
d) 12 cm2 
 
25) Respostas 
a) 
*
D = ; 
*
Im( )f = ; assíntotas: x = 0 e y = 0 
b) 
*
D = ; 
*
Im( )f = + ; assíntotas: x = 0 e y = 0 
c) 
*
D = ; Im( ) {1}f = − ; assíntotas: x = 0 e y = 1 
d) { 2}D = − − ; Im( ) {1}f = − ; assíntotas: x = -2 e y = 1 
e) D = ; Im( ) ]0, 60]f = ; assíntota: x = 0 
f) D = ; Im( ) ]0, 20]f = ; assíntota: x = 0 
 
Leituras sugeridas e referências bibliográficas 
 
1. ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. Vol. 1, 10ª Ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2014; 
2. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. São Paulo: Pearson, 1992 e posteriores; 
3. STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. São Paulo: Editora Pioneira Thomson Learning, 
2002. 
 
5 10 15 20 25 30
100
200
300
400
500
600
700
800
900
t: tempo
V(t): Volume Rest.