Segunda chamada - Cálculo 3 - UFRJ - 2019/2

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Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral III - MAC238
Gabarito Prova Final - Escola Politécnica / Escola de Química - 22/11/2019
Figure 1: O caminho
Questão 1: (2.5 pontos)
Seja N(a, b) = 12π
∫
γ
F · dr, onde F (x, y) =
(
b− y
(x− a)2 + (y − b)2 ,
x− a
(x− a)2 + (y − b)2
)
e γ é o
caminho dado pelo gráfico na figura 1 .
Calcule N(0, 0), N(−3,−3), N(3, 3) e N(5, 3).
Solução:
A função N mede quantas voltas o caminho γ dá em volta do ponto (a, b) no sentido anti-horário,
veja exemplo 6.11 do livro da Diomara. P1 = (0, 0), P2 = (−3,−3), P3 = (3, 3) e P4 = (5, 3).
Assim, N(0, 0) = 2, N(−3,−3) = 1, N(3, 3) = 0 e N(5, 3) = −1
Cálculo Diferencial e Integral III - MAC238
Gabarito Prova Final - Escola Politécnica / Escola de Química - 22/11/2019(continuação)
Questão 2: (2.5 pontos)
Seja C a curva plana definida pela equação (x2 + y2)2 − 6x(x2 + y2) = 9y2, encontrar
1. sua parametrização utilizando como parametro o angulo polar,
2. o comprimento da curva C,
3. a área da figura plana delimitada pela curva C.
Solução:
Passando a coordenadas polares, x = ρ cos(θ), y = ρ sen(θ), temos
ρ4 − 6ρ3 cos(θ) = 9ρ2 sen2(θ),
então
ρ2 − 6ρ cos(θ)− 9(1− cos2(θ)) = 0.
A unica solução admissivel (necessariamente ρ > 0) é ρ = 3(1 + cos(θ)).
1. a parametrização é dada por x = 3(1 + cos(θ)) cos(θ), y = 3(1 + cos(θ)) sen(θ), θ ∈ [0, 2π].
2. com respeito a parametrização em cima temos que ||γ′(θ)|| = 3
√
2 + 2 cos(θ), então o
comprimento da curva é
∫ 2π
0
3
√
2 + 2 cos(θ)dθ = 6
∫ 2π
0
√
1 + 1 cos(θ)
2 dθ = 12
∫ π
0
cos(θ/2)dθ = 24.
3. podemos calcular a area em coordenadas polares∫ 2π
0
∫ 3(1+cos(θ))
0
ρdρ dθ = 92
∫ 2π
0
(1 + cos(θ))2dθ = 92
∫ 2π
0
(1 + 2 cos(θ) + cos(θ)2)dθ
= 92
∫ 2π
0
(1 + 2 cos(θ) + 12 +
1
2 cos(2θ))dθ =
27
2 π.
Questão 3: (2.5 pontos)
Calcule
∫∫∫
W
√
x2 + y2 + z2dx dy dz onde W é o solido limitado superiormente pela esfera x2 + y2 +
(z − 1/2)2 = 1/4 e inferiormente pelo cone z =
√
x2 + y2.
Solução:
Esse exercício é o exemplo 5.17 pag. 203 do Diomara.
Questão 4: (2.5 pontos)
Seja
~F (x, y, z) =
(
x
(x2 + y2 + z2)3/2 + x,
y
(x2 + y2 + z2)3/2 + y,
z
(x2 + y2 + z2)3/2 + z
)
.
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Gabarito Prova Final - Escola Politécnica / Escola de Química - 22/11/2019(continuação)
Calcular ∫∫
S1
~F · ~ndS −
∫∫
S2
~F · ~ndS,
onde S1 é a esfera (x− 1)2 + y2 + z2 = 9 e S2 é a esfera (x+ 3)2 + (y + 3)2 + (z + 3)2 = 1 e ambas
S1 e S2 são orientadas com a normal ~n saindo.
Solução:
Escrevemos
~F (x, y, z) =
(
x
(x2 + y2 + z2)3/2 ,
y
(x2 + y2 + z2)3/2 ,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
)
+ (x, y, z) .
O campo
~G(x, y, z) =
(
x
(x2 + y2 + z2)3/2 ,
y
(x2 + y2 + z2)3/2 ,
z
(x2 + y2 + z2)3/2
)
é o “campo eletrico” gerado por uma carga em (0, 0, 0), tratado no exemplo 7.18 pag. 303 do
Diomara. Ele tem uma singularidade em (0, 0, 0), no exemplo é explicado como tratar ele, sendo
que o divergente dele é 0. Por esse campo,∫∫
S1
~G · ~ndS = 4π,
∫∫
S2
~G · ~ndS = 0,
tendo em vista que S1 contem a singularidade e S2 não a contem.
O campo
~H(x, y, z) = (x, y, z)
é um campo C1 sobre todo R3, utilizamos o Teorema de Gauss.∫∫
S1
~H · ~ndS =
∫∫∫
W1
div( ~H)dV = 3Vol(W1) = 3 ·
4
3π · 3
3 = 108π,
da mesma forma∫∫
S2
~H · ~ndS =
∫∫∫
W2
div( ~H)dV = 3Vol(W2) = 3 ·
4
3π · 1
3 = 4π,
Então: ∫∫
S1
~F · ~ndS −
∫∫
S2
~F · ~ndS = 112π − 4π = 108π.
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