Apostila Matemática 1 Ano EJA- Noturno - CED 02 - Sobradinho 2020

Prévia do material em texto

1 
CED 02 DE SOBRADINHO - DF 
MATEMÁTICA - Noturno 
1ª Etapa / 3° Segmento EJA 2020 
Professor: Edilson Cardoso 
1) Teoria de Conjuntos; (página 1) 
-Representação e Notação 
-Subconjuntos 
-Operações: União, Intersecção e Diferença 
2) Conjuntos Numéricos: Naturais, Inteiros, 
Racionais, Irracionais e Reais (página 6) 
3) Produto e Plano Cartesiano (página 9) 
4) Função (página 11) 
-Plano Matemático 
-Relação e Função 
-Notação e Representação Gráfica 
-Domínio, Imagem e Contradomínio 
5) Função Polinomial do 1° Grau (página 14) 
-Representação Gráfica 
-Função afim e linear 
-Coeficiente Angular, Linear e Zero da Função 
6) Função Quadrática (página 16) 
-Representação Gráfica 
-Concavidade, Zeros da função e vértice 
-Imagem 
7) Função exponencial (página 18) 
-Interpretação de gráficos e tabelas 
 
 
1) TEORIA DE CONJUNTOS 
Conceitos iniciais - A teoria dos conjuntos é o ramo 
da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de 
elementos. Vamos começar estudando os símbolos 
matemáticos usados neste ramo. 
 
 
 
 
 
 
Resumindo, a teoria dos conjuntos é a teoria matemática 
capaz de agrupar elementos. Dessa forma, os elementos 
(que podem ser qualquer coisa: números, pessoas, frutas) 
são indicados por letra minúscula e definidos como um 
dos componentes do conjunto. 
Exemplo: o elemento “a” ou a pessoa “x”. 
Conjunto - Um conjunto é um agrupamento de 
elementos com as mesmas características. Exemplo: O 
conjunto formado pelos jogadores de uma mesmo time de 
voleibol. O conjunto formado pelos números naturais que 
são divisores de 10. 
 
 Nomenclatura e representação - “Nomeamos um 
conjunto com uma letra maiúscula do nosso alfabeto.” 
Assim, enquanto os elementos do conjunto são indicados 
pela letra minúscula, os conjuntos, são representados por 
letras maiúsculas e, normalmente, dentro de chaves ({ }). 
Além disso, os elementos são separados por vírgula ou 
ponto e vírgula, por exemplo: 
A = {a,e,i,o,u} 
A representação de um dado conjunto pode ser feita de 3 
formas diferentes: 
1.Numérico - Escrever todos, ou parte, dos elementos 
entre chaves e separados por vírgula ou ponto e vírgula. 
Exemplos: Vamos representar o conjunto A, de todos os 
números naturais maiores que 2 e menores que 10. 
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Vamos também representar o 
conjunto B, formado por todas as vogais da palavra 
ESTOURAR. 
B = {e, o, u, a} 
2. Letra - Podemos também representar um conjunto 
através de uma propriedade característica dos seus 
elementos. Exemplos: Vamos representar, através de uma 
propriedade, o conjunto A formado por todos os naturais 
pares maiores que 2. A = {x / x é natural par maior que 
2} ou ainda poderíamos escrever: A = {x / x é natural e x 
> 2} 
3.Diagrama - Poderíamos ainda representar um conjunto, 
graficamente, através de um diagrama, onde 
escreveríamos os seus elementos. Exemplo: Vamos 
representar através de um diagrama o conjunto C, 
formados por todos os naturais maiores que 3 e menores 
que 10. 
 
 
 
 
"A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir 
não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar as 
artes e poupar trabalho aos homens." (René Descartes) 
 "O único homem que está isento de erros, é aquele que não 
arrisca acertar." (Albert Einstein) 
"O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e 
símbolos matemáticos." (Galileu Galilei) 
"A Matemática possui uma força maravilhosa capaz de nos fazer 
compreender muitos mistérios de nossa fé." (São Jerônimo) 
"Os números governam o mundo." (Platão) 
"A matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais 
antiga de todas as ciências." (Jacques Salomon Hadamard) 
http://slideplayer.com.br/slide/87298/1/images/3/NOMENCLATURA+E+REPERESENTA%C3%87%C3%83O.jpg
 
2 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
* Para os exercícios de 01 a 10 considere válido o conjunto de 
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...} 
01) Represente das três formas (numérico, letra e 
diagrama) o conjunto P={x/x é par maior ou 
igual a 6 e menor que 20} . 
 
02) Passe para a forma numérica o diagrama 
seguinte: 
 
 
03) Represente no modo numérico o conjunto 
formado por B={x/x é divisor de 30 e maior ou 
igual a 6 e menor que 14}. 
 
04) Desenhe o diagrama do conjunto formado por 
N={y/y é 5<y<12}. 
 
05) Dados os conjuntos A = {números ímpares 
entre 1 e 10}, B = {múltiplos de 3 entre 1 e 12}, 
C = {números pares entre 3 e 11} e D = 
{múltiplos de 2 entre 1 e 9}, estabeleça suas 
respectivas representações (numérico, letra e 
diagrama). 
 
06) São dados os conjuntos, represente eles da 
forma numérica: 
A = {x/x x é ímpar}, 
B = {z/z 3 ≤ z < 4}, 
C = {y/y y < 6}. 
 
07) USP-SP - Depois de n dias de férias, um 
estudante observa que: 
a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde; 
b) quando chove de manhã não chove à tarde; 
c) houve 5 tardes sem chuva; 
d) houve 6 manhãs sem chuva. 
Podemos afirmar então que n é igual a: 
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 
 
 
08) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao 
Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 
11,Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram 
Manaus e Salvador e , desses5, 3 visitaram 
também São Paulo. O número de estudantes 
que visitaram Manaus ou São Paulo foi: 
a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 
 
09) Após um jantar, foram servidas as 
sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas 
presentes, 5comeram a sobremesa X, 7 
comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. 
Quantas não comeram nenhuma ? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 
10) Represente o conjunto do seguinte diagrama:
 
Relações entre elementos e conjuntos 
Relação de pertinência (,  ) 
É a relação existente entre elementos e 
conjuntos. Exemplo: Sendo dado o conjunto A = 
{1; 3; 5; 7; 9}, podemos dizer que: 
A relação de pertinência é um conceito muito 
importante na "Teoria dos Conjuntos". 
Ela indica se o elemento pertence (e) ou não pertence (ɇ) 
ao determinado conjunto, por exemplo: 
D ={w,x,y,z} 
Logo, w e D (w pertence ao conjunto D) 
j ɇ D (j não pertence ao conjunto D) 
 
Relação de Inclusão ou Subconjuntos 
É a relação entre 2 ou mais conjuntos (relação de conjunto 
para conjunto). Usamos nessa relação os seguintes 
símbolos: onde representam está 
contido, não está contido, contém e não contém 
respectivamente. 
A relação de inclusão aponta se tal conjunto está contido 
(C), não está contido (Ȼ) ou se um conjunto contém o 
outro (Ɔ), por exemplo: 
A ={a,e,i,o,u} 
B ={a,e,i,o,u,m,n,o} 
C = {p,q,r,s,t} 
Logo, 
A C B (A está contido em B, ou seja, todos os elementos 
de A estão em B) 
C Ȼ B (C não está contido em B, na medida em que os 
elementos do conjuntos são diferentes) B Ɔ A (B contém 
A, donde os elementos de A estão em B). Exemplo: 
Sendo dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3, 4 } e B = { 0, 
1, 3 }, podemos dizer que: 
 
 
 
SÍMBOLOS DAS OPERAÇÕES 
 
 
 
3 
Igualdade de Conjuntos 
Observe os conjuntos: A = {4, 5, 6, 7} e B= {6, 5, 4,7} 
Os conjuntos A e B são iguais, pois possuem os mesmos 
elementos. Para indicarmos sua igualdade (A é igual a B): 
A = B 
A negativa é (A é diferente de B): 
Exemplo: A = {2, 4, 6} 
B = {3, 4, 5} 
 Pois os conjuntos A e B possuem elementos 
diferentes. 
Na igualdade dos conjuntos, os elementos de dois 
conjuntos são idênticos, por exemplo nos conjuntos A e 
B: 
A ={1,2,3,4,5} 
B = {3,5,4,1,2} 
Logo, A = B (A igual a B). 
 
Conjunto Vazio 
O Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos 
Exemplo: { x/x é natural e menor que 0} 
Este conjunto é vazio, pois não existe número natural 
negativo. 
Note que o conjunto vazio está contido (C) em todos os 
conjuntos. 
Representa-se o Conjunto Vazio por: { } ou Ø. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
11) Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 
B = {6, 7, 8, 9, 10} e C = { 10, 11, 12}. 
Represente-os utilizando diagramas: 
a) A união de A, B ou C. 
b) A intersecção entreA e B 
c) A intersecção de B e C. 
 
12) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, 
determine o conjunto B. 
 
13) Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e 
C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C). 
 
14) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 
5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} 
determine (U – A) ∩ (B U C). 
 
15) (Unifap) O dono de um canil vacinou todos os 
seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 
60% contra cinomose. Determine o porcentual 
de animais que foram vacinados contra as duas 
doenças. 
 
16) Sabendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {6, 
7, 8, 9} e C = {2, 4, 6, 8, 10}, quais são os 
elementos do conjunto (A∩B)UC? 
a) Os mesmos do conjunto A 
b) Os mesmos do conjunto B 
c) {6} 
d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
e) Os mesmos do conjunto C 
Diagrama de Euler-Venn 
O diagrama de Venn é um método de organização de 
conjuntos que consiste em agrupar seus elementos dentro 
de figuras geométricas. 
No modelo de Diagrama de Euler-Venn (Diagrama de 
Venn), os conjuntos são representados graficamente: 
 
 
 
Podemos observar por meio dos exemplos que os 
diagramas representam de forma prática e eficiente as 
relações de união e de intersecção entre os conjuntos 
numéricos. Eles podem ser usados na representação de 
quaisquer conjuntos, no intuito de estabelecer uma 
melhor demonstração e compreensão dos elementos 
pertencentes ao conjunto. 
 
4 
Exemplos: 
1-Uma avaliação com duas questões foi aplicada a uma 
classe com quarenta alunos. Quinze alunos acertaram as 
duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 
acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as 
duas questões? 
10 alunos acertaram somente a primeira questão. 
5 alunos acertaram somente a 
segunda questão. 
15 alunos acertaram as duas 
questões. 
10 alunos erraram as duas 
questões. 
 
2- Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas 
várias pessoas acerca de suas preferências em 
relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da 
pesquisa indicaram que: 
210 pessoas compram o produto A 
210 pessoas compram o produto B 
250 pessoas compram o produto C 
20 pessoas compram os três produtos 
100 pessoas não compram nenhum dos três produtos 
60 pessoas compram os produtos A e B 
70 pessoas compram os produtos A e C 
50 pessoas compram os produtos B e C 
Quantas pessoas foram entrevistadas? 
 
 
Notação de Conjuntos 
Os conjuntos são representados com seus elementos entre 
{}. Uma notação de conjunto é a representação dos 
conjuntos numéricos junto com a incógnita x. 
representamos assim: 
A={ x Є N | 1 ≤ x ≤ 10 } (Lê-se x pertence aos naturais 
tal que x maior ou igual a 1 e menor ou igual a 10) 
então x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10 ou podemos dizer que 
os elementos contidos em A são os citados anteriormente. 
 
Operações com conjuntos: União Intersecção e diferença 
Temos 3 tipos de operações com conjuntos: 
União: é juntar/ unir os conjuntos 
 Símbolo: U 
Exemplos: 1) A= {22, 33, 44, 55} B= {66, 77, 88} : A U 
B= {22, 33, 44, 55, 66, 77, 88} 
2)A={a,e,i,o,u} e B = {1,2,3,4} 
Logo, 
A U B = {a,e,i,o,u,1,2,3,4} 
 
 
Intersecção: são elementos em que os conjuntos têm em 
comum 
 Símbolo: ∩ 
 
Exemplo:1) A= {25, 45, 65, 85} B= {25, 35, 45, 55}: 
A ∩ B= {25, 45} 
2) C = {a, b, c, d, e} ∩ D = {b, c, d} 
Logo, 
C ∩ D = {b, c, d} 
 
Diferença: são os elementos de um conjunto que NÃO 
estão contidos no outro. 
 Símbolo: — 
A diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de 
elementos que estão no primeiro conjunto, e não 
aparecem no segundo, por exemplo: 
1) A = {a, b, c, d, e} - B={b, c, d} 
Logo, 
A-B = {a,e} 
 
 
2) Exemplo: A= {125, 37, 45, 98} B={69, 75, 125, 89, 
45}: B — A= {69, 75, 89, 45} 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
17) Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0,1}, 
use a relação de pertinência para relacionar: 
a) 0 __ A b) 0 __ B c) 2 __ A 
d) 2 __ B e) 9 __ A f) 4 __ B 
 
18) (MACKENZIE – SP) Se A e B são dois 
conjuntos tais que A  B e A ≠ ∅, então: 
a) sempre existe x A tal que x ∉ B. 
b) sempre existe x B tal que x ∉ A. 
c) se x  B então x  A. 
d) se x ∉ B então x ∉ A. 
e) A ∩ B = ∅. 
19) Indique as sentenças verdadeiras em relação 
aos conjuntos A, B e C. 
 
5 
a) Se AB e BA, então A = B. 
b)  B ØB. 
c) Se CA e AB, então CB. 
d) Se x A e x B, então AB. 
 
20) Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C 
= {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou 
falso (F) cada afirmação abaixo: 
a) ( ) A  B b) ( ) {1}  A 
c) ( ) A  C d) ( ) B  C 
e) ( ) B  C f) ( ) {0;2}  B 
 
21) Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9}, 
determine: 
a) AB 
b)AB 
 
22) Foi feito um levantamento no CED 02 de 
Sobradinho para se conhecer a preferência dos 
alunos entre basquete e/ou futebol. 
360 alunos preferem basquete 
500 alunos preferem futebol 
120 gostam dos dois esportes 
60 não gostam de nenhum 
Quantos alunos foram consultados? 
 
23) Observe o diagrama e responda: 
 
 
Quais os elementos dos conjuntos abaixo: 
a) A = 
b) B = 
c) C = 
d) (A∩B)  (B∩C) = 
e) (A∩C)B 
 
24) Em um colégio de 120 alunos: 
50 estudam português 
24 estudam português e história 
12 não estudam nem português nem história 
Quantos alunos não estudam história? 
 
25) Se A = {x / x é número ímpar e 0 < x < 10}, B 
= {x / x é divisor de 24} e C = {x / x é um 
número par e 2 < x < 13}, determine: 
a) BCA  )( 
b) CBA  )( 
 
26) (UFSE) Dados os conjuntos 
A = {x  Ν | 1< x ≤ 4} e B = {x  N | 0 ≤ x < 2}, 
o conjunto A ∩ B é igual a? 
 
27) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 
150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, 
nenhum esporte. O número total de alunos é 
a) 230 
b) 300 
c) 340 
d) 380 
 
28) No concurso para o CPCAR foram 
entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 
falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 
321 não falam nenhum desses idiomas. O 
número de candidatos que falam as línguas 
inglesa e francesa é 
a) 778 b) 120 c) 658 d) 131 
 
29) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência 
de 200 consumidores por três produtos P1, P2 
e P3 mostrou que, dos entrevistados, 
20 consumiam os três produtos; 
30 os produtos P1 e P2; 
50 os produtos P2 e P3; 
60 os produtos P1 e P3; 
120 o produto P1; 
75 o produto P2 
Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram 
preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-
se: 
a) Quantas consumiam somente o produto P3? 
b) Quantas consumiam pelo menos dois dos 
produtos? 
c) Quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não 
P3? 
 
30) ( Faap) Numa prova constituída de dois 
problemas, 300 alunos acertaram somente um 
deles, 260 o segundo, 100 alunos acertaram os 
dois e 210 erraram o primeiro, quantos alunos 
fizeram a prova? 
 
31) (ESAL) Foi consultado um certo número de 
pessoas sobre as emissoras de TV que 
habitualmente assistem. Obteve-se o resultado 
seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 
pessoas assistem ao canal B, das quais 150 
assistem ambos os canais A e B e 80 assistem 
a outros canais distintos de A e B. O número de 
pessoas entrevistadas foi: 
a) 800 b) 720 
c) 570 d) 500 
e) 600 
 
 
6 
32) Em uma sala de aula, a professora de 
Matemática decidiu fazer um levantamento dos 
lanches comprados pelos alunos. A professora 
verificou que, de um total de 35 alunos, 
dezenove compraram salgado; destes, quatro 
compraram pizza e salgado, e sete alunos não 
compraram lanche nesse dia. Quantos alunos 
compraram apenas pizza? 
 
33) (PUC-Rio-2009) Em um colégio, de 100 
alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 
gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos 
dois sabores. Quantos alunos não gostam de 
nenhum dos dois sabores? 
a) 0 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40 
 
34) (PUC) Numapesquisa de mercado, verificou-
se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos 
produtos A ou B. Sabendo que 10 dessas 
pessoas não usam o produto B e que 2 dessas 
pessoas não usam o produto A, qual é o número 
de pessoas que utilizam os produtos A e B? 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
35) Sabe-se que existe uma relação de inclusão 
entre alguns dos conjuntos numéricos devido 
aos elementos que pertencem a eles. A respeito 
dessa relação, assinale a alternativa correta. 
a) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números irracionais possuem intersecção não vazia. 
b) O conjunto dos números reais é a união entre o 
conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números inteiros. 
c) O conjunto dos números complexos é a união entre 
o conjunto dos números racionais e irracionais. 
d) A união entre o conjunto dos números naturais e 
inteiros tem como resultado o próprio conjunto dos 
números naturais. 
e) A intersecção entre o conjunto dos números 
naturais e o conjunto dos números inteiros tem como 
resultado o próprio conjunto dos números naturais. 
 
2) CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 Através dos tempos, a evolução humana exigiu 
cada vez mais formas para facilitar a representação 
dos números. 
Os conjuntos numéricos são divididos em: 
 Naturais: Símbolo N, Ex.: 1, 2, 3, 4 ... 
 Inteiros: Símbolo Z, Ex.: -1, -4 e os naturais 
 Racionais: Símbolo Q, os inteiros, as dízimas 
periódicas, frações, raízes, etc. Ex.: 1/3; 0,5; 1,333... 
; √25 
 Irracionais: Símbolo I, Ex: √2, 
 Reais: é o conjunto de todos os conjuntos citados 
acima. 
Os conjuntos numéricos são formados pelos: 
- Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
11, 12...} 
- Números Inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} 
- Números Racionais: Q = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 
3,4,5,6...} 
- Números Irracionais: I = {..., √2, √3, √7, 3, 141592…} 
- Números Reais (R): N (números naturais) + Z (números 
inteiros) + Q (números racionais) + I (números 
irracionais) 
Abaixo segue uma imagem da demonstração em 
diagrama dos conjuntos numéricos: 
 
 
Entendemos por conjunto numérico, qualquer 
conjunto cujos elementos são números. Existem 
infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os 
chamados conjuntos numéricos fundamentais, a 
saber: 
- Conjunto dos números naturais 
 N = {0,1,2,3,4,5,6,... } 
- Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-
2,-1,0,1,2,3,... } Nota: é evidente que N ⊂ Z. 
 - Conjunto dos números racionais 
Q = {x | x = p/q com p ∈ Z , q ∈ Z e q ≠ 0 }. (o símbolo 
| lê-se como 
"tal que"). 
Temos então que número racional é aquele que pode 
ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são 
números inteiros, com o denominador diferente de 
zero. 
Lembre-se que não existe divisão por zero!. 
São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 
0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, 
etc. 
 Notas: 
a) é evidente que N ⊂ Z ⊂ Q. 
b) toda dízima periódica é um número racional, pois 
é sempre possível escrever uma dízima periódica na 
forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9. 
- Conjunto dos números irracionais 
Q' = {x | x é uma dízima não periódica}. (o símbolo | 
lê-se como 
"tal que"). 
Exemplos de números irracionais: π = 3,1415926... 
(número pi = razão entre o comprimento de qualquer 
https://www.todamateria.com.br/conjuntos-numericos/
https://www.todamateria.com.br/numeros-naturais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-inteiros/
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-irracionais/
https://www.todamateria.com.br/numeros-reais/
 
7 
circunferência e o seu diâmetro) 
2,01001000100001... (dízima não periódica) 
√ 3 = 1,732050807... (raiz não exata). 
- Conjunto dos números reais 
R = { x | x é racional ou x é irracional }. Notas: 
a) é óbvio que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R 
b) Q' ⊂ R 
c) um número real é racional ou irracional; não 
existe outra hipótese! 
 
Observação: Conjuntos finitos ou infinitos. 
• Enumerando os elementos entre chaves, 
separados por vírgulas: A={domingo, segunda, terça, 
quarta, quinta, sexta, sábado} , indicando os dias da 
semana. 
• Um Conjunto pode ser finito (quando podemos 
enumerar todos os elementos) ou infinito. 
 A={1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto Infinito dos 
números naturais não nulos. 
Obs.: É importante lembrar que as reticências 
indicam que há mais elementos no conjunto.] 
 
- Complementar de um conjunto 
Trata-se de um caso particular da diferença entre dois 
conjuntos. 
Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a 
condição de que B ∩ A , a diferença A - B chama-se, 
neste caso, complementar de B em relação a A . 
Simbologia: CAB = A - B. 
Caso particular: O complementar de B em relação ao 
conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo 
símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por 
todos os elementos que não pertencem ao conjunto 
B.: 
 
- Partição de um conjunto 
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como 
partição de A, e representa-se por part(A), qualquer 
subconjunto do conjunto das partes de A 
(representado simbolicamente por P(A)), que 
satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto 
vazio. 
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de 
part(A) é o conjunto vazio. 
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual 
ao conjunto A. 
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} 
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, 
{2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. 
Assim, o conjunto das partes de A será: 
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, 
Ø } 
 
EXERCÍCOS PROPOSTOS 
36) Classifique os conjuntos abaixo em vazio, 
finito ou infinito: 
a) B = { 0, 1 , 2 , ... 70} 
b) C = { x / x é um número positivo} 
c) E= { x/ x é um número ímpar, solução da equação 
x2 =4}. 
 
37) Sejam A = {x / x é um número par 
compreendido entre 3 e 15} B = { x/ x é um 
número par menor 15 }, C = { x/x é um número 
diferente de 2 }. Usando os símbolos ⊂ou⊄ , 
relacione entre si os conjuntos : 
a) A e B b) A e C c) B e C 
 
38) Sendo A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 0, 2, 3, 5 } , C { 
x/x é par positivo menor que 10 } e D = { x/x é 
número ímpar compreendido entre 4 e 10 } , 
determine: 
a) A ∪B b) B ∪C c) A ∪C 
d) B ∪D e) A ∪D 
 
39) Dados A = { 0,2,1,5} e B = { 5,1,6,4 }, 
determine: 
a) A ∪B b) A ∩B c) A – B d) B – A 
 
40) Dados A = { 1,3,5 } B = { 0,2,1,8}, D = { 2 } 
a) A ∪(B∩D) b) A∩(B∪D) 
 c) A - ( B ∪D ) d) B – ( A – D ) 
 
41) Dados A = { 0,1,2,3 } , B = { 1 ,2,3 } 
C = { 2,3,4,5 } 
a) A – B 
b) A – C 
c) B – C 
d) (A∩B) - C 
e) ( A – C ) ∩ ( B – C ) 
f) A - φ 
g) C AB 
 
42) Dados M = { x/x ∈ℜe 0 ≤ x≤ 5} e S = { x/x ∈ℜ 
e 1 ≤ x≤ 7}, calcule: a) M – S 
b) S – M 
c) Determine os números inteiros que pertencem ao 
conjunto M ∩S 
d) Determine os números inteiros que pertencem ao 
conjunto M ∪S 
 
43) Se A , B e (A∩B) são conjuntos com 90, 50 e 
30 elementos respectivamente, determine então o 
número de elementos A ∪B . 
 
44) Se A={a,e,i,o,u}, determine os subconjuntos ou 
partes de A: 
 
Reta numérica: é uma reta que representa o 
conjunto dos números reais. 
Ela pode estar tanto na horizontal quanto na 
vertical. No centro da reta fica o zero, que é sua 
origem. 
No caso de a reta ser horizontal, temos do lado 
direito da origem os números positivos ex:+4 , e do 
lado esquerdo da origem os números negativos. 
 
8 
No caso de a reta ser vertical, temos acima da origem 
os números positivos, e, abaixo da origem, os 
números negativos. 
A distância de um número ao zero é chamado de 
módulo ou valor absoluto. Ex: -5 = 5; |5| = 5 +5 
Se um número éequidistante a outro em relação ao 
zero, dizemos que estes números são opostos. Ex: +2 
e -2 são opostos. 
Entre um número inteiro e outro na reta existem 
infinitos outros números. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
45) Organize os números do conjunto A na reta 
numérica: A = { -2, + 6, -9, + 8, - 8, - 1, + 5, 0, - 3} 
46) As temperaturas, na maior parte dos países, é 
medida em graus Celsius (° C). Existem alguns países que 
são muito frios, como: 
Islândia, com temperaturas que chegam a - 40 ° C; 
 Mongólia, com temperaturas que chegam a - 20 
° C; 
 Canadá, que chega a apresentar, de noite, 
temperatura de - 39 ° C; 
 Groenlândia, com temperaturas de até - 9 ° C. 
Organize todas as temperaturas em uma reta 
numérica e indique qual país é o menos frio e 
qual é o mais frio. 
 
47) Observe os números abaixo e utilize os símbolos 
de (<) menor e (>) maior para estabelecer as relações. 
a) -5 < +3 → -5 é menor que + 3 
b) 0 > - 4 → 0 é maior que - 4 
c) + 100 > - 100 → + 100 é maior que -100 
d) -1 < 0 → - 1 é menor que 0 
e) + 10 > - 15 → + 10 é maior que – 15 
 
48) Em uma reta numérica são colocados todos os 
números de determinado conjunto. Sobre ela, assinale a 
alternativa correta: 
a) A reta numérica é uma reta comum. Entre ela e os 
números reais, foi criada uma correspondência biunívoca 
em que cada ponto está relacionado com um único 
número real e vice-versa. 
b) A reta numérica é uma reta na qual foram colocados 
todos os números reais de modo que os números mais à 
esquerda são maiores que os números mais à direita. 
c) É chamado de origem o local onde a reta numérica 
nasce. Sendo assim, o menor número encontrado na reta 
é sua origem. 
d) O número zero é nulo e, por isso, não está na reta 
numérica. 
e) Os números inteiros são colocados na reta numérica de 
qualquer maneira. O importante é que entre eles estejam 
os números decimais. 
 
 
49) A respeito dos números irracionais na reta 
numérica, assinale a alternativa correta: 
a) Os números irracionais não podem ser marcados na 
reta numérica, pois não há espaço para eles. 
b) Os números irracionais podem ser marcados na reta 
numérica ao final de cada intervalo e após os números 
decimais. 
c) Os números irracionais podem ser marcados na reta 
numérica, mas devem estar próximos ao zero. 
d) Os números irracionais não podem ser marcados na 
reta numérica, pois não existe representação fracionária 
para eles. 
e) Os números irracionais podem ser marcados na reta 
numérica entre os números racionais mais próximos 
deles. 
 
50) Na cidade de Urupema, em determinada noite, 
foram registradas as seguintes temperaturas: – 1°C, – 
3°C, 0°C, 3°C, 7°C e 13°C. 
A variação de temperatura nessa cidade, nessa noite, foi 
de: 
a) 13°C, pois a temperatura variou entre 0°C e 13°C. 
b) 14°C, pois a temperatura variou entre – 1°C e 13°C. 
c) 15°C, pois a temperatura variou entre – 1°C e 13°C. 
d) 16°C, pois a temperatura variou entre – 3°C e 13°C. 
e) 17°C, pois a temperatura variou entre – 3°C e 13°C. 
 
51) Qual é a forma correta de marcar o número √2 na 
reta numérica? 
a) Basta marcar um ponto sobre o número inteiro 2. 
b) Basta calcular a raiz aproximada de 2, que é 1,41, e 
marcar um ponto próximo a 1,4. 
c) Não existe possibilidade de marcar esse tipo de 
número, pois 1,41 é apenas uma aproximação. Nunca será 
possível encontrar o ponto exato que o representa. 
d) Basta desenhar um quadrado de lado 1 com vértice na 
origem e fazer um círculo de raio igual à diagonal do 
quadrado. A intersecção desse círculo com a reta 
numérica é o ponto √2. 
 
52) Existe o número? Qual é ele? 
a) Número inteiro positivo menor do que qualquer 
outro número inteiro positivo. 
b) Número inteiro positivo maior do que qualquer 
outro número inteiro. 
c) Número inteiro negativo menor do que qualquer 
outro número inteiro. 
d) Número inteiro negativo maior do que qualquer 
outro número inteiro negativo. 
53) Quantos são? 
a) Os inteiros negativos maiores que -3? 
b) Os inteiros maiores que -5 e menores que +3? 
c) Os naturais menores que 10 e maiores que 3? 
d) Os inteiros maiores que -5 e menores que +3? 
e) Os naturais menores que 1? 
f) Os inteiros negativos menores que -5 e maiores 
que -15? 
g) Os naturais maiores que 5, divisores de 24 e 
menores que 10? 
 
9 
3) PRODUTO E PLANO CARTESIANO 
 
Produto Cartesiano 
Considere os conjuntos A = {1, 2} e B = {3, 5, 7}. 
Denominamos produto cartesiano o conjunto de 
todos os pares (x,y), tais que x pertence a A e y 
pertence a B, indicado pela expressão A x B. 
Simbolicamente representamos da seguinte maneira: 
A x B = {(x,y) / X Є A e y Є B} 
 
Representação do produto cartesiano por outros 
meios, veja os seguintes modelos: 
Diagrama de flechas: 
Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte do 
1º elemento e atinge o 2º elemento, estabelecendo a 
relação entre eles. 
 
Conjunto de pares: 
A x B = {(1,3), (1,5), (1,7), (2,3), (2,5), (2,7)} 
Gráfico cartesiano: 
Representamos os elementos de A no eixo x e os 
elementos de B no eixo y. O gráfico de A x B é 
constituído pelos pontos pertencentes ao produto A 
x B. 
 
Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as 
seguintes situações: 
B x A = {(3,1), (5,1), (7,1), (3,2), (5,2), (7,2)} 
A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)} 
B x B = {(3,3), (3,5), (3,7), (5,5), (5,3), (5,7), (7,7), 
(7,3), (7,5)} 
 
 
Outro exemplo: 
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. 
 
Com auxílio do diagrama de flechas ao lado, 
formaremos o conjunto de todos os pares ordenados 
em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º 
pertença ao conjunto B. 
Assim, obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 
4), (3, 3), (3, 4)} 
Esse conjunto é denominado produto cartesiano de 
A por B, sendo indicado por: 
Logo: 
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, 
denominamos produto cartesiano A x B o conjunto 
de todos os pares ordenados (x, y) 
 onde: 
 
 
Plano Cartesiano 
Plano cartesiano é um método criado pelo filósofo e 
matemático francês, René Descartes. Trata-se de 
dois eixos perpendiculares que pertencem a um 
plano em comum. 
Descartes criou esse sistema de coordenadas para 
demostrar a localização de alguns pontos no espaço. 
Esse método gráfico é utilizado em diversas áreas, 
sobretudo na matemática e na cartografia. 
Para localizar pontos num plano cartesiano, 
devemos ter em conta algumas indicações 
importantes. 
A linha vertical é chamada de eixo das ordenadas 
(y). Já a linha horizontal é chamada de eixo das 
abscissas (x). Com a intersecção dessas linhas temos 
a formação de 4 quadrantes: 
 
 1.º quadrante: os números sempre serão positivos: 
x > 0 e y > 0 
 2.º quadrante: os números são negativos ou 
positivos: x 0 
 3.º quadrante: os números são sempre negativos: 
x 
 4.º quadrante: os números podem ser positivos ou 
negativos: x > 0 e y 
Representamos um par ordenado em um plano 
cartesiano. Esse plano é formado por duas retas, x e 
y, perpendiculares entre si. 
 
10 
A reta horizontal é o eixo das abscissas 
(eixo x). 
A reta vertical é o eixo das ordenadas 
(eixo y). 
O ponto comum dessas duas retas é denominado 
origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0). 
 
Localização de um ponto 
Para localizar um ponto em um plano cartesiano, 
utilizamos a sequência prática: 
 O 1º número do par ordenado deve ser localizado 
no eixo das abscissas. 
 O 2º número do par ordenado deve ser localizado 
no eixo das ordenadas. 
 No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, 
por esses pontos, determinamos o ponto procurado. 
Exemplo: 
 Localize o ponto (4, 3). 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
54) Represente em um plano cartesiano os seguintes 
pontos: 
A: (4, 7) 
B: (8, -9) 
C: (-2, 2) 
D: (-5, -4) 
E: (5, 3) 
 
55) Represente os pares ordenados no plano 
cartesiano: 
a) (-9, 4) 
b) (8, 3) 
c) (0, -3) 
d) (-4, -9) 
e) (8, 0) 
 
56) Em quaisquadrantes estão localizados os 
pontos: 
a) (-2, -4) 
b) (3, 1) 
c) (0, 6) 
d) (8, -7) 
e) (9, -3) 
 
57) Dados os seguintes conjuntos A e B: 
 e 
O produto cartesiano de A por B, representado por é 
igual a: 
 
58) Sendo A= { 1,2} e B = {3,4,5}, determine o 
produto cartesiano A x B. 
 
59) Dados os conjuntos A = {1,2} e B = { 
5,6,7}Então A x B = 
 
60) Se A={4,6}, B= (-3) e C = { 0,-8}, determine: 
a) A x C 
b) C x A 
c) A x B 
d) B x A 
e) C x B 
f) B x C 
g) A x A 
h) B x B 
 
61) Sendo A = {-1, 0, 1} e B = { 7, 9}, determine A 
x B e B x A 
 
62) Localize os pontos associados aos seguintes 
pares de números: 
A (4, 4); B(4, 2); C(4, 0); D(-3, 4); E(-4, -4); F(-5, -
1); G(4, -2); H(5, -2); I(-6, 1); J(-4, 0) 
 
63) Descubra qual figura geométrica é formada 
unindo os pontos no plano cartesiano: 
a)A(3, 2); B(-3, 2); C(-3, -4) e D(3,-4) b)A(-5, 
3); B(-5, -3) e C(6, -3) 
 
 
 
 
11 
4) FUNÇÃO 
O que é uma função? 
Uma função é uma regra matemática que relaciona 
cada elemento x, de um conjunto A, a um único 
elemento y, de um conjunto B. Os conjuntos A e B 
são conhecidos, respectivamente, como domínio e 
contradomínio. Já x e y são conhecidos, 
respectivamente, como variável independente e 
variável dependente, pois o valor de y sempre 
dependerá do valor de x. 
Assim, as funções do primeiro grau são regras que 
relacionam cada elemento de um conjunto a um 
único elemento de outro cuja variável independente 
é uma potência de expoente 1. O grau de uma função 
sempre é dado pelo maior expoente da variável 
independente e, no caso das funções do primeiro 
grau, o maior expoente é 1. 
O uso de funções pode ser encontrado em diversos 
assuntos. Por exemplo, na tabela de preços de uma 
loja, a cada produto corresponde um determinado 
preço. Outro exemplo seria o preço a ser pago numa 
conta de luz, que depende da quantidade de energia 
consumida. - O valor a ser pago numa corrida de táxi 
é função do espaço percorrido; - A área de um 
quadrado é função da medida do seu lado; - Em um 
termômetro, a temperatura é dada em função do 
comprimento da coluna de mercúrio. Observe, por 
exemplo, o diagrama das relações abaixo: 
 
A relação acima não é uma função, pois existe o 
elemento 1 no conjunto A, que não está associado a 
nenhum elemento do conjunto B. Vamos ver outro 
caso: 
 
A relação acima é uma função, pois todo elemento 
do conjunto A está associado a somente um 
elemento do conjunto B. 
De um modo geral, dados dois conjuntos A e B, e uma 
relação entre eles, dizemos que essa relação é uma 
função de A em B se e somente se, para todo x A 
existe um único y B de modo que x se relacione com y. 
A formalização matemática para a definição de função é 
dada por: Seja X um conjunto com elementos de x e Y 
um conjunto dos elementos de y, temos que: 
 
f: x → y 
 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um 
único elemento do conjunto y. Essa ocorrência é 
determinada por uma lei de formação. 
 
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a 
variável independente e que y é a variável dependente. 
Isso porque, em toda função, para encontrar o valor de y, 
devemos ter inicialmente o valor de x. 
 
Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem 
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função f: AB que 
transforma xA em yB. 
 
Nesse caso, a função f: AB está definida por y = 2.x 
ou por f(x) = 2.x. 
Veja que para caracterizar uma função é necessário 
conhecer seus três componentes: o domínio (A), o 
contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento 
de A a um único elemento y = f(x) de B. Nesse exemplo, 
o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 
1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y = 2.x e o conjunto 
imagem é dado por Im(f): {0, 2, 4, 6}. 
 
Outro Exemplo: f: A → B x → y = 2x + 1 f de A em B, 
definida pela lei y = 2x + 1. Domínio⇒ É o conjunto A. 
(D(f)) Contradomínio⇒É o conjunto B. (⊂ D(f)). 
Imagem⇒É o subconjunto de B, formado por todos 
os segundos elementos dos pares ordenados (x, y) 
pertencentes a f. Im(f) ⊂ CD(f) 
Fixando o conteúdo: 
 
Em toda função f de A 
em B, Im(f)B. 
 
12 
 
 
 
Exemplo 5: Dada a função f:{−3,2,0, √5}→R 
, definida pela fórmula f(x)=2x2+1 
. Determine a sua imagem: 
 
Resolução: 
Neste exercício o domínio é dado e vale D={−3,2,0, √5} 
e o contradomínio são todos números reais. Como já 
estudamos, a imagem de um número é o elemento 
pertencente ao contradomínio que está relacionado à 
este número, e para achar estes número devemos aplicar 
sua lei de formação: 
– a imagem do -3 é também representada por f(−3) 
, e f(−3)=2⋅(−3)2+1=19; 
– f(2)=2⋅(2)2+1, então f(2)=9; 
– f(0)=2⋅(0)2+1, então f(0)=1; 
– f(5–√)=2⋅(√5)2+1, então f(√5)=11 
Agora que já achamos as imagens de todos pontos do 
domínio, podemos dizer que o conjunto imagem desta 
função é Im={19,9,1,11} 
 
Exemplo 6: Dado o esquema abaixo, representando 
uma função de “A” em “B”, determine: 
 
a) O Domínio: 
b) A imagem 
c) f(5) 
d) f(12) 
 
Resolução: 
a) Como vimos nas lições, o conjunto em que as flechas 
saem, é o conjunto Domínio, esta é barbada 
D={5,12,23} 
 
b) Conjunto Imagem é todos os elementos do 
contradomínio (conjunto “B”) em que há 
relacionamento com o Domínio, então: 
Im={7,14,25} 
 
c) Nunca esquecendo que perguntar qual a f(5) é a 
mesma coisa que perguntar qual a imagem do ponto 5. 
f(5)=7 
 
d) Como no exercício anterior: f(12)=14 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
64) Determine os zeros das funções a seguir: 
a) y = 5x + 2 
b) y = – 2x 
c) f(x) = x + 4 
 2 
 
65) Seja a função f : D → R dada pela lei de formação 
f(x) = 5x +2, de domínio D = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}. 
Determine o conjunto imagem dessa função. 
 
66) Dada a função f : R → R por f(x) = x² + 2x, 
determine o valor de f(2) + f(3) – f(1). 
 
67) (Fuvest–SP) Uma função f de variável real satisfaz 
a condição f(x + 1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor 
da variável x. Sabendo que f(2) = 1, o valor de f(5) é: 
a) 5/2 b) 1/2 c) 3/2 d) 2 
 
68) (FGV) O gráfico da função f (x) = mx + n passa 
pelos pontos (– 1, 3) e (2, 7). O valor de m é: 
a) 5/3 b) 4/3 
c) 1 d) 3/4 e) 3/5 
 
 
69) Verifique quais relações abaixo representam 
funções. 
a) 
 
b) 
 
 
13 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
 
g) 
 
70) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1} e a 
correspondência entre A e B dada por y = x – 2, com 
xA e yB, faça um diagrama e diga se f é uma função 
de A em B. 
 
71) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-8, -6, 
-4, -3, 0, 3, 6, 7} e a relação R = {(x,y) AxB /y = 3.x} 
faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 
 
72) Dados A = { -3, -2, 0, 3 } e B = { - 1, 0, 1, 2, 4, 
5, 7 } e uma relação expressa pela fórmula y = x + 
2, com x pertencendo a A e y pertencendo a B. Faça 
o diagrama e verifique se f é uma função de A em 
B. 
 
73) O diagrama de flechas abaixo representa uma função 
f de A em B. Determine: 
 
a) D (f) b) CD (f) c) Im (f) d) f (3) e) f (5) 
f) x f (x) = 4 
 
74) Seja a função f: R → R definida por f(x) = x² - 7x 
+ 9. Determine: 
a) O valor de f(-1) 
Os valores de x para que se tenha f(x) = -1. 
 
75) Considere a relação f de M em N representada no 
diagrama abaixo: 
 
Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) nas afirmativas 
abaixo, para que f seja uma função de M em N. 
( ) apagar a seta 1 e retirar o elemento s. 
( ) apagar as setas 1 e 4 e apagar o elemento k. 
( ) retirar os elementos k e s. 
( ) apagar a seta 4 e retirar o elemento k. 
( ) apagar a seta 2 e retirar o elemento k. 
 
76) Considere a função f, dada por: 









5,22
50,15
0,2
)( 2
xsex
xsexx
xsex
xf . 
 
Calcule 
 
77) Dada a função f(x) = 2x³ - 4x + 2, calcule f(1) – f(3). 
 
 
14 
78) Considereas funções com domínio nos 
números reais dadas por 5²3)(  xxxf e 
92)(  xxg . 
a) Calcule o valor de 
)1(
)1()0(
f
gf 
 
b) Determine o valor de x tal que f(x) = g(x). 
 
 
5) FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1° GRAU 
Para entender o que é função do primeiro grau, deve-
se saber que é aquela escrita na forma y = ax + b, em 
que a e b são reais e a é diferente de zero. 
 
 Gráfico de função do primeiro grau crescente 
 
Uma função do primeiro grau é aquela cuja lei de 
formação pode ser escrita na seguinte forma: y = ax + b 
Na qual, a e b pertencem ao conjunto dos números reais, 
e a é diferente de zero. Esse tipo de função também é 
chamada de função afim. 
É importante relembrar os principais conceitos a respeito 
das funções em geral para compreender bem as funções 
do primeiro grau. 
Exemplos de função do primeiro grau 
Os exemplos a seguir são de funções do primeiro grau. 
Isso significa que elas podem ser escritas na forma y = ax 
+ b, ou já estão nessa forma. 
a) y = 2x + 9. Essa é uma função afim, ou do primeiro 
grau, em que a = 2 e b = 9. 
b) y = – x – 7. Embora o sinal de – 7 não seja positivo, 
essa também é uma função do primeirograu, com a = – 
1 e b = – 7. Para que não haja dúvidas, basta escrevê-la: 
y = (–1)x + (–7). 
c) f(x) = 0,2x. Essa é uma função afim, ou do primeiro 
grau, na qual a = 0,2 e b = 0. Observe que f(x) é outra 
notação para y, mas ambos representam a mesma coisa. 
A partir dos exemplos acima, lembre-se sempre: as 
funções do primeiro grau são aquelas em que a variável 
independente possui expoente máximo igual a 1. 
 
Exemplos de funções que não são do primeiro grau 
Para que não fiquem dúvidas, observe agora alguns 
exemplos de funções que não são do primeiro grau: 
a) y = 2x2. Essa função não é do primeiro grau porque a 
variável independente possui grau 2. Nesse caso, ela é 
uma função do segundo grau. 
b) y = 1/x. Essa função não é do primeiro grau porque y 
= 1/x também pode ser escrito como y = x-1 e esse (-1) 
não é o expoente correto para as funções do primeiro 
grau. 
Gráfico da função do primeiro grau 
Toda função do primeiro grau pode ser representada 
geometricamente por uma reta. Para construí-la, basta 
encontrar dois pares ordenados de pontos que pertencem 
a essa reta, colocá-los no plano cartesiano e traçar a reta 
que passa por eles. Tomando a função y = x – 3 como 
exemplo, o passo a passo da construção do gráfico de uma 
função do primeiro grau deve ser o seguinte: 
1º Encontrar os pares ordenados 
Para encontrá-los, basta escolher dois valores quaisquer 
para a variável independente e descobrir seus 
correspondentes por meio da função. Para isso, 
escolhemos x = 1 e x = 2 e construímos a tabela a seguir: 
 
A segunda coluna dessa tabela é preenchida com o valor 
de x substituído na função, a terceira com o valor final de 
y e a quarta com o par ordenado formado pelos valores 
de x e de y. 
2º Colocar os pares ordenados no plano cartesiano e 
traçar a reta que os contém 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao-1-grau.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-reta.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-plano-cartesiano.htm
 
15 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
79) Determine a função afim f(x) = ax + b, sabendo que 
f(1) = 5 e f(–3) = –7. 
 
80) (U. Católica de Salvador-BA) Seja a função f de R em 
R definida por f(x) = 54x + 45, determine o valor de f(2 
541) – f(2 540). 
 
81) (U. F. Viçosa-MG) Uma função f é dada por f(x) = ax 
+ b, em que a e b são números reais. Se f(–1) = 3 e f(1) = 
–1, determine o valor de f(3). 
 
82) Faça o gráfico das funções de primeiro grau 
definidas de R em R: 
a) f(x) = x+3 
b) g(x) = -x+3 
c) h(x) = 3x-4 
d) r(x) = -2x+2 
 
83) O gráfico da função f(x) = ax +b corta o eixo x no 
ponto de abscissa -7 e o eixo y no ponto de ordenada 8. 
Calcule a e b. 
 
84) Determine m para que o gráfico de f(x) = x+(m2-
7m) corte o eixo y no ponto de ordenada -10. 
 
85) Faça os gráficos, num mesmo sistema de eixos 
cartesianos, das funções definidas de R em R por f (x) = 
3x-2 e g(f) = -x+2. Em seguida, determine algebricamente 
o ponto de intersecção dos gráficos e compare com o 
ponto obtido graficamente. 
 
86) Obtenha a fórmula que define a função de primeiro 
grau cujo gráfico é a reta que passa pelos pontos (1;2) e 
(2;-13). 
 
87) Determine a lei da função para cada um dos gráficos 
a seguir: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
88) Esboce o gráfico das seguintes funções lineares 
a) f(x) = 2x 
b) 
89) Faça o gráfico da função definida de R em 
R por: 
 
 
 
90) Dada a função y = 3x – 2, calcule os valores de x 
que tornam a função negativa. 
 
91) Dada a função y = –2x + 1, calcule os valores de x 
que tornam a função positiva. 
 
92) Considere a função f(x) = -2x + 1. Os valores de f(0), 
f(2), f(-1) e f(5), são, respectivamente: 
 
93) Uma função é dada por f(x) = 3x – 6. A raiz dessa 
função é: 
 
 
 
 
16 
6) FUNÇÃO QUADRÁTICA 
O que é função do segundo grau? 
O que é função do segundo grau? Essa regra matemática 
possui uma forma algébrica que pode ser escrita como 
f(x) = ax2 + bx + c. 
 
A figura que representa as funções do segundo grau nos 
gráficos é a parábola 
Uma função é uma regra que liga cada elemento de 
um conjunto A a um único elemento de um conjunto B, 
respectivamente conhecidos 
como domínio e contradomínio da função. Para que a 
função seja chamada função do segundo grau, é 
necessário que sua regra (ou lei de formação) possa ser 
escrita na seguinte forma: 
f(x) = ax2 + bx + c 
ou 
y = ax2 + bx + c 
Além disso, a, b e c devem pertencer ao conjunto 
dos números reais e a ≠ 0. Dessa forma, são exemplos 
de função do segundo grau: 
a) f(x) = x2 + x – 6 
b) f(x) = – x2 
 
Raízes da função do segundo grau 
As raízes de uma função são os valores assumidos por x 
quando f(x) = 0. Assim, para encontrá-las, basta substituir 
f(x) ou y por zero na função e resolver a equação 
resultante. Para resolver equações do segundo grau, 
podemos usar fórmula de Bháskara, método de completar 
quadrados ou qualquer outro método. Lembre-se: como 
a função é do segundo grau, ela deve ter até duas raízes 
reais distintas. 
Exemplo – As raízes da função f(x) = x2 + x – 6 podem 
ser calculadas da seguinte forma: 
f(x)=x2 +x–6 
0=x2 +x–6 
a = 1, b = 1 e c = – 6 
∆=b2 –4·a·c 
∆=12 –4·1·(–6) 
∆=1+24 
∆ = 25 
x= –b± √∆ 
 2a 
x= –1± √25 
 2 
x= –1± 5 
 2 
x’= –1+ 5 = 4 = 2 
 2 2 
x”= –1– 5 = – 6 = – 3 
 2 2 
 
Logo, as raízes da função f(x) = x2 + x – 6 são os pontos 
de coordenadas A = (2, 0) e B = (– 3, 0). 
Vértice da função – Ponto máximo ou mínimo 
O vértice é o ponto no qual a função do segundo grau 
atinge seu valor máximo ou mínimo. Suas coordenadas 
V = (xv, yv) são dadas pelas fórmulas a seguir: 
xv = –b 
 2a 
e 
yv = – ∆ 
 4a 
 
No mesmo exemplo citado anteriormente, o vértice da 
função f(x) = x2 + x – 6 é obtido por: 
xv = –b 
 2a 
xv = –1 
 2·1 
xv = –1 
 2 
xv = – 0,5 
e 
yv = – ∆ 
 4a 
yv = – 25 
 4·1 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-conjuntos-numericos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-reais.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-equacao-2-grau.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/formula-bhaskara.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/maximo-minimo.htm
 
17 
yv = – 25 
 4 
yv = – 6,25 
Assim, as coordenadas do vérticedessa função são V = 
(– 0,5; – 6,25). 
A coordenada yv também pode ser obtida substituindo o 
valor de xv na própria função. 
 
Gráfico da função do segundo grau 
O gráfico de uma função do segundo grau sempre será 
uma parábola. Existem alguns macetes envolvendo essa 
figura que podem ser usados para facilitar a construção 
do gráfico. Para exemplificar esses macetes, também 
usaremos a função f(x) = x2 + x – 6. 
1 – O sinal do coeficiente a está ligado à concavidade 
da parábola. Se a > 0 a concavidade da figura será 
voltada para cima, se a < 0 a concavidade da figura será 
voltada para baixo. 
Assim, no exemplo, como a = 1, que é maior que zero, a 
concavidade da parábola que representa a função f(x) = 
x2 + x – 6 será voltada para cima. 
 
2 – O coeficiente c é uma das coordenadas do ponto de 
encontro da parábola com o eixo y. Em outras palavras, 
a parábola sempre se encontra com o eixo y no ponto C = 
(0, c). 
No exemplo, o ponto C = (0, – 6). Então, 
a parábola passa por esse ponto. 
 
3 – Assim como no estudo dos sinais 
da equação do segundo grau, nas funções do segundo 
grau, o sinal do determinante aponta o número de raízes 
da função: 
Se ∆ > 0 a função tem duas raízes reais distintas. 
Se ∆ = 0 a função tem duas raízes reais iguais. 
Se ∆ < 0 a função não tem raízes reais. 
Dados esses macetes, será preciso encontrar três pontos 
pertencentes a uma função do segundo grau para 
construir o gráfico. Em seguida, basta marcar esses três 
pontos no plano cartesiano e desenhar a parábola que 
passa por eles. A saber, os três pontos são: 
 O vértice e as raízes da função, se ela possuir raízes 
reais; 
ou 
 O vértice e dois outros pontos quaisquer, se 
a função não possuir raízes reais. Nesse caso, um ponto 
deve estar à esquerda e outro à direita do vértice da 
função no plano cartesiano. 
Observe que um desses pontos pode ser C = (0, c), exceto 
no caso em que esse ponto for o próprio vértice. 
No exemplo f(x) = x2 + x – 6, temos o seguinte gráfico: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
94) Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) 
= 0 
 
95) Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0 
 
96) (UfSCar–SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de 
meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua 
trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , 
onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em 
metros da bola no instante t. Determine, apos o chute: 
a) o instante em que a bola retornará ao solo. 
b) a altura atingida pela bola. 
 
97) Determine x pertence aos reais tal que (x² – 
100x)².(x² – 101x + 100)² = 0. 
 
98) Qual é a soma das coordenadas do vértice de uma 
função do segundo grau definida por f(x) = 2x2 + 10x + 
12? 
a) – 3,0 b) 3,0 c) 2,5 
d) – 2,5 e) 0,5 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/grafico-funcao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-funcao-segundo-grau.htm
 
18 
99) Qual é o resultado da soma das raízes reais da função 
f(x) = x2 + 16x + 39? 
a) 16 b) – 16 c) 10 
d) – 10 e) – 13 
 
100) Qual a altura máxima atingida por um projétil cuja 
trajetória pode ser descrita pela função: h(x) = – 4x2 + 5, 
sabendo que h é a altura do projétil e que x é a distância 
percorrida por ele, em metros? 
a) 5 metros b) 10 metros 
c) 15 metros d) 20 metros 
e) 25 metros 
 
101) Qual é a soma das raízes da função f(x) = x2 + 8x 
– 9? 
a) – 8 b) 8 c) 1 d) – 9 e) 9 
 
102) Identifique os coeficientes de cada equação e diga 
se ela é completa ou não: 
a) 5x2 - 3x - 2 = 0 
b) 3x2 + 55 = 0 
c) x2 - 6x = 0 
d) x2 - 10x + 25 = 0 
 
103) Achar as raízes das equações: 
a) x2 - x - 20 = 0 
b) x2 - 3x -4 = 0 
c) x2 - 8x + 7 = 0 
 
104) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes 
da equação x2-2x-8= 0? 
 
105) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. 
Nessas condições, determine o valor do coeficiente c: 
 
106) Se você multiplicar um número real x por ele 
mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o 
quíntuplo do número x. Qual é esse número? 
 
107) Quais são as raízes da equação x²-x-20=0? 
 
108) Quais são as raízes da equação x²-3x-4=0? 
 
109) Quais são as raízes da equação x²-14x+48=0? 
 
110) Escolha qual das alternativas correspondem as 
letras a, b e c, da equação x²+9x+8=0? 
a) a=1, b=2 e c=7 b) a=1, b=5 e c=-8 
c) a=-1, b=-9 e c=4 d) a=2, b=18 e c=16 
e) a=1, b=9 e c=8 
 
111) Quais as raízes da equação x²-7x+5=0? 
 
112) Quais são as raízes da equação x²-5x+6=0? 
 
113) Quais são as raízes da equação x²+2x-8=0? 
 
114) Quais são as raízes da equação x²+3x-28=0? 
 
115) Escolha qual das alternativas correspondem as 
letras a, b e c, da equação x²+5x+6=0? 
a) a=2, b=-5 e c=7 b) a=-1, b=-5 e c=-6 
c) a=1, b=5 e c=6 d) a=9, b=3 e c=7 
e) a=1, b=3 e c=5 
116) Determine os valores de x que tornam a 
equação 4x2 - 16 = 0 verdadeira. 
 
117) Determine as raízes da equação 2x2 - 3x - 5 = 
0 
 
118) Resolva o sistema abaixo: 
 
 
7) FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Função Exponencial é aquela que a variável está no 
expoente e cuja base é sempre maior que zero e diferente 
de um. 
Essas restrições são necessárias, pois 1 elevado a 
qualquer número resulta em 1. Assim, em vez de 
exponencial, estaríamos diante de uma função constante. 
Além disso, a base não pode ser negativa, nem igual a 
zero, pois para alguns expoentes a função não estaria 
definida. 
Por exemplo, a base igual a - 3 e o expoente igual a 1/2. 
Como no conjunto dos números reais não existe raiz 
quadrada de número negativo, não existiria imagem da 
função para esse valor. 
 
Exemplos: 
f(x) = 4x 
f(x) = (0,1)x 
f(x) = (⅔)x 
Nos exemplos acima 4, 0,1 e ⅔ são as bases, 
enquanto x é o expoente. 
 
Representação Gráfica 
Vamos construir os gráficos de algumas funções 
exponenciais e observar algumas propriedades. 
 
Gráfico da função exponencial 
 
O gráfico desta função passa pelo ponto (0,1), pois 
todo número elevado a zero é igual a 1. Além disso, 
a curva exponencial não toca no eixo x. 
Na função exponencial a base é sempre maior que 
zero, portanto a função terá sempre imagem positiva. 
Assim sendo, não apresenta pontos nos quadrantes 
III e IV (imagem negativa). 
 
19 
Abaixo representamos o gráfico da função 
exponencial. 
 
 
 
 
Função Crescente ou Decrescente 
A função exponencial pode ser crescente ou decrescente. 
Será crescente quando a base for maior que 1. Por 
exemplo, a função y = 2x é uma função crescente. 
Para constatar que essa função é crescente, atribuímos 
valores para x no expoente da função e encontramos a sua 
imagem. Os valores encontrados estão na tabela abaixo. 
 
Observando a tabela, notamos que quando aumentamos o 
valor de x, a sua imagem também aumenta. Abaixo, 
representamos o gráfico desta função. 
 
Por sua vez, as funções cujas bases são valores maiores 
que zero e menores que 1, são decrescentes. Por exemplo, 
f(x) = (1/2)x é uma função decrescente. 
 
 
Calculamos a imagem de alguns valores de x e o 
resultado encontra-se na tabela abaixo. 
 
Notamos que para esta função, enquanto os valores de x 
aumentam, os valores das respectivas imagens diminuem. 
Desta forma, constatamos que a função f(x) = (1/2)x é uma 
função decrescente. 
Com os valores encontrados na tabela, traçamos o gráfico 
dessa função. Note que quanto maior o x, mais perto do 
zero a curva exponencial fica. 
 
Exemplo 1: Um grupo de biólogos está estudando o 
desenvolvimento de uma determinada colônia de 
bactérias e descobriu que sob condições ideais, o 
número de bactérias pode ser encontrado através 
da expressão N(t) = 2000 . 20,5t, sendo t em horas. 
Considerando essas condições, quanto tempo após o 
início da observação, o número de bactérias será 
igual a 8192000? 
 
 
 
 
 
20 
Solução 
Na situação proposta, conhecemos o número de 
bactérias, ou seja, sabemos que N(t) = 8192000 e 
queremos descobrir o valor de t.Então, basta 
substituir esse valor na expressão dada: 
Para resolver essa equação, vamos escrever o 
número 4096 em fatores primos, pois se tivermos a 
mesma base, podemos igualar os expoentes. 
Portanto, fatorando o número, temos: 
Logo, a cultura terá 8 192 000 bactérias após 1 dia 
(24 h) do início da observação. 
 
Exemplo 2 
Os materiais radioativos possuem uma tendência 
natural, ao longo do tempo, de desintegrar sua massa 
radioativa. O tempo necessário para que metade da 
sua massa radioativa se desintegre é chamado de 
meia-vida. 
A quantidade de material radioativo de um 
determinado elemento é dado por: 
Sendo, 
N(t): a quantidade de material radioativo (em 
gramas), em um determinado tempo. 
N0: a quantidade inicial de material (em gramas) 
T: o tempo da meia vida (em anos) 
t: tempo (em anos) 
Considerando que a meia-vida deste elemento é 
igual a 28 anos, determine o tempo necessário para 
que o material radioativo se reduza a 25% da sua 
quantidade inicial. 
Solução 
Para a situação proposta A(t) = 0,25 A0 = 1/4 A0, 
sendo assim, podemos escrever a expressão dada, 
substituindo T por 28 anos, então: 
Portanto, serão necessários 56 anos para que a 
quantidade de material radioativo seja reduzida 
em 25%. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
119) Qual a solução da equação exponencial 3x = 81? 
 
120) Determine o conjunto solução da equação abaixo. 
 
 
121) Uma das soluções da equação é: 
 
122) Qual a solução da equação 
exponencial ? 
 
123) Resolvendo a inequação , em IR, o 
conjunto solução é: 
 
124) Determine o valor de x nas seguintes funções 
exponenciais: 
 
 
 
Referencial Bibliográfico: 
*www.simonsen.br (Federação de Escolas Simonsen, 
Faculdades e colégios condições para estudar - Alexandre 
Assemany da Guia acesso em 01/03/2019. 
*www.slideplayer.com.br/matemática para EJA - acesso 
em 01/03/2019. 
*https://brasilescola.uol.com.br/matematica - acesso em 
01/03/2019. 
*www.sbem.com.br - acesso em 01/03/2019. 
*https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica - em 
01/03/2019. 
*www.somatematematica.com.br - em 01/03/2019. 
*https://www.mundovestibular.com.br/articles/5985/1/E
xercicios-de-Conjuntos/Paacutegina1.html em 
02/03/2019. 
*www.todamateria.com.br - em 01/03/2019. 
*https://www.todamateria.com.br/teoria-dos-conjuntos/ 
de Luiz Paulo Moreira. 
*<https://brasilescola.uol.com.br em 25/02/2019. 
www.tutorbrasil.com.br/ em 03/03/2019.