Apostila_EBB

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Notas de aula
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
Eng. Bioprocessos e Biotecnologia
Daniela Trentin Nava e
Regiane Slongo Fagundes 1 2
2 de Março de 2020
1Professoras da UTFPR - Câmpus Toledo.
2Esta apostila é o resultado de compilações encontradas em diversos materiais pesquisados e que
constam na bibliografia.
Conteúdo
1 Conceitos iniciais 4
1.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 O que é ESTATÍSTICA???? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Pesquisas, dados, variabilidade e estat́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Pesquisa Estat́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Finalidade da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Tipos de Pesquisas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Estat́ıstica descritiva e inferência estat́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 População e amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.1 Terminologia Estat́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Classificação das variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.1 Variáveis qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7.2 Variáveis quantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.3 Natureza dos dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Amostragem 16
2.1 Amostragem probabiĺıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Amostragem casual simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Amostragem sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Amostragem Estratificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Amostragem por meio de conglomerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Amostragem não-probabiĺıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Amostragem a Esmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Amostragem intencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Amostragem por cota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Estat́ıstica Descritiva 28
3.1 Organização e apresentação de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Tabelas de distribuições de frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Tabela de distribuição de frequências bidimensional . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Apresentações gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Medidas descritivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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3.3.2 Medidas de dispersão ou Medidas de Variabilidade . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.3 Medidas de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Elementos de Probabilidade 60
4.1 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Experimento aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.3 Espaço amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Evento Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Definição axiomática de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.6 Probabilidade condicional e independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7 Teorema da probabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Distribuições de Probabilidade 76
5.1 Variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1.1 Variáveis aleatórias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Variáveis aleatórias cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Distribuições teóricas de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.1 Principais distribuições teóricas discretas de probabilidades . . . . . . . . . 85
5.2.2 Principais distribuições teóricas cont́ınuas de probabilidades . . . . . . . . 94
5.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6 Tamanho amostral 116
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2 Dimensionamento de uma amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.1 Variável intervalar e população infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.2 Variável intervalar e população finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.3 Variável Nominal ou ordinal e população infinita . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2.4 Variável Nominal ou ordinal e população finita . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Estimação 119
7.1 Estimador e Estimativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2 Qualidades de um bom estimador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.3 Estimação por pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.1 Estimador da média populacional µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.2 Estimador da variância populacional σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.3 Estimador do desvio padrão populacional σ . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.3.4 Estimador da proporção populacional P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4 Estimação por intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.1 I.C. para a média populacional µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.4.2 I.C. para a variância populacional σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.4.3 I.C. para o desvio padrão populacional σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4.4 I.C. para a proporção populacional p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
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7.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8 Teste de hipóteses 129
8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Passos para realizar um T.H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.3 Teste para a média populacional µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4 Teste para a diferença ente duas médias populacionais µ1 e µ2 . . . . . . . . . . . 132
8.5 Teste para a variância populacional σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.6 Teste para a igualdade de duas variâncias populacionais σ21 e σ
2
2 . . . . . . . . . . 137
8.7 Teste para a proporção populacional p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.8 Teste para duas proporções populacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.9 Teste de normalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9 ANAVA 147
9.1 Introdução .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Conceitos Básicos sobre Experimentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.1 Tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2.2 Unidade experimental ou parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.3 Repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.4 Variável resposta ou variável dependente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2.5 Delineamento experimental (Design) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.2.6 Modelo associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3 ANAVA - fator único . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3.1 Testes de comparação de médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.4 ANAVA - fator duplo sem repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
9.5 ANAVA - fator duplo com repetição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10 Regressão linear simples 165
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2 Exemplo motivacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.3 Gráfico de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.4 Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
10.5 O modelo probabiĺıstico de RLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5.1 Estimação dos parâmetros β0 e β1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.6 Verificação do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6.1 Coeficiente de explicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
10.6.2 Análise de variância do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.7 Funções linearizáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
10.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
11 Bibliografia 177
3
Caṕıtulo 1
Conceitos iniciais
1.1 INTRODUÇÃO
A Estat́ıstica é um processo que permite a análise e a interpretação de dados provenientes de
uma ou mais amostras, com o objetivo de inferir caracteŕısticas de populações. Sendo aplicável
a qualquer ramo do conhecimento onde se manipulam dados experimentais. Trabalha com a
coleta, apresentação, análise e uso de dados para a resolução de problemas, tomada de decisões,
desenvolvimento de estimativas e planejamento e desenvolvimento tanto de produtos quanto de
procedimentos.
A estat́ıstica é usada em vários sentidos. Pode referir-se não só a simples tabulação de
informações numéricas, como a relatórios de transações na bolsa de valores, como ao corpo de
técnicas utilizadas para processar ou analisar dados. A palavra Estat́ıstica é de origem grega
statistós que significa estabelecer ou verificar. Este ramo da ciência também pode ser definido
como a parte da matemática em que se investigam os processos de obtenção, organização e análise
de dados sobre determinada população ou amostra e os métodos de obtenção de conclusões, fazer
inferência, ilações ou predições com base nesses dados.
Historicamente, o crescimento e o desenvolvimento da estat́ıstica moderna podem ser relaci-
onados a três fenômenos isolados - a necessidade do governo de coletar dados sobre os cidadãos,
o desenvolvimento da teoria da probabilidade e o advento da informática.
Dados têm sido coletados através de toda a história. Nas civilizações Eǵıpcias, Grega e
Romana, dados primários eram coletados com propósito de taxações e finalidades militares. Na
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idade Média, igrejas registraram dados e informações sobre nascimentos, mortes e casamentos.
Nos Estados Unidos, a Constituição de 1790 determinava a realização de censo a cada 10 anos.
Atualmente, informações numéricas são necessárias para cidadãos e organizações de qualquer
natureza, e de qualquer parte do globo.
Nas últimas décadas têm ocorrido um crescimento acentuado do uso das técnicas estat́ısticas,
uma vez que através delas é posśıvel estudar fenômenos e prever alguns resultados, e ainda é
posśıvel melhorar ı́ndices.
A essência de uma análise estatı́stica é tirar conclus~oes sobre uma populaç~ao,
ou universo, com base em uma amostra de observaç~oes.
1.2 O que é ESTATÍSTICA????
Segundo o Dicionário de Ĺıngua Portuguesa Aurélio:
1 Parte da matemática em que se investigam processos de obtenção, organização e análise
dedados sobre uma coleção de seres quaisquer, e métodos de tirar conclusões e fazer predições
com base nesses dados. 2 Conjunto de elementos numéricos relativos a um fato social.
Para muitas pessoas, a palavra estat́ıstica faz lembrar longas colunas de números, gráficos e di-
agramas que mostram de que forma o governo está gastando o dinheiro dos impostos. No passado,
esta palavra referia-se exclusivamente à informações numéricas de que os governos necessitavam
para planejar sua conduta. Os estat́ısticos eram pessoas que coletavam grandes quantidades de
informações numéricas. Alguns estat́ısticos ainda realizam este tipo de trabalho, mas existem
outros que auxiliam a conduzir e interpretar experimentos cient́ıficos e pesquisas profissionais.
As mudanças no significado da palavra estat́ıstica acompanharam as mudanças ocorridas no tipo
de trabalho realizado pelos estat́ısticos.
A palavra estat́ıstica pode ser utilizada para designar dados numéricos, como, por exemplo,
estat́ısticas esportivas ou estat́ısticas financeiras. Entretanto, a palavra pode também se referir
à estat́ıstica como uma disciplina própria da mesma forma que a matemática ou a economia.
Assim, conceituando temos que:
A estat́ıstica é o ramo da matemática interessado nos métodos cient́ıficos para coleta, orga-
nização, resumo, apresentação e análise de dados, bem como na obtenção de conclusões válidas
e na tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises.
Portanto, a estat́ıstica é uma ciência que se preocupa com o planejamento de uma pesquisa,
envolvendo desde a forma de coleta das observações obtidas em experimentos ou levantamentos,
até a maneira como será feita a organização, a descrição, o resumo dos dados e a avaliação e
afirmação sobre caracteŕısticas de interesse do pesquisador. Tudo isso corresponde às fases do
método estat́ıstico. As fases do método estat́ıstico são então:
1. Definição do Problema
Consiste na:
(a) formulação correta do problema;
(b) examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (revisão da literatura);
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(c) saber exatamente o que se pretende pesquisar definindo o problema corretamente
(variáveis, população, hipóteses, etc.)
2. Planejamento
Determinar o procedimento necessário para resolver o problema:
(a) Como levantar informações;
(b) Tipos de levantamentos: por censo (completo) ou por amostragem (parcial);
(c) Cronograma, custos, etc.
3. Coleta ou levantamento dos dados
Consiste na obtenção dos dados referentes ao trabalho que desejamos fazer. A coleta pode
ser:
(a) Direta - diretamente da fonte;
(b) Indireta - feita através de outras fontes. Os dados podem ser obtidos pela própria
pessoa (primários) ou se baseia no registro de terceiros (secundários).
4. Apuração dos dados ou sumarização
Consiste em resumir os dados, através de uma contagem e agrupamento. É um trabalho
de coordenação e de tabulação.
5. Apresentação dos dados
É a fase em que são mostrados os resultados obtidosna coleta e na organização.
6. Análise e interpretação dos dados
É a fase mais importante e também a mais delicada. Obtêm-se conclusões que auxiliam o
pesquisador nas tomadas de decisões.
Observaç~ao: As análises estat́ısticas dependem da forma de como os dados são coletados, e
o planejamento estat́ıstico da pesquisa indica o esquema sob o qual os dados serão obtidos.
Portanto, o planejamento da pesquisa e a análise estat́ıstica dos dados estão intimamente ligados.
PLANEJAMENTO DA PESQUISA =⇒ ANÁLISE ESTATÍSTICA
Assim, o pesquisador deve possuir razoável conhecimento de estat́ıstica para desenvolver suas
pesquisas, ou então consultar um estat́ıstico para auxiliá-lo. Vale ressaltar que esta consulta deve
ser feita antes do ińıcio da pesquisa, ainda durante a fase de elaboração do projeto.
1.3 Pesquisas, dados, variabilidade e estat́ıstica
Normalmente a Estat́ıstica está associada a números, tabelas e números, mas a importância da
Estat́ıstica fica melhor representada por dois ingredientes comuns: dados e variabilidade.
Em geral, a busca por melhorias na qualidade de um processo produtivo implica a redução
da variabilidade. A variabilidade pode ser reduzida com investimentos em pessoal, máquinas
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e tecnologia, mas muitas vezes ela pode ser acomodada com o conhecimento de relações entre
fatores do processo e caracteŕısticas funcionais do produto, o que envolve conhecimentos de
engenharia, pesquisas, dados e análises estat́ısticas.
Logo após a Revolução Industrial, métodos estat́ısticos foram incorporados nos processos
industriais para garantir a qualidade dos produtos. Amostras de itens produzidos eram avaliadas
sistematicamente para inferir se o processo estava sob controle. Mais recentemente, a avaliação
da qualidade passou a ser feita ao longo do processo produtivo como forma de corrigir eventuais
falhas no sistema assim que elas aparecessem. Isso levou a um aumento da qualidade do produto
final e redução de custos, pois se reduziriam drasticamente as perdas por defeitos.
Além do acompanhamento estat́ıstico da qualidade, as indústrias costumam fazer experimen-
tos estatisticamente planejados para encontrar a combinação dos ńıveis dos fatores do processo
que levem a melhor qualidade posśıvel. Na outra ponta, as empresas levantam dados de amostras
de consumidores para realizar pesquisas de marketing direcionadas ou para adequar os produ-
tos aos clientes. O planejamento dessas amostras e a análise dos dados necessitam de técnicas
estat́ısticas.
Muitas vezes, a relação entre estat́ıstica e engenharia é ainda mais estreita. Os próprios
métodos de engenharia costumam incorporar intrinsecamente procedimentos probabiĺısticos ou
estat́ısticos.
A Estat́ıstica pode ser dividida em 4 grandes grupos:
1. Amostragem: subconjuntos com as mesmas caracteŕısticas da população, usada em quase
tudo na Estat́ıstica;
2. Estat́ıstica Descritiva: descreve e organiza os dados através de tabelas, gráficos e números
ı́ndices;
3. Probabilidade: estudo de fenômenos aleatórios que ocorrem ao acaso (incerteza);
4. Inferência Estat́ıstica: ferramentas para tomadas de decisão acerca da população (Testes
de hipóteses, Intervalos de confiança, ANOVA).
1.4 Pesquisa Estat́ıstica
Pesquisa é um conjunto de atividades orientadas para a busca de um determinado conhecimento.
Para merecer qualificativo de cient́ıfica a pesquisa deve ser feita de modo sistematizada, utilizando
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para isto métodos próprios e técnicas espećıfica. A pesquisa cient́ıfica se distingue de outras
modalidades quaisquer de pesquisa pelo método, pela técnica, por estar voltada para a realidade
emṕırica e pela forma de comunicar o conhecimento.
1.4.1 Finalidade da Pesquisa
Descobrir respostas para questões, mediante as aplicações de métodos cient́ıficos, e, tentar co-
nhecer e explicar fenômenos que ocorrem no mundo existente.
1.4.2 Tipos de Pesquisas
• Pesquisa bibliográfica: Pesquisa bibliográfica é aquela que se desenvolve tentando expli-
car um problema a partir das teorias publicadas em diversos tipos de fontes: livros, artigos,
manuais, enciclopédias, anais, meios eletrônicos, etc. A realização da pesquisa bibliográfica
é fundamental para que se conheça e analise as principais contribuições teóricas sobre um
determinado tema ou assunto. A pesquisa bibliográfica pode ser realizada com diferentes
fins:
– para ampliar o grau de conhecimentos em uma determinada área, capacitando o in-
vestigador a compreender ou delimitar melhor um problema de pesquisa;
– para dominar o conhecimento dispońıvel e utilizá-lo como base ou fundamentação na
construção de um modelo teórico explicativo de um problema, isto é, como instrumento
auxiliar para a construção e fundamentação de hipóteses;
– para descrever ou sistematizar o estado da arte, daquele momento, pertinente a um
determinado tema ou problema.
Ao analisar essas finalidades pode-se inferir que a pesquisa bibliográfica pode ser realizada
em ńıvel de pesquisa exploratória, quando apenas se quer ter maiores conhecimentos ou uma
certa familiaridade sobre um assunto; oferecer informações mais precisas ao investigador
no momento da construção de problemas ou questões de pesquisa e fundamentar na análise
e discussão de resultados de pesquisas emṕıricas
• Pesquisa documental: A pesquisa documental assemelha-se muito com a pesquisa bi-
bliográfica. Ambas adotam o mesmo procedimento na coleta de dados. A diferença está,
essencialmente, no tipo de fonte que cada uma utiliza. Enquanto a pesquisa documental
utiliza fontes primárias, a pesquisa bibliográfica utiliza fontes secundárias. O quadro abaixo
apresenta alguns tipos de documentos de fontes primárias e secundárias, este por sua vez,
diferenciar as principais fontes utilizadas pela pesquisa bibliográfica e documental.
• Pesquisa experimental: A pesquisa experimental está interessada em verificar a relação
de causalidade que se estabelece entre as variáveis, isto é, em saber se a variável X (inde-
pendente) determina a variável Y (dependente). Para isto, cria-se uma situação de controle
rigoroso neutralizando todas as influências alheias que Y pode sofrer.
• Estudo de caso e controle: Nos estudos de caso controle investiga-se os fatos após a sua
ocorrência, sem manipular a variável independente. Neste tipo de pesquisa o investigador
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não pode, conforme o seu desejo, manipular a variável independente, mas sim localizar
grupos cujos indiv́ıduos sejam bastante semelhantes entre si, verificando as conseqüências
naturais que o acréscimo de uma variável possa produzir em um grupo e comparar com o
outro que se manteve em condições normais.
• Levantamento: As pesquisas do tipo levantamento procuram analisar, quantitativamente,
caracteŕısticas de determinada população. Caracterizam-se pela interrogação direta das
pessoas cujo comportamento se deseja conhecer. Basicamente, procede-se à solicitação
de informações a um grupo significativo de pessoas acerca do problema estudado para, em
seguida, mediante análise quantitativa, obterem-se as conclusões correspondentes aos dados
pesquisados.
Os levantamentos podem abranger o universo dos indiv́ıduos que compõem a população,
no caso, um censo, ou apenas uma amostra, um subconjunto da população. Os censos
geralmente são desenvolvidos por instituições governamentais em decorrência do grande
investimento financeiro, necessário para a sua realização.
As pesquisas por amostragem apresentam vantagens e limitações. Entre as vantagens estão
o conhecimento direto da realidade, economia, rapidez e quantificação dos dados. Entre as
limitações estão a possibilidade de não fidedignidade nas respostas, de pouca profundidade
no estudo da estrutura e dos processos sociais e delimitada apreensão do processo de
mudança. Os estudos por levantamentos, por serem de natureza descritiva/quantitativa,
pouco se aproximam de estudos explicativos, bem pelo contrário, podem estar muito mais
próximos de estudos exploratórios.
• Estudo de caso: Estudo de caso pode ser definido com um estudo exaustivo, profundo e
extenso de uma ou de poucas unidades, empiricamente verificáveis, de maneira que permita
seu conhecimento amplo e detalhado. Nas ciências, durante muito tempo, o estudo de
caso foi encarado como procedimento pouco rigoroso, que serviria apenas para estudos de
maneira exploratória. Hoje, porém, é encarado como o delineamento mais adequado para
a investigação de um fenômeno contemporâneo dentro de seu contexto real, onde os limites
entre o fenômeno e o contexto não são claramente percebidos.
O estudo de caso, como modalidade de pesquisa, pode ser utilizado tanto nas ciências
biomédicas como nas ciências sociais. Nas ciências biomédicas é utilizado para a inves-
tigação das peculiaridades que envolvem determinados casos cĺınicos e nas ciências soci-
9
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ais para a investigação das particularidades que envolvem a formação de determinados
fenômenos sociais.
Por unidade-caso podemos entender uma pessoa, uma famı́lia, uma comunidade, uma em-
presa, um regime poĺıtico, uma doença, etc. Para a coleta de dados no estudo de casos
geralmente utilizam-se as técnicas da pesquisa qualitativa, sendo a entrevista a principal
delas.
• Estudo de campo: O estudo de campo é um tipo de pesquisa que procura o aprofun-
damento de uma realidade espećıfica. É basicamente realizado por meio da observação
direta das atividades do grupo estudado e de entrevistas com informantes que captam as
explicações e interpretações do que ocorre naquela realidade.
1.5 Estat́ıstica descritiva e inferência estat́ıstica
Os governos vêm, de longa data, utilizando recenceamentos como forma de contar indiv́ıduos
e propriedades, e o escopo de descrever, resumir e analisar dados de censos levou ao desenvol-
vimento de métodos que consistem o que se chama estat́ıstica descritiva, que compreende
o manejo dos dados para resumi-los ou descrevê-los, sem ir além, isto é, sem fazer nenhuma
inferência. Por exemplo, se os testes feitos em um laboratório mostraram que um determinado
metal atinge de 0 a 60 graus em
18, 7 19, 2 16, 2 12, 3 17, 5 13, 9
minutos, afirmamos que a metade deles atinge 60 graus em 16,3 minutos, esta é uma caracteŕıstica
da estat́ıstica descritiva.
Embora a estat́ıstica descritiva seja um ramo importante da estat́ıstica as informações es-
tat́ısticas quase sempre são obtidas de amostras, e isto significa que sua análise exige genera-
lizações que ultrapassam os dados. Assim, a inferência estat́ıstica têm sido muito utilizada, e
seus métodos têm apresentados resultados interessantes.
Logo, para se resolver um problema de probabilidade, supõe-se conhecer certas carac-
teŕısticas de uma população. Então, respondemos a questões relativas à amostra extráıda da-
10
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quela população. Em um problema estat́ıstico, admitimos muito pouco sobre uma população.
Usamos a informação sobre uma amostra para respondermos a questões relativas à população.
Os métodos da inferência estat́ıstica permitem prever a duração média da vida útil de uma
calculadora manual, estimar o valor de consumo de água do ano de 2010, comparar eficiência
de dois programas de dieta, determinar a dosagem ideal para determinado medicamento, entre
várias coisas.
1.6 População e amostra
Define-se população como um conjunto de elementos que possuem caracteŕısticas similares.
Amostra pode ser definida como uma parte da população, um subconjunto, ou ainda um
fragmento ou exemplar representativo da população. Geralmente, é a partir deste subconjunto
da população que se estabelecem ou estimam as propriedades e caracteŕısticas dessa população.
Na maioria dos casos, os pesquisadores fazem uso de amostras com o objetivo de descrever e
fazer inferências na população.
1.6.1 Terminologia Estat́ıstica
• Unidade experimental, amostral ou de análise: É o objeto ou indiv́ıduo que será
estudado na população, e sobre os quais obtêm-se os dados.
11
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• Dados: É o valor ou resposta que toma a variável em cada unidade experimental. É o
resultado de uma observação. É a matéria prima da estat́ıstica.
• Variável: É uma caracteŕıstica observável, suscept́ıvel de adotar distintos valores ou ser
expresso em várias categorias. Exemplos: Idades; Sexo; Série; Horas de estudo; Horas de
treino; etc...
• Informação: É o resultado dos dados processados (ou organizados) de acordo com certos
objetivos.
• Estat́ıstica: É qualquer função dos dados emṕıricos (baseado apenas na experiência, e
não no estudo) que é usada com fins descritivos ou anaĺıticos. É uma medida resumo dos
dados.
• Parâmetros: São as caracteŕısticas mais importantes da população. Comumente são
desconhecidos.
1.7 Classificação das variáveis
Os dados estat́ısticos constituem a matéria-prima das pesquisas estat́ısticas, e nada mais são do
que informações sobre fatos observados.
1.7.1 Variáveis qualitativas
São caracteŕısticas cujos dados não são numéricos, isto é, são apresentados como uma qualidade
ou atributo. Ex: Sexo, estado civil, ńıvel de escolaridade.
1. Nominal: Não existe nenhuma ordenação ou hierarquia nos posśıveis resultados. Ex:
sexo, estado civil, região de procedência.
2. Ordinal: Existe uma certa ordem ou hierarquia nos posśıveis resultados. Ex: Nı́vel de
escolaridade, ńıvel de satisfação.
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1.7.2 Variáveis quantitativas
É uma caracteŕıstica em estudo cujos resultados se referem a quantidades, isto é, são medidas
numa escala numérica. Ex: idade, salário, número de filhos, etc.
1. Discretas: Cujos resultados se referem a dados que podem assumir valores inteiros (N).
Ex: idade, número de pessoas, número de filhos por famı́lia, etc.
2. Cont́ınuas: São dados que podem assumir qualquer valor de um conjunto de números
reais (R). Ex: peso, altura, consumo mensal de energia, etc.
Exemplo: Classifique cada uma das variáveis:
Variável tipo (natureza)
Condição de saúde (doente, não doente)
Tipo de parto (normal, cesáreo)
Nı́vel de colesterol sérico (mg/100cc)
Tempo de um procedimento cirúrgico (minutos)
Número de praias consideradas polúıdas
Custo de procedimento (reais)
Peso (g)
Estado nutricional (desnutrição, eutrofia, sobrepeso, obesidade
Consumo de energia (Kcal)
Realização do desjejum (sim/não)
Número de escolares por turma
Realização de atividade f́ısica diária (sim/não)
Tempo assistido de TV/dia (< 2h, 2 a 4h, > 4h)
Percentual de gordura corporal (%)
Estado civil
Tempo de processamento de um algoritmo
Número de sucessos em 20 rep. de um exper.
Nı́vel de escolaridade
Cor dos olhos
Classificação de peça (Def./não Def.)
Estado de uma lâmpada (ligada/desligada)
N. buracos em 100km de rodovia
1.7.3 Natureza dos dados
Principalmente em pesquisas sociais, o analista se defronta com situações em que dispõe de
muitos dados, e é dif́ıcil absorver as informações que procura investigar, e portanto é dif́ıcil
captar intuitivamente todas as informações que os dados contém.
É necessário reduzir as informações até o ponto que elas possam ser interpretadas com clareza,
isto é, resumi-las através de medidas-śınteses, comumente chamadas de estat́ısticas descritivas.
Assim, uma estat́ısitca descritiva é um número que descreve sozinho uma caracteŕıstica de um
conjunto de dados.
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As pessoas normalmente se lembram da estat́ıstica quando se vêem diante de grandes quan-
tidades de informação.Na percepção do senso comum, o emprego de métodos estat́ısticos seria
algo semelhante à prática da mineração. Um estat́ıstico seria um tipo de minerador bem suce-
dido, capaz de explorar e processar montanhas de números e delas extrair valiosas conclusões.
Entretanto, a atividade estat́ıstica mais importante não é a análise de dados, e sim o planeja-
mento dos experimentos em que os dados devem ser obtidos. Quando isso não for feito da forma
apropriada, o resultado muitas vezes é uma montanha de números estéreis, da qual estat́ıstico
algum conseguiria quaisquer conclusões.
Para tal, devemos projetar o planejamento de forma que ele seja capaz de fornecer exatamente
o tipo de informação que procuramos. Quando se pretende fazer um estudo estat́ıstico completo,
existem várias faces do trabalho que devem ser observadas:
1. definição do problema: definição ou formulação correta do problema a ser estudado;
2. planejamento: determinação do procedimento necessário para resolver o problema, espe-
cialmente em como levantar informações sobre o objeto de estudo;
3. coleta de dados: obtenção, reunião e registro sistemático de dados;
4. operação dos dados: sumarização, consiste em resumir os dados através de sua contagem
e agrupamento;
5. apresentação dos dados: pode ser em forma de tabelas ou gráficos;
6. análise e interpretação dos dados: mais importante e mais delicada fase, consiste em
tirar conclusões que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema e propor medidas que
solucionem o mesmo.
1.8 Exerćıcios
1. Há alguma evidencia que sugere que as pessoas com hepatite C crônica tem um ńıvel de
enzima do f́ıgado que flutua do normal ao anormal. Cinquenta pacientes diagnosticados com
hepatite C foram selecionados e sues ńıveis de enzima do f́ıgado registrados diariamente,
durante um mês. Descreva a população, a amostra e a variável resposta.
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2. Realizou-se um estudo para determinar se a exaustão esta relacionada a ńıveis de cortisol.
Setenta e oito indiv́ıduos foram selecionados e seus ńıveis de cortisol foram medidos 30
minutos após acordarem. Descreva a população, a amostra e a variável resposta neste
problema.
15
Caṕıtulo 2
Amostragem
Em quase todos os casos de estudos estat́ısticos, uma estimativa está associada a uma pesquisa
ou a uma verificação de caracteŕısticas, que devido a custos acesśıveis com resultados satisfatórios,
não é realizada sobre todos os elementos da população, mas sim sobre uma parte dela, chamada de
amostra. Assim, um dos objetivos da estat́ıstica é tirar conclusões sobre o “todo” (população) a
partir das informações fornecidas por “parte representativa” do todo (amostra). Assim, realizadas
as fases de descrição dos dados. (estat́ıstica descritiva), é feita uma análise dos resultados, obtidos
através dos métodos da Estat́ıstica Inferencial ou Indutiva, que tem por base a indução, inferência
de dados com indução da precisão, obtida por meio da teoria da probabilidade.
A Estat́ıstica lida não somente com a organização e análise de dados depois de sua coleta,
como também com o desenvolvimento de técnicas de coleta (Amostragem).
Não basta saber descrever os dados convenientemente e dominar as técnicas estat́ısticas as-
sociadas para tal. Antes de tudo, é preciso garantir que a amostra ou amostras que serão usadas
sejam obtidas de maneira adequada, para evitar que erros grosseiros aconteçam e leve a perder
os resultados.
É de suma importância que os dados sejam de uma amostra representativa da população, ou
seja, a amostra deve manter as caracteŕısticas principais da população. Para tal, assumiremos
que a população seja finita e composta de N elementos, salvo quando explicitamos o contrário.
O número de elementos que serão amostrados será representado por n.
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Os problemas de amostragem podem ser de dif́ıcil entendimento dependendo do que se deseja
estudar em uma população. Por exemplo, em pesquisas de opinião há uma grande complexidade
de coleta de dados, e, em tais casos é necessário maiores cuidados.
Distinguem-se dois tipos de amostragem: (1) Amostragem probabiĺıstica: quando todos os ele-
mentos da população tem probabilidades conhecidas, e diferente de zero, de pertencer à amostra.
(2) Em caso contrário, a amostragem é dita ser não-probabiĺıstica.
Vantagens de um levantamento por amostragem
1. Menor custo;
2. Menor tempo;
3. Maior amplitude do universo;
4. Menor erro da medida.
2.1 Amostragem probabiĺıstica
Desta maneira, a amostragem probabiĺıstica implica um sorteio com regras bem determinadas,
cuja realização só é posśıvel se a população é finita e totalmente acesśıvel.
A amostragem probabiĺıstica é a melhor recomendação que se deve fazer no sentido de garantir
a representatividade da amostra, pois o acaso será o único responsável por eventuais discrepâncias
entre população e amostra.
Além disso, as amostragens probabiĺısticas são particularmente importantes nos processos de
inferência, pois os métodos estat́ısticos são constrúıdos sob suas propriedades. Descreveremos a
seguir alguns tipos de amostragens probabiĺısticas.
2.1.1 Amostragem casual simples
Também conhecida como simples ao acaso, aleatória, casual, simples, elementar, randômica, é
equivalente a um sorteio lotérico. Nela, todos os elementos da população têm igual probabilidade
de pertencer à amostra.
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Sendo N o número de elementos da população e n o número de elementos da amostra, cada
elemento da população tem probabilidade n
N
de pertencer à amostra (considernado-se amostras
sem reposição).
É a técnica amostral mais utilizada em pesquisas. Na prática, enumera-se os elementos da
população de 1 a N , e sorteia-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, n
números da sequência, estes números comporão a amostra.
A seleção de uma amostra aleatória simples pode ser facilitada com o uso de números
aleatórios, ou seja, números resultantes de sucessivos sorteios aleatórios do conjunto {1, 2, 3, · · · , 9}
fazendo com que todo número com mesma quantidade de algarismos tenha a mesma probabili-
dade de ocorrência.
Exemplo 1: Obtenha uma amostra casual simples de tamanho n = 6 da sua turma de Probabi-
lidade e Estat́ıstica, em que N = , usando um dispositivo de sorteio aleatório.
Exemplo 2: Queremos realizar uma pesquisa de opinião sobre a qualidade de um curso uni-
versitário, que tem cerca de 1000 alunos, perguntando aspectos relativos ao encadeamento das
disciplinas no curŕıculo. Decidimos utilizar amostragem aleatória simples para selecionar os
respondentes. Este método de amostragem é o mais apropriado?
Exemplo do BioEstat: Para determinar a estatura média de uma população de 350 alunos da
segunda série do Ensino Fundamental, tomou-se amostra aleatória de 40 estudantes, precedida
da listagem numérica de todos os discentes desse universo.
18
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2.1.2 Amostragem sistemática
Quando os elementos da população se apresentam ordenados e a retirada dos elementos da
amostra é feita periodicamente, temos uma amostragem sistemática.
Assim:
1. calcula-se o intervalo de seleção, dado por r = N/n, desprezando as decimais
2. sorteia-se o primeiro elemento do conjunto, a1, que deverá ser menor ou igual a r;
3. completa-se a amostra, extraindo um elemento a cada r elementos. Assim, teremos a PA
de razão r, dada por:
(
a1, a1 + r, a1 + 2r, . . . , a1 + (n− 1)r).
Por exemplo, em uma linha de produção onde são produzidos 300 itens por dia, uma amostra
sistemática de tamanho 10, deve escolher elementos de cada 30 itens produzidos.
Ou ainda, seja N = 800 e n = 50, supondo a população ordenada, a amostra sistemática é
composta peloselementos de posição múltipla de 16 (800
50
= 16)!!!
A principal vantagem da amostragem sistemática está na grande facilidade de coleta, en-
tretanto existe um grande perigo: pois se existem ciclos de variação da variável de interesse, a
amostra sistemática conterá a caracteŕıstica do ciclo; especialmente se o peŕıdo coincidir com a
retirada do elemento.
Exemplo 1: Obtenha uma amostra sistemática de tamanho n = 6 da sua turma de Probabilidade
e Estat́ıstica, em que N = .
Exemplo 2: Suponhamos que desejamos estudar o estado de conservação da rodovia BR277
com 180 Km. Para tal, estudaremos uma amostra aleatória de 30 elementos. Quais elementos
poderão ser escolhidos?
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Exemplo 3: Uma operadora telefônica dispõe de uma lista ordenada alfabeticamente com todos
os seus assinantes e pretende saber a opinião de seus assinantes comerciais sobre seus serviços
na cidade de Florianópolis. Supondo que há 25037 assinantes comerciais, e a amostra precisa
ter no mı́nimo 800 elementos, mostre como seria organizada uma amostragem sistemática para
selecionar os respondentes.
Resposta: A operadora dispõe de uma lista ordenada alfabeticamente com todos os seus
assinantes, o intervalo de retirada será:
r = N/n = 25037/800 = 31, 2965.
Como o valor de r é fracionário algo precisa ser feito. Aumentar o tamanho da amostra não resol-
verá o problema, porque 25037 é um número primo. Como não podemos reduzir o tamanho de
amostra, devendo permanecer igual a 800, se excluirmos por sorteio 237 elementos da população,
e refizermos a lista teremos:
r = N/n = 24800/800 = 31.
A cada 31 assinantes um é retirado para fazer parte da amostra. Devemos sortear o ponto de
partida: um número de 1 a 31 (do 1o ao 31o assinante).
2.1.3 Amostragem Estratificada
Muitas vezes a população se divide em subpopulações ou estratos, com caracteŕısticas comuns
em cada estrato, e diferente de estrato para estrato. E pode ocorrer que os estratos não sejam
bem representados na amostra simples, por exemplo, pois os tamanhos dos estratos diferem.
Por exemplo, se para estudar a dureza de certo aço temos corpos de prova de dois fornecedores,
então a população dos corpos de prova pode ser dividida em dois estratos. Sob os diversos estratos
da população são realizadas seleções aleatórias de forma independente. A amostra completa é
obtida através da agregação das amostras de cada estrato.
• Amostragem estratificada proporcional: a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da
população é mantida na amostra. Por exemplo, se um estrato abrange 20% da população,
ele também deve abranger 20% da amostra.
20
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• Amostragem estratificada uniforme: selecionamos o mesmo número de elementos em cada
estrato. É o processo usual quando se deseja comparar os diversos estratos.
• Amostragem estratificada ótima: quando se toma em cada estrato um número de elemen-
tos proporcional ao número de elementos do estrato e também à variação da variável de
interesse no estrato, medida pelo seu desvio padrão.
Primeiramente a população N é dividida em L sub-populações (estratos) com N1, N2, · · · , NL
elementos. Para cada estrato, escolhe-se ni elementos aleatoriamente, com i = 1, · · · , L, totali-
zando n elementos.
ni =

todos iguais : ni =
n
L
,
proporcionais a Ni : ni = nWi, em que Wi =
Ni
N
,
tamanho ótimo (considera a variabilidade) : ni = n
Nisi∑
i=1 LNisi
.
Exemplo 1: Selecionar aleatoriamente 60 pessoas da população organizada da seguinte forma:
50 solteiros, 210 casados e 40 outras.
Exemplo 2: Considere uma população de tamanho 100, onde existem 4 estratos, com 50, 25, 10
e 15 elementos cada um.
(a) Extraia uma amostra estratificada proporcional de tamanho 10.
(b) Extraia uma amostra estratificada uniforme de tamanho 10.
Exemplo do BioEstat: A população de uma cidade de 600 habitantes foi dividida em dois
estratos: urbano e rural, com a finalidade de se estudar a incidência de malária em cada grupo
de seus residentes. O estrato urbano possui 400 habitantes e o rural, 200. O tamanho total da
amostra deve compreender 60 pessoas. Deve-se notar que o tamanho da amostra retirada de cada
subconjunto é proporcional ao tamanho de cada estrato em relação ao tamanho da população.
2.1.4 Amostragem por meio de conglomerados
Ao contrário da amostragem estratificada, a amostragem de conglomerados tende a produzir
uma amostra que gera resultados menos precisos, quando comparada com uma amostra aleatória
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simples de mesmo tamanho. Contudo, seu custo financeiro tende a ser bem menor, especialmente
em amostragens de grandes populações.
Quando a população apresenta uma subdivisão por meio de pequenos grupos, chamados de
conglomerados, é posśıvel - e conveniente - fazer-se a amostragem por conglomerados, que consiste
em sortear um número suficiente de conglomerados, cujos elementos construirão a amostra.
Ou seja, as unidades de amostragem, sobre as quais é feito o sorteio, passam a ser os conglo-
merados, e não mais os elementos individuais da população.
Exemplo 1: Pesquisa Nacional por Amostra de Domićılios (PNAD) do IBGE. Coleta informações
demográficas e sócio-econômicas sobre a população brasileira. Utiliza amostragem por conglo-
merados.
Primeiro estágio: amostras de munićıpios (conglomerados) para cada uma das regiões
geográficas do Brasil;
Segundo estágio: setores censitários sorteados em cada munićıpio (conglomerado sorteado);
Terceiro estágio: domićılios sorteados em cada setor censitário.
Exemplo do BioEstat: Calcular o peso médio de estudantes da quinta série do ensino funda-
mental das escolas públicas de um munićıpio. O total de estabelecimentos de ensino é de 52
escolas (conglomerados do 1o estágio), cada uma com 10 turmas da quinta série (conglomerados
do 2o estágio), e cada turma apresentando 40 alunos matriculados (unidades simples, 3o estágio).
Foram selecionadas 5, 4 e 8 unidades dos estágios 1o, 2o e 3o, respectivamente, constituindo, ao
final, amostra de 160 discentes (5 x 4 x 8).
2.2 Amostragem não-probabiĺıstica
As amostras não-probabiĺısticas são também, muitas vezes, empregadas na estat́ıstica, por sim-
plicidade ou inacessibilidade de toda a população. Nestes casos, supõe-se um tamanho amostral
e usa-o para coletar as amostras.
A obtenção de uma amostra probabiĺıstica exige que se obtenha uma listagem com os elemen-
tos da população. Em suma, exige acesso a todos os elementos da população, que a população
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acesśıvel seja igual à população alvo. Nem sempre é posśıvel obter tal listagem na prática, o
que teoricamente inviabilizaria a retirada de uma amostra aleatória. Então deve-se recorrer à
amostragem não probabiĺıstica.
Ao usar a amostragem não probabiĺıstica o pesquisador não sabe qual é a probabilidade de que
um elemento da população tem de pertencer à amostra. Portanto, os resultados da amostra não
podem ser estatisticamente generalizados para a população, porque não se pode estimar o erro
amostral. Se as caracteŕısticas da população acesśıvel forem semelhantes às da população alvo
os resultados podem ser equivalentes aos de uma amostragem probabiĺıstica, mas não podemos
garantir a sua confiabilidade.
Alguns dos usos habituais da amostragem não probabiĺıstica são os seguintes:
a) Como etapa preliminar em projetos de pesquisa;
b) em projetos de pesquisa qualitativa;
c) em casos onde a população de trabalho não pode ser enumerada.
2.2.1 Amostragem a Esmo
É a amostragem em que o amostrador, para simplificar o processo, procura ser aleatório sem,
no entanto realizar propriamente o sorteio usando algum dispositivo aleatório confiável. Por
exemplo, se desejarmos retirar uma amostra de 100 parafusos de uma caixacontendo 1000
evidentemente não faremos uma amostragem casual simples, pois seria extremamente trabalhosa,
mas procederemos a retirada simplesmente a esmo.
Os resultados da amostragem a esmo são em geral equivalentes aos de uma amostragem
probabiĺıstica se a população é homogênea e se não existe a possibilidade de o amostrador ser
inconscientemente influenciado por alguma caracteŕıstica dos elementos da população.
Exemplo 5: Imagine um lote de 10000 parafusos, do qual queremos tirar uma amostra de 100,
se fôssemos realizar uma amostragem aleatória simples o processo seria muito trabalhoso. Então
simplesmente retiramos os elementos a esmo. Este tipo de amostragem também pode ser utilizado
quando a população for formada por material cont́ınuo (gases, ĺıquidos, minérios), bastando
homogeneizar o material e proceder a retirada da amostra.
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2.2.2 Amostragem intencional
É uma amostragem não probabiĺıstica e consiste em selecionar um subgrupo de população que,
com base nas informações dispońıveis, possa ser considerado representativo, de toda a população.
A principal vantagem da amostragem intencional esta nos baixos custos de sua seleção. A
amostragem intencional não é considerada um bom método, pois os dados podem ser facilmente
manipulados, direcionados aos interesses do pesquisador ou de quem encomendou a pesquisa.
Exemplo 6: Por exemplo, suponhamos que você quer saber a opinião de estudantes universitários
brasileiros sobre poĺıtica. Para realizar uma amostra probabiĺıstica, seria necessário ter acesso a
todos os estudantes universitários brasileiros, selecionar um grupo aleatório e realizar a pesquisa.
Já para realizar uma amostra por conveniência, podeŕıamos abordar três universidades próximas,
simplesmente porque representam o local onde a população da pesquisa “reside” e perguntar a
alguns estudantes do peŕıodo matutino que concordam em participar.
2.2.3 Amostragem por cota
Parece semelhante a uma amostragem estratificada proporcional, da qual se diferencia por não
empregar sorteio na seleção dos elementos. A população é dividida em vários subgrupos, na
realidade é comum dividir em um grande número para compensar a falta de aleatoriedade, e
seleciona-se uma cota de cada subgrupo, proporcional ao seu tamanho.
Na amostragem por cotas os elementos da amostra são escolhidos pelos entrevistadores (de
acordo com os critérios...), geralmente em pontos de grande movimento, o que sempre acarreta
certa subjetividade (e impede que qualquer um que não esteja passando pelo local no exato mo-
mento da pesquisa possa ser selecionado). Na prática muitas pesquisas são realizadas utilizando
amostragem por cotas.
Exemplo 7: Em uma pesquisa de opinião eleitoral podeŕıamos dividir a população de eleitores
por sexo, ńıvel de instrução, faixas de renda entre outros aspectos, e obter cotas proporcionais
ao tamanho dos grupos (que poderia ser obtido através das informações do IBGE).
Exemplo 8: Se definirmos segmentos por sexo numa população onde há 60% masculino e 40%
feminino e queremos uma amostra de n = 1000, podeŕıamos coletar 600 pessoas do sexo masculino
e 400 do sexo feminino.
2.3 Exerćıcios
1. Uma população de 1000 elementos foi dividida em 3 estratos, sendo um com 100 elementos
(E1), outro com 300 elementos (E2) e o último com 600 elementos (E3). Pretende-se retirar
uma amostra de 60 elementos para uma pesquisa, qual deve ser o tamanho da amostra em
cada estrato proporcionalmente?
2. Selecione 8 alunos da população listada abaixo, através de amostragem casual simples,
usando um dispositivo de sorteio aleatório, considere usar com reposição e sem reposição.
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Número Nome Notas Número Nome Notas
1 Alysson 5,8 19 Isabela 7,0
2 Amanda 7,3 20 Jessica 2,1
3 Anderson 2,1 21 Jhonatan 3,9
4 Angela 7,5 22 João 5,6
5 Arthur 8,2 23 José 7,8
6 Artur 4,3 24 Kaio 6,5
7 Camila 5,6 25 Leandro 4,6
8 Cayo 6,6 26 Let́ıcia 7,8
9 Cesar 5,4 27 Lucas 4,9
10 Cezar 7,8 28 Maicon 6,5
11 Daniel 9,5 29 Maresa 4,5
12 Fabio 3,2 30 Maria 6,7
13 Fagner 4,0 31 Mauŕıcio 5,5
14 Gabriela 3,7 32 Nathan 5,4
15 Glória 8,4 33 Ricardo 0,3
16 Gryele 6,5 34 Thais 1,3
17 Herily 3,4 35 Thayse 2,5
18 Igor 6,7 36 Valeria 5,8
3. Selecione uma amostra estratificada uniforme, de tamanho n = 6 do exerćıcio 1.
4. Identifique o tipo de amostragem utilizado.
(a) Ao escalar um júri um tribunal de justiça decidiu selecionar aleatoriamente 4 pessoas
brancas, 3 morenas, e 4 negras.
(b) Um cabo eleitoral escreve o nome de cada senador do Brasil, em cartões separados,
mistura e extráı 10 nomes.
(c) Um administrador hospitalar faz uma pesquisa com as pessoas que estão na fila de
espera para serem atendidas pelo sistema SUS, entrevistando uma a cada 10 pessoas
da fila.
(d) Ao escalar uma comissão para atuar em determinado projeto, uma empresa decidiu
selecionar aleatoriamente 4 pessoas brancas, 3 pardas e 4 negras.
(e) Uma professora escreve o nome de todos os seus alunos em pedaços de papel e coloca
em uma caixa. Depois de misturá-los, sorteia 10 nomes.
(f) Um administrador de uma sala de cinema faz uma pesquisa com as pessoas que estão
na fila de espera para comprar ingresso, entrevistando uma pessoa a cada 10 presentes
na fila.
(g) Deseja-se selecionar uma amostra de domićılios da cidade de São Paulo. As ruas estão
identificadas pelas letras de A a F. As casas de cada rua estão identificadas pelo nome
da rua, seguido por um número. Primeiro foram sorteadas duas ruas (B e F) e depois,
foram selecionados ao acaso 50% dos domićılios de cada rua
25
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5. Um pesquisador pretende levantar dados sobre o número de moradores por domićılio,
usando a técnica de amostragem simples sistemática. Para isso, o pesquisador visitará
cada domićılio selecionado. Se nenhuma pessoa estiver presente na ocasião da visita, o
pesquisador exclúıra o domićılio da amostra. Esta última determinação introduz tendenci-
osidade. Por quê?
6. Com o objetivo de fazer testes de qualidade com determinados produtos de uma indústria
optou-se por realizar um levantamento por amostragem. A população é constitúıda por:
produto A: A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8, A9, A10
produto B: B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10
produto C: C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10,
C11, C12, C13, C14, C15, C16, C17, C18, C19, C20,
C21, C22, C23, C24, C25, C26, C27, C28, C29, C30
Realizar uma amostragem aleatória estratificada proporcional por produto para obter uma
amostra global de tamanho 10.
7. Comente os seguintes planos de amostragens, apontando suas incoerências, quando for o
caso:
(a) Com a finalidade de estudar o perfil dos consumidores de um supermercado, observaram-
se os consumidores que compareceram ao supermercado no primeiro sábado do mês;
(b) Com a finalidade de estudar o perfil dos consumidores de um supermercado, fez-se a
coleta de dados durante um mês, tomando a cada dia um consumidor da fila de cada
caixa do supermercado, variando sistematicamente o horário da coleta dos dados;
(c) Para avaliar a qualidade dos itens que saem de uma linha de produção, observaram-se
todos os itens das 14 às 14:30min;
(d) Para avaliar a qualidade dos itens que saem de uma linha de produção, observou-se
um item a cada meia hora, durante todo o dia;
8. Um pesquisador obteve as seguintes observações. Classifique cada conjunto de dados re-
sultante como categórico ou numérico. Se o conjunto for numérico, determine se é discreto
ou cont́ınuo.
(a) O número de livros lidos por alunos do Ensino Médio durante um ano acadêmico.
(b) A posição da ponte móvel de Belmar, New Jersey, ao meio dia, em dias de julho.
Suponha que a ponte não esteja se movendo, e esteja ou aberta ou fechada ao tráfego
de barcos.
(c) O tempo (em minutos) necessário para um corte de cabelo.
(d) O númerode guardas de segurança em serviço em prédios de escritórios.
(e) Os tipos de doces recebidos em casa no dia de Halloween.
(f) A pressão do ar em bolas de futebol no ińıcio dos jogos colegiais.
(g) Os pesos de várias resmas de papel.
(h) O número de carros levados pelo guincho em uma rodovia, durante certos peŕıodos de
24 horas.
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(i) O número de jogos ganhos pelo Brasil durante a Copa do mundo.
(j) Os diagnósticos de pacientes em um pronto atendimento de emergência.
(k) O número de degraus de escadas de incêndio em prédios de apartamentos.
(l) O número de folhas em árvores frut́ıferas.
(m) As razões pelas quais vários automóveis não passam na inspeção.
(n) Os pesos dos reboques de trator completamente carregados.
(o) As áreas de várias fazendas em Toledo.
(p) O plano de telefonia escolhido pelos clientes.
(q) O número de rotações por minuto de motores de carros.
(r) O estado em que várias famı́lias passaram as últimas férias.
(s) Os tempos necessários para compilação de programas de computador.
(t) O número de abelhas em colméias.
9. Para as questões a seguir imagine um experimento em que se dividam os elementos em dois
grupos: Um grupo experimental e um grupo de controle.
(a) Por que os grupos devem ser tão semelhante quanto posśıvel?
(b) As pessoas devem saber em que grupo estão?
(c) Qual é o melhor sistema de dividir os indiv́ıduos pelos dois grupos?
10. Diversas universidades e faculdades institúıram programa de instrução suplementar (IS),
em que o monitor se encontra regularmente com um grupo de estudantes matriculados em
um curso para promover discussões sobre o material desse curso e melhorar o domı́nio da
disciplina. Suponha que os estudantes de um grande curso de estat́ıstica são aleatoriamente
divididos em grupo de controle que não participará do IS e um grupo de tratamento que o
fará. No final do peŕıodo, é determinada a pontuação total de cada estudante do curso.
(a) As pontuações do grupo IS são uma amostra da população existente? Caso seja, qual
é? Caso contrário, qual é a população conceitual relevante?
(b) Qual você acha que é a vantagem de dividir aleatoriamente os estudantes em dois
grupos em vez de deixar que cada um escolha o grupo a qual participará?
(c) Por que os investigadores não colocaram todos os estudantes no grupo de tratamento?
27
Caṕıtulo 3
Estat́ıstica Descritiva
Com o advento da informática, o mundo encheu-se de dados. As empresas tem dados de suas
atividades, de seus funcionários, de seus clientes, etc. Mas para que estes dados sejam informa-
tivos, necessitamos organizá-los de forma adequada. Este é o papel da Estat́ıstica Descritiva.
A Estat́ıstica Descritiva é a fase na qual os dados de um experimento ou pesquisa, são orga-
nizados, resumidos, descritos, apresentados e interpretados. Esta fase é de grande importância
para uma pesquisa, pois nela, podemos perceber as tendências do nosso de dados. Após a coleta
dos dados experimentais, devemos organizá-los e apresentá-los, e esta apresentação, pode ser
feita através de tabelas e gráficos.
3.1 Organização e apresentação de dados
No dia-a-dia nos deparamos com variáveis qualitativas e variáveis quantitativas, estas últimas
podendo ser cont́ınuas (idade, peso, diâmetro) ou discretas (n. de filhos, n. de defeitos por uni-
dade). O método mais comum de resumir dados consiste em apresentá-los em forma condensada
de tabelas ou gráficos.
Suponha o banco de dados abaixo, que são notas de um teste de coordenação f́ısica aplicado
a 20 estudantes, após terem ingerido uma quantidade de álcool igual a 10% de seu peso:
69 84 52 93 61 74 79 65 88 63
57 64 67 72 74 55 82 61 68 77
Pergunta: O que podemos fazer para tornar esta massa de informação mais utilizável???
28
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1. alguns autores acham interessante calcular valores extremos;
2. algumas vezes é interessante ordenar os dados, ou seja criar um rol de dados;
3. entretanto, para um banco grande de dados, a ordenação é uma tarefa bastante dif́ıcil. É
conveniente então usar a técnica de apresentação em ramo-e-folhas que oferece uma boa
visualização global dos dados.
Para tal, decompomos os algarismos em dezenas e unidades, marcando junto valores com
mesmas dezenas. As dezenas ficam alinhadas a esquerda, e as unidades à direita. Cada
linha representa a posição de um ramo e cada algarismo à direita da reta vertical pode ser
considerado como uma folha;
4. ou em forma de Tabelas:
3.1.1 Tabelas de distribuições de frequências
As apresentações através de tabelas deverão ser realizadas em uma pesquisa, mediante alguma
convenção ou norma, dependendo de qual instituição, congresso ou órgão, esta tabela será apre-
sentada. Mas alguns prinćıpios/elementos básicos podem ser utilizados:
• Número: vem sempre depois da palavra Tabela e antes do t́ıtulo, serve para que se possa
identificar a tabela ao citá-la no texto;
• Tı́tulo: onde é dada uma noção inicial ao leitor sobre o que é a tabela;
• Cabeçalho: para que sejam identificados os conteúdos referentes a cada coluna da tabela.
O cabeçalho deve conter o suficiente para responder as questões: o que está sendo repre-
sentado? onde ocorreu? Quando ocorreu?
• Coluna Indicadora: que especifica as diferentes categorias da variável;
• Corpo: é representado por colunas e subcolunas dos quais são registrados os dados numéricos
e informações.
• Rodapé ou pé: onde é identificada a fonte original dos dados, ou alguma nota referente a
tabela.
Por exemplo,
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Tabela 1: Notas finais dos estudantes da disciplina de Probabilidade e Estat́ıstica 2014.2
Notas frequência
00 ` 10 4
10` 20 5
20` 30 6
30` 40 8
40` 50 12
50` 60 7
60` 70 5
70` 80 3
Fonte: Diário de classe da profa. Regiane Slongo Fagundes.
Observação: Não há linhas laterais, ponto final em cada linha e linhas horizontais no corpo da
tabela separando as linhas!!!
Esta tabela é chamada de distribuição de frequência ou distribuição. Se os dados estão
agrupados em categorias não numéricas, a tabela se chama distribuição por categorias (ou qua-
litativa). Por exemplo, considere as 2439 queixas sobre caracteŕısticas de conforto nos aviões de
uma companhia aérea:
Tabela 2: Queixas sobre caracteŕısticas de conforto nos aviões de uma companhia aérea
Natureza das reclamações n. de reclamações
espaço insuficiente para pernas 719
assentos desconfortáveis 914
corredores estreitos 146
espaço insuficiente p/ bagagem mão 218
banheiros insuficientes 58
outras 384
Fonte: Montgomery e Runger, (2009).
É posśıvel transformar uma tabela como esta em uma distribuição numérica mediante codi-
ficação dos dados, por exemplo, atribuindo às seis alternativas os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6, mas
isto nos daria dados nominais que são numéricos apenas em sentido trivial.
A construção de uma tabela de frequência consiste essencialmente de três etapas:
1. escolha das classes (intervalos ou categorias);
2. enquadramento dos dados nessa categoria;
3. contagem do número de elementos em cada classe.
A etapa mais dif́ıcil é a primeira, a saber, a escolha de uma classificação conveniente. Em
distribuições numéricas, consiste em decidir quantas classes utilizar e a amplitude de cada uma.
Esta escolha é puramente arbitrária, mas costuma-se observar:
1. raramente usam-se menos de seis classes ou mais de quinze classes. O número exato depende
de cada situação;
2. ter certeza que cada elemento se enquadra em uma e somente uma classe;
30
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3. sempre que posśıvel, as classes devem ter amplitudes iguais, geralmente são múltiplos de
5;
Segundo Fonseca e Martins (2012), há duas aparentes soluções para a definição do número
de intervalos:
a)Se o número de elementos (n) for menor que 25 então o número de classes (k) é igual a 5;
se n for maior que 25, então o número de classes é aproximadamente a raiz quadrada positiva de
n. Ou seja:
** Para n ≤ 25, k = 5
** Para n > 25, k =
√
n.
b) Outro critério utilizado na determinação do número de classes k é através da fórmula
emṕırica de Sturges:
k = 1 + 3, 32 log n
onde n representa o total de observações.
A amplitude (h) de cada classe será dada por
h =
A
k
onde A = Xmax −Xmin representa a amplitude total das observações, definida como a diferença
entre o maior e o menor valores observados. Existem 4 variações de frequências, a saber
1. Frequência absoluta simples (fi): é o número de vezes em que cada elemento aparece
na amostra ou população.
2. Frequência Absoluta Simples Acumulada (Fi): É a soma das frequências dos dados
anteriores.
3. Frequência Relativa (fri): É a razão entre o valor de cada frequência e o número total
de dados existentes na observação. Ou seja:
fri =
fi
n
, i = 1, · · · , k
4. Frequência Relativa Acumulada (Fri): É a soma das frequências relativas dos dados
anteriores.
Exemplo 1: Quarenta alunos da UTFPR - Toledo foram questionados quanto ao número de
livros lidos no segundo semestre de 2016.
4 2 1 0 3 1 2 0 1 2
0 2 1 1 0 4 3 2 3 5
6 0 1 6 5 3 2 1 6 4
3 4 5 3 2 1 0 2 1 0
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1. Organize os dados e construa as 4 variações da tabela de distribuição de frequências;
2. Qual o percentual de alunos que leram menos do que 3 livros?
3. Qual o percentual de alunos que leram 4 ou mais livros?
Exemplo 2: Os dados a seguir representam a idade 50 funcionários (colocados em ordem cres-
cente) selecionados aleatoriamente da população de uma indústria X.
18 20 20 21 22 24 25 25 26 27
29 29 30 30 31 31 32 33 34 35
36 36 37 37 37 37 38 38 38 40
41 43 44 44 45 45 45 46 47 48
49 50 51 53 54 54 56 58 62 65
Organize os dados e construa as 4 variações da tabela de distribuição de frequências. Interprete
os resultados.
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Exemplo 3: Construa uma distribuição de frequências simples (fi) para as seguintes notas obti-
das por 40 estudantes em um teste.
75 89 66 52 90 68 83 94 77 60 38 47 87 65 97 49 65 72
73 81 63 77 91 88 74 37 85 76 74 63 69 72 31 87 76 58
63 70 72 65
Organize os dados e construa as 4 variações da tabela de distribuição de frequências. Interprete
os resultados.
3.1.2 Tabela de distribuição de frequências bidimensional
Muitas vezes, estamos interessados em analisar o comportamento conjunto de duas ou mais
variáveis. Assim, vamos estudar como organizamos e resumimos os dados para uma distribuição
conjunta de duas variáveis em forma de tabelas. Essas tabelas podem apresentar freqüências
relativas as quais servem para apresentar estimativas de riscos, ou seja, dão estimativas das
probabilidades de dano.
O exemplo mostrado abaixo apresenta o número de nascidos vivos registrados, classificados
segundo dois fatores: o ano de registro e o sexo.
Tabela 3: Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexo
Ano reg. Total
Masculino Feminino
1984 1.307.758 1.251.258 2.559.038
1985 1.339.059 1.280.545 2.619.604
1986 1.418.050 1.361.203 2.779.253
Nota: Nascimentos ocorridos no ano de registro.
Fonte: IBGE (1980).
3.2 Apresentações gráficas
Quando as distribuições de frequência têm como principal objetivo condensar grandes conjuntos
de dados em uma forma fácil de assimilar, é melhor apresentar essas distribuições graficamente.
Uma figura fala mais alto que mil palavras!
Para as distribuições de frequência, a forma mais comum de apresentação gráfica é o his-
tograma. Um histograma é constrúıdo, representando-se as medidas ou observações que são
agrupadas em uma escala horizontal, e as frequências de classe em uma escala vertical; traçam-se
então retângulos, cujas bases são iguais aos intervalos de classe e cujas alturas são as frequências
de classe correspondentes. As marcações na escala horizontal de um histograma podem ser os
pontos médios, os limites de classe, as fronteiras de classe ou outros valores básicos arbitrários.
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Observaç~ao: os retângulos de um histograma vão de uma fronteira de classe até a próxima. Não
é posśıvel traçar histogramas de distribuições com classes abertas; exige-se, outrossim, cuidado
especial quando os intervalos de classe não são todos iguais.
Figura 3.1: Exemplo de histograma.
Exemplo 1: Obtenha o histograma das notas finais dos estudantes da disciplina de Probabilidade
e Estat́ıstica 2014.2
Análogos aos histogramas são os gráficos de barras. As alturas dos retângulos, ou barras,
representam as frequências de classe como em um histograma, mas não se tem necessariamente
em vista uma escala horizontal cont́ınua.
34
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Figura 3.2: Exemplo de gráfico de barras.
Exemplo 2: Obtenha o gráfico de barras do número de livros lidos no segundo semestre de 2016
na UTFPR - Toledo.
Outra forma, não tanto utilizada, é o poĺıgono de frequência. Aqui, as frequências de classe
são marcadas nos pontos médios, e os valores sucessivos são unidos por segmentos retiĺıneos. Se
faz necessário acrescentar classes com frequência zero em ambos os extremos da distribuição para
ligar o gráfico à escala horizontal.
Figura 3.3: Exemplo de poĺıgono de frequências.
Exemplo 3: Obtenha o poĺıgono de frequências das notas finais dos estudantes da disciplina de
Probabilidade e Estat́ıstica 2014.2
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Aplicando a uma distribuição cumulativa técnica idêntica, obtemos a chamada ogiva. Em
uma ogiva, entretanto, as frequências são acumuladas são marcadas nas fronteiras de classe, e
não nos pontos médios.
Figura 3.4: Exemplo de ogiva.
Exemplo 4: Obtenha o gráfico ogiva das notas finais dos estudantes da disciplina de Probabili-
dade e Estat́ıstica 2014.2
Embora o aspecto visual dos histogramas, gráficos em barras, poĺıgonos de frequência e ogivas
constitua acentuada melhoria sobre as simples tabelas, há várias maneiras em que as distribuições
podem ser apresentadas de forma ainda mais eficiente. Duas formas, bastante utilizada por
jornais e revistas, são o pictograma e o gráfico de setores, conhecido também como gráfico
de pizza.
Para construir um gráfico de setor, começamos por converter a distribuição em uma distri-
buição percentual. Como um ćırculo completo corresponde a 360 graus, obtemos os ângulos
centrais dos diversos setores multiplicando as percentagens por 360. Existem bastante variações
destes gráficos. Um aspecto negativo neste tipo de gráfico é que ele é de dif́ıcil comparação com
outros, o que não ocorre com os histogramas.
Exemplo 5: Obtenha o gráfico de setores do número de livros lidos no segundo semestre de 2016
na UTFPR - Toledo.
36
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
Figura 3.5: Exemplo de gráfico de setores ou de pizza.
E, informações numéricas podem ser resumidas através de mapas, que podem ser feitos
somente com auxilio de programas gráficos.
Figura 3.6: Exemplo de mapa.
3.3 Medidas descritivas
Quando analisamos uma variável qualitativa, basicamente constrúımos sua distribuição de frequências.
No entanto, ao explorarmos variáveis quantitativas, temos condições de empregar algumas me-
didas descritivas, que sintetizam as caracteŕısticas da distribuição. Vamos falar de medidas de
tendência central (MTC), dispersão (MD) e de forma (A e K).
37
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Figura 3.7: Figura ilustrativa.
3.3.1 Medidas de tendência central
Média aritmética simples
O conceito de média é bastante familiar. Seja (x1, x2, · · · , xn) uma amostra de n observações de
certa variávelaleatória X. A média aritmética dessas observações é definida por:
x̄ =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
=
∑n
i=1 xi
n
A média resume os dados de forma a torná-los mais informativos.
Exemplo 1: Uma indústria de componentes eletrônicos está interessada em determinar a vida
útil de certo tipo de bateria. Uma amostra, em horas, segue abaixo:
123 116 122 110 145 126 125 111 118 117.
Calcule a média de vida útil da bateria.
Exemplo 2: Um gerente de supermercado, que deseja estudar a movimentação de pessoas em
seu estabelecimento, constata que 295, 1002, 941, 768, 1283 pessoas entraram na loja nos últimos
5 dias. Dê o número médio de pessoas na loja.
Exemplo 3: Se o salário médio anual pago aos três administradores de uma firma é R$156000, 00.
Algum deles pode receber um salário anual superior a R$500000, 00?
Propriedades da média
1. A soma algébrica dos desvios de um conjunto de valores em relação ao média aritmética é
zero;
2. A soma algébrica dos quadrados dos desvios de um conjunto de valores em relação a média
aritmética é mı́nima;
38
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3. Somando ou subtraindo uma constante a todos os valores de uma variável, a média ficará
acrescida ou subtráıda a essa constante;
4. Multiplicando ou dividindo todos os valores de uma variável por uma constante, a média
ficará multiplicada ou dividida por essa constante
Vantagens do emprego da média aritmética:
1. Como faz uso de todos os dados para seu cálculo, pode ser determinada com precisão
matemática;
2. Pode ser determinada quando somente o valor total e o número de elementos forem conhe-
cidos.
Desvantagens do emprego da média aritmética:
1. Não pode ser empregada para dados qualitativos;
2. É influenciada por valores extremos, podendo, em alguns casos, não representar a série.
Para você pesquisar: Investigue outras médias e suas principais propriedades, como por exem-
plo: média geométrica, média harmônica, média aritmética ponderada, média hipergeométrica.
Mediana
É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. É a medida do
elemento do meio se n é ı́mpar, ou a média dos elementos centrais se n é par:
x̃ = Me =
{
x(n+12 )
, se n ı́mpar;
x(n2 )
+x(n2 +1)
2
, se n par.
Nota: Para calcular a mediana é necessário que os dados estejam ordenados!!!
Exemplo 1: Determine a mediana da vida útil das baterias.
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Exemplo 2: Considere o número de pessoas que frequentam a disciplina de uma instituição:
40, 32, 37, 30, 24
Dê a mediana.
Vantagem do emprego da mediana
39
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
1. A mediana não é influenciada por valores extremos.
Desvantagens do emprego da mediana
1. A mediana é uma medida que exige uma ordenação de categorias, da mais alta a mais baixa,
assim ela só pode ser obtida para variáveis qualitativas ordinais ou para as quantitativas,
jamais para variáveis qualitativas nominais;
2. Não inclui todos os valores da distribuição;
Moda
A moda de um conjunto de dados é o número que teve maior número de repetições.
Quando não há número que mais repete, dizemos que o conjunto é amodal. Se houverem dois
valores com iguais sequências, o conjunto é bimodal. E se houverem vários números, dizemos que
é um conjunto multimodal.
Exemplo 1: Determine a moda da vida útil das baterias.
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Vantagens do emprego da moda
1. A moda é uma medida que requer apenas o conhecimento da frequência absoluta e pode
ser utilizada para qualquer tipo de variáveis, tanto qualitativas, quanto quantitativas;
2. É de uso prático. Exemplificando: os empregadores geralmente adotam a referência modal
de salário. Também carros e roupas são produzidos tomando como referência o tamanho
modal.
Desvantagens do emprego da moda
1. Não inclui todos os valores da distribuição;
2. Mostra-se ineficiente quando a distribuição é amplamente dispersa.
Quartis
A mediana também é conhecida como segundo quartil, e é um quantil dentre vários existentes.
Por exemplo: os quartis, os decis e os percentis, que dividem o banco de dados em 4, 10 e 100
partes, respectivamente.
Para obter os quartis:
Q1 = X(n4 )
e Q3 = X(3n4 )
,
1. Ordene os dados em ordem crescente;
40
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2. Calcule o Quartil desejado.
3. Se X(∗) não for inteiro, arredonde para o primeiro inteiro acima para encontrar o quartil
desejado.
4. Se X(∗) for inteiro, calcule o quartil fazendo a média entre o entre as observações X(∗) e
X(∗+1).
Exemplo 1: Calcule os quartis da vida útil das baterias.
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Exemplo 2: Os registros de uma biblioteca mostram que 22 alunos do ensino médio consultaram
os seguintes números de livros durante o último ano:
62, 73, 40, 72, 79, 88, 35, 51, 48, 42, 75
65, 69, 82, 50, 66, 103, 68, 54, 38, 52, 72
Ache a Me = Q2, Q1 e Q3.
Exemplo 3: Ao testarem um novo sistema de coleta de reśıduos sanitários, engenheiros consta-
taram que 21 residências despejavam os seguintes litros por uma hora:
69 58 70 80 46 61 65 74 75 55 67
56 70 72 61 66 58 68 70 68 58
Determine os quartis.
O diagrama de caixas ou Gráfico Boxplot
Uma forma de apresentar graficamente os conceitos discutidos é através do diagrama de caixas
ou Box-plot. Trata-se de um retângulo que representa o desvio interquart́ılico. Esse retângulo
41
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
Figura 3.8: Exemplo de um diagrama caixas ou boxplot.
representa, portanto, a faixa dos 50% dos valores mais t́ıpicos da distribuição. O retângulo é divi-
dido no valor correspondente à mediana; assim, ele indica o quartil inferior, a mediana e o quartil
superior. Entre os quartis e os extremos, são traçadas linhas. Caso existam valores discrepantes
(além de 1, 5dq), a linha é traçada até o último valor não discrepante, e os valores discrepantes
são indicados por pontos. Eventuais pontos muito discrepantes (além de 3dq) normalmente são
representados por śımbolos diferentes para serem bem destacados.
Interpretando o diagrama de caixa
1. a caixa central inclui os 50% dos dados centrais;
2. os bigodes mostram a amplitude dos dados, isto é, a diferença entre o maior e menor valores;
3. a simetria é indicada pela caixa e bigodes e pela localização da média;
4. é relativamente fácil comparar grupos, construindo diagramas de caixa lado a lado, con-
forme figura a seguir;
Em um Box-plot, para reconhecer simetria nos dados:
1. a distância de Q1 à mediana é igual à distância da mediana até Q3;
2. a distância do valor mı́nimo até Q1 é igual a distância do valor máximo até Q3;
3. a mediana é igual a média.
Detectando outlier
Um boxplot pode ser formado para indicar explicitamente a presença de outlier.
42
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
Figura 3.9: Exemplo de comparação de diversos boxplots.
Qualquer observação distante mais do que 1, 5(Q3−Q1) do quarto mais próximo é um outlier.
Um outlier é extremo se estiver a mais de 3(Q3 − Q1) do quarto mais próximo. Caso contrário
é moderado.
Exemplo 1: Determinar o box-plot esquemático para da vida útil das baterias e verifique se
ocorre presença de outlier.
Exemplo 2: Um artigo reportou dados sobre um experimento, investigando o efeito de muitas
variáveis de processos na oxidação, em fase de vapor, e naftaleno. Uma amostra da conversão
percentual molar de naftaleno em anidrido maléico resulta em:
4, 2 4, 7 4, 7 5, 0 3, 8 3, 6 3, 0 5, 1 3, 1 3, 8
4, 8 4, 0 5, 2 4, 3 2, 8 2, 0 2, 8 3, 3 4, 8 5, 0
Determinar o box-plot esquemático e verifique se ocorre presença de outlier.
Exemplo 3: As nove medidas que seguem são temperaturas de fornalha, registradas em bateladas
sucessivas de um processo de fabricação de semicondutores (unidades em oF )
953 950 948 955 951 949 957 954955
Determinar o box-plot esquemático e verifique se ocorre presença de outlier.
43
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Percentis
Percentis são medidas separatrizes do rol, eles dividem o rol em 100 partes iguais. Para cal-
cularmos cada Pi devemos calcular i% de n para localizar a posição do percentil i no rol, ou
seja:
Pi = X( i×n
100
)
em seguida identificamos o elemento que ocupa esta posição. Lembre-se:
1. Se X∗ não for inteiro, arredonde para o primeiro inteiro acima para encontrar o percentil
desejado.
2. Se X∗ for inteiro, calcule o percentil fazendo a média entre o entre as observações X∗ e
X∗+1.
Exemplo 1: Calcular o percentil de número 48 para vida útil das baterias.
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Média para dados agrupados
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de frequências, todos os valores inclúıdos
num certo intervalo de classe são considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo. Desta
maneira:
x =
∑k
i=1 fixi
n
onde: fi é a frequência de cada classe; e xi é o ponto médio de cada classe.
Exemplo 1: Calcular a média dos dados da distribuição do salário médio de 36 funcionários de
uma empresa.
Tabela 1: Sálario (em termos de S.M.) de 36 funcionários de uma empresa
Salário frequência
4 ` 8 10
8 ` 12 12
12` 16 8
16` 20 5
20` 24 1
44
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Quartis para dados agrupados
No caso de dados agrupados em classes de frequências, os quartis podem ser obtidos por
Qi = Li+
P − Fa
fqi
h, i = 1, 2, 3.
Onde: Li= é o limite inferior da classe quart́ılica (em uma distribuição de frequências chama-se
classe quart́ılica à classe que contém o quartil em questão, Q1, Q2 ou Q3);
P é a posição da classe quart́ılica. P = n/4 para Q1, P = 2n/4 para Q2 e P = 3n/4 para Q3;
Fa é a frequência acumulada da classe vizinha anterior à classe quart́ılica;
fqi é a frequência da classe quart́ılica;
h é a amplitude do intervalo da classe mediana;
Exemplo 1: Calcular os quartis dos dados da distribuição do salário médio de 36 funcionários
de uma empresa.
Tabela 1: Sálario (em termos de S.M.) de 36 funcionários de uma empresa
Salário frequência
4 ` 8 10
8 ` 12 12
12` 16 8
16` 20 5
20` 24 1
Moda para dados agrupados
Vários métodos são aplicados para calcular a Moda quando os dados estão agrupados. Trataremos
aqui especificamente a fórmula de Czuber. Neste caso, a moda pode ser calculada pela expressão
(deduzida a partir do histograma de frequência)
Mo = Li+
∆1
∆1 + ∆2
h
45
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onde: Li é o limite inferior da classe modal (em uma distribuição de frequências chama-se de
classe modal à classe de maior frequência);
∆1 é a diferença entre a classe modal e a imediatamente anterior;
∆2 é a diferença entre a classe modal e a imediatamente posterior;
h é a amplitude de intervalo de classe modal.
Exemplo 1: Calcular a moda dos dados da distribuição do salário médio de 36 funcionários de
uma empresa.
Tabela 1: Sálario (em termos de S.M.) de 36 funcionários de uma empresa
Salário frequência
4 ` 8 10
8 ` 12 12
12` 16 8
16` 20 5
20` 24 1
Percentis para dados agrupados
No caso de dados agrupados em classes de frequências, os percentis podem ser obtidos por
Pi = Lpi +
P − Fa
fpi
h, i = 1, 2, . . . , 99.
Onde: Lpi= é o limite inferior da classe do percentil, com i = 1, 2, . . . , 99;
P é a posição da classe Percent́ılica. P = in/100;
Fa é a frequência acumulada da classe vizinha anterior à classe quart́ılica;
fpi é a frequência da classe quart́ılica;
h é a amplitude do intervalo da classe mediana;
Exemplo 1: Calcular o percentil 48 dos dados da distribuição do salário médio de 36 funcionários
de uma empresa.
Tabela 1: Sálario (em termos de S.M.) de 36 funcionários de uma empresa
Salário frequência
4 ` 8 10
8 ` 12 12
12` 16 8
16` 20 5
20` 24 1
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3.3.2 Medidas de dispersão ou Medidas de Variabilidade
As informações fornecidas pelas medidas de posição necessitam em geral ser complementada pelas
medidas de dispersão. Estas servem para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em
torno da região central. Caracterizam, portanto, o grau de variação ou oscilações existente no
conjunto de valores.
Amplitude
A medida de dispersão mais simples de uma amostra é a Amplitude, que é a diferença entre o
maior e o menor valor da amostra.
R = Xmax −Xmin = Max−min
Quanto maior a amplitude, sugere-se maior dispersão dos dados, pois há mais valores em
intervalos maiores.
Exemplo 1: Calcular a amplitude amostral para vida útil das baterias
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Exemplo 2: Dão-se, a seguir, os tempos (em segundos) de reação a um alarme de incêndio, após
a liberação de fumaça:
12 9 11 7 9 14 6 10
Calcule a amplitude amostral.
Variância
A variância é a mais importante medida de dispersão. Ela leva em conta os desvios em relação
à média, é definida como:
s2 =
∑n
i=1(xi − x)2
n− 1
.
ou
s2 =
1
n− 1
[ n∑
i=1
(xi)
2 −
(∑n
i=1 xi
)2
n
]
.
Note que: quanto mais perto da média forem os dados, menor será a variância, uma vez que os
valores xi serão mais parecidos com x. E vice-versa.
Propriedades:
47
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1. A variância sempre é positiva, pois é uma soma de valores positivos: (xi − x)2 ≥ 0 para
qualquer que seja xi;
2. Se somarmos alguma constante c a todos os dados e calcularmos a variância esta não será
alterada;
3. Se multiplicarmos uma constante c por todos os dados, a variância ficará multiplicada pelo
quadrado desta constante.
Exemplo 1: Calcular a variância para vida útil das baterias
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Exemplo 2: Dão-se, a seguir, os tempos (em segundos) de reação a um alarme de incêndio, após
a liberação de fumaça:
12 9 11 7 9 14 6 10
Calcule a variância.
Desvio padrão
A variância é uma medida cuja unidade de medida é unidades ao quadrado, isto dificulta a sua
comparação com os dados. Com o intuito de resolver este impasse, resolveu-se estabelecer uma
medida de dispersão calculada na mesma unidade dos dados, por isto, o desvio padrão é a raiz
quadrada da variância:
s =
√∑n
i=1(xi − x)2
n− 1
.
Exemplo 1: Calcular o desvio padrão para vida útil das baterias
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Exemplo 2: Dão-se, a seguir, os tempos (em segundos) de reação a um alarme de incêndio, após
a liberação de fumaça:
12 9 11 7 9 14 6 10
48
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Calcule o desvio padrão.
Coeficiente de variação
O desvio padrão depende das unidades de medida dos dados, e isto é uma desvantagem. Uma
medida de variabilidade relativa que independe de unidades de medida é o coeficiente de varição
- CV (%).
Ele expressa o desvio padrão como percentagem do que está sendo medido:
CV (%) =
s
x
× 100%
Nota: quanto menor o valor do CV (%) menor é a variabilidade dos dados. Em algumas regras
emṕıricas para interpretações do coeficiente de variação:
• Se CV < 15% tem-se baixa dispersão
• Se 15% ≤ CV < 30% tem-se média dispersão
• Se CV ≥ 30% tem-se elevada dispersão
Exemplo 1: Calcule o coeficiente de variação da vida útil das baterias.
Exemplo 2: Dão-se, a seguir, os tempos (em segundos) de reação a um alarme de incêndio, após
a liberação de fumaça:
12 9 11 7 9 14 6 10
Calcule o coeficiente de variação.
Variância para dados agrupados
Para dados agrupados usa-se a expressão:
s2 =
∑k
i=1 fi(xi − x̄)2
n− 1
onde: xi é o ponto médio da classe i; fi é a frequência de repetição de xi e x̄ é a média dos dados
agrupados.
Exemplo 2: Calcular a variância dos dados da distribuição do salário médio de 36 funcionários
de uma empresa.
49
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Tabela 1: Sálario (em termos deS.M.) de 36 funcionários de uma empresa
Salário frequência
4 ` 8 10
8 ` 12 12
12` 16 8
16` 20 5
20` 24 1
Desvio padrão para dados agrupados
É obtido a partir da raiz quadrada da variância dos dados agrupados:
s =
√∑k
i=1 fi(xi − x̄)2
n− 1
Exemplo 1: Calcular o desvio padrão dos dados da distribuição do salário médio de 36 fun-
cionários de uma empresa.
Coeficiente de Variação para dados agrupados
É obtido da mesma forma que para dados brutos:
CV (%) =
s
x
× 100%
Exemplo 1: Calcular o coeficiente de variação dos dados da distribuição do salário médio de 36
funcionários de uma empresa.
3.3.3 Medidas de forma
Assimetria
As medidas de assimetria possibilitam analisar uma distribuição de acordo com as relações entre
suas medidas de moda, média e mediana, quando observadas graficamente.
50
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Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda, a média e
a mediana.
Figura 3.10: Dados simétricos.
Quando esta igualdade não acontece, temos uma distribuição assimétrica. Se considerarmos
um eixo de referência, que chamaremos de eixo de simetria, traçado sobre o valor da média da
distribuição.
Sempre que a curva da distribuição se afastar do referido eixo, será considerada como tendo
um certo grau de afastamento, que é considerado como uma assimetria da distribuição. Ou seja
assimetria é o grau de afastamento que uma distribuição apresenta do seu eixo de simetria. Este
afastamento pode acontecer do lado esquerdo ou do lado direito da distribuição, chamado de
assimetria negativa ou positiva respectivamente.
Quando a cauda da curva da distribuição declina para direita, temos uma distribuição com
curva assimétrica positiva. Analogamente quando a cauda da curva da distribuição declina para
esquerda, temos uma distribuição com curva assimétrica negativa, observe a Figura 3.11 que
ilustra a assimetria positiva e negativa.
Figura 3.11: Exemplo de assimetria positiva e negativa.
Existem diversos métodos para o cálculo da medida de assimetria. Usaremos apenas a fórmula
conhecida como coeficiente de assimetria de Pearson, por ser de simples aplicação.
Coeficiente de Assimetria de Pearson
A =
3(x̄−Q2)
s
51
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Dependendo do valor de A, classificamos como:
1. |A| < 0, 15 a distribuição é simétrica;
2. 0, 15 ≤ |A| < 1, 0 a distribuição é assimétrica moderada;
3. |A| ≥ 1, 0 a distribuição é assimétrica forte;
Exemplo 1: Calcular a assimetria para vida útil das baterias
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
Medida de Achatamento ou Curtose
A medida de curtose nos indica a forma da curva de distribuição em relação ao seu achatamento.
A forma da curva de distribuição em relação à curtose pode ser leptocúrtica, mesocúrtica ou
platicúrtica.
Quando a distribuição apresenta uma curva de frequência mais fechada que a normal (ou
mais aguda em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica. Quando a distribuição
apresenta uma curva de frequência mais aberta que a normal (ou mais achatada na sua parte
superior), ela é chamada de platicúrtica. A curva normal que é a referencial, recebe o nome de
mesocúrtica.
Figura 3.12: Exemplos de tipos de achatamento.
A curtose pode ser medida pela seguinte expressão:
K =
Q3 −Q1
2(P90 − P10)
em que Q1 e Q3 são os primeiro e terceiro quartis e P90 e P10 são os percentis 90 e 10, respecti-
vamente.
52
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Essa fórmula é conhecida como coeficiente percent́ılico de curtose. Relativamente a
curva normal, temos K = 0, 263. Assim:
1. K = 0, 263 curva mesocúrtica;
2. K < 0, 263 curva leptocúrtica;
3. K > 0, 263 curva platicúrtica.
Exemplo 1: Calcular a curtose para vida útil das baterias
110 111 116 117 118 122 123 125 126 145.
3.4 Exerćıcios
1. Uma nova cĺınica de tratamento contra viciados em drogas abriu recentemente em uma
cidade, e o número de viciados tratados por dia com metadona por dia durante o primeiro
mês é como segue:
37 95 34 26 45
88 89 24 61 28
42 78 67 32 79
67 29 28 24 35
68 72 91 86 78
Obtenha o diagrama de caule-e-folhas destes dados.
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2. Calcule as MTC, MD, A e K dos dados:
Tabela 10: dados
Alturas (cm) frequência
151 ` 159 5
159 ` 167 18
167 ` 175 42
175 ` 183 27
183 `190 8
total 100
3. Determinar as MTC, MD, A e K dos conjuntos de números:
(a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
(b) 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
4. Calcule a média e o desvio padrão da seguinte distribuição de frequências, a qual se refere
ao número de defeitos encontrados em placas de circuito integrado:
Tabela 16: número de defeitos em placas de circuito integrado
Número de defeitos Frequência
0 30
1 25
2 10
3 5
4 2
5. Com o objetivo de direcionar campanhas de marketing, uma livraria virtual está registrando
o número de acessos diários em algumas de suas páginas da Web, nos últimos três meses. A
tabela a seguir, mostra medidas descritivas desses registros, em páginas de três categorias
de livros.
Tabela 17: número de acessos diários em algumas de suas páginas da Web
Livro Média Desvio padrão Quartil inferior Mediana Quartil superior
Romance 910 690 412 650 1500
Ficção 220 180 145 398 1023
Técnico 630 480 115 190 1500
(a) Quais as diferenças das três distribuições em termos de posição central e dispersão?
(b) As medidas sugerem distribuições simétricas? Explique.
6. A tabela que segue lista o número de ganhadores do Prêmio Nobel por páıs.
54
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Tabela 20: número de ganhadores do Prêmio Nobel por páıs
Páıs Frequência
Estados Unidos 270
Reino Unido 101
Alemanha 76
França 49
Suécia 30
Súıça 22
Demais 130
(a) Construa a tabela de distribuição de frequências relativas para cada páıs.
(b) Construa um gráfico de setores para estes dados.
7. Complete a seguinte distribuição de frequência de uma amostra aleatória de pessoas que
visitavam os cassinos de Atlantic City.
Tabela 22: pessoas que visitam os cassinos de Atlantic City
Classe fi fr
Bally’s 40
Caesars 25 0,125
Harrah’s 32
Resorts 0,110
Sands 25
Trump Plaza 0,280
Total 1,000
(a) Qual é o tamanho da amostra aleatória?
(b) Qual é o cassino preferido pelas pessoas nessa pesquisa? Justifique sua resposta.
8. Os trens Maglev operam na Alemanha e no Japão a velocidades de até 484, 8km/h. Ímãs
criam um sistema de atrito no qual o trem desliza a uma distância de 100-150 miĺımetros
do trilho. O tamanho desse espaço de ar é monitorado constantemente para garantir uma
viagem segura. Obteve-se uma amostra aleatória dos tamanhos de espaços de ar (em
mm) em um ponto espećıfico nos trilhos. A distribuição de frequência para esses dados é
apresentada na tabela que segue:
Tabela 24: dados
55
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Classe fi fri Fri
100 ` 105 0,050
105 ` 110 0,425
110 ` 115 0,625
115 ` 120 0,750
120 ` 125 0,850
125 ` 130 0,925
130 ` 135 0,975
135 ` 140 1,000
Total 200
(a) Complete a distribuição de frequência.
(b) Faça um histograma correspondente a essa distribuição de frequência.
(c) Qual a proporção dos espaços de ar estava entre 110mm e 125mm?
9. A tabela que segue inclui alguns dos dados de um experimento realizado por H. S. Lew,
para o Center for Building Technology do National Institute of Standards and Technology
(NIST). Esses dados são usados para atestar resultados computacionais e avaliar programas
estat́ısticos de computados. Cada observação representa a deflexão de uma viga de aço e
concreto quando é sujeita a pressão periódica.
−213 − 564 − 35 − 15 141 115 − 420
−360 203 − 338 − 431 194 − 220 − 513
154 − 125 − 559 92 − 21 − 579
(a) Calcule as medidas de tendência central.
(b) Calcule as medidas de dispersão.
10. Na empresa Mercury Ltda foi observadaa distribuição de funcionários do setor de serviços
gerais com relação ao salário semanal, conforme mostra a distribuição de frequências:
Tabela 31: salário semanal dos funcionários
salario semanal (em dólares) fi
25 ` 30 10
30 ` 35 20
35 ` 40 30
40 ` 45 15
45 ` 50 40
50 ` 55 35
Total 150
Pede-se:
(a) salário médio semanal dos funcionários
56
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(b) desvio padrão, o coeficiente de variação e a moda dos salários semanais dos funcionários
(c) Se o empresário divide os funcionários em três categorias, com relação ao salário, de
sorte que: Os 25% menos produtivos sejam da categoria A; Os 25% seguintes sejam
da categoria B e Os 25% seguintes, isto é, os mais produtivos, sejam da categoria C;
Pede-se determinar os limites dos salários das categorias A,B e C
(d) Esboce o box-plot da distribuição e comente-o.
11. Uma distribuição simétrica unimodal apresenta mediana igual a 36dm e coeficiente de
variação em torno de 20%. Determine a variância dessa distribuição.
12. Considere o diagrama de caule-e-folhas obtido pelo software R a seguir e obtenha o que se
pede.
(a) Obtenha a tabela de distribuição de frequências simples;
(b) Obtenha o gráfico de barras;
(c) Obtenha a média, mediana, quartis, variância, desvio padrão e coeficiente de variação
dos dados do diagrama de caule-e-folhas;
(d) Obtenha a média, mediana, variância e coeficiente de variação para a tabela de dis-
tribuição de frequências relativas simples que você obteve no primeiro item deste
exerćıcio;
13. Distúrbios causados por ansiedade e seus sintomas normalmente podem ser tratados com
medicamentos à base benzodiazepina. É sabido que animais expostos a estrese apresentam
redução da Capacidade de absorção de receptores de benzodiazepina no córtex frontal. O
artigo “Decreased Benzodiazepine Receptor Binding in Prefrontal Cortex in CombatRelatec
Postraumatic Stress Disorder” (Amer. J. of Psychiatry 2000, p.1120-1126) descreveu o
primeiro estudo da redução da capacidade de absorção de repectores de benzodiazepina
em indiv́ıduos que sofriam de DSPT. Os dados a seguir, relacionados a uma medida da
capacidade de absorção (distribuição ajusrada do volume) foram retirados de um gráfico
do artigo.
DSPT: 10, 20, 25, 28, 31, 35, 37, 38, 38, 39, 39, 42, 46
Saudável: 23, 39, 40, 43, 47, 51, 58, 63, 66, 67, 69, 72
Use os diversos métodos descritos até aqui deste material para descrever e resumir os dados.
Faça o box-plot conjunto para DSPT e Saudável. Interprete os resultados.
57
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14. Considere o conjunto das seguintes observações:
11 14 16 21 12 13 15 12
(a) Calcule a média, mediana, variância e desvio padrão dos dados.
(b) Some duas unidades a cada observação e repita o item a). Compare com as respostas
obtidas com as do item a) e comente.
(c) Multiplique cada observação original por 4 e repita o item a). Compare as resposta
obtidas com as do item a) e comente.
(d) Se nos dados originais você soma ou subtrai qualquer número o que acontece com as
respostas dos dados originais (item a)?
(e) Se você multiplica ou divide qualquer número (exceto o zero) o que acontece com as
respostas dos dados originais (item a)?
(f) Que conclusão podemos obter de a), d) e e)?
15. Dois métodos foram estudados para a recuperação de protéına. Foram realizados 13 ensaios
usando cada um dos métodos e a fração de protéına recuperada que foi registrada para cada
ensaio. Os resultados foram os seguintes:
Tabela 39: Recuperação de protéına para Método 1 e 2
Método 1 Método 2
0.32 0.25
0.35 0.40
0.37 0.48
0.39 0.55
0.42 0.56
0.47 0.58
0.51 0.60
0.58 0.65
0.60 0.70
0.62 0.76
0.65 0.80
0.68 0.91
0.75 0.99
(a) Determine as medidas de posição e variabilidade estudadas.
(b) Construa um histograma conjunto para os resultados de cada método.
(c) Construa os box-plot comparativo para os dois métodos.
(d) Usando as estat́ıstica descritiva e os gráficos, qual a diferença que pode ser vista entre
os dois métodos. Faça um comentário a cerca de suas conclusões.
16. Um laboratório cĺınico precisa decidir comprar um dentre três aparelhos (A,B,C) para
dosagem no sangue. Para isto o responsável pela análise preparou uma substância de
concentração conhecida (10mg/ml) e extraiu várias amostras para serem dosadas pelos
três aparelhos. Os resultados obtidos em cada um deles foi o seguinte:
58
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A 10 9 10 9 11 8 9 7 8 9
B 5 10 7 15 16 12 4 8 10 13
C 10 11 9 10 9 11 12 8 10 10
Em medidas cĺınicas três termos são utilizados frequêntemente:
PRECISÃO: Refere-se à dispersão dos resultados;
NÃO VICIADO: Refere-se à tendência de um conjunto de medidas produzir um resultado
igual ao “verdadeiro valor” (em nosso exemplo o verdadeiro valor é 10mg/ml).
EXATO: refere-se ao instrumento PRECISO e NÃO VICIADO.
Descreva os três instrumentos em termos das definições acima. Qual instrumento lhe parece
recomendável? Justifique.
17. Trinta embalagens plásticas de mel foram pesadas com precisão de decigramas. Os pesos,
após convenientemente agrupados, forneceram a seguinte distribuição de frequências (em
gramas).
Tabela 41: pesos das embalagens
Xi fi
31,5 1
32,5 5
33,5 11
34,5 8
35,5 3
36,5 2
(a) Determine MTC, MD, A e K. Podemos afirmar que as embalagens plásticas tem
formato homogêneo? Justifique.
(b) Há razões para afirmar que a distribuição das espessuras seja simétrica? Justifique.
59
Caṕıtulo 4
Elementos de Probabilidade
4.1 Probabilidades
A maneira mais comum de medirmos as incertezas relacionadas com eventos (por exemplo,
resultado de um pleito eleitoral, resultados obtidos com a ingestão de um novo medicamento)
consiste em atribuir-lhes probabilidades ou especificar as chances de ocorrência do evento.
Dentre os diversos conceitos de probabilidade, o de maior aplicação é a interpretação frequen-
cial: A probabilidade de um evento é a proporção do número de vezes que eventos do mesmo tipo
ocorrem a longo prazo
4.2 Experimento aleatório
Um experimento é dito ser aleatório quando satisfaz às seguintes condições:
1. pode ser repetido indefinidamente;
2. somos capazes de descrever todos os posśıveis resultados do experimento, embora não
sejamos capazes de predizer, com certeza, qual ocorrerá;
60
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3. obedece à regularidade estat́ıstica, ou seja, quando o experimento for repetido um grande
número de vezes, surgirá uma configuração definida;
4.3 Espaço amostral
É o conjunto S de todos os resultados posśıveis de um experimento aleatório. Cada resultado do
experimento aleatório é denominado ponto amostral.
Exemplo 1:
1. Lançar um dado honesto e observar o resultado obtido;
2. Contar o número de dias que choveu durante certo mês em certa cidade;
3. O número de mensagens que são transmitidas corretamente por dia em uma rede de com-
putadores.
O espaço amostral pode ser:
1. Finito: formado por um número limitado de resultados posśıveis.
2. Infinito enumerável: formado por um número infinito de resultados, os quais podem ser
listados.
3. Infinito: formado por intervalos de números reais.
Definição: Um espaço amostral é dito discreto quando for finito ou infinito enumerável; é dito
cont́ınuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais.
Exemplo 2:Cada mensagem em um sistema de comunicação será classificada dependendo de ela
ser recebida dentro do tempo especificado. Se três mensagens forem classificadas, qual o espaço
amostral dos resultados posśıveis?
4.4 Evento Amostral
É qualquer subconjunto do espaço amostral S. Deve-se sempre considerar como eventos de
qualquer espaço amostral, o evento imposśıvel (aquele que nunca ocorre) ∅ e o evento certo (o
próprio espaço amostral) S.
Considerando o espaço referente ao lançamento do dadohonesto, temos como posśıveis even-
tos: ∅, S, {1},{2},{3},{4},{5},{6},{1, 2}, ...,{5, 6}, {1, 2, 3},...,S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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Classe de eventos aleatórios é o conjunto formado por todos os eventos de S. Por exemplo,
seja S = {c, k} então a clase de eventos de S é
Exemplo 3: Um dado é lançado e observa-se o número de faces de cima. Determine os seguintes
eventos:
1. Ocorrência de número ı́mpar.
2. Ocorrência de número menor que 4.
3. Ocorrência de número menor que 7.
4. Ocorrência de número maior ou igual a 7.
Como um evento é um subconjunto do espaço amostral, então todos os conceitos da teoria
de conjuntos podem ser aplicados a eventos. Considerando A e B eventos quaisquer, veja as
principais operações no quadro a seguir:
Quadro 1: Principais Operações com Eventos Aleatórios
União A ∪B reúne os elementos de ocorre quando ocorrer
ambos os conjunto pelo menos um deles
Interseção A ∩B formado somente pelos ocorre quando ocorrer
elementos que estão em A e B ambos os eventos
Complementar A formado pelos elementos ocorre quando não
que não estão em A ocorrer o evento A
Exemplo 4: Seja o experimento: lançamento de um dado e os eventos:
A= número par no dado;
B= número maior que 2 no dado;
C= número 6;
1. Dê os eventos complementares;
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2. Dê as reuniões;
3. Dê as intersecções;
Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultane-
amente. Então, para dois eventos quaisquer A e B, temos:
A e B são mutuamente exclusivos ⇔ A ∩B = ∅
Nota: Há uma diferença entre exclusivo e exaustivo. Se os eventos A e B são exclusivos, então:
P (A ∩B) = 0
Se os eventos A e B são exaustivos, então:
P (A ∪B) = 1
Exemplo 5: A tabela a seguir resume as visitas a emergência em um hospital. Pessoas podem
sair sem serem examinadas (PNEM). As visitas podem ser encaminhadas ao departamento de
emergência e as pessoas podem ou não ficarem internadas. Seja A o evento em que uma visita é
para o Hospital 1 e seja B o evento em que o resultado da visita é PNEM. Determine:
Tabela 1: Visitas a emergência em um hospital
Hospital
1 2 3 4
PNEM 195 270 246 242
Admitido 1277 1558 666 984
Não admitido 3820 5163 4728 3103
1. A ∩B.
2. Ā.
3. A ∪B.
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4.5 Definição axiomática de probabilidade
A probabilidade é um número associado a um evento, destinado a medir sua possibilidade de
ocorrência.
Seja S, ou Ω, o espaço amostral e E um experimento aleatório associado a ele. A cada
evento A associamos um número entre zero (0) e um (1), representado por P (A) e denominado
probabilidade, que expressa a chance de ocorrer A.
1. Axioma 1: 0 ≤ P (A) ≤ 1;
2. Axioma 2: P (Ω) = 1;
3. Axioma 3: Se A,B, · · · , K são eventos mutuamente exclusivos,
P (A ∪B ∪ · · · ∪K) = P (A) + P (B) + · · ·+ P (K)
Destes axiomas surgem as propriedades:
1. P (∅) = 0;
2. P (Ā) = 1− P (A);
3. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B);
Uma regra prática e objetiva para a atribuição numérica da probabilidade é:
P (A) =
n(A)
n(Ω)
onde n(A) é o número de resultados de S favoráveis ao evento A, e n(Ω) é o número de resultados
posśıveis de S, desde que todos sejam igualmente prováveis.
Exemplo 1: No lançamento de dois dados, um verde e um vermelho, determine:
1. Espaço amostral.
2. Probabilidade de sair soma 8.
3. Probabilidade de sair faces iguais.
4. Probabilidade de sair soma 8 ou faces iguais.
5. Sair soma das faces menor ou igual a 12.
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Exemplo 2: Em uma urna existem 10 bolas, numeradas de 1 a 10. Retira-se 1 bola ao acaso.
Determine a probabilidades de:
1. Ser par ou maior que 4.
2. Ter um número primo ou maior que 8.
Exemplo 3:Retira-se uma carta ao acaso de um baralho de 52 cartas. Determine a probabilidade
de ela ser de ouro ou ser um Rei.
Mais alguns Exemplos:
Exemplo 4: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas aleatoriamente,
sem reposição. Calcule:
1. A probabilidade de ambas serem defeituosas.
2. A probabilidade de ambas não serem defeituosas.
3. A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Exemplo 5: Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4 cartas, ao
acaso, sem reposição, se obter uma quadra.
Exemplo 6: Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de
uma moeda.
Exemplo 7: Uma urna contém as letras A A A R R S. Retira-se letra por letra. Qual a proba-
bilidade de sair a palavra ARARAS?
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Exemplo 8: Em um congresso cient́ıfico existem 15 matemáticos e 12 estat́ısticos. Qual a pro-
babilidade de se formar uma comissão com 5 membros, na qual a figurem 3 matemáticos e 2
estat́ısticos
4.6 Probabilidade condicional e independência
Muitas vezes, há interesse em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A, dada a
ocorrência de um evento B. Exemplos
1. Qual é a probabilidade de chover amanhã, sabendo que choveu hoje?
2. Qual a probabilidade de um dispositivo eletrônico funcionar sem problemas por 200 horas
consecutivas, sabendo que ele já funcionou por 100 horas?
Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de A condicionada à
ocorrência prévia de B. Essa probabilidade é representada por P (A|B) lê-se probabilidade de A
dado B.
Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P (B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de
A dado B por:
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
Desta fórmula, segue que:
P (A ∩B) = P (B)P (A|B)
Para três eventos, A,B e C a regra do produto pode ser escrita como
P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩B)
Exemplo 9: Sendo P (A) = 1
3
, P (B) = 3
4
e P (A ∪B) = 11
12
, calcular P (A|B)
Exemplo 10: Uma carta é retirada de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de ser um
rei, sabendo que ocorreu uma figura?
Exemplo 11: No lançamento de dois dados distintos, sabe-se que se obteve nas faces voltadas
para cima a soma dos pontos iguais a 6. Qual a probabilidade de que essas faces apresentem o
mesmo número de pontos?
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Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influ-
encia a probabilidade de ocorrência dos outros.
Se dois eventos A e B são independentes, então:
P (A|B) = P (A), P (B|A) = P (B)
Como consequência, a regra do produto pode ser simplificada da seguinte forma:
P (A ∩B) = P (A)P (B|A) = P (A)P (B)
Essa relação é usada para definir formalmente eventos independentes, ou seja:
A e B são independentes ⇐⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B)
A definição de independência ainda pode ser ampliada para mais eventos, como segue:
E1, E2, · · · , En são independentes ⇐⇒ P (E1 ∩ E2 ∩ · · · ∩ En) = P (E1)P (E2) · · ·P (En)
Exemplo 12: Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4
verdes. Qual a probabilidade de que ambas (considere reposição da mesma):
1. Sejam verdes?
2. Sejam da mesma cor?
4.7 Teorema da probabilidade total
A probabilidade de ocorrer pelo menos um entre dois eventos E1 e E2 é igual a soma das proba-
bilidades de E1 e E2, menos a probabilidade de E1 e E2 ocorrerem simultaneamente, ou seja,
P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)− P (E1 ∩ E2)
No caso de três eventos: E1, E2, E3, tem-se que
P (E1∪E2∪E3) = P (E1)+P (E2)+P (E3)−P (E1∩E2)−P (E1∩E3)−P (E2∩E3)+P (E1∩E2∩E3)
Exemplo 13: No circuito da figura a seguir, a probabilidade de que cada relé esteja fechado é
de 0, 8. Supondo que cada relé seja aberto ou fechado independentemente um do outro, calcular
a probabilidade de que a corrente passe de A para B.
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Exemplo 14: Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = p, P (A ∪ B) = 0, 6. Calcular
p considerando A e B:
1. Mutuamente exclusivos (excludentes).2. Independentes.
4.8 Teorema de Bayes
Se E1, E2, · · · , En são n eventos dois a dois mutuamente exclusivos e exaurem o conjunto S dos
eventos elementares, então se P (Ei) > 0(i = 1, 2, · · · , n) tem-se
P (Ei | B) =
P (Ei)P (B | Ei)
P (E1)P (B | E1) + P (E2)P (B | E2) + · · ·+ P (En)P (B | En)
onde B é um evento que só pode ocorrer como efeito de uma das causas mutuamente exclusivas
Ei.
O teorema de Bayes fornece a probabilidade de que o evento Ei tenha ocorrido na hipótese
de que o evento B tenha sido observado.
Exemplo 15: Uma caixa A tem 3 fichas vermelhas e 2 azuis e a caixa B tem 2 vermelhas e 8
azuis. Joga-se uma moeda honesta, se a moeda der cara extrai-se uma ficha de A, se der coroa
de B. Uma ficha vermelha é extráıda. Qual a probabilidade de ter sáıdo cara no lançamento?
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Exemplo 16: Uma indústria produz quatro tipos de válvulas eletrônicas: A,B,C e D. A
probalidade de uma válvula do tipo A ser defeituosa é 1%, do tipo B é 0, 5%, do tipo C é
2% e do tipo D é 0, 2%. Em um depósito existem 1000 válvulas do tipo A, 500 do tipo B, 300
do tipo C e 200 do tipo D. Uma válvula é retirada aleatoriamente do depósito e verifica-se que
está defeituosa. Qual a probabilidade de que a válvula retirada seja do tipo D?
Exemplo 17: Uma indústria produz 4 tipos de vigas em aço, A; B; C e D. A probabilidade
de que a viga A seja defeituosa é de 5%, a viga B é 3%, a viga C é 8% e a viga D é 10%. Em
uma construção, utilizaram-se todos os tipos de vigas nas seguintes quantidades: Sabe-se que
400 vigas do tipo A, 100 vigas do tipo B, 300 do tipo C e 200 do tipo D. Uma das vigas utilizadas
nesta construção apresentou defeito, calcule a probabilidade de que seja:
a) Viga do tipo A; b) Não seja do tipo C.
4.9 Exerćıcios
1. Dê o espaço amostral dos seguintes experimentos:
(a) lançamento simultâneo de três moedas.
(b) lançamento simultâneo de um dado e uma moeda.
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(c) distribuição dos quatro filhos de um casal, quanto ao sexo, por ordem de nascimento.
(d) retirada de 4 bolas de uma urna contendo duas bolas brancas e 5 bolas verdes.
2. Em uma classe de 100 formandos do ensino médio, 54 estudaram matemática, 69 estuda-
ram história e 35 estudaram ambas as matérias. Se um desses estudantes for selecionado
aleatoriamente, determine a probabilidade de que:
(a) O estudante tenha estudado matemática ou história;
(b) O estudante não tenha estudado nenhuma dessas matérias;
(c) O estudante tenha estudado história, mas não matemática;
3. Considere o experimento: lançamento de dois dados, um branco e outro verde, e observando
a face superior; determine:
(a) o espaço amostral;
(b) o evento: ocorrência de números iguais nos dois dados;
(c) o evento: ocorrência de números cuja soma seja 5;
4. Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0, 2, P (B) = P , P (A ∪ B) = 0, 6. Calcular P
considerando A e B:
(a) mutuamente exclusivos R.P = 0, 4
(b) independentes R.P = 0, 5
5. Dois dados, um verde e um vermelho, são lançados e observados os números das faces de
cima:
(a) Qual a probabilidade de ocorrerem números iguais? R.1/6
(b) Qual a probabilidade de ocorrerem números diferentes? R.5/6
(c) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 7? R.1/6
(d) Qual a probabilidade de a soma dos números ser 12? R.1/36
(e) Qual a probabilidade de a soma dos números ser menor ou igual a 12? R.1
(f) Qual a probabilidade de aparecer um número 3 em ao menos um dado? R.11/36
6. Se a famı́lia Silva tiver 5 filhos e a famı́lia Oliveira tiver 4, qual a probabilidade de que todos
os filhos dos Silva sejam meninas e todos os dos Oliveira sejam meninos? R.1/512
7. A capacidade de sentir o gosto de uma substância amarga chamada fenil tiocarbamida
(PTC) deve-se a um gene dominante. Qual a probabilidade de um casal (senśıvel a essa
substância e heterozigótico) ter um filho do sexo feminino e senśıvel ao PTC? R.3/8
8. Dois indiv́ıduos manifestam um caráter dominante e têm um primeiro filho que manifesta
o caráter recessivo. Qual a probabilidade de um segundo filho ser igual ao primeiro?
R.1/4
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9. Um determinado indiv́ıduo possui o genótipo Aa. Qual a chance de o gene A ser transmitido
para um bisneto seu? R.0, 125
10. Em certo locus podem ocorrer dois alelos: C e D. Admitamos que os posśıveis genótipos
tem as seguintes probabilidades:
P (CC) = 0, 46 P (CD) = 0, 31 P (DD) = 0, 23
Qual a probabilidade de que um genótipo contenha:
(a) O alelo C? R.0, 77
(b) O alelo D? R.0, 54
(c) Qual a suposição feita em (a) e (b) R. MUTUAMENTE EXCLUSIVOS ?
11. Em certo locus de um certo par de cromossomos, podem ocorrer alelos A e a. Os genótipos
AA, Aa, aa têm probabilidades:
P (AA) = 0, 11 P (Aa) = 0, 37 P (aa) = 0, 52
Em certo locus de outro par de cromossomos, podem ocorrer alelos B e b. Os genótipos
BB,Bb, bb têm as probabilidades:
P (BB) = 0, 35 P (Bb) = 0, 25 P (bb) = 0, 40
Encontrar as probabilidades de combinações genéticas:
(a) AA junto com BB, isto é, AA e BB? R.0, 00385
(b) Aa junto com Bb, isto é, Aa e Bb? R.0, 0925
(c) Qual a suposição feita em (a) e (b)? R. OS PARES DE CROMOSSOMOS SAO
INDEPENDENTES
12. Numa certa cidade, 40% da população têm cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e 15%
cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa da cidade é selecionada aleatoriamente.
(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual é a probabilidade de ela ter também olhos casta-
nhos? R.0, 375
(b) Se ela tem olhos castanhos, qual é a probabilidade de ela não ter cabelos castanhos?
R.0, 40
(c) Qual é a probabilidade de ela não ter nem cabelos nem olhos castanhos? R.0, 50
13. Em organismos diplóides sexuados, cada par de cromossomos é formado por um cromos-
somo de origem paterna e um de origem materna. Qual a probabilidade de os esper-
matozóides conterem apenas os cromossomos de origem materna, em um organismo com
quatro pares de cromossomos? R.1/16
14. Um lote é formado por 10 animais sadios, quatro com problemas menores e dois com
problemas graves. Todos os animais são numerados e é feita a escolha de um animal ao
acaso. Ache a probabilidade de que:
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(a) Ele não tenha problemas; R.5/8
(b) Ele não tenha problemas graves; R.7/8
(c) Ele seja sadio ou tenha problemas graves; R.3/4
15. Se do mesmo descrito anteriormente, dois animais forem escolhidos (sem reposição), ache
a probabilidade de que:
(a) Ambos sejam sadios; R.3/8
(b) Ao menos um seja sadio; R.7/8
(c) No máximo um seja sadio; R.5/8
(d) Exatamente um seja sadio; R.1/2
(e) Nenhum deles seja sadio. R.1/8
16. Amostras de uma pele com descamação são analisadas em relação ao teor de umidade e de
melanina. Os resultados de 100 amostras de pele são dados a seguir:
Tabela 1: Amostras de uma pele com descamação são analisadas em relação ao teor de
umidade e de melanina
Conteúdo de Melanina
Alta Baixa
Conteúdo de Alta 70 9
umidade Baixa 16 5
Seja A o evento em que uma amostra tem baixo teor de melanina e seja B o evento em que
a amostra tem alto teor de umidade. Determine as seguintes probabilidades:
(a) P (A) R.0, 14
(b) P (B) R.0, 79
(c) P (A|B) R.0, 114
(d) P (B|A) R.0, 64
17. A análise de resultados de um experimento de transmutação de uma folha (tornando uma
folha em pétala) é resumida pelo tipo de transformação completada:
Tabela 2: A análise de resultados de um experimento de transmutação de uma folha
Transformação Total da textura
Sim Não
Transformação Sim 243 26
Total da cor Não 13 18
(a) Se a folha completa a transformação da cor, qual a probabilidade de que ela completará
a transformação textural? R.0, 903
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(b) Se a folha não completar a transformação textural, qual a probabilidade de que ela
completará a transformação dacor R.0, 591
18. Uma batelada de 350 amostras de mitocôndrias rejuvenescidas contém 8 que são mutáveis
(ou defeituosas). Duas são selecionadas, ao acaso e sem reposição, da batelada.
(a) Qual é a probabilidade de que a segunda selecionada seja defeituosa, dado que a
primeira não foi defeituosa? R.0, 02
(b) Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas? R.0, 000458
(c) Qual é a probabilidade de que ambas seja aceitáveis? R.0, 9547
19. A seguinte tabela resume o número de insetos mortos por autólise (a destruição de uma
célula depois de sua morte pela ação de suas próprias enzimas) e por putrefação (decom-
posição da matéria orgânica, especialmente protéına, por microorganismo, resultando na
produção de matéria mal cheirosa):
Tabela 3: Número de insetos mortos por autólise e por putrefação
Autólise
Alta Baixa
Putrefação Alta 14 59
Baixa 18 9
(a) Se a autólise de uma amostra for alta, qual será a probabilidade de que a putrefação
seja baixa? R.0, 5625
(b) Se a putrefação de uma amostra for alta, qual será a probabilidade de que a autólise
seja alta? R.0, 1918
(c) Se a putrefação de uma amostra for baixa, qual será a probabilidade de que a autólise
seja baixa? R.0, 3333
20. Seis tecidos são extráıdos de uma hera infestada por ácaros. A planta esta infestada em
20% de sua área. Cada tecido é escolhido a partir de uma área selecionada aleatoriamente
nas heras.
(a) Qual a probabilidade de quatro amostras sucessivas mostrarem sinais de infestação?
R.0, 0037
(b) Qual a probabilidade de três das quatros amostras sucessivas mostrarem sinais de
infestação? R.0, 04096
21. A probabilidade de um espécime de laboratório conter altos ńıveis de contaminação é de
0,10. Cinco amostras são verificadas, sendo elas independentes.
(a) Qual a probabilidade de nenhum espécime conter altos ńıveis de contaminação? R.0, 59
(b) Qual a probabilidade de exatamente um espécime conter altos ńıveis de contaminação?
R.0, 328
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(c) Qual a probabilidade de pelo menos um espécime conter altos ńıveis de contaminação?
R.0, 41
22. Pelo fato de um novo procedimento ter se mostrado efetivo na detecção prévia de uma
doença, propôs-se o rastreamento médico da população. A probabilidade de o teste iden-
tificar corretamente alguém com a doença, dando positivo, é de 0,99 e a probabilidade
de o teste identificar corretamente alguém sem a doença, dando negativo, é de 0,95. A
incidência da doença na população em geral é de 0,0001. Você fez o teste e o resultado foi
positivo. Qual a probabilidade de você ter a doença? R.0, 002
23. Está sendo testado um novo processo para detectar mais acuradamente a respiração anaeróbica
em células. O processo é importante devido sua alta acurácia, a sua falta de experimentação
extensiva e ao fato de que ele poderia ser usado para identificar cinco categorias diferentes
de organismos: anaeróbicos obrigatórios, anaeróbicos facultativos, aerotolerantes, micro-
aerófilos e nanaeróbicos, em vez de usar um único teste de categoria. O processo alega
que ele pode identificar anaeróbicos obrigatórios com 97,8% de acurácia, anaeróbicos facul-
tativos com 98,1% de acurácia, aerotolerantes com 95,9% de acurácia, microaerófilos com
96,5% de acurácia e nanaeróbicos com 99,2% de acurácia. Se qualquer categoria não estiver
presente, o processo não indica. As amostras são preparadas para calibração do processo
e 31% delas contêm anaeróbicos obrigatórios, 27 % delas contêm anaeróbicos facultativos,
21% delas contêm microaerófilos, 13% contêm nanaeróbicos e 8% contêm aerotolerantes.
Uma amostra de teste é selecionada.
(a) Qual a probabilidade de o processo indicar? R.0, 97638
(b) Se o teste indicar, qual é a probabilidade de os microaerófilos estarem presentes?
R.0, 20755
24. Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos
produtos altamente aprovados recebiam bons conceitos, 60% dos produtos moderadamente
aprovados recebiam bons conceitos e 10% dos produtos ruins recebiam bons conceitos. Além
disso, 40% dos produtos tinham sido produtos altamente aprovados, 35% moderadamente
aprovados e 25% tinham sido produtos ruins.
(a) Qual a probabilidade de um produto atingir um bom conceito? R.0, 97638
(b) Se um novo projeto atingir um bom conceito, qual será a probabilidade de que ele
será um produto altamente aprovado? R.0, 615
(c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual a probabilidade de que ele será um
produto altamente aprovado? R.0, 052
25. Esta sendo testado um novo método anaĺıtico de detectar poluentes em água. Esse novo
método de análise qúımica é importante porque, se adotado, poderia ser usado para detectar
três diferentes contaminantes-poluentes orgânicos, solventes voláteis e compostos clorados
em vez de ter de usar um único teste para cada poluente. As pessoas que elaboraram o teste
afirmam que ele pode detectar altos ńıveis de poluentes orgânicos com 99,7% de acurácia,
solventes voláteis com 99,95% de acurácia e compostos clorados com 89,7% de acurácia.
Amostras são preparadas para calibração do teste e 60% delas são contaminadas com
74
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poluentes orgânicos, 27% com solventes voláteis e 13% com traços de compostos clorados.
Uma amostra é selecionada aleatoriamente.
(a) Qual a probabilidade de acusar o teste? R.0, 9847
(b) Se o teste acusar, qual a probabilidade de os compostos clorados estarem presentes?
R.0, 1184
75
Caṕıtulo 5
Distribuições de Probabilidade
5.1 Variáveis aleatórias
São grandezas sujeitas a variações. Conjunto de dados espećıficos que podem assumir valores
ou aspectos distintos, segundo os casos particulares ou circunstâncias. CRESPO (1997) define
variável como “...conjunto de resultados posśıveis de um fenômeno”.
Pode ser entendida como variável quantitativa, cujo resultado (valor) depende de fatores
aleatórios:
Exemplos:
1. número de coroas obtido no lançamento de duas moedas;
2. número de pessoas que visitam um determinado site, num certo peŕıodo de tempo;
3. tempo de resposta de um sistema computacional;
4. tempo de espera numa fila;
Estas variáveis aleatórias (v.a.) tem a caracteŕıstica: o resultado é um número real e não
podemos prevê-lo com exatidão, pois depende do experimento aleatório.
Formalmente, uma v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto
de números reais.
As v.a.s podem ser discretas ou cont́ınuas.
76
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5.1.1 Variáveis aleatórias discretas
Definida uma v.a. discreta, temos a descrição do que pode ocorrer no experimento aleatório:
1. quais resultados podem ocorrer; e
2. qual a probabilidade de cada resultado acontecer.
Exemplo 1: Seja X uma v.a. X = número obtido no lançamento de um dado comum. Dê a
distribuição de X
Se X for discreta, com posśıveis valores {x1, x2, · · · } então a distribuição de probabilidades de
X pode ser apresentada pela chamada função de probabilidade, que associa a cada valor posśıvel
xi a sua probabilidade de ocorrência p(xi), ou seja:
p(xi) = P (X = xi), (i = 1, 2, · · · )
Uma função de probabilidade deve satisfazer:
1. p(xi) ≥ 0;
2.
∑
i p(xi) = 1
Exemplo 2: O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado
é igualmente provável. Uma v.a. é definida como segue:
resultado a b c d e f
X 0 0 1,5 1,5 2 3
Dê a distribuição de X
Exemplo 3: Considere o lançamento de três moedas honestas. Seja X o número de caras. Dê a
distribuição de X.
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Função de distribuição acumulada
É outra forma de representar uma distribuição de probabilidade de uma v.a.:
F (x) = P (X ≤ x),∀x ∈ RX
Exemplo 4: Considere o lançamento de três moedas honestas.Seja X o número de caras.
1. Construa a função de distribuição acumulada de X.
2. Faça o gráfico.
3. Qual a probabilidade de ocorrer no máximo duas caras?
Exemplo 5: Construa F (x) do exemplo 1 e faça um esboço do gráfico.
Valor esperado (esperança) e variância
Na análise exploratória dos dados, definimos média, variância e desvio padrão para sintetizar
informações sobre distribuições de frequências. De forma análoga, essas medidas também podem
ser definidas para as variáveis aleatórias, com o objetivo de sintetizar caracteŕısticas relevantes
de uma distribuição de probabilidades.
A média ou valor esperado de uma v.a. discreta X é dada por:
E(X) =
n∑
i=1
xip(xi)
E a variância é dada por:
V (X) = σ2X = E[X − E(X)]2 = · · · = E(X2)− [E(X)]2
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Propriedades de E(X)
1. E(k) = k, k é constante,
2. E(kX) = k(E(X)
3. E(X ± Y ) = E(X)± E(Y )
4. E(aX ± k) = aE(X)± k
5. E(XY ) = E(X)E(Y )
Propriedades de V (X)
1. V (k) = 0
2. V (kX) = k2V (X)
3. V (X ± k) = V (X)
4. Cov(X, Y ) = E(XY )− E(X)E(Y )
Se X e Y são independentes E(XY ) = E(X)E(Y ), logo Cov(X, Y ) = 0
5. V (X ± Y ) = V (X) + V (Y )± 2Cov(X, Y )
Exemplo 6: Calculemos as esperanças e variâncias dos exemplos anteriores!!!
Exemplo 7: Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente de um carro popular e
cobra uma taxa de R$ 1.000,00 por carro segurado. Sabe-se que a probabilidade de que um carro
sofra acidente é de 3%. Quanto espera a seguradora ganhar por carro segurado?
Exemplo 8: Num jogo de dados, A paga R$ 20,00 a B e lança 3 dados. Se sair face 1 em um
dos dados apenas, A ganha R$ 20,00. Se sair face 1 em dois dados apenas, A ganha R$ 50,00 e
se sair 1 nos três dados, A ganha R$ 80,00. Calcular o lucro médio de A em uma jogada.
79
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Exemplo 9: O número de mensagens enviadas por hora, através de uma rede de computadores
tem a seguinte distribuição:
X=n. mensagens 10 11 12 13 14 15
p(x) 0,08 0,15 0,30 0,20 0,20 0,07
Calcule E(X) e V (X).
Exemplo 10: A distribuição a seguir é de chance que um bit transmitido através de um canal
de transmissão digital seja recebido com erros. X = número de bits com erro nos próximos 4
bits transmitidos. Encontre E(X) e V (X).
X 0 1 2 3 4
p(x) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001
Exemplo 11: Uma indústria produz dispositivos do tipo I com probabilidade de 0,20, do tipo II
com probabilidade de 0,36, do tipo III com probabilidade 0,28 e do tipo IV com probabilidade
0,16. Sabendo que o lucro por dispositivo do tipo I exportada é de 10 u.m., do tipo II é de
30 u.m., do tipo III é de 20 u.m. e do tipo IV é de 15 u.m., qual o lucro médio esperado por
dispositivo, a variância e o desvio padrão?
Qual seria o lucro médio esperado por dispositivo, a variância e o desvio padrão, se tivesse
havido um aumento de 30% no lucro que vinha sendo aferido e a taxação, pelo páıs importador,
aumentasse 2 u.m. por cada dispositivo importado?
80
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5.1.2 Variáveis aleatórias cont́ınuas
Muitas v.a que surgem na vida de um engenheiro ou de um profissional da informática têm
natureza eminentemente cont́ınua, tais como:
1. tempo de resposta de um sistema computacional;
2. rendimento de um processo qúımico;
3. tempo de vida de um componente eletrônico;
4. resistência de um material; etc
Define-se uma v.a. cont́ınua por meio de sua função de densidade de probabilidade (fdp).
As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória cont́ınua X podem ser
calculadas através de uma função densidade de probabilidade de f , que deve satisfazer:
1. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R; e
2.
∫∞
−∞ f(x)dx = 1
Se A = [a, b], então P (A) = P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx
Proposição Se X é uma variável aleatória cont́ınua, então qualquer número c, P (X = c) = 0.
Além disso, para quaisquer dois números a e b, com a < b,
P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)
Exemplo 12: Verificar se
f(x) =
{
2x+ 3, para 0 < x ≤ 2
0, para x ≤ 0 ou x > 2
é uma fdp.
Exemplo 13: Seja a variável aleatória T definida como o tempo de resposta na consulta a um
banco de dados, em minutos. Suponha que essa variável aleatória tenha a seguinte fdp:
f(t) =
{
2e−2t, para t ≥ 0
0, para t < 0
Primeiramente esbocemos o gráfico:
81
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Calculemos a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3 minutos, isto é: P (T > 3).
Exemplo 14: Seja X uma variável aleatória cont́ınua com fdp dada por
f(x) =
{
2x, para 0 ≤ x ≤ 1
0, para x < 0 ou x > 1
Calcular a P
(
X ≤ 1
2
∣∣∣1
3
≤ X ≤ 2
3
)
Função de distribuição acumulada
Como X é uma v.a. cont́ınua com fdp f , definimos sua função de distribuição acumulada
por:
F (x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞
f(s)ds, ∀x ∈ R
Consideremos a fdp do exemplo anterior:
para t < 0:
para t ≥ 0:
82
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e, graficamente:
Retomando o exemplo anterior, o cálculo de P (T > 3) pode ser feito aplicando a função
acumulada:
Dada a função de distribuição acumulada F , podemos obter a fdp f por:
f(x) =
d
dx
F (x)
Para todo ponto x em que F é derivável. Assim, a função F também caracteriza a distribuição
de probabilidades de uma v.a
Propriedades de F (x)
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1;
2. limx→−∞F (x) = 0;
3. limx→∞F (x) = 1;
4. F (x) é não-decrescente, isto é, x1 ≤ x2 =⇒ F (x1) ≤ F (x2);
5. F (x2)− F (x1) = P (x1 ≤ X ≤ x2), x2 > x1
Exemplo 15: Seja X uma fdp dada por
f(x) =

x, 0 ≤ x < 1
2− x, 1 ≤ x < 2
0, x /∈ (0, 2]
Calcule:
1. P (0 < X < 5);
2. P (0 < X < 1);
3. F (x);
83
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4. os gráficos f(x) e F (x);
Esperança e variância
Uma v.a. cont́ınua X, com fdp f , tem valor esperado e variância definidos por:
E(X) =
∫ ∞
−∞
xf(x)dx
V (X) = E(X2)− [E(X)]2
onde E(X2) =
∫∞
−∞ x
2f(x)dx
Exemplo 16: Seja
f(x) =
{
kx, se 0 ≤ x ≤ 1
0, para x < 0 ou x > 1
Determinar:
1. k a fim de que f(x) seja uma fdp;
2. O gráfico de f(x);
3. P (0 ≤ X ≤ 1
2
);
4. E(X);
5. V ar(X);
6. F (x);
7. O gráfico da F (x).
84
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Exemplo 17: Seja a variável aleatória X o diâmetro de um orif́ıcio perfurado em uma placa
metálica. O diâmetro alvo é de 12,5 miĺımetros. A maioria dos distúrbios aleatórios no processo
resulta em diâmetros maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser
modelada pela função:
f(x) =
{
20e−20(x−12,5), para x ≥ 12, 5
0, para x < 12, 5
1. Se uma peça com diâmetro maior que 12,60 miĺımetros for descartada, qual será a proporção
de peças descartadas?
2. Qual proporção de peças está entre 12,5 e 12,6 miĺımetros ?
3. Determine a esperança e a variância de perfuração.
5.2 Distribuições teóricas de probabilidades
Estudaremos agora alguns modelos probabiĺısticos padrões, que podem ser usados em diversas
situações práticas. O problema passa a ser, então, determinar qual modelo é o mais adequado
para a situação em estudo e como aplicá-lo adequadamente.
5.2.1 Principais distribuições teóricas discretas de probabilidades
Distribuição de Bernoulli
Talvez os experimentos mais simples são aqueles em que observamos presença ou não de alguma
caracteŕıstica, que são conhecidos como ensaios de Bernoulli. Alguns exemplos:
1. lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou não;
85
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2. lançar um dado e observar se ocorre seis ou não;
3. numa linha de produção, observar se um item, tomado ao acaso é ou não defeituoso;
4. verificar se um servidor de uma intranet está ou não ativo.
5. o resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativa;
6. um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita.
Denominamos sucesso ou fracasso os doiseventos posśıveis em cada caso. O ensaio de Ber-
noulli é caracterizado por uma variável aleatória X, definida por X = 1 se sucesso; X = 0, se
fracasso. A função de probabilidade de X é dada por
X p(x)
0 1-p
1 p
total 1
onde p = P (sucesso). A distribuição fica completamente especificada ao atribuirmos um valor
para p. No exemplo da moeda, p = 1
2
. Outras caracteŕısticas da distribuição de Bernoulli:
E(X) = p e V (X) = p(1− p)
F (x) =

0, se x < 0
1− p, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
Exemplo 18: No lançamento de uma moeda, a variável aleatória X denota o número de caras
obtidas. Calcule:
1. P (X = 0) =
2. P (X = 1) =
3. E(X) =
4. V (X) =
5. sd(X) =
6. dê a FDA de X
86
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7. esboce o gráfico da função F (x)
Exemplo 19: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja
X : número de bolas verdes. Calcular E(X), V (X)e determinar a f.d.p. de X.
Distribuição de Binomial
Na maior parte das vezes, são realizados n ensaios de Bernoulli. O interesse está no número X
de ocorrências de sucesso, como nos exemplos:
1. lançar uma moeda cinco vezes e observar o número de caras;
2. numa linha de produção, observar dez itens, tomados ao acaso, e verificar quantos são
defeituosos;
3. verificar o número de bits que não estão afetados por rúıdos, em um pacote de n bits.
Nos exemplos precedentes, se for posśıvel supor:
1. ensaios independentes;
2. P (sucesso) = p, constante para todo ensaio (0 < p < 1)
Temos, então, exemplos de experimentos binomiais.
Uma v.a. com distribuição binomial de parâmetros n e p pode ser apresentada por:
X = X1 +X2 + · · ·+Xn
Onde X1 + X2 + · · · + Xn são v.a. independentes, sendo cada uma delas com distribuição de
Bernoulli de parâmetro p. Como Xi será 0 ou 1, dependendo da ocorrência ou não de sucesso no
i−ésimo ensaio, então a soma X corresponderá ao número de sucessos.
Definição: Seja X uma v.a. com distribuição binomial de parâmetros n e p (sendo 0 < p < 1).
A probabilidade de X assumir um certo valor x, pertencente ao conjunto {0, 1, 2, · · · , n} é dada
pela expressão:
p(x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x
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em que: n : número de provas ou repetições; x : número de sucessos; n−x : número de fracassos;
p : probabilidade de sucesso em cada prova; q = 1 − p : é a probabilidade de fracasso em cada
prova; (
n
x
)
= Cn,x
número de combinações de n elementos tomados x a x.
Os parâmetros da distribuição Binomial são,
E(X) = np e V (X) = npq
Exemplo 20: Sabe-se que 20% dos animais submetidos a certo tratamento não sobrevivem. Se
esse tratamento foi aplicado em 20 animais e se X = número de não sobreviventes:
1. qual a distribuição de X?
2. E(X) e V (X);
3. P (2 < X ≤ 4);
4. P (X ≥ 2);
Exemplo 21: Dados históricos mostram que 5% dos itens provindos de um fornecedor apresentam
algum tipo de defeito. Considerando um lote com 20 itens, calcular a probabilidade de:
88
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1. haver um item com defeito;
2. haver exatamente dois itens defeituosos;
3. haver mais de dois itens defeituosos;
4. qual é o número esperado de itens defeituosos no lote?
5. e de itens bons?
Exemplo 22: Uma prova de tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5
alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo
a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5?
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Distribuição Geométrica
Seja X: número de tentativas necessárias ao aparecimento do primeiro sucesso. Assim a variável
X tem distribuição geométrica, com
P (X = x) = qx−1p
Os parâmetros da distribuição geométrica são:
E(X) =
1
p
, e V (X) =
q
p2
Exemplo 23: A probabilidade de se encontrar aberto um sinal de trânsito numa esquina é 0,20.
Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal
aberto pela primeira vez?
Exemplo 24: Qual a probabilidade de que um dado deva ser lançado 15 vezes para que na 15a
vez ocorra a face 6 pela primeira vez?
Distribuição de Pascal
Suponha que um experimento aleatório repetido independentemente até que um evento A ocorra
pela r-ésima vez. Seja X: número de repetições necessárias para que A ocorra pela r-ésima vez.
Assim,
P (X = x) =
(
x− 1
r − 1
)
prqx−r.
em que: x = número de repetições; r = número de sucessos;
Os parâmetros da distribuição Pascal são:
E(X) =
r
p
e V (X) =
rq
p2
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Exemplo 25: A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 0,20.
Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrá-lo aberto
pela quarta vez?
Exemplo 26: Qual a probabilidade de que um dado seja lançado 15 vezes para que ocorra a face
6 pela quinta vez?
Distribuição Hipergeométrica
Consideremos uma população com N elementos das quais k têm uma determinada caracteŕıstica.
Retiramos dessa população, sem reposição, uma amostra de tamanho n.
Seja X: número de sucessos na amostra. Assim a variável X tem distribuição Hiper-
geométrica:
P (X = x) =
(
k
x
)(
N − k
n− x
)
(
N
n
) , com 0 ≤ x ≤ n e x ≤ k.
em que: x = número de sucessos da amostra; k = caracteŕıstica da população; N = tamanho da
população; n = tamanho da amostra;
Os parâmetros da distribuição Hipergeométrica são:
E(X) = np e V (X) = np(1− p)N − n
N − 1
,
sendo p = k
n
.
Exemplo 27: De um baralho com 52 cartas, retiram-se 8 cartas ao acaso, sem reposição. Qual
a probabilidade de que 4 sejam figuras?
91
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Exemplo 28: Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de
qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum
motor for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos um motor for defeituoso, todos os 50
motores são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja
necessário examinar todos os motores dessa caixa?
Distribuição de Poisson
Muitas vezes, no uso da binomial, acontece que n é muito grande (n→∞) e p é pequeno (p→ 0).
Nesses casos não encontramos o valor em tabelas, ou então o cálculo é dif́ıcil. Assim, pode-se
fazer uma aproximação da binomial pela Poisson, fazendo:
1. n→∞, (n > 30);
2. p→ 0, (p < 0, 1);
3. 0 < np ≤ 10 consideraremos np = λ.
Assim é posśıvel mostrar que:
X ∼ B(n, p) ≈ X ∼ Poi(λ)
Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo de tempo.
Seja X = número de sucessos no intervalo, então:
P (X = x) =
e−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, · · ·
onde λ é a média.
Esta distribuição é usada em:
1. carros que passam no cruzamento por 1 hora;
2. erros tipográficos por página;
3. defeitos por unidade por peça fabricada;
4. mortes por atacaque do coração por ano numa cidade;
5. tempo de espera numa fila
92
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Para a Poisson, tem-se
E(X) = λ, e V (X) = λ
Exemplo 29: Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que
uma página contenha pelo menos 3 erros?
Exemplo 30: Supondo que as consultas num banco de dados ocorrem de forma independente e
aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto, calculemos a probabilidade de que
no próximo minuto ocorram menos do que 3 consultas?
Exemplo 31: Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade
de que:
1. Num minuto não haja nenhum telefonema?
2. Em 2 minutos haja 2 chamadas?
3. Em t minutos não haja chamados?
93
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5.2.2 Principais distribuições teóricas cont́ınuas de probabilidades
Distribuição Uniforme cont́ınua ou retangular
Uma v.a. X tem distribuiçãouniforme de parâmetros a e b, se sua densidade é especificada por
f(x) =
{
1
b−a , se x ∈ [a, b]
0, caso contrário.
Dizemos que X ∼ U [a, b], cuja função de distribuição acumulada é:
Assim,
F (x) =

0, se x < a
x−a
b−a , se a ≤ x < b
1, se x ≥ b
graficamente:
94
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Para X ∼ U [a, b], tem-se que E(X) = b+a
2
, pois
e V (X) = (a−b)
2
12
, pois
Exemplo 32: A Dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável
aleatória com distribuição uniforme no intervalo de [50, 70] da escala de Rockwel. Calcular a
probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60.
Exemplo 33: A espessura de um filme fotorresistente aplicado a pastilhas na fabricação de
semicondutores, em certa localização na pastilha está uniformemente distribúıda em 0, 2050 e
0, 2150 micrômetros.
1. dê F (x);
95
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2. dê a proporção de pastilhas que excedem 0, 2125 micrometro na espessura do filme;
3. que espessura é excedida por 10% das pastilhas?
4. dê E(X) e V (X).
Distribuição exponencial
Enquanto a distribuição de Poisson pode ser usada para modelar o número de ocorrências em
um peŕıodo cont́ınuo, a distribuição exponencial pode modelar a v.a. cont́ınua que representa o
intervalo entre as ocorrências.
Exemplos:
1. tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados;
2. tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;
3. distância (em metros) entre defeitos de uma fita;
96
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Assim, X ∼ exp(λ) se sua fdp é
f(x) =
{
λe−λx, se x ≥ 0, λ > 0
0, se x < 0
Graficamente:
E, a função distribuição acumulada é dada por:
Assim, F (x) =
{
1− e−λx, se x ≥ 0
0, se x < 0
. Graficamente:
Ainda, E(X) = 1
λ
, pois
e V (X) = 1
λ2
.
Exemplo 34: Seja X com fdp
f(x) =
{
k
2
e−x, se x ≥ 0
0, se x < 0
1. dê k;
97
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2. dê F (x);
3. a mediana a distribuição (m é mediana se P (X > m) = P (X < m))
Exemplo 35: Em uma grande rede de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem
ser modeladas como um processo de Poisson, com uma média de 25 conexões por hora.
1. Qual a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos?
2. Qual a probabilidade de que o tempo até a próxima conexão esteja entre 2 e 3 minutos?
3. Determine o tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo seja
0,90.
Distribuição Normal
A normal é considerada a distribuição de probabilidades mais importante, pois permite mode-
lar uma infinidade de fenômenos naturais e, além disso, possibilita realizar aproximações para
calcular probabilidades de muitas variáveis aleatórias que têm outras distribuições. É muito
importante também na inferência estat́ıstica, como será observado mais adiante.
A distribuição normal é caracterizada por uma função de probabilidade, cujo gráfico descreve
uma curva em forma de sino, como mostra a figura a seguir.
98
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Observe que essa forma de distribuição evidência que há maior probabilidade de a variável
aleatória assumir valores próximos do centro.
Dados os parâmetros µ ∈ R e σ > 0, a fdp da normal é dada por:
f(x) =
1
σ
√
2π
e
−1
2
(x−µ
σ
)2 , −∞ < x <∞
Com certo esforço matemático, é posśıvel mostrar que
E(X) = µ e V (X) = σ2
A normal ainda tem como caracteŕısticas:
1. a curva é simétrica em torno de µ, assim a média é igual a mediana.
2. a função f(x) tem um ponto de máximo para x = µ.
3. teoricamente, a curva prolonga-se de −∞ até ∞, sendo limx→±∞ f(x) = 0.
4. a área total sob a curva é igual a 1, ou seja,
∫∞
−∞ f(x)dx = 1.
Distribuição Normal Padrão - Z
Todas as curvas normais representativas de distribuições de frequências podem ser trans-
formadas em uma curva normal padrão, usando o desvio padrão (σ) como unidade de medida
indicativa dos desvios dos valores da variável em estudo ( x ), em relação à média (µ ).
A Distribuição Normal Padrão é caracterizada por ter média (µ ) igual a zero e desvio padrão
(σ) igual a 1.
Se a variável X tem distribuição normal, pode ser transformada para uma forma padrão,
denominada Z, (ou, como comumente se diz, pode ser padronizada) subtraindo-se sua média e
dividindo-se pelo seu desvio padrão:
z =
x− µ
σ
É importante lembrar que a área sob a curva pode ser entendida como uma medida de sua
probabilidade e que a área sob a curva normal é igual a 1 (100%).
Assim, a variável X cuja distribuição é X ∼ N(µ, σ2) é transformada na forma padronizada
Z cuja distribuição é Z ∼ N(0, 1). Essa é a distribuição normal padrão, que já está tabelada,
pois os parâmetros da população (desvio padrão e média) são conhecidos.
99
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Então, se forem tomados dois valores espećıficos, pode-se determinar a proporção de área sob
a curva entre esses dois valores.
Para aprender a usar a tabela da Normal
1. Seja Z ∼ N(0, 1). Calcule:
(a) P (Z < 1, 32)
(b) P (Z < 3, 0)
(c) P (Z < −0, 82)
(d) P (Z > 2, 43)
(e) P (Z > −1, 34)
(f) P (−1 < Z < 1)
100
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2. Z ∼ N(0, 1). Calcule:
(a) P (Z < z) = 0, 9
(b) P (Z < z) = 0, 5
(c) P (Z > z) = 0, 1
(d) P (−1, 24 < Z < z) = 0, 8
3. Seja X ∼ N(18, 9). Calcule:
(a) P (X < 13)
(b) P (X > 18)
(c) P (12 < X < 17)
(d) P (X > x) = 0, 4
101
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Exemplo 36: As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribúıdas com
média 1,60m e desvio-padrão de 0,30m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
1. Entre 1,50 e 1,80m.
2. Entre 1,67 e 1,80m.
3. Entre 1,48 e 1,60m.
4. Mais de 1,75 m?
5. Menos de 1,48m?
6. Qual deve ser a medida mı́nima para escolhermos 10% dos mais altos?
Exemplo 37: A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada com distri-
buição N(6000kg/cm2, 1002kg/cm2).
1. Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor que 6250kg/cm2?
2. Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900kg/cm2?
102
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3. Qual resistência é excedida por 95% das amostras?
Exemplo 38: O tempo de reação de um motorista para o est́ımulo visual é normalmente dis-
tribúıdo com média 0, 4s e desvio padrão 0, 05s.
1. Qual a probabilidade de que uma reação requeira mais de 0, 5s?
2. Qual a probabilidade de que uma reação requeira entre 0, 4s e 0, 5s?
3. Qual o tempo de reação que é excedido em 90% do tempo?
Distribuição de Funções de Variáveis Aleatórias Normais
1. Sejam n variáveis independentes, cada uma com distribuição normal, e sejam E(Xi) = µi,
V ar(Xi) = σ
2
i , i = 1, 2, 3, ...n, isto é, Xi ∼ N(µi, σ2i ). Consideremos a variável X =∑n
i=1Xi.
Então X também é normalmente distribúıda, com
X ∼ N
( n∑
i=1
µi,
n∑
i=1
σ2i
)
2. Nas condições anteriores, se µi = µ2 = . . . = µn = e σ
2
i = σ
2
2 = . . . = σ
2
n =, então
X ∼ N(nµ, nσ2).
103
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3. Sejam Xi : N(µ, σ
2), i = 1, . . . , n, variáveis independentes. Seja
X̄ =
1
n
n∑
i=1
Xi
Então
X̄N :
(
µ,
σ2
n
)
Exemplo 39: Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas. O
peso bruto tem distribuição normal com µ = 1000g e σ = 20g. As latas têm peso distribúıdo
normalmente, com µ = 90g e σ = 10g. Qual a probabilidade de que uma lata tenha, de peso
ĺıquido,
1. Menos de 830g?
2. Mais de 870g?
3. Entre 860 e 920g?
Exemplo 40: Um produto pesa, em média, 10g, com desvio padrão de 2g. É embalado em caixas
com 50 unidades. Sabe-se que as caixas pesam 500g, com desvio padrão de 25g. Admitindo-se
104
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que segue distribuição normaldos pesos e independência entre as variáveis dos pesos do produto
e da caixa, calcular a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050g.
5.3 Exerćıcios
1. Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou cont́ınuas:
(a) X : número de acidentes de carro por ano, em Toledo;
(b) Y : o tempo para jogar 18 buracos de golfe;
(c) Z : a quantidade de leite produzida anualmente por determinada vaca;
(d) M : o número de ovos postos por uma galinha a cada mês;
(e) N : o número de permissões para construção de prédios em uma cidade a cada mês;
(f) O : a produção (em toneladas) de grãos por hectare.
2. Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X:
número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidade de X.
3. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas em cada carro que vá ao litoral
num sábado são, respectivamente: 0,05; 0,20; 0,40; 0,25; e 0,10. Qual o número médio de
pessoas por carro? Se chegam no litoral 4000 carros por hora, qual o número esperado de
pessoas, em 10 horas? R. 3,15 pessoas; 126.000 pessoas
4. Um banco pretende aumentar a eficiência de seus caixas. Oferece um prêmio de R$150,00
para cada cliente atendido além de 42 clientes por dia. O banco tem um ganho operacional
de R$ 100,00 para cada atendimento além de 41. As probabilidades de atendimento são:
No de clientes Até 41 42 43 44 45 46
Probabilidade 0,88 0,06 0,04 0,01 0,006 0,004
Qual a esperança de ganho do banco se o sistema for implantado? R. R$7,30
5. Sabe-se que uma moeda mostra a face cara quatro vezes mais do que a face coroa, quando
lançada (MOEDA VICIADA). Esta moeda é lançada quatro vezes. Seja X: o número de
caras que aparece, determine:
(a) E(X) R. E(X)=3,20
105
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(b) Desvio Padrão de (X) R. VAR(X)= 0,64
(c) P (X ≤ 2) R. 0,9728
(d) P (1 ≤ X < 3) R. 0,1792
6. Em uma fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média
das lâmpadas é de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal.
Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
(a) Mais que 750 horas; R.691
(b) Entre 520 e 880 horas. R.785
7. Suponha que a porcentagem de impurezas de um composto seja uma variável aleatória
cont́ınua com fdp:
f(x) =
{
k(2x2 + x), 0 ≤ x ≤ 1
0, x > 1, x < 0
(a) Calcule o valor da constante k R.6
7
(b) Calcule P (X > 0, 60) R.0, 722
(c) Esboce o gráfico da função distribuição acumulada F (X). R.

0, se x < 0
4x3
7
+ 3x
2
7
, se 0 ≤ x < 1
1, se x ≥ 1
8. Se uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas com reposição.
Seja X um número de bolas brancas. Calcular E(X). R.1, 2
9. Um dado honesto é lançado 10 vezes. Usando a distribuição binomial, calcule a probabili-
dade de:
(a) Verificar face 5 em exatamente 2 lançamentos; R.0, 29
(b) Verificar face 2 no máximo 2 lançamentos; R.0, 775
(c) Verificar face 3 ao menos 1 vez; R.0, 8385
10. Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo
menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? R.0, 99948
11. Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão tem 5 alternativas.
Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve resolve a prova respondendo
a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? R.0, 000002
12. O diâmetro de um cabo elétrico é uma variável aleatória cont́ınua com f.d.p. dada por:
f(x) =
{
k(2x− x2), 0 ≤ x ≤ 1
0, x > 1, x < 0
(a) Calcule o valor da constante k. R.3
2
106
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(b) Calcular a E(x) e V ar(x). R.5
8
e 19
320
(c) Calcule P (0 ≤ X < 1/2) R. 5
16
13. A variável aleatória X tem fdp. dada por:
f(x) =
{
6(x− x2), 0 ≤ x ≤ 1
0, x > 1, x < 0
Calcular P (µ− 2σ < X < µ+ 2σ) R.0, 979264
14. Sendo
f(x) =

(
k + 44
6
)
e−2kx, se x ≥ 0
0, se x < 0
Calcular:
(a) k R.k = 4
(b) P (8µ− 3σ < X < 10µ+ 6σ) R.0, 00674
15. A fdp
f(x) =
{
2e−2x, se x ≥ 0
0, se x < 0
representa a distribuição do ı́ndice de acidez (X) de um determinado produto aliment́ıcio.
O produto é consumı́vel se este for menor que 2. O setor de fiscalização do I.A.L. aprendeu
30 unidades do mesmo. Qual a probabilidade de que pelo menos 10% da amostra esteja
imprópria para consumo? R.0,02172
16. Considere as três funções dadas a seguir. Determine quais são funções de distribuição
acumulada (FDA)
(a) F (x) = 1− e−x, 0 < x <∞
(b) G(x) =
{
e−x, se 0 ≤ x <∞
0 se x < 0
(c) H(x) =
{
ex, se −∞ < x ≤ 0
0 se x > 0
17. Considere a seguinte função de densidade de probabilidade: f(x) =

kx, se 0 ≤ x < 2
k(4− x) se 2 ≤ x < 4
0 caso contrário
(a) Ache o valor de k para o qual f seja, de fato, uma função de densidade de probabili-
dade.
(b) Calcule a média e a variância de X.
(c) Ache a função de distribuição acumulada.
107
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18. Suponha que o erro na temperatura de reação em oC, para um experimento de laboratório
controlado, seja a variável aleatória cont́ınua X, que tem a função de densidade de proba-
bilidade: f(x) =
{
x2
3
, se − 1 < x < 2
0 caso contrário
(a) Verifique as condições para que a função seja uma fdp.
(b) Calcule a média e a variância de X.
(c) P (0 < X ≤ 1)
(d) Determine F (x)
19. Determine o valor de c de modo que cada uma das seguintes funções possa servir como
distribuição de probabilidade da variável aleatória discreta X:
(a) f(x) = c(x2 + 4), para x = 0, 1, 2, 3;
(b) f(x) = c
(
2
x
)(
3
3− x
)
para x = 0, 1, 2;
20. O tempo de espera, em horas, entre sucessivos motoristas flagrados por um radar que ultra-
passam o limite de velocidade, é uma variável aleatória cont́ınua com função de densidade
acumulada f(x) =
{
0, se x < 0
1− e−8x se x ≥ 0 Determine a probabilidade de o tempo de espera
entre sucessivos motoristas ser menor que 12 minutos, (a) usando a função de distribuição
acumulada de X;(b) usando a função de densidade de probabilidade de X.
21. Uma variável aleatória cont́ınua X, que pode assumir valores entre x = 1 e x = 3, tem
função de densidade dada por f(x) = 1
2
.
(a) Mostre que a área abaixo da curva é igual a 1;
(b) Determine P (2 < X < 2, 5)
(c) Determine P (X ≤ 1, 6)
22. Um importante fator no combust́ıvel sólido de um mı́ssil é a distribuição do tamanho de
part́ıculas. Problemas significativos podem ocorrer se o tamanho das part́ıculas for muito
grande. Dos dados de produção obtidos no passado, foi determinado que a distribuição do
tamanho da part́ıcula (em micrômetros) é caracterizada por
f(x) =
{
3x−4, se x > 1
0 se x ≤ 1
(a) Verifique que essa é uma fdp válida;
(b) Avalie F (x);
(c) Qual é a probabilidade de que uma part́ıcula aleatória de um combust́ıvel manufatu-
rado exceda 4 micrômetros;
(d) Represente a função de densidade;
108
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(e) Dê o tamanho médio da part́ıcula;
23. Em certa instalação industrial, acidentes ocorrem com baixa frequência. Sabe-se que a
probabilidade de um acidente em certo dia é de 0,005 e os acidentes são independentes uns
dos outros.
(a) Qual é a probabilidade de que, em qualquer peŕıodo de 400 dias, haja um acidente
em um dia (Use λ = 400× 0, 005 = 2)?
(b) Qual é a probabilidade de que haja, no máximo, três dias com um acidente?
24. Uma indústria de automóveis está preocupada com uma falha no mecanismo dos freios
de determinado modelo. Essa falha pode, em raras ocasiões, causar uma catástrofe em
uma rodovia. A distribuição do número de carros, por ano, que sofrerão essa falha é uma
variável aleatória de Poisson com λ = 5.
(a) Qual é a probabilidade de que, no máximo três carros por ano experimentem essa
catástrofe?
(b) Qual é a probabilidade de que mais de um carro por ano experimente essa catástrofe?
25. Os buracos em uma estrada podem serum grave problema e precisam de constantes reparos.
Para um certo tipo de terreno e pista feita de concreto, experiências passadas sugerem uma
média de dois buracos por milha (1,609km) depois de certo tempo de uso. Assumimos que
o processo de Poisson se aplica para a variável aleatória ”número de buracos”.
(a) Qual é a probabilidade de que não mais do que um buraco apareça em um seguimento
de uma milha (1,609km).
(b) Qual é a probabilidade de que não mais que quatro buracos apareçam em determinado
seguimento de cinco milhas (8,045 km).
26. O diâmetro interno terminado de um anel de pistão é distribúıdo normalmente com média
de 10 cent́ımetros e desvio padrão de 0,03 cent́ımetros.
(a) Qual é a proporção de anéis que terão diâmetro interno excedendo 10,075 cent́ımetros?
(b) Qual é a probabilidade de que um anel de pistão tenha diâmetro interno entre 9,97 e
10,03 cent́ımetros?
(c) Abaixo de qual valor do diâmetro interno estarão 15% dos anéis de pistão?
27. Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A probabilidade estimada
de sucesso em cada missão é 0, 95. Qual é a probabilidade de que pelo menos cinco das
missões planejadas sejam bem sucedidas?
28. Uma indústria de produtos eletrônicos afirma que a proporção de itens defeituosos de um
processo é de 5%. Uma comprador tem o procedimento padrão de inspecionar 15 unidades
selecionadas aleatoriamente de um lote. Em certa ocasião, o comprador encontra 5 itens
defeituosos.
109
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(a) Qual é a probabilidade dessa ocorrência, dado que a afirmação de 5% defeituosos é
verdadeira?
(b) Qual seria a sua reação se você fosse o comprador?
29. Uma empresa geralmente compra grandes lotes de certo tipo de equipamento eletrônico.
O método utilizado rejeita o lote se dois ou mais itens com defeitos forem encontrados em
uma amostra aleatória de 100 unidades.
(a) Qual é a probabilidade de rejeição do lote se há 1% de itens defeituosos?
(b) Qual é a probabilidade de aceitação de um lote se há 5% de itens com defeito?
30. A demanda por um produto é −1, 0,+1,+2 por dia, com probabilidades 1
5
, 1
10
, 2
5
e 3
10
,
respectivamente. Uma demanda de −1 significa que uma unidade é devolvida. Ache a
demanda esperada e a variância. Esboce a função de distribuição acumulada (FDA).
31. Uma urna tem 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a
probabilidade de que:
(a) 2 sejam pretas? R.0, 00038
(b) pelo menos 3 sejam pretas? R.0, 99957
32. Numa estrada há 2 acidentes para cada 100km. Qual a probabilidade de que em:
(a) 250km ocorram pelo menos 3 acidentes? R.0, 875348
(b) 300km ocorram 5 acidentes? R.0, 160623
33. O número de vezes que um motor elétrico é acionado em uma indústria segue a distribuição
Poisson. Sabe-se que, em média, o motor é acionado 3 vezes a cada hora de expediente.
Determine a probabilidade de:
(a) O motor não seja acionado em 2h de expediente; R.e−6
(b) O motor seja acionado no máximo 2 vezes em 2h de expediente; R.25e−6
(c) O motor seja acionado ao menos 1 vez em 1h de expediente; R.1− e−3
(d) Qual o número esperado de acionamento em 4h de expediente? R.12
34. Uma urna contém 10 bolas brancas e 40 pretas.
a) Qual a probabilidade de que a 6a bola retirada com reposição, seja a 1a bola branca?
R. 6,55%
b) Qual a probabilidade de que de 16 bolas retiradas, sem reposição, ocorram 3 brancas?
R. 29,33%
c) Qual a probabilidade de que a 15a bola extráıda com reposição seja a 6a branca?
R. 1,72%
d) Qual a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição, ocorram no máximo
2 brancas? R. 4,41%
110
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35. A vida de determinado tipo de bateria de cela seca é distribúıda normalmente, com uma
média de 600 dias e um desvio padrão de 60 dias. Que fração dessas baterias espera-se que
sobreviva acima de 680 dias? Que fração espera-se que falhe antes de 560 dias?
36. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas que têm vida útil, antes de queimarem, normal-
mente distribúıda com média igual a 800 horas e desvio padrâo de 40 horas. Encontre a
probabilidade de que uma lâmpada queime entre 778 e 834 horas.
37. Certo tipo de armazenadores de bateria dura, em média, três anos, com desvio padrão de
0,5 ano. Assumindo que a vida dos armazenadores é distribúıda normalmente, encontre a
probabilidade de que certo armazenador dure pelo menos 2,3 anos.
38. As alturas de mil estudantes são normalmente distribúıdas com média de 174,5 cent́ımetros
e desvio padrão de 6,9 cent́ımetros. Assumindo que as alturas são registradas para o meio
cent́ımetro mais próximo, quantos desses estudantes você esperaria que tivessem alturas
(a) menores de 160 cent́ımetros?
(b) entre 171,5 e 182 cent́ımetros, inclusive?
(c) iguais a 175 cent́ımetros?
(d) maiores ou iguais a 188 cent́ımetros?
39. Uma operadora do mercado de ações contata seus 20 clientes mais importantes todas as
manhãs. Se a probabilidade de se fazer uma transação como resultado desse contato é de
uma em três, quais são as chances de ela fazer 10 ou mais transações? R.0, 9824
40. Verifique se a função a seguir é fdp e determine as probabilidades.
f(x) =
2x+ 1
25
, x = 0, 1, 2, 3, 4
(a) P (X = 4) R. 9
25
(b) P (X ≤ 1) R. 4
25
(c) P (2 ≤ X < 4) R.12
25
(d) P (X > −10) R.1
41. Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter um determinado poluente orgânico. Con-
sidere que as amostras sejam independentes com relação à presença do poluente. Encontre
(a) a probabilidade de que nas próximas 18 amostras exatamente 2 contenham o poluente.
(b) No mı́nimo quatro amostras contenham o poluente. R.0, 2835; 0, 0982
42. Falhas ocorrem ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre. Seja X a variável
aleatória que conta o número de falhas em um comprimento de L miĺımetros de fio e
suponha que o número médio de falhas em L miĺımetros seja λ. Suponha que o número de
falhas siga a distribuição de Poisson, com média de 2, 3 falhas por miĺımetro. Determine a
probabilidade de existirem exatamente 2 falhas em 1 miĺımetro de fio. R.0, 2652
111
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43. Suponha que o tempo que um operador de coleta de dados leva para preencher um for-
mulário eletrônico para uma base de dados esteja uniformente entre 1,5 e 2,2 minutos.
(a) Qual é a média e a variância do tempo que o operador leva para preencer o formulário?
R.1, 85; 0, 0408
(b) Qual a probabilidade de levar menos de dois minutos para preencher o formulário?
R.0, 7143
(c) Determine a função de distribuição cumulativa do tempo que leva para preencher o
formulário. R.

0, se x < 1, 5
x−1,5
0,7
, se 1, 5 ≤ x < 2, 2
1, se x ≥ 2, 2
44. O tempo de recarga, sob condições normais, de uma bateria de laptop é distribúıdo nor-
malmente, com média de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos.
(a) Qual a probabilidade da bateria durar mais de quatro horas? R.0, 6554
(b) Qual a probabilidade da bateria durar entre 2,5 e 3,5 horas? R.0, 1448
45. Colesterol é uma substância gordurosa que é uma parte importante da ligação (membrana)
externa das células do corpo de animais. Sua faixa normal para um adulto é 120−240mg/dl.
O instituto de Alimentos e Nutrição das Filipinas encontrou que o ńıvel de colesterol
para adultos filipinos tem uma média de 159, 2mg/dl e 84, 1% de adultos tem um ńıvel
de colesterol abaixo de 200mg/dl. Suponha que o ńıvel de colesterol esteja distribúıdo
normalmente.
(a) Determine o desvio padrão; R.41, 21
(b) Qual o valor do ńıvel de colesterol que excede 90% da população? R.106, 03
46. Sabe-se que uma moeda mostra face cara quatro vezes mais do que a face coroa, quando
lançada. Esta moeda é lançada 4 vezes. Seja X o número de caras que aparecem, determine:
(a) E(X) R.3, 20
(b) V (X) R.0, 64
(c) P (X ≥ 2) R.0, 9728
47. Verifique se as seguintesfunções são funções de probabilidade e determine as probabilidades
requeridas:
(a)
x -2 -1 0 1 2
f(x) 1
8
2
8
2
8
2
8
1
8
i. P (X ≤ 2) R.1
ii. P (X > −2) R.7
8
iii. P (−1 ≤ X ≤ 1) R.6
8
(b) f(x) = 2x+1
25
, x = 0, 1, 2, 3, 4
112
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i. P (X = 4) R. 9
25
ii. P (X ≤ 1) R. 4
25
iii. P (2 ≤ X < 4) R.12
25
iv. P (X > −10) R.25
25
48. O setor de comercialização estima que um novo instrumento para análise de amostras de
solo terá grande sucesso, moderado sucesso ou não terá sucesso, com probabilidades de
0,3; 0,6 e 0,1, respectivamente. A receita anual associada com um produto de grande
sucesso, moderado sucesso ou nenhum sucesso é de R$10 milhões, R$5 milhões e R$1
milhão, respectivamente. Faça a variável aleatória X denotar a renda anual do produto.
Determine a função de probabilidade de X. R.
X 10 5 1
P (X) 0,3 0,6 0,1
49. Em um processo de fabricação de semicondutores, três pastilhas de um lote são testadas.
Cada pastilha é classificada como passa ou falha. Suponha que a probabilidade de uma
pastilha passar no teste seja de 0,8 e que as pastilhas sejam independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que todas as três pastilhas passem no teste? R.0, 83
(b) Determine a função de probabilidade do número de pastilhas de um lote que passe no
teste.
R.
X passa falha
P (X) 0,8 0,2
50. Suponha que a função de distribuição cumulativa da variável aleatória X seja
F (x) =

0, se x < −2;
0, 2, se − 2 ≤ x < 0;
0, 7, se 0 ≤ x < 2;
1, se x ≥ 2.
Determine a função de probabilidade de X. R.
X -2 0 2
P (X) 0,2 0,5 0,3
51. A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer é uma
variável aleatória com a seguinte função de distribuição cumulativa
F (x) =

0, se x < 1
8
0, 2, se 1
8
≤ x < 1
4
0, 9, se 1
4
≤ x < 3
8
1, se 3
8
≤ x
Determine as seguintes probabilidades:
(a) P (X ≤ 1
8
) R.0, 2
(b) P (X ≤ 1
4
) R.0, 9
(c) P (X ≤ 5
16
) R.0, 9
113
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(d) P (X > 1
4
) R.0, 1
52. Se a faixa de X for o conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e P (X = x) = 0, 2, determine a esperança e a
variância desta variável aleatória. R.E(X) = 2;V (X) = 2
53. Suponha que f(x) = e−(x−4) para 4 < x. Determine as seguintes probabilidades
(a) P (1 < X) R.1
(b) P (2 ≤ X < 5) R.1− e−1
(c) P (5 < X) R.e−1
(d) Determine x tal que P (X < x) = 0, 9 R.4− ln0, 1
54. A função densidade de probabilidade do comprimento de uma dobradiça para fechar uma
porta é f(x) = 1, 25 para 74, 6 < x < 75, 4 miĺımetros. Determine o seguinte:
(a) P (X < 74, 8) R.0, 25
(b) P (X < 74, 8ouX > 75, 2) R.0, 5
(c) Se as especificações para esse processo forem de 74,7 a 75,3 miĺımetros, que proporção
das dobradiças se ajusta às especificações? R.75%
55. Suponha que a função de distribuição cumulativa da variável aleatória X seja
F (x) =

0, se x < −2
0, 25x+ 0, 5, se − 2 ≤ x < 2
1, se 2 ≤ x
Determine o seguinte:
(a) P (X < 1, 8) R.0, 95
(b) P (X > −1, 5) R.0, 875
(c) P (−1 < X < 1) R.0, 5
(d) f(x) R.
{
0, 25, se x ∈ [−2, 2)
0, c. c.
(e) os gráficos de F (x) e f(x)
(f) E(X) e V (X) R.E(X) = 0, V (X) = 4
3
56. O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória com distribuição
exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas.
(a) Qual a fdp deX : tempo de vida do transistor? R.
{
1
500
e−
1
500
x, se x ≥ 0
0, caso contrário.
(b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais que 500 horas? R.e−1
(c) Calcule a probabilidade de o transistor durar entre 300 e 1000 horas? R.e
−3
5 −e−2
114
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57. Em seu caminho matinal, você se aproxima de um determinado sinal de trânsito, que está
verde 20% do tempo. Suponha que cada manhã represente uma tentativa independente
cujo sucesso é a luz estar verde.
(a) Qual a distribuição de X? R.Bin(n; 0, 2)
(b) Em 5 manhãs, qual a probabilidade de a luz esteja verde exatamente 1 dia? R.0, 4096
(c) Em 20 manhãs, qual a probabilidade de que a luz esteja verde em menos de 3 dias?
R.0, 21
58. O número de falhas em parafusos de máquinas de uma indústria de cerâmica segue a
distribuição de Poisson com média de 0, 1 falha por metro quadrado.
(a) Qual a probabilidade de que haja duas falhas em 1 metro quadrado de cerâmica?
R.0, 0045
(b) Qual a probabilidade de que haja 1 falha em 10 metros quadrados de cerâmica?
59. A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição
normal com média de 6000 quilogramas por cent́ımetro quadrado e um desvio padrão de
100 quilogramas por cent́ımetro quadrado.
(a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor que 6250kg/cm2? R.0, 9938
(b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900kg/cm2?
R.0, 1359
(c) Qual a resistência é excedida por 95% das amostras R.5835
60. A vida útil de um certo componente eletrônico é, em média, 10000 horas e apresenta
distribuição exponencial. Qual é a percentagem esperada de componentes que apresentarão
falhas em menos de 10000horas? Após quantas horas se espera que 25% dos componentes
tenha falhado?
61. O tempo para que um sistema computacional execute determinada tarefa é uma variável
aleatória com distribuição normal, com média 320 segundos e desvio padrão de 7 segundos.
(a) Qual a probabilidade de a tarefa ser executada entre 310 e 330 segundos?
(b) Se a tarefa é colocada para execução 200 vezes, qual a probabilidade de ela demorar
mais do que 325 segundos em pelo menos 50 vezes?
62. No horário de maior movimento, um sistema de banco de dados recebe, em média, 100
requisições por minuto, segundo uma distribuição de Poisson. Qual é a probabilidade de
que no próximo minuto ocorram mais de 120 requisições?
115
Caṕıtulo 6
Tamanho amostral
6.1 Introdução
Geralmente, as pesquisas são realizadas através de estudos dos elementos que compõem uma
amostra extráıda da população que se pretende analisar. O conceito de população é intuitivo:
trata-se do conjunto de indiv́ıduos ou objetos que apresentam em comum determinadas carac-
teŕısticas definidas para o estudo. É compreenśıvel que o estudo de todos os elementos da
população possibilita preciso conhecimento das variáveis que estão sendo pesquisadas; toda via
nem sempre é posśıvel obter informações de todos os elementos. Limitações de custo, tempo e
as vantagens da inferência estat́ıstica justificam o uso de planos amostrais.
6.2 Dimensionamento de uma amostra
Procedimento:
1. análise o questionário ou roteiro da entrevista e escolha uma variável que julgue mais
importante para o estudo. Se posśıvel escolha mais do que uma.
2. Verifique o ńıvel de mensuração da variável: nominal, ordinal ou intervalar.
3. Considere o tamanho da amostra: finita ou infinita
6.2.1 Variável intervalar e população infinita
Se a variável escolhida for intervalar e a população considerada for infinita, você poderá deter-
minar o tamanho da amostra por
n =
(
Zσ
d
)2
Em que: Z = abscissa da normal fixando um ńıvel de confiança;
σ = desvio-padrão da população, expresso em unidade na unidade variável. Você poderá deter-
miná-lo de várias maneiras, como:
116
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• Especificações técnicas;
• Resgatar o valor de estudos semelhantes;
• Fazer conjecturar de posśıveis valores.
d = erro amostral, expresso na unidade da variável. O erro amostral é a máxima diferença que
o investigador admite suportar entre µ e x̄.
Exemplo 1: Suponha que a variável escolhida num estudo seja o peso de certa peça e a população
seja infinita. Pelas especificações do produto o desvio-padrão é de 10kg. Determine o tamanho
da amostra para avaliação do produto, considerando um ńıvel de confiança de 95,5% e um erro
amostral de 1,5kg.
6.2.2 Variável intervalare população finita
Se a variável for intervalar e a população finita, tem-se:
n =
(
Z2σ2N
d2(N − 1) + Z2σ2
)
Em que: N = tamanho da população.
Exemplo 2: Admita os mesmos dados do exerćıcio anterior e que a população seja finita de 600
peças. Qual deve ser o tamanho da amostra neste caso?
6.2.3 Variável Nominal ou ordinal e população infinita
Se a variável for nominal ou ordinal, e a população considerada infinita:
n =
(
Z2p̂q̂
d2
)
117
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Em que: p̂ = estimativa da verdadeira proporção de um dos ńıveis da variável escolhida.
q̂ = 1− q̂ .
d = erro amostral, expresso em decimais. O erro amostral neste caso é a máxima diferença que
o investigador admite suportar entre p e p̂.
Exemplo 3: Considere que a variável escolhida em um estudo seja a proporção de eleitores
favoráveis ao candidato X e que o investigador tenha elementos para suspeitar que essa porcen-
tagem seja de 30%. Admita a população infinita e que se deseja um ńıvel de confiança de 99% e
uma margem de erro de 2%. Qual deve ser o tamanho da amostra neste caso?
6.2.4 Variável Nominal ou ordinal e população finita
Se a variável for nominal ou ordinal, e a população considerada finita:
n =
(
Z2p̂q̂N
d2(N − 1) + Z2p̂q̂
)
Em que: N = tamanho da população.
Exemplo 4: Admita os mesmos dados do exerćıcio anterior e que a população de eleitores seja
finita de 20000 eleitores. Qual deve ser o tamanho da amostra neste caso?
118
Caṕıtulo 7
Estimação
O objetivo da Inferência Estat́ıstica é produzir afirmações sobre uma determinada caracteŕıstica
da população na qual estamos interessados, a partir de informações colhidas de uma parte dessa
população (amostra). Esta caracteŕıstica pode ser representada por uma v.a. Se tivéssemos
informações completas sobre a função de probabilidade, no caso discreto, ou sobre a fdp, no
caso cont́ınuo, da variável em questão, não teŕıamos necessidade de colher uma amostra. Toda
a afirmação desejada seria obtida através da distribuição da variável, usando-se as proprieda-
des estudadas. Mas isso raramente acontece. Ou não temos qualquer informação a respeito da
variável, ou ela é apenas parcial. Podemos admitir, por exemplo, que a altura dos brasileiros
adultos, que ela siga uma distribuição normal. Mas desconhecemos os parâmetros que a carac-
terizam (média e variância). Em outros casos, podemos ter uma idéia da média e da variância,
mas desconhecemos a forma da curva. Então, o uso de uma amostra nos ajudaria a formar uma
opinião sobre o comportamento da variável na população.
Resumidamente, Inferência é o estudo dos métodos estat́ısticos para tomada de decisões ou
conlcusões acerca da população.
7.1 Estimador e Estimativa
Estimador ou estat́ıstica: função de elementos da amostra. Usam-se letras maiúsculas. Por
exemplo:
X̄; S2; S; min; max; mediana = Me
Estimativa: valor numérico para o estimador. Usam-se letras minúsculas.
média: x̄ = 13, 5, variância=s2 = 1, 2cm2.
7.2 Qualidades de um bom estimador
1. estimadores não tendenciosos
tn é estimador não tendensioso se
E(tn) = θ
Se for tendencioso então
B = E(tn)− θ
119
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B é o viés, tendência.
Exemplo 1: X̄ é estimador não tendencioso para µ.
2. estimadores consistentes (ou de variância mı́nima)
tn é estimador consistente de θ se
lim
n→∞
E(tn) = θ; e lim
n→∞
V (tn) = 0
Exemplo 2: X̄ ∼ N(µ, σ2
n
)
3. estimadores suficientes
São aqueles capazes de retirar toda a informação das amostras.
7.3 Estimação por pontos
Aqui o parâmetro θ é estimado por um único valor.
7.3.1 Estimador da média populacional µ
X̄ =
∑n
i=1 xi
n
7.3.2 Estimador da variância populacional σ2
S2 =
∑n
i=1(xi − µ)2
n
se µ conhecido;
S2 =
∑n
i=1(xi − X̄)2
n− 1
se µ desconhecido.
7.3.3 Estimador do desvio padrão populacional σ
S =
√∑n
i=1(xi − µ)2
n
se µ conhecido;
S =
√∑n
i=1(xi − X̄)2
n− 1
se µ desconhecido.
7.3.4 Estimador da proporção populacional P
P̂ =
h
n
120
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7.4 Estimação por intervalos
Na estimação por intervalos, constói-se um intervalo em torno da estimativa por ponto, de modo
que esse intervalo tenha uma probabilidade conecida de conter o verdadeiro valor do parâmetro.
Seja o parâmetro θ, tal que
P (t1 ≤ θ ≤ t2) = 1− α
1. o intervalo t1 ≤ θ ≤ t2 é denominado de intervalo de confiança (I.C.);
2. os extremos desse intervalo, t1 e t2, são denominados de limites de confiança;
3. a probabilidade conhecida 1− α é denominada de ńıvel de confiança;
A escolha do ńıvel de confiança depende da precisão com que se deseja estimar o parâmetro.
É bastante comum a utilização dos ńıveis de 95% e 99%. Evidentemente, o aumento da confiança
no intervalo implica no aumento de sua amplitude.
7.4.1 I.C. para a média populacional µ
1. σ conhecido
Seja uma população caracterizada pela distribuição de uma v.a. X com os seguintes
parâmetros: E(X) = µ e V (X) = σ2. Devido ao erro experimental onipresente, X é
uma v.a.; assim, o interesse recai em seu valor esperado µ.
Escolhendo zα
2
em função do ńıvel de confiança 1−α desejado, tal que P (−zα
2
≤ z ≤ zα
2
) =
1− α, onde z = x̄−µσ
n
, podemos escrever:
P
(
−zα
2
≤ x̄− µσ√
n
≤ zα
2
)
= 1− α
e, isolando µ:
Portanto, o I.C. de (1− α)100% para µ será:
IC [µ, (1− α)100%] =
[
x̄− zα
2
σ√
n
; x̄+ zα
2
σ√
n
]
Exemplo 3: O desvio padrão dos comprimentos das peças produzidas por certa máquina é
2mm. Uma amostra de 50 peças produzidas por essa máquina apresentou média x̄ = 25mm.
Construir um I.C. de 95% para o verdadeiro comprimento das peças produzidas por essa
máquina.
121
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2. σ desconhecido
O I.C. descrito anteriormente somente poderá ser usado nas situações em que conhecemos
σ!!! E isto não é muito comum!!!
Em caso contrário, o procedimento usual é substituir σ pelo desvio padrão calculado com
os dados da amostra:
s =
√∑n
i=1(xi − x̄)2
n− 1
A distribuição t de Student
Supondo a população com distribuição normal, a estat́ıstica
t =
x̄− µ
s/
√
n
∼ tn−1,α
2
tem distribuição de probabilidades conhecida como distribuição t de Student, com gl = n−1
graus de liberdade.
A distribuição t de Student tem forma parecida com a normal padrão, mas é um pouco
mais dispersa. Essa dispersão varia com o tamanho da amostra. É bastante dispersa para
amostras pequenas, mas se aproxima da normal padrão para amostras grandes.
Dado um ńıvel de confiança 1−α, podemos obter o valor t1−α da distribuição t de Student,
usando uma tabela, na linha correspondente a gl = n− 1.
I.C. para µ com o uso da distribuição t de Student
Usando a tabela, com gl = n − 1, podemos escolher o valor tα
2
em função do ńıvel de
confiança 1− α desejado, tal que
P (−tα
2
≤ t ≤ tα
2
) = 1− α
onde t = x̄−µs√
n
com gl = n− 1 graus de liberdade.
Ou ainda,
P
(
−tα
2
≤ x̄− µs√
n
≤ tα
2
)
= 1− α
122
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que isolando µ
Portanto, o I.C. de (1− α)100% para a média µ será
IC [µ, (1− α)100%] =
[
x̄− tα
2
s√
n
; x̄+ tα
2
s√
n
]
Exemplo 4: Uma amostra de cabos produzidos por uma indústria foi ensaiada e as tensões
de rupturas obtidas foram:
750 780 745 770 765kgf
Construir o I.C. de 99% para a verdadeira tensão de ruptura desses cabos.
7.4.2 I.C. para a variância populacional σ2
A distribuição Chi-quadrado
Seja z1, z2, · · · , zn, n variáveis aleatórias normais padrão. Definimos a variável aleatória chi-
quadrado como:
χ2 = z21 + z
2
2 + · · ·+ z2n
A distribuição de chi-quadrado tem 1 parâmetro, n, o qual é chamado de graus de liberdade. A
média da distribuição de χ2 com n graus de liberdade é:
E(χ2(n)) = n
A distribuição Qui-quadrado não é simétrica, ao contrário do que sucede com as distribuições
Normal e tde Student. À medida que o número de graus de liberdade aumenta, a distribuição
torna-se mais simétrica, como na figura:
Os valores da distribuição Chi-quadrado podem ser positivos ou nulos, mas não podem ser
negativos.
123
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Figura 7.1: Figura
A distribuição Chi-quadrado é diferente consoante o número de graus de liberdade, os quais
se escrevem gl = n − 1. A medida que o número de gl aumenta, a distribuição aproxima-se da
distribuição Normal.
I.C. para σ2 com o uso da distribuição Chi-quadrado
Para este caso, temos
P (χ2α
2
≤ χ2 ≤ χ21−α
2
) = 1− α
onde
χ2 =
(n− 1)s2
σ2
com gl = n− 1 graus de liberdade. Dáı
P
(
χ2α
2
≤ (n− 1)s
2
σ2
≤ χ21−α
2
)
= 1− α
e, isolando σ2 resulta:
P
(
(n− 1)s2
χ21−α
2
≤ σ2 ≤ (n− 1)s
2
χ2α
2
)
= 1− α
Portanto, o I.C. de (1− α)100% para σ2 será
IC
[
σ2, (1− α)100%
]
=
[
(n− 1)s2
χ21−α
2
;
(n− 1)s2
χ2α
2
]
Exemplo 5: Considere os seguintes dados, e estime a variância por meio de um I.C. de 95%.
30, 15 30, 13 30, 17 30, 15 30, 14
124
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7.4.3 I.C. para o desvio padrão populacional σ
Considerando a raiz quadrada positiva do I.C. de σ2, obtemos o I.C. de (1−α)100% para σ, que
será:
IC [σ, (1− α)100%] =
[√
(n− 1)s2
χ21−α
2
;
√
(n− 1)s2
χ2α
2
]
Exemplo 6: Construir o I.C. de 95% para o desvio padrão populacional do exemplo anterior.
7.4.4 I.C. para a proporção populacional p
Em muitas situações, o principal interesse é alguma proporção p. Por exemplo:
1. a proporção de itens defeituosos em uma linha de produção;
2. a proporção de consumidoress que vão comprar certo produto;
3. a proporção de mensagens que chegam adequadamente a seu destino.
Para amostras suficientemente grandes, a distribuição amostral das proporções é aproxima-
damente normal com
z =
p̂− p√
p̂q̂
n
de onde vem que
P
(
−zα
2
≤ p̂− p√
p̂q̂
n
≤ zα
2
)
= 1− α
e dáı, isolando p temos
Portanto, o I.C. de (1− α)100% para p será
IC [p, (1− α)100%] =
[
p̂− zα
2
√
p̂q̂
n
; p̂+ zα
2
√
p̂q̂
n
]
125
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Exemplo 7: Em uma amostra de 200 peças produzidas por certa máquina, verificou-se que
10 eram defeituosas. Estimar a verdadeira proporção de peças defeituosas produzidas por essa
máquina, utilizando um I.C. de 90%.
7.5 Exerćıcios
1. Na avaliação de dois sistemas computacionais, A e B, foram selecionadas 400 cargas de
trabalho (tarefas) - supostamente uma amostra aleatória de infinidade de cargas de trabalho
que poderiam ser submetidas a esses sistemas. O sistema A foi melhor que o B em 60%
dos casos. Construir intervalos de confiança para p (proporção de vezes que o sistema A é
melhor que o sistema B, considerando todas as posśıveis cargas de trabalho) usando ńıveis
de confiança de 95% e 99%.
2. Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem-se comportado
como uma variável aleatória com média 350ml e desvio padrão 3ml. Após alguns problemas
na linha de produção, suspeita-se que houve alteração da média. Uma amostra de 20 latas
acusou média x̄ = 346ml. Construa um, I.C. para o novo valor da quantidade média µ
de cerveja inserida em latas, com ńıvel de confiança 95%, supondo que não tenha ocorrido
alteração no desvio padrão.
3. Deseja-se avaliar a dureza esperada µ do aço produzido sob um novo processo de têmpera.
Uma amostra de dez corpos de prova do aço produziu os seguintes resultados de dureza,
em HRc:
36, 4 35, 7 37, 2 36, 5 34, 9 35, 2 36, 3 35, 8 36, 6 36, 9
Construir um I.C. de 95%.
4. Em uma amostra aleatória simples com 200 edif́ıcios com 5 anos, em certa cidade, 55%
apresentaram problemas estéticos relevantes após entrega da obra. Construir um IC para
a proporção de edif́ıcios da cidade que apresentaram problemas estéticos relevantes nos 5
primeiros anos. Use 1− α = 95%.
5. Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade
de seus produtos. Selecionou-se uma amostra de 600 pastilhas, das quais 18 apresentaram
ńıveis de desgaste acima do tolerado. Construir um IC para a proporção de pastilhas com
126
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
desgaste acima do tolerado, do atual processo industrial, com ńıvel de confiança de 95%.
Interpretar o resultado.
6. Uma amostra de 10 válvulas eletrônicas foi testada e os tempos de vida (em horas) foram
2100 2150 2200 2130 2180 2120 2180 2100 2130 2160
Estimar o tempo médio de vida e a variância desse tipo de válvula usando intervalos de
confiança.
7. Foram realizadas 12 determinações da densidade (g/cm3) de certo metal, obtendo-se os
resultados
19, 0 19, 3 19, 1 19, 3 19, 2 19, 4 19, 2 19, 3 19, 2 19, 0 19, 5 19, 3
Estimar a variância e o desvio padrão da verdadeira densidade através de um IC de 95%.
8. Um artigo no Journal of Testind and Evaluation apresenta as 20 medidas seguintes do
tempo residual de inflamabilidade (em segundos) de espécimes de roupas de dormir de
crianças:
9, 85 9, 93 9, 75 9, 77 9, 67 9, 87 9, 67 9, 94 9, 85 9, 75
9, 99 9, 88 9, 95 9, 95 9, 93 9, 92 9, 89 9, 83 9, 92 9, 74
Construa um intervalo de confiança de 90% para o tempo residual médio de inflamabilidade.
9. Um fabricante de refrigerantes está interessado na uniformidade da máquina usada para
encher as latas. Especificamente, é desejável que o desvio padrão do processo de enchimento
seja menor do que 0,2 onças fluidas ao quadrado; caso contrário haverá uma porcentagem
mais alta do que o tolerável de latas mal cheias. Suponha que o volume de enchimento seja
aproximadamente normalmente distribúıdo. Uma amostra aleatória de 20 latas resulta em
uma variância amostral de s2 = 0, 0225 (onça flúıda)2. Construa um intervalo de confiança
de 95% para a variância, e para o desvio padrão.
10. Um engenheiro civil está analisando a força de compressão do concreto. A força de com-
pressão tem distribuição aproximadamente normal, com variância σ2 = 25(psi)2. Uma
amostra aleatória de 12 espécimes tem ua força média de compressão de x̄ = 3250psi.
(a) Construa um intervalo de confiança de 95% de confiança para a força média de com-
pressão.
(b) Construa um intervalo de confiança de 99% de confiança para a força média de com-
pressão.
(c) Construa um intervalo de confiança de 90% de confiança para a força média de com-
pressão.
(d) Compare os resultados obtidos anteriormente.
127
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
11. Um fabricante produz anéis de pistão para um motor de automóvel. Sabe-se que o diâmetro
do anel tem distribuição aproximadamente normal, com desvio padrão σ = 0, 001mm. Uma
amostra aleatória de 15 anéis tem um diâmetro médio de x̄ = 74, 036mm.
(a) Construa um intervalo de confiança de 95% de confiança para o diâmetro médio do
pistão.
(b) Construa um intervalo de confiança de 99% de confiança para o diâmetro médio do
pistão.
(c) Construa um intervalo de confiança de 90% de confiança para o diâmetro médio do
pistão.
(d) Compare os resultados obtidos anteriormente.
12. Uma máquina está produzindo peças de metal com formato ciĺındrico. Uma amostra é
retirada e seus diâmetros são
1, 01 0, 97 1, 03 1, 04 0, 99 0, 98 0, 99 1, 01 1, 03
cent́ımetros. Determine um intervalo de confiança de 99% para o diâmetro médio de peças
dessa máquina.
13. Em uma amostra aleatória de 1000 casas em certa cidade, sabe-se que 228 têm aqueci-
mento a óleo. Determine o intervalo de confiança de 99% para a proporção de casas com
aquecimento a óleo nessa cidade.
14. Uma indústria elétrica fabrica lâmpadas com vida útil distribúıda aproximadamente nor-
mal, com desvio padrão de 40 horas. Se uma amostra de 30 lâmpadas tem média de vida
de 780 horas, determine um intervalo de confiança de 95% para a média populacional de
todas as lâmpadas produzidas pela empresa.15. Um fabricante de aparelhos de reprodução de CDs usa um conjunto amplo de testes para
avaliar as funções elétricas do produto. Todos os aparelhos devem passar por todos os
testes antes de serem vendidos. Uma amostra aleatória de 500 aparelhos resulta em 15
reprovados em um ou mais testes. Determine um intervalo de confiança de 90% para a
proporção de aparelhos que passam em todos os testes.
128
Caṕıtulo 8
Teste de hipóteses
8.1 Introdução
O que é? É um método para verificar se os dados são compat́ıveis com alguma hipótese, podendo,
muitas vezes sugerir a não validade de uma hipótese. É um procedimento estat́ıstico baseado na
análise de uma amostra, por meio da teoria das probabilidades, usado para avaliar determinados
parâmetros que são conhecidos numa população. Pode ser paramétrico ou não paramétrico.
Uma hipótese estat́ıstica é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição
de probabilidade. H0 é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa.
Os testes de hipótese são uma das aplicações da estat́ıstica mais usadas. Via de regra, a
hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produto/processo/serviços, en-
quanto a alternativa é formulada em função de alterações / inovações recentes.
No ambiente atual de melhoria cont́ınua, é fácil entender a importância dos testes de hipótese:
eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas.
Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o
parâmetro desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a
partir de procedimentos estat́ısticos.
8.2 Passos para realizar um T.H.
Passo 1: Definição da Hipótese
O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese nula (H0) e hipótese alternativa
(H1).
Hipótese Nula (H0): É um valor suposto para um parâmetro, é a hipótese que traduz a
ausência do efeito que se quer verificar. Se os resultados da amostra não forem muito diferentes
de H0, ela não poderá ser rejeitada.
Hipótese Alternativa (H1): É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar
de H0, é a hipótese que o investigador quer verificar. Essa hipótese somente será aceita se os
resultados forem muito diferentes de H0.
Nı́vel de confiança (α): probabilidade de rejeitar H0 quando ela é efitivamente verdadeira
(ERRO).
129
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H0 verdadeira H0 falsa
Aceitar H0 decisão correta erro tipo II (1− α)
Rejeitar H0 erro tipo I (α) decisão correta
Passo 2: Calcular a estat́ıstica do Teste
É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada de decisão. Uma maneira
de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estat́ıstica do teste.
No entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito
baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa.
Passo 3: Região Cŕıtica
A região cŕıtica é a região onde H0 é rejeitada. A área da região cŕıtica é igual ao ńıvel de
significância (α), que estabelece a probabilidade de rejeitar H0 quando ela é verdadeira.
Por exemplo, se utilizarmos o ńıvel de significância de 5%, a probabilidade de rejeitar H0
quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais de alfa são α = 0, 01; 0, 05
ou 0, 10.
Tipos de testes:
1. Unilateral à direita {
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
2. Unilateral à esquerda: {
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
3. Bilateral {
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Graficamente é posśıvel observar cada uma dessas regiões nas figuras a seguir:
Passo 4: Regra de Decisão
Se o valor da estat́ıstica do teste cair na região cŕıtica, rejeita-se H0. Ao rejeitar a hipótese
nula (H0) existe uma forte evidência de sua falsidade.
Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no
sentido de permitir a rejeição de H0.
130
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Passo 5: Conclusão
Aceitar H0, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada!
Rejeitar H0 implica que temos evidências estat́ısticas para rejeitá-la com um risco conhecido
: α.
8.3 Teste para a média populacional µ
1. a)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
b)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
c)
{
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Fixar o ńıvel de significância α;
2. Calcular a estat́ıstica de teste;
CASO 1: O desvio padrão populacional σ é conhecido
Para este caso, a estat́ıstica de teste é dada por:
zcal =
x̄− µ0
σ√
n
Aqui zcal ∼ N(0, 1).
CASO 2: O desvio padrão populacional σ é desconhecido
Para este caso, a estat́ıstica de teste é dada por:
tcal =
x̄− µ0
s√
n
Aqui tcal ∼ tn−1,α.
3. Determinar a região de rejeição;
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se zcal < zα ou tcal < −tα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se zcal > zα ou tcal > tα, rejeita-se H0;
131
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(c) Para o teste c) se |zcal| > zα
2
ou |tcal| > tα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 1: Uma população tem desvio padrão conhecido, sendo igual a 5mm. Se uma amostra
de 50 elementos, obtida dessa população, tem média igual a 46mm; podemos afirmar que a média
dessa população é superior a 43mm, ao ńıvel de significância de 1%?
Exemplo 2: Um fabricante afirma que a tensão média de ruptura dos cabos produzidos por
sua companhia não é inferior a 500kgf . Uma amostra de 7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os
resultados (em kgf)
490 495 480 493 475 478 485
Testar a afirmação do fabricante, utilizando α = 5%.
A seguir tem-se um resumo do procedimento de teste de hipótese por meio de um organo-
grama.
8.4 Teste para a diferença ente duas médias populacionais
µ1 e µ2
CASO 1: Os desvios padrões populacionais σ1 e σ2 são conhecidos
132
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1. a)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 < d0
b)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 > d0
c)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 6= d0
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
zcal =
(x̄1 − x̄2)− d0√
σ21
n1
+
σ22
n2
Aqui zcal ∼ N(0, 1).
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se zcal < zα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se zcal > zα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |zcal| > zα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 3: Uma amostra de 100 válvulas da Companhia A tem média x̄A = 1530h, sendo
σA = 100h. Uma amostra de 70 válvulas da Companhia B, tem x̄B = 1420h, sendo σB = 80h.
Testar a hipótese de que as válvulas da Companhia A em relação a B tem duração média superior
a 100h. Utilizar α = 0, 01.
CASO 2: Os desvios padrões populacionais σ1 e σ2 são desconhecidos e supostamente
iguais
1. a)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 < d0
b)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 > d0
c)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 6= d0
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
tcal =
(x̄1 − x̄2)− d0√
s2p(
1
n1
+ 1
n2
)
onde s2p =
(n1−1)s21+(n2−1)s22
n1+n2−2
Aqui tcal ∼ tn1+n2−2.
3. Determinar a região de rejeição
133
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4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se tcal < −tα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se tcal > tα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |tcal| > tα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 4: Dois tipos de soluções qúımicas foram ensaiados para se determinar os pH. Os
resultados obtidos foram
solução A: 7, 50 7, 54 7, 51 7, 53 7, 50
solução B: 7, 49 7, 50 7, 51 7, 52 7, 50 7, 51
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os pH médios das duas soluções, supondo que
os desvios padrões populacionais são iguais. Usar α = 0, 05.
CASO 3: Os desvios padrões populacionais σ1 e σ2 são desconhecidos e supostamente
diferentes
1. a)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 < d0
b)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 > d0
c)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 6= d0
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
tcal =
(x̄1 − x̄2)− d0√s21
n1
+
s22
n2
Esta estat́ıstica t tem distribuição t de Student com v graus de liberdade, onde
v =
(
s21
n1
+
s22
n2
)2
(
s21
n1
)2
n1−1 +
(
s22
n2
)2
n2−1
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se tcal < −tα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se tcal > tα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |tcal| > tα
2
, rejeita-se H0;
134
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Exemplo 5: Uma mesma distância foi medida 5 vezes por certo instrumento, antes e após sofrer
uma calibração.
antes: 100, 8 101, 3 100, 6 99, 5 100, 1
depois: 100, 5 100, 4 100, 5 100, 3 100, 3
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os resultados obtidos antes e após a calibração
do instrumento. Usar α = 5%.
CASO 4: Se os dados são emparelhados
Esse teste deve ser utilizado quando os dados estão relacionados dois a dois de acordo com
algum critério.
1. a)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 < d0
b)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 > d0
c)
{
H0 : µ1 − µ2 = d0
H1 : µ1 − µ2 6= d0
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
tcal =
d̄− d0
s√
n
onde s =
√∑
(di−d̄)2
n−1 ; d̄ =
∑
di
n
; di = x1i − x2i
sendo que di representa a i-ésima diferença entre duas observações emparelhadas.
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se tcal < −tα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se tcal > tα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |tcal| > tα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 6: Dois operários determinaram os pesos (em g) das impurezas contidas em 6 amostras
de certo produto qúımico, obtendo os resultados
Amostras 1 2 3 4 5 6
Operário A 10,1 10,4 10,2 10,5 99 10,0
Operário B 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5
135
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Pode-se concordar com a hipótese de que não existe diferença entre as determinações dos dois
operários, no ńıvel de significância de 1%?
8.5 Teste para a variância populacional σ2
CASO 1: A média populacional é conhecida
1. a)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 < σ20
b)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 > σ20
c)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 6= σ20
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
χ2cal =
(n)s2
σ20
Esta estat́ıstica tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade; ou seja χ2cal ∼ χ2n,α
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se χ2cal < χ
2
α, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se χ2cal > χ
2
1−α, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se χ2cal < χ
2
α
2
, ou χ2cal > χ
2
1−α
2
rejeita-se H0;
Exemplo 7: Sabe-se que a vida média de uma lâmpada tem distribuição normal com média
500h e variância desconhecida. Uma amostra de 25 lâmpadas forneceu uma variância amostral
de 2500. Ao ńıvel de 5%, teste a hipótese da variância populacional ser superior 2621,44.
CASO 2: A média populacional é desconhecida
136
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1. a)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 < σ20
b)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 > σ20
c)
{
H0 : σ
2 = σ20
H1 : σ
2 6= σ20
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
χ2cal =
(n− 1)s2
σ20
Esta estat́ıstica tem distribuição Qui-quadrado com n − 1 graus de liberdade; ou seja
χ2cal ∼ χ2n−1,α
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se χ2cal < χ
2
α, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se χ2cal > χ
2
1−α, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se χ2cal < χ
2
α
2
, ou χ2cal > χ
2
1−α
2
rejeita-se H0;
Exemplo 8: As chapas de aço produzidas por certa indústria têm uma especificação tal que a
variância de suas espessuras (em mm) não deve ser superior a 0, 0009mm2. Uma indústria de 10
chapas tem espessura (em mm):
3, 15 3, 18 3, 15 3, 12 3, 14 3, 13 3, 17 3, 16 3, 15 3, 16
Testar a hipótese de que a variância está dentro da especificação desejada, usando α = 0, 05.
8.6 Teste para a igualdade de duas variâncias populacio-
nais σ21 e σ
2
2
1. a)
{
H0 : σ
2
1 = σ
2
2
H1 : σ
2
1 < σ
2
2
b)
{
H0 : σ
2
1 = σ
2
2
H1 : σ
2
1 > σ
2
2
c)
{
H0 : σ
2
1 = σ
2
2
H1 : σ
2
1 6= σ22
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
Fcal =
s21
s22
Aqui Fcal ∼ Fv1,v2,α = Fn1−1,n2−1,α
137
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3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se Fcal < F1−α, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se Fcal > Fα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se Fcal < F1−α
2
, ou Fcal > Fα
2
rejeita-se H0;
A distribuição F de Snedecor
Sejam as v.a. independentes χ2v1 e χ
2
v2
, então
F (v1, v2) = Fv1,v2 =
χ2v1
χ2v2
=
χ2v1/v1
χ2v2/v2
A distribuição F de Snedecor depende de dois parâmetros: v1 e v2, denominados, respectiva-
mente de graus de liberdade do numerador e denominador.
Notação: F ∼ F (v1, v2) ou F ∼ Fv1,v2
Os valores de F (v1, v2) tais que P (F ≥ F (v1, v2)) = α são encontrados em tabelas.
Exemplos: Encontrar os valores de F (v1, v2) tais que:
1. P (F > F (3, 5)) = 0, 05
2. P (F > F (2, 4)) = 0, 05
3. P (F < F (4, 2)) = 0, 05
Para este último caso, utiliza-se a fórmula de recorrência:
F1−α(v1, v2) =
1
P (F > Fα(v2, v1))
E para os casos bilaterais
F1−α
2
(v1, v2) =
1
Fα
2
(v2, v1)
Exemplo 9: Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas A e B, obtendo-se
para 5 pneus de cada marca os resultados:
marca A: 30000 32000 28000 26000 31000
marca B: 25000 30000 20000 21000 23000
Existe diferença significativa entre as variâncias das durabilidades dos dois pneus, no ńıvel de
significância de 10%?
138
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8.7 Teste para a proporção populacional p
1. a)
{
H0 : p = p0
H1 : p < p0
b)
{
H0 : p = p0
H1 : p > p0
c)
{
H0 : p = p0
H1 : p 6= p0
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
z =
p̂− p0√
p0(1−p0)
n
3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se z < zα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se z > zα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |z| > zα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 10: Para determinarmos se um certo tipo de tratamento para evitar a corrosão é efici-
ente, 45 tubos de um total de 50 apresentaram resultados satisfatórios. Sabe-se que o tratamento
é considerado eficiente se pelo menos 95% dos tubos apresentarem resultado satisfatório. Qual a
conclusão, ao ńıvel de significância de 5%?
8.8 Teste para duas proporções populacionais
1. a)
{
H0 : p1 = p2
H1 : p1 < p2
b)
{
H0 : p1 = p2
H1 : p1 > p2
c)
{
H0 : p1 = p2
H1 : p1 6= p2
Fixar α
2. Calcular a estat́ıstica do teste
z =
p̂1 − p̂2√
p(1− p)
[
1
n1
+ 1
n2
]
onde p = X1+X2
n1+n2
e p̂1 =
X1
n1
, p̂2 =
X2
n2
139
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3. Determinar a região de rejeição
4. Regras de decisão
(a) Para o teste a) se z < zα, rejeita-se H0;
(b) Para o teste b) se z > zα, rejeita-se H0;
(c) Para o teste c) se |z| > zα
2
, rejeita-se H0;
Exemplo 11: Dois tipos diferentes de computadores de controle de tiro estão sendo considerados,
para uso pelo exército americano, em baterias de seis canhões de 105 mm. Os dois sistemas de
computadores são submetidos a um teste operacional, no qual se conta o número total de acertos
no alvo. O sistema 1 teve 250 acertos em 300 rodadas, enquanto o sistema 2 teve 178 acertos em
260 rodadas. Há razão para se acreditar que os dois sistemas diferem?
8.9 Teste de normalidade
Dado um conjunto de n observações x1, x2, · · · , xn, pode-se testar a normalidade das mesmas
utilizando um método que envolve cálculo de correlação.
1. Ordenar as observações originais (ordem crescente) obtendo-se x(1), x(2), · · · , x(n) e calcular
as probabilidades correspondentes:
1− 1/2
n
,
2− 1/2
n
, · · · , n− 1/2
n
.
2. Determinar os valores de z (variável normal padronizada), correspondente a cada uma
dessas pobrabilidades, tal que z(i) = G
−1[(i− 1/2)/n].
3. Plotar os pares (z(1), x(1)), (z(2), x(2)), · · · , (z(n), x(n)), examinando se os pontos estão nas
proximidades de uma reta, o queindica qualitativamente a tendência de normalidade.
Quantitativamente, pode-se testar a normalidade calculando a correlação entre x(i) e z(i)
através da expressão
r =
n
∑n
i=1 x(i)z(i) −
∑n
i=1 x(i)
∑n
i=1 z(i)√
[n
∑n
i=1 x
2
(i) − (
∑n
i=1 x(i))
2][n
∑n
i=1 z
2
(i) − (
∑n
i=1 z(i))
2]
Se r ≥ rα, sendo rα o valor cŕıtico ao ńıvel de significância α (Ver tabela espećıfica), não
se deve rejeitar a hipótese de normalidade das observações.
140
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Exemplo 12: Teste a normalidade do seguinte conjunto de dados, ao ńıvel de significância de
5%,
8, 3 8, 8 10, 4 10, 2 9, 4 12, 2 11, 1 11, 2 9, 1 10, 3 11, 1 9, 2 10, 0 10, 5 10, 6
x(i) p(i) = (i− 1/2)/n x(i)
8,3 0,0333 -1,83
8,8 0,1000 -1,28
9,1
9,2
9,4
10,0
10,2
10,2
10,4
10,5
10,6
11,1
11,1
11,2
12,2
e
r =
15× 14, 364− 152, 30× 0√
[15× 1561, 7− (152, 30)2][15× 13, 752− 02]
= 0, 989
Conclusão: como r = 0, 989 > rα = 0, 938, não podemos rejeitar a hipótese de normalidade dos
dados.
8.10 Exerćıcios
1. Os indiv́ıduos de um páıs apresentam altura médiade 170cm e desvio padrãode 3cm. Uma
amostra de 80 indiv́ıduos apresentou média de 168,5cm. Podemos afirmar, ao ńıvel de 1%,
que essa amostra é formada por indiv́ıduos daquele páıs? R. Rejeita H0.
2. O salário dos empregados metalúrgicos gira em torno de 4,5 salários mı́nimos, com desvio
padrão de 0,5 salários. Uma indústria contrata 75 empregados, com um salário médio de
4,3 s.m. Ao ńıvel de 10% podemos afirmar que essa indústria ága salários inferiores à
media?R. Rejeita H0.
3. Um exame padrão de inteligência tem sido usado por vários anos com média de 85 pontos
e desvio padrão de 5 pontos. Um grupo de 40 estudantes é ensinado, dando-se ênfase à
resolução de testes. Se esse grupo obtem média de 88 pontos no exame, há razões para se
acreditar que a enfase dada mudou o resultado do teste ao ńıvel de 10%?R. Rejeita H0.
4. Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é 80% ou mais eficaz na cura de uma
alergia, em um determinado peŕıodo. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou
150 pessoas. Testar ao ńıvel de 10% se a pretensão do fabricante é leǵıtima.R. Rejeita H0.
141
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5. A resistência à quebra de um fio usado na fabricação de material moldável necessita ser no
mı́nimo 100psi. Experiência passada indicou que o desvio padrão da resistência à quebra
foi de 2psi. Uma amostra de nove espécimes é testada e a resistência média à quebra é
98psi. A fibra deve ser julgada como aceitável ao ńıvel de 5% de significância? R. Rejeita
H0.
6. Um teste de impacto Izod foi feito em 20 corpos de prova de tubo de PVC. O padrão ASTM
para esse material requer que a resistencia ao impacto Izod seja maior que 1, 0ft− lb/in. A
média e o desvio padrão obtidos da amostra foram x̄ = 1, 25 e s = 0, 25, respectivamente.
Teste H0 : µ = 1, 0 versus H1 : µ > 1, 0, usando α = 0, 01 e retire conclusões. R. Rejeita
H0.
7. Uma máquina automática de enchimento é usada para encher garrafas com detergente
ĺıquido. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta em uma variância da amostra do
volume de enchimento de s2 = 0, 0153. Se a variância do volume de enchimento exceder
0.01, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo e
cujo enchimento foi em demasia. Há evidência nos dados da amostra sugerindo que o
fabricante tenha um problema com garrafas cheias com falta e excesso de detergente?R.
Não rejeita H0.
8. Dois tipos de plásticos são adequados para por um fabricante de componentes eletrônicos.
A resistência à quebra desse plástico é importante. É sabido que σ1 = σ2 = 1, 0psi. A
partir de uma amostra aleatória de tamanho n1 = 10 e n2 = 12, obtemos x̄1 = 162, 5 e
x̄2 = 155, 0. A companhia não adotará o plástico 1, a menos que sua resistência média à
quebra exceda àquela do plástico 2 por, no mı́nimo, 10 psi. Baseados na informação da
amostra, eles deveriam usar o plástico 1? Use α = 5%. R. Rejeita H0.
9. O diâmetro de bastões de aço, fabricados em duas máquinas extrusoras diferentes, está
sendo investigado. Duas amostras aleatórias de tamanho n1 = 15 e n2 = 17 são seleciona-
das e as médias e as variâncias das amostras são x̄1 = 8, 73, s
2
1 = 0, 35, x̄2 = 8, 68 e s
2
2 = 0, 4
respectivamente. Suponha σ21 = σ
2
2 e que os dados sejam retirados de uma população nor-
mal. Há evidência que confirme de que as duas máquinas produzem bastões com diferentes
diâmetros médios? R. Não rejeita H0.
10. Camadas de óxidos em pastilhas de semicondutores são atacadas em uma mistura de gases,
de modo a atingir a espessura apropriada. A variabilidade na espessura dessas camadas
de óxidos é uma caracteŕıstica cŕıtica da pastilha. Uma baixa variabilidade é desejada
para as etapas subsequentes do processo. Duas misturas diferentes de gases estão sendo
estudadas para determinar se uma delas é superior na redução da variabilidade de espessura
das camadas de óxido. Vinte pastilhas são atacadas com cada gás. Os desvios padrão das
espessura de óxido são s1 = 1, 96 angstrons e s2 = 2, 13 angstrons, respectivamente. Há
qualquer evidência que indique ser um gás prefeŕıvel em relação ao outro? R. Não rejeita
H0.
11. Um cliente de uma torrefação de café suspeita que os pesos dos pacotes que deveriam ser
de 500gr não estão corretos. Resolveu, então retirar uma amostra dos pesos de 16 pacotes:
510 495 500 501 499 503 500 495 492 499 499 497 495 499 501
142
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(a) calcule o peso médio e o desvio padrão dos elementos da amostra; R.499; 4, 21
(b) o cliente tem razão na suspeita? Use α = 5%. R. Não tem razão. Não rejeita.
12. Um artigo descreve os resultados de testes de tensão quanto à adesão em 22 corpos de
prova de liga. A carga no ponto de falha do corpo é dada a seguir (em MPa)
19, 8 18, 5 17, 6 16, 7 15, 8 15, 4 14, 1 13, 6 11, 9 11, 4
11, 4 8, 8 7, 5 15, 4 15, 4 19, 5 14, 9 12, 7 11, 9 11, 4 10, 1 7, 9
A média amostral é x̄ = 13, 71 e s = 3, 55. Os dados seugerem que a carga média na falha
excede 10MPa? (α = 0, 05) R. Sim. Rejeita H0.
13. Lança-se uma moeda 100 vezes e observa-se que ocorrem 64 caras. Baseado nesse resultado,
podemos afirmar, ao ńıvel de 5% que a moeda não é homesta? R. A moeda é desonesta.
14. Uma peça ao ser fabricada, foi planejada de tal maneira que uma de suas dimensões é 10cm.
A variância do processo produtivo é de 0, 0095cm2. Se uma amostra de 40 peças fornece
essa dimensão média igual a 10, 05cm, devemos rejeitar a hipótese nula de que µ = 10cm,
em favor da alternativa µ 6= 10cm?. Usar α = 0, 05. R. Rejeita H0.
15. Uma fábrica produz certo tipo de reguladores de pressão. Esses reguladores são produzidos
para suportar uma pressão de 20atm. Um ensaio é realizado com uma amostra de 7
reguladores de pressão e verificou-se que as pressões suportadas são (em atm)
19, 5 18, 9 19, 0 19, 1 18, 9 19, 3 19, 0
Com base no ensaio realizado, podemos concluir que a pressão suportada é na realidade
menor que 20atm? Usar α = 0, 01. R.Rejeita H0.
16. Duas amostras de tubos de aço das marcas A e B foram ensaiadas e as resistências médias
obtidas foram de 40kgf/mm2 e 35kgf/mm2, com variâncias de 5, 0 e 4, 0 (kgf/mm2)2,
respectivamente. Sabendo-se que foram ensaiados 15 tubos de cada marca, há evidência,
ao ńıvel de 1% de que a resistência média dos tubos da marca A seja maior que a de marca
B? Supor que as variâncias populacionais sejam iguais. R. Rejeita H0.
17. Duas máquinas A e B produzem parafusos, e sabe-se que as variâncias dos comprimentos
dos parafusos são 25mm2 e 20mm2, respectivamente. Uma amostra de 40 parafusos da
máquina A apresentou comprimento médio de 30mm, enquanto que uma amostra de 50
parafusos da máquina B apresentou média de 25mm. Existe uma diferença significativa
entre os comprimentosmédios dos parafusos fabricados pelas duas máquinas, ao ńıvel de
5%? R. Rejeita H0.
18. Foram ensaiadas válvulas das marcas A e B, e verificou-se que os tempos de vida (em h)
foram
marca A: 1500 1450 1480 1520 1510
marca B: 1000 1300 1180 1250
143
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Pode-se concluir, ao ńıvel de significância de 1%, que o tempo médio de vida das válvulas
de marca A supera o de B em mais de 300h? Supor que os desvios padrões populacionais
são diferentes. R. Não é posśıvel. Não rejeita H0.
19. Seja o problema de verificar se um novo algoritmo de busca em um banco de dados é mais
rápido que o algoritmo atualmente usado. Para fazer a comparação dos dois algoritmos,
planeja-se realizar uma amostra aleatória de dez buscas experimentais(ensaios). Em cada
ensaio, uma dada busca é realizada pelos dois algoritmos e o tempo de resposta de cada
algoritmo anotado. Observamos que em cada ensaio os dois algoritmos são usados em
condições idênticas, caracterizando dez pares de observações. Você pode concluir que o
novo algoritmo é mais rápido?
Ensaio Novo (seg) Antigo (seg)
1 22 25
2 21 28
3 28 26
4 30 36
5 33 32
6 33 39
7 26 28
8 24 33
9 31 30
10 22 27
20. Um experimento foi realizado para comparar o desgaste abrasivo de dois materiais lamina-
dos diferentes. Doze peças do material 1 foram testadas ao expor cada peça a uma máquina
que mede o desgaste. Dez peças do material 2 foram testadas de maneira similar. Em cada
caso, a profundidade do desgaste foi observada. As amostras do material 1 forneceram uma
média de desgaste (codificado) de 85 unidades com desvio padrão de 4, enquanto as amos-
tras do material 2 forneceram uma média de 81 e desvio padrão de 5. Podemos concluir
que, no ńıvel de α = 5%, que o desgaste abrasivo do material 1 excede aquele do material
2 por mais de duas unidades? Assuma que as populações são aproximadamente normais
com variâncias iguais.
21. Em pesquisa sobre a pontualidade na entrega de materiais de construção em uma cidade
do interior, analisou-se o número de entregas realizadas no dia combinado em duas lojas de
grande porte do ramo. A loja ”A”recebeu 60 pedidos, dos quais 48 foram entregues con-
forme o combinado. A loja ”B”entregou na data combinada 42 dos 50m pedidos recebidos.
Com base nesta amostragem, podemos concluir que a loja ”B”seja mais eficiente que sua
concorrente, ao ńıvel de 10%?
22. O cimento CP V-ARI (Cimento Portland de Alta Resistência Inicial) tem como carac-
teŕıstica principal a alta resistência e baixas idades. A NBR 7215 exige que a resistência
mı́nima à compressão, aos 3 dias, seja superior a 14 MPa. Uma amostra com 5 corpos de
prova deste cimento foi ensaiada e os resultados foram:
144
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35, 5 34, 3 34, 2 34, 4 35, 5 35, 2
Ao ńıvel de 5% de significância, podemos afirmar que o cimento produzido pela empresa
atende a norma citada?
23. O tempo para transmitir 10MB em determinada rede de computadores varia segundo
um modelo normal, com média 7, 4s e variância 1, 3s2. Depois de algumas mudanças na
rede, acredita-se numa redução no tempo de transmissão dos dados, além de uma posśıvel
alteração na variabilidade. Foram realizados 10 ensaios independentes com um arquivo de
10MB e foram anotados os tempos de transmissão, em segundos:
6, 8 7, 1 5, 9 7, 5 6, 3 6, 9 7, 2 7, 6 6, 6 6, 3
(a) Existe evidência suficiente de que o tempo médio de transmissão foi reduzido? Use
α = 1%.
(b) Existe evidência suficiente de que as mudanças na rede de computadores alteraram a
variabilidade no tempo de transmissão de dados? Use α = 5%.
24. Um artigo no Journal of Strain Analysis compara vários métodos para prever a resistência
do cisalhamento em vigas planas de aço. Dados para dois desses métodos, os procedimentos
de Karlsruhe e Lehigh, quando aplicados a nove vigas espećıficas, são mostrados na tabela
a seguir. Desejamos determinar se já qualquer diferença, na média, entre os dois métodos.
Trave Método Karlsruhe Método Lehigh
1 1,186 1,061
2 1,151 0,992
3 1,322 1,063
4 1,339 1,062
5 1,200 1,065
6 1,402 1,178
7 1,365 1,037
8 1,537 1,086
9 1,559 1,052
25. Um cientista de computação está investigando a utilidade de duas diferentes linguagens
de programação na melhoria de tarefas computacionais. Doze programadores experientes,
familiarizados com ambas as linguagens, codificam uma função padrão nas duas linguagens.
O tempo (em minutos) foi registrado, sendo os dados mostrados a seguir:
145
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Programador Linguagem 1 Linguagem 2
1 17 18
2 16 14
3 21 19
4 14 11
5 18 23
6 24 21
7 16 10
8 14 13
9 21 19
10 23 24
11 13 15
12 18 20
Há alguma indicação de que uma linguagem de programação seja prefeŕıvel?
26. Um artigo do Journal of Aircraft descreve uma nova formulação do método de análise de
placa equivalente, que é capaz de modelar estruturas de aviões, tais como vigas-caixão
nas asas de aviões, e que produz resultados similares ao método de análise por elementos
finitos, que é mais laborioso computacionalmente. Frequências naturais de vibração para
a estrutura das vigas-caixão nas asas de aviões são calculadas usando ambos os métodos,
sendo os resultados mostrados a seguir para as sete primeiras frequências naturais
Frequência Elemento finito Placa equivalente
1 14,58 14,76
2 48,52 49,10
3 97,22 99,99
4 113,99 117,53
5 174,73 181,22
6 212,72 220,14
7 277,38 294,80
Os dados sugerem que os dois métodos fornecem o mesmo valor médio para a frequência
natural de vibração?
146
Caṕıtulo 9
ANAVA
9.1 Introdução
A análise de variância é um teste estat́ıstico amplamente difundido entre os analistas, e visa
fundamentalmente verificar se existe uma diferença significativa entre as médias e se os fatores
exercem influência em alguma variável dependente.
A Análise de Variância (ANAVA ou ANAVA em inglês) é um procedimento utilizado para
comparar três ou mais tratamentos. Existem muitas variações da ANAVA devido aos diferentes
tipos de experimentos que podem ser realizados.
Inicialmente, são apresentados alguns conceitos utilizados em planejamento de experimentos
e na análise de variância.
9.2 Conceitos Básicos sobre Experimentação
9.2.1 Tratamentos
Um tratamento é uma condição imposta ou objeto que se deseja medir ou avaliar em um ex-
perimento. Normalmente, em um experimento, é utilizado mais de um tratamento. Como
exemplos de tratamentos, podem-se citar: equipamentos de diferentes marcas, diferentes tama-
nhos de peças, doses de um nutriente em um meio de cultura, quantidade de lubrificante em uma
máquina, temperatura de armazenamento de um alimento.
Os tratamentos que podem ser dispostos em uma ordem, como por exemplo, doses de nutri-
entes, quantidade de lubrificante, ńıveis de temperatura, são ditos tratamentos quantitativos. Já
os tratamentos que não podem ser dispostos numa ordem, são ditos tratamentos qualitativos, por
exemplo, variedades de plantas, métodos de preparação de alimento, marcas de equipamentos e
outros. O tipo de tratamento tem importância na forma como os dados serão analisados. Quando
os tratamentos são quantitativos, pode-se usar, por exemplo, técnicas de análise de regressão.
Cada tipo de tratamento também pode ser chamado de um fator. Os tratamentos são chama-
dos de variáveis independentes. Quando, em um experimento, estamos interessados em estudar
apenas um tipo de variável independente, dizemos que possúımos apenas um fator. Em um
experimento, um fator pode ter várias categoriais que são chamadas de ńıveis.
Em um experimento, podem existir mais de um fator e mais de uma variável resposta. Toda
147
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e qualquer variável que possa interferir na variável resposta ou dependente deve ser mantida
constante. Quando isso não é possével, existem técnicas (estratégias) quepodem ser utilizadas
para reduzir ou eliminar essa interferência.
9.2.2 Unidade experimental ou parcela
Unidade experimental ou parcela é onde é feita a aplicação do tratamento. É a unidade experi-
mental que fornece os dados para serem avaliados. Como exemplos de unidades experimentais ou
parcelas pode-se citar: um motor, uma peça do motor, uma placa de Petri com meio de cultura,
uma porção de algum alimento.
As unidades experimentais podem ser formadas por grupos ou indiv́ıduos. Por exemplo,
quando trabalha-se com cobaias, pode-se ter apenas uma cobaia como unidade experimental, ou
seja, apenas um animal fornecerá a resposta do tratamento, ou ainda, pode-se ter um grupo de
cobaias em uma gaiola fornecendo as informações. O uso de grupos ou indiv́ıduos como unidades
experimentais depende do fenômeno que se está estudando, da forma como o experimento é
conduzido e dos recursos dispońıveis. De modo geral, a escolha da unidade experimental deve
ser feita de forma a minimizar o erro experimental.
9.2.3 Repetição
Repetição é o número de vezes que um tratamento aparece no experimento.
O número de repetições, em um experimento, vai depender também dos recursos dispońıveis,
do tipo de experimento (delineamento) e, também, da variabilidade do experimento ou da variável
resposta. Mas, em função das posśıveis limitações acima, a definição do número de repetições,
muitas vezes, torna-se uma tarefa dif́ıcil. A experiência do pesquisador sobre o fenômeno em
estudo deve ser levada em consideração. Além disso, as metodologias empregadas, para esse
cálculo, pressupõem que uma estimativa do erro experimental é conhecida. Nem sempre essa
informação está dispońıvel antes da realização de um experimento e, como cada experimento é
uma nova história, em função de caracteŕısticas intŕınsecas de cada fenômeno, esse cálculo pode
ser em vão.
9.2.4 Variável resposta ou variável dependente
Uma variável é qualquer caracteŕıstica que apresenta variação (altura de pessoas, o número
de microrganismos em um litro de leite, etc). Quando o valor de uma variável não pode ser
determinado antes da realização de um experimento, tem-se então uma variável aleatória (que
podem ser discretas ou cont́ınuas).
Em um experimento, podem ser medidas muitas variáveis, mas deve-se considerar somente
aquelas que possam contribuir para a explicação da hipótese formulada.
É o pesquisador, em geral, quem sabe quais serão as variáveis que serão medidas em um
experimento. Ele deve ser alertado, sempre, sobre as condições para a realização de tais medições,
no sentido de evitar gastar recursos com variáveis que não fornecerão as informações para se testar
a(s) hipótese(s) . Quando o volume de dados de um experimento torna-se grande, aumentam os
riscos de erros grosseiros, como de registro, de inversão de variáveis etc.
148
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9.2.5 Delineamento experimental (Design)
Com a finalidade de reduzir o erro experimental, existem os chamados delineamentos experi-
mentais. Um delineamento experimental é a forma como os tratamentos ou ńıveis de um fator
são designados às unidades experimentais ou parcelas. A análise de variância é baseada no
delineamento experimental utilizado.
Por isso, saber como o experimento foi instalado e conduzido, é de fundamental importância.
Pequenas modificações podem acarretar em grandes mudanças na forma da análise estat́ıstica.
Não raro, acontecem situações em que as hipóteses formuladas, a priori, não podem ser testa-
das, ou ainda, é imposśıvel de se realizar uma análise estat́ıstica. Por isso, deve-se dar muita
importância ao planejamento experimental.
Um delineamento experimental é planejado de tal forma que a variação ao acaso seja redu-
zida o máximo posśıvel. Alguns dos principais delineamentos experimentais são: delineamento
inteiramente casualizado (DIC), delineamento em blocos casualizados (DBC), fatorial e quadrado
latino.
9.2.6 Modelo associado
Em um experimento, cada observação Yij pode ser decomposta conforme o modelo a seguir:
Yij = µ+ τi + εij i = 1, ..., k e j = 1, ..., n (9.1)
em que: Yij é a observação do i-ésimo tratamento na j-ésima unidade experimental ou parcela;
µ é o efeito constante (média geral);
τi é o efeito do i-ésimo tratamento;
εij é o erro associado ao i-ésimo tratamento na j-ésima unidade experimental ou parcela,
assumido como: εij ∼ N(0, σ2). Aqui, os erros devem ser independentes e identicamente dis-
tribúıdos.
Em um experimento, existe o interesse em testar se há diferenças entre as médias dos trata-
mentos, o que equivale a testar as hipóteses:{
H0 : µ1 = µ2 = · · · = µk
H1 : µi 6= µi′ para pelo menos um par (i, i′), com i 6= i′
em que:
µi = µ+ τi i = 1, 2, . . . , k.
De forma equivalente, podemos escrever tais hipóteses da seguinte forma:{
H0 : τ1 = τ2 = · · · = τk = 0
H1 : τi 6= 0 para pelo menos um i.
Note que, se a hipótese nula for verdadeira, todos os tratamentos terão uma média comum µ.
9.3 ANAVA - fator único
Exemplo motivador: Um produtor de vinho tem três vinhas. O produtor pretende responder à
questão: Ter~ao as três vinhas igual produtividade, ou haverá alguma (ou algumas)
com produtividade diferente das outras?
149
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Para responder a este questionamento, o produtor recorreu ao seguinte planejamento experi-
mental: em cada vinha, anotou a produtividade por hectare de terreno nos últimos 5 anos, tendo
obtido
Vinha Produtividade ton/ha
São Gabriel 8,7 8,3 7,6 6,0 7,9
São Miguel 5,7 8,0 7,0 8,7 8,7
São Rafael 4,7 4,0 6,7 6,3 5,0
A análise de variância, baseia-se na decomposição da variação total da variável resposta
em partes que podem ser atribúıdas aos tratamentos (variância entre) e ao erro experimental
(variância dentro). Essa variação pode ser medida por meio das somas de quadrados definidas
para cada um dos seguintes componentes:
Suponha k ńıveis diferentes de um único fator que queiramos comparar. A resposta para cada
um dos tratamentos é uma v.a. Observe a tabela:
Tratamentos observações totais médias
1 y11 y12 y13 ... y1n y1. y1.
2 y21 y22 y23 ... y2n y2. y2.
3 y31 y32 y33 ... y3n y3. y3.
... ... ... ... ... ... ...
k yk1 yk2 yk3 ... ykn yk. yk.
y.. y..
onde yi. =
∑n
j=1 yij, yi. =
yi.
n
, i = 1, 2, · · · , k, y.. =
∑k
i=1
∑n
j=1 yij, y.. =
y..
N
, N = kn.
A ANAVA divide a variabilidade total nos dados da amostra em dois componentes. Então o
teste de hipótese já enunciado é baseado na comparação de duas estimativas independentes da
variância da população. A variabilidade total nos dados é descrita pela soma total dos quadrados
SQTot =
k∑
i=1
n∑
j=1
(yij − y..)2,
SQTot = SQTrat+ SQRes. Ou ainda,
k∑
i=1
n∑
j=1
(yij − y..)2 = n
k∑
i=1
(yi. − y..)2 +
k∑
i=1
n∑
j=1
(yij − yi.)2
que após alguma álgebra resultam em:
• SQTot =
∑k
i=1
∑n
j=1 y
2
ij −
y2..
N
• SQTrat =
∑k
i=1
y2i.
n
− y
2
..
N
• SQRes = SQTot− SQTrat
Assim, a tabela da ANAVA é dada por:
150
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Fonte variação Soma quadrados gl Média quadrados Fcal
Tratamentos SQTrat k − 1 QMTrat = SQTrat
k−1
QMTrat
QMRes
Erros SQRes k(n− 1) QMRes = SQRes
k(n−1)
Total SQTot kn− 1
onde Fcal ∼ Fα, k−1, k(n−1). O teste leva a rejeição de H0 se Fcal > Fα, k−1, k(n−1).
Agora já estamos aptos a resolver o nosso exemplo motivador!!!
Exemplo motivador: Um produtor de vinho tem três vinhas. O produtor pretende responder à
questão: Ter~ao as três vinhas igual produtividade, ou haverá alguma (ou algumas)
com produtividade diferente das outras?
Vinha Produtividade ton/ha
São Gabriel 8,7 8,3 7,6 6,0 7,9
São Miguel 5,7 8,0 7,0 8,7 8,7
São Rafael 4,7 4,0 6,7 6,3 5,0
Devemos calcular SQRes, SQTot e SQTrat para podermos completar a tabela ANAVA!!!
Com estes resultados completamos a tabela:
Fonte variação Soma quadrados glMédia quadrados Fcal
Tratamentos
Erros
Total
Conclusão do teste:
9.3.1 Testes de comparação de médias
1. Teste de Scheffè
Existem diversos métodos para verificar quais médias diferem das demais, como: método
de Tukey, de Scheffè, de Duncan, de contrastes ortogonais.
151
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O método de Scheffè é o mais geral e o mais completo mas perde em precisão para os
demais. Se duas médias µi e µj diferem significativamente, Scheffè demonstrou que
|x̄i − x̄j| > ∆α
onde
∆α =
√√√√QMRes( 1
ni
+
1
nj
)
(k − 1)Fα, k−1, k(n−1)
Do nosso exemplo:
2. Teste de Tukey
O procedimento de Tukey faz uso de outra distribuição, chamada distribuição da amplitude
studentizada, cuja estat́ıstica de teste é
q =
ȳmax − ȳmin√
QMTrat
n
onde ȳmax é a maior média amostral e ȳmin é a menor média amostral entre p médias
amostrais. Seja qα(k, k(n− 1)) o ponto percentual α superior de q, onde k é o número de
tratamentos e k(n − 1) é o número de graus de liberdade para o erro. Duas médias, ȳi. e
ȳj., (i 6= j), são consideradas significantemente diferentes se
|ȳi. − ȳj.| > Tα
onde
Tα = qα(k, k(n− 1))
√
QMRes
n
Os valores de qα(k, k(n− 1)) para α = 0, 05 e α = 0, 01 e uma seleção de valores para k e
k(n− 1) são dados em tabela espećıfica.
O procedimento de Tukey tem a propriedade de que o ńıvel de significância geral é exa-
tamente α para tamanhos amostrais iguais e é no máximo α para tamanhos amostrais
diferentes.
Do nosso exemplo:
152
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3. Teste de Dunnett
Dunnett (1955) foi pioneiro no conceito de que, quando um controle está presente, as
comparações de interesse preliminar podem ser as comparações de cada novo tratamento
com o controle. Por exemplo, o controle pode ser um placebo, um tratamento “padrão”, ou
qualquer outro tratamento espećıfico (como uma nova droga). Suponhamos que µ1, ..., µj−1
são as médias dos novos tratamentos e µj é a média do controle. Quando realizamos
comparações múltiplas com um controle, os parâmetros de interesse primários são µi − µj
para i = 1, . . . , j − 1, a diferença entre cada nova média de tratamento µi e a média do
controle µj, ou seja, queremos testar as hipóteses{
µi = µj
µi 6= µj
O método de Dunnett é uma modificação do teste t usual. A menor diferença significativa
neste caso é dada por
d = dα(k,N − k)
√
2
QME
n
, dados balanceados, e
d = dα(k,N − k)
√
QME
(
1
ni
+
1
nj
)
, dados não balanceados
em que em que dα(k,N − k) é um valor tabelado proposto por Dunnet (ver Tabela), que
depende do número de ńıveis (k) e dos graus de liberdade dos erros (N − k).
Se tomarmos o ńıvel j como controle, rejeitamos a igualdade entre a média do ńıvel i e a
média do ńıvel j se:
| yi. − yj. | >d.
Exemplo de aplicação: Consideremos o efeito do cigarro em doenças pulmonares. Nesse
caso, tomemos as doenças pulmonares medidas de pessoas não fumantes (NF ) e 5 grupos
de fumantes classificados como FP : fumante passivo; NI: pessoas que fumam, mas não
inalam a fumaça; FL: pessoas que fumam de 1 a 10 cigarros por dia; FM : pessoas que
fumam de 11 a 39 cigarros por dia e FE: pessoas que fumam mais de 40 cigarros por
dia. Tomamos os não fumantes como o grupo de controle, e estamos interessados em saber
o quanto fumar pode afetar a saúde pulmonar em termos da capacidade da força vital
(CFV ), em relação a não fumar. Tomamos nesse exemplo α = 0, 05. Os dados desse
exemplo estão na sequência.
Grupo CFV Grupo CFV Grupo CFV Grupo CFV Grupo CFV Grupo CFV
NF 3,7890 FP 3,5633 NI 3,1492 FL 2,8356 FM 2,9865 FE 2,6397
NF 3,6953 FP 2,8318 NI 3,1945 FL 3,1546 FM 2,8384 FE 2,3976
NF 3,9272 FP 3,2156 NI 2,9791 FL 3,1579 FM 2,8000 FE 2,4112
NF 3,9563 FP 3,2136 NI 3,0127 FL 2,4663 FM 2,8963 FE 2,2356
NF 3,7490 FP 3,1877 NI 2,9985 FL 2,9863 FM 2,6934 FE 2,5282
NF 3,1549 FP 3,2451 NI 2,8963 FL 3,0356 FM 2,8183 FE 2,8963
NF 3,4596 FP 3,1050 NI 3,2520 FL 3,5669 FM 2,8963 FE 2,6539
NF 2,8963 FP 3,2312 NI 3,6271 FL 3,2619 FM 2,6934 FE 2,5550
NF 2,3569 FP 3,2014 NI 3,4651 FL 3,3480 FM 2,8183 FE 2,8957
NF 2,7896 FP 3,1877 NI 2,8963 FL 3,5669 FM 2,5693 FE 2,3694
NF 3,1549 FP 3,6395 NI 3,6271 FL 3,2619 FM 2,8183 FE 2,5550
153
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A tabela da ANAVA para esses dados é
Fonte variação Soma quadrados gl Média quadrados Fcal
Tratamentos 5 5,0909
Erros 60 5,5530
Total
Realize o teste de Dunnett.
9.4 ANAVA - fator duplo sem repetição
Quando se suspeita que, além do tratamento, possam existir outro fator a influenciar os valores
observados da variável estat́ıstica, entra-se no domı́nio da ANAVA fatorial. Esta é uma técnica
que permite identificar eventuais diferenças entre grupos devidas a múltiplos fatores (e não apenas
um) e que é adequada como ferramenta para análise de vários planejamentos experimentais.
Para compreender as hipóteses em confrontação numa ANAVA de 2 fatores de efeitos fixos é
conveniente reproduzir o modelo subjacente, que pode ser descrito da seguinte forma:
Yijk = µij + εijk, ε ∼ N(0, σ2), (9.2)
onde: Yijk é a observação ijk da variável estat́ıstica em estudo, da qual vamos depois tirar amos-
tras;
µij é a média associada aos ńıveis i e j dos fatores 1 e 2, respetivamente;
εijk é o erro estat́ıstico da observação ijk, i.e. a fonte de aleatoriedade das observações.
A equação acima é o que se chama um “modelo estat́ıstico”, ou seja, uma forma de tentar
explicar matematicamente a origem de uma realidade observada (valores de Yijk). Normalmente
µij é decomposto adicionalmente da seguinte forma:
µij = µ+ αi + βj + γij (9.3)
em que: µ é uma média global de Yij (na ANAVA de 1 fator a média era descrita por µi = µ+αi);
αi é a influência do ńıvel i do fator 1;
βj é a influência do ńıvel j do fator 2;
γij é a influência combinada dos ńıveis i e j dos fatores 1 e 2, respetivamente.
154
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Nesse modelo, os elementos são classificados segundo dois critérios, ou seja, existem duas
caracteŕısticas de interesse que deverão ser testadas simultaneamente, constituindo duas classi-
ficações cruzadas.
Notações utilizadas: xij : elemento da i−ésima linha e j−ésima coluna
x̄i. : média da i−ésima linha
x̄.j : média da j−ésima coluna
x̄ : média total
k : número de colunas
n : número de linhas
Testes a serem realizados
1. para as linhas:
TL :
{
H01, µ1. = µ2. = · · ·µn.
H11, pelo menos uma das médias é diferente das demais
2. e para as colunas:
TC :
{
H02, µ.1 = µ.2 = · · ·µ.k
H12, pelo menos uma das médias é diferente das demais
A tabela de dados é como:
L C1 C2 · · · Cj · · · Ck soma lin soma lin sq
L1 x11 x12 · · · x1j · · · x1k T1. Q1.
L2 x21 x22 · · · x2j · · · x2k
...
...
... · · · ... · · · ...
Li xi1 xi2 · · · xij · · · xik
...
...
... · · · ... · · · ...
Ln xn1 xn2 · · · xnj · · · xnk
soma col T.1 T
soma col sq Q.1 Q
Aqui, Ti. =
∑k
j=1 xij, Qi. =
∑k
j=1 x
2
ij, T.j =
∑n
i=1 xij, Q.j =
∑n
i=1 x
2
ij.
• T = soma total, Q = soma total dos quadrados
• x̄i. = Ti.k = média da i−ésima linha
• x̄.j = T.jn = média da j−ésima coluna
• ¯̄x = T
nk
= média de todos os valores
Aqui
SQTot = SQL+ SQC + SQRes
onde SQTot = Q− T 2
nk
, SQC =
∑k
j=1
T 2.j
n
− T 2
nk
, SQL =
∑n
i=1
T 2i.
k
− T 2
nk
Assim a ANAVA é como:
155
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Fonte variação S.Q. gl Q.M. Fcal
Entre linhas SQL n− 1 QML = SQL
n−1 Fi =
QML
QMRes
Entre colunas SQC k − 1 QMC = SQC
k−1 Fj =
QMC
QMRes
Residual(dentro) SQRes (n− 1)(k − 1) QMRes = SQRes
(n−1)(k−1)
Total SQTot
Conclusões:
1. Para o teste TC : rejeitar H0 se Fcal > Fn−1, (n−1)(k−1) e,
2. Para o teste TC : rejeitar H0 se Fcal > Fk−1, (n−1)(k−1).
Agora podemos resolver um exemplo!!!
Exemplo: Foram analisados 3 marcas diferentes de cimentos A,B e C similares entre si, para
saber qual seria o melhor em termos de rendimentoe fixação. Para isso, estes cimentos foram
utilizados por 4 pedreiros, e para cada marca foi atribúıda uma nota, analisando os quesitos
(rendimento e fixação). Com esses dados faça uma análise de variância e conlua se existe diferença
significativa para as médias atribúıdas pelos pedreiros e entre os cimentos A,B e C.
Pedreiro A B C
I 45 48 60
II 90 69 78
III 79 57 77
IV 82 70 97
9.5 ANAVA - fator duplo com repetição
Exemplo motivador: Foram observados os tempos, em segundos, gastos por quatro operários
para montar certa peça segundo três métodos diferentes. Cada operário montou duas peças se-
gundo cada método, sendo os resultados fornecidos a seguir. É considerada admisśıvel a existência
de interação entre operários e métodos. Verificar, pela ANAVA, se existe diferença significativa
entre os métodos e/ou entre os operários.
operários
1 2 3 4
métodos II 59 61 59 56
156
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A ANAVA para este teste é como:
F.V. S.Q. gl Q.M. Fcalc
Entre linhas SQL =
∑n
i=1
T 2i..
kr
− T 2
nkr
n− 1 QML = SQL
n−1 Fl =
QML
QMRes
Entre colunas SQC =
∑k
j=1
T 2.j.
nr
− T 2
nkr
k − 1 QMC = SQC
k−1 Fcol =
QMC
QMRes
Interação SQI = SQTr − SQL− SQC (k − 1)(n− 1) QMI = SQI
(k−1)(n−1) Fi =
QMI
QMRes
Entre tratamentos SQTr =
∑n
i=1
∑k
j=1
T 2ij.
r
− T 2
nkr
nk − 1 QMTr = SQTr
nk−1
Residual SQRes = SQTot− SQTr nk(r − 1) QMRes = SQRes
nk(r−1)
Total SQTot = Q− T 2
nkr
nkr − 1
Nota: r = número de repetições.
Aqui as hipóteses são as mesmas para o caso sem repetição, mas aqui ainda podemos testar
o fato de haver interação entre as linhas e colunas.
Usaremos o Excel para resolver este exerćıcio:
Conclusão:
9.6 Exerćıcios
1. Para testar a tensão de ruptura de tijolos similares de seis furos de 3 olarias diferentes,
foram colhidos 3 tijolos de cada olaria para a verificação. Exercendo uma pressão em cada
tijolo para constatar a resistência, foram obtidos os dados abaixo. Pode-se afirmar que
existe diferença significativa da tensão de ruptura entre os tijolos das olarias? R. não existe
diferença.
Olaria A Olaria B Olaria C
117 115 118
120 110 123
114 116 119
157
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2. A tabela apresenta as resistências de corpos de prova onde é testado 4 tipos diferentes de
cerâmicas. Determinar ao ńıvel de 1%, se existe diferença significativa nas resistências dos
4 tipos de cerâmicas, ou seja, qual cerâmica oferece maior resistência? A resistência é dada
em MPa. R. A cerâmica D.
Cerâmica A Cerâmica B Cerâmica C Cerâmica D
8,5 9,1 4,9 7,5
6,4 8,7 6,5 7,9
7,1 7,6 5,7 9,7
7,4 7,9 5,2 10,1
Use a tabela a seguir e conisidere a ANOVA:
F.V. S.Q. g.l. Q.M. Fcal
Entre grupos 24,392 3 8,131 9,561
Dentre grupos 10,205 12 0,85
Total 34,597
3. A anemia é uma doença que afeta muitas pessoas e que pode ter diversas origens. Pretendendo-
se avaliar posśıveis diferenças entre diferentes tratamentos de estados anêmicos, planejou-se
uma experiência com 120 indiv́ıduos anêmicos, divididos aleatoriamente em três grupos de
40, aos quais se atribuiu a cada um, um dos tratamentos. O primeiro tratamento era
constitúıdo apenas por uma dieta rica em ferro. O segundo tratamento combinava um su-
plemento de ferro com a dieta do primeiro tratamento e o último acrescentava um complexo
vitamı́nico. No sentido de avaliar posśıveis diferenças entre os tratamentos, efetuou-se uma
ANOVA com base nos valores de hemoglobina dos 120 indiv́ıduos após um peŕıodo de 3 me-
ses de tratamento. Os resultados da ANOVA encontram-se na tabela seguinte. Complete
a tabela nos espaços apropriados.
F.V. S.Q. g.l. Q.M. Fcal
Entre grupos 1,522
Dentre grupos 121,403
Total 122,925
4. Com o intuito de estudar a influência da temperatura ambiente na capacidade de trabalho
das pessoas, 80 estudantes universitários foram divididos em 4 grupos equilibrados que
foram sujeitos a 4 temperaturas selecionadas ao acaso. Cada aluno teve que responder
a um conjunto de 150 questões simples tendo sido contabilizado o número de respostas
corretas. Os resultados encontram-se no ficheiro Respostas.sav.
Considerando que são válidos os pressupostos de realização de uma ANOVA paramétrica,
conduza uma ANOVA de efeitos aleatórios e retire conclusões (α = 0, 05). Escreva as
hipóteses em causa, registre o valor da estat́ıstica de teste, conclua. No caso de concluir
que a temperatura influencia a capacidade de trabalho, forneça uma estimativa da variância,
σ2.
158
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T1 T2 T3 T4
142 120 100 50
130 121 105 70
112 110 98 60
122 111 97 61
131 130 96 62
109 121 102 51
140 129 101 52
138 128 95 57
127 123 94 60
148 110 93 61
108 137 100 53
109 140 102 58
117 121 95 54
131 123 94 62
135 117 78 63
123 119 92 67
139 139 85 69
140 140 80 78
147 139 70 80
143 135 71 51
5. Foi realizada uma experiência para testar o efeito da alimentação na aprendizagem. Para o
efeito separou-se uma turma em quatro grupos: um grupo de controle ao qual foi fornecida
bebida e comida à discrição, um outro grupo ao qual se forneceu apenas comida, um grupo
que apenas ingeriu bebidas e um quarto grupo que não teve direito nem a comer nem a
beber. Em seguida, os alunos assistiram a uma aula sobre a ANOVA no Excel. No final,
cada aluno realizou um teste cujos resultados se encontram a seguir.
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D
98 90 89 56
90 87 90 67
95 92 86 54
100 95 96 23
(a) Construa caixas de bigodes comparativas e observe as diferenças entre os grupos.
(b) Efectue uma ANOVA paramétrica para averiguar se existem diferenças significativas
entre os grupos, ao ńıvel de significância de 5%.
(c) Escreva as hipóteses em causa;
(d) Registe o valor da estat́ıstica de teste;
(e) Conclua.
6. Uma empresa deseja adquirir certa máquina e verificou que existem na praça 4 marcas
diferentes: A,B,C e D que satisfazem. Decidiu-se que será comprada a máquina que
159
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apresentar o melhor rendimento. Foi realizado um ensaio com 4 máquinas em peŕıodos
iguais durante 5 dias. Com relação ao rendimento, existe diferença significativa entre as
máquinas ao ńıvel de 5%?
A B C D
120 119 125 123
123 121 127 121
121 118 128 121
125 120 127 120
122 123 128 120
7. Os dados abaixo são de um experimento inteiramente ao acaso, onde 5 processos de estoca-
gem foram usados em um produto perećıvel por absorção de água. Vinte e cinco exemplares
deste produto foram divididos em cinco grupos, e após uma semana mediu-se a quantidade
de água absorvida. Os resultados codificados estão abaixo. Existem evidências que os
processos de estocagem produzem resultados diferentes? Caso haja, calcule Tukey.
Processo A Processo B Processo C Processo D Processo E
8 4 1 4 10
7 -2 2 6 8
6 0 0 5 7
5 -2 -1 5 4
8 3 -3 4 9
8. Os dados abaixo mostram a produção de milho em kg/100m2, segundo a variedade. Faça
a ANOVA para comparar se existe diferença significativa entre as variedades do milho na
produção. Caso haja, faça os testes de Tukey e Scheffè.
Variedade A Variedade B Variedade C Variedade D
34 26 37 23
26 37 45 28
33 42 39 30
36 34 41 37
31 36 53 32
9. Um engenheiro suspeita que o acabamento da superf́ıcie de uma peça de metal seja influ-
enciado pelo tipo de pintura usada e pelo tempo de secagem. Ele seleciona três tempos
de secagem - 20, 25 e 30 minutos - e seleciona aleatoriamente dois tipos de pintura den-
tre as várias dispońıveis. Ele realiza um experimento e obtém os dados mostrados aqui.
Analise-os e tire conclusões. Estime os componentes da variância.
160
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
Tempo de secagem
Pintura 20 25 30
74 73 78
1 64 61 85
50 44 92
92 98 66
2 86 73 45
68 88 85
10. Estudam-se os fatores que influenciam a força de ruptura de um fio de cobre. Quatro
máquinas e três operadores são escolhidos aleatoriamente e roda-se um experimento que
usa partes domesmo pedaço de fio medindo um metro. Os resultados são os seguintes:
Máquina
Operador 1 2 3 4
A 109 110 108 110
110 115 109 116
B 111 110 111 114
112 111 109 112
C 109 112 114 111
111 115 109 112
Teste em relação a interações e efeitos principais ao ńıvel de 5%.
11. Uma companhia emprega engenheiros para estudos de tempo. Sua supervisora deseja de-
terminar se os padrões estabelecidos por eles são influenciados por uma interação entre
engenheiros e operadores. Ela seleciona três operadores aleatoriamente e realiza um ex-
perimento no qual os engenheiros estabelecem padrões de tempo para uma mesma tarefa.
Ela obtém os dados a seguir. Analise-os e tire conclusões.
Operador
Engenheiro 1 2 3
1 2,59 2,38 2,40
2,78 2,49 2,72
2 2,15 2,85 2,66
2,86 2,72 2,87
12. Realiza-se um estudo para se determinar o efeito da velocidade de corte sobre a duração (em
horas) de uma máquina particular. Quatro ńıveis de velocidade de corte são selecionados
para o estudo, com os seguintes resultados:
Velocidade do corte Durabilidade da ferramenta
1 41 43 33 39 36 40
2 42 36 34 45 40 39
3 34 38 34 34 36 33
4 36 37 36 38 35 35
161
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A velocidade do corte afeta a durabilidade da máquina? Use o teste de Tukey para inves-
tigar diferenças entre os ńıveis individuais de velocidade de corte. Interprete os resultados.
13. Está se estudando a força de compresão do concreto. Quatro técnicas de mistura diferentes
estão sendo investigadas. Foram coletados os seguintes dados:
Técnica de mistura Força de compressão
1 3129 3000 2865 2890
2 3200 3300 2975 3150
3 2800 2900 2985 3050
4 2600 2700 2600 2765
Teste a hipótese de que as técnicas de mistura afetam a força do concreto. Use o teste de
Tukey para fazer comparações entre pares de médias.
14. Foi feito um experimento para se determinar se quatro temperaturas espećıficas de formas
afetam a densidade de certo tipo de tijolo. O experimento levou aos seguintes dados:
Temperatura (oF ) Densidade
100 21,8 21,9 21,7 21,6 21,7 21,5 21,8
125 21,7 21,4 21,5 21,5
150 21,9 21,8 21,8 21,6 21,5
175 21,9 21,7 21,8 21,7 21,6 21,8
A temperatura do forno afeta a densidade dos tijolos?
15. Um engenheiro eletrônico está interessado no efeito, sobre a condutividade do tubo, de cinco
tipos diferentes de revestimento para tubos de raios catódicos, usados em um aparelho de
sistema de telecomunicações. Foram obtidos os seguintes dados de condutividade:
Tipo de revestimento Condutividade
1 143 141 150 146
2 152 149 137 143
3 134 133 132 127
4 129 127 132 129
5 147 148 144 142
Há alguma diferença na condutividade devida ao tipo de revestimento?
16. O tempo de resposta, em milissegundos, foi determinado para três tipos diferentes de
circuitos em uma calculadora eletrônica. Os resultados são:
Tipo de circuito Tempo resposta
1 19 22 20 18 25
2 20 21 33 27 40
3 16 15 18 26 17
162
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Teste a hipótese de que os três tipos de circuitos têm o mesmo tempo de resposta. Use
Tukey para comparar pares de médias de tratamento.
17. Foi realizado um experimento para analisar o efeito de um certo poĺımero na resistência
da madeira. Foi testado 4 tipos de poĺımeros A,B,C e D em 3 amostras de madeira. A
tabela mostra a resistência (kgf) obtida. Faça a análise de variância para verificar se existe
diferença significativa entre os pĺımeros. Caso comprovada a diferença, identifique quais
são diferentes.
A 25 32 27
B 35 28 33
C 41 35 38
D 60 67 59
Considere a seguinte ANOVA obtida por meio do Excel
18. Retirou-se 5 amostras de tamanho 5 de uma população N(µ, σ2). Para cada amostra
foi aplicado um antiparasitário (tratamentos). Em seguida os pesos dos animais foram
analisados para cada tratamento. Teste se existe efeito de antiparasitário no peso dos
animais.
Tratamentos
Neguvon Methiridim TH Haloxon Controle
330 315 298 286 279
314 304 289 273 240
331 307 273 269 266
311 320 240 278 269
320 305 121 274 250
19. Três extratos de origem vegetal foram fornecidos a 20 cães por via oral com a finalidade
de testar o posśıvel efeito sobre a pressão arterial sistólica desses animais. Os cães foram
divididos em grupos de cinco animais, recebendo cada grupo um tipo de extrato, ao acaso,
B,C ou D, além de um grupo controle A, tratado com placebo. Os dados obtidos foram:
163
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Trat.(extratos) Cães
(Controle) A 74,0 71,0 73,0 79,0 68,0
B 99,0 91,0 94,0 101,0 97,0
C 100,0 95,0 97,0 99,0 98,0
D 78,0 74,0 75,0 86,0 72,0
(a) Defina as hipóteses a serem testadas.
(b) Faça a ANAVA dos dados e apresente as conclusões.
(c) Aplique o teste de Tukey para comparar as médias 2 a 2. Apresente um quadro das
médias juntamente com as letras explicando as diferenças. Tire as conclusões.
(d) Aplique o teste de Duncan para comparar as médias 2 a 2. Apresente um quadro das
médias juntamente com as letras explicando as diferenças. Tire as conclusões.
(e) Aplique o teste de Dunnett para comparar as médias com o controle A. Comente os
resultados.
164
Caṕıtulo 10
Regressão linear simples
10.1 Introdução
Muitas vezes estudamos certos fenômenos que envolvem duas ou mais variáveis, e frequentemente
estamos interessados em estabelecer uma relação funcional entre as mesmas. O problema da
regressão consiste em determinar a função que exprime essa relação.
O termo regressão foi introduzido em fins do século XIX por Sir Francis Galton, quando se
interrogou: é posśıvel prever a altura dos filhos com base na altura dos pais? Ele coletou pares
de dados de alturas de pais e filhos e verificou que pais altos tendem a ter filhos altos e vice-versa,
isto deu ideia de “regressão” das alturas para um valor médio.
A análise de regressão é a parte da estat́ıstica que investiga a relação entre duas ou mais
variáveis relacionadas de maneira não-determińıstica. E é uma das técnicas mais utilizadas para
investigar e modelar o relacionamento entre diversas variáveis de um processo. Isto se deve ao
fato de a análise de regressão ser baseada na ideia de empregar uma equação para expressar o
relacionamento entre as variáveis de interesse. Ela processa informações de um conjunto de dados
de forma a gerar um modelo que representa o relacionamento entre as variáveis de interesse.
Seja Y uma variável aleatória que é influenciada pela variável X então
Y = f(X) + �,
em que
X é a variável independente (variável explicativa).
Y é a variável dependente (variável resposta).
� é a componente aleatória da variação de Y .
f(·) é a função de regressão.
O método de Regressão Linear simples - RLS - estima uma equação de reta através do
conjunto de n pares ordenados de tal forma que faça a soma dos quadrados residuais do modelo
(isto é, as distâncias entre os pontos verticais do conjunto de dados e a equação da reta) tão
pequena quanto posśıvel.
O adjetivo simples refere-se ao fato de que esta regressão é uma das mais simples na Es-
tat́ıstica, pois possui uma única variável dependente. O declive da equação reta é denominado
de correlação linear entre Y e X.
165
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
É especialmente eficaz nas fases de observação, análise, execução e verificação do ciclo PDCA.
A regressão pode ser utilizada com vários objetivos, dentre os quais: descrição, predição, controle
e estimação.
10.2 Exemplo motivacional
Sejam duas variáveis “tempo de estudo” e “nota na prova de Probabilidade e Estat́ıstica”. Foram
escolhidos sete alunos ao acaso, e anotou-se suas notas e respectivas horas gastas para estudar
para a prova, conforme disposto a seguir.
Horas de estudo 0 0,5 1 1,8 2,3 2,5 3
Nota 0 1,5 4,2 6,5 7,9 8,7 9,4
Pergunta intrigante: Baseado nestes dados, é posśıvel prever a nota de um aluno que tenha
estudado 2 horas?
10.3 Gráfico de dispersão
Nota-se que estas duas variáveisestão intrinsecamente relacionadas e gostaŕıamos de explorar a
natureza dessa relação. Devemos supor para tal que existe uma única variável dependente, ou
resposta Y , relacionada com uma variável independente X.
Exemplo: Do nosso exemplo inicial, Y= nota na prova de estat́ıstica e X= tempo de estudo.
Antes de calcularmos a equação de regressão, devemos esboçar os dados em um gráfico de
dispersão, que é o gráfico dos pares ordenados (Xi, Yi).
10.4 Correlação
Através do gráfico de dispersão é posśıvel ter ind́ıcios (de presença ou ausência) de relação linear
entre X e Y . Mas será que estes ind́ıcios são satisfatórios?
A resposta para esta pergunta é dada pelo coeficiente de correlação linear de Pearson, que
mede o grau de relação linear entre as duas variáveis:
r =
n
∑n
i=1 XiYi −
∑n
i=1 Xi
∑n
i=1 Yi√
(n
∑n
i=1X
2
i − (
∑n
i=1Xi)
2)(n
∑n
i=1 Y
2
i − (
∑n
i=1 Yi)
2)
(10.1)
Este coeficiente é adimensional e é posśıvel demonstrar que −1 ≤ r ≤ 1 e a depender do seu
valor é que se mede o grau de relação entre as variáveis, uma classificação é:
166
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• se 0 < |r| < 0, 3 correlação linear fraca;
• se 0, 3 ≤ |r| < 0, 6 correlação linear moderada;
• se 0, 6 ≤ |r| < 0, 9 correlação linear forte;
• se 0, 9 ≤ |r| < 1 correlação linear muito forte;
Exemplo: Calculemos o grau de relação linear entre as nossas variáveis.
10.5 O modelo probabiĺıstico de RLS
Dados n pares de valores (X, Y ) e admitindo que Y é função linear de X, estabelecemos um
modelo estat́ıstico de RLS
Y = β0 + β1X + � (10.2)
aqui Y = variável dependente ou resposta, β0 = coeficiente linear, β1 = coeficiente angular ou
de regressão, X = variável independente, de previsão ou explicativa, e, � = erro aleatório.
Os parâmetros β0 e β1 são geralmente chamados de coeficientes de regressão. Esses coeficientes
têm uma interpretação simples e muitas vezes útil. A inclinação β1 é a mudança na média da
distribuição de Y produzida por uma mudança de unidade em X. Se o intervalo de dados em X
inclui X = 0, então o intercepto β0 é a média da distribuição da resposta Y quando X = 0. Se
o intervalo de X não inclui zero, então β0 não tem interpretação prática.
Pergunta: O que queremos??? Estimar β0 e β1.
Como??? A partir dos valores amostrais de X e Y. Para tal, precisamos de algumas suposições
para que o modelo seja confiável:
1. Estamos de fato estimando o modelo verdadeiro;
2. E(ei) = 0, ∀i, o que implica E(Yi) = β0 + β1Xi;
3. V ar(ei) = σ
2, o que implica V ar(Yi) = σ
2;
4. Cov(ei, ej) = 0, ∀i 6= j o que implica que Cov(Yi, yj) = 0;
5. X assume pelo menos dois valores distintos;
6. ei ∼ N(0, σ2)
167
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10.5.1 Estimação dos parâmetros β0 e β1
A partir dos dados amostrais é posśıvel estimar um modelo que descreva a relação linear entre
Y e X, para tal utilizaremos o prinćıpio dos mı́nimos quadrados.
A ideia é minimizar a soma dos quadrados dos erros, ou seja minimizar a distância entre o
ponto amostral e a reta estimada. Da Equação 10.2 podemos escrever
Yi = β0 + β1Xi + �i, i = 1, 2, · · · , n (10.3)
A Equação 10.2 pode ser vista como modelo de regressão populacional, enquanto a Equação
10.3 como modelo de regressão amostral, escrito em termos dos n pares de dados (Xi, Yi), (i =
1, 2, · · · , n). Assim, o critério de mı́nimos quadrados é
S(β̂0, β̂1) =
n∑
i=1
(Yi − β0 − β1Xi)2
O estimador de mı́nimos quadrados de β0 e β1, digamos β̂0 e β̂1, deve satisfazer
∂S
∂β0
∣∣∣∣
β̂0,β̂1
= −2
n∑
i=1
(Yi − β̂0 − β̂1Xi) = 0
e
∂S
∂β1
∣∣∣∣
β̂0,β̂1
= −2
n∑
i=1
(Yi − β̂0 − β̂1Xi)Xi = 0.
Simplificando as duas equações, temos
nβ̂0 + β̂1
n∑
i=1
Xi =
n∑
i=1
Yi
β̂0
n∑
i=1
Xi + β̂1
n∑
i=1
X2i = =
n∑
i=1
XiYi
(10.4)
As Equações 10.4 são chamadas de equações de mı́nimos quadrados normais. A solução das
mesmas é
β̂0 = Y − β̂1X e β̂1 =
n
∑
YiXi −
∑
Yi
∑
Xi
n
∑
(Xi)2 − (
∑
Xi)2
.
As estimativas pontuais de β0 e β1, representadas por β̂0 e β̂1 são os valores que minimizam a
função acima. Ou seja:
β̂1 = b1 =
∑n
i=1XiYi − (
∑n
i=1Xi)(
∑n
i=1 Yi)/n∑n
i=1(X
2
i )− (
∑n
i=1Xi)
2/n
,
e
β̂0 = b0 =
∑n
i=1 Yi − β̂1
∑n
i=1Xi
n
.
Assim, o modelo de regressão é:
Ŷ = β̂1X + β̂0.
168
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Exemplo: Obter a equação da reta de mı́nimos quadrados para os dados do exemplo inicial.
10.6 Verificação do ajuste
O parâmetro σ2 determina a variabilidade inerente no modelo de regressão. Um valor grande
de σ2 fará com que os (Xi, Yi) observados fiquem muito dispersos em relação à reta de regressão
real, ao passo que, quanto σ2 for pequeno, os pontos observados tenderão a ficar bem próximos
da reta real.
A estimativa de σ2 mede até que ponto as observações amostrais se desviam da reta estimada.
Ela será útil na construção de intervalos de confiança e testes de hipóteses para os parâmetros
β̂0 e β̂1.
Os valores ajustados Ŷ1, Ŷ2, · · · , Ŷn, são obtidos a partir da equação:
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi, i = 1, · · · , n.
Chama-se de reśıduo ou erros a diferença entre os valores observados e os valores preditos,
ei = Yi − Ŷi, i = 1, · · · , n.
Os reśıduos desempenham um papel importante na investigação da adequação do modelo e na
detecção de desvios dos pressupostos subjacentes. O reśıduo relativo à i-ésima observação (ei)
pode ser considerado uma estimativa do erro aleatório (�i) desta observação, veja a Figura 10.1.
Figura 10.1: Ilustração de reśıduos.
169
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Chama-se de SQRes a soma dos quadrados dos reśıduos ou erros:
SQRes =
n∑
i=1
(Yi − Ŷi)2 =
∑
[Yi − (β̂0 + β̂1Xi)]2 =
=
∑
Y 2i − β̂0
∑
Yi − β̂1
∑
XiYi.
E,
σ̂2 =
SQRes
n− 2
=
∑
(Yi − Ŷi)2
n− 2
.
que é uma estimativa da variância do modelo, quanto menor σ̂2 melhor.
Obs. Como σ̂2 depende da soma residual dos quadrados, qualquer violação das suposições nos
erros do modelo ou qualquer especificação incorreta da forma do modelo pode prejudicar seria-
mente a utilidade de σ̂2 como uma estimativa de σ2. Como σ̂2 é calculado a partir dos reśıduos
do modelo de regressão, dizemos que é uma estimativa de σ2 dependente do modelo.
Exemplo: Obter a estimativa σ̂2 para o modelo ajustado.
10.6.1 Coeficiente de explicação
Pergunta: Mas como saber se o modelo ajustado está de fato representando de forma adequada
o tipo de relacionamento entre as variáveis que está sendo evidenciado pelos dados? O modelo é
útil para realizar predições?
Resposta: Através da soma de quadrados e do coeficiente de explicação:
Sabe-se que
SQTot = SQRes + SQReg
onde:
• SQTot =
∑n
i=1 Y
2
i −
(
∑n
i=1 Yi)
2
n
= soma dos quadrados totais;
• SQRes =
∑n
i=1 Y
2
i − β̂0
∑n
i=1 Yi− β̂1
∑n
i=1 XiYi = soma dos quadrados dos reśıduos ou erros;
• SQReg = SQTot − SQRes = soma dos quadrados da regressão.
Este resultado mostra que a soma de quadrados total pode ser decomposta em duas partes:
uma devida à regressão, e outra devida aos erros cometidos pelo modelo. Gostaŕıamos que SQRes
fosse o menor posśıvel, isto significaria que cometemos erros “pequenos”, e portanto melhor o
ajuste.
R2 =
SQReg
SQTot
× 100 (10.5)
170
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é o coeficiente de explicação que mede a porcentagem da variabilidade total da variável depen-
dente que é explicada pelo modelo adotado, é um número entre [0, 100], e R2 = 100 implica
SQRes = 0, ajuste perfeito, portanto:
Quanto maior R2 melhor ajustado foi o modelo!!!
Exemplo: Obtenha o coeficiente de explicação do modelo ajustado.
10.6.2 Análise de variância do modelo
Após ter desenvolvido um modelo básico de regressão linear, podemos utilizar a análise de
variância para verificar quanto a reta de regressão “explica” os valores observados que foram
utilizados para o ajuste. Uma maneira de obteresta medida é por meio da ANAVA.
Quando fazemos uma regressão linear, os valores observados (Xi, Yi) estão espalhados ao redor
da reta de regressão. Quanto menor for este espalhamento, melhor a reta de regressão representa
o conjunto de valores observados.
A análise de variância é baseada em um particionamento da variabilidade total na variável
resposta Y . Para obter este particionamento, a variância amostral total, como estimador do
espalhamento, pode ser decomposta da seguinte forma (após alguma álgebra):
n∑
i=1
(Yi − Y )2 =
n∑
i=1
(Ŷi − Y )2 +
n∑
i=1
(Yi − Ŷ )2,
em que
∑n
i=1(Yi − Y )2 é variação total;
∑n
i=1(Ŷi − Y )2 a variação explicada pela equação de
regressão; e,
∑n
i=1(Yi − Ŷ )2 é a variação não explicada.
Cada soma de quadrados está associada a certo número de graus de liberdade. Os desvios de
cada observação em relação às estimativas de E(Y ) têm graus de liberdade iguais a n subtráıdo
do número de parâmetros estimados em E(Y ). Assim, os desvios Yi − Y têm n − 1 graus de
liberdade; e os desvios Yi − Ŷi têm n− 2 graus de liberdade.
Desta forma podemos obter a ANAVA do modelo de regressão para realizar o teste de
hipóteses, {
H0 : β1 = 0
H1 : β1 6= 0
O procedimento para o teste pode ser sumarizado conforme Tabela 10.1. onde Fcal ∼
Fα, 1, (n−2). O teste leva a rejeição de H0 se Fcal > Fα, 1, (n−2).
Se X não influencia Y , então o valor esperado de Y pode ser estimado simplesmente pela
média aritmética Y das observações de Y . Mas se existe influência de X sobre Y , então deve
haver algum ganho em considerar a equação de regressão Ŷ = β̂0 + β̂1X.
171
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Tabela 10.1: Análise de variância da RLS
Fonte variação Soma quadrados gl Média quadrados Fcal
Regressão SQReg =
∑n
i=1(Ŷi − Y )2 1 QMReg =
SQReg
1
QMReg
QMRes
Erro SQRes =
∑n
i=1(Yi − Ŷ )2 n− 2 QMRes =
SQRes
n−2
Total SQTot =
∑n
i=1(Yi − Y )2 n− 1 QMTot =
SQTot
n−1
Exemplo: Obtenha a tabela ANAVA para os dados do exemplo inicial e faça as devidas inter-
pretações.
10.7 Funções linearizáveis
Nos modelos de regressão ditos lineares, a variável dependente é expressa como função linear dos
coeficientes de regressão. É irrelevante, nessa classificação, o facto de a forma funcional da relação
entre a variável dependente e as independentes ser não linear nestas, embora, frequentemente, os
modelos lineares (quanto aos coeficientes de regressão) sejam também lineares quanto às variáveis
independentes.
Há uma segunda classe de modelos que é posśıvel escrever, mediante uma transformação
adequada das variáveis, como função linear dos coeficientes. Diz-se, desses modelos, que são
linearizáveis. Um exemplo é da função de produção de Cobb-Douglas. O modelo original é
Q = αLβKδeu
em que Q não é uma função linear dos coeficientes α, β e δ. No entanto, se forem positivos
Q,α, L e K, o modelo logaritmizado (base neperiana)
logQ = γ + β logL+ δ logK + u
é tal que a variável dependente, logQ, é linear em γ, β e δ. Não é importante que a nova variável
dependente não seja linear em α: uma vez que γ = logα, há uma transformação biuńıvoca que
permite determinar α a partir de γ.
O quadro abaixo representa um sumário das formas funcionais linearizáveis mais comuns com
as respectivas equações originais e transformadas, assim como as restrições sobre as variáveis e/ou
parâmetros.
172
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
Tipo da função Forma original Forma linearizada Restrições
Linear y = A+BX nenhuma nenhuma
Logaŕıtmica Y = AXB log Y = logA+B · lnX Y > 0 e X > 0
Exponencial Y = ABX log Y = logA+ logB ·X Y > 0
Semilogaŕıtmica II eY = AXB Y = logA+B · logX X > 0
Hiperbólica I Y = A+B 1
X
Faz 1
X
em vez X X 6= 0
Hiperbólica II Y = 1
A+BX
1
Y
= A+BX Y 6= 0
Quadrática Y = A+BX + CX2 Usa-se X2 além de X nenhuma
Loǵıstica Y = M/(1 + be−mX) log(M/Y − 1) = log b−mX M é dado, M > Y e M > 0
onde log = logaritmo neperiano e e = 2, 71828..., base de log.
Exemplo 2: Os dados seguintes foram obtidos em diversos ensaios de tração, realizados em peças
de concreto durante o tempo de cura. Pede-se a equação de regressão de mı́nimos quadrados,
Tempo cura (dias) 1 3 5 7 25
Resistência (kgf) 10 20 27 31 38
onde Y = AB1/X .
10.8 Exerćıcios
1. Seja
X 1 2 4 6
Y 2 5 6 10
(a) Construa o diagrama de dispersão;
(b) Obtenha o coeficiente de correlação e classifique-o;
(c) Encontre a equação de regressão linear entre X e Y ;
(d) Calcule o coeficiente de determinação (ou de explicação) e comente o seu valor;
(e) Trace a equação da reta encontrada em b no diagrama de dispersão;
(f) Faça uma análise de reśıduos;
(g) Obtenha a ANAVA do modelo;
2. Suponha que um analista toma uma amostra aleatória de 10 carregamentos recentes por
caminhão feitos por uma empresa. Ele anota a distância em km e o tempo de entrega
ao meio dia mais próximo. Construa um diagrama de dispersão, a estimativa de r, uma
equação de regressão, a estimativa de R2, plote a equação da reta no diagrama. (X=
Distância, Y= tempo)
X 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
Y 15 10 12 9 7 8 5 4 3 4
173
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3. Suponha que queremos estudar o comportamento das variáveis X = quantidade produzida
de determinado produto, Y = custo da produção, dados pelo quadro:
X Y X Y
0 3 3 4
1 2 4 7
1 3 5 6
2 5 6 9
3 4 5 7
Determinar a relação de dependência entre X e Y fazendo uma análise de RLS completa.
4. Admite-se que as variáveis X e Y estão relacionadas de acordo com o modelo yi = β0 +
β1xi + ei onde os e
′
is são variáveis independentes N(0, σ
2). São dados os valores de uma
amostra de 14 observações:∑
xi = 140,
∑
yi = 728,
∑
(xi)
2 = 1456,
∑
(yi)
2 = 39424,
∑
xiyi = 7504
Determine as estimativas dos parâmetros da regressão de Y em relação a X.
5. Considere os dados de temperatura X e elasticidade (%) na ruptura de um certo material
Y :
X 59 63 68 72 74 78 83
Y 118 182 247 208 197 135 132
Faça um diagrama de dispersão.
6. Com respeito aos 23 alunos de uma turma de Estat́ıstica, foram observadas as variáveis
número de faltas e nota final da disciplina. Esses dados acuram a seguinte correlação,
descrita pelo coeficiente de correlação de Pearson: r = −0, 56. Comente as seguintes frases
relativas à turma em estudo e ao coeficiente obtido.
(a) “Como r = −0, 56 (correlação negativa moderada), nenhum aluno com grande número
de faltas tirou nota alta”.
(b) “Como as duas variáveis são correlacionadas, bastaria usar uma delas como critério
de avaliação, pois uma acarreta a outra”.
(c) “Os dados observados mostraram uma leve tendência de que a nota final se relaciona
inversamente com o número de faltas, ou seja, os alunos frequentadores tiveram, em
geral, melhor desempenho nas avaliações do que os alunos que faltaram muito”.
7. Um administrador de uma grande sorveteria anotou por um longo peŕıodo de tempo a
temperatura média diária, em oC(X), e o volume de vendas diárias de sorvete, em kg(Y ).
Com os dados, foi ajustada a seguinte equação de regressão:
y = 0, 5 + 1, 8x, comR2 = 0, 80
Pergunta-se:
174
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
(a) Qual o consumo esperado de sorvete num dia de 27oC?
(b) Qual é o incremento esperado nas vendas de sorvete a cada 1oC de aumento de tem-
peratura?
8. (Barbetta, 2001) Sejam X = nota na prova do vestibular de matemática e Y = nota final na
disciplina de cálculo. Estas variáveis foram observadas em 20 alunos, ao final do primeiro
peŕıodo letivo de um curso de engenharia. Os dados são apresentados a seguir:
X Y X Y X Y X Y X Y
39 65 43 78 21 52 64 82 65 88
57 92 47 89 28 73 75 98 47 71
34 56 52 75 35 50 30 50 28 52
40 70 70 50 80 90 32 58 67 88
(a) Construa um diagrama de dispersão e verifique se existe correlação entre os dados
observados destas duas variáveis.
(b) Existe algum aluno quefoge ao comportamento geral dos demais (ponto discrepante)?
(c) Calcule a correlação entre a nota no vestibular de matemática e a nota na disciplina
de cálculo.
(d) Retire o valor discrepante detectado e calcule novamente o coeficiente r. Interprete.
9. (Barbetta, 2001) A tabela a seguir relaciona os pesos (em centenas de kg) e as taxas de
consumo de combust́ıvel em rodovia (km/litro) numa amostra de 10 carros de passeio
novos.
Peso 12 13 14 14 16 18 19 22 24 26
Consumo 16 14 14 13 11 12 9 9 8 6
(a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson.
(b) Considerando o resultado do item a, como você avalia o relacionamento entre o peso
e o consumo, na amostra observada?
(c) Para estabelecer uma reta de regressão, qual deve ser a variável dependente e qual
deve ser a variável independente? Justifique a sua resposta.
(d) Estabeleça a equação de regressão, considerando a resposta do item c.
(e) Apresente o diagrama de dispersão e a reta de regressão obtida em d.
(f) Você considera adequado o ajuste do modelo de regressão do item d? Dê uma medida
desta adequação interpretando-a.
(g) Qual o consumo esperado para um carro de 2000kg? Lembrete: os dados de consumo
na tabela estão em centenas de kg.
(h) Você considera seu estudo capaz de predizer o consumo esperado para um carro de
7000kg? Justifique sua resposta.
175
UTFPR - Câmpus Toledo Professoras Daniela e Regiane
10. A vazão V de um rio e a altura fluviométrica h estão relacionadas através de V = AhB.
Usando o conceito de linearização, ajustar uma reta de mı́nimos quadrados para os resul-
tados experimentais seguintes
V 4,95 5,10 6,94 9,57 13,67 18,54
h 1,20 1,45 1,57 1,68 1,89 2,10
11. Foram realizados 5 ensaios para a determinação da resistência à compressão (30dias) do
concreto, em função da dosagem de água
lb água/kg cimento 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
resistência em kg/cm2 420 330 260 220 200
Pede-se a equação de regressão de mı́nimos quadrados. Supor que o modelo adequado é da
forma 1
Y
= A+BX.
176
Caṕıtulo 11
Bibliografia
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http://www.joinville.udesc.br/portal/professores/cristala/materiais/Unidade3aPesquisaCientifica.pdf
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Portal Action. http://www.portalaction.com.br/
R CORE TEAM. R: A language and environment for statistical computing. R founda-
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178
	1 Conceitos iniciais
	1.1 INTRODUÇÃO
	1.2 O que é ESTATÍSTICA????
	1.3 Pesquisas, dados, variabilidade e estatística
	1.4 Pesquisa Estatística
	1.4.1 Finalidade da Pesquisa
	1.4.2 Tipos de Pesquisas
	1.5 Estatística descritiva e inferência estatística
	1.6 População e amostra
	1.6.1 Terminologia Estatística
	1.7 Classificação das variáveis
	1.7.1 Variáveis qualitativas
	1.7.2 Variáveis quantitativas
	1.7.3 Natureza dos dados
	1.8 Exercícios
	2 Amostragem
	2.1 Amostragem probabilística
	2.1.1 Amostragem casual simples
	2.1.2 Amostragem sistemática
	2.1.3 Amostragem Estratificada
	2.1.4 Amostragem por meio de conglomerados
	2.2 Amostragem não-probabilística
	2.2.1 Amostragem a Esmo
	2.2.2 Amostragem intencional
	2.2.3 Amostragem por cota
	2.3 Exercícios
	3 Estatística Descritiva
	3.1 Organização e apresentação de dados
	3.1.1 Tabelas de distribuições de frequências
	3.1.2 Tabela de distribuição de frequências bidimensional
	3.2 Apresentações gráficas
	3.3 Medidas descritivas
	3.3.1 Medidas de tendência central
	3.3.2 Medidas de dispersão ou Medidas de Variabilidade
	3.3.3 Medidas de forma
	3.4 Exercícios
	4 Elementos de Probabilidade
	4.1 Probabilidades
	4.2 Experimento aleatório
	4.3 Espaço amostral
	4.4 Evento Amostral
	4.5 Definição axiomática de probabilidade
	4.6 Probabilidade condicional e independência
	4.7 Teorema da probabilidade total
	4.8 Teorema de Bayes
	4.9 Exercícios
	5 Distribuições de Probabilidade
	5.1 Variáveis aleatórias
	5.1.1 Variáveis aleatórias discretas
	5.1.2 Variáveis aleatórias contínuas
	5.2 Distribuições teóricas de probabilidades
	5.2.1 Principais distribuições teóricas discretas de probabilidades
	5.2.2 Principais distribuições teóricas contínuas de probabilidades
	5.3 Exercícios
	6 Tamanho amostral
	6.1 Introdução
	6.2 Dimensionamento de uma amostra
	6.2.1 Variável intervalar e população infinita
	6.2.2 Variável intervalar e população finita
	6.2.3 Variável Nominal ou ordinal e população infinita
	6.2.4 Variável Nominal ou ordinal e população finita
	7 Estimação
	7.1 Estimador e Estimativa
	7.2 Qualidades de um bom estimador
	7.3 Estimação por pontos
	7.3.1 Estimador da média populacional 
	7.3.2 Estimador da variância populacional 2
	7.3.3 Estimador do desvio padrão populacional 
	7.3.4 Estimador da proporção populacional P
	7.4 Estimação por intervalos
	7.4.1 I.C. para a média populacional 
	7.4.2 I.C. para a variância populacional 2
	7.4.3 I.C. para o desvio padrão populacional 
	7.4.4 I.C. para a proporção populacional p
	7.5 Exercícios
	8 Teste de hipóteses
	8.1 Introdução
	8.2 Passos para realizar um T.H.
	8.3 Teste para a média populacional 
	8.4 Teste para a diferença ente duas médias populacionais 1 e 2
	8.5 Teste para a variância populacional 2
	8.6 Teste para a igualdade de duas variâncias populacionais 12 e 22
	8.7 Teste para a proporção populacional p
	8.8 Teste para duas proporções populacionais
	8.9 Teste de normalidade
	8.10 Exercícios
	9 ANAVA
	9.1 Introdução
	9.2 Conceitos Básicos sobre Experimentação
	9.2.1 Tratamentos
	9.2.2 Unidade experimental ou parcela
	9.2.3 Repetição
	9.2.4 Variável resposta ou variável dependente
	9.2.5 Delineamento experimental (Design)
	9.2.6 Modelo associado
	9.3 ANAVA - fator único
	9.3.1 Testes de comparação de médias
	9.4 ANAVA - fator duplo sem repetição
	9.5 ANAVA - fator duplo com repetição
	9.6 Exercícios
	10 Regressão linear simples
	10.1 Introdução
	10.2 Exemplo motivacional
	10.3 Gráfico de dispersão
	10.4 Correlação
	10.5 O modelo probabilístico de RLS
	10.5.1 Estimação dos parâmetros 0 e 1
	10.6 Verificação do ajuste
	10.6.1 Coeficiente de explicação
	10.6.2 Análise de variância do modelo
	10.7 Funções linearizáveis
	10.8 Exercícios
	11 Bibliografia