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1
Prof. Charles Way Hun Fung
Sinais e sistemas
Aula 2
Conversa Inicial
Representação de sinais através de impulsos 
unitários
Convolução em tempo discreto – soma
Convolução em tempo contínuo – integral
Propriedades dos sistemas LIT
Exemplo
Temas desta aula
Representação de sinais através de 
impulsos unitários
Sistemas lineares e invariantes no tempo 
(LIT)
Entrada x[n] produz uma saída y[n]
Por superposição (linear):
Fonte: (Oppenhein, 2010)
��	�� � → �� � 	
��ã
, ������ � → ������ � 	 �
=
x[n] é um somatório 
ponderado de impulsos 
unitários 
Fonte: (Oppenhein,2010)
Fonte: (Oppenhein,2010)
� � � � � � � � � � 	 �
�
����
x[n]
-4 -1
-3 -2 0 1 4 n
2 3 ∙∙∙
∙∙∙
� �� � �� �
∙∙∙∙∙∙
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n
� �	 � �� 	+
∙∙∙∙∙∙ -4 -3 -2 0 1 2 3 4
-1
n
+
∙∙∙∙∙∙
n
� � � �
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
+
∙∙∙∙∙∙
� 	 � � � 	
n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
+
∙∙∙∙∙∙
� � � � � �
n-4 -3 -2 -1 0 1 3 4
-2
2
Resposta ao impulso unitário
Considerando a invariância no tempo
� � Sistema Linear � �
� � → � � 		 �
� � � � → � � � � 		 �
Fonte: Oppenhein, 2010 (adaptado)
Como todo sinal é composto de uma 
somatória ponderada de impulsos unitários:
Soma de convolução
� � � � � � � � � � 	→ � � �
�
����
� � � � � � � 		 �
�
����
Convolução em tempo discreto: soma
Soma de convolução:
Símbolo da convolução:
Podemos caracterizar um sistema LIT 
por sua resposta ao impulso unitário
� � � � � � � � � � 	 	�!
�
����
� � � � � ∗ � � 	 		
Resolução de uma convolução
Passo 1 – escrever os sinais x[n] e h[n] 
em termos de pulsos unitários
Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado)
2
2 1
1
� �
� �
�
�
Passo 2 – trocar n por k
Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado)
2
2 1
1
� �
� �
�
�
0 5-5
3
Passo 3 – Rebater em relação à origem o 
sinal h[k] para h[–k]
Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado)
2
2 1
1
� �
� ��
�
�
0 5-5
Passo 4 – deslocar à esquerda o sinal h[k] 
para antes do sinal x[k]
2 1
� �
� �� � �
�
�
0 5-5
50-5
� � ��
Fonte: Zibetti,2012.
Passo 5 – fazer a multiplicação ponto a 
ponto e depois somar
x
5
5
� �
12
0
0
-5
-5
� � ��� ��� �
�
�
5-5 0 �
� � � ��� �
�� �� � �
5-2 0
�
� � � � ��� �
�
����
Fonte: Zibetti,2012.
x
5
5
� �
12
0
0
-5
-5
� � �	� �	� �
�
�
5-5 0 �
� � � �	� �
�� �	 � #
5-1 0
�
� � � � �	� �
�
����
4
4
Fonte: Zibetti,2012.
0
x
5
5
� �
12
0-5
-5
� � �
�
�
5-5 0 �
� � � ��
�� � � �� � � #
50
�
� � � � ��
�
����
4
2
� ��
Fonte: Zibetti,2012.
0
x
5
5
� �
12
0-5
-5
� � 	
�
�
5-5 0 �
� � � 	� �
�� 	 � 	
50
�
� � � � 	� �
�
����
4
1
� 	��
1
1
4
Fonte: Zibetti,2012.
0
x
5
5
� �
12
0-5
-5
� � �
�
�
5-5 0 �
� � � �� �
�� � � �
50
�
� � � � �� �
�
����
4
1
� ���
1
2
4
1
0 5
�
Fonte: Zibetti,2012.
Convolução em tempo 
contínuo: integral
Curva contínua é composta por diversos 
degraus com largura que tende a zero
∙∙∙∙ ∙∙∙∙
∙∙∙
x(t)
t�∆		�			∆					�∆ �∆
Cada degrau, quando a largura tende a zero, 
é o impulso unitário contínuo
�∆ � % 	∆ , � & � ' 	∆�, (�)
	(
��*á*,
 	�!
Podemos então considerar a curva contínua 
como um somatório ponderado de impulsos
Fonte: (Oppenhein,2010)
� � � � � �∆ �∆ � � �∆ ∆	 	-
�
����
� ��∆!�∆ � � �∆ ∆
� ��∆!
��∆ � ∆ �
� �∆!�∆ � � ∆ ∆
� �∆!
�∆		� �
� �!�∆ � ∆
� �!
0			∆	 �
� ∆!�∆ � � ∆ ∆
� ∆!
∆			�∆	 �
5
Da mesma forma que o discreto, um impulso 
unitário produz uma saída h(t)
Aplicando o princípio da superposição: 
Fazendo ∆ tender a zero:
� � /01∆→� � � �∆ �∆ � � �∆ ∆	→ � � � /01∆→� � � �∆ �∆ � � �∆ ∆ 	�
�
����
�
����
�∆ � � �∆ → �� � � �∆ 	�
� � � 	 2 � 3 � � � 3 43 → � � � 2 � 3 � � � 3 43	 	�
�
��
�
��
Integral de convolução
Supor dois sinais para x e h:
� 3 � ���35 3 	�� 3 � 5 3 	 ��
Fonte: (Oppenhein,2010)
� 3
	
� 3
� 3
� 3
	
Passo 1 – fazer o rebatimento de h(τ) para 
h(–τ)
Passo 2 – fazer o deslocamento para h(t–τ)
Fonte: (Oppenhein,2010)
� � � 3
� ' �
	
� � 3
� � � 3
�� 3
� 6 �
Passo 3 – Multiplicação ponto a ponto em τ
A região em comum é de 0 a t entre x(t) e 
h(t–τ)
Fonte: (Oppenhein,2010)
1
0 t
� 3 � � � 3
Passo 4 – integrar em τ
Fonte: (Oppenhein,2010)
� � � 2���343 � 	� 	 � ���� 5 � ��
�
�
	�
� �
Propriedades de sistemas LIT
6
A resposta do sistema depende 
apenas da resposta ao impulso
Pode ser aplicada em outros 
sistemas, mas não é garantido 
que funcione
Comutação
A ordem dos operandos não faz diferença 
para o resultado da operação
� � ∗ � � � � � ∗ � � � 2 � 3 � � � 3 43		 �-
7�
��
� � ∗ � � � � � � � �� � � � � � � * � * � � � ∗ � �
�
*���
	 �#
�
����
Distributiva
� � ∗ �	 � � �� � � � � ∗ �	 � � � � ∗ �� � 	 �8
� � ∗ �	 � � �� � � � � ∗ �	 � � � � ∗ �� � 	 ��
Associativa
Causalidade
O sistema depende apenas de valores 
passados e presentes
� � ∗ �	 � � �� � � � � ∗ �	 � ! ∗ �� � 	 ��
� � ∗ �	 � ∗ �� � � � � ∗ �	 � ! ∗ �� � 	 ��
� � � �, 9�*�	� ' �	 ��� � � �, 9�*�	� ' �	 -�!
Estabilidade
Entrada limitada resulta em saída limitada
Operador identidade
:����� � � ' ∞ -	
2 � � 43 ' ∞ -�
�
��
� � � � � � � � �
� � � 2 � 3 � � � 3 43		 --!
�
��
Operador de deslocamento
Faz o deslocamento do sinal de entrada no 
tempo
� � � � � �� � � � � � � ��
� � � 2 � 3 � � � �� � 3 43 � 2 � 3 � �� � � � 3 43 � � � � �� -#
�
��
�
��
7
Exemplo
Considere a convolução dos dois sinais a 
seguir:
Exemplo disponível em Oppenheim, 2010
� � � < 	, � ' � ' =�, (�)
	(
��*á*,
� � � < �, � ' � ' �=�, (�)
	(
��*á*,
Passo 1 – fazer o rebatimento de para h(τ) 
para h(–τ)
Passo 2 – fazer o deslocamento para h(t–τ)
� 3
	
� = 3
� � � 3
�� 3
�= � ' �
� � �=
Fonte: Oppenheim, 2010 Fonte: Oppenheim, 2010
� � � 3!
�= � ' � ' =
� �� � �= 3
� � � 3!
�= = ' � ' �=
� �� � �= 3
� � � 3!
�= �= ' � ' -=
� �� � �= 3
� � � 3!
�=
� 6 -=
� �� � �= 3
Fazendo as multiplicações de x(τ) por h(t–τ)
� � �
	� ��, 	� ' � ' =
=� � 	�=�, 	= ' � ' �=
� 	� �� � =� � -�=�							�= ' � ' -=
(a) � 3 � � � 3
�
�� 3
� ' � ' =
(b) � 3 � � � 3
�
=� 3
= ' � ' �=
� � =
(c) � 3 � � � 3
� � =
= 3
�= ' � ' -=
� � �=
�=
Fonte: Oppenheim, 2010
Resultado da convolução
Fazendo a integral de cada um dos 
intervalos, a curva resultante é:
y(t)
0 T 2T 3T t
Fonte: Oppenheim, 2010