Prévia do material em texto
1 Prof. Charles Way Hun Fung Sinais e sistemas Aula 2 Conversa Inicial Representação de sinais através de impulsos unitários Convolução em tempo discreto – soma Convolução em tempo contínuo – integral Propriedades dos sistemas LIT Exemplo Temas desta aula Representação de sinais através de impulsos unitários Sistemas lineares e invariantes no tempo (LIT) Entrada x[n] produz uma saída y[n] Por superposição (linear): Fonte: (Oppenhein, 2010) �� �� � → �� � ��ã , ������ � → ������ � � = x[n] é um somatório ponderado de impulsos unitários Fonte: (Oppenhein,2010) Fonte: (Oppenhein,2010) � � � � � � � � � � � � ���� x[n] -4 -1 -3 -2 0 1 4 n 2 3 ∙∙∙ ∙∙∙ � �� � �� � ∙∙∙∙∙∙ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n � � � �� + ∙∙∙∙∙∙ -4 -3 -2 0 1 2 3 4 -1 n + ∙∙∙∙∙∙ n � � � � -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + ∙∙∙∙∙∙ � � � � n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 + ∙∙∙∙∙∙ � � � � � � n-4 -3 -2 -1 0 1 3 4 -2 2 Resposta ao impulso unitário Considerando a invariância no tempo � � Sistema Linear � � � � → � � � � � � � → � � � � � Fonte: Oppenhein, 2010 (adaptado) Como todo sinal é composto de uma somatória ponderada de impulsos unitários: Soma de convolução � � � � � � � � � � → � � � � ���� � � � � � � � � � ���� Convolução em tempo discreto: soma Soma de convolução: Símbolo da convolução: Podemos caracterizar um sistema LIT por sua resposta ao impulso unitário � � � � � � � � � � �! � ���� � � � � � ∗ � � Resolução de uma convolução Passo 1 – escrever os sinais x[n] e h[n] em termos de pulsos unitários Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado) 2 2 1 1 � � � � � � Passo 2 – trocar n por k Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado) 2 2 1 1 � � � � � � 0 5-5 3 Passo 3 – Rebater em relação à origem o sinal h[k] para h[–k] Fonte: Zibetti, 2012. (adaptado) 2 2 1 1 � � � �� � � 0 5-5 Passo 4 – deslocar à esquerda o sinal h[k] para antes do sinal x[k] 2 1 � � � �� � � � � 0 5-5 50-5 � � �� Fonte: Zibetti,2012. Passo 5 – fazer a multiplicação ponto a ponto e depois somar x 5 5 � � 12 0 0 -5 -5 � � ��� ��� � � � 5-5 0 � � � � ��� � �� �� � � 5-2 0 � � � � � ��� � � ���� Fonte: Zibetti,2012. x 5 5 � � 12 0 0 -5 -5 � � � � � � � � � 5-5 0 � � � � � � � �� � � # 5-1 0 � � � � � � � � � ���� 4 4 Fonte: Zibetti,2012. 0 x 5 5 � � 12 0-5 -5 � � � � � 5-5 0 � � � � �� �� � � �� � � # 50 � � � � � �� � ���� 4 2 � �� Fonte: Zibetti,2012. 0 x 5 5 � � 12 0-5 -5 � � � � 5-5 0 � � � � � � �� � 50 � � � � � � � � ���� 4 1 � �� 1 1 4 Fonte: Zibetti,2012. 0 x 5 5 � � 12 0-5 -5 � � � � � 5-5 0 � � � � �� � �� � � � 50 � � � � � �� � � ���� 4 1 � ��� 1 2 4 1 0 5 � Fonte: Zibetti,2012. Convolução em tempo contínuo: integral Curva contínua é composta por diversos degraus com largura que tende a zero ∙∙∙∙ ∙∙∙∙ ∙∙∙ x(t) t�∆ � ∆ �∆ �∆ Cada degrau, quando a largura tende a zero, é o impulso unitário contínuo �∆ � % ∆ , � & � ' ∆�, (�) ( ��*á*, �! Podemos então considerar a curva contínua como um somatório ponderado de impulsos Fonte: (Oppenhein,2010) � � � � � �∆ �∆ � � �∆ ∆ - � ���� � ��∆!�∆ � � �∆ ∆ � ��∆! ��∆ � ∆ � � �∆!�∆ � � ∆ ∆ � �∆! �∆ � � � �!�∆ � ∆ � �! 0 ∆ � � ∆!�∆ � � ∆ ∆ � ∆! ∆ �∆ � 5 Da mesma forma que o discreto, um impulso unitário produz uma saída h(t) Aplicando o princípio da superposição: Fazendo ∆ tender a zero: � � /01∆→� � � �∆ �∆ � � �∆ ∆ → � � � /01∆→� � � �∆ �∆ � � �∆ ∆ � � ���� � ���� �∆ � � �∆ → �� � � �∆ � � � � 2 � 3 � � � 3 43 → � � � 2 � 3 � � � 3 43 � � �� � �� Integral de convolução Supor dois sinais para x e h: � 3 � ���35 3 �� 3 � 5 3 �� Fonte: (Oppenhein,2010) � 3 � 3 � 3 � 3 Passo 1 – fazer o rebatimento de h(τ) para h(–τ) Passo 2 – fazer o deslocamento para h(t–τ) Fonte: (Oppenhein,2010) � � � 3 � ' � � � 3 � � � 3 �� 3 � 6 � Passo 3 – Multiplicação ponto a ponto em τ A região em comum é de 0 a t entre x(t) e h(t–τ) Fonte: (Oppenhein,2010) 1 0 t � 3 � � � 3 Passo 4 – integrar em τ Fonte: (Oppenhein,2010) � � � 2���343 � � � ���� 5 � �� � � � � � Propriedades de sistemas LIT 6 A resposta do sistema depende apenas da resposta ao impulso Pode ser aplicada em outros sistemas, mas não é garantido que funcione Comutação A ordem dos operandos não faz diferença para o resultado da operação � � ∗ � � � � � ∗ � � � 2 � 3 � � � 3 43 �- 7� �� � � ∗ � � � � � � � �� � � � � � � * � * � � � ∗ � � � *��� �# � ���� Distributiva � � ∗ � � � �� � � � � ∗ � � � � � ∗ �� � �8 � � ∗ � � � �� � � � � ∗ � � � � � ∗ �� � �� Associativa Causalidade O sistema depende apenas de valores passados e presentes � � ∗ � � � �� � � � � ∗ � � ! ∗ �� � �� � � ∗ � � ∗ �� � � � � ∗ � � ! ∗ �� � �� � � � �, 9�*� � ' � ��� � � �, 9�*� � ' � -�! Estabilidade Entrada limitada resulta em saída limitada Operador identidade :����� � � ' ∞ - 2 � � 43 ' ∞ -� � �� � � � � � � � � � � � � 2 � 3 � � � 3 43 --! � �� Operador de deslocamento Faz o deslocamento do sinal de entrada no tempo � � � � � �� � � � � � � �� � � � 2 � 3 � � � �� � 3 43 � 2 � 3 � �� � � � 3 43 � � � � �� -# � �� � �� 7 Exemplo Considere a convolução dos dois sinais a seguir: Exemplo disponível em Oppenheim, 2010 � � � < , � ' � ' =�, (�) ( ��*á*, � � � < �, � ' � ' �=�, (�) ( ��*á*, Passo 1 – fazer o rebatimento de para h(τ) para h(–τ) Passo 2 – fazer o deslocamento para h(t–τ) � 3 � = 3 � � � 3 �� 3 �= � ' � � � �= Fonte: Oppenheim, 2010 Fonte: Oppenheim, 2010 � � � 3! �= � ' � ' = � �� � �= 3 � � � 3! �= = ' � ' �= � �� � �= 3 � � � 3! �= �= ' � ' -= � �� � �= 3 � � � 3! �= � 6 -= � �� � �= 3 Fazendo as multiplicações de x(τ) por h(t–τ) � � � � ��, � ' � ' = =� � �=�, = ' � ' �= � � �� � =� � -�=� �= ' � ' -= (a) � 3 � � � 3 � �� 3 � ' � ' = (b) � 3 � � � 3 � =� 3 = ' � ' �= � � = (c) � 3 � � � 3 � � = = 3 �= ' � ' -= � � �= �= Fonte: Oppenheim, 2010 Resultado da convolução Fazendo a integral de cada um dos intervalos, a curva resultante é: y(t) 0 T 2T 3T t Fonte: Oppenheim, 2010