Unidade 3 - Parte 3

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 3: (Parte 3) 
3.3 Gráficos de Equações em Coordenadas Polares 
O gráfico de F(𝑟, 𝜃) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares 
satisfazem a equação. É comum apresentarmos a equação numa forma explícita, isto é: 
𝑟 = 𝑓(𝜃). 
Na prática, os seguintes procedimentos poderão nos auxiliar no esboço do gráfico: 
i) calcular os pontos de máximo e/ou de mínimo; 
ii) encontrar os valores de 𝜃 para os quais a curva passa pelo pólo; 
iii) verificar simetrias. Se, 
- a equação não se altera quando substituímos 𝑟 por – 𝑟, existe simetria em relação à 
origem; 
- a equação não se altera quando substituímos 𝜃 por – 𝜃, existe simetria em relação ao 
eixo polar ( ou eixo dos x); 
- a equação não se altera quando substituímos 𝜃 por 𝜋 − 𝜃, existe simetria em relação 
ao eixo 𝜃 =
𝜋
2
 (eixo y). 
Exemplos: 
1) Esboçar a curva 𝑟 = 2 (1 − cos 𝜃). 
* verificar as simetrias: 
𝑟 = 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) = 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠(−𝜃)) 
 
 
 
 
 
 
𝑟 = 2 (1 − cos 𝜃) ≠ 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜋 − 𝜃)) 
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Logo, existe em relação ao eixo polar. 
Assim, basta analisar valores de 𝜃 tais que 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Façamos 𝑟 = 𝑓(𝜃). Logo, 
𝑓(𝜃) = 2(1 − cos 𝜃) 
Aplicando o teste da derivada segunda para determinar os extremos da função, temos: 
𝑓′(𝜃) = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 e 𝑓′′(𝜃) = 2 cos 𝜃 
Fazendo 𝑓′(𝜃) = 0, achamos os pontos críticos. 
2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 0 ou 𝜃 = 𝜋 
Substituindo os pontos críticos na derivada segunda, temos: 
𝑓′′(0) = 2 cos 𝜃 = 2 > 0 é ponto de mínimo 
𝑓′′(𝜋) = 2 cos 𝜋 = −2 < 0 é ponto de máximo 
Logo, (0,0) é ponto de mínimo e (4, 𝜋) é ponto de máximo. 
Por fim, construímos o gráfico, a partir de alguns pontos da curva: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3.1 Algumas Equações em Coordenadas Polares e Seus Respectivos Gráficos 
1) Equações de retas. 
a) 𝜃 = 𝜃0 ou 𝜃 = 𝜃0 ± 𝑛𝜋, 𝑛 ∈ ℤ é uma reta que passa pelo pólo e faz um ângulo de 𝜃0 
ou 𝜃0 ± 𝑛𝜋 radianos com eixo polar. 
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b) 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑎 e 𝑟 cos 𝜃 = 𝑏, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ são retas paralelas aos eixos polar e 
𝜋
2
, 
respectivamente. 
 
 
2) Circunferências 
a) 𝑟 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ é uma circunferência centrada no pólo e raio |𝑐|. 
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b) 𝑟 = 2𝑎 cos 𝜃 é uma circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo 𝜃 =
𝜋
2
: 
- se 𝑎 > 0, o gráfico está à direita do pólo; 
- se 𝑎 < 0, o gráfico está à esquerda do pólo. 
 
c) 𝑟 = 2𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃 é uma circunferência de centro no eixo 
𝜋
2
 e que tangencia o eixo polar: 
- se 𝑏 > 0, o gráfico está acima do pólo; 
- se 𝑏 < 0, o gráfico está abaixo do pólo. 
 
 
 
 
 
 
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3) Limaçons 
𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 cos 𝜃 ou 𝑟 = 𝑎 ± 𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃, onde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ são limaçons. Temos: 
- se 𝑏 > 𝑎, então o gráfico tem um laço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- se 𝑏 = 𝑎, então o gráfico tem formato de um coração, por isso é conhecido com 
𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖ó𝑖𝑑𝑒. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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- se 𝑏 < 𝑎, então o gráfico não tem laço. 
 
 
Observamos que na primeira figura este item, usamos 𝑎 = 1 e 𝑏 = 2, na segunda 
usamos 𝑎 = 𝑏 = 1 e na terceira usamos 𝑎 = 3 e 𝑏 = 2. 
4) Rosáceas 
𝑟 = 𝑎 cos 𝑛 𝜃 ou 𝑟 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑟 𝜃, onde 𝑎 ∈ ℝ e 𝑛 ∈ Iℕ são rosáceas: 
- se n é par, temos uma rosácea de 2𝑛 pétalas. 
 
 
 
 
 
 
 
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- se 𝑛 é ímpar, temos uma rosácea de 𝑛 pétalas. 
 
Observamos que na primeira figura deste item, usamos 𝑎 = 1 e 𝑛 = 4, na segunda 
usamos 𝑎 = 1 e 𝑛 = 5. 
5) Lemniscatas 
𝑟2 = ±𝑎2 cos 2𝜃 ou 𝑟2 = ±𝑎2𝑠𝑒𝑛 2𝜃, onde 𝑎 ∈ ℝ são lemniscatas. 
 
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Observamos na figura que foi usado 𝑎 = 1. 
6) Espirais 
As equações seguintes representam algumas espirais: 
𝑎) 𝑟𝜃 = 𝑎, 𝑎 > 0 - espiral hiperbólica; 
b) 𝑟 = 𝑎𝜃, 𝑎 > 0 - espiral de Arquimedes; 
c) 𝑟 = 𝑒𝑎𝜃 - espiral logarítmica; 
d) 𝑟2 = 𝜃 - espiral parabólica. 
As figuras abaixo ilustram estas espirais.