Método de Eliminação de Gauss

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MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS 
(QUANDO FRAÇÃO) – ESTRATÉGIA DA PIVOTAÇÃO 
 
O método de eliminação de Gauss consiste em transformar um sistema 
linear Ax=b em um sistema triangular equivalente, zerando todos os aij 
abaixo da diagonal principal com i > j. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
�
�
�
�
�
=−+
=++
=++
3234
2211
1423
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
A primeira etapa do processo consiste em “zerar” os elementos da primeira 
coluna, abaixo da diagonal principal. 
A primeira linha é chamada de linha pivô e o elemento a11 é chamado de 
pivô desta primeira etapa ( )011 ≠a . 
 
1.° Passo: multiplicador. 
 
3
1
21
11
21
21 =�= ma
a
m 
 
2.º Passo: multiplicamos a linha pivô pelo multiplicador. 
 
3
1
3
4
3
2
1
3
1
1
3
1
4
3
1
2
3
1
3 ⋅⋅⋅⋅
 
 
3.º Passo: determinamos a diferença entre os elementos da 2.ª linha pela 
linha pivô, multiplicada por m21 (2.º Passo). 
 
( )
( ) �
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
�
�
�
�
	
� −�
�
�
	
� −�
�
�
	
� −−
3
5
3
2
3
1
0
3
1
2
3
4
2
3
2
111
 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
 
3
2
1
33
2322
131211
00
0
b
b
b
a
aa
aaa
�
�
�
�
�
 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
− 3234
2211
1423
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A matriz inicial fica sendo: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
	
	
	
	
�
− 3234
3
5
3
2
3
1
0
1423
 
 
Repetir o processo para a 3.ª linha. 
 
1.º Passo: multiplicador. 
 
3
4
31
11
31
31 =�= ma
a
m 
 
2.º Passo: multiplicamos a linha pivô pelo multiplicador. 
 
3
4
3
16
3
8
4
3
4
1
3
4
4
3
4
2
3
4
3 ⋅⋅⋅⋅
 
 
3.º Passo: determinamos a diferença entre os elementos da 3.ª linha, pela 
linha pivô multiplicada por m31 (2.º Passo). 
 
( )
( ) �
�
�
	
�
�
�
�
	
�−�
�
�
	
�
�
�
�
	
� −�
�
�
	
� −−�
�
�
	
� −−
3
5
3
22
3
1
0
3
4
3
3
16
2
3
8
344
 
 
 
 
A matriz fica sendo: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
	
	
	
	
�
−
3
5
3
22
3
1
0
3
5
3
2
3
1
0
1423
 
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2.ª Etapa é trabalhar com uma matriz de 2.ª ordem (tracejado). 
A primeira linha da matriz de 2.ª ordem, vai se chamar linha pivô, e o 
elemento a´11 vai se chamar pivô. 
 
A matriz fica sendo: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
	
	
	
	
�
−
3
5
3
22
3
1
0
3
5
3
2
3
1
0
1423
 
 
1.º Passo: (multiplicador) 
 
1
3
1
3
1
11
21
21 ==′
′
=′
a
a
m 
 
2.º Passo: multiplicar a linha pivô pelo multiplicador. 
 
3
5
3
2
3
1
1
3
5
1
3
2
1
3
1 ⋅⋅⋅
 
 
3.º Passo: determinar a diferença entre os elementos da 2.ª linha, pela linha 
pivô multiplicada por m´21 (2.º Passo). 
 
0
3
24
0
3
5
3
5
3
2
3
22
3
1
3
1
−
�
�
�
	
� −�
�
�
	
� −−�
�
�
	
� −
 
 
A matriz fica sendo: 
 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	
	
	
	
	
�
− 0
3
24
00
3
5
3
2
3
1
0
1423
 
pivô 
Linha pivô 
 – 
3
24 x3 = 0� x3 = 0 
3
1 x2 + 
3
2 x3 =
3
5
� 
3
1 x2 =
3
5
� x2 = 5 
3x1 + 2x2 + 4x3 = 1� 3x1 + 2.5 + 4.0 = 1 
3x1 + 10 = 1� 3x1 = 1 – 10� x1 = – 
3
9
 = -3 
 S = {-3; 5; 0}