Módulo 2 --1

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ESTATÍSTICA
(ADMINISTRAÇÃO)
Prof. M.Sc. Waldomiro Bezerra de Queiroz
waldomiro.queiroz@gmail.com
Estatística e
análise exploratória
de dados
1
ADMINISTRAÇÃO
OBJETIVOS DO CAPÍTULO
• Entender as origens e os propósitos da Estatística
• Compreender a importância da análise de dados
• Classificar variáveis e casos
• Diferenciar variáveis qualitativas e quantitativas
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
A estatística pode ser formalmente conceituada
como a ciência que tem por objetivo a coleção, a
análise e a interpretação de dados qualitativos ou
numéricos a respeito de fenômenos coletivos ou de
massa.
ADMINISTRAÇÃO
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
A palavra estatística teria sido cunhada,
possivelmente por Gottfried Achenwall, acadêmico
alemão, por volta da metade do século XVIII, sendo
que seu verbete em inglês, statistics, apareceu na
Enciclopédia Britânica pela primeira vez em 1797.
ADMINISTRAÇÃO
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
Indícios encontrados sugerem a existência de
censos muito antigos, realizados por volta de 3000 a.
c., na Babilônia, China e Egito. A Bíblia ilustra esta
constatação histórica. O livro quarto (Números) do
velho testamento começa com uma instrução a
Moisés: fazer um levantamento dos homens de Israel
que estão aptos para guerrear.
ADMINISTRAÇÃO
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
Outro fato estatístico bíblico relevante ocorreu na
época do imperador romano César Augusto: um
edito solicitou a realização de censo em todo o
império. Segundo a Bíblia, por essa razão Maria e
José viajaram ao Egito.
ADMINISTRAÇÃO
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
Em 1085, Guilherme, o Conquistador, ordenou a
realização de um levantamento estatístico da
Inglaterra, que deveria incluir informações sobre
terras, proprietários, uso da terra, animais e
empregados. Este levantamento serviria de base
para o cálculo de impostos.
ADMINISTRAÇÃO
INTRODUÇÃO HISTÓRICA
No século XVII, a Estatística ganhou destaque na
Inglaterra a partir das tábuas de mortalidade, a
aritmética política, de Jonh Graunt, que consistiu na
análise extensa de nascimentos e mortes.
ADMINISTRAÇÃO
ATUALMENTE
Atualmente, pode-se definir Estatística como a
ciência que se preocupa com a organização,
descrição, análise, e interpretação de dados. Ou seja,
por meio da análise de dados brutos, a Estatística
preocupa-se com a extração de informações - que
permitem o processo de tomada de decisões.
ADMINISTRAÇÃO
ATUALMENTE
O
que
fazer
?
Informação
Decisão
Dados
Estatística
ADMINISTRAÇÃO
ANALISANDO OS DADOS
Freqüências
Média
Mediana
Desvio-Padrão
ADMINISTRAÇÃO
TORTURANDO OS DADOS
Informação
Dados
Estatís
tica
ADMINISTRAÇÃO
DADOS E INFORMAÇÃO
Garimpando os
dados …
Para obter
informação!
ADMINISTRAÇÃO
DIVISÃO DA ESTATÍSTICA
• Estatística descritiva
• Estatísticas das probabilidades
• Estatística inferencial ou indutiva
ADMINISTRAÇÃO
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Muitas vezes apresentada como Estatística,
simplesmente. Sua principal função consiste em
resumir dados e informações investigadas, expondo-
os da maneira mais prática possível.
ADMINISTRAÇÃO
ESTATÍSTICA DAS PROBABILIDADES
Seu uso surgiu com o intuito de planejar jogadas
ou estratégia em jogos de azar. Posteriormente suas,
aplicações se ampliaram, alcançando pesquisas
como as realizadas pelo IBGE.
ADMINISTRAÇÃO
ESTATÍSTICA INFERENCIAL
Representa o estudo dos dados de amostras com
o objetivo de entender o comportamento do universo.
Em algumas ocasiões, representa o complemento da
estatística descritiva, visto que ela parte da
interpretação de uma amostra para a caracterização
de todo um grupo.
ADMINISTRAÇÃO
A ESTATÍSTICA E OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS
A estatística fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de
dados. Os resultados pode ser utilizados para
planejamentos, tomadas de decisões ou formulação
de soluções.
ADMINISTRAÇÃO
PASSOS DA METODOLOGIA ESTATÍSTICA
• definição dos objetivos;
• planejamento e elaboração da coleta de dados;
• classificação dos dados e apresentação dos valores
numéricos;
• análise dos resultados;
• elaboração do relatório com as conclusões.
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA
O estudo e desenvolvimento estatístico têm
origem numa pesquisa; assim sendo, convém
detalharmos algumas definições básicas da
estatística, tais como população, amostra e variável.
ADMINISTRAÇÃO
POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO
É o conjunto da totalidade de indivíduos que
apresentam uma característica comum, cujo
comportamento se quer analisar (inferir). Ou ainda,
podemos dizer que a população é caracterizada por
ser o conjunto dos elementos que formam o universo
de nosso estudo.
ADMINISTRAÇÃO
POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO
Quanto ao número de elementos, a população
pode ser finita ou infinita, ou seja, o número de
elementos a ser investigado pode ser pequeno,
grande, muito grande ou infinito.
A população pode ser constituída por pessoas,
animais, minerais, vegetais etc.
ADMINISTRAÇÃO
PARA EXEMPLIFICAR...
Febre aviária
Acidentes do trabalho numa empresa
Espécies arbóreas das formações vegetais
Treinamento de resistência física
Fiscalização de velocidade numa rodovia
Concentração de monóxido de carbono
Pesquisa:
 aves
 Funcionários da empresa
 árvores
 atletas
 veículos
 ar
População:
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRA
A amostra é um subconjunto da população, ou
seja, é um conjunto de elementos extraídos da
população. Embora seja constituída por uma parte da
população em estudo, a amostra deve permitir a
obtenção de dados representativos dessa população.
ADMINISTRAÇÃO
PARA EXEMPLIFICAR...
• para se verificar a qualidade das geladeiras
produzidas por uma determinada indústria, não é
necessária a checagem de todas as unidades
produzidas, basta que se analise uma amostra
escolhida de acordo com os padrões de
representatividade sugeridos pela estatística.
ADMINISTRAÇÃO
PARA EXEMPLIFICAR...
• para se verificar a quantidade de minerais na água de
uma fonte, retira-se uma pequena quantidade de água
para a análise;
• na Receita Federal, a escolha dos contribuintes, para
verificação detalhada das declarações de renda, é
feita por amostragem.
ADMINISTRAÇÃO
VARIÁVEIS
São características que podem ser observadas (ou
medidas) em cada elemento da população, ou, ainda,
é um conjunto de resultados possíveis de um
fenômeno.
A variável pode ser:
a) Qualitativa
b) Quantitativa
ADMINISTRAÇÃO
VARIÁVEL QUALITATIVA
Quando expressa uma qualidade ou atributo. Ex.:
Sexo, cor da pele, estado civil, cidade natal, fruta
preferida etc.
Maneira prática de identificar a variável qualitativa:
quando é feita uma pergunta na pesquisa e a resposta
é expressa através de “palavras”.
ADMINISTRAÇÃO
VARIÁVEL QUANTITATIVA
Quando os valores são expressos por números. Ex.
: idade, salários, notas da avaliação, comprimentos,
número de sinistros etc.
Maneira prática de identificar a variável quantitativa:
quando a resposta para uma pergunta feita na
pesquisa é expressa em “valores numéricos”.
ADMINISTRAÇÃO
VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA
Assume inúmeros valores numéricos entre dois
limites, ou seja, pode assumir valores decimais.
Exemplo: tempo de espera na fila do supermercado
(esta variável pode assumir valores decimais como
1,30 min., 1,34 min., 1,35 min., 1,38 min. etc.
ADMINISTRAÇÃO
VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA
Assume apenas os valores de um conjunto
enumerável, ou seja, pode assumir apenas valores
inteiros.
Exemplo: número de latas de ervilha dentro da caixa
(esta variável pode assumir valores do conjunto {1, 2,
3, 4 ...}.
ADMINISTRAÇÃO
NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS
A norma NBR 5891 da Associação Brasileira de
Normas Técnicas (ABNT) estabelece as regras fixas
de arredondamento na numeração decimal, em uso na
atualidade. Essa regras estão de acordo com a
resolução 886/66 do IBGE.
ADMINISTRAÇÃO
NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS
1. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado no
arredondamento é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o
últimoalgarismo a permanecer
Ex.: 25,732 25,73 409,04 409,0 3,79021 3,7902
ADMINISTRAÇÃO
NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS
2. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado no
arredondamento é 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se uma
unidade ao último algarismo a permanecer
Ex.: 19,4817 19,482 2,309 2,31 2,99 3,0
ADMINISTRAÇÃO
NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS
3. Quando o primeiro algarismo a ser abandonado no
arredondamento é 5, há dois procedimentos:
▪ Se após o algarismo 5 seguir em qualquer casa
um número diferente de 0, aumenta-se em uma
unidade o algarismo que antecede o 5.
Ex.: 237,85001 237,9 5,5256 5,53
ADMINISTRAÇÃO
NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS
▪ Se após o algarismo 5 não seguir (em qualquer
casa) um número diferente de 0, ao algarismo que
antecede o 5 será acrescentada uma unidade, se
for ímpar, e permanecerá como está, se for par.
Ex.: 237,235 247,24 1349,85 1349,8
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIOS
Estabeleça a variável em cada caso.
Classifique as variáveis em qualitativas ou quantitativas.
Diga quais das variáveis quantitativas são contínuas e
quais são discretas
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIOS
1. A cor dos olhos dos funcionários de um escritório
2. Variação diária do índice Bovespa
3. O número de pessoas da terceira idade, durante um
ano, na fila de um banco
4. Nível de satisfação do cliente
5. Número de sinistros ocorridos durante o ano
6. Preço total do combustível ao abastecer o tanque do
carro.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIOS
7. Volume do sorvete, em mL
8. Número de casamentos ocorridos entre pessoas que
se conheceram pela internet.
9. Horário de partida dos aviões.
10. Sexo da criança que vai nascer.
11. Foram entrevistadas 140 pessoas para verificar a
intenção de voto para prefeito da cidade de Recife.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIOS
Escreva cada número com arredondamento para
décimos.
a) 35,32216
b) 456,541
c) 0,0832
d) 5,5557
e) 65,39
f) 351,567
g) 769,014
h) 12,468
i) 13,61
j) 2.303,8714
k) 100,999
l) 1,309
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIOS
Escreva cada número com arredondamento para
centésimos.
a) 23,4585
b) 171,29401
c) 42,876
d) 103,424
e) 41,6502
f) 0,236
g) 32,011313
h) 102,468
i) 1,610091
j) 5.356,8799
k) 99,9998
l) 10,0309
ADMINISTRAÇÃO
Estatística
 e
Técnicas de Amostragem
2
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Existem técnicas adequadas para recolher
amostras, de forma garantir (tanto quanto possível) o
sucesso da pesquisa e dos resultados.
Nem sempre é possível fazer a pesquisa
envolvendo toda população para obter os dados em
estudo.
ADMINISTRAÇÃO
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
Deve haver critério para a seleção desses
elementos, cada elemento da população deve ter a
mesma chance de ser escolhido para garantir à
amostra o caráter de representatividade.
As técnicas que nos interessam para a
determinação da amostragem são: amostragem
casual ou aleatória simples; amostragem
proporcional estratificada e amostragem sistemática.
ADMINISTRAÇÃO
VANTAGENS DA AMOSTRAGEM
• O levantamento de dados sobre uma parte da
população é mais econômico que o levantamento de
dados sobre toda a população;
• O levantamento de dados sobre uma parte da
população é mais rápido que o levantamento de
dados sobre toda a população;
• É mais fácil trabalhar os dados em menor escala.
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRA CASUAL OU ALEATÓRIA SIMPLES
Neste tipo de amostragem, todos os elementos da
população estão disponíveis para serem avaliados na
amostra.
A seleção ocorre por meio de sorteio.
Considerando uma população composta por N
elementos, devemos listar ou numerar de 1 a N a
população a ser analisada, e posteriormente selecionar
uma amostra mediante um sorteio.
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRA PROPORCIONAL ESTRATIFICADA
A amostra proporcional estratificada considera a
população dividida em estratos, em que cada estrato
abrange um subconjunto da população que reúne
características comuns entre seus elementos.
Nesse processo, a variável em estudo apresenta
comportamento diferente em cada estrato. Por exemplo,
se a característica for sexo, a população será dividida
em dois grupos (estratos): Masculino e feminino.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Uma empresa de telemarketing conta com 480
funcionários, dos quais 288 são do sexo feminino e
os 192 restantes do sexo masculino. Considerando a
variável “sexo” para estratificar essa população, foi
selecionada uma amostra proporcional estratificada
de 50 funcionários. Calcule a proporção de cada sexo
contida na amostra.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
 População: 480 funcionários;
Amostra: 50 funcionários;
Primeiro estrato: 288 funcionários do sexo feminino
(60% da população)
Segundo estrato: 192 funcionários do sexo masculino
(40% da população)
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
Isso significa que a composição de funcionários
da amostra deve manter a mesma proporcionalidade
dos estratos, do primeiro estrato serão retiradas 60%
dos elementos da amostra e do segundo estrato 40%
dos elementos da amostra.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
Tabela A: Amostra proporcional estratificada por sexo de
uma empresa de telemarketing.
Estrato
 (por sexo)
População Proporção da população Amostra proporcional estratificada
Feminino
Masculino
288
192
288/480 = 0,60 (ou 60%)
192/480 = 0,40 (ou 40%)
n1 = 0,60 x 50 = 30
n2 = 0,40 x 50 = 20
Total 480
Composição de 50 funcionários da amostra: n1 = 30 mulheres
e n2 = 20 homens.
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRA ESTRATIFICADA UNIFORME
Esse método da amostragem estratificada uniforme
não utiliza o critério de proporcionalidade, pois se
seleciona a mesma quantidade de elementos de cada
estrato. Deve ser usado se o maior interesse for
comparar os estratos ou obter estimativa separadas
para cada estrato.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Considerando o exemplo anterior em que uma
empresa de telemarketing conta com 480 funcionários,
dos quais 288 são do sexo feminino e os 192
restantes do sexo masculino. Considerando a variável
“sexo” para estratificar essa população, vamos obter
uma amostra estratificada uniforme de 50
funcionários.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
Supondo que haja homogeneidade de cada
categoria, pode-se obter uma amostra estratificada
uniforme de 50 funcionários com a seleção de 25
elementos de cada estrato.
Estrato
 (por sexo)
População Amostra proporcional estratificada
uniforme
Feminino
Masculino
288
192
n1 = 25
n2 = 25
Total 480
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Esse método é um procedimento para a amostragem
aleatória, utilizado quando os elementos da população
já se acham ordenados. Exemplos que podem ser
citados: as casas e prédios de uma rua, os funcionários
de um empresa, as linhas de produção, listas de alunos
etc.
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Método para seleção dos elementos de uma amostra
sistemática de uma população
Consideremos uma população com N elementos e
que se deseje extrair uma amostra sistemática de n
elementos.
▪ Intervalo de seleção (I): utilizando o método da
amostragem sistemática, definimos o intervalo de seleção
para a extração dos elementos da população que irão
compor a amostra:
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Método para seleção dos elementos de uma amostra
sistemática de uma população
 i = N/n (intervalo de seleção)
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra (n < N)
Na verdade, o intervalo de seleção corresponde ao
número de vezes que a amostra cabe na população.
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Método para seleção dos elementos de uma amostra
sistemática de uma população
Primeiro elemento da amostra (m): Na amostragem
sistemática a posição do primeiro elemento da amostra é
obtido por sorteio, e deve pertencer aos “I” elementos
iniciais da lista. Utilizaremos “m” para designar a posição do
elemento sorteado.
m = primeiro elemento da amostra e obtido por sorteio
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Método para seleção dos elementos de uma amostra
sistemática de uma população
Por exemplo, se o intervalo de seleção for I =18, o
primeiro elemento daamostra deve ser sorteado entre os 18
elementos iniciais da lista, ou seja, o valor sorteado deve
estar limitado entre os valores do primeiro ao décimo oitavo
elemento. O valor sorteado poderia ser o de número m = 5
(pois esta dentro do intervalo entre os 18 elementos iniciais
da lista), mas não poderia ser o de número 27 (pois está
fora do intervalo entre os 18 elementos iniciais da lista).
ADMINISTRAÇÃO
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA
Método para seleção dos elementos de uma amostra
sistemática de uma população
Próximos elementos da amostra: Considerando a
posição do primeiro elemento da amostra, os próximos
serão selecionados em intervalos regulares de “I” elementos
cada.
Posição do primeiro elemento da amostra = m
Posição do segundo elemento da amostra = m + I
Posição do terceiro elemento da amostra = m + 2I
E assim sucessivamente...
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Uma seguradora mantém uma carteira de 5000
clientes, e pretende avaliar a satisfação de ser
clientes mediante uma amostra sistemática de 200
segurados.
a) Determine os números dos cinco primeiros clientes
selecionado, supondo que o primeiro segurado (obtido por
sorteio) seja o de número 14.
b) Qual o número do último cliente selecionado?
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
N = 5.000 (tamanho da população)
n = 200 (tamanho da amostra)
Intervalo de seleção: I = N/n I = 5000/200 = 25
Para uma população de 5000 clientes, podemos obter
de forma sistemática o número de um cliente a cada
25, totalizando uma amostragem de 200 clientes.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
a) Sendo que o primeiro segurado sorteado foi o de número
14, os números dos cinco primeiros clientes
selecionados para a amostra são:
Posição do 1º elemento da amostra = m = 14 (por sorteio)
Posição do 2º elemento da amostra = m + I = 14 + 25 = 39
Posição do 3º elemento da amostra = m + 2I = 14 + 50 = 64
Posição do último elemento da amostra = m + (n – 1)I
Posição do último elemento da amostra = 14 + (20 – 1)25 = 4989
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO (SOLUÇÃO)
b) Posição do último elemento da amostra = m + (n – 1)I
Posição do último elemento da amostra = 14 + (20 – 1)25 = 4989
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 1
Durante a bienal do livro, foi feita uma pesquisa
com o objetivo de verificar a preferência de leitura.
Supondo que foi colhida uma amostra aleatória de
150 pessoas, que corresponde a 4% do total de
presentes ao evento, qual a população presente ao
evento?
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 2
Com o objetivo de estabelecer quais são os odores
preferidos pelos passageiros presentes numa
rodoviária intermunicipal, dentre cinco diferentes
tipos de sabonetes, foi feita uma pesquisa mediante a
seleção de uma amostra proporcional estratificada de
50 passageiros entre os passageiros de 6 ônibus. A
ocupação de cada ônibus é respectivamente de 51,
45, 48, 40, 46 e 38 passageiros selecionados em cada
ônibus.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 2 (SOLUÇÃO)
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51
Ônibus 2 45
Ônibus 3 48
Ônibus 4 40
Ônibus 5 46
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45
Ônibus 3 48
Ônibus 4 40
Ônibus 5 46
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48
Ônibus 4 40
Ônibus 5 46
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40
Ônibus 5 46
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%)
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%) n2 = 0,17 x 50 ≅ 8
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%)
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%) n2 = 0,17 x 50 ≅ 8
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%) n3 = 0,18 x 50 ≅ 9
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%)
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%) n2 = 0,17 x 50 ≅ 8
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%) n3 = 0,18 x 50 ≅ 9
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%) n4 = 0,15 x 50 ≅ 7
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%)
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%) n2 = 0,17 x 50 ≅ 8
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%) n3 = 0,18 x 50 ≅ 9
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%) n4 = 0,15 x 50 ≅
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%) n5 = 0,17 x 50 ≅ 9
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%)
Total 268
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Ônibus 1 51 51/268 = 0,19 (ou 19%) n1 = 0,19 x 50 ≅ 10
Ônibus 2 45 45/268 = 0,17 (ou 17%) n2 = 0,17 x 50 ≅ 8
Ônibus 3 48 48/268 = 0,18 (ou 18%) n3 = 0,18 x 50 ≅ 9
Ônibus 4 40 40/268 = 0,15 (ou 15%) n4 = 0,15 x 50 ≅
Ônibus 5 46 46/268 = 0,17 (ou 17%) n5 = 0,17 x 50 ≅
Ônibus 6 38 38/268 = 0,14 (ou 14%) n6 = 0,14 x 50 ≅ 7
Total 268 50
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 3
Na feira do automóvel, você fará uma pesquisa
para conhecer as preferências relativas a
determinados modelos de carros. A população é
composta por 680 homens e 490 mulheres. Na
impossibilidade de entrevistar todos, faça um
levantamento por amostragem proporcional
estratificada de 13% dos visitantes.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 3
a) Qual o tamanho da população?
b) Qual o tamanho da amostra?
c) Qual o número de homens e de mulheres que irão
compor a amostra.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 3 (SOLUÇÃO)
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Homens 680
Mulheres 490
Total 1170
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Homens 680 680/1170 ≅ 0,58 (ou 58%)
Mulheres 490
Total 1170
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Homens 680 680/1170 ≅ 0,58 (ou 58%)
Mulheres 490 490/1170 ≅ 0,42 (ou 42%)
Total 1170
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃOAM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Homens 680 680/1170 ≅ 0,58 (ou 58%) n1 = 0,58 x 152 ≅ 88
Mulheres 490 490/1170 ≅ 0,42 (ou 42%)
Total 1170
ESTRATO
(por ônibus)
POPULAÇÃO PROPORÇÃO DA
POPULAÇÃO
AM OSTRA
PROPORCIONAL
ESTRATIFICADA
Homens 680 680/1170 ≅ 0,58 (ou 58%) n1 = 0,58 x 152 ≅ 88
Mulheres 490 490/1170 ≅ 0,42 (ou 42%) n2 = 0,42 x 152 ≅ 64
Total 1170
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 4
Uma frota de 800 caminhões a diesel de uma
transportadora deve ser avaliada quanto ao nível de
emissão de poluentes (emissão de fumaça, gases e
partículas sólidas), para decidir sobre a instalação de
conversores catalíticos, o que implicará em aumento
de custo nos serviços. Os veículos foram
enumerados de 01 a 800. Utilizando a técnica da
amostragem sistemática, obtenha uma amostra
representativa dessa frota, contendo 10% do total de
caminhões.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 4
a) Qual o tamanho da população?
b) Qual o tamanho da amostra?
c) Calcule o valor do “intervalo de seleção” para
obtenção da amostra.
d) Como será escolhido o número do primeiro
caminhão da amostra?
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO - 4
e) Supondo que o primeiro caminhão sorteado tenha
sido o de número 7, escreva os números dos 5
primeiros caminhões que farão parte da amostra.
f) Calcule o número do último caminhão da amostra.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (SOLUÇÃO)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 4 (SOLUÇÃO)
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 5
Uma seguradora vendeu 450 apólices de seguro de
carro. Com o objetivo de verificar o nível de
satisfação dos clientes segurados, foi extraída uma
amostra sistemática de 30 clientes, começando pelo
cliente de número 10.
a) Quais os números dos cinco primeiros clientes
selecionados?
b) Qual o número do último cliente selecionado da
amostra?
R : 10, 25, 40, 55, 70
R : 445
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 6
Uma rede de academia de ginástica mantém
cadastro de seus clientes. Deseja-se fazer uma
pesquisa sobre as atividades físicas praticadas pelas
pessoas da terceira idade, levando em conta o sexo a
que pertencem. Supondo que no cadastro haja 8.600
mulheres e 5.200 homens acima dos 65 anos de idade,
determine o número de homens e mulheres numa
amostra estratificada proporcional com 250
elementos.
R: 156 mulheres e 94 homens
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 7
Uma empresa de eventos quer estimar o número
de alunos interessados em participar da festa de
formatura; para tanto, realiza uma pesquisa entre os
formandos de seis cursos de uma faculdade. A tabela
2.4 registra o número de formandos por curso.
Baseando-se nesses dados, elabore uma amostra
proporcional estratificada contendo:
a) 300 formandos
b) 10% do número total de formandos
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 7
Cursos Formandos
A
B
C
D
E
F
350
540
480
260
280
410
Total 2.320
Cursos A B C D E F Tota
l
a) Tamanho da amostra 45 70 62 34 36 53 300
b) Tamanho da amostra 35 54 48 26 28 41 232
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 8
Uma loja de móveis fez uma pesquisa de opinião
com seus clientes cadastrados. Determinada questão
sobre a qualidade de atendimento deveria ser
respondida mediante a utilização das opções: Ótimo,
Bom, Regular, Ruim e Péssimo. Por meio de uma
amostragem proporcional estratificada, alguns
clientes foram selecionados para justificar a
respectiva opção; sendo assim, complete a Tabela.
ADMINISTRAÇÃO
EXERCÍCIO – 8
Opções de
respostas
Nº de respostas
por opção
Amostra
Ótimo 900
Bom 42
Regular 550 22
Ruim 350
Péssimo
Total 117
Opções de
respostas
Nº de respostas
por opção
Amostra
Ótimo 900 36
Bom 1050 42
Regular 550 22
Ruim 350 14
Péssimo 75 3
Total 2.925 117
ADMINISTRAÇÃO
Estatística
Séries Estatísticas
3
SÉRIES ESTATÍSTICAS
As tabelas são recursos utilizados pela estatística,
com o objetivo de organizar e facilitar a visualização e
comparação dos dados.
As tabelas permitem uma visão geral dos valores
assumidos pelas variáveis dentro de certos
parâmetros.
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Tabela: é um conjunto de observações a respeito
de determinado assunto, organizadas e distribuídas
num quadro.
Ao elaborarmos uma tabela, convém caracterizar a
descrição das informações mediante um título,
cabeçalhos, dados e rodapé. Conforme o exemplo
mostrado adiante.
ADMINISTRAÇÃO
Tabela 3.1 Dengue: casos notificados no Brasil nos últimos dez anos – 1997/2007.
Ano Número de infectados com dengue
1997 249.239
1998 507.715
1999 184.064
2000 227.957
2001 428.115
2002 794.219
2003 346.138
2004 117.519
2005 248.922
2006 345.922
2007 559.954
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES ESTATÍSTICAS
É chamada série estatística toda tabela que
apresenta um conjunto de dados estatísticos
distribuídos em função da época, do local ou da
espécie.
• temporais;
• geográficas;
• específicas;
• distribuição de frequência.
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES ESTATÍSTICAS
No caso da distribuição de frequência, todos os
elementos (fato, local e tempo) são fixos. Dada a
importância dessa série estatística, a distribuição de
frequência será estudada em detalhes mais adiante.
Normalmente os problemas de tabulação são
enquadrados nesse tipo de série.
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES ESTATÍSTICAS
É um método de agrupamento dos dados em
categorias, de tal forma que se possa determinar o
número ou a porcentagem de cada categoria, classe
ou intervalo.
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES TEMPORAIS, CRONOLÓGICAS, HISTÓRICAS,
EVOLUTIVAS (OU MARCHAS)
A evolução cronológica é predominante nesse tipo
de série. Observa-se a variação do tempo, enquanto o
fato e o local permanecem constantes. A série
cronológica também é chamada de temporal, histórica
ou evolutiva.
ADMINISTRAÇÃO
Tabela 3.2 – Expectativa de vida da mulheres brasileiras
Ano Idade das mulheres
1980 65,7
1991 70,9
2000 74,4
2001 74,7
2002 74,9
Fonte: IBGE.
Fato: expectativa de vida da mulheres brasileiras (constante)
Local: Brasil (constante)
Tempo: 1980, 1991, 2000, 2001, 2002 (variável)
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES GEOGRÁFICAS, ESPACIAIS, TERRITORIAIS OU DE
LOCALIZAÇÃO
A discriminação segundo regiões é predominante
nesse tipo de série, ou seja, apresenta o fator
geográfico como elemento variável. Nessa série, o
local varia, enquanto o tempo e o fato permanecem
constantes. A série geográfica também é chamada de
espacial, territorial ou de localização.
ADMINISTRAÇÃO
Tabela 3.3 – Taxa de desemprego por região (ago./2009)
Região Taxa de desemprego (%)
Salvador 11,4
Recife 10,9
São Paulo 9,1
Belo Horizonte 7,5
Rio de Janeiro 5,6
Porto Alegre 5,4
Média dessas seis
regiões
8,1
Fonte: IBGE/Infográfico/AE (26/9/2009).
Fato: taxa de desmprego (constante)
Local: Salvador, Recife, São Paulo, Belo Horizonte, Rio de Janeiro, Porto Alegre
(variável)
Tempo: ago./2009 (constante).
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES ESPECÍFICAS OU CATEGÓRICAS
Nesse tipo de série, predomina a discriminação
segundo categorias ou especificações. O local e o
tempo permanecem constantes enquanto o fato varia.
A série específica também e chamada categórica.
ADMINISTRAÇÃO
Tabela 3.4 – Receita líquida das empresas de tecnologia no Brasil (2007)
Empresa Receita líquida (em US$ milhões)
HP 2.283
IBM 2.004
SAMSUNG 934
POSITIVO 815
LG 751
XEROX 716
Fonte: Anuário informática hoje.
Fato: empresas de tecnologia: HP, IBM, Samsung, Positivo, LG e Xerox. (variável).
Local: Brasil (constante).
Tempo: 2007 (constante).
ADMINISTRAÇÃO
SÉRIES CONJUGADAS OU TABELA DE DUPLA ENTRADA
As séries conjugadas são séries mistas, pois
permitem variar simultaneamente o tempo, o lugar e o
fato, havendo duas ordens de classificação: uma
horizontal e outra vertical. As séries conjugadas
também são chamadas de tabelas de dupla entrada.
ADMINISTRAÇÃO
Tabela 3.5 – Número de publicações científicas (SCI) por países da União
Européia (1990 – 2000 – 2006)
Países UE Nº de publicações
1990 2000 2006
Reino Unido 60.224 91.262 102.828
Alemanha 48.140 77.365 91.717
França 35.136 54.768 63.449
Itália 19.016 37.693 52.392
Espanha 10.576 24.948 38.610
Holanda 13.951 22.143 29.262
Bélgica 6.358 11.581 15.927
Fonte: GPEARI – Gabinete de Planejamento,Estratégia, Avaliação e Relações Internacionais/
Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior.
Pesquisa efetuada em 22 de junho de 2007, a partir de ISI: Web of Science/Science Citation
Index Expanded (SCI).
ADMINISTRAÇÃO
Estatística
Distribuição de
Frequência
4
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Este capítulo é totalmente dedicado ao estudo
detalhado da distribuição de frequência, dada a sua
importância na estatística.
Após a realização de uma pesquisa em que os dados
foram coletados, é necessário organizá-los e classificá-los.
Isso pode ser feito mediante tabelas e gráficos. Em geral,
construímos inicialmente uma tabela que contemple as
informações coletadas em função dos respectivos
parâmetros.
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS
dados primitivos ou brutos – são os dados coletados durante
a pesquisa e que ainda não foram organizados;
rol – é a ordenação dos valores obtidos (dados brutos) em
ordem crescente ou decrescente de grandeza numérica ou
qualitativa;
classe – ao organizar os dados coletados, estes são
subdivididos convenientemente em categorias. Cada uma
dessa subdivisões recebe o nome de classe;
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS
frenquência (fi) – é o número de vezes que o elemento
aparece na amostra ou o número de elementos pertencentes a
uma classe. A frequência (fi) também pode ser chamada de
frequência simples ou frequência absoluta;
frequência relativa (fri) – de uma classe é o quociente entre a
frequência absoluta (fi) da classe considerada e o número total
de dados (n) coletados na pesquisa.
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS
frequência relativa percentual (fri%) – de uma classe é o
produto da frequência relativa por 100.
Frequência acumulada (Faci) de uma classe é a soma da
frequência absoluta dessa classe com as frequências
absolutas das classes anteriores:
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS
Frequência relativa acumulada (Fraci) de uma classe é a
soma da frequência relativa dessa classe com as frequências
relativas das classes anteriores.
A frequência relativa acumulada (Fraci) de uma classe também
pode ser calculada pela razão entre a frequência acumulada da
classe considerada e o número total de dados (n) coletados na
pesquisa:
ADMINISTRAÇÃO
DEFINIÇÕES BÁSICAS
Frequência relativa acumulada percentual (Fraci) de uma
classe é o produto da frequência relativa acumulada por 100.
ADMINISTRAÇÃO
ORGANIZAÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DE DADOS DE VARIÁVEIS
QUALITATIVAS
Variável qualitativa: expressa uma qualidade ou atributo.
Após a realização de uma pesquisa em que os dados
qualitativos foram coletados, é necessário organizá-los e
classificá-los. Isso será feito numa tabela de distribuição de
frequência. Numa tabela de distribuição de frequência uma
das colunas discrimina as classes e a outra coluna
corresponde à frequência. Lembrando que cada classe
corresponde a uma categoria, e a frequência absoluta indica
o número de repetições para cada categoria.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Uma empresa de publicidade realizou uma pesquisa
sobre o estado civil dos compradores de alimentos
congelados de uma determinado supermercado,
assumindo as categorias: solteiro, casado, viúvo e
divorciado. Foram encontradas as respostas constantes na
Tabela 4.1.
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
Tabela 4.1 Estado civil dos compradores de congelados de um supermercado
(tabela de dados brutos)
Solteiro Separado Casado Casado Separado solteiro Casado Separado
Viúvo Casado Separado solteiro Casado Viúvo solteiro Casado
Casado Separado Solteiro Casado Separado Separado Casado Separado
Casado Solteiro Casado Viúvo Casado Solteiro Casado Casado
Separado Solteiro Separado Solteiro Separado Casado Casado Viúvo
Solteiro Separado Casado Separado Solteiro Casado Separado Solteiro
Casado Separado Casado Solteiro Casado Separado Casado Separado
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
a) Qual o número de dados da pesquisa?
b) Elabore uma tabela de distribuição de frequência
referente aos dados coletados na pesquisa
c) Quais são as categorias que constam na pesquisa?
d) Qual é o número de classes na tabela de distribuição
de frequência?
ADMINISTRAÇÃO
EXEMPLO
e) Qual é o valor da frequência da primeira classe? E da
segunda? E da terceira? E da quarta?
f) Elabore outra tabela discriminando os valores da
frequência absoluta, frequência relativa, frequência
relativa percentual, frequência acumulada, frequência
relativa acumulada percentual e frequência relativa
percentual acumulada.
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
a) O número de dados coletados na pesquisa é n = 56
b)
Classe i Estado civil
 (xi)
Frequência
(fi)
1 Solteiro 13
2 Casado 22
3 Viúvo 4
4 Separado 17
56
Tabela 4.2 Estado civil dos compradores de congelados (distribuição de frequência)
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
Observe que a tabela de distribuição de frequência
facilita a visualização dos dados coletados.
c) Categorias: Solteiro, casado, viúvo e divorciado.
d) A tabela de distribuição de frequências consta de 4
classes
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
e) Frequência da primeira classe: f1 = 13; frequência da
segunda classe: f2 = 22; frequência da terceira classe: f3
= 4; frequência da quarta classe: f4 = 17.
f) Tabela de discrimina os valores da frequência absoluta,
frequência relativa, frequência relativa percentual,
frequência acumulada, frequência relativa acumulada, e
frequência relativa percentual acumulada.
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
Classe
(i)
Estado
civil (x i)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 Solteiro 13 0,2321 23,21 13 0,2321 23,21
2 Casado 22 0,3929 39,29 35 0,6250 62,50
3 Viúvo 4 0,0714 7,14 39 0,6964 69,64
4 Separado 17 0,3036 30,36 56 1,0000 100,00
Total 56 1,0000 100,00
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
Uma pesquisa realizada numa fábrica revela o número
de peças com defeitos por caixa:
2 1 1 0 2 0 0 0 1 0
1 0 0 2 1 1 0 0 1 1
0 1 2 0 0 1 2 1 0 0
Tabela 5.4 Peças com defeito por caixa.
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
a) Qual é o número de dados da pesquisa?
b) Elabore uma tabela de distribuição de frequência
referente aos dados coletados na pesquisa.
c) Quais são as categorias que constam na pesquisa?
d) Qual é o número de classes na tabela de distribuição
de frequências?
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
e) Qual é o valor da frequência da primeira classe? E da
segunda? E da terceira? E da quarta?
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
a) O número de dados coletados na pesquisa é n=30.
b) Classe i Opinião
 (xi)
Frequência
(fi)
1 0 14
2 1 11
3 2 5
Total 30
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
c) Categorias: 0, 1 e 2 peças com defeitos por caixa
d) A tabela de distribuição de frequências consta 3
classes
e) Frequência da primeira classe: f1 = 14; frequência da
segunda classe: f2 = 11; frequência da terceira classe: f3
= 5.
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
f)
Classe
(i)
Peças
com
defeitos
por caixa
(xi)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 0 14 0,4667 46,67 14 0,4667 46,67
2 1 11 0,3667 36,67 25 0,8334 83,34
3 2 5 0,1667 16,67 30 1,0001 100,01
Total 30 1,0001 100,01
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
Um supermercado colheu a opinião de 60 clientes,
sendo que uma determinada questão sobre a qualidade de
atendimento deveria ser respondida mediante a utilização
das opções: Ótimo; Bom; Regular e Ruim. Para essa
questão foram encontradas as respostas constantes na
Tabela 1.
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
Tabela 1 Opinião de clientes sobre o atendimento num supermercado.
Ruim Bom Ótimo Bom Bom Regular Ótimo Bom Regular Bom
Regular Ótimo Ruim Ótimo Bom Bom Bom Ótimo Bom Bom
Ótimo Bom Bom Ruim Bom Bom Regular Regular Ótimo Regular
Ótimo Ótimo Bom Bom Regular Bom Bom Ruim Bom Regular
Ruim Regular Ótimo Regular Bom Bom Bom Bom Bom Bom
Bom Regular Ótimo Bom Ruim Bom Bom Ótimo Regular Ótimo
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
a) Identifique a variável em estudo. É qualitativa ou
quantitativa? É contínua ou discreta?
b) Elabore a tabela de distribuição de frequência
referente aos dados coletados na pesquisa
c) Qual o número de classes na tabela de distribuição de
frequências?
d) Qual o valor da frequência da terceira classe? E da
primeira?
ADMINISTRAÇÃOEXECÍCIOS
e) Qual o número de dados da pesquisa?
f) Qual o maior valor de frequência? E o menor?
g) Elabore outra tabela discriminando os valores da
frequência relativa, frequência relativa percentual,
frequência acumulada, frequência relativa acumulada e
frequência relativa percentual acumulada.
h) Qual o percentual de respostas da opção regular?
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
i) Qual o percentual de respostas das opções bom +
regular?
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
a) opinião sobre o atendimento, variável qualitativa
b)
Classe i Opinião
 (xi)
Frequência
(fi)
1 Ótimo 13
2 Bom 29
3 Regular 12
4 Ruim 6
Total 60
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
c) 4 classes;
d) f3 = 12; f1 = 13;
e) n = 60;
f) f2 = 29; f4 = 6
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
Classe
(i)
Estado
civil (x i)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 Ótimo 13 0,2167 21,67 13 0,2167 21,67
2 Bom 29 0,4833 48,33 42 0,7000 70,00
3 Regular 12 0,2000 20,00 54 0,9000 90,00
4 Ruim 6 0,1000 10,00 60 1,0000 100,00
Total 60 1,0000 100,00
g)
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
Um empresa de implementos agrícolas registrou,
mensalmente, o número de tratores vendidos. Esses
valores estão apresentados na Tabela 2.
a) Preencha essa tabela com os cálculos da frequência
relativa, frequência relativa percentual, frequência
acumulada, frequência relativa acumulada e frequência
relativa percentual acumulada.
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
b) Identifique a variável em estudo. É qualitativa ou
quantitativa? É contínua ou discreta?
c) Qual o número de classes da tabela de distribuição de
frequências?
d) Qual o número de dados da pesquisa?
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
Classe
(i)
Meses
 (xi)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 jan. 163
2 fev. 115
3 mar. 136
4 abr. 129
5 maio 98
6 jun. 147
7 jul. 130
8 ago. 104
Total n = 1.022 1,0000
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
Classe
(i)
Meses
 (xi)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 jan. 163 0,1595 15,95 163 0,1595 15,95
2 fev. 115 0,1125 11,25 278 0,2720 27,20
3 mar. 136 0,1331 13,31 414 0,4051 40,51
4 abr. 129 0,1262 12,62 543 0,5313 53,13
5 maio 98 0,0959 9,59 641 0,6272 62,72
6 jun. 147 0,1438 14,38 788 0,7710 77,10
7 jul. 130 0,1272 12,72 918 0,8982 89,82
8 ago. 104 O,1018 10,18 1022 1,0000 100,00
Total n = 1.022 1,0000
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
b) Variável qualitativa;
c) 8 classes
d) n = 1.022.
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
A tabela a seguir informa o número diário de pessoas
atendidas em caráter de urgência no Pronto Socorro de um
determinado Hospital de certa cidade, no período de 40
dias.
2 3 1 1 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2 5 3 2 1 3 3
5 1 2 3 1 2 3 2 2 1
2 2 3 1 2 1 1 3 1 2
Tabela 2 Atendimento em caráter de urgência no Pronto Socorro
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
a) Identifique a variável em estudo. É qualitativa ou
quantitativa? É contínua ou discreta?
b) Elabore uma tabela com os dados organizados (rol).
c) Elabore a tabela de distribuição de frequência
referente aos dados coletados na pesquisa.
d) Qual o número de classes na tabela de distribuição de
frequências?
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
e) Qual o número de dados da pesquisa?
f) Elabore outra tabela discriminando os valores da
frequência relativa, frequência relativa percentual,
frequência acumulada, frequência relativa acumulada e
frequência relativa percentual acumulada.
g) Qual o percentual de dias em que ocorreram 2
atendimentos?
ADMINISTRAÇÃO
EXECÍCIOS
h) Qual o percentual de dias em que ocorreram mais de 2
atendimentos?
i) Qual o percentual de dias em que ocorreram menos de
2 atendimentos?
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
Classe
(i)
Meses
 (xi)
(fi) (fri) fri% Faci Fraci Faci%
1 jan. 163 0,1595 15,95 163 0,1595 15,95
2 fev. 115 0,1125 11,25 278 0,2720 27,20
3 mar. 136 0,1331 13,31 414 0,4051 40,51
4 abr. 129 0,1262 12,62 543 0,5313 53,13
5 maio 98 0,0959 9,59 641 0,6272 62,72
6 jun. 147 0,1438 14,38 788 0,7710 77,10
7 jul. 130 0,1272 12,72 918 0,8982 89,82
8 ago. 104 O,1018 10,18 1022 1,0000 100,00
Total n = 1.022 1,0000
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
a) Número de atendimentos num pronto-socorro, variável
quantitativa discreta.
b)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 5 5
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
c)
Número de atendimentos Número de dias
1 14
2 16
3 8
5 2
Total 40
ADMINISTRAÇÃO
RESOLUÇÃO
d) 4 classes
e) n = 40.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Quando os dados numéricos coletados assumem
grande quantidade de valores diversificados, fica inviável
que cada valor numérico isolado represente uma categoria;
sendo assim, convém agruparmos os valores coletados
em intervalos de classe.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Para esses casos, a tabela de distribuição de
freqüência é diferente das anteriores, pelo fato de que cada
classe não representa um valor individual, e sim um
conjunto de valores dentro de um intervalo.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Sendo assim, convém estudarmos as definições
básicas e os passos necessários para a elaboração da
tabela de distribuição de frequência.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
▪ determinação do número de classes (k);
▪ amplitude amostral (AA);
▪ cálculo da amplitude do intervalo de classe (h);
▪ limite inferior e superior do intervalo de classe;
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
▪ determinação dos intervalos de classe;
▪ determinação das frequências dos intervalos de classe;
▪ amplitude total (AT).
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Determinação do número de classes (k)
O número de classe que irá compor a tabela pode ser
estabelecido pelo estatístico que elabora a pesquisa, ou
seja, o estatístico é sempre soberano para decidir o
número de classes.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Determinação do número de classes (k)
Para tornar o processo mais uniforme, existem algumas
sugestões para estabelecer o número de classes em
função do número de dados da tabela.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
▪ Primeira sugestão: é fórmula desenvolvida pelo
matemático Sturges para cálculo do número de classes.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
▪ Primeira sugestão:
Sendo:
k = número de classes
n = número de elementos coletados na pesquisa
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
▪ Segunda sugestão: é uma opção mais simples, em que se
recomenda a utilização quando o número de dados
coletados for menor ou igual a 50.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Exercícios
a) Qual o número de classes sugeridas na fórmula de Sturges
quando n = 30?
b) Calcule o número de classes utilizando a formula
c) Qual o número de classes sugerido na fórmula de Sturges
quando n = 120?
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Amplitude amostral (AA):
A amplitude amostral é a diferença entre o maior e o menor
valor observado nos valores coletados.
AA = Xmáx – Xmín (maior valor observado – menor valor
observado)
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Cálculo da amplitude no intervalo de classe (h):
Uma vez que se saiba com quantas classes vamos
construir a tabela de frequência, pode-se passar ao cálculo
da amplitude do intervalo de classe.
h = amplitude de classe ou amplitude do intervalo de
classe.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Cálculo da amplitude no intervalo de classe(h):
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Limite inferior e superior do intervalo de classe:
Os valores do conjunto que compõem o intervalo de
classe estão limitados entre dois números que
representam o extremo inferior e o superior do intervalo.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Limite inferior e superior do intervalo de classe:
A matemática admite intervalos abertos, fechados e a
composição de aberto/fechado.
Na estatística, o intervalo de classe, em geral,
corresponde a um intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita, utilizando a representação do símbolo “Ⱶ”.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Limite inferior e superior do intervalo de classe:
▪ limite inferior (li) é o menor valor numérico do intervalo de
classe. É escrito a esquerda do intervalo de classe (li Ⱶ); o
limite inferior localiza-se no intervalo de classe fechado à
esquerda.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Limite inferior e superior do intervalo de classe:
▪ limite superior (Li) é o maior valor numérico do intervalo
de classe. É escrito a direita do intervalo de classe (ⱵLi); o
limite superior localiza-se no intervalo de classe aberto à
direita.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Limite inferior e superior do intervalo de classe:
Obs: A amplitude do intervalo de classe pode ser
determinada pela diferença entre o valor do limite superior
e do limite inferior.
Amplitude de classe (h) = limite superior (Li) – limite
inferior (li) h = Li - li
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Exercício: 15Ⱶ 22
Responda:
a) Qual é o limite inferior?
b) Qual é o limite superior?
c) O valor 15 está dentro deste intervalo?
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Exercício: 15Ⱶ 22
Responda:
d) O valor 22 está dentro ou fora desse intervalo?
e) Qual é a amplitude do intervalo de classe?
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Amplitude total (AT):
A amplitude total (AT) é calculada levando-se em conta os
valores de classe da tabela de distribuição de frequência.
A amplitude total é expressa pela diferença entre o maior e
o menor valor observado nos intervalos de classe da
tabela de distribuição de frequência.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Amplitude total (AT):
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Frequência simples ou absoluta (fi)
A frequencia simples ou absoluta para dados agrupados
com intervalo de classe é obtida para cada classe, pela
contagem do número de dados coletados dentro do
intervalo de classe.
ADMINISTRAÇÃO
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS NUMÉRICOS
AGRUPADOS EM INTERVALOS DE CLASSE
Ponto médio do intervalo de classe (xi):
O conceito de ponto médio de uma classe é utilizado na
distribuição de frequência de dados numéricos agrupados
em intervalos de classe.
Ponto médio de um intervalo de classe (xi) é o ponto
que por situar-se numa posição média da distribuição de
valores do intervalo de classe, divide o intervalo em duas
partes iguais
ADMINISTRAÇÃO
Estatística
Medidas de Posição:
Medidas de Tendência Central
5
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
A análise dos dados coletados pode ser feita sob
diferentes aspectos, em que cada foco verifica um tipo de
informação a respeito do comportamento ou da tendência
do fenômeno em exame. Isso está de acordo com a
estatística, pois um de seus objetivos é buscar leis de
comportamento para o conjunto de dados coletados.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
As medidas de posição mais importantes são as
medidas de tendência central, as outras medidas de
posição são as medidas separatrizes.
▪ Medidas de posição de tendência central: média aritmética,
moda e a mediana.
▪ Medidas de posição separatrizes: mediana, quartis, decis
e percentis.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética ( ):
A média aritmética é uma das informações mais
importantes da análise estatística. A média aritmética é
uma medida de posição de tendência central, mesmo que
ela não se encontre necessariamente no centro de
distribuição, pois na verdade ela corresponde a uma das
posições de equilíbrio entre os dados coletados.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Para o cálculo da média aritmética ( ) devemos levar
em conta o agrupamento ou não dos dados.
▪ dados não agrupados;
▪ dados agrupados (em intervalo de classe e sem intervalo
de classe).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética de dados não agrupados):
A média aritmética de dados não agrupados
corresponde ao cálculo da média aritmética simples.
Média aritmética simples ( ):
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Sendo que:
 = média aritmética;
 = variável em estudo;
 n = número de dados coletados na pesquisa.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 1:
Um corretor vende apólices de seguro de pessoas
(seguros de vida). O número de apólices vendidas
mensalmente no último ano estão registrados na Tabela
5.1.
Jan. Fev. mar. abr. maio Jun. Jul. ago. set. out. nov. dez.
16 12 26 29 20 24 13 32 24 15 25 16
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Calcule a média mensal de apólices vendidas durante o
ano.
 = apólices vendidas durante o mês (variável em estudo)
n = 12 (número de dados coletados na pesquisa)
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 2:
A evolução da taxa média mensal de juros ao
consumidor está registrada no gráfico da figura a seguir.
Com base nesse valores, calcule a média aritmética dos
juros nesse período.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Fonte: ANEFAC (Associação Nacional dos Executivos de Finanças,
Administração e Contabilidade).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
A média aritmética da taxa média mensal dos juros ao
consumidor nesse período foi 7,26%.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética ponderada:
Diferenças entre os dois tipos de média aritmética:
▪ média aritmética simples: todas as variáveis tem a mesma
importância, ou seja, o mesmo peso.
▪ média aritmética ponderada: as variáveis tem diferentes
importâncias relativas, ou, ainda diferentes pesos relativos.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética ponderada:
Sendo que:
= média aritmética ponderada;
= variável em estudo;
= peso da variável.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética para dados agrupados sem intervalos
de classe:
A média aritmética para dado agrupados processa-se por
meio do cálculo da média aritmética ponderada.
Nesse caso, a ponderação é caracterizada pelo número de
repetições de cada valor, ou, mais especificamente, pela
frequência.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética para dados agrupados sem intervalos
de classe:
= média aritmética;
= variável em estudo;
= frequência (peso variável).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 3:
Foi realizada uma pesquisa em 50 residências da cidade de
São Paulo com o objetivo de saber qual o número de
computadores em cada casa. A Tabela 3 representa o
resultado da pesquisa. Calcular a média aritmética
ponderada dessa distribuição.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DEPOSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 3:
Nº de computadores
(xi)
Nº de residências
(fi)
0 4
1 19
2 16
3 9
4 2
Total n = 50
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 3:
Torna-se mais prática acrescentar mais uma coluna na
tabela de distribuição de frequência.
Nº de
computado
res
(xi)
Nº de
residências
(fi)
xifi
0 4 0
1 19 19
2 16 32
3 9 27
4 2 8
Total n = 50 86
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exemplo 3:
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética para dados agrupados com intervalos
de classe:
A média aritmética para dados agrupados com
intervalos de classe é obtida pela somatória dos produtos
dos pontos médios de cada intervalo de classe pelas
respectivas frequências (peso) dividida pela somatória da
frequências (pesos).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Média aritmética para dados agrupados com intervalos
de classe:
= média aritmética;
= ponto médio do intervalo de classe;
= frequência da classe.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exercício:
Com o objetivo de regulamentar a configuração interna
de aviões de transporte de passageiros, para especificar a
distância entre encosto e assento, e a largura das
poltronas das aeronaves, uma empresa realizou um
levantamento das estaturas dos passageiros, através de
uma amostra composta por um grupo de passageiros,
sendo os resultados apresentados na tabela abaixo.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Estaturas
 (cm)
Número de
passageiros
(fi)
150 |---157 7
157|---164 19
164|---171 25
171|---178 26
178|---185 21
185|---192 8
192|---199 3
Total
Qual a estatura
média dos
passageiros?
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Estaturas
 (cm)
Número de
passageiros
(fi)
Ponto médio
xi
xi . f i
150 |---157 7 153,5 1074,5
157|---164 19 160,5 3049,5
164|---171 25 167,5 4187,5
171|---178 26 174,5 4537,0
178|---185 21 181,5 3811,5
185|---192 8 188,5 1508,0
192|---199 3 195,5 586,5
Total 109 xxx 18754,5
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
A estatura média dos passageiros é 176,06 cm
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Moda (Mo):
Moda: é o valor que ocorre com maior frequência nos
dados obtidos numa coleta (esse valor é denominado “
valor modal”).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados não agrupados:
Numa série estatística em que os dados não são
agrupados, o valor modal corresponde ao valor com o
maior número de ocorrência.
Exemplo: Dada a série estatística construída pelos dados
brutos: 4, 7, 5, 7, 10, 2, 12, 8, 7, 5, 2, 10, 8, 11, 7, 3, 9, 6, 8
Organizando os dados em ordem crescente:
2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados não agrupados:
Organizando os dados em ordem crescente:
2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9
Qual o valor modal da série?
Mo = 7, o valor modal é 7 (pois é o valor com maior número
de repetições).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados agrupados sem intervalo
de classe:
Após o agrupamento dos valores coletados numa
tabela de distribuição de frequência, fica fácil a
determinação do valor modal.
Definição: moda é o valor da variável que corresponde à
classe de maior frequência (classe modal).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados agrupados sem intervalo
de classe:
Para a determinação da moda, numa tabela de
distribuição de frequência com os dados agrupados sem
intervalo de classe, devem-se executar os passos a seguir:
▪ primeiro passo: localizar a classe modal. Classe modal é a
classe que contém o maior valor de frequência;
▪ segundo passo: verificar o valor da variável contido na
classe modal.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exercício:
Foi realizada uma pesquisa para determinar o tipo de
eletrodoméstico mais vendido por uma rede de lojas, após
a aplicação da redução do IPI (Imposto sobre Produtos
Industrializados) incidente sobre os itens da linha branca
(geladeira, freezers, fogões, bebedouros, máquinas de
lavar e secadoras). Os dados coletados pelo período de
uma semana estão registrados na Tabela a seguir.
Qual a moda dessa distribuição?
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Tipo de eletrodoméstico Número de unidades
vendidas (f i)
Fogão 53
Geladeira duplex 82
Máquina de lavar roupa 33
Taquinho 26
Secadora 31
Total 225
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exercício:
▪ variável em estudo: eletrodoméstico;
▪ a 2ª Classe é a classe modal, pois é a classe que contém o
maior valor de frequência;
▪ a variável contida na 2ª classe é a geladeira duplex.
Mo = geladeira duplex
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados agrupados com intervalo
de classe:
Quando a distribuição dos dados coletados na tabela
de frequência corresponde a dados agrupados com
intervalos de classe, sugerimos a utilização da fórmula da
Czuber.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da moda para dados agrupados com intervalo
de classe:
Tal como foi feito para os agrupamentos sem intervalos
de classe, devem-se executar os passos a seguir:
▪ primeiro passo: localizar a classe modal, ou seja, a classe
que contém o maior valor de frequência;
▪ segundo passo: aplicar a fórmula de Czuber, tomando
como base a classe modal.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Fórmula de Czuber:
Sendo:
 = limite inferior da classe modal
= diferença entre a frequência da classe modal e a
frequência da classe anterior à classe modal
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Fórmula de Czuber:
 = amplitude da classe modal
= diferença entre a frequência da classe modal e a
frequência da classe posterior à classe modal
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exercício:
No bairro de Vila Mariana, foi realizada uma pesquisa
relativa à idade de pessoas que utilizaram a Internet nos
últimos três meses, conforme mostra a tabela abaixo.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Idade Pessoas que utilizaram a internet
(fi)
10|--- 18 66
18|---26 87
26|---34 54
34|---42 42
42|---50 29
50|---58 16
58|---66 6
Total 300
Tabela 7 Distribuição da idades das pessoas que utilizaram a internet nos últimos três meses.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Mediana (Md):
A mediana é uma medida de posição, é uma separatriz,
pois divide o conjunto de dados coletados em duas partes
iguais, com o mesmo número de elementos.
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Mediana (Md):
O valor da mediana se encontra no centro da série
estatística, organizada de tal forma que o número de
elementos situados antes desse valor (mediana) é igual ao
número de elementos que se encontram após esse mesmo
valor (mediana).
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Exercício:
Considere um conjunto de valores de uma série
estatística.
29, 23, 14, 25, 31, 26, 18, 17, 22, 13, 27
Organizando os dados em ordem crescente teremos:
13, 14, 17, 18, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31
ADMINISTRAÇÃO
O valor da mediana separa a série em dois conjuntos
com a mesma quantidade de elementos, de tal forma que
50% dos valores coletados sejam menores do que a
mediana e outros 50% superior a ela.
13, 14, 17, 18, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31
50% 50%
Md = 23 (existem cinco valores coletados antes da mediana
e cinco depois.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
ADMINISTRAÇÃOMEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da mediana para dados não agrupados:
Para uma série com número ímpar de termos: a
mediana corresponde ao valor central, esse valor
apresenta o mesmo número de termos localizados a sua
esquerda e a sua direita.
A posição do termo central pode ser localizada pela
expressão:
ADMINISTRAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO: Medidas de Tendência Central
Cálculo da mediana para dados não agrupados:
Para uma série com número par de termos: não há
termo central único, e sim dois termos centrais.
Convencionamos que a mediana seja a média aritmética
entre os termos centrais; nesse caso, a mediana é um
valor que não pertence à série e está localizado entre dois
temos centrais.
Exemplo: 33, 36, 40, 42, 43, 45, 46, 48, 52, 53, 55, 58, 60, 65
Md = 47
ADMINISTRAÇÃO