Probabilidade Condicional

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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional
Sejam Ω um espaço amostral, A,B ⊂ Ω eventos e P uma medida de probabilidade tal que P (B) ̸= 0.
Definimos a probabilidade de A condicionada em B por
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
Exemplo: Seja A o evento em que chove sábado e B o evento em que chove domingo. Meteorolo-
gistas afirmam que P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 5 e P (A ∩B) = 0, 4.
(a) Qual a probabilidade de chover domingo se choveu no sábado?
(b) Qual a probabilidade de ter chovido no sábado se choveu no domingo?
Resposta:
(a)
P (B|A) =
P (A ∩B)
P (A)
=
0, 4
0, 7
≈ 0, 57
(b)
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
=
0, 4
0, 5
= 0, 8
Note que P (A|B) > P (A) e P (B|A) > P (B). Portanto, no exemplo, a probabilidade de chover em
um dia aumenta se sabemos que choveu no outro.
Probabilidade condicional: caso equiprovável
No caso equiprovável, a probabilidade de A condicionada em B se torna:
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
=
|A∩B|
|Ω|
|B|
|Ω|
=
|A ∩B|
|B|
Exemplo 1: Jogamos 1 dado equilibrado e anotamos o resultado. Sejam
• A o evento em que o resultado é 6
• B o evento em que o resultado é par
Quais são P (A|B) e P (B|A)?
Resposta: Como o dado é equilibrado, o espaço Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é equiprovável. Vale que
A = {6}, B = {2, 4, 6} e A ∩B = {6}
P (A|B) =
|A ∩B|
|B|
=
1
3
P (B|A) =
|A ∩B|
|A|
=
1
1
= 1
Exemplo 2: Uma urna contém 5 bolas azuis e 8 bolas vermelhas. Retiram-se 2 bolas da urna,
sem reposição. Qual a probabilidade de:
1
(a) a segunda bola ser azul
(b) a segunda bola ser azul dado que a primeira foi vermelha
(c) a segunda bola ser azul dado que a primeira foi azul
Resposta:
Para que o espaço amostral seja realmente equiprovável, devemos considerar que as bolas são
distingúıveis1. Então
Ω = {(x, y) ∈ {a1, a2, a3, a4, a5, v1, v2, ..., v8}2|x ̸= y},
ou seja, os pares ordenados em que a primeira coordenada é uma das 13 bolas e a segunda é uma
das 12 restantes.
(a)
P (2ª bola azul) = P (1ª azul e 2ª azul) + P (1ª vermelha e 2ª azul)
=
|{1ª azul e 2ª azul}|
|Ω|
+
|{1ª vermelha e 2ª azul}|
|Ω|
=
5 ∗ 4
13 ∗ 12
+
8 ∗ 5
13 ∗ 12
=
5
13
(b)
P (2ª azul|1ª vermelha) =
|{1ª vermelha e 2ª azul}|
|{1ª vermelha}|
=
8 ∗ 5
8 ∗ 12
=
5
12
(c)
P (2ª azul|1ª azul) =
|{1ª azul e 2ª azul}|
|{1ª azul}|
=
5 ∗ 4
5 ∗ 12
=
4
12
Como esperado, diferentemente do exemplo da chuva, a primeira bola ser azul diminui a probabil-
idade da segunda também ser.
Propriedades da probabilidade condicional
Sejam Ω um espaço amostral, A,B e C eventos e P uma medida de probabilidade. Então vale que
• (P1) P (B|B) = 1
• (P2) Se A e B são disjuntos, então P (A|B) = 0
• (P3) P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A)
• (P4) Se A e C são disjuntos, então P (A ∪ C|B) = P (A) + P (B)
OBS: Nas propriedades, também é necessário supor que a probabilidade do evento condicionado
seja positiva, para que a própria definição de probabilidade condicional faça sentido.
Demonstrações
• (P1) P (B|B) = 1
Como B ∩B = B, vale que
P (B|B) =
P (B ∩B)
P (B)
=
P (B)
P (B)
= 1
• (P2) Se A e B são disjuntos, então P (A|B) = 0
Suponha A e B disjuntos, então P (A ∩B) = 0 e
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
= 0
1Note que se considerássemos iguais as bolas da mesma cor, nosso espaço amostral seria Ω =
{(azul, azul), (azul, vermelho), (vermelho, azul), (vermelho, vermelho)} que não é equiprovável.
2
• (P3) P (A ∩B) = P (B)P (A|B) = P (A)P (B|A)
Note que
P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
⇒ P (A ∩B) = P (B)P (A|B)
A demonstração segunda igualdade de (P3) é análoga.
• (P4) Se A e C são disjuntos, então P (A ∪ C|B) = P (A) + P (B)
P ((A ∪ C)|B) =
P ((A ∪ C) ∩B)
P (B)
=
P ((A ∩B) ∪ (C ∩B))
P (B)
Se A e C são disjuntos, A ∩B e C ∩B também são. Portanto
P ((A ∪ C)|B) =
P ((A ∩B) ∪ (C ∩B))
P (B)
=
P (A ∩B) + P (C ∩B))
P (B)
= P (A|B) + P (C|B)
3