Métodos Numéricos Aplicados

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FACULDADE UNINASSAU
Bacharelado em Engenharia Civil
Prof.: M.e Rafael Emanuel Costa
MÉTODOS NUMÉRICOS APLICADOS À ENGENHARIA
Filipe José de Sousa
João Vitor Silva
Paulo Oliveira de Sousa
Ygor Lima Santos
Teresina – PI, 2018.
SUMÁRIO
Introdução	3
Método dos Mínimos Quadrados	4
Caso Linear	4
Quantificação do erro na regressão linear 	5
Método de Spline	6
Spline Linear Interpolante	6
Spline Cúbica Interpolante	6
Aplicações nas Engenharias	8
Tensão/Deformação do aço	8
Estratificação térmica da água	9
Referências	12
ANEXO A – Algoritmo para cálculo de spline cúbico 	13
INTRODUÇÃO
Muitas habilidades são requeridas para o engenheiro, uma vez que este possui uma ampla área de atuação, de forma que o profissional deste segmento deve raciocinar, analisar, lidar com informações e tecnologias, entre outras. Visto isso, as manipulações das técnicas numéricas têm relevância na sua atuação, pois encontram problemas que nem sempre podem ser solucionados por técnicas analíticas.
Assim, métodos numéricos consistem em buscar soluções aproximadas dentro de uma aceitável margem de erro ao tornar um problema complexo, modelado matematicamente, que não pode ser resolvido de forma analítica com o aumento do tamanho do problema. O que possibilita prever comportamentos de sistemas nas áreas de Engenharia (dentre outras) mais próximo possível do real, além de dá a segurança no diagnóstico de problemas de análise estrutural, como por meio da obtenção de deslocamentos, deformações e tensões, representando diversos cenários.
E é seguindo esta linha de pensamento que este estudo tem como objetivo uma apresentação simplificada de métodos numéricos (mínimos quadrados e spline) aplicados nas engenharias e a sua importância em atingir resultados próximos do real, ao simplificar problemas complexos. 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
O método dos mínimos quadrados (MMQ) é uma técnica de otimização que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (geralmente obtidos em uma coleta experimental), ou seja, encontrando a melhor curva que ajusta os dados coletados.
Caso Linear
O exemplo mais simples de aproximação por mínimos quadrados é ajustar uma reta a um conjunto de pares de observação: . 
Onde e são coeficientes representando a intersecção com o eixo y e a inclinação, respectivamente. Dessa forma, temos que determinar as incógnitas e , pois já conhecemos os valores de e dentro de um intervalo já definido.
Assim, o calculo de um modelo linear S que reflita, na generalidade, o comportamento dos dados, tem o objetivo minimizar o somatório da diferença dos quadrados dos resíduos (diferença entre o valor estimado e os dados observados), como representado na figura 1.
Figura 1. Exemplo de linearização: (a) Curva real. (b) Regressão linear.(a)
(b)
Fonte: Autoria própria, 2018.
Logo, a minimização se dá a partir do ponto crítico de , ao derivar em relação a e e então igualar a zero.
Distribuindo a somatória na expressão e eliminando a constante , temos:
Como e não dependem de , então podemos expressar o sistema da forma:
Os valores de e podem ser obtidos a partir da solução do sistema expresso na sua forma matricial, escolhendo o método mais adequado:
Quantificação do Erro na Regressão Linear
O erro quadrático é uma medida de qualidade de aproximação, definido pela fórmula:
Também é possível medir a qualidade da aproximação a partir do coeficiente de determinação , expresso pela equação abaixo, onde é a soma dos quadrados total e é a soma dos quadrados dos resíduos e quanto mais próximo de 1 for o valor do coeficiente, menor o erro.
MÉTODO DE SPLINE
A interpolação consiste em um método cujo objetivo é formar um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos, construindo uma função interpoladora que, aproximadamente, se encaixe nestes dados pontuais.
Dessa forma, o Spline de interpolação é uma curva por partes definida matematicamente por nós, de forma que os demais pontos definem a tangente à curva em seus respectivos nós, passando por todos os pontos de controle. A figura 2 demonstra uma representação visual de um exemplo de interpolação com cinco nós.
Figura 2. Spline linear.
Fonte: Ruggiero e Lopes (p. 244, 1996).
Spline Linear Interpolante
A interpolação por spline linear de , nos nós pode ser escrita em cada subintervalo , com :
Spline Cúbica Interpolante
Dada uma função tabelada nos pontos , uma função por partes, contínua, é chamada de spline cúbica interpolante de se satisfazer as seguintes condições:
1. Cada parte de é um polinômio cúbico no intervalo , para .
2. 
3. 
4. 
5. 
Para simplicidade de notação, escrevemos:
Assim, o calculo de exige a determinação de 4 coeficientes para cada , num total de coeficientes.
Os cálculos para cada coeficiente não foram apresentados neste presente trabalho, mas, uma vez determinados, resulta nas formas:
Fazendo e , temos que, por :
Substituindo os valores dos coeficientes e agrupando os termos semelhantes, para temos equações que formaram um sistema que dependerá dos valores de :
Na forma matricial :
No entanto o sistema é do tipo indeterminado e para resolve-lo é necessário impor um das seguintes condições:
1) , spline do tipo natural onde os extremos se aproximam de uma reta.
2) , os extremos se aproximam de uma parábola.
APLICAÇÕES NAS ENGENHARIAS
Tensão-deformação do aço [Engenharia Civil/Materiais]
Obter o ajuste da curva tensão/deformação de uma viga a partir de valores de tensão e deformação ɛ obtidos em ensaio com uma máquina universal, dispostos na tabela 1.
Tabela 1. Tensão e deformação de um tipo aço.
	i
	Deformação (mm)
	Tensão (kN)
	1
	0,15
	0,586
	2
	0,76
	1,946
	3
	1,12
	2,716
	4
	1,52
	3,591
	5
	1,86
	4,291
	6
	2,27
	5,047
	7
	2,86
	5,845
Fonte: Bortoli e Quadros (p. 133, 2009).
Verifica-se que os dados apresentam regularidade. Para determinar os parâmetros da relação linear entre a deformação ε e a tensão σ, utiliza-se a lei de Hooke:
Sendo o módulo de Young (módulo de elasticidade), uma propriedade intrínseca dos materiais.
Aplicando o método dos mínimos quadrados:
Chega-se ao seguinte sistema linear:
Resolvendo este sistema são obtidos os valores de e , formando a equação de ajustamento:
Com coeficiente de determinação 
Figura 3. Ajuste da curva tensão/deformação
Fonte: autoria própria: Excel, 2018.
Cabe ressaltar que a relação é linear apenas no comportamento elástico do material, uma vez que, ao atingir a tensão de escoamento, este passa a ter uma deformação plástica (não linear).
Estratificação térmica da água [Engenharia Civil/Ambiental]
Os lagos na zona temperada podem tornar-se termicamente estratificados durante o verão. Como descrito na Figura 4, água quente flutuante perto da superfície está sobre a água do fundo, mais fria e mais densa. Tal estratificação divide de forma efetiva o lago verticalmente em duas camadas: o epilímnio e o hipolímnio, separadas por um plano chamado termóclina.
Assim, conhecer a presença ou não de áreas de estratificação térmica de qualquer meio aquático é importante para estabelecer qualquer estratégia na elaboração de um projeto (como na construção de reservatórios de abastecimento).
Figura 4. Temperatura em função da profundidade durante o verão do lago Plate, em Michigan.
.
Fonte: Chapra e Canale (p. 473, 2011).
Tabela 2. Temperatura em função da profundidade durante o verão do lago Plate, em Michigan.
	T (°C)
	22,8
	22,8
	22,8
	20,6
	13,9
	11,7
	11,1
	11,1
	z (m)
	0
	2,3
	4,9
	9,1
	13,7
	18,3
	22,9
	27,2
Fonte: Chapra e Canale (p. 474, 2011).
Analisando os dados para o lago Plate, com o algoritmo de spline cubica do “Anexo A” (Burden e Faires, p. 149-150, 2010), onde os valores de e , são respectivamente os valores de profundidade e temperatura, com . Temos que as partes da função interpoladora são:
Utilizando o software de construção gráfica GeoGebra é possívelobter os gráficos de cada uma das funções por partes da spline cúbica, que estão ilustradas na figura 5.
Figura 6. Gráfico das funções .
Fonte: autoria própria. GeoGebra Graphing, 2018
E delimitando os intervalos de cada uma das funções, obtemos o gráfico, na figura 6, que ajusta os valores de profundidade e temperatura do lago Plate, sendo possível obter qualquer valor da temperatura entre uma profundidade de 0 a 27,2 metros.
Figura 6. Ajuste por spline cubica
Fonte: autoria própria. GeoGebra Graphing, 2018
REFERÊNCIAS
BAZZO, Walter António; PEREIRA, Luiz Teixeira do Vale. Introdução à engenharia: conceitos, ferramentas e comportamentos. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2006. 270 p.
BORTOLI, Álvaro L.; QUADROS, Régis S. Fundamentos de Cálculo Numérico para Engenheiros. Porto Alegre: [s.n.], 2009. 265 p.
BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Numerical Analysis. 9. ed. Boston: Brooks/Cole, 2010. 872 p.
CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para Engenharia. 5 ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 864 p.
JUSTO, Dagoberto Adriano Rizzotto et al. (Org.). Cálculo Numérico: Um Livro Colaborativo. UFRGS: [s.n.], 2018. 384 p. Disponível em: <https://www.ufrgs.br/reamat/CalculoNumerico/index.html>. Acesso em: 12 nov. 2018.
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia Da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1996. 424 p.
ANEXO A – Algoritmo para cálculo de spline cúbico[footnoteRef:1] [1: Adaptado de Burden e Faires (p. 149-150, 2010)] 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main( ){
 printf("Insira o indice do ultimo elemento (ex: x0, x1,..., xn):\n");
 int n;
 scanf("%d", &n);
 float x[n+1],y[n+1],h[n+1],a[n+1];
 int i;
 for(i=0; i<=n;i++){
 if(i==0)
 printf("Insira X e Y respectivamente (X espaco Y enter)\n");
 scanf("%f",&x[i]);
 scanf("%f", &y[i]);
 }
 for(i=0;i<=n-1;i++){
 h[i]=x[i+1]-x[i];
 }
 for(i=1; i<=n-1;i++){
 a[i]=((3/h[i])*(y[i+1]-y[i])-(3/h[i-1])*(y[i]-y[i-1]));
 }
 float l[n+1],u[n+1],z[n+1];
 l[0]=1;
 u[0]=0;
 z[0]=0;
 for (i=1; i<=n-1;i++){
 l[i]=((2*(x[i+1]-x[i-1]))-(h[i-1]*u[i-1]));
 u[i]=h[i]/l[i];
 z[i]=((a[i]-(h[i-1]*z[i-1]))/l[i]);
 }
 l[n]=1;
 z[n]=0;
 float c[n+1],b[n+1],d[n+1];
 c[n]=0;
 for (i=n-1;i>=0;i--){
 c[i]=z[i]-(u[i]*c[i+1]);
 b[i]=(((y[i+1]-y[i])/h[i])-((h[i]*(c[i+1]+2*c[i]))/3));
 d[i]=(c[i+1]-c[i])/(3*h[i]);
 }
 for(i=0;i<=n-1;i++){
 printf("s[%d]=%.5f+%.5f*(x-%.2f)+%.5f*(x-%.2f)^2+%.5f(x-%.2f)^3\n",i,y[i],b[i],x[i],c[i],x[i],d[i],x[i]);
 }	
 return 0; 
 }
MÉTODO DE LAGRANGE
A interpolação consiste em um método cujo objetivo é formar um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos, construindo uma função interpoladora que, aproximadamente, se encaixe nestes dados pontuais.
Assim, o método de Lagrange é uma interpolação polinomial (a função interpoladora é um polinômio) que pode ser expresso na forma:
Onde
Sendo ∏ o símbolo de produtório. Então os valores de são:
y = 1,976x + 0,4564
0.15	0.76	1.1200000000000001	1.52	1.86	2.27	2.86	0.58599999999999997	1.946	2.7160000000000002	3.5910000000000002	4.2910000000000004	5.0469999999999997	5.8449999999999998	Deformação
Tensão