Apostila de integrais (volume 1)

Prévia do material em texto

www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 1 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 2 
 
 
Índice 
 
AULA 1 Introdução 3 
 
AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5 
 
AULA 3 Integrais indefinidas 7 
 
AULA 4 Integração por substituição 9 
 
AULA 5 Integração por partes 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 3 
 
 
AULA 1 
 
Introdução 
 
Desde os tempos mais antigos os 
matemáticos se preocupam com o problema de 
determinar a área de uma figura plana. O 
procedimento mais usado foi o método da 
exaustão, que consiste em aproximar a figura 
dada por meio de outras, cujas áreas são 
conhecidas. 
A integral surge desse problema. Com ela 
conseguimos determinar a área de uma região 
plana 𝑆, delimitada pelo gráfico de uma função 
contínua não negativa f, pelo eixo x e por duas 
retas verticais 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏. 
 
 
Vamos aproximar a área da região 𝑆 por 
retângulos, fazendo a soma das áreas dos 
retângulos. A figura seguinte ilustra a área da 
região 𝑆 com alguns retângulos: 
 
 
 
Dividimos o intervalo [𝑎, 𝑏] em 𝑛 partes 
iguais, ou seja, colocamos n retângulos na 
região, cada um terá a mesma base ∆𝑥 onde 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 
Dessa maneira, o intervalo [𝑎, 𝑏] fica 
dividido em n subintervalos de distância ∆𝑥: 
[𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], [𝑥2, 𝑥3], ... , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] 
onde 𝑥0 = 𝑎 e 𝑥𝑛 = 𝑏. Assim, as 
extremidades direitas dos subintervalos são: 
𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥 
𝑥2 = 𝑎 + 2∆𝑥 
𝑥3 = 𝑎 + 3∆𝑥 
⋮ 
𝑥𝑛 = 𝑎 + 𝑛∆𝑥 
Calculando o valor da função em cada 
extremidade direita dos subintervalos, temos a 
altura de cada retângulo. Logo, a soma das 
áreas dos 𝑛 retângulos, que indicaremos por 𝑆𝑛 
é dada por: 
𝑆𝑛 = 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
Temos um somatório, isso pode ser escrito 
como: 
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
 
Por fim, note que a medida em que n cresce, 
ou seja, quanto mais retângulos colcoamos na 
região, mais a soma das áreas dos retângulos 
se aproxima da área da região 𝑆, de modo que 
se 𝑛 tender a infinito, esse somatório tende a 
área da região 𝑆. Portanto, basta calcular o 
limite desse somatório quando 𝑛 tende a 
infinito, e chegamos na integral definida de f(x) 
de a a b, representada por : 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
𝑏
𝑎
 
Observações: 
 
 Esse limite é conhecido como Soma de 
Riemann. 
 ∫ é o sinal de integral, introduzido por 
Leibniz, é um s alongado pois uma integral é 
um limite de somas. 
 Na notação ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, f(x) é chamado de 
integrando, a e b são os limites de integração 
inferior e superior, respectivamente, e 𝑑𝑥 
indica que a integração (procedimento de 
calcular a integral) é em relação a variável x. 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 4 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Calcule ∫ 2𝑥 𝑑𝑥
2
0
 utilizando a definição. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 3 - Esboçe a região cuja área está 
representada pela integral definida em seguida 
calcule a integral pela definição. 
1) ∫ 2 𝑑𝑥
4
1
 
2) ∫ (𝑥 + 2) 𝑑𝑥
2
−1
 
3) ∫ (𝑥2) 𝑑𝑥
2
0
 
 
 
GABARITO 
 
1) 06 
 
 
2) 15/2 
 
 
 
 
 
 
 
3) 8/3 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 5 
 
 
AULA 2 
 
Propriedades da integral definida 
 
Da definição de integral definida decorrem algumas propriedades que vamos admitir como 
verdadeiras sem demontrá-las: 
1) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑏
= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
2) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑎
𝑎
= 0 
3) ∫ 𝑐 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= (𝑏 − 𝑎)𝑐, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
4) ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ±
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
5) ∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
6) ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐 é 𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎 𝑒 𝑏
 
Teorema fundamental do cálculo 
 
O teorema fundamental do cálculo nos 
possibilitará resolver integrais de uma maneira 
bem mais prática, sem precisar utilizar a 
definição. 
Primeiro, vamos definir função primitiva. 
Dada uma função 𝑓(𝑥), a sua primitiva, 
representada por 𝐹(𝑥), é outra função tal que 
sua derivada é a 𝑓(𝑥), ou seja, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
Por exemplo, se 𝑓(𝑥) = 𝑥, 𝐹(𝑥) = 𝑥2 2⁄ . 
O teorema fundamental do cálculo, de uma 
maneira bem simples, diz que o resultado da 
integral definida ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 é dado por 
𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎), onde 𝐹(𝑥) é uma primitiva de f. 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - Sabendo que ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = −3
1
−2
 e 
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
1
0
= 9, calcule ∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡
0
−2
. 
 
 
2 – Calcule ∫ 2𝑥 − 1 𝑑𝑥
3
1
 
3 – Se ∫ 𝑔(𝑢) 𝑑𝑢
𝑥
0
= 𝑥3 + 2𝑥, determine 
𝑔(3). 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 10 - Calcule a integral definida. 
 
1) ∫ 4 𝑑𝑥
3
0
 
2) ∫ 𝑥 𝑑𝑥
4
0
 
3) ∫
𝑥
2
 𝑑𝑥 
4
0
 
4) ∫ (2𝑥 + 5)𝑑𝑥
2
0
 
5) ∫ (5 − 𝑥)𝑑𝑥
5
0
 
6) ∫ (−𝑥2 + 4𝑥 − 3) 𝑑𝑥
3
1
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 6 
 
 
7) ∫ (5 − 2𝑡 + 3𝑡2) 𝑑𝑡
4
1
 
8) ∫ 𝑥10 𝑑𝑥
1
0
 
9) ∫ 
1
𝑥
 𝑑𝑥
3
2
 
10) ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃
2𝜋
𝜋
 
 
 
GABARITO 
 
1) 12 
2) 8 
3) 4 
4) 14 
5) 25/2 
6) 4/3 
7) 63 
8) 1/11 
9) ln 3 – ln 2 
10) 0 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 7 
 
 
AULA 3 
 
Integral indefinida 
 
A integral indefinida é aquela que não possui 
limites de integração, seu resultado não é um 
número, como na integral definida, mas sim 
uma família de funções. A notação ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
é tradicionalmente usada para a primitiva de 𝑓, 
e é chamada integral indefinida. Logo, 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥), isso significa que 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Por exemplo: 
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶 
Note que essa constante pode ter qualquer 
valor que a derivada sempre resulta 2𝑥. 
Portanto, uma integral indefinida é uma família 
de funções, pois existe uma primitiva para cada 
valor da constante. 
 
Integrais indefinidas fundamentais 
 
A tabela a seguir fornece as integrais 
indefinidas fundamentais, que devemos 
conhecer para poder integrar qualquer função, 
inclusive as mais complexas que veremos mais 
a frente. Todas elas podem ser verificadas 
derivando-se o segundo lado da igualdade e 
obtendo-se o integrando. 
∫ 𝑘 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶, (𝑛 ≠ −1) 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶 
∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 + 𝐶 
∫ sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 
∫ cosssec 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = −cossec 𝑥 + 𝐶 
 
Também são válidas as seguintes 
propriedades: 
∫ 𝑐𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 
∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 a 3 – Determine a integral indefinida. 
 
1) ∫ √𝑥
3
 𝑑𝑥 
2) ∫
4
𝑥
 𝑑𝑥 
3) ∫
4 + 𝑢2
𝑢3
 𝑑𝑢 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 5 – Encontre a integral indefinida. 
 
1) ∫ √𝑥5
10
 𝑑𝑥 
2) ∫ 𝑥(2 + 𝑥5) 𝑑𝑥 
3) ∫ 𝑥2 + 𝑥−2 𝑑𝑥 
4) ∫
𝑥3 − 2√𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
5) ∫ sec 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 8 
 
 
6 a 10 – Calcule a integral. 
 
6) ∫ 
3
𝑡4
 𝑑𝑡
2
1
 
7) ∫ 𝑥
4
5⁄ 𝑑𝑥
1
0
 
8) ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑡 𝑑𝑡
𝜋
4⁄
0
 
9) ∫ (2𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑒𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
 
10) ∫ 
𝑣3 + 3𝑣6
𝑣4
 𝑑𝑣
2
1
 
 
 
 
GABARITO 
 
1) 
2𝑥
3
2⁄
3
+ 𝐶 
2) 𝑥2 +
𝑥7
7
+ 𝐶 
3) 
𝑥3
3
−
1
𝑥
+ 𝐶 
4) 
𝑥3
3
− 4√𝑥 + 𝐶 
5) sec 𝜃 + 𝐶 
6) 
7
8
 
7) 
5
9
 
8) 1 
9) 5 − 𝑒𝜋 
10) ln 2 + 7 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 9 
 
 
AULA 4 
 
Integração por substituição 
 
Na aula anterior vimos as integrais 
fundamentais, porém, na maioria das funções 
não teremos de imediato uma integral 
fundamental, será necessário aplicar alguma 
técnica para chegar em algo que possamos 
integrar. 
A primeira técnica é a integração por 
substituição, que consiste numa mudança de 
variável, gerando algo que possamos integrar. 
Observe os exemplos. 
 
Exemplo 1: 
 
 Calcule ∫ √2𝑥 + 1 𝑑𝑥 
Basta fazer uma substituição de variável 
trocando 2𝑥 + 1 por 𝑢. 
𝑢 = 2𝑥 + 1 
Devemos agora derivar os dois lados da 
igualdade, encontrando 𝑑𝑥: 
𝑢 = 2𝑥 + 1 
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
 
Substituindo na integral 
∫(𝑢)
1
2⁄ 
𝑑𝑢
2
 
=
1
2
∫(𝑢)
1
2⁄ 𝑑𝑢 
Chegamos assim em algo que sabemos 
integrar, é uma integral fundamental, fica 
1
2
∙
(𝑢)
3
2⁄
3
2⁄
+ 𝐶 
=
(𝑢)
3
2⁄
3
+ 𝐶 
 
E finalmente, substituímos u retornando para a 
variável original, logo 
∫ √2𝑥 + 1 𝑑𝑥 =
(2𝑥 + 1)
3
2⁄
3
+ 𝐶 
 
 
Exemplo 2: 
 
 Calcule 
∫
2𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 
Nesse exemplo, devemos fazer 𝑢 = 𝑥2 + 1. 
𝑢 = 𝑥2 + 1 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥
 
Fazendo a substituição, a integral fica 
∫
2𝑥
𝑢
∙
𝑑𝑢
2𝑥
 
Note que o numerador 2𝑥, que ficou fora da 
substituição, será simplificado com o 2𝑥 que 
surgiu na derivada de 𝑢, assim, não terá 𝑥 no 
integrando, ficará apenas na variável 𝑢, em algo 
possível de integrar, esse é o objetivo. 
∫
1
𝑢
 𝑑𝑢 = ln |𝑢| + 𝑐 
Portanto 
∫
2𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 = ln |𝑥2 + 1| + 𝑐 
 
Exemplo 3: 
 
 Calcule ∫ 𝑥2𝑒−4𝑥
3
 𝑑𝑥 
Agora, 𝑢 = −4𝑥3, pois a derivada de 𝑢 
resulta −12𝑥2, que simplificará o 𝑥2. 
𝑢 = −4𝑥3 
𝑑𝑢 = −12𝑥2 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
12𝑥2
 
Fazendo a substituição, temos 
∫ 𝑥2 ∙ 𝑒𝑢 (−
𝑑𝑢
12𝑥2
) = −
1
12
∫ 𝑥2 ∙ 𝑒𝑢 (
𝑑𝑢
𝑥2
) 
= −
1
12
∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = −
1
12
(𝑒𝑢 + 𝐶) 
Logo 
∫ 𝑥2𝑒−4𝑥
3
 𝑑𝑥 = −
1
12
(𝑒−4𝑥
3
+ 𝐶) 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 10 
 
 
Exemplo 4: 
 
 Calcule ∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
Fazemos 𝑢 = cos (𝑥), pois 
𝑑𝑢 = − sen(𝑥) 𝑑𝑥, simplificando o fator 
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
𝑑𝑥 = −
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 
Substituindo na integral 
∫ 𝑢2 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (−
𝑑𝑢
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
) 
− ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = −
𝑢3
3
+ 𝐶 
Assim 
∫ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
3
+ 𝐶 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 e 2 – Calcule a integral definida. 
 
1) ∫
𝑑𝑡
(3 − 2𝑡)2
1
0
 
2) ∫ 𝑥𝑒−𝑥
2
1
0
 𝑑𝑥 
 
 
 
3 a 10 - Calcule a integral indefinida por 
substituição. 
 
3) ∫
𝑑𝑥
5 − 3𝑥
 
4) ∫ 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 
5) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥2) 𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑥√1 − 𝑥2 𝑑𝑥 
7) ∫ 𝑥(4 + 𝑥2)10 𝑑𝑥 
8) ∫
𝑒𝑢
(1 − 𝑒𝑢)2
 𝑑𝑢 
9) ∫
(ln 𝑥)2
𝑥
 𝑑𝑥 
10) ∫
cos(𝑥)
(1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥))5
 𝑑𝑥 
 
 
GABARITO 
 
1) 
1
3
 
2) 
−𝑒−1
2
+
1
2
 
3) −
ln|5 − 3𝑥|
3
+ 𝐶 
4) 
𝑒5𝑥
5
+ 𝐶 
5) −
cos(𝑥2)
2
+ 𝐶 
6) −
(1 − 𝑥2)
3
2⁄
3
+ 𝐶 
7) 
(4 + 𝑥2)11
22
+ 𝐶 
8) 
1
1 − 𝑒𝑥
+ 𝐶 
9) 
(ln 𝑥)3
3
+ 𝐶 
10) −
1
4(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)4
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 11 
 
 
AULA 5 
 
Integração por partes 
 
A integração por partes será útil na resolução 
de algumas integrais que apresentam um 
produto de duas funções no integrando. 
Inicialmente vamos lembrar da derivada de um 
produto de funções: 
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 
Dessa maneira, a integral do segundo lado 
da igualdade é o produto das funções, ou seja: 
∫[𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
Agora podemos abrir a soma em duas integrais 
e isolar uma delas: 
∫ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) 
∫ 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 
Para simplificar, seja 𝑢 = 𝑓(𝑥) e 
𝑣 = 𝑔(𝑥), assim temos uma fórmula para 
calcular a integral de 𝑢𝑑𝑣 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
Portanto, a integração por partes servirá para 
integrar um produto de duas funções, onde uma 
delas será a função 𝑢, que precisaremos 
derivar, e a outra será a função 𝑑𝑣, ou seja, a 
derivada da função 𝑣, que teremos de integrá-la 
para descobrir 𝑣. Note que aplicando a 
integração por partes, uma nova integral é 
gerada, nosso objetivo é fazer com que ela seja 
mais simples que a integral inicial, para isso é 
importante escolher adequadamente quem será 
a função 𝑢. 
Então surge a dúvida: como saberei qual 
função escolher para 𝑢 e consequentemente 
para 𝑑𝑣 ? Bem, devemos escolher para 𝑢, a 
função cuja derivada se torna mais simples que 
a própria função. Existe um macete que ajuda 
nessa escolha, lembre-se da palavra LIATE, 
que traz as iniciais de diferentes tipos de 
funções, onde seguimos a ordem de 
precedência de L até E, na escolha de 𝑢, onde: 
Logarítmicas 
Inversas de trigonométricas 
Algébricas 
Trigonométricas 
Exponenciais 
Exemplo 1: 
 
Calcule ∫ 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
 
A função 𝑒2𝑥 é uma exponencial, funções 
exponenciais são as últimas na ordem de 
escolha de 𝑢, pois suas derivadas resultam a 
própria função (no caso de 𝑒𝑥) ou até mesmo 
uma função mais complicada (no caso de 𝑎𝑥). 
Assim, escolhemos 𝑢 = 𝑥 e consequentemente 
𝑑𝑣 = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥, dessa maneira 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥 e 
𝑣 = 𝑒2𝑥 2⁄ , logo: 
∫ 𝑥𝑒2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥
𝑒2𝑥
2
− ∫
𝑒2𝑥
2
∙ 1 𝑑𝑥 
 
 = 𝑥
𝑒2𝑥
2
−
1
2
∫ 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 
 =
𝑥𝑒2𝑥
2
−
1
2
∙
𝑒2𝑥
2
+ 𝐶 
 =
𝑥𝑒2𝑥
2
−
𝑒2𝑥
4
+ 𝐶 
 
Exemplo 2: 
 
Calcule ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 
 
Agora escolhemos u = ln 𝑥 e 𝑑𝑣 = 1 𝑑𝑥, 
encontrando 𝑑𝑢 = 1 𝑥⁄ 𝑑𝑥 e 𝑣 = 𝑥. 
Aplicando a substituição por partes: 
∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − ∫ 𝑥 ∙
1
𝑥
 𝑑𝑥 
 = 𝑥𝑙𝑛 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 
 
Observação: A integral que surge no 
desenvolvimento da integração por partes pode 
necessitar de uma nova aplicação de integração 
por partes ou uma substituição para sua 
resolução, nem sempre será imediata. 
 
Exemplo 3: 
 
Encontre ∫(𝑥2 + 2𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 
 
Utilizando o macete LIATE, a função algébrica 
aparece antes da trigonométrica, logo, 
escolhemos 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 e 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥, 
onde 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 e 𝑣= 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 
∫(𝑥2 + 2𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 12 
 
 
= (𝑥2 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥(2𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
A integral obtida não é imediata, para resolvê-la, 
precisamos aplicar uma nova integração por 
partes, onde 𝑢 = 2𝑥 + 2 e 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 
assim, 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 e 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥. 
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥(2𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
= (2𝑥 + 2)(− cos 𝑥) − ∫ −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
= (2𝑥 + 2)(− cos 𝑥) + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
= (2𝑥 + 2)(− cos 𝑥) + 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
 
Logo, 
∫(𝑥2 + 2𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 
= (𝑥2 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥(2𝑥 + 2) 𝑑𝑥 
= (𝑥2 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 − [(2𝑥 + 2)(−𝑐𝑜𝑠𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛𝑥] + 𝐶 
= (𝑥2 + 2𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑥 + (2𝑥 + 2)𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 10 – Calcule a integral indefinida. 
1) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 
2) ∫ 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 
3) ∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
4) ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 
5) ∫ ln 2𝑥 𝑑𝑥 
6) ∫ 𝑥2𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
7) ∫ 𝑡2𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 
8) ∫(ln 𝑥)2 𝑑𝑥 
9) ∫ 𝑡√𝑡 − 4 𝑑𝑡 
10) ∫ cos 𝑥 ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑑𝑥 
Dica: Primeiro faça uma substituição e em 
seguida use a integração por partes. 
 
 
 
GABARITO 
 
1) − 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 
2) 
𝑥3 ln 𝑥
3
−
𝑥3
9
+ 𝐶 
3) 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝐶 
4)
−5𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (5𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
25
+ 𝐶 
5) 
2𝑥𝑙𝑛(2𝑥) − 2𝑥
2
+ 𝐶 
6) − 𝑥2𝑒−𝑥 − 2𝑥𝑒−𝑥 − 2𝑒−𝑥 + 𝐶 
7) −
𝑡2 cos(2𝑡)
2
+
𝑡𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
2
+
𝑐𝑜𝑠(2𝑡)
4
𝐶 
8) 𝑥(ln 𝑥)2 − 2𝑥𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 + 𝐶 
9) 
2(𝑥 − 4)
5
2⁄
5
+
8(𝑥 − 4)
3
2⁄
3
+ 𝐶 
10) 𝑠𝑒𝑛 𝑥[ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) − 1] + 𝐶 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
STEWART, James. Cálculo, vol.1. 7a. ed. São 
Paulo, Cengage Learning. 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/