Apostila de integrais (volume 1)
12 pág.

Apostila de integrais (volume 1)


DisciplinaCálculo I89.933 materiais1.559.186 seguidores
Pré-visualização3 páginas
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 1 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 2 
 
 
Índice 
 
AULA 1 Introdução 3 
 
AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5 
 
AULA 3 Integrais indefinidas 7 
 
AULA 4 Integração por substituição 9 
 
AULA 5 Integração por partes 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 3 
 
 
AULA 1 
 
Introdução 
 
Desde os tempos mais antigos os 
matemáticos se preocupam com o problema de 
determinar a área de uma figura plana. O 
procedimento mais usado foi o método da 
exaustão, que consiste em aproximar a figura 
dada por meio de outras, cujas áreas são 
conhecidas. 
A integral surge desse problema. Com ela 
conseguimos determinar a área de uma região 
plana \ud835\udc46, delimitada pelo gráfico de uma função 
contínua não negativa f, pelo eixo x e por duas 
retas verticais \ud835\udc65 = \ud835\udc4e e \ud835\udc65 = \ud835\udc4f. 
 
 
Vamos aproximar a área da região \ud835\udc46 por 
retângulos, fazendo a soma das áreas dos 
retângulos. A figura seguinte ilustra a área da 
região \ud835\udc46 com alguns retângulos: 
 
 
 
Dividimos o intervalo [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] em \ud835\udc5b partes 
iguais, ou seja, colocamos n retângulos na 
região, cada um terá a mesma base \u2206\ud835\udc65 onde 
\u2206\ud835\udc65 =
\ud835\udc4f \u2212 \ud835\udc4e
\ud835\udc5b
 
Dessa maneira, o intervalo [\ud835\udc4e, \ud835\udc4f] fica 
dividido em n subintervalos de distância \u2206\ud835\udc65: 
[\ud835\udc650, \ud835\udc651], [\ud835\udc651, \ud835\udc652], [\ud835\udc652, \ud835\udc653], ... , [\ud835\udc65\ud835\udc5b\u22121, \ud835\udc65\ud835\udc5b] 
onde \ud835\udc650 = \ud835\udc4e e \ud835\udc65\ud835\udc5b = \ud835\udc4f. Assim, as 
extremidades direitas dos subintervalos são: 
\ud835\udc651 = \ud835\udc4e + \u2206\ud835\udc65 
\ud835\udc652 = \ud835\udc4e + 2\u2206\ud835\udc65 
\ud835\udc653 = \ud835\udc4e + 3\u2206\ud835\udc65 
\u22ee 
\ud835\udc65\ud835\udc5b = \ud835\udc4e + \ud835\udc5b\u2206\ud835\udc65 
Calculando o valor da função em cada 
extremidade direita dos subintervalos, temos a 
altura de cada retângulo. Logo, a soma das 
áreas dos \ud835\udc5b retângulos, que indicaremos por \ud835\udc46\ud835\udc5b 
é dada por: 
\ud835\udc46\ud835\udc5b = \ud835\udc53(\ud835\udc651)\u2206\ud835\udc65 + \ud835\udc53(\ud835\udc652)\u2206\ud835\udc65 + \u22ef + \ud835\udc53(\ud835\udc65\ud835\udc5b)\u2206\ud835\udc65 
Temos um somatório, isso pode ser escrito 
como: 
\u2211 \ud835\udc53(\ud835\udc65\ud835\udc56)\u2206\ud835\udc65
\ud835\udc5b
\ud835\udc56=1
 
Por fim, note que a medida em que n cresce, 
ou seja, quanto mais retângulos colcoamos na 
região, mais a soma das áreas dos retângulos 
se aproxima da área da região \ud835\udc46, de modo que 
se \ud835\udc5b tender a infinito, esse somatório tende a 
área da região \ud835\udc46. Portanto, basta calcular o 
limite desse somatório quando \ud835\udc5b tende a 
infinito, e chegamos na integral definida de f(x) 
de a a b, representada por : 
\u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65)\ud835\udc51\ud835\udc65 = lim
\ud835\udc5b\u2192\u221e
\u2211 \ud835\udc53(\ud835\udc65\ud835\udc56)\u2206\ud835\udc65
\ud835\udc5b
\ud835\udc56=1
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
 
Observações: 
 
\uf0b7 Esse limite é conhecido como Soma de 
Riemann. 
\uf0b7 \u222b é o sinal de integral, introduzido por 
Leibniz, é um s alongado pois uma integral é 
um limite de somas. 
\uf0b7 Na notação \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65)\ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
, f(x) é chamado de 
integrando, a e b são os limites de integração 
inferior e superior, respectivamente, e \ud835\udc51\ud835\udc65 
indica que a integração (procedimento de 
calcular a integral) é em relação a variável x. 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 4 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Calcule \u222b 2\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65
2
0
 utilizando a definição. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 3 - Esboçe a região cuja área está 
representada pela integral definida em seguida 
calcule a integral pela definição. 
1) \u222b 2 \ud835\udc51\ud835\udc65
4
1
 
2) \u222b (\ud835\udc65 + 2) \ud835\udc51\ud835\udc65
2
\u22121
 
3) \u222b (\ud835\udc652) \ud835\udc51\ud835\udc65
2
0
 
 
 
GABARITO 
 
1) 06 
 
 
2) 15/2 
 
 
 
 
 
 
 
3) 8/3 
 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 5 
 
 
AULA 2 
 
Propriedades da integral definida 
 
Da definição de integral definida decorrem algumas propriedades que vamos admitir como 
verdadeiras sem demontrá-las: 
1) \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4e
\ud835\udc4f
= \u2212 \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
 
2) \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4e
\ud835\udc4e
= 0 
3) \u222b \ud835\udc50 \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
= (\ud835\udc4f \u2212 \ud835\udc4e)\ud835\udc50, \ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc52 \ud835\udc50 é \ud835\udc62\ud835\udc5a\ud835\udc4e \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc4e\ud835\udc5b\ud835\udc61\ud835\udc52 
4) \u222b [\ud835\udc53(\ud835\udc65) ± \ud835\udc54(\ud835\udc65)] \ud835\udc51\ud835\udc65 = \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65 ±
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
 \u222b \ud835\udc54(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
 
5) \u222b \ud835\udc50\ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
= \ud835\udc50 \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
, \ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc52 \ud835\udc50 é \ud835\udc62\ud835\udc5a\ud835\udc4e \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc4e\ud835\udc5b\ud835\udc61\ud835\udc52 
6) \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
= \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc50
\ud835\udc4e
+ \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc50
 \ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc51\ud835\udc52 \ud835\udc50 é \ud835\udc62\ud835\udc5a \ud835\udc5d\ud835\udc5c\ud835\udc5b\ud835\udc61\ud835\udc5c \ud835\udc52\ud835\udc5b\ud835\udc61\ud835\udc5f\ud835\udc52 \ud835\udc4e \ud835\udc52 \ud835\udc4f
 
Teorema fundamental do cálculo 
 
O teorema fundamental do cálculo nos 
possibilitará resolver integrais de uma maneira 
bem mais prática, sem precisar utilizar a 
definição. 
Primeiro, vamos definir função primitiva. 
Dada uma função \ud835\udc53(\ud835\udc65), a sua primitiva, 
representada por \ud835\udc39(\ud835\udc65), é outra função tal que 
sua derivada é a \ud835\udc53(\ud835\udc65), ou seja, \ud835\udc39\u2032(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc65). 
Por exemplo, se \ud835\udc53(\ud835\udc65) = \ud835\udc65, \ud835\udc39(\ud835\udc65) = \ud835\udc652 2\u2044 . 
O teorema fundamental do cálculo, de uma 
maneira bem simples, diz que o resultado da 
integral definida \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65
\ud835\udc4f
\ud835\udc4e
 é dado por 
\ud835\udc39(\ud835\udc4f) \u2013 \ud835\udc39(\ud835\udc4e), onde \ud835\udc39(\ud835\udc65) é uma primitiva de f. 
 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1 - Sabendo que \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc61)\ud835\udc51\ud835\udc61 = \u22123
1
\u22122
 e 
\u222b \ud835\udc53(\ud835\udc61) \ud835\udc51\ud835\udc61
1
0
= 9, calcule \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc61) \ud835\udc51\ud835\udc61
0
\u22122
. 
 
 
2 \u2013 Calcule \u222b 2\ud835\udc65 \u2212 1 \ud835\udc51\ud835\udc65
3
1
 
3 \u2013 Se \u222b \ud835\udc54(\ud835\udc62) \ud835\udc51\ud835\udc62
\ud835\udc65
0
= \ud835\udc653 + 2\ud835\udc65, determine 
\ud835\udc54(3). 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1 a 10 - Calcule a integral definida. 
 
1) \u222b 4 \ud835\udc51\ud835\udc65
3
0
 
2) \u222b \ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65
4
0
 
3) \u222b
\ud835\udc65
2
 \ud835\udc51\ud835\udc65 
4
0
 
4) \u222b (2\ud835\udc65 + 5)\ud835\udc51\ud835\udc65
2
0
 
5) \u222b (5 \u2212 \ud835\udc65)\ud835\udc51\ud835\udc65
5
0
 
6) \u222b (\u2212\ud835\udc652 + 4\ud835\udc65 \u2212 3) \ud835\udc51\ud835\udc65
3
1
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 6 
 
 
7) \u222b (5 \u2212 2\ud835\udc61 + 3\ud835\udc612) \ud835\udc51\ud835\udc61
4
1
 
8) \u222b \ud835\udc6510 \ud835\udc51\ud835\udc65
1
0
 
9) \u222b 
1
\ud835\udc65
 \ud835\udc51\ud835\udc65
3
2
 
10) \u222b cos \ud835\udf03 \ud835\udc51\ud835\udf03
2\ud835\udf0b
\ud835\udf0b
 
 
 
GABARITO 
 
1) 12 
2) 8 
3) 4 
4) 14 
5) 25/2 
6) 4/3 
7) 63 
8) 1/11 
9) ln 3 \u2013 ln 2 
10) 0 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.matematicaemexercicios.com/
 
 
www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume 1) | 7 
 
 
AULA 3 
 
Integral indefinida 
 
A integral indefinida é aquela que não possui 
limites de integração, seu resultado não é um 
número, como na integral definida, mas sim 
uma família de funções. A notação \u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65 
é tradicionalmente usada para a primitiva de \ud835\udc53, 
e é chamada integral indefinida. Logo, 
\u222b \ud835\udc53(\ud835\udc65) \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc39(\ud835\udc65), isso significa que 
\ud835\udc39\u2032(\ud835\udc65) = \ud835\udc53(\ud835\udc65). Por exemplo: 
\u222b 2\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc652 + \ud835\udc36 
Note que essa constante pode ter qualquer 
valor que a derivada sempre resulta 2\ud835\udc65. 
Portanto, uma integral indefinida é uma família 
de funções, pois existe uma primitiva para cada 
valor da constante. 
 
Integrais indefinidas fundamentais 
 
A tabela a seguir fornece as integrais 
indefinidas fundamentais, que devemos 
conhecer para poder integrar qualquer função, 
inclusive as mais complexas que veremos mais 
a frente. Todas elas podem ser verificadas 
derivando-se o segundo lado da igualdade e 
obtendo-se o integrando. 
\u222b \ud835\udc58 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc58\ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc65\ud835\udc5b \ud835\udc51\ud835\udc65 =
\ud835\udc65\ud835\udc5b+1
\ud835\udc5b + 1
+ \ud835\udc36, (\ud835\udc5b \u2260 \u22121) 
\u222b
1
\ud835\udc65
 \ud835\udc51\ud835\udc65 = ln |\ud835\udc65| + \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc52\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc52\ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc4e\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 =
\ud835\udc4e\ud835\udc65
ln \ud835\udc4e
+ \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b \ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \u2212 cos \ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b cos \ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc5b \ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc502\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \ud835\udc61\ud835\udc54 \ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b \ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc60\ud835\udc52\ud835\udc502\ud835\udc65 \ud835\udc51\ud835\udc65 = \u2212\ud835\udc50\ud835\udc5c\ud835\udc61\ud835\udc54 \ud835\udc65 + \ud835\udc36 
\u222b sec \ud835\udc65 \ud835\udc61\ud835\udc54 \ud835\udc65
Átila
Átila fez um comentário
material show de bola.
1 aprovações
Carregar mais