Apostila_Desenho_Geometrico_EBER_NUNES_FERREIRA

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DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
ÍNDICE
1 - INTRODUÇÃO À GEOMETRIA 03
2 - LUGARES GEOMÉTRICOS 04
3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS 13
4 - ÂNGULOS 15
5 - POLÍGONOS 25
6 - TRIÂNGULOS 26
7 - QUADRILÁTEROS 36
8 - CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 41
9 - TANGÊNCIA 49
10 - CONCORDÂNCIA 53
11 - CALIGRAFIA TÉCNICA 57
12 - INSTRUMENTALIZAÇÃO 58
3DESENHO GEOMÉTRICO
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1-INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
A - INTRODUÇÃO
A Geometria é a ciência que tem por objetivo o estudo rigoroso do espaço e das figuras que
nele podem conceber. Baseia-se em:
- conceitos primitivos: aqueles que não se definem, mediante os quais podem ser
definidos todos os outros. Ex.: o ponto
- postulados: proposições admitidas sem demonstrações. Ex.: há infinitos pontos em
uma reta.
- teoremas: proposições que necessitam de demomonstrações. Ex: a soma do quadrado
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (Terema de Pitágoras).
B - ELEMENTOS FUNDAMENTAIS
Ponto
O ponto resulta da interseção de duas linhas, sendo indicado com letras maiúsculas ou
números: A, B, C, ... 1, 2, 3, ... e representados da seguinte forma:
Linha
Conceituação: a linha pode ser comparada a uma série de pontos que se sucedem no
espaço, tão próximos que se confundem num traço contíguo, unidimensional. Assim, podemos
concebê-la como o conjunto das posições de um ponto móvel, podendo se apresentar com a forma:
Linha Reta
Quando um ponto se desloca no espaço sem nunca mudar de direção, ele dá origem a uma
linha reta, sendo esta, infinita e ilimitada nos dois sentidos.
A 1
linha reta linha poligonal linha mista linha curva
reta segmento de reta semi-reta
A PBr r
As retas podem ser classificadas conforme a posição absoluta em que se encontra, e quanto
às posições relativas.
Posição Absoluta Posições Relativas (retas coplanares)
horizontal
vertical
inclinada
a b
COINCIDENTES
a
b
PARALELAS
a
b
CONCORRENTES
a
b
PERPENDICULARES
4DESENHO GEOMÉTRICO
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2 - LUGARES GEOMÉTRICOS
Conceito:
Lugar Geométrico de pontos é o lugar do plano onde todos os pontos nele situados gozam
de uma mesma propriedade.
Existem vários lugares geométricos, no entanto, cinco são considerados os mais importantes.
São eles: circunferência, mediatriz, bissetriz, paralela e arco-capaz.
1 - Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de um ponto dado.
Plano
O plano pode ser considerado como o conjunto das posições de uma linha reta móvel, que se desloca
paralelamente a si mêsma em uma única direção. É designado por letras minúsculas do alfabeto grego.
É representado da seguinte forma.
αβχδεφγηιϕκλµνοπθρθστυϖζ
2 - Mediatriz: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de dois pontos dados.
22
OO
11
33
……
A1=1B AP=PB
1
1
2
… …
P
P
2
A
A
B
B
5DESENHO GEOMÉTRICO
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5 - Arco-capaz: é o lugar gemétrico dos pontos de onde segmentos dados, são vistos
segundo ângulos dados.
4 - Bissetriz: é o lugar gemétrico dos pontos eqüidistantes de duas retas concorrentes, ou
o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos lados de um ângulo dado.
3 - Paralela: é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de uma reta dada.
Lembre-se que a maior corda de uma circunferência é o seu diâmetro. O valor do arco-
capaz quando a corda passa pelo centro é de 90º e neste caso, os ângulos ααααα e βββββ são congruentes
(iguais).
xxx
yy
y'
111
1'
222
2'
333
3'
444
4'
555
5'
AAA
dd
d
BBB CCC DDD EEE
A
A
A A
A A
O
O
O O
O O
B
B
B B
B B
CORD
A
CORD
A
CORD
A
CORD
A
CORD
A
CORD
AP
P
Q
Q'
P'
Esta é uma propriedade observada entre a circunferência e sua corda.
(Corda é o segmento que une dois pontos distintos da circunferência)
P'
P"
P"
A A
O
O
B B
CORDA = DIÂMETROQ
Q
A AB BC C BISSETRIZ
BISSETRIZ
O O
1 1
1' 1'
2 2
2' 2'
3 3
3' 3'
d d
d d x
x x
y
y y
6DESENHO GEOMÉTRICO
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Os exercícios que se seguem de 01 a 09 são apresentados já resolvidos e acompanhados
do método construtivo. O aluno deverá repetir cada exercício assimilando e raciocinando os
procedimentos utilizados. Os exercícios de 10 a 17 são apresentados apenas com o enunciado e o
aluno deverá valer-se dos conhecimentos adquiridos. (Os exercícos resolvidos nem sempre se
apresentam com as medidas reais).
01 - Determine a mediatriz dos pontos A e B . Lembre-se : a mediatriz determina o ponto
médio do segmento definido pelos pontos A e B.
Construção: Centro em A, com abertura qualquer do compasso maior que a metade de AB, descreve-se um arco acima e
outro abaixo do segmento dado. Centro em B, com a mesma abertura repete-se a operação anterior. Os arcos se cruzarãos aos pares
determinando os pontos 1 e 2, que ligados determinarão a mediatriz pedida.
Obs.: a abertura maior que a metade, pode ser maior que o próprio segmento. Vale salientar que quanto mais distantes ficarem os pontos
1 e 2, maior será a precisão.
02 - Levantar uma perpendicular ao meio do segmento AB (mediatriz AB) situado sobre a
reta x.
Construção: Determinar a mediatriz de AB.
03 - Por um ponto P situado fora da reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
PROCESSO I - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x
(prolongue-o se necessário). Agora determine a mediatriz de 12 e obtenha y.
1
2
A B A B
A Bx
1
2
A B
x
y
P
1 2
x
P
7DESENHO GEOMÉTRICO
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04 - Por um ponto P, situado na reta x, levantar a reta y perpendicular à x.
Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando os pontos 1 e 2 sobre x. Obtenha y
determinando a mediatriz de 12.
PROCESSO II - Construção: Determina-se arbitrariamente o ponto 1 sobre a reta x. Centro em 1, abertura 1P, descreve-
se um arco determinando o ponto 2 sobre 1x. Centro em 2, abertura 2P descreve-se outro arco que interceptará o primeiro no ponto 3.
Uni-se 3 a P e obtém-se a perpendicular pedida.
y
x
P
1 2
3
x
P
y
1 2
P x P x
05 - Pelo ponto P, situado na extremidade da reta x, levantar a reta y perpendicular à x. (Nos
processos referentes a este exercício, não é previsto o prolongamento da reta)
PROCESSO I - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que
120º) determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2, em seguida, centro em 2 e determina-se 3,
ambos sobre o arco inicial. Agora, basta encontrar a mediatriz dos pontos 2 e 3 e teremos solucionado o exercício. Pelo fato do ponto
P, pertencer à mediatriz, basta determinar o ponto 4. Obs.: a abertura inicial é qualquer, mas depois de estabelecida, não poderá ser
alterada dentro do exercício.
x
y
1
23
4
P xP
8DESENHO GEOMÉTRICO
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PROCESSO II - Construção: Tomando como extremidade o ponto P, abertura qualquer, descreve-se um arco (maior que
60º) determinando o ponto 1 sobre x. Com mesma abertura, centro em 1, determina-se 2 sobre o arco. Une-se 1 a 2 prolongando-o,
determinando assim a reta auxiliar a . Com a mesma abertura, à partir de 2 determina-se 3 sobre a. O ponto 3 ligado ao ponto P
determinará a perpendicular y pedida.
PROCESSO III - Construção: De um ponto O qualquer, fora da reta dada, com abertura PO, descreve-se um arco (maior que
180°) determinando o ponto 1 sobre x. Une-se 1 a O prolongando-o, Determina-se assim, a reta auxiliar a que encontrará o ponto 2 sobre
o arco. O ponto 2 ligado ao ponto P determinará a perpendicular y pedida.
xPx
y
1
2
a
3
P
PROCESSO IV - Construção: Este processo baseia-se no fato de que todo triângulo de lados 3u, 4u e 5u, é um triângulo
retângulo. Sobre uma reta auxiliar e com o auxílio do compasso ou com o uso da régua graduada, marca-se 5 módulos quaisquer, mas
que sejamiguais entre si . Centro em P, abertura igual a 3 módulos, descreve-se um arco determinando o ponco 1 sobre x. Centro
novamente em P, abertura igual a 4 módulos e descreve-se um segundo arco. Centro em 1, abertura igual a 5 módulos e descreve-se
um arco que interceptaráo anterior determinando o ponto 2. Une-se P a 2 e obtém-se a perpendicular y desejada.
xPx
y
1
2
a
P
O
xPx
y
1
2
3u
u u u u u
4u
5u
P
9DESENHO GEOMÉTRICO
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07 - Traçar uma reta y paralela à reta dada x.
 Construção: Centro em P (ponto qualquer sobre x), abertura qualquer, descreve-se uma semi-circunferência determinando
A e B sobre x. Centro em A, com a mesma abertura, determina-se sobre o arco, o ponto 1. Centro em B, mesma abertura, determina-se
sobre o arco o ponto 2. Com a união dos pontos 1 e 2, obtém-se a reta y pedida.
08 - Determine o lugar geométrico dos pontos equidistantes do ângulo dado (bissetriz).
Construção: Centro em O, abertura qualquer, determina-se sobre os lados do ângulo, os pontos 1 e 2. Centro em 1,
abertura qualquer, traça-se um arco de circunferência. Centro em 2, mesma abertura, e traça-se um outro arco que concorrerá com o
anterior, determinando o ponto 3. Unindo os pontos O e 3, obtém-se a bissetriz pedida.
06 - Por um ponto P, situado fora da reta x, traçar uma reta y paralela a x.
PROCESSO I - Construção: Por P, passe uma reta a qualquer, que corte x no ponto A . Centro em A, abertura AP e
determina-se sobre a o ponto 1. Pelo ponto 1, passe uma reta b qualquer, que corte x no ponto B. Centro em B abertura B1 e determina-
se sobre b o ponto P’. Com a união dos pontos P e P’, obtém-se a reta y pedida.
PROCESSO II - Construção: Centro em P, abertura qualquer, descreve-se um arco determinando 1 em x. Centro em 1,
mesma abertura e determina-se sobre x o ponto 2 (arco P2). Centro em 1, abertura 2P, determina-se sobre o primeiro arco o ponto 3. Com
a união dos pontos 3 e P, obtém-se a reta y pedida.
x x
y
1
a b
P P
A
A1 = AP BP' = B1
B
P'
1P = 12 13 = 2P
x x
y
12
3P
P
1
2
3
O
O
xx
y
A
1 2
BP
10DESENHO GEOMÉTRICO
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09 - Determine a bissetriz do ângulo dado, sem recorrer ao vértice.
Construção: Traçe uma reta auxiliar qualquer cortando os lados do ângulo dado, obtendo os ângulos auxiliares A, B, C e
D. Encontre o ponto 1 com o cruzamento das bissetrizes dos ângulos A e B, e o ponto 2 com as bissetrizes dos ângulos C e D. Com a
união dos pontos 1 e 2, obtém-se a bissetriz pedida.
10 - Dados os pontos 1,2,3 e 4, encontre o ponto P que seja equidistante dos pontos 1 e 2 e
dos pontos 3 e 4.
2
1
3
4
11 - Construa uma circunferência cujo centro pertença a reta x e que contenha os pontos
R e S.
x
S
R
B
A
C
D
1
2
11DESENHO GEOMÉTRICO
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12 - Construa uma circunferência de raio = 3cm e que contenha os pontos R e S.
S
R
13 - Encontre os pontos equidistantes das retas x e y, pertencentes a reta z. Sabe-se que a
reta z é aralela a reta x e contém o ponto R.
x
y
R
14- Encontre o ponto K sabendo-se que o mesmo se encontra equidistante dos lados não
paralelos do trapézio ABCD e distante 2,5 cm da base maior. Quantos pontos solucionam este
exercício ? B
C
D
A
12DESENHO GEOMÉTRICO
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15 - Construa uma circunferência que tangencie os lados do triângulo ABC dado.
B
C
A
16 - Construa o quadrilátero ABCD sabendo que o ponto D encontra-se equidistante dos
pontos A e B e sobre uma reta paralela ao lado BC que passa pelo ponto A.
17 - Construa o triângulo ABC sabendo que o lado BC = 4 cm, é paralelo a reta x.
B
A
x
B
A
C
13DESENHO GEOMÉTRICO
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3 - DIVISÃO DE SEGMENTOS
TEOREMA DE TALES
Um feixe de retas paralelas determina em duas ou mais transversais quaisquer, segmentos
proporcionais.
Considerando o feixe de
retas paralelas equidistantes (v, x,
y, w e z), cortado pelas retas
transversais s e t, temos na reta s,
segmentos iguais de medida a, e na
reta t, segmentos iguais de medida b.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
s//s'
s
s'
DIVISÃO DE SEGMENTOS
Dividir o segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 4.
Dividir o segmento AB em n partes iguais. Considerar n = 3.
PROCESSO I : Contrução: Por A, passe uma
reta auxiliar x formando um ângulo qualquer com o
segmento dado. A partir de A, com o uso do compasso
ou de uma régua graduada, marque sobre x, n módulos
iguais. Una o ponto B a extremidade do último módulo
marcado determinando a reta y. Pelas extremidades de
cada módulo marcado passe uma reta paralela a y. O
encontro de cada reta paralela com o AB, divide o
segmento em n partes iguais.
PROCESSO II : Contrução: Por A passe um
reta auxiliar s determinando um ângulo qualquer com
o segmento AB. Transporte este ângulo para o ponto
B determinando a reta s' paralela a reta s.
Com o uso do compasso ou de uma régua
graduada, marque sobre s e s', n módulos iguais. Ao
unirmos os pontos dos módulos, formando retas
paralelas, o segmento AB é dividido em n partes iguais.
14DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
DIVISÃO SIMULTÂNEA DE SEGMENTOS
Dividir os segmentos AB, CD e EF em n partes iguasis. Considerar n= 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
A B
C D
E F
A B
C D
E F
P
A B
C D
E F
P
E F
P
PRIMEIRO PASSO
SEGUNDO PASSO TERCEIROPASSO
Contrução: Sobre uma reta auxiliar qualquer ,
com o uso do compasso ou de uma régua
graduada, marque n módulos iguais.
Contrua um triângulo equilátero tendo
por lado um dos segmentos a serem diivididos,
preferencialmente o maior deles.
Centro em P com abertura AB,
transporta-se o segmento para o triângulo.
Repete-se esta operação para todos os demais
segmentos a serem divididos incluisve o
segmento formado pelos módulos.
Ao unirmos os pontos dos módulos ao
ponto P todos os segmentos são divididos
simultaneamente em n partes iguais.
DIVISÃO DE SEGMENTOS EM PARTES PROPORCIONAIS
Dividir os segmentos AB proporcional aos lados do Triângulo XYZ.
A B
x
X
y
Yz
Z
BA
x
x'
y
y'
z
z'
PROCESSO I : Contrução: Por A, passe uma
reta auxiliar r formando um ângulo qualquer com o
segmento dado. Sobre r, a partir de A, transporte os
lados y, z e x com o uso do compasso. Una o ponto B a
extremidade do lado x determinando a reta s. Pelas
extremidades de cada segmento transportado, passe
uma reta paralela a y. O encontro de cada reta paralela
com o AB, divide o segmento em partes proporcionais a
y, z e x.
PROCESSO II : Aplicar o mesmo raciocínio
utilizado o segundo processo de divisão em partes iguais.
OBSERVAÇÃO: Com a divisão do segmento AB em partes proporcionais aos lados x, y e z,
do triângulo, podemos construir um outro triângulo de lados x ', y' e z' proporcional a ao primeiro e
cujo perímetro é igual ao segmento AB. Assim sendo, podemos contruir várias figuras proporcionais
as outras conhecendo-se o seu perímetro.
15DESENHO GEOMÉTRICO
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4 - ÂNGULOS
Considere, inicialmente três pontos A, B e C distintos não-colineares sobre uma superfície
plana. Ao definirmos duas semi retas AB e AC, também definiremos duas regiões que elas limitam
no plano. A reunião das semi-retas com qualquer uma das duas regiões por elas limitadas no plano
é denominada ÂNGULO.
Quando os lados do ângulo forem semi-retas opostas,ou seja, os pontos A, B e C forem
distintos colineares, a reunião das duas, resulta em uma única reta. Assim teremos a formação dos
ângulos denominados de rasos ou de meia volta.
Portanto, ângulo é a reunião das semi-retas com a região por eles delimitada. Quando os
lados do ângulo forem coincidentes, teremos a formação dos ângulos: de volta inteira e nulo.
Uma figura é denominada convexa se, para quaisquer dois pontos distintos a ela
pertencentes, todos os pontos do segmento a ela também pertencerem.
A
B
C
ângulo
A
B
C
A
B
C
ângulo
A lados coincidentes
ÂNGULO NULO
A lados coincidentes
ÂNGULO DE VOLTA INTEIRA
A
Alados opostos lados opostos
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
ÂNGULO RASO OU
DE MEIA VOLTA
A
A
lado
lado
lado
lado
ÂNGULO CÔNCAVOÂNGULO CONVEXO
16DESENHO GEOMÉTRICO
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A - ELEMENTOS DE UM ÂNGULO
Vértice do Ângulo : é o ponto comum às semi-retas.
Lados : são as próprias semi-retas.
Abertura Angular : é a unidade de medida do ângulo.
Região Angular : é a porçãocompreendida ou delimitada pelos lados.
B- MEDIDAS DA ABERTURA ANGULAR
A abertura angular pode ser expressa em graus, grados e radianos, onde o maior ângulo que
se obtém ao nível do desenho geométrico é o de 360° , 400 gr ou 2πrd, ou seja, um ângulo de volta
inteira. No entanto utilizaremos durante o curso, o grau, como unidade de medida.
NOTAÇÃO : Para indicarmos que um ângulo, tem uma determinada abertura, escrevemos
das seguintes maneiras:
BÂC = 45° ou  = 45°
Atente para o fato de que dois ou mais ângulos que possuem medidas iguais são chamados
ângulos congruentes.
A
lado
Abertura Angular
Região Angular
Vértice
lado
0° 0gr
100gr
200gr
300gr
400gr
90°
270°
360° 180° Πrd
Πrd
Πr
Πrd
Πrd
   Â
0° 90° 180° 360°
ÂNGULO NULO ÂNGULO DE VOLTA INTEIRAÂNGULO RETO ÂNGULO RASO
C - REGIÃO INTERNA E PONTO INTERIOR (PONTO INTERNO)
Excluíndo os lados de um ângulo, obtemos as seguintes regiões:
- região interna do ângulo convexo
- e a região interna do ângulo côncavo.
Um ponto é considerado ponto interior, quando pertecer à região interna do ângulo.
A P
P
P
AA A
ÂNGULO CÔNCAVO PONTO INTERIORÂNGULO CONVEXO
17DESENHO GEOMÉTRICO
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D - ÂNGULOS CONSECUTIVOS
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um mesmo lado comum.
ângulos consecutivos ângulos não
consecutivos
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos
AÔB e AÔC são ângulos consecutivos
E - ÂNGULOS ADJACENTES
Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possem ponto interior comum
AÔB e BÔC são ângulos consecutivos adjacentes, pois
não possuem ponto interior comum, ou seja, o ponto P
quando pertence a região interna de AÔB, não pertence
a região interna de BÔC e vice-versa.
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔC,eles serão
classificados como ângulos consecutivos não
adjacentes, pois possuem ponto (P) interior comum,
ou seja o ponto P pertence a região interna dos
dois ângulos.
Se consideramos os ângulos AÔC e BÔD, eles serão
classificados como ângulos não
consecutivos,(possuem mesmo vértice, porém não
possuem lado comum), e não adjacentes, pois
possuem um ponto (P) interior comum (o ponto P
pertence a região interna dos dois ângulos).
F - ÂNGULOS COMPLEMENTARES E SUPLEMENTARES
Dois ângulos são complementares, quando a soma de suas aberturas angulares é igual a
um ângulo reto (90°).
Dois ângulos são suplementares, quando a soma de suas aberturas angulares (medidas) é
igual a um ângulo raso (180°).
18DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Analise os ângulos abaixo e classifique-os conforme o exemplo.
BÔC e AÔC ângulos consecutivos não adjacentes complemtares
AÔB e AÔC ............................................................
AÔC e BÔD ............................................................
AÔB e CÔD ............................................................
G - TRANSPORTE GEOMÉTRICO DE ÂNGULOS
Os ângulos obtidos com o auxílio do compasso necessitam que o mesmo seja apontado
corretamente, para a obtenção de contruções geométricas com uma precisão adequada.
Quando permitido, os ângulos podem ser contruídos através do
uso do transferidor e dos esquadros.
Dado um âgulo ααααα , pede-se transportá-lo geometricamente para a semi-reta Or.
V
V O
O O O
1 1' 1' 1'
2
r
2' 2'
α
α α
Utilizando o transporte de ângulos podemos aplicar este conhecimento para adição e subtração
geométrica de ângulos.
75º
180°
170°
160°
150
°
14
0°
30º
19DESENHO GEOMÉTRICO
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H - ADIÇÃO DE ÂNGULOS
Dados os âgulos ααααα e βββββ, pede-se somá-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
O O V
α β
Adotando uma abertura qualquer, descreve-se com ela, em cada um dos vértices, os arcos
12 e 23 e o ponto 1'.
VO O
1 2
2
3
α
β
1'
Com a abertura 12 e centro
em 1' determina-se o ponto 2'.
VV V
2' 2' 2'
3'
3'
aaa
b
1' 1' 1'
Com a abertura 23 e centro em
2' determina-se o ponto 3'.
Os ângulos são somados, ao
tornarem-se consecutivos
adjacentes
I - SUBTRAÇÃO DE ÂNGULOS
Dados os âgulos ααααα e βββββ, pede-se subtraí-los geometricamente tendo como vértice o ponto V.
O O V
α β
Adotando uma abertura qualquer, descreve-se com ela, em cada um dos vértices, os arcos
12 e 23 e o ponto 1'.
VO O
1 2
2
3
α
β
1'
20DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Com a abertura 12 e centro
em 1' determina-se o ponto 2'.
Com a abertura 23 e centro
novamente em 1'' determina-
se o ponto 3'.
O ângulo procurado é a diferença
entre ααααα e β.β.β.β.β. Portanto basta tornar
os ângulos ααααα e β β β β β em ângulos
consecutivos não adjacentes
VV V
2' 2'
2'
3'
3' α
α αα
β
β
1' 1' 1'
EXERCÍCIOS
EFETUE GRAFICAMENTE AS OPERAÇÕES COM OS ÂNGULOS ABAIXO.
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS
O
O
O
O
O
O
V
V
α
α
β
β
χ
χ
1- Construção do ângulo de 45º através da divisão do ângulo de 90º
Observe ao dividir um ângulo reto em 3 partes iguais obtém-se também um ângulo de 30º e outro de 60º
2 - Construção do ângulo de 30º através da divisão do ângulo de 90º em 3 partes iguais.
O
1
2
45º
O
1
O
1
3 23 3
O
1
4
30º
30º
30º
3
2
O
1
4 3
2
O
1
4
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1 e 3.
Com a mesma abertura centros
em 1 e 3 e determina-se 2.
O2 divide o ângulo de 90º em 2
ângulos de 45º.
Com igual abertura, centros em
1 e 4 e determina-se 2 e 3.
O2 e 03 dividem o ângulo de
90º em 3 ângulos de 30º.
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1 e 4.
21DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
4 - Construção do ângulo de 30º
5 - Construção do ângulo de 15º
6 - Construção do ângulo de 75º
3 - Construção do ângulo de 60º
O
1
60º
O
1
2
O
1
2
O
30º
2
O
2
O
1 1 1
O
15º
2
1
O
30º
2
1
O
2
1
O
15º
2
1
75º
O
15º
2
1
75º
O
30º
2
1
60º
Com igual abertura, centro em
1 determina-se 2.
O2 define o ângulo 1O2 de 60ºCentro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em
1 determina-se 2.
O2 define o ângulo de 30ºCentro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
Com igual abertura, centro em
1 determina-se 2. O2 define o
ângulo de 30º
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenha um ângulo de
15º.
Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
A somatória de 60º e 15º
produz o ângulo desejado.
Repita a operação do exercício
3.
Construa a bissetriz d o ângulo
de 30º e obtenha um ângulo de
15º.
22DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
7 - Construção do ângulo de 120º
1
60º
2
60º
3
O
1
2
3
O
1
O
120º
Com igual abertura, centro em
1 determina-se 2. Centro em 2
com mesma abertura e obtem-
se o ponto 3
O ângulo 1O3 mede 120º.Centro em O com abertura
qualquer obtem-se 1.
8 - Dividir um ângulo dado em um número par de partes iguais.
O
1
O
1
O
1
Assim ele foi dividido em duas
vezes.
Em seguida traçam-se
sucessivas bissetrizes.
Determina-se a bissetriz do
ângulo dado.
9 - Dividir um ângulo dado não reto em três iguais.
- Com centro em O, traça-se uma
circunferência auxiliar de raio qualquer,
determinando os pontos A e B.
- Traça-se a mediatriz do ângulo AÔB
determinando o ponto 1 sobre a circunferência.
- A partir do ponto 1, transporta-se com o
auxílio do compasso, a medida do raio
determinando o ponto 2 sobre a bissetriz.
- Prolonga-se os lados do ângulo dado,
determinando os ponto 3 e 4 sobre a
circunferência.
- Unindo os pontos 3 e 2 e também os pontos
4 e 2 obtem-se os pontos 5 e 6
respectivamente.
- Unindo os pontos O5 e O6, dividimos o ângulo
dado em 3 partes iguais.
1/3
O
A
B
1 2
3
4
r r
5
6
1/3
1/3
O
23DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
. O processo é válido para qualquer valor de N e ângulos menores que
180º .Neste exemplo o ângulo = 145º e N=6
1- Dado o angulo AÔB, centre o compasso em O com abertura qualquer
e traço a circunferência
2- Prolongar o lado AO até cruzar com a circunferência, então tem-se C
3- Centre o compasso em A com abertura até C e traçar um arco, centre
o compasso em C com abertura até A e traçar um arco na intersecção
dos arcos tem-se D
4- Unir B a D por um segmento, na intersecção de BD comOC tem-se E
5- Dividir AE em N partes iguais
6-Unir D com as divisões de AE e prolongar até tocar na circunferência
dividindo o angulo em N partes iguais
 O processo é válido para qualquer valor de N e ângulos maiores que
180º .Neste exemplo o ângulo = 220º e N=5
1- Dado o angulo AÔB, centre o compasso em O com abertura qualquer
e trace a circunferência
2- Tirar a bissetriz do angulo AÔB encontrando X
3- Prolongar o lado BO até cruzar com a circunferência, então tem-se C
4- Centre o compasso em B com abertura até C e traçar um arco, centre
o compasso em C com abertura até B e traçar um arco na intersecção
dos arcos tem-se D
5- Unir X a D por um segmento, na intersecção de XD com OC tem-se E
6- Dividir BE em N partes iguais
7-Unir D com 2 e prologar até tocar na circunferência encontrando o
ponto F, que é a sexta parte do Ângulo
8- Com abertura BF à partir de F dividi-se o arco em N partes.
DIVISÃO DE ÂNGULOS MAIORES E MENORES QUE 180º EM N PARTES IGUAIS.
DIVISÃO DE UM ÂNGULO MAIOR
QUE 180º EM N PARTES IGUAIS
A
X
D
E BC 12345 0
O
F
DIVISÃO DE UM ÂNGULO MENOR
QUE 180º EM N PARTES IGUAIS
O
A
B
C
D
E 123456 0
24DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Qualquer segmento cujas extremidades forem tocadas por uma circunferència, torna-se uma
corda da circunferência, e passa a definir dois arcos de circunferência distintos .
J - CONSTRUÇÃO DE ARCO-CAPAZ CONHECENDO-SE A CORDA
Qualquer ponto P sobre um dos arcos, quando unido as extremidades da corda, determinará
um ângulo α α α α α constante. Esta propriedade comum destes pontos, definine o lugar geométrico
denominado, arco-capaz. (ver pág. 3)
Vejamos a seguir os procedimentos para obtenção do arco-capaz quando nos é fornecido a
corda e o ângulo ααααα desejado. Lembre-se que toda mediatriz de uma corda passa pelo centro da
circunferência.
A
O
B
CORDA
A B A
O
B
CORDA
P
A
O
B
CORDA
P
PARA ÂNGULOS AGUDOS
1- determina-se a mediatriz da corda
2 - transporta-se para uma das extremidades, o ângulo
auxiliar (90° - ααααα) tornando a corda lado deste ângulo.
3 - o centro do arco-capaz é o ponto de concorrência entre
o outro lado do ângulo auxiliar e a mediatriz da corda.
PARA ÂNGULOS OBTUSOS
1- determina-se a mediatriz da corda
2 - transporta-se para uma das extremidades, o ângulo auxiliar
(α α α α α - 90°) tornando a corda lado deste ângulo.
3 - o centro do arco-capaz é o ponto de concorrência entre o
outro lado do ângulo auxiliar e a mediatriz da corda.
Obtenção geometrica do ângulo auxiliar.
Pelo vértice do ângulo dado, levante uma perpendicular em relação a um dos lados. Em ambos
os casos, o ângulo auxiliar é a diferença entre o ângulo dado e o ângulo reto. (o maior menos o
menor)
PARA ÂNGULOS AGUDOS
90º
PARA ÂNGULOS OBTUSOS
O
A B
r
O
A B
r
25DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
a) Conforme a posição dos dados: b) Conforme a
dimensão dos lados:
A - Linha Poligonal: é a linha
formada pela sucessão de
segmentos consecutivos não
colineares.
B - Polígono: é a região do plano
limitada por uma linha poligonal
fechada.
5 - POLÍGONOS
A. Conceitos
2. Elementos
B
B
C D
C
E
E
F
G
A
A
D
F
3 Triângulo
4
Quadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octógono
3. Classificação
c) Quanto ao número de lados:
N° de lados Polígono
15 Pentadecágono
16 Hexadecágono
17 Heptadecágono
18 Octodocágono
19 Eneadecágono
20 Icoságono
9 Eneágono
10 Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
13 Tridecágono
14 Tetradecágono
ConvexoCôncavo
Quando uma parte de um 
segmento unindo dois 
pontos internos situa-se 
fora da área poligonal.
Regular Irregular
B
D
C
E
A
B
D
C
E
A
B
D
C
Ângulos Internos
A
Ângulos Externos
Diagonal
Lado
Vértice
E
Ap
ót
em
a
O segmento que une o centro do
polígono regular ao ponto médio de um
dos lados é denominado de apótema, e
corresponde ao raio da circunferência
inscrita no polígono.
26DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
lado
ângulo
vértice
6 -TRIÂNGULO
A - Conceito:
O Triângulo é o polígono convexo de três lados e três ângulos.
B - Classificação:
a - Conforme a dimensão dos lados:
b - Conforme a natureza de seus ângulos internos:
C - Elementos :
Lados : Segmentos de retas ou curvas que
formam o triângulo.
Vértices : são os pontos de cruzamento dos
lados.
Ângulos : são formados pelos lados do triângulo.
D - Cevianas Notáveis
Definição de Ceviana : é todo segmento
que tem uma extremidade num vértice qualquer
de um triângulo e a outra num ponto qualquer
da reta suporte do lado oposto a esse vértice
(denominado pé da ceviana).
Reta suporte de um segmento, ou,
simplesmente, suporte de um segmento, é a reta
na qual esse segmento está contido.
São três as cevianas notáveis: altura,
bissetriz interna e mediana.
O nome ceviana foi dado a esses
segmentos como uma homenagem ao
matemático italiano Giovanni Ceva.
Equilátero
Possui os lados iguais Possui dois lados iguais Possui os lados desiguais
Isósceles Escaleno
Retângulo
Possui um ângulo reto Possui ângulos agudos Possui um ângulo obtuso
Acutângulo Obtusângulo
B
x
CP1 P2 P3 P4
A
hsm
27DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Altura : é a perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou ao seu prolongamento.
Esta é a única ceviana que pode ser externa (no triângulo obtusângulo), ou mesmo coincidir
com um lado (no triângulo retângulo).
Bissetriz Interna : é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e
congruentes.
Mediana : é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. (Ceviana que tem
uma extremidade no ponto médio de um lado).
5 - Centros Geométricos (Pontos Notáveis)
Ortocentro (H) : é o ponto de encontro das alturas de um triângulo ou das retas suportes das
alturas.
Utlilize o Arco-capaz de 90º (semi-
circunferência) para determinar os pés de duas
alturas, o que é suficiente para encontrar o
Ortocentro.
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc Hb
ha
hc
hb
B C
A
B C
A
B C
A
ma
Ma
mb
mc
Mb
Mc
B C
A
sa
Sa
sc
Sb Sc
B C
A
B C
A
 / 2  / 2
sb
B C
A
B C
A
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc hb hc
ha
Ha
Hc
Hb
ha
hc
hb
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
M
28DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Baricentro (G) : é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo sendo o seu Centro
de Gravidade.
Incentro (I) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, o qual
equidista dos lados e é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Observe que para
determinar o raio da circunferência inscrita, faz-se necessário a determinação de um ponto
de tangência, que é obtido traçando-se uma perpendicular pelo incentro em direção a um
dos lados.
Ex-incentro (E) : é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos externos do triângulo.
Observe que para determinar o raio da circunferência ex-inscrita, faz-se necessário a
determinação de um ponto de tangência, que é obtido traçando-se uma perpendicular pelo
ex-incentro em direção ao prolongamento de um dos lados .
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
I
I
T1
T2
T3
B C
A
E2
T3
T1
T2
B C
A
E1
E2
E3
sa
scsb I
B C
A
E1
E2
E3
29DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
E - NOMENCLATURA
a , b e c - medidas dos lados BC, AC e AB,
respectivamente.
α (alfa) , β (beta) e χ (gama) - medidas dos ângulos
Â, B e C.
ri - raio da circunferência inscrita.
rc - raio da circunferência circunscrita.
ha, hb e hc - medidas das alturas traçadas dos
vértices A , B e C respectivamente.
Ha, Hb e Hc - pés das alturas ha, hb e hc.
ma, mb e mc - medidas das medianas traçadas dos
vertices A , B e C respectivamente.
Ma, Mb e Mc - pés das medianas ma, mb e mc
sa, sb e sc - medidas das bissetrizes traçadas dos
vertices A , B e C respectivamente.
Sa, Sb e Sc - pés das bissetrizes traçadas dos
vertices A , B e C respectivamente.
Circuncentro (O) : é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, o
qual equidista dos três vértices e é o centro da circunferência circunscritaao triângulo.
No triângulo Retângulo o
Circuncentro sempre será o
ponto médio da
hipotenusa.
No triângulo Obtusângulo o
Circuncentro sempre é um
ponto externo.
No triângulo Acutângulo o
Circuncentro é um ponto
interno.
F - PROPRIEDADES
MEDIANAS E BARICENTRO
O segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo e de
medida igual a metade do terceiro lado.
B C
A
O
rc
B C
A
O B C
A
O
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
30DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
RELATIVAS ÀS BISSETRIZES
O triângulo Ha Hb Hc é denominado triângulo órtico.
As bissetrizes do triângulo órtico são alturas do triângulo ABC .
Ma Mb é paralelo ao lado AB. Ma Mb = AB/2
Ma Mc é paralelo ao lado AC. Ma Mc = AC/2
Mb Mc é paralelo ao lado BC. Mb Mc = BC/2
O triângulo MaMb Mc é semelhante ao triângulo ABC .
O Baricentro (centro de gravidade do triângulo) divide cada mediana em dois
segmentos, onde o segmento que contém o vértice é o dobro do outro.
O triângulo ABC tem três bissetrizes internas e seis
bissetrizes externas.As noves bissetrizes encontram-
se, de três em três,em quatro pontos: E1 ,E2 e E3 . O
ponto "I" é denominado INCENTRO. Os pontos E1 ,E2
e E3 são EX-ICENTROS; são os centros das três
circunferências ex-inscritas.
Duas bissetrizes, uma interna e outra externa,
com origens no mesmo vértice são perpendiculares
entre si.
O triângulo ABC é órtico do triângulo E1 E2 E3 .
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo
determina sobre o lado oposto dois segmentos
proporcionais aos outros dois lados.
RELATIVA AS ALTURAS
B C
A
E1
E2
E3
sa
scsb I90º
90º
90º
m n
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb
hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
G
A figura B,Ma,Mb,Mc é um
paralelogramo
31DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
01 - Construir um triângulo equilátero XYZ conhecendo-se o lado.
CONSTRUÇÃO
- Sobre uma reta suporte r, traça-se XY .
- Com abertura igual ao lado do triângulo,
centro em X, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em Y, com a mesma abertura,
descreve-se outro arco que interceptará o
primeiro em Z.
- A união dos pontos X, Y e Z determina o
triângulo desejado.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Em A constroi-se um ângulo de 45º
- Em B constroi-se um ângulo de 60º
- O prolongamento dos lados dos ângulos
determinam o ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
03. Construir um triângulo ABC conhecendo-se o lado c e os ângulos A e B.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre ela.
- Centro em A, raio AC, descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro em B, raio BC, descreve-se outro arco,
interceptando o primeiro em C.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
02. Construir um triângulo escaleno ABC conhecendo-se os três lados.
a
b
c
A B
C
ab
c
45º 60º
A B
C
r
ab
c
X Y
Z
r
y x
z
32DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
04. Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e o ângulo
compreendido entre eles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB
sobre - Em A constroi-se o ângulo dado
- Sobre o prolongamento do lado deste ângulo
transporta-se AC.
- A união dos pontos A, B e C determina o
triângulo desejado.
05. Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a altura relativa
a um deles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB (lado c) sobre ela.
- Traça-se r’// r. distantes a medida de hc. (Após marcar sobre uma
perpendicular auxiliar, a altura hn, utilize um processo geométrico
para traçar r’// r ).
- Centro em A, com abertura igual ao lado b traça-se um arco que
interceptará r' em C e C'.
-- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
(ABC' também é resposta ao exercício)
A
C
B
aa'b' b
c
r
r'
hc
C'
hc
06. Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se dois lados e a mediana
relativa a um deles.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB determinando Mc.
- Centro em Mc, raio mc, descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em A, raio AC (lado b), descreve-se outro arco que
interceptará o primeiro no ponto C.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
r
A B
C
a
b
c/2
mc
c
Mc
mc
b
c/2
hc
c
b
33DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
07. Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o raio da
circunferência inscrita.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando T.
- Sobre a mediatriz, transporta-se o raio TO.
- Centro em O, descreve-se a cirncunferência inscrita.
- Centro em A, raio AT e determina-se o ponto 1 na cirncunferência
inscrita.
- Centro em B, raio AT e determina-se o ponto 2 na cirncunferência
inscrita.
- O prolongamento do segmento A1 e B2, encontram-se no ponto
C.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo desejado.
09. Construir um triângulo qualquer ABC, conhecendo-se um lado, a altura a ele relativa
e o raio da circunferência circunscrita.
A B
T O
CONSTRUÇÃO
- Com o raio dado traça-se a circunferência.
- Sobre a circunferência, marca-se o ponto A
arbitrariamente.
- Centro em A, com abertura AB, transporta-se a base
AB.
- Prolonga-se AB determinando a reta auxiliar r.
- Por um ponto qualquer de r levanta-se uma
perpendicular marcando sobre a mesma o valor de hc
determinando o ponto 1.
- Pelo ponto 1 traça-se r'// r, determinando os pontos C e
C'.
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo
desejado.
08. Construir um triângulo isósceles ABC, conhecendo-se a base e o ângulo oposto a
ela.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Por uma das extremidades da base constroi-se o ângulo
C dado.
- Dividi-se o suplemento do ângulo ao meio (bissetriz)
obtendo o ângulo da base
-Transporta-se este ângulo para a outra extremidade que
interceptará a bissetriz no ponto C .
- A união dos pontos A, B e C determina o triângulo
desejado.A B
r
C
Bissetriz do Suplem
ento de 
c
A B
C' C
r
r'ra
io
O
1
hc
C
A B
r
T
1 2
O
raio
A B
hc
34DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
B C
A
ha
Ha
Hb
Hc
hb hc
B C
A
ma
Ma
mb mc
MbMc
B C
A
sa
Sa
sc
Sc Sb
sb
B C
A
a
b
c
rc
r i
ALFA
BETA GAMA
G I
G
b
a
c
b
a
ha
b
a
ALFA
b
a
b
a
ma
ha
a
01 - , e a b c 02 - , e a b ha 03 - , e a b alfa
04 - , e a b gama 05 - , e a b ma 06 - , e a ha ma
GAMA
ma
07 - , e a ha beta 08 - , e a ha alfa 09 - , e a ma beta
ha
a
BETA
ha
a
ALFA
ma
a
BETA
ma
a a a
11 - , e a beta gama 12 - , e a beta alfa
ALFA
BETA GAMA
BETA
ALFA
b
a
mb
b
mb
a
13 - , e a b mb 14 - , e b alfa mb 15 - , e a mb mc
mcmb
ALFA
10 - Observando a notação abaixo, construa os triângulos pedidos de acordo com as
informações fornecidas. É de fundamental importância, fazer um esboço de um triângulo
genérico para cada exercíco, pois somente assim é que você conseguirá a indentificação
dos lugares geométricos a serem utilizados na construção dos mesmos.
35DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
25. Dados os triângulos abaixo, pede-se determinar: Baricentro do Triângulo 1, Ortocentro
do Triângulo 2, Incentro do Triângulo 3 e Circuncentro do Triângulo 4.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1 2
3 4
16 - , e a ma mb 17 - , e a hb beta 18 - , e a hb b
ma
a
hb
a
hb
a
BETA
mb b
hb
a
hb
a
hb
a
19 - , e a hb c 20 - , e a hb alfa 21 - , e a hb ma
mac
ALFA
hb
a
hb
a
hb
a
22 - , e a hb ha 23 - , e a hb hc 24 - , e a hb mb
mbha hc
36DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
B -Classificação
Os quadriláteros se classificam em:
TRAPÉZIOS - Todo Quadrilátero que possui
dois lados paralelos.
PARALELOGRAMOS - Todo Quadrilátero que
possui lados paralelos dois a dois.
RETÂNGULO - Todo Quadrilátero que possuiquatro ângulos retos.
LOSANGO - Todo Quadrilátero que possui
quatro lados iguais
QUADRADO - É o conjunto interseção entre o
conjunto dos retângulos e o cojunto dos losangos. (
possuem quatro ângulos retos e quatro lados iguais).
7 - QUADRILÁTERO
A - Conceitos
Quadrilátero é todo polígono de quatro lados. Todo quadrilátero tem: quatro ângulos
internos, oito ângulos externos, quatro vértices e duas diagonais.
Os quadriláteros são designados por letras maiúsculas ou números, colocados nos
vértices, em qualquer sentido, obedecendo a ordem dada. Desta forma os vértices
consecutivos limitam os lados e os não consecutivos, as diagonais.
B
A
B
D
C
4 Ângulos Internos
A
8 Ângulos Externos
DiagonaisLado
Vértice
D
C
B
A
D
C
Quadríláteros
Trapézios
Paralelogramos
Retângulos
Losangos
Quadrados
CARACTERÍSTICAS DOS QUADRÍLÁTEROS
TRAPÉZIOS - Os trapézios propriamente ditos, possuem dois lados paralelos (bases)
e dois lados não paralelos. A distância entre as bases é chamada de altura do trapézio .
Podem ser classificados quanto a natureza de seus ângulos da seguinte forma:
- Possui dois ângulos retos, um
agudo e um obtuso.
- Possui um dos lados não
paralelos perpendicular as
bases.
- Possui os ângulos das bases
com os lados iguais entre si.
- Possui os lados não paralelos
iguais
- Possui os lados não paralelos
desiguais
Os lados não paralelos são congruentes Possui os lados e os ângulos desiguais
TRAPÉZIO ISÓSCELES TRAPÉZIO ESCALENOTRAPÉZIO RETÂNGULO
Base Maior Base Maior Base Maior
Base MenorBase MenorBase Menor
37DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
PARALELOGRAMO
Propriamente dito
RETÂNGULO
LOSANGO
QUADRADO
BA
D C
BA
D C
BA
D C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
BA
D C
90º 90º
90º 90º
BA
D C
BA
D C
90º
90º
90º
90º
AP
Ó
TE
M
A
BA
D C
BA
D C
90º
90º
90º
90º
Os lados opostos são
iguais e paralelos dois
a dois.
Os ângulos opostos são
iguais, e os ângulo
consecutivos são
suplementares.
As diagonais são
diferentes, oblíquas
entre si e se cortam ao
meio.
Os lados opostos são
iguais e paralelos dois
a dois.
Os quatro ângulos são
retos.
As diagonais são iguais,
oblíquas entre si e se
cortam ao meio.
Os quatro lados são
iguais e paralelos dois
a dois.
As diagonais são
d i f e r e n t e s ,
perpendiculares entre si e
se cortam ao meio.
Os ângulos opostos são
iguais, e os ângulo
consecutivos são
suplementares
Os quatro lados
são iguais e
paralelos dois a
dois.
Os quatro ângulos
são retos.
As diagonais são iguais,
perpendiculares entre
si e se cortam ao meio.
O apótema é igual
a metade do lado
e corresponde ao
raio da
c i r c u n f e r ê n c i a
inscrita.
Os lados não paralelos dos trapézios,
quando prolongados geram triângulos de mesmo
nome. (retângulo, isósceles e escaleno)
38DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
C - CONSTRUÇÕES:
01. Construir um quadrado ABCD, sabendo-se que o lado mede 38 mm.
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre
si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado, e determinam-
se os pontos B e D sobre as perpendiculares.
- Com a mesma abertura, centro em B e descreve-se um
arco.
- Repete-se a operação com centro em D e o cruzamento
dos arcos determinam o ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
03. Construir um retângulo ABCD conhecendo-se um o lado AB = 6,3 cm e sua semi-
diagonal que mede 4,0 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se a
diagonal AC.
- Centro em A, abertura igual ao lado, descreve-se um arco
- Repete-se a mesma operção com centro em C e os
cruzamentos dos arcos determinam os pontos B e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
A
C
B
D
r
s
02. Construir um retângulo ABCD sabendo-se que os lados medem respectivamente
4,5 e 2,1 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traçam-se a retas auxiliares r e s perpendiculares entre
si, no ponto A.
- Centro em A, com abertura igual ao lado maior, e determina-
se o ponto B sobre r.
- Centro em A, com abertura igual ao lado menor, e
determina-se o ponto D sobre s.
-Centro em B, abertura AD, descreve-se um arco.
- Centro em D, abertura AB, descreve-se outro arco que
interceptará o arco anterior no ponto C.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
A
C
B
D
r
s
04. Construir um losango ABCD sabendo-se que o lado mede 2,8 cm e a sua diagonal
AC = 5,2 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se uma circunferência de centro O, com raio igual a
semi-diagonal.
- Determina-se arbitrariamente o ponto A sobre a
circunfência.
- Centro em A, abertura AB, determina-se o ponto B sobre
a ciecunferência.
- O prolongamento de AO detemina o ponto C na
circunferência.
- O prolongamento de BO detemina o ponto D na
circunferência.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
A
C
B
D
O
A
B
r
D
C
39DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
06. Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se base AB, o ângulo  e a altura.
Dados: AB = 45 mm; h = 27 mm ; Â = 75° (No paralelogramo o ângulo interno de um vértice é
igual ao ângulo externo do vértice consecutivo)
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Em A constrói-se o ângulo dado.
- Em B constrói-se o mesmo ângulo paralelo ao primeiro.
- Constroi-se r // r' distantes 27mm. (Levante uma
perpendicular auxiliar para esta operação)
- A interseção de r' com os ângulos construídos
determinam os pontos C e D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o paralelogramo desejado.
A
C
B
D
r
r'
h
75° 75°
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e sobre ela transporta-se AB.
- Centro em A raio AC descreve-se um arco auxiliar.
- Centro em B, raio BC descreve-se outro arco que
interceptará o primeiro no ponto C.
- Levanta-se uma perpendicular a r pelo ponto A.
- Traça-se o arco-capaz de 90° (semi-circunferência)
tomando AC por diâmetro.
- A intereção do arco com a perpendicular que passa em
A, determina o ponto D.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado.
07. Construir um trapézio isósceles ABCD conhecendo-se as duas bases e a altura.
Dados: AB = 7 cm ; CD = 3,4 cm ; h = 2,8 cm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta suporte r e transporta-se AB sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AB e sobre ela transporta-se h
determinando O.
- Por O traça-se r’// r.
- Centro em O, abertura iguall a metade de CD, determina-
se C e D sobre r’.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o trapézio desejado..
08. Construir um trapézio retângulo ABCD conhecendo-se a base maior, um lado e
uma diagonal cujos valores são respectivamente: AB = 4,8 cm ; BC = 3,2 cm ; AC =2,5 cm.
A
C
B
D
r
r'
h
O
A
C
B
D
r
O
Arco-capaz de 90°
05. Construir um losango ABCD conhecendo-se suas diagonais. Dados: AC = 55 mm
; BD = 30 mm.
CONSTRUÇÃO
- Traça-se a reta auxiliar r e transporta-se a diagonal AC
sobre ela.
- Traça-se a mediatriz de AC determinando o ponto O.
- Centro em O, com abertura igual a metade da diagonal BD,
e determinam-se os pontos B e D sobre a mediatriz.
- Une-se A,B,C e D e tem-se o quadrado desejado.
Obs. demonstre geometricamente a divisão do segmento
BD.
A
B
r
D
CO
40DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
09. Construir um quadrilátero ABCD conhecendo-se: AB = 47 mm; BC = 26 mm; B = 120° ; CD = 49
mm; AD = 31 mm.
10. Determine o segmento de reta AB concorrente em r e s respectivamente de tal forma que o
ponto M seja o Ponto Médio do segmento.
M
r
s
A
B
C
11. Construa um trapézio MNOP retângulo sabendo-se que MN = 6,4 cm, MO = 4,0 cm e NO = 3,4
cm.
12. Construir um paralelogramo ABCD conhecendo-se: AB = 5 cm, diagonal AC = 3/5 de AB e Â
= 60°.
13. Pede-se um losango ABCD conhecendo-se o lado AB = 2,5 cm e a semidiagonal AE = 1,5 cm.
14. Num trapézio, as bases medem 70 mm e 35 mm, um lado não paralelo, 40 mm, e o ângulo
formado pela base maior e o lado não paralelo é 60°.Pede-se o quadrilátero.
15. Construir um trapézio conhecendo-se as duas bases e as duas diagonais. Dados: bases AD =
3,0 e BC = 4,0, diagonais AC = 5,6 e BD = 5,3 (ud cm).
16. Construa um retângulo ABCD, cuja diagonalmede 5,0 cm, e forma um ângulo de 30° com o
lado.
17. Construa um quadrado cuja semi-diagonal mede 28 mm.
18. Construir um paralelogramo KLMN sendo dadas as suas diagonais KM = 7,3 cm e LN = 3,2
cm e o ângulo formado por elas é de 75°.
19. Construir um quadrado cujo perímetro é igual ao do triângulo dado.
20. Construir um quadrilátero ABCD sabendo que AB mede 6 cm e a diagonal BD que mede 6,7
cm, forma com o lado AD 60°. O lado BC mede 3 cm e forma com CD ângulo de 45°.
21. Construir um losango conhecendo-se o seu lado e um de seus ângulos. AB = 4cm; Â = 45°.
22 Construir um paralelogramo conhecendo-se dois lados e a altura. AB = 60mm; BC = 29mm e
h = 18mm.
41DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
8 - CIRCUNFERÊNCIA E CIRCULO
A - Conceito:
A circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto
dado, denominado centro, situado no mesmo plano.
A porção deste plano limitada pela circunferência denomina-se CÍRCULO. Daí podemos
concluir que a circunferência é o contorno do círculo, sendo aquela uma linha e este uma superfície
plana, uma área.
B - Elementos:
ARCO - A intersecção da circunferência com um ângulo central qualquer (de vértice O), é denominado
arco da circunferência.(AB)
CORDA - É segmento que une dois pontos distintos de uma circunferência.(CD)
DIÂMETRO - É toda corda que passa pelo centro. Um diâmetro é equivalentea dois raios, um situado
no prolongamento do outro. (d)
FLECHA - É o segmento do raio que une o ponto médio da corda a um ponto da circunferência (f)
NORMAL - É a perpendicular à tangente em um ponto da circunferência. (n)
RAIO - Qualquer segmento com uma extremidade na circunferência e outra em seu centro. (r)
SECANTE - É a reta que possui dois pontos comuns à circunferência. (s)
TANGENTE - É a reta que possui um só ponto comum à circunferência. (t)
C - Ângulos da circunferência
A circunferência pode apresentar os seguintes ângulos principais; ângulo central, ângulo
inscrito; ângulo circunscrito e ângulo segmento.
Tem o vértice no centro da
circunferência e os lados são
raios.
Tem o vértice sobre a
circunferência e os lados são
cordas.
Tem o vértice fora da
circunferência e os lados são
tangentes.
Um dos lados é uma corda e
o outro é uma tangente.
o o o
Ângulo
Central
Ângulo
Inscrito
o
Ângulo
Circunscrito Ângulo
Segmento
f
s
d O
r
n
t A
B
DC
42DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
D - Elementos do Círculo
O círculo é uma porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo pode ser dividido
em porções.
É a superfície limitada por uma
semicircunferência
É a superfície compreendida entre o
arco e os dois raios que formam um
ângulo central.
É a porção do círculo compreendida
entre duas circunferências
concentricas.
É a superfície limitada por uma corda e
seu arco correspondente.
É a superfície compreendida entre
duas cordas paralelas.
É a porção da coroa circular
compreendida por dois raios.
01 - Construir uma coroa circular
sabendo-se que o diâmetro maior mede 3.5cm
e o diâmetro menor mede 3/5 do maior.
02 - Construir um setor circular de uma
circunferência cujo ângulo central é igual a 40º.
FAÇA OS EXÉRCÍCIOS A SEGUIR.
Segmento Circular Zona Circular Trapézio Circular
Semicírculo Setor Coroa Circular
43DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
E - DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Atenção: Todos os processos a seguir, necessitam da localização exata do Centro da
Circunferência. Quando a circunferência for apresentada sem o centro, você deverá
determiná-lo.
A
B
03 - Construir uma zona circular sabendo-se que
sua maior corda é também a maior corda da
circunferência e cuja medida é igual a 4,5 cm. A
corda menor é igual a 3/4 da maior.
05 - Dado o ângulo segmento abaixo pede-se determinar a circunferência e evidenciar o arco
correspodente.
04 - Contruir um segmento circular
conhecendo-se a flecha = 1cm. Raio da
circunferência é igual a 27mm.
Lembre-se que a mediatriz de uma corda
da Circunferência passa obrigatoriamente
pelo centro da mesma, portanto, basta
determinar duas cordas distintas e suas
respectivas mediatrizes. O centro será o
cruzamento das mediatrizes.
1 2
3
o
44DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 2, 4, 8, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 3, 6, 12, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 7, 14, 28, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 5, 10, ...
r
1
2
3
4
5
6
OU
= rL6
L3
1
A BC M
1
A BC M
1
2
3 4
5
A BC M
1
3
5 7
6
A BC M
2
4 8
9
10
10x
5x
L5
L10
L5
L10
1
A B
C
M
1
A B
2
3
4 5
6
7
L7
L7
45DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 9, 18, 36, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 11, 22, 44, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 13, 26, 52, ...
DIVISÃO DE CIRCUNFERÊNCIA EM 15, 30, ...
1
3
4
5 6
2
7
8
9
L9
L9
O2
O3
O1
1
A BC
M
1
3
4
5
6
2 11
10
7
8
9
L11
L11
¼
1
3
4
5
6
2
11
10
7 8
9
12
13
L13
L13
1
3
4
5
6
2
7
8 9
10
11
12
13
14
15
L15
L15
46DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
PROCESSOS GERAIS PARA DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a BION.
- Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir
a circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do próprio
diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P.
- O prolongamento do segmento P2 determina o ponto A na própria circunferência.
- 0A é aproximadamente igual a uma das n partes em que se quer dividir a circunferência.
- Com o auxílio do compasso transporta-se o arco 0A dividindo assim a circunferência em n partes.
Dividir uma circunferência em um número n qualquer de partes iguais pelo método geral devido a RINALDINI.
 Em uma circunferência de centro conhecido, dividi-se o diâmetro em n partes (quantas se deseja dividir
a circunferência). Por exemplo em 7. Com a abertura igual ao diâmetro e com centro nas extremidades do próprio
diâmetro, traçam-se dois arcos que se cruzam em P e P’.
- Os prolongamentos dos segmentos P2, P4 e P6 concorrem com a semi-circunferência, do lado contrário
ao ponto P, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
- Os prolongamentos dos segmentos P’2, P’4 e P’6 concorrem com a semi-circunferência, do lado
contrário ao ponto P’, em pontos que dividem-na em partes aproximadamente iguais.
Você também pode optar por ligar somente os pontos P e P’ aos números ímpares.
0
1
2
3
4
5
6
7
P
A L7
1
2
3
4
5
6
7
P'P
2
3
4 5
6
7
1
47DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Polígonos - Exercícios
01. Construir um quadrado conhecendo-se seu apótema, OM = 20mm.
02. Construir um pentágono regular sabendo-se que o raio da circunferência inscrita mede 2,5 cm.
03. Construir um hexágono regular conhecendo-se seu apótema, OM = 18mm.
04. Construir um dudecágono inscrito em uma circunferência de raio = 4cm.
05. Construir um hexágono sabendo-se que o valor do lado mede 1,4cm.
F - POLIGONAL DE DELAISTRE
Este processo permite a construção de polígonos conhecendo-se o lado.
Exemplo: Construir um eneágono, cujo lado AB mede 25mm (portanto, N = 9)
CONSTRUÇÃO:
- Sobre a reta suporte r, transporta-se AB.
- Com abertura do compasso igual a AB, traça-se a mediatriz de AB, determinando o ponto 6. (AB6 é um triângulo equilátero)
- Divide-se AB em seis partes iguais. (utilize preferencialmente, um segmento auxiliar congruente a AB, para não congestionar o
exercício)
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para baixo determinando-se os pontos 5, 4 e 3.
- Sobre a mediatriz, à partir do ponto 6, transfere-se 1/6 de AB para cima determinando-se os pontos 7, 8, 9, ... e assim sucessivamente
até alcançar o número desejado que corresponda ao valor de N.
- Neste momento você tem construída a escala poligonal de Delaistre.
- Centro em N (neste exemplo N = 9), raio NA,traça-se a circunferência pedida.
- Sobre a circunferência, à partir de A e/ou B, transfere-se AB, obtendo-se os vértices do polígono desejado.
A B
Para qualquer valor de , o lado do
polígono deverá ser dividido em partes
N
6
A B
6
7
8
9
10
11
12
5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
A B
6
7
8
9
10
11
12
4
5
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
C
D
E
F
G
H
I
RA
IO
r r
48DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
A
B
ED
O
A A
B B
E E
D DC CO O
A B
AB AB AB AB/7
Comprimento da Circ. = 3AB + AB/7
O
G - RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
de uma circunferência dada.
PROCESSO 1 (Não é muito preciso)
Dada circunferência, inscrever na mesma um triângulo equilátero e um quadrado.
O comprimento da circunferência será a somatória de duas vezes o lado do
quadrado mais duas vezes o lado do triângulo. C = 2 .(AB + DE)
PROCESSO 2
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos por B uma
perpendicular.
2 - Com centro em B e raio BO traçamos o arco OC.
3 - Traçamos a mediatriz de BC e obtemos o ponto D sobre a perpendicular.
4 - Marcamos DE = 3 vezes o raio
5 - Unimos E a A e tomamos AE como metade do comprimento da circunferência.
Portanto, 2. (EA) é igual ao comprimento da mesma.
H - RETIFICAÇÃO DE ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
Consiste em determinar um segmento de reta cujo comprimento seja igual ao comprimento
do arco de uma circunferência dada.
PROCESSO PARA ARCOS MENORES OU IGUAL A 90º
A
M
B E
D
C
O
PROCESSO 3
1 - Traçamos a circunferência de diâmetro AB e levantamos
2 - Divide-se AB em 7 partes iguais.
3 - O comprimento da circunferência será o segmento cuja medida é 3 vezes o
diâmetro mais 1/7 do diâmetro.
1- Traçamos o diâmetro AC e tomamos CD = 3/4 do raio da circunferência.
2 - Levantamos por A umaperpendicular ao diâmetro.
3 - Unimos D ao ponto B e obtemos E na perpendicular traçada. AE é aproximadamente o comprimento do arco dado.
49DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
9 - TANGÊNCIA
A - Conceito:
Diz-se que uma reta é tangente a uma circunferência quando tem um só ponto comum com
esta circunferência ou seja, quando sua distância ao centro da mesma é igual ao raio. Assim, teremos
sempre a tangente perpendicular ao raio no seu ponto de tangência.
TANGÊNCIA: operação que nos permite traçar tangentes. Eassim podemos traçar:
a - Retas tangentes a circunferências dadas.
b - Circunferências tangentes a retas dadas.
c - Circunferências tangentes entre si.
B - Traçados:
01 - Traçar uma tangente a uma circunferência dada, passando por um ponto T nela situado.
- Traça-se a circunferência de centro O, marcando nela um ponto qualquer T.
- Une-se O a T, prolongando-o por T.
- Traça-se t perpendicular a OT, que será a tangente pedida.
02 - De um ponto P situado fora de uma circunferência dada, traçar duas tangentes a ela. Dados: r
= 2 cm , OP = 5,4 cm.
- Una o ponto P ao ponto O e determine o ponto médio M do segmento PO.
- Centro em M e raio MO traça-se um arco auxiliar que cortará a circunferência em T e T’,
pontos de tangência.
- Une-se P a T’, e P a T prolongando-os, e temos as tangentes pedidas.
O OM P
T
T'
P
O O
t
T T
50DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
03 - Traçar tangentes exteriores e comuns a duas circunferências sabendo-se que seus centros,
(OO’) distam 6,0 cm, e possuem os respectivos raios: r = 2,5 cm, r’ = 1,2 cm.
- Sobre uma reta auxiliar x, derterminam-se os centros O e O’ distantes 6cm.
- Traçam-se as respectivas circunferências de raios r e r’.
- Com centro em O traça-se uma circunferência auxiliar de raio r’’ = r - r’ (obtido graficamente),
- Centro em M, ponto médio de OO’, traça-se um arco que irá cortar a circunferência auxiliar em 1 e 2.
- Une-se O a 1 e O a 2, prolongando-os e determinando A e B (pontos de tangência na circunferência O).
- Por O’ traça-se uma paralela a OA e a OB, determinando F e G (pontos de Tangência na circunferência O’).
- Unindo A a C, e B a D tem-se as tangentes pedidas.
04 - Traçar tangentes interiores e comuns a duas circunferências de raios diferentes. Dados: r = 2,8,
r’ = 1,5 e OO’ = 6,0 (centímetros).
- A construção é idêntica à anterior, mudando apenas o raio da circunferência auxiliar r” = r + r’ . O’C // O2 e O’D // OA.
O
A
M
r'
r
r''
B
O' r'r
r + r' = r''
1
2
C
D
O
1 C
r'
A
B
2 D
O' r'
r
r - r' = r''
r
r''
xM
51DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
- Traça-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio dado), determinando no cruzamento de x’ com y’ o ponto O.
- Traça-se OT perpendicular y e OT’ perpendicular x
- Centro em O e raio r, traça-se a circunferência pedida.
- T e T’ são os pontos de tangência.
05 - Traçar uma circunferência de raio r= 15mm tangente aos lados de um ângulo dado.
06 - Traçar uma circunferência que passe por um ponto P e que seja tangente a uma reta no ponto
M. P situa-se fora da reta.
- Pelo ponto M levanta-se y, perpendicular a reta dada.
- Traça-se x, mediatriz de MP, determinando o ponto O na perpendicular.
- Centro em O e raio OM, traça-se a circunferência pedida.
07- Traçar uma circunferência de raio r = l,5 cm, que seja tangente simultaneamente a uma reta x e
uma outra circunferência dada, de tal forma que o ponto P, seja o ponto de tangência entre as
circunferências.
- Une-se O a P, prolongando-o.
- Pelo ponto O levanta-se um perpendicular a reta r, determinando o ponto A sobre a circunferência.
- Une-se A a P, prolongando-o até determinar B sobre r.
- Traça-se a mediatriz de PB que irá cruzar com o prolongamento de AP determinando O’.
- Centro em O’ e raio O’P, traça-se a circunferência pedida.
O
T
T'
y'
x'
r
x
y
x
y
O
x
y
M
P
M
P
B
A
O'
O
P
O
P
rr
52DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
08- Traçar duas circunferências de raio = 1 cm, que sejam tangente interior e exterior respectivamente
a uma circunferência , em um ponto P dado.
- Prolonga-se a união dos pontos O e P, determinando a reta r.
- Centro em P, abertura igual a 1cm, determina-se os potos O’ e O” sobre r.
- Centro O’, raio = 1 cm, traça-se a circunferência interna pedida.
- Centro O”, mesma abertura, traça-se a circunferência externa pedida.
09 - Traçar três circunferências tangentes entre si cujos raios são respectivamente: a = 2,3 cm, b =
1,3 cm c = 1,5 cm.
- Construa um triângulo XYZ, cujos lados sejam iguais à soma dos raios dados dois a dois,
ou seja: XY = a + b; YZ = b + c e XZ = a + c.
- Os vértices X, Y e Z do triângulo são os centros das circunferências tangentes entre si.
O
O' O'' O PPr
X Y
Z
a b
b
c
a
c
a b
b c
a c
53DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
10 - CONCORDÂNCIA
A - Conceito.
Concordar duas linhas, de mesma espécie ou de espécies diferentes, é reunilas de tal forma,
que se possa passar de uma para a outra, sem ângulo, inflexão nem solução de continuidade.
Exemplos:
B - Princípios.
Como veremos nos problemas que se seguirão, a concordância entre arcos de círculo e
retas, e entre arcos e arcos, se baseiam em dois princípios fundamentais:
a - Para que uma reta e um arco estejam em concordância é necessário que:
1º - O centro do arco e o ponto de concordância entre eles estejam sobre uma mesma perpendicular.
2º - A reta seja tangente ao arco no ponto de concordância. Exemplo:
b - Para que dois arcos estejam em concordância é necessário que:
1º - Seus centros e o ponto de concordância estejam sobre uma mesma linha reta.
2º - Sejam tangentes entre si no ponto de concordância. Exemplo:
IC - Traçados.
01 - Concordar um segmento de reta AB, em B, com um arco de círcunferência de raio r = 20 mm.
- Levanta-se uma reta s perpendicular pelo ponto B.
- Sobre s, a partir de B, transporta-se o raio dado, determinando o centro O.
-Centro em O e raio OB = r, traça-se o arco pedido.
O
O'
O
O
S
r
R
O'
O D E
C
r
A B
O
s
A B
54DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
02 - Concorde um arco de circunferência com a semi-reta Ax no ponto A, de tal forma que ele contenha um ponto
B qualquer,não pertencente a semi-reta.
- Por A levanta-se uma reta r perpendicular a Ax.
- Traça-se a mediatriz de AB, determinando O em r.
- Centro em O e raio OA, traça-se o arco pedido.
03 - Concordar um arco de circunferência de raio = 15 mm com duas retas perpendiculares entre si.
- Com raio r, e centro no ponto de concorrência das perpendiculares, traça-se um arco
auxiliar que determinará 1 em x e 2 em y.
- Centro em 1 e 2, mesmo raio, determina-se O.
- Centro em O, mesmo raio, traça-se o arco 12, fazendo a concordância pedida.
04 - Concordar um arco de circunferência de raio dado r = 1,5 cm, com duas retas que se cruzam a
120º.
- Traçam-se as retas x e y, formando um ângulo
de 120°.
- Traçam-se x’ // x e y’ // y na distância r (raio
dado), as quais se cruzam em O.
- Por O traçam-se perpendiculares às retas
dadas, determinando C e C’, que serão os
pontos de concordância.
- Centro em O, raio OC, descreve-se o arco
CC’, fazendo a concordância pedida
O
x
y2
1
x
y
O
x
A
B
A
B
x
O
r
r x'
y'
C
C'
x
y
55DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
05 - Concordar duas semi-retas //, de origens diferentes e sentidos contrários, por meio de dois
arcos iguais. Sabendo-se que os pontos de concordância entre as semi-retas e os arcos não se
encontram no mesmo alinhamento.
- Por A e B tiram-se perpendiculares, r e s.
- Une-se A a B e determina-se M, ponto médio de AB
- Determina-se mediatriz de AM que cortará r em O’.
- Determina-se mediatriz de MB que cortará sr em O.
- Cento em O e O’, raio OA descreve-se os arcos das curvas pedidas
06 - Concordar dois segmentos paralelos de medidas diferentes por meio de duas curvas concordantes
e de mesmo sentido. (Também conhecido como arco aviajado).
- Pelos pontos A e B, traçam-se perpendiculares aos segmentos.
- Traçam-se as bissetrizes dos ângulos retos A e B, que se cruzarão no ponto 1.
- Por 1, traça-se uma reta paralela aos segmentos , determinando O e O’ sobre as
perpendiculares.
- Centro em O, raio OB = O1, traça-se o arco B1.
- Centro em O’, raio O’A = O’1, e traça-se o arco A1.
x
y
O
M sr
x
y
A
B
O'
A
B
07 - Concordar duas retas convergentes/divergente por meio de dois arcos de circunferência
concordantes entre si e de mesmo sentido. Dados: Pontos de concordância: Ponto A sobre a reta x
Ponto C sobre a reta y.
- Pelas extremidades A e B de x e y, levantam-se as perpendiculares r e s .
- Centro em A, raio qualquer, determina-se o ponto O sobre r.
- Centro em B, mesma abertura, determina-se o ponto 1 em s.
- Traça-se a mediatriz de O1, que cortará a reta s em O’.
- Une-se O’ a O prolongando-se.
- Centro em O’, raio O’B, descreve-se um arco que encontrará o prolongamento
de OO’ no ponto C (ponto de concordância entre os arcos).
- Centro em O, raio OC = OA, completa-se a concordância com o arco CA.
OBSERVAÇÕES:
- Este mesmo processo é válido para as
extremidades divergentes (pontos R e S)
- Se no exercício anterior, a distância entre as
retas paralela for menor que a distância entre
as perpendiculares levantadas pelas
extremidades este processo também
solucionará o exercício.
- Em todos estes casos, o primeiro centro
pertencerá a perpendicular levantada pela
extremidade mais avançada.
A
O
A
C
x
y
1
B
O'
R
S
r s
A
B B
A
B
O
A
B
1
O'
OBSERVAÇÃO:
- A união dos centros O e O’ passa
obrigatoriamente pelo ponto de concordância
dos arcos, ponto M.
56DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
2 - Concordância interna.
- O processo de construção é idêntico ao caso
anterior.
- Modificando-se apenas o seguinte: O ponto
O” é determinado pelo cruzamento dos arcos
de centros O e O’ e raios r” + r e r” + r’.
3 - Concordância interna e externa.
- O processo de construção é idêntico ao 1º
caso, modificando-se apenas o seguinte: O
ponto O” é determinado pelo cruzamento dos
arcos de centros O e O’ e raios
r” - r e r” + r’.
08 - Traçar um arco de circunferência de raio r” dado, concordante com duas circunferências de
raios r e r’, conhecidos. Dados r” =5,3 cm, r = 2,0 cm, r’ = 1,0 cm e OO’ = 6,2 cm.
1 - Concordância externa
- Traçam-se as circunferências dadas com
centros O e O’, distantes 6,2 cm.
- Centro em O, raio r”- r, descreve-se um arco
auxiliar.
- Centro em O’ e raio r”- r’, descreve-se outro
arco que cortará o primeiro em O”.
- Une-se O” a O e O” a O’, prolongando-os até
cortarem as circunferências em A e B.
- Centro em O”, e raio O”A = O”B, traça-se o
arco AB, que é a concordância pedida.
O
A
B
O'
O''
r
r' - r''r'' - r
r'
O
A
B
O'
O''
r
r' + r''r'' + r
r'
O
A
B
O'
O''
r
r'' - r
r'
r' + r''
57DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
11 - CALIGRAFIA TÉCNICA
Repita as letras abaico conforme modelo.
58DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
12 - INSTRUMENTALIZAÇÃO
Um jogo de esquadros é formado por um esquadro de 45º e um de 60º, mas somente é
considerado jogo de esquadros quando o maior cateto do esquadro de 60º é igual a hipotenusa do
esquadro de 45º.
Utilizando o jogo de esquadros, onde um deles é deslocado apoiando-se no outro, podemos
traçar linhas paralelas, perpendiculares e também diversos ângulos. A obtenção destes desenhos,
se dá através de procedimentos técnicos, que é diferente dos procedimentos geométricos que utilizam
apenas a régua e o compasso. Quando não for exigido o processo geométrico, você pode valer-se
dos uso técnico dos esquadros.
TRAÇANDO PERPENDICULARES COM OS ESQUADROS.
Traçe uma reta y, passando pelo ponto P, que seja perpendicular a reta dada x. O ponto P não
pertence a reta x.
90º 30º
60º
90º 45º
45º
ESQUADRO DE 30º ou 60º ESQUADRO DE 45º JOGO DE ESQUADROS
FIXO
FIXO FIXOMÓVEL
MÓVEL
MÓVEL
FIXO
FIXO
90º
P P P
x x x
y
APOIE OS ESQUADROS
CONFORME O DESENHO
ALINHE O CONJUNTO DE ESQUADROS
COM A RETA DADA E EM SEGUIDA GIRE 90º O
ESQUADRO MÓVEL 
MANTENDO-O APOIADO NO
 OUTRO PASSE UMA RETA PELO PONTO P
59DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Traçe uma reta y, passando pelo ponto P, que seja perpendicular a reta dada x. O ponto P
pertence a reta x.
TRAÇANDO PARALELAS COM OS ESQUADROS.
Traçe uma reta y, passando pelo ponto P, que seja perpendicular a reta dada x. O ponto P não
pertence a reta x.
FIXO
FIXO
P P Px x x
y
90º
APOIE OS ESQUADROS
CONFORME O DESENHO
ALINHE O CONJUNTO DE ESQUADROS
COM A RETA DADA E EM SEGUIDA GIRE 90º O
ESQUADRO MÓVEL 
MANTENDO-O APOIADO NO
 OUTRO PASSE UMA RETA PELO PONTO P
Traçe uma reta y, passando pelo ponto P, que seja perpendicular a reta dada x. O ponto P não
pertence a reta x.
P
x
P
x
P
x
y
FIXO
APOIE OS ESQUADROS
CONFORME O DESENHO
ALINHE O CONJUNTO DE
ESQUADROS NA RETA DADA
DESLOQUE O ESQUADRO MÓVEL MANTENDO-O
APOIADO NO OUTRO AtÉ PASSA-LO PELO PONTO P
PPP
xxx
y
FIXOFIXO
APOIE OS ESQUADROS
CONFORME O DESENHO
ALINHE O CONJUNTO DE
ESQUADROS NA RETA DADA
DESLOQUE O ESQUADRO MÓVEL MANTENDO-O
APOIADO NO OUTRO AtÉ PASSA-LO PELO PONTO P
60DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Traçe as retas a, b e c passando pelo ponto P, perpendiculares as retas dadas, r, s e t,
respectivamente.
P
r
t
s
Fazendo uso dos esquadros e/ou da régua paralela, complete as linhas abaixo, respeitando
as espessuras apresentadas e promovendo uma emenda correta.
Repita os desenhos nos quadros abaixo
61DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Ligue os pontos através de linhas retas conforme cada exemplo.
Faça o "espelhamento" das figuras abaixo considerando o eixo de simetria dado.
EIXO DE SIMETRIA
62DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
30º60º
45º 45º
Complete os quadrados concêntricos, respeitando os ângulos dos exemplos ao lado.
63DESENHO GEOMÉTRICO
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Dê continuidade aos desenhos, conforme os exemplos. Utilize o compasso quando necessário.
FAÇA AS CIRCUNFERÊNCIAS COM LINHAS TRACEJADAS
64DESENHO GEOMÉTRICO
EBER NUNES FERREIRA
Com o uso dos intrumentos de desenho, repita as figuras abaixo.