Potencial Elétrico

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ 
ELETRICIDADE E APLICAÇÕES 
TURMA: ........................................................ PROF.: ................................... 
 
ALUNO: ...................................................................................................................... ... 
 
 
ATIVIDADE DE ESTUDO 3 – POTENCIAL ELÉTRICO DE CARGAS PUNTIFORMES 
 
 
1. Energia Potencial Elétrica 
 
Quando uma força eletrostática age entre duas ou mais partículas de um sistema, podemos associar uma energia potencial 
elétrica 𝑈 ao sistema. Se a configuração do sistema muda de um estado inicial i para um estado final f, a força eletrostática realiza 
um trabalho 𝑊 sobre as partículas. A variação de energia potencial associada é dada por 
 
∆𝑈 = 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = −𝑊 (eq. 3.1) 
 
Como acontece com qualquer força conservativa, o trabalho realizado pela força eletrostática é independente da trajetória. 
Em geral usamos como configuração de referência de um sistema de partículas carregadas, a configuração na qual a 
distância entre as partículas é infinita e definimos a energia potencial de referência como sendo zero. Dessa forma, 𝑈𝑖 = 0 e 𝑈𝑓 =
𝑈, e portanto: 
𝑈 = −𝑊 
 
2. Potencial Elétrico 
 
Vamos agora definir o potencial elétrico 𝑉 no ponto 𝑃 em termos do trabalho realizado pelo campo elétrico e a energia 
potencial resultante: 
𝑉 =
−𝑊
𝑞𝑜
=
𝑈
𝑞0
 (eq. 3.2) 
 
Em palavras, o potencial elétrico em um ponto 𝑃 é a energia potencial por unidade de carga quando uma carga de prova 𝑞0 
é deslocada do infinito até o ponto 𝑃. A carga geradora cria esse potencial 𝑉 no ponto 𝑃, mesmo na ausência da carga de prova. 
Aplicando o mesmo método a outros pontos do espaço, verificamos que um potencial elétrico existe em todos os pontos em que o 
campo elétrico criado pela carga geradora está presente. Na verdade, todo objeto carregado cria um potencial elétrico 𝑉 nos mesmos 
pontos em que cria um campo elétrico. 
 
O potencial elétrico é uma grandeza escalar, já que tanto a energia potencial como a carga são grandezas escalares. 
 
A unidade SI de potencial elétrico é joule/coulomb (J/C), também denominado volt (V) . 
1 volt = 
1 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏
 
Quando se diz que uma pilha comum é de 1,5 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 isto significa que ela fornece 1,5 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 de energia a cada 1 coulomb 
de carga que a atravessa. 
Observa-se ainda que, conforme a posição que a carga ocupa no campo elétrico, a ela atribui-se uma determinada energia 
potencial elétrica e, portanto, pode-se dizer que o potencial elétrico adquire um valor bem definido a cada localização espacial dentro 
desse campo, ou seja, o potencial elétrico é uma função de posição. Pode-se falar, então, que a cada ponto no interior de um campo 
elétrico corresponde um potencial elétrico (esteja presente neste ponto carga elétrica ou não) desde que um ponto de potencial nulo 
seja especificado (referencial de potencial). 
Quando colocamos uma partícula de carga 𝑞0 em um ponto onde já existe um potencial elétrico 𝑉, a energia potencial da 
configuração é dada pela seguinte equação: 
 
𝑈 = 𝑞0𝑉 
 
 
3. Diferença de Potencial entre dois pontos de um campo elétrico 
 
Quando passamos de um ponto inicial 𝑖 para um ponto final 𝑓 na presença de um campo elétrico produzido por um objeto 
carregado, a variação do potencial elétrico é dada por: 
 
∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 
 
Nesse caso, a variação da energia potencial do sistema é dada por: 
 
∆𝑈 = 𝑞0. ∆𝑉 = 𝑞0. (𝑉𝑓 − 𝑉𝑖) (eq. 3.3) 
 
 
A variação pode ser positiva ou negativa, dependendo dos sinais de 𝑞0 e 𝛥𝑉. Também pode ser nula, se não houver variação 
de potencial (ou seja, se 𝑉𝑓 = 𝑉𝑖). Como a força elétrica é conservativa, a variação de energia potencial 𝛥𝑈 entre a energia potencial 
do ponto 𝑖 e a energia potencial do ponto 𝑓 é a mesma para qualquer trajetória que ligue os dois pontos, ou seja, é independente da 
trajetória. 
 
Energia em Elétrons-Volt: Na física atômica e subatômica, a medida das energias em joules (a unidade de energia do SI) 
envolve potências negativas de dez. Uma unidade mais conveniente (que não faz parte do SI) é o elétron-volt (𝑒𝑉), que é definido 
como o trabalho necessário para deslocar uma carga elementar 𝑒 (como do elétron ou do próton) se a diferença de potencial entre o 
ponto inicial e o ponto final é 1 volt. Logo esse trabalho é igual a 𝑞0∆𝑉. Assim: 
 
1 𝑒𝑉 = 1𝑒 · (1𝑉) = (1,602 × 10−19 𝐶) × (1
𝐽
𝐶
) = 1,602 × 10−19 𝐽 
 
4. Superfície Equipotencial 
 
Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial, que pode ser uma superfície 
imaginária ou uma superfície real. Quando uma partícula carregada é deslocada de um ponto para outro de uma superfície 
equipotencial, o trabalho total realizado pelo campo elétrico é sempre nulo. 
 
Figura 1 – Vista parcial de quatro superfícies equipotenciais. 
 
5. Cálculo do potencial a partir do campo elétrico 
 
A força elétrica entre duas cargas tem a direção da reta que passa por elas e depende do inverso do quadrado da distância 
que as separa e é uma força conservativa e, portanto, há uma função energia potencial que lhe é associada. Se uma carga 𝑞0 estiver 
num campo elétrico a energia potencial associada a ela é proporcional a 𝑞0 e a energia potencial por unidade de carga é uma função 
da posição da carga no espaço e é o potencial elétrico . Quando uma força �⃗� sofre um deslocamento 𝑑𝑠, o trabalho pode ser calculado 
𝑊 = �⃗� ∙ 𝑑𝑠 (produto escalar do vetor força pelo vetor deslocamento), já estudado na mecânica. 
 
 
 
 
Da equação 3.1, podemos relacionar que um trabalho elementar 𝑑𝑊: 
 
𝑑𝑊 = −𝑑𝑈 
 
𝑑𝑈 = −�⃗� ∙ 𝑑𝑠 
 
Como �⃗� = 𝑞0�⃗⃗�: 
 
𝑑𝑈 = −𝑞0�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑠 (eq. 3.4) 
 
 
A variação da energia potencial é, portanto, proporcional à carga 𝑞0 e a diferença de potencial entre dois pontos do campo, 
que é a variação da energia potencial por unidade de carga (𝑑𝑉), é: 
 
𝑑𝑉 = 
𝑑𝑈
𝑞0
 = 
−𝑞0 �⃗⃗� ∙𝑑𝑠
𝑞0
 = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑠 
 
𝑑𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑠 
 
Para um deslocamento entre dois pontos 𝑓 e 𝑖: 
 
𝑉 = − ∫ �⃗⃗�
𝑓
𝑖
∙ 𝑑𝑠 (eq. 3.5) 
 
Observações: 
 
• O potencial elétrico varia de ponto para ponto e não depende da carga de prova (𝑞0); 
• Tanto o potencial elétrico como a 𝑑𝑑𝑝 entre dois pontos de um campo são grandezas escalares; 
• O sinal do potencial é o mesmo do sinal da carga 𝑄 geradora do campo, ou seja, cargas positivas geram potenciais positivos e 
cargas negativas geram potenciais negativos; 
• As linhas do campo elétrico estão dirigidas de pontos de maior para os de menor potencial elétrico; 
• Cargas elétricas positivas, sujeitas apenas às forças do campo, deslocam-se de pontos de maior para os de menor potencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Cargas positivas deslocam-se para potenciais menores e cargas negativas para os potenciais maiores 
 
5. Potencial de uma carga puntiforme 
 
No exemplo representado na figura 5 a partícula de carga positiva q produz um campo elétrico �⃗⃗� e um potencial elétrico 
V no ponto P. Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova 𝑞0 do ponto P (situado a R de q) até o infinito (𝑉𝑓 = 0). A 
figura mostra a carga de prova a uma distância r da carga pontual, durante um deslocamento elementar 𝑑𝑠. 
 
𝛥𝑉 = −�⃗⃗� ∙ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑑𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 (ds = dr) 
 
𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − ∫ 𝐸. 𝑑
∞
𝑅
𝑟 
 
0 − 𝑉𝑖 = − ∫
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞
𝑟2
. 𝑑
∞
𝑅
𝑟 
 
−𝑉𝑖 = −
𝑞
4𝜋Ɛ0
∫ 
1
𝑟2
. 𝑑
∞
𝑅
𝑟 
 
−𝑉 = −
𝑞
4𝜋Ɛ0
⌊
1
𝑟
⌋
𝑅
∞
 
 
−𝑉𝑖 = 0 −
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞
𝑅
 
 
𝑉 =
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞
𝑅
 
 
Sendo assim, de forma genérica, o potencial de uma carga puntiforme em um ponto 𝑃 qualquer, é dada por: 
 
𝑉 =
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞
𝑟
 (eq. 3.6) 
 
6. Potencial de um sistema decargas puntiformes 
 
O potencial em um ponto do espaço de um sistema de cargas puntiformes é igual à soma dos potenciais de cada uma das 
cargas nesse ponto (princípio da superposição): 
 
𝑉 = ∑ 𝑉𝑖 =
𝑛
𝑖=1
1
4𝜋Ɛ0
∑
𝑞𝑖
𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1 (eq. 3.7) 
 
Exemplo resolvido: 
 
Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P, situado no centro do quadrado de cargas pontuais que 
aparece na figura ao lado? A distância d é 1,3 m, e as cargas são q1 = +12 nC; q2 = –24 nC; q3 = +31 
nC e q4 = +17 nC. 
 
Solução: o potencial elétrico (V) em P será a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelas 
4 cargas. 
 
𝑉 = ∑ 𝑉𝑖 =
4
𝑖=1
1
4𝜋Ɛ0
 (
𝑞1
𝑟
+
𝑞2
𝑟
+
𝑞3
𝑟
+
𝑞4
𝑟
) =
1
4𝜋Ɛ0
 (𝑞
1
+ 𝑞
2
+ 𝑞
3
+ 𝑞
4
) 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Carga pontual 𝑞 produz campo 
elétrico �⃗⃗� e potencial 𝑉 no ponto 𝑃. (Fonte: 
HALLIDAY, RESNICK E WALKER, 2016) 
 
Figura 4 – Cargas distribuídas 
nos vértices do quadrado. 
(Fonte: HALLIDAY, RESNICK E 
WALKER, 2016) 
A distância r é metade da diagonal do quadrado: 
 
𝑟 =
𝑙√2
2
=
1,3√2
2
= 0,919 𝑚 
 
𝑉 =
1
4𝜋Ɛ00,919
(12 − 24 + 31 + 17) × 10−9 
 
𝑉 = 36 × 10−9 𝑉 
 
7. Energia potencial elétrica de um sistema de cargas 
 
 Considere um sistema composto por duas cargas puntiformes que inicialmente estão 
infinitamente distantes uma da outra de modo que não interagem entre si. Para aproximá-las a uma 
distância r deve-se realizar um trabalho, o que altera a energia potencial do sistema. A energia potencial 
de um sistema de cargas puntiformes é definida como o trabalho necessário para aproximá-las, 
trazendo-as de posições que estão infinitamente distantes para uma distância r qualquer, como mostra 
a figura 5. 
A partir da equação 3.2, a energia potencial elétrica adquirida pela carga q2 é dada pela 
expressão: 
 
𝑈 = 𝑞2𝑉 
 
Onde 𝑉 é o potencial gerado por q1 na posição em que se encontra a carga q2 e pode ser calculado por 𝑉 =
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞1
𝑟
: 
 
𝑈 = 𝑞2
1
4𝜋Ɛ0
 
𝑞1
𝑟
 
 
 
𝑈 =
1
4𝜋Ɛ0
 
 𝑞1𝑞2
𝑟
 (eq. 3.8) 
 
 
Exemplo resolvido: 
Uma partícula de carga 𝑞 = +7,5 𝜇𝐶 é liberada a partir do repouso no ponto 𝑥 = 60 𝑐𝑚. A partícula começa a se mover devido à 
presença de uma carga 𝑄 que é mantida fixa na origem. Qual é a energia cinética da partícula após se deslocar de 40 𝑐𝑚 sobre o 
eixo 𝑥 (a) se 𝑄 = +20 𝜇𝐶 e (b) se 𝑄 = −20 𝜇𝐶? 
 
a) Como a carga 𝑞 é positiva, ela sente repulsão por 𝑄, afastando-se 0,40 𝑚 de 𝑄. 
− Aplicando conservação de energia no sistema: 
 
𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓 
 
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑖
+ 0 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑓
+ 𝐾𝑓 
 
𝐾𝑓 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑖
−
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑓
 
 
𝐾𝑓 = 8,99 × 10
9. 7,5 × 10−6. 20 × 10−6. (
1
0,60
−
1
1,0
) = 0,90 𝐽 
 
a) Como a carga 𝑞 é negativa, ela sente atração por 𝑄, aproximando-se 0,40 𝑚 de 𝑄. 
− Aplicando conservação de energia no sistema: 
 
𝑈𝑖 + 𝐾𝑖 = 𝑈𝑓 + 𝐾𝑓 
 
Figura 5 – Cargas sendo 
aproximadas a partir do infinito 
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑖
+ 0 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑓
+ 𝐾𝑓 
 
𝐾𝑓 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑖
−
1
4𝜋𝜀0
𝑞𝑄
𝑟𝑓
 
 
𝐾𝑓 = 8,99 × 10
9. 7,5 × 10−6. 20 × 10−6. (
1
0,60
−
1
0,2
) = 4,5 𝐽 
 
8. Potencial produzido por um dipolo elétrico 
 
Um dipolo é composto por duas cargas elétricas de mesmo módulo com sinais contrários que estão separadas por uma 
pequena distância 𝑑. Os dipolos ocorrem naturalmente, pois estão presentes em muitas moléculas e têm dimensões reduzidas. 
Normalmente, estamos interessados apenas em pontos relativamente distantes do dipolo, tais que r >> d, em que r é a distância entre 
o ponto 𝑃 e o centro do dipolo, e d é a distância entre as cargas, como podemos verificar na Figura 6. Pelo princípio da superposição, 
o potencial em 𝑃 pode ser calculado por: 
 
 
𝑉 = ∑ 𝑉𝑖 = 
2
𝑖=1
𝑉(+) + 𝑉(−) 
 
𝑉 =
1
4𝜋Ɛ0
(
𝑞
𝑟(+)
+ 
− 𝑞
𝑟(−)
) 
 
𝑉 =
𝑞
4𝜋Ɛ0
(
𝑟(−) − 𝑟(+)
𝑟(+)𝑟(−)
) 
 
 
 
 
 
 
 
Como r >> d, podemos supor que os segmentos de reta entre as cargas e o ponto 𝑃 são praticamente paralelos e que a 
diferença de comprimento entre esses segmentos de reta é um dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é d, como 
mostra a Figura 7. Além disso, a diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos 𝑟(+)𝑟(−) é, aproximadamente, 𝑟
2. Também 
verificamos que 𝑟(−) − 𝑟(+), corresponde ao cateto adjacente do triângulo mostrado na Figura 7 e pode ser calculado por 𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃. 
Substituindo essas relações na equação acima, temos: 
 
𝑉 =
𝑞
4𝜋Ɛ0
(
𝑑. 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
) 
 
 
𝑉 =
1
4𝜋Ɛ0
(
𝑝.𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑟2
) (eq. 3.9) 
 
Onde 𝑝 = 𝑞𝑑 é o módulo do momento dipolar 𝑝. 
 
 
9. Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 
 
No item 4, vimos que era possível calcular o potencial em um ponto 𝑓 a partir do conhecimento do valor do campo elétrico 
ao longo de uma trajetória de um ponto de referência até o ponto 𝑓. Neste momento será analisado o problema inverso, ou seja, o 
cálculo do campo elétrico a partir do potencial. Na Figura 8, verificamos uma carga 𝑞0 deslocando-se de uma superfície 
equipotencial para outra, ou seja, com uma diferença de potencial 𝑑𝑉. Existe um campo elétrico atuando sobre essa partícula, o qual 
pretendemos determinar a partir da diferença de potencial 𝑑𝑉. 
Figura 6 – Potencial no ponto P devido 
ao dipolo elétrico. (Fonte: HALLIDAY, 
RESNICK E WALKER, 2016) 
Figura 7 – Se P está a uma grande distância do 
dipolo as retas 𝑟(+) 𝑒 𝑟(−) são, aproximadamente, 
paralelas. (Fonte: HALLIDAY, RESNICK E 
WALKER, 2016) 
Sabemos, da equação 3.2, que trabalho pode ser escrito como: 𝑑𝑊 = − 𝑞0𝑑𝑉. 
No entanto, também podemos escrever 𝑑𝑊 = �⃗�. 𝑑𝑠 = 𝐹. 𝑑𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 𝑑𝑊 = 𝑑𝑊 
 
𝐹. 𝑑𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑞0 𝑑𝑉 
 
𝑞0𝐸. 𝑑𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑞0 𝑑𝑉 
 
𝐸. 𝑑𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −𝑑𝑉 
 
𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑠
 
 
 
 
 Sendo 𝐸. 𝑐𝑜𝑠𝜃 a componente do campo na direção 𝑠, como observa-se na Figura 8, podemos escrever: 
 
𝐸𝑠 = −
𝑑𝑉
𝑑𝑠
 
 
 
𝐸𝑠 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑠
 (eq. 3.10) 
 
 
Escrevemos o campo 𝐸 com um índice e substituímos o símbolo de derivada total pelo de derivada parcial, para ressaltar 
o fato de que a Eq. 3.10 envolve apenas a variação de 𝑉 ao longo de um determinado eixo (no caso, o eixo que chamamos de 𝑠) e 
apenas a componente de �⃗⃗� ao longo desse eixo. Se tomamos o eixo 𝑠 como os eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧, sucessivamente, verificamos que as 
componentes de �⃗⃗� em qualquer ponto do espaço são dadas por: 
 
𝐸𝑥 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑥
; 𝐸𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
; 𝐸𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
 (eq. 3.11) 
 
 
Ou, usando a notação de gradiente, 
 
�⃗⃗� = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉 = − (
𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝑖̂ + 
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝑗̂ +
𝜕𝑉
𝜕𝑧
�̂�) 
 
 
�⃗⃗� = −�⃗⃗�𝑉 
 
em que �⃗⃗� (nabla) é o operador diferencial. 
 
 
Questões RA2 
 
1) Uma carga positiva puntiforme é liberada a partir do repouso em uma região do espaço onde o campo elétrico é uniforme. 
Se a partícula se move na mesma direção e sentido do campo elétrico, a energia potencial eletrostática do sistema: 
a) aumenta e a energia cinética da partícula aumenta. 
b) diminui e a energia cinética da partícula diminui. 
c) e a energia cinética da partícula permanecem constantes. 
d) aumenta e a energia cinética da partícula diminui. 
e) diminui e a energia cinética da partícula aumenta. 
 
2) Duas cargas elétricas fixas puntiformes QA e QB, localizadas sobre um eixo vertical, estão separadas por uma distância 2𝑎, 
simetricamente dispostas em relação à origem do sistema de eixos ortogonais, conforme figura ao lado. 
Figura 8 – Carga 𝑞0 que sofre um deslocamento 
𝑑𝑠 ao passar de uma superfície equipotencial 
para a superfície vizinha. 
Tomando-se sobre o eixo horizontal um ponto 𝑃 de coordenadas (𝑥; 0) e considerando que não há 
nenhuma cargaelétrica ou massa nula, associe V ou F e justifique as falsas: 
( ) se QA+ QB = 0, o potencial elétrico resultante, gerado pelas duas cargas no ponto 𝑃, será nulo. 
( ) se QA+ QB = 0, o campo elétrico resultante, gerado pelas duas cargas no ponto 𝑃, será nulo. 
( ) o campo elétrico resultante, gerado pelas duas cargas, terá o sentido oposto ao eixo horizontal 
se as duas cargas forem iguais e negativas. 
( ) Se QA = QB o potencial elétrico resultante terá a mesma direção do campo elétrico resultante. 
 
3) A Figura a seguir mostra quatro pares de partículas carregadas. Para cada par, faça 𝑉 = 0 no infinito e considere 𝑉𝑡𝑜𝑡 em 
pontos do eixo 𝑥. Para que pares existe um ponto no qual 𝑉𝑡𝑜𝑡 = 0 (a) entre as partículas e (b) à direita das partículas? (c) 
Nos pontos dos itens (a) e (b) 𝐸𝑡𝑜𝑡 também é zero? (d) Para cada par, existem pontos fora do eixo 𝑥 (além de pontos no 
infinito) para os quais 𝑉𝑡𝑜𝑡 = 0? 
 
 
4) A Figura a seguir mostra um conjunto de três partículas carregadas. Se a partícula de carga +𝑞 é deslocada por uma força 
externa do ponto 𝐴 para o ponto 𝐷, determine se as grandezas a seguir são positivas, negativas ou nulas: (a) a variação da 
energia potencial elétrica, (b) o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a partícula que foi deslocada e (c) o trabalho 
realizado pela força externa. (d) Quais seriam as respostas dos itens (a), (b) e (c) se a partícula fosse deslocada do ponto 𝐵 
para o ponto 𝐶? 
 
 
5) Na Figura, oito partículas formam um quadrado, com uma distância 𝑑 entre as partículas vizinhas. Qual é o potencial 𝑃 no 
centro do quadrado se o potencial é zero no infinito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS INTRODUTÓRIOS (RA1) 
 
1) Duas cargas elétricas – 𝑄 e +𝑞 são mantidas nos pontos A e B, que distam 
82 𝑐𝑚 um do outro. Ao se medir o potencial elétrico no ponto C, à direta de 
B e situado sobre a reta que une as cargas, encontra-se um valor nulo. 
Se |Q|= 3|q|, qual o valor em centímetros da distância BC? 
 
2) A diferença de potencial elétrico entre a terra e uma nuvem de tempestade é 1,2 × 109 𝑉. Qual é o módulo da variação da 
energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra? Expresse a resposta em elétrons-volts. 
 
3) Uma bateria de automóvel, de 12 𝑉, pode fazer passar uma carga de 84 𝐴 ∙ ℎ (ampères-horas) por um circuito, de um 
terminal para o outro da bateria. (a) A quantos coulombs corresponde essa quantidade de carga? (b) Se toda a carga sofre 
uma variação de potencial elétrico de 12 𝑉, qual é a energia envolvida? 
 
 
4) Na ilustração, quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico, 
o campo elétrico realiza um trabalho de 3, 94 × 10−19 𝐽. Qual é a diferença de potencial elétrico 
(a) 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴, (b) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐴e (c) 𝑉𝐶 − 𝑉𝐵? 
 
 
5) Considere uma partícula com carga 𝑞 = 1,0 𝜇𝐶, o ponto A a uma distância 𝑑1= 2,0 𝑚 da partícula e o ponto B a uma 
distância 𝑑2= 1,0 𝑚 da partícula. (a) Se A e B estão diametralmente opostos, como na figura a, qual é a diferença de 
potencial elétrico 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵? (b) Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na figura b? 
 
PROBLEMAS ESPECÍFICOS (RA1) 
 
6) Qual é o potencial elétrico produzido pelas quatro partículas da figura no ponto 𝑃, se 𝑉 = 0 no infinito, 
𝑞 = 5,00 𝑓𝐶 e 𝑑 = 4,00 𝑐𝑚? 
 
7) A molécula de amoníaco (𝑁𝐻3) possui um dipolo elétrico permanente de 1,47 𝐷, onde 1𝐷 = 1 𝑑𝑒𝑏𝑦𝑒 = 3,34 × 10
−30 𝐶 ∙
𝑚. Calcule o potencial elétrico produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a uma distância 
de 52,0 𝑛𝑚. (Considere 𝑉 = 0 no infinito.) 
 
8) O potencial elétrico 𝑉 no espaço entre duas placas paralelas, 1 e 2, é dado (em volts) por V = 1500x2, em que 𝑥 (em metros) 
é a distância da placa 1. Para 𝑥 = 1,3 𝑐𝑚, (a) determine o módulo do campo elétrico. (b) O campo 
elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto? 
 
9) Na figura, sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar para formar um quadrado com 
4,0 𝑐𝑚 de lado. Qual é o trabalho necessário para deslocar para o centro do quadrado uma 
partícula de carga +6𝑒 inicialmente em repouso a uma distância infinita? 
 
10) A Figura mostra duas partículas carregadas. A partícula 1, de carga q1, é mantida fixa no lugar a uma distância 𝑑 da origem. 
A partícula 2, de carga q2, pode ser deslocada ao longo do eixo 𝑥. A Figura (b) mostra o potencial elétrico 𝑉 na origem em 
função da coordenada 𝑥 da partícula 2. A escala do eixo 𝑥 é definida por 𝑥𝑠 = 16,0 𝑐𝑚. O gráfico tende assintoticamente 
para 𝑉 = 5,76 × 10−7 𝑉 quando 𝑥 → ∞. Qual é o valor de q2 em termos de 𝑒? 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Na Figura, partículas de cargas 𝑞21 = +5𝑒 e 𝑞2 = −15𝑒 são mantidas fixas no lugar, 
separadas por uma distância 𝑑 = 24,0 𝑐𝑚. Considerando 𝑉 = 0 no infinito, determine o 
valor de 𝑥 (a) positivo e (b) negativo para o qual o potencial elétrico do eixo 𝑥 é zero. 
 
 
12) Uma partícula, de carga 𝑞, é mantida fixa no ponto 𝑃, e uma segunda partícula, de massa m, com a mesma carga 𝑞, é 
mantida inicialmente a uma distância 𝑟1 de 𝑃. A segunda partícula é liberada. Determine a velocidade da segunda partícula 
quando ela se encontra a uma distância 𝑟2 do ponto 𝑃. Considere que 𝑞 = 3,1 𝜇𝐶, 𝑚 = 20 𝑚𝑔, 𝑟1 = 0,90 𝑚𝑚 e 𝑟2 =
2,5 𝑚𝑚. 
 
 
https://jigsaw.vitalsource.com/books/9788521632092/epub/OEBPS/Text/chapter24.html#ch24fig36
13) Três partículas, de cargas q1 = +10μC, q2 = −20μC e q3 = +30μC, são posicionadas nos vértices de um triângulo isósceles, 
como mostra a Figura ao lado. Se 𝑎 = 10 𝑐𝑚 e 𝑏 = 6,0 𝑐𝑚, determine qual deve ser o trabalho 
realizado por um agente externo (a) para trocar as posições de q1 e q3 e (b) para trocar as posições 
de q1 e q2. 
 
 
 
 
APLICAÇÕES (RA1 e RA2) 
 
14) Em 1911, Ernest Rutherford e seus assistentes Geiger e Marsden conduziram um experimento no qual espalharam 
partículas alfa (núcleos de átomos de hélio) de chapas delgadas de ouro. Uma partícula alfa, com carga +2𝑒 e massa 6,64 
× 10–27 𝑘𝑔, é um produto de determinados processos de decaimento radioativo. Os resultados do experimento levaram 
Rutherford à ideia de que a maior parte da massa de um átomo se localiza em um núcleo muito pequeno, com elétrons 
orbitando-o. Uma partícula alfa (que possui dois prótons) está rumando diretamente para o centro de um núcleo que contém 
92 prótons. A partícula alfa possui uma energia cinética inicial de 0,48 𝑝𝐽. Qual é a menor distância centro a centro a que 
a partícula alfa consegue chegar do núcleo, supondo que o núcleo seja mantido fixo no lugar? 
 
15) No modelo dos quarks das partículas subatômicas, um próton é formado por três quarks: dois quarks 𝑢𝑝, com uma carga 
de +2𝑒/3 cada um, e um quark 𝑑𝑜𝑤𝑛, com uma carga de −𝑒/3. Suponha que os três quarks estejam equidistantes no 
interior do próton. Tome a distância entre os quarks como 1,32×10−15 𝑚 e calcule a energia potencial elétrica do sistema 
(a) apenas para os dois quarks 𝑢𝑝 e (b) para os três quarks. 
 
16) Um campo elétrico de aproximadamente 100 𝑉/𝑚 é frequentemente observado nas vizinhanças da superfície terrestre. Se 
esse campo existisse na Terra inteira, qual seria o potencial elétrico de um ponto da superfície? (Considere 𝑉 = 0 no 
infinito.) 
 
17) A rigidez dielétrica corresponde ao maior valor de intensidade do campo elétrico aplicado a um isolante, sem que ele se 
torne um condutor e varia de um material isolante para outro. No caso do ar, a rigidez dielétrica depende de diversos fatores, 
dentre eles a pressão, a temperatura, a taxa de crescimento da tensão, a umidade relativa do ar, etc., mas seu valor típico é 
de aproximadamente 30kV/cm. Assim, quando a intensidade do campo elétrico no ar ultrapassar esse valor, ele deixa de 
ser isolante e torna-se condutor. Sabe-se que durante a formação deuma tempestade ocorre separação de cargas elétricas, 
ficando as nuvens mais baixas eletrizadas negativamente, enquanto as nuvens mais altas se eletrizam positivamente. À 
medida que a quantidade de cargas elétricas nas nuvens aumenta, a intensidade destes campos vai aumentando, podendo 
ultrapassar o valor de quebra da rigidez dielétrica do ar. Quando isso acontece, o ar torna-se condutor e uma enorme 
centelha elétrica (relâmpago) irá saltar de uma nuvem para outra ou de uma nuvem para a Terra. Estime o valor da diferença 
de potencial máxima entre uma nuvem de tempestade e a Terra. 
 
18) Prótons são liberados a partir do repouso em um sistema acelerador de Van de Graaff. Os prótons estão inicialmente 
localizados onde o potencial elétrico tem um valor de 5,00 MV e, então, eles viajam através do vácuo até uma região onde 
o potencial é zero. (a) Determine a rapidez final destes prótons. (b) Determine a magnitude do campo elétrico acelerador 
se o potencial mudar uniformemente sobre uma distância de 2,00 m. 
 
19) O tubo de imagem de um aparelho de televisão era, até recentemente, invariavelmente um tubo de raios catódicos. Em um 
tubo típico de raios catódicos, uma configuração do tipo “canhão” de elétrons é usada para acelerar elétrons do repouso até 
a tela. Os elétrons são acelerados através de uma diferença de potencial de 30,0 kV. (a) Qual região está em um maior 
potencial elétrico, a tela ou onde os elétrons estão inicialmente? Explique sua resposta. (b) Qual é a energia cinética (em 
𝑒𝑉 e em 𝐽) de um elétron quando ele atinge a tela? 
 
20) Quando você toca em um amigo depois de ter caminhado sobre um tapete em um dia seco, você gera, tipicamente, uma 
faísca de aproximadamente 2,0 mm. Estime o valor da diferença de potencial entre você e seu amigo um instante antes da 
faísca. 
 
 
 
 
 
 
Respostas dos Problemas: 
 
1) 𝐵𝐶 = 41 𝑐𝑚 
2) 𝑈 = 1,2 × 109 𝑒𝑉 
3) (𝑎) 𝑞 = 3,0 × 105 𝐶; 𝑏) 𝛥𝑈 = 3,6 × 106 𝐽 
4) (𝑎) 𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 = 2,46 𝑉; (𝑏)𝑉𝐶 − 𝑉𝐴 = 2,46 𝑉; (𝑐) 𝑉C – 𝑉B= 0 
5) (𝑎)𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = −4,5 𝑘𝑉; (𝑏) 𝑉B = −4,5 𝑘𝑉 
6) 𝑉 = 0,562 𝑚𝑉 
7) 𝑉 = 16,3 µ𝑉 
8) (𝑎) 𝐸 = 39 𝑉/𝑚; (𝑏) 𝐸 𝑎𝑝𝑜𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 1 
9) 𝑊 = 2,1 × 10−25 𝐽 
10) 𝑞2 =– 32𝑒 
11) (𝑎) 𝑥 = 6,0 𝑐𝑚; (𝑏) 𝑥 = −12 𝑐𝑚 
12) 𝑣 = 2,5 𝑘𝑚/𝑠 
13) (𝑎) 𝑊 = −24 𝐽; (𝑏) 𝑊 = 0 
14) 𝑅 = 8,8 × 10−14 𝑚 
15) (𝑎) 𝑈 = 0,484 𝑀𝑒𝑉; (𝑏) 𝑈 = 0 
16) 𝑉 = 6,4 × 108 𝑉 
17) 𝑉 = 3,0 × 109 𝑉 
18) (𝑎) 𝑣 = 3,0 × 107 𝑚/𝑠; (𝑏) 𝐸 = 2,5 × 𝑀𝑉/𝑚 
19) (𝑎) 𝐾 = 3,0 × 104 𝑒𝑉 ; (𝑏)𝐾 = 4,8 × 10−15 𝑒𝑉; (𝑐)𝑣 = 1,08 × 108 𝑚/𝑠 
20) 𝑉 = 6000 𝑉 
 
 
Referência: 
 
HALLIDAY David, RESNICK Robert, WALKER Jearl, Fundamentos de Física. vol. 3. 9ª ed. Rio de 
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S/A, 2015. 
 
TIPLER, Paul A. Física. vol. 2, 6ª ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2014. 
 
BAUER, W.; WESTFALL, G.D.; DIAS, H. Física para Universitários, vol. 3. 1ª ed., São Paulo: McGraw-Hill, 2012. 
 
MACHADO, Kleber D., Eletromagnetismo vol. 1, Ponta Grossa: 1ª ed, Toda a Palavra, 2012.