Lista álgebra linear

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2FIS30 - Lista 1
Thaís dos Santos Moraes
11 de março de 2020
1 Considere a matriz:
A =
(
1 1
4 1
)
1.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(A− Iλ) = 0 =⇒
∣∣∣∣ 1− λ 14 1− λ
∣∣∣∣ = 0 =⇒ λ2 − 2λ− 3 = 0
Resolvendo o polinômio de segundo grau pelo método de Bhaskara, encontramos os autovalores:
λ1 = 3 e λ2 = −1
Usando a equação de autovalores:
A |ψ1〉 = λ1 |ψ1〉 , |ψ1〉 =
(
a
b
)
Temos:
(A− λ1I) |ψ1〉 = 0 =⇒
(
−2 1
4 −2
)(
a
b
)
= 0 =⇒ b = 2a =⇒ |ψ1〉 = a
(
1
2
)
(A− λ2I) |ψ2〉 = 0 =⇒
(
2 1
4 2
)(
c
d
)
= 0 =⇒ d = −2c =⇒ |ψ2〉 = c
(
1
−2
)
1.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
Uma matriz M tem colunas linearmente independentes se a única solução para a equação
M |ψ〉 = 0 é tal que todas as componentes de |ψ〉 são nulas, isso se veri�ca quando det(M) 6= 0.
Em outras palavras, não podemos escrever os vetores que representam as colunas da matriz M
como combinação linear um dos outros. Portanto:
M =
(
|ψ1〉 |ψ2〉
)
=
(
1 1
2 −2
)
=⇒ det(M) =
∣∣∣∣ 1 12 −2
∣∣∣∣ = −2− 2 = −4 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
1
1.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
〈ψ1|ψ1〉 = 1 =⇒ a2
(
1 2
)( 1
2
)
= 1 =⇒ a2(1 + 4) = 1
a =
1√
5
=⇒ |ψ1〉 =
1√
5
(
1
2
)
〈ψ2|ψ2〉 = 1 =⇒ c2
(
1 −2
)( 1
−2
)
= 1 =⇒ c2(1 + 4) = 1
c=
1√
5
=⇒ |ψ2〉 =
1√
5
(
1
−2
)
Veri�cando a ortonormalidade:
〈ψ1|ψ2〉 =⇒
1
5
(
1 2
)( 1
−2
)
=
1
5
(1− 4) = 3
5
6= 0
Os vetores não são ortonormais, o que faz sentido pois a matriz A não é ortogonal, ou seja,
A−1AT 6= I =⇒ AT 6= A.
1.4 Represente gra�camente os resultados.
Sendo |ψ(x, y)〉 =
(
ψx
ψy
)
, temos:
1.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de A é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M−1AM , D =
(
3 0
0 −1
)
Sabemos que a inversa de uma matriz é dada por:
M−1 =
1
det(M)
CT , onde C é a matriz dos cofatores: Ci,j = (−1)i+jdet(M−i,−j)
Portanto:
2
M =
(
1 1
2 −2
)
, det(M) = −4
C1,1 = −2
C1,2 = −2
C2,1 = −1
C2,2 = 1
 =⇒ M−1 = −
1
4
(
−2 −2
−1 1
)T
=⇒ M−1 = 1
4
(
2 1
2 −1
)
Veri�cando:
M−1AM =
1
4
(
2 1
2 −1
)(
1 1
4 1
)(
1 1
2 −2
)
=
1
4
(
6 3
−2 1
)(
1 1
2 −2
)
=
(
3 0
0 −1
)
M−1AM = D X
1.6 Encontre os projetores e veri�que a completude.
O operador de projeção decompõe um vetor qualquer na base dos vetores escolhidos e é dado
pelo produto externo do vetor de base desejado com ele mesmo. Ou seja, P1 = |ψ1〉 〈ψ1| é o
operador que projeta um vetor sob |ψ1〉. Portanto, temos:
P1 = |ψ1〉 〈ψ1| =
1
5
(
1(1 2)
2(1 2)
)
=⇒ P1 =
1
5
(
1 2
2 4
)
P2 = |ψ2〉 〈ψ2| =
1
5
(
1(1 −2)
−2(1 −2)
)
=⇒ P2 =
1
5
(
1 −2
−2 4
)
Veri�cando a completude:
P1 + P2 =
1
5
(
1 2
2 4
)
+
1
5
(
1 −2
−2 4
)
=
1
5
(
2 0
0 4
)
6= I
Os vetores não formam uma base completa pois não são ortonormais, como havíamos veri�cado.
2 Considere a matriz:
B =
(
2 1
1 2
)
2.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(B − Iλ) = 0 =⇒
∣∣∣∣ 2− λ 11 2− λ
∣∣∣∣ = 0 =⇒ (2− λ)2 − 1 = 0 =⇒ λ2 − 4λ+ 3 = 0
Resolvendo o polinômio de segundo grau pelo método de Bhaskara, encontramos os autovalores:
λ1 = 3 e λ2 = 1
Usando a equação de autovalores:
B |ψ1〉 = λ1 |ψ1〉 , |ψ1〉 =
(
a
b
)
Temos:
(B − λ1I) |ψ1〉 = 0 =⇒
(
−1 1
1 −1
)(
a
b
)
= 0 =⇒ b = a =⇒ |ψ1〉 = a
(
1
1
)
(B − λ2I) |ψ2〉 = 0 =⇒
(
1 1
1 1
)(
c
d
)
= 0 =⇒ d = −c =⇒ |ψ2〉 = c
(
1
−1
)
3
2.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
M =
(
|ψ1〉 |ψ2〉
)
=
(
1 1
1 −1
)
=⇒ det(M) =
∣∣∣∣ 1 11 −1
∣∣∣∣ = −1− 1 = −2 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
2.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
〈ψ1|ψ1〉 = 1 =⇒ a2
(
1 1
)( 1
1
)
= 1 =⇒ a2(1 + 1) = 1
a =
1√
2
=⇒ |ψ1〉 =
1√
2
(
1
1
)
〈ψ2|ψ2〉 = 1 =⇒ c2
(
1 −1
)( 1
−1
)
= 1 =⇒ c2(1 + 1) = 1
c=
1√
2
=⇒ |ψ2〉 =
1√
2
(
1
−1
)
Veri�cando a ortonormalidade:
〈ψ1|ψ2〉 =⇒
1
2
(
1 1
)( 1
−1
)
=
1
2
(1− 1) = 0
Os vetores são ortonormais e a matriz é ortogonal, diferente do caso anterior.
2.4 Represente gra�camente os resultados.
Sendo |ψ(x, y)〉 =
(
ψx
ψy
)
, temos:
4
2.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de B é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M−1BM , D =
(
3 0
0 1
)
Portanto:
M =
(
1 1
1 −1
)
, det(M) = −2
C1,1 = −1
C1,2 = −1
C2,1 = −1
C2,2 = 1
 =⇒ M−1 = −
1
2
(
−1 −1
−1 1
)T
=⇒ M−1 = 1
2
(
1 1
1 −1
)
Veri�cando:
M−1BM =
1
2
(
1 1
1 −1
)(
2 1
1 2
)(
1 1
1 −1
)
=
1
2
(
3 3
1 −1
)(
1 1
1 −1
)
M−1BM =
1
2
(
6 0
0 2
)
=
(
3 0
0 1
)
M−1BM = D X
2.6 Encontre os projetores e veri�que a completude.
P1 = |ψ1〉 〈ψ1| =
1
2
(
1(1 1)
1(1 1)
)
=⇒ P1 =
1
2
(
1 1
1 1
)
P2 = |ψ2〉 〈ψ2| =
1
2
(
1(1 −1)
−1(1 −1)
)
=⇒ P2 =
1
2
(
1 −1
−1 1
)
Veri�cando a completude:
P1 + P2 =
1
2
(
1 1
1 1
)
+
1
2
(
1 −1
−1 1
)
=
1
2
(
2 0
0 2
)
=
(
1 0
0 1
)
Os vetores formam uma base completa!
5
3 Considere a matriz:
G =
(
1 1
1 1
)
3.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(G− Iλ) = 0 =⇒
∣∣∣∣ 1− λ 11 1− λ
∣∣∣∣ = 0 =⇒ (1− λ)2 − 1 = 0 =⇒ λ(λ− 2) = 0
λ1 = 0 e λ2 = 2
Usando a equação de autovalores:
B |ψ1〉 = λ1 |ψ1〉 , |ψ1〉 =
(
a
b
)
Temos:
(B − λ1I) |ψ1〉 = 0 =⇒
(
−1 1
1 −1
)(
a
b
)
= 0 =⇒ b = a =⇒ |ψ1〉 = a
(
1
1
)
(B − λ2I) |ψ2〉 = 0 =⇒
(
1 1
1 1
)(
c
d
)
= 0 =⇒ d = −c =⇒ |ψ2〉 = c
(
1
−1
)
Como os autovetores são os mesmos do exercício 2, já mostramos que eles são ortonormais,
encontramos sua matriz de diagonalização e seus projetores.
4 Considere a matriz:
H =
 3 −6 0−6 0 6
0 6 −3

4.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(H − Iλ) = 0 =⇒
∣∣∣∣∣∣
(3− λ) −6 0
−6 −λ 6
0 6 (−3− λ)
∣∣∣∣∣∣ = 0
−λ(3− λ)(−3− λ)− 36(3− λ− 3− λ) = 0 =⇒ −λ(−9 + λ2) + 72λ = 0
λ3 +−81λ = 0 =⇒ λ(λ2 − 81) = 0
Igualando cada parte do produto à zero, temos:
λ1 = 0 , λ2 = 9 e λ3 = −9
Usando a equação de autovalores, temos:
6
(H − λ1I) |ψ1〉 = 0 =⇒
 3 −6 0−6 0 6
0 6 −3
 ab
c
 = 0
−a− 2b = 0
−a− c = 0
2b− c = 0
 c = a2b = a =⇒ |ψ1〉 = a
 21
2

(H − λ2I) |ψ2〉 = 0 =⇒
 −6 −6 0−6 −9 6
0 6 −12
 a′b
c
 = 0
−a′ − b = 0
−2a′ − 3b+ 2c = 0
b− 2c = 0

a′ = −b
b = 2c
a′ = −2c
=⇒ |ψ2〉 = a′
 −22
1

(H − λ3I) |ψ3〉 = 0 =⇒
 12 −6 0−6 9 6
0 6 6
 a′′b
c
 = 0
2a′′ − b = 0
b+ c = 0
}
b = −2a′′
b = −c =⇒ |ψ3〉 = a
′′
 12
−2

4.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
M =
(
|ψ1〉 |ψ2〉 |ψ3〉
)
=
 2 −2 11 2 2
2 1 −2
 =⇒ det(M) =
∣∣∣∣∣∣
2 −2 1
1 2 2
2 1 −2
∣∣∣∣∣∣
det(M) = −8− 8 + 1− 4− 4− 4 = −27 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
4.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
〈ψ1|ψ1〉 = 1 =⇒ a2
(
2 1 2
) 21
2
 = 1 =⇒ a2(4 + 1 + 4) = 1
a =
1√
9
=⇒ |ψ1〉 =
1
3
 21
2

〈ψ2|ψ2〉 = 1 =⇒ a′ 2
(
−2 2 1
) −22
1
 = 1 =⇒ a′ 2(4 + 4 + 1) = 1
a′ =
1√
9
=⇒ |ψ1〉 =
1
3
 −22
1

7
〈ψ3|ψ3〉 = 1 =⇒ a′′ 2
(
1 2 −2
) 12
−2
 = 1 =⇒ a′′ 2(1 + 4 + 4) = 1
a′′ =
1√
9
=⇒ |ψ3〉 =
1
3
 12
−2

Veri�cando a ortonormalidade:
〈ψ1|ψ2〉 =⇒
1
9
(
2 1 2
) −22
1
 = 1
9
(−4 + 2 + 2) = 0
〈ψ2|ψ3〉 =⇒
1
9
(
−2 2 1
) 12
−2
 = 1
9
(−2 + 4− 2) = 0
〈ψ3|ψ1〉 =⇒
1
9
(
1 2 −2
) 21
2
 = 1
9
(2 + 2− 4) = 0
Os vetores são ortonormais!
4.4 Represente gra�camente os resultados.
Sendo |ψ(x, y, z)〉 =
 ψxψy
ψz
 , temos:
4.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de B é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M−1HM , D =
 0 0 00 9 0
0 0 −9

Portanto:
8
M =
 2 −2 11 2 2
2 1 −2
 , det(M) = −27
C =
 −6 6 −3−3 −6 −6
−6−3 6
 =⇒ M−1 = − 3
27
 −2 2 −1−1 −2 −2
−2 −1 2
T
M−1 =
1
9
 2 1 2−2 2 1
1 2 −2

Veri�cando:
M−1HM =
1
9
 2 1 2−2 2 1
1 2 −2
 3 −6 0−6 0 6
0 6 −3
 2 −2 11 2 2
2 1 −2

=
1
9
 0 0 0−18 18 9
−9 −18 18
 2 −2 11 2 2
2 1 −2
 = 9
9
 0 0 0−2 2 1
−1 −2 2
 2 −2 11 2 2
2 1 −2

M−1HM =
 0 0 00 9 0
0 0 −9
 X
4.6 Encontre os projetores e veri�que a completude.
P1 = |ψ1〉 〈ψ1| =
1
9
 2(2 1 2)1(2 1 2)
2(2 1 2)
 =⇒ P1 = 1
9
 4 2 42 1 2
4 2 4

P2 = |ψ2〉 〈ψ2| =
1
9
 −2(−2 2 1)2(−2 2 1)
1(−2 2 1)
 =⇒ P2 = 1
9
 4 −4 −2−4 4 2
−2 2 1

P3 = |ψ3〉 〈ψ3| =
1
9
 1(1 2 −2)2(1 2 −2)
−2(1 2 −2)
 =⇒ P3 = 1
9
 1 −2 −22 4 −4
−2 −4 4

Veri�cando a completude:
P1 + P2 + P3 =
1
9
 4 2 42 1 2
4 2 4
+ 1
9
 4 −4 −2−4 4 2
−2 2 1
+ 1
9
 1 −2 −22 4 −4
−2 −4 4

P1 + P2 + P3 =
1
9
 9 0 00 9 0
0 0 9
 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 = I
Os vetores formam uma base completa!
9
5 Considere a matriz:
J =
 0 1 11 0 1
1 1 0

5.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(J − Iλ) = 0 =⇒
∣∣∣∣∣∣
−λ 1 1
1 −λ 1
1 1 −λ
∣∣∣∣∣∣ = 0
−λ3 + 1 + 1 + 3λ = 0 =⇒ λ3 − 3λ− 2 = 0
Vemos que −1 é raíz, reduzindo o polinômio:
(λ2 − λ− 2)(λ+ 1) = 0 , −1 é raíz novamente!
(λ− 2)(λ+ 1)2 = 0 =⇒ λ− 2 = 0
λ1 = 2 , λ2 = −1 e λ3 = −1
Usando a equação de autovalores, temos:
(J − λ1I) |ψ1〉 = 0 =⇒
 −2 1 11 −2 1
1 1 −2
 ab
c
 = 0
−2a+ 2b+ c = 0
a− 2b+ c = 0
a+ b− 2c = 0

2a = b+ c
2b = a+ c
2c = a+ b
=⇒ |ψ1〉 = a
 11
1

(J − λ2,3I) |ψ2,3〉 = 0 =⇒
 1 1 11 1 1
1 1 1
 a′b
c
 = 0 =⇒ a′ + b+ c = 0
Temos um sistema determinado com in�nitas soluções. Podemos escolher quaisquer vetores
que obedeçam a′ + b+ c = 0 e ortonormalizá-los. Portanto:
|ψ2〉 = a′
 1−2
1
 e |ψ̃3〉 = a′′
 11
−2

Usando a ortonormalização de Gram-Schmidt:
|ψ2〉 =
1√
6
 1−2
1
 e |ψ3〉 = |ψ̃3〉 − |ψ2〉 〈ψ2| |ψ̃3〉
|ψ3〉 = a′′
 11
−2
− a′′
6
 1 −2 1−2 4 −2
1 −2 1
 11
−2

= a′′
 11
−2
− a′′
6
 −36
−3
 = a′′
 11
−2
+ a′′
 1/2−1
1/2
 =⇒ |ψ3〉 = 3a′′
2
 10
−1

10
5.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
M =
(
|ψ1〉 |ψ2〉 |ψ3〉
)
=
 1 1 11 −2 0
1 1 −1
 =⇒ det(M) =
∣∣∣∣∣∣
1 1 1
1 −2 0
1 1 −1
∣∣∣∣∣∣
det(M) = 2 + 1 + 2 + 1 = 6 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
5.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
〈ψ1|ψ1〉 = 1 =⇒ a2
(
1 1 1
) 11
1
 = 1 =⇒ a2(1 + 1 + 2) = 1
a =
1√
3
=⇒ |ψ1〉 =
1√
3
 11
1

〈ψ2|ψ2〉 = 1 =⇒ a′ 2
(
1 −2 1
) 1−2
1
 = 1 =⇒ a′ 2(1 + 4 + 1) = 1
a′ =
1√
6
=⇒ |ψ1〉 =
1√
6
 1−2
1

〈ψ3|ψ3〉 = 1 =⇒
9a′′ 2
4
(
1 0 −1
) 10
−1
 = 1 =⇒ 9a′′ 2
4
(1 + 1) = 1
a′′ =
√
2
3
=⇒ |ψ3〉 =
1√
2
 10
−1

Veri�cando a ortonormalidade:
〈ψ1|ψ2〉 =⇒
1√
18
(
1 1 1
) 1−2
1
 = 1√
18
(1− 2 + 1) = 0
〈ψ2|ψ3〉 =⇒
1√
12
(
1 −2 1
) 10
−1
 = 1√
12
(1 + 0− 1) = 0
〈ψ3|ψ1〉 =⇒
1√
6
(
1 0 −1
) 11
1
 = 1√
6
(1 + 0− 1) = 0
Os vetores são ortonormais!
11
5.4 Represente gra�camente os resultados.
Sendo |ψ(x, y, z)〉 =
 ψxψy
ψz
 , temos:
5.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de B é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M−1JM , D =
 2 0 00 −1 0
0 0 −1

Portanto:
M =
 1 1 11 −2 0
1 1 −1
 , det(M) = 6
C =
 2 1 32 −2 0
2 1 −3
 =⇒ M−1 = 1
6
 2 2 21 −2 1
3 0 −3

Veri�cando:
M−1JM =
1
6
 2 2 21 −2 1
3 0 −3
 0 1 11 0 1
1 1 0
 1 1 11 −2 0
1 1 −1

=
1
6
 4 4 4−1 2 −1
−3 0 3
 1 1 11 −2 0
1 1 −1
 = 1
6
 12 0 00 −6 0
0 0 −6

M−1JM =
 2 0 00 −1 0
0 0 −1
 X
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5.6 Encontre os projetores e veri�que a completude.
P1 = |ψ1〉 〈ψ1| =
1
3
 1(1 1 1)1(1 1 1)
1(1 1 1)
 =⇒ P1 = 1
3
 1 1 11 1 1
1 1 1

P2 = |ψ2〉 〈ψ2| =
1
6
 1(1 −2 1)−2(1 −2 1)
1(1 −2 1)
 =⇒ P2 = 1
6
 1 −2 1−2 4 −2
1 −2 1

P3 = |ψ3〉 〈ψ3| =
1
2
 1(1 0 −1)0(1 0 −1)
−1(1 0 −1)
 =⇒ P3 = 1
2
 1 0 −10 0 0
−1 0 1

Veri�cando a completude:
P1 + P2 + P3 =
1
3
 1 1 11 1 1
1 1 1
+ 1
6
 1 −2 1−2 4 −2
1 −2 1
+ 1
2
 1 0 −10 0 0
−1 0 1

=
1
6
 2 2 22 2 2
2 2 2
+ 1
6
 1 −2 1−2 4 −2
1 −2 1
+ 1
6
 3 0 −30 0 0
−3 0 3
 = 1
6
 6 0 00 6 0
0 0 6

P1 + P2 + P3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 = I
Os vetores formam uma base completa!
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