Lista álgebra linear
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Lista álgebra linear

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2FIS30 - Lista 1
Thaís dos Santos Moraes
11 de março de 2020
1 Considere a matriz:
A =
(
1 1
4 1
)
1.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(A\u2212 I\u3bb) = 0 =\u21d2
\u2223\u2223\u2223\u2223 1\u2212 \u3bb 14 1\u2212 \u3bb
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0 =\u21d2 \u3bb2 \u2212 2\u3bb\u2212 3 = 0
Resolvendo o polinômio de segundo grau pelo método de Bhaskara, encontramos os autovalores:
\u3bb1 = 3 e \u3bb2 = \u22121
Usando a equação de autovalores:
A |\u3c81\u3009 = \u3bb1 |\u3c81\u3009 , |\u3c81\u3009 =
(
a
b
)
Temos:
(A\u2212 \u3bb1I) |\u3c81\u3009 = 0 =\u21d2
(
\u22122 1
4 \u22122
)(
a
b
)
= 0 =\u21d2 b = 2a =\u21d2 |\u3c81\u3009 = a
(
1
2
)
(A\u2212 \u3bb2I) |\u3c82\u3009 = 0 =\u21d2
(
2 1
4 2
)(
c
d
)
= 0 =\u21d2 d = \u22122c =\u21d2 |\u3c82\u3009 = c
(
1
\u22122
)
1.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
Uma matriz M tem colunas linearmente independentes se a única solução para a equação
M |\u3c8\u3009 = 0 é tal que todas as componentes de |\u3c8\u3009 são nulas, isso se veri\ufffdca quando det(M) 6= 0.
Em outras palavras, não podemos escrever os vetores que representam as colunas da matriz M
como combinação linear um dos outros. Portanto:
M =
(
|\u3c81\u3009 |\u3c82\u3009
)
=
(
1 1
2 \u22122
)
=\u21d2 det(M) =
\u2223\u2223\u2223\u2223 1 12 \u22122
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u22122\u2212 2 = \u22124 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
1
1.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
\u3008\u3c81|\u3c81\u3009 = 1 =\u21d2 a2
(
1 2
)( 1
2
)
= 1 =\u21d2 a2(1 + 4) = 1
a =
1\u221a
5
=\u21d2 |\u3c81\u3009 =
1\u221a
5
(
1
2
)
\u3008\u3c82|\u3c82\u3009 = 1 =\u21d2 c2
(
1 \u22122
)( 1
\u22122
)
= 1 =\u21d2 c2(1 + 4) = 1
c=
1\u221a
5
=\u21d2 |\u3c82\u3009 =
1\u221a
5
(
1
\u22122
)
Veri\ufffdcando a ortonormalidade:
\u3008\u3c81|\u3c82\u3009 =\u21d2
1
5
(
1 2
)( 1
\u22122
)
=
1
5
(1\u2212 4) = 3
5
6= 0
Os vetores não são ortonormais, o que faz sentido pois a matriz A não é ortogonal, ou seja,
A\u22121AT 6= I =\u21d2 AT 6= A.
1.4 Represente gra\ufffdcamente os resultados.
Sendo |\u3c8(x, y)\u3009 =
(
\u3c8x
\u3c8y
)
, temos:
1.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de A é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M\u22121AM , D =
(
3 0
0 \u22121
)
Sabemos que a inversa de uma matriz é dada por:
M\u22121 =
1
det(M)
CT , onde C é a matriz dos cofatores: Ci,j = (\u22121)i+jdet(M\u2212i,\u2212j)
Portanto:
2
M =
(
1 1
2 \u22122
)
, det(M) = \u22124
C1,1 = \u22122
C1,2 = \u22122
C2,1 = \u22121
C2,2 = 1
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe =\u21d2 M\u22121 = \u2212
1
4
(
\u22122 \u22122
\u22121 1
)T
=\u21d2 M\u22121 = 1
4
(
2 1
2 \u22121
)
Veri\ufffdcando:
M\u22121AM =
1
4
(
2 1
2 \u22121
)(
1 1
4 1
)(
1 1
2 \u22122
)
=
1
4
(
6 3
\u22122 1
)(
1 1
2 \u22122
)
=
(
3 0
0 \u22121
)
M\u22121AM = D X
1.6 Encontre os projetores e veri\ufffdque a completude.
O operador de projeção decompõe um vetor qualquer na base dos vetores escolhidos e é dado
pelo produto externo do vetor de base desejado com ele mesmo. Ou seja, P1 = |\u3c81\u3009 \u3008\u3c81| é o
operador que projeta um vetor sob |\u3c81\u3009. Portanto, temos:
P1 = |\u3c81\u3009 \u3008\u3c81| =
1
5
(
1(1 2)
2(1 2)
)
=\u21d2 P1 =
1
5
(
1 2
2 4
)
P2 = |\u3c82\u3009 \u3008\u3c82| =
1
5
(
1(1 \u22122)
\u22122(1 \u22122)
)
=\u21d2 P2 =
1
5
(
1 \u22122
\u22122 4
)
Veri\ufffdcando a completude:
P1 + P2 =
1
5
(
1 2
2 4
)
+
1
5
(
1 \u22122
\u22122 4
)
=
1
5
(
2 0
0 4
)
6= I
Os vetores não formam uma base completa pois não são ortonormais, como havíamos veri\ufffdcado.
2 Considere a matriz:
B =
(
2 1
1 2
)
2.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(B \u2212 I\u3bb) = 0 =\u21d2
\u2223\u2223\u2223\u2223 2\u2212 \u3bb 11 2\u2212 \u3bb
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0 =\u21d2 (2\u2212 \u3bb)2 \u2212 1 = 0 =\u21d2 \u3bb2 \u2212 4\u3bb+ 3 = 0
Resolvendo o polinômio de segundo grau pelo método de Bhaskara, encontramos os autovalores:
\u3bb1 = 3 e \u3bb2 = 1
Usando a equação de autovalores:
B |\u3c81\u3009 = \u3bb1 |\u3c81\u3009 , |\u3c81\u3009 =
(
a
b
)
Temos:
(B \u2212 \u3bb1I) |\u3c81\u3009 = 0 =\u21d2
(
\u22121 1
1 \u22121
)(
a
b
)
= 0 =\u21d2 b = a =\u21d2 |\u3c81\u3009 = a
(
1
1
)
(B \u2212 \u3bb2I) |\u3c82\u3009 = 0 =\u21d2
(
1 1
1 1
)(
c
d
)
= 0 =\u21d2 d = \u2212c =\u21d2 |\u3c82\u3009 = c
(
1
\u22121
)
3
2.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
M =
(
|\u3c81\u3009 |\u3c82\u3009
)
=
(
1 1
1 \u22121
)
=\u21d2 det(M) =
\u2223\u2223\u2223\u2223 1 11 \u22121
\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u22121\u2212 1 = \u22122 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
2.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
\u3008\u3c81|\u3c81\u3009 = 1 =\u21d2 a2
(
1 1
)( 1
1
)
= 1 =\u21d2 a2(1 + 1) = 1
a =
1\u221a
2
=\u21d2 |\u3c81\u3009 =
1\u221a
2
(
1
1
)
\u3008\u3c82|\u3c82\u3009 = 1 =\u21d2 c2
(
1 \u22121
)( 1
\u22121
)
= 1 =\u21d2 c2(1 + 1) = 1
c=
1\u221a
2
=\u21d2 |\u3c82\u3009 =
1\u221a
2
(
1
\u22121
)
Veri\ufffdcando a ortonormalidade:
\u3008\u3c81|\u3c82\u3009 =\u21d2
1
2
(
1 1
)( 1
\u22121
)
=
1
2
(1\u2212 1) = 0
Os vetores são ortonormais e a matriz é ortogonal, diferente do caso anterior.
2.4 Represente gra\ufffdcamente os resultados.
Sendo |\u3c8(x, y)\u3009 =
(
\u3c8x
\u3c8y
)
, temos:
4
2.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de B é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M\u22121BM , D =
(
3 0
0 1
)
Portanto:
M =
(
1 1
1 \u22121
)
, det(M) = \u22122
C1,1 = \u22121
C1,2 = \u22121
C2,1 = \u22121
C2,2 = 1
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe =\u21d2 M\u22121 = \u2212
1
2
(
\u22121 \u22121
\u22121 1
)T
=\u21d2 M\u22121 = 1
2
(
1 1
1 \u22121
)
Veri\ufffdcando:
M\u22121BM =
1
2
(
1 1
1 \u22121
)(
2 1
1 2
)(
1 1
1 \u22121
)
=
1
2
(
3 3
1 \u22121
)(
1 1
1 \u22121
)
M\u22121BM =
1
2
(
6 0
0 2
)
=
(
3 0
0 1
)
M\u22121BM = D X
2.6 Encontre os projetores e veri\ufffdque a completude.
P1 = |\u3c81\u3009 \u3008\u3c81| =
1
2
(
1(1 1)
1(1 1)
)
=\u21d2 P1 =
1
2
(
1 1
1 1
)
P2 = |\u3c82\u3009 \u3008\u3c82| =
1
2
(
1(1 \u22121)
\u22121(1 \u22121)
)
=\u21d2 P2 =
1
2
(
1 \u22121
\u22121 1
)
Veri\ufffdcando a completude:
P1 + P2 =
1
2
(
1 1
1 1
)
+
1
2
(
1 \u22121
\u22121 1
)
=
1
2
(
2 0
0 2
)
=
(
1 0
0 1
)
Os vetores formam uma base completa!
5
3 Considere a matriz:
G =
(
1 1
1 1
)
3.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(G\u2212 I\u3bb) = 0 =\u21d2
\u2223\u2223\u2223\u2223 1\u2212 \u3bb 11 1\u2212 \u3bb
\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0 =\u21d2 (1\u2212 \u3bb)2 \u2212 1 = 0 =\u21d2 \u3bb(\u3bb\u2212 2) = 0
\u3bb1 = 0 e \u3bb2 = 2
Usando a equação de autovalores:
B |\u3c81\u3009 = \u3bb1 |\u3c81\u3009 , |\u3c81\u3009 =
(
a
b
)
Temos:
(B \u2212 \u3bb1I) |\u3c81\u3009 = 0 =\u21d2
(
\u22121 1
1 \u22121
)(
a
b
)
= 0 =\u21d2 b = a =\u21d2 |\u3c81\u3009 = a
(
1
1
)
(B \u2212 \u3bb2I) |\u3c82\u3009 = 0 =\u21d2
(
1 1
1 1
)(
c
d
)
= 0 =\u21d2 d = \u2212c =\u21d2 |\u3c82\u3009 = c
(
1
\u22121
)
Como os autovetores são os mesmos do exercício 2, já mostramos que eles são ortonormais,
encontramos sua matriz de diagonalização e seus projetores.
4 Considere a matriz:
H =
\uf8eb\uf8ed 3 \u22126 0\u22126 0 6
0 6 \u22123
\uf8f6\uf8f8
4.1 Encontre os autovalores e autovetores.
Uma solução não trivial para a equação de autovalores nos dá a seguinte expressão:
det(H \u2212 I\u3bb) = 0 =\u21d2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
(3\u2212 \u3bb) \u22126 0
\u22126 \u2212\u3bb 6
0 6 (\u22123\u2212 \u3bb)
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = 0
\u2212\u3bb(3\u2212 \u3bb)(\u22123\u2212 \u3bb)\u2212 36(3\u2212 \u3bb\u2212 3\u2212 \u3bb) = 0 =\u21d2 \u2212\u3bb(\u22129 + \u3bb2) + 72\u3bb = 0
\u3bb3 +\u221281\u3bb = 0 =\u21d2 \u3bb(\u3bb2 \u2212 81) = 0
Igualando cada parte do produto à zero, temos:
\u3bb1 = 0 , \u3bb2 = 9 e \u3bb3 = \u22129
Usando a equação de autovalores, temos:
6
(H \u2212 \u3bb1I) |\u3c81\u3009 = 0 =\u21d2
\uf8eb\uf8ed 3 \u22126 0\u22126 0 6
0 6 \u22123
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed ab
c
\uf8f6\uf8f8 = 0
\u2212a\u2212 2b = 0
\u2212a\u2212 c = 0
2b\u2212 c = 0
\uf8fc\uf8fd\uf8fe c = a2b = a =\u21d2 |\u3c81\u3009 = a
\uf8eb\uf8ed 21
2
\uf8f6\uf8f8
(H \u2212 \u3bb2I) |\u3c82\u3009 = 0 =\u21d2
\uf8eb\uf8ed \u22126 \u22126 0\u22126 \u22129 6
0 6 \u221212
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed a\u2032b
c
\uf8f6\uf8f8 = 0
\u2212a\u2032 \u2212 b = 0
\u22122a\u2032 \u2212 3b+ 2c = 0
b\u2212 2c = 0
\uf8fc\uf8fd\uf8fe
a\u2032 = \u2212b
b = 2c
a\u2032 = \u22122c
=\u21d2 |\u3c82\u3009 = a\u2032
\uf8eb\uf8ed \u221222
1
\uf8f6\uf8f8
(H \u2212 \u3bb3I) |\u3c83\u3009 = 0 =\u21d2
\uf8eb\uf8ed 12 \u22126 0\u22126 9 6
0 6 6
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed a\u2032\u2032b
c
\uf8f6\uf8f8 = 0
2a\u2032\u2032 \u2212 b = 0
b+ c = 0
}
b = \u22122a\u2032\u2032
b = \u2212c =\u21d2 |\u3c83\u3009 = a
\u2032\u2032
\uf8eb\uf8ed 12
\u22122
\uf8f6\uf8f8
4.2 Mostre que os autovetores são linearmente independentes.
M =
(
|\u3c81\u3009 |\u3c82\u3009 |\u3c83\u3009
)
=
\uf8eb\uf8ed 2 \u22122 11 2 2
2 1 \u22122
\uf8f6\uf8f8 =\u21d2 det(M) =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2 \u22122 1
1 2 2
2 1 \u22122
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
det(M) = \u22128\u2212 8 + 1\u2212 4\u2212 4\u2212 4 = \u221227 6= 0
Os vetores são linearmente independentes!
4.3 Normalize os autovetores e mostre as relações de ortonormali-
dade.
Normalizando os vetores:
\u3008\u3c81|\u3c81\u3009 = 1 =\u21d2 a2
(
2 1 2
)\uf8eb\uf8ed 21
2
\uf8f6\uf8f8 = 1 =\u21d2 a2(4 + 1 + 4) = 1
a =
1\u221a
9
=\u21d2 |\u3c81\u3009 =
1
3
\uf8eb\uf8ed 21
2
\uf8f6\uf8f8
\u3008\u3c82|\u3c82\u3009 = 1 =\u21d2 a\u2032 2
(
\u22122 2 1
)\uf8eb\uf8ed \u221222
1
\uf8f6\uf8f8 = 1 =\u21d2 a\u2032 2(4 + 4 + 1) = 1
a\u2032 =
1\u221a
9
=\u21d2 |\u3c81\u3009 =
1
3
\uf8eb\uf8ed \u221222
1
\uf8f6\uf8f8
7
\u3008\u3c83|\u3c83\u3009 = 1 =\u21d2 a\u2032\u2032 2
(
1 2 \u22122
)\uf8eb\uf8ed 12
\u22122
\uf8f6\uf8f8 = 1 =\u21d2 a\u2032\u2032 2(1 + 4 + 4) = 1
a\u2032\u2032 =
1\u221a
9
=\u21d2 |\u3c83\u3009 =
1
3
\uf8eb\uf8ed 12
\u22122
\uf8f6\uf8f8
Veri\ufffdcando a ortonormalidade:
\u3008\u3c81|\u3c82\u3009 =\u21d2
1
9
(
2 1 2
)\uf8eb\uf8ed \u221222
1
\uf8f6\uf8f8 = 1
9
(\u22124 + 2 + 2) = 0
\u3008\u3c82|\u3c83\u3009 =\u21d2
1
9
(
\u22122 2 1
)\uf8eb\uf8ed 12
\u22122
\uf8f6\uf8f8 = 1
9
(\u22122 + 4\u2212 2) = 0
\u3008\u3c83|\u3c81\u3009 =\u21d2
1
9
(
1 2 \u22122
)\uf8eb\uf8ed 21
2
\uf8f6\uf8f8 = 1
9
(2 + 2\u2212 4) = 0
Os vetores são ortonormais!
4.4 Represente gra\ufffdcamente os resultados.
Sendo |\u3c8(x, y, z)\u3009 =
\uf8eb\uf8ed \u3c8x\u3c8y
\u3c8z
\uf8f6\uf8f8 , temos:
4.5 Encontre a matriz de diagonalização e sua inversa.
A matriz de diagonalização de B é a própria matrizM composta pelas colunas dos autovetores.
D =M\u22121HM , D =
\uf8eb\uf8ed 0 0 00 9 0
0 0 \u22129
\uf8f6\uf8f8
Portanto:
8
M =
\uf8eb\uf8ed 2 \u22122 11 2 2
2 1 \u22122
\uf8f6\uf8f8 , det(M) = \u221227
C =
\uf8eb\uf8ed \u22126 6 \u22123\u22123 \u22126 \u22126
\u22126