Energia_potencial_aresta

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Energia Potencial de Ligação da Aresta (Cristal Hipotético)
Considerando ligação do tipo iônica, a energia ĺıquida de ligação, para
5 < n < 12 ( expoente de Born), onde, EA é atração eletrostática e
ER é a repulsão eletrônica, para o par iônico temos,
EL = −
A
r +
B
rn
para r = r0 = r+ + r− , temos
FL|r0 =
dEL
dr |r0 =
A
r20
− nB
r
(n+1)
0
= 0 ∴ |FA|r0 = |FR|r0
B = r
(n−1)
0
A
n ∴ E0 = −
A
r0
(
1 − 1n
)
onde,
A = − z1 z2 e
2
4 π ǫ0
= −z1 z2 α ∴ α = 1, 4402 eV.nm
onde,
e = carga do eletron = 1, 6022 . 10−19 C
ε0 = permissividade do vácuo = 8, 854 . 10
−12 J−1C2m−1
z1 e z2 são as cargas dos ı́ons
fatores de conversão:
1 J = 6, 242 . 1018 eV
1m = 109 nm
considerando o regime elástico, para o par iônico temos na Fig.1(a), E0 = −4, 516 eV r0 = 0, 279nm
(a) (b) (c)
Fig.1 - Par iônico no equiĺıbrio(a), sob o esforço compressivo(b) e sob esforço trativo(c).
Situações fora do equiĺıbrio, Fig.1(b) e Fig.1(c), valores da energia de ligação maior que E0.
Exemplo: Considerando o cristal hipotético da Fig.2, temos
E0 = −
A
r0
(
1 − 1
n
)
. NA . 2 . { 1 −
1
2
+
1
3
− 1
4
+ ...}
E0 = −
A
r0
(
1 − 1n
)
. NA . 2 .
∑∞
i=0{
(−1)i
(i+1)}
E0 = −
A
r0
(
1 − 1
n
)
. NA . 2 . ln2
onde a constante de Madelung da geometria do cristal hipotético igual a 2 . ln2 ≈ 1, 3863 e NA é o
número de Avogrado (6, 022 . 1023 átomos/mol).
Fig.2 - Aresta do cristal hipotético .