Exercicio resolvido estatistica - Estimação

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MAE116 – Noções de Estat́ıstica
2do semestre de 2019 - FEA
Lista de exerćıcios 8 – Estimação II – C A S A
Exerćıcio 1
Uma amostra de quarenta dias, observando-se o número diário de ocorrências policiais, em um
bairro de certa cidade, apresentou os seguintes resultados:
7, 11, 8, 9, 10, 14, 6, 8, 8, 7, 8, 10, 10, 14, 12, 14, 12, 9, 11, 13, 13, 8, 6, 8, 13, 10, 14,
5, 14, 10, 12, 10, 15, 13, 11, 10, 13, 12, 13, 10.
(a) Calcule uma estimativa pontual para a proporção p de dias violentos, isto é, dias com pelo menos
12 ocorrências policiais.
(b) Construa um intervalo de confiança para a proporção p de dias violentos (dias com pelo menos
12 ocorrências) nesse bairro. Use um coeficiente de confiança de 88%. Qual é a margem de erro
de sua estimativa?
Solução
(a) A estimativa pontual para a proporção de dias violentos é simplesmente a proporção amostral.
No total de n = 40 observações da amostra, 16 delas são maiores ou iguais ao valor 12. A
estimativa fica
p̂ =
16
40
= 0, 4
(b) O intervalo de confiança simétrico de coeficiente 100γ% é dado por
IC(p; 100γ%) = [p̂− ε; p̂+ ε] ,
em que a margem de erro ε é dada por
ε = z
√
p̂(1− p̂)
n
.
Como queremos um coeficiente de confiança de γ = 0, 88, temos que z é o quantil 100% −
(100%−88%)
2 = 94%. Pela tabela encontramos o valor z = 1, 56 (ou 1, 55), e portanto a margem
de erro fica
ε = 1, 56
√
0, 4× 0, 6
40
= 0.1208371 ≈ 0, 12 ,
e portanto o intervalo com coeficiente de confiança de 88% é dado por
IC(p; 88%) = [0, 28; 0, 52] .
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Exerćıcio 2
Em uma amostra aleatória de solos de 70 locais diferentes, cada qual com 50 gramas, encontrou-se
uma quantidade média de argila de 15g e desvio padrão 5g.
(a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a quantidade média µ de argila presente em
50g de terra.
(b) Qual é o comprimento desse intervalo?
(c) Que tamanho de amostra seria necessário para que o intervalo de confiança de 95% para µ tivesse
comprimento de 2 gramas? Que suposição foi necessária considerar?
Solução
(a) Vamos construir o intervalo de confiança pelo Teorema do Limite Central. Como o tamanho da
amostra é grande (n = 70), temos aproximadamente que X̄ ∼ N
(
µ, σ
2
n
)
. Assim, um intervalo
de confiança de 95% para a quantidade média é dado por
IC(µ; 95%) = [X̄ − ε; X̄ + ε] .
Como estamos estimando a variância pela variância amostral (temos S2 e não σ2), a margem de
erro é dada por
ε = z
S√
n
.
Temos que z = 1, 96, S = 5 e n = 70, assim
ε = 1, 96
5√
70
= 1, 171324 ,
e portanto
IC(µ; 95%) = [13, 82868; 16, 17132] .
(b) O comprimento do intervalo de confiança é dado pela diferença dos limites do intervalo
X̄ + ε− (X̄ − ε) = 2ε = 2× 1, 171324 = 2, 342648 .
(c) Como argumentamos na letra anterior, o comprimento do intervalo é dado por 2ε. Consequen-
temente, se queremos um intervalo de comprimento 2, temos que ε = 1. Ou seja, queremos
encontrar o tamanho amostral tal que
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P(|µ− X̄| < 1) = 0, 95 .
Vamos resolver o exerćıcio por duas abordagens diferentes, que vão dar respostas muito diferen-
tes. As hipóteses feitas também serão diferentes.
(Abordagem I)
Essa abordagem é a mais simples. Vamos fazer a hipótese que o desvio padrão populacional
é igual a 5. Ela ”aproveita”a informação que o desvio padrão na amostra de tamanho 70 foi
estimado como 5. Com isso, a fórmula para n fica
n = z2
σ2
�2
= 1, 962
25
1
= 96, 04 ,
logo n = 97.
(Abordagem II)
Essa abordagem é a mais geral. Ela pode ser utilizada mesmo se não soubessemos de ińıcio que
o desvio padrão estimado na amostra de tamanho 70 foi 5. Vamos fazer a hipótese que todas as
amostras vão ter 50 gramas. Com essa hipótese, podemos pensar na quantidade de argila
como uma proporção do total de gramas do solo.
Defina p = µ50 , a proporção de argila em um extrado de 50 gramas do solo. Assim, a propoção
amostral é dada por p̂ = X̄50 . Dividindo os dois lados da desigualdade dentro da probabilidade
por 50, temos que
P(|µ− X̄| < 1) = P(|p− p̂| < 0, 02) = 0, 95 .
Assim, a margem de erro para a proporção é dada por ε = 0, 02, e a equação para o tamanho
amostral fica (z = 1, 96)
n = z2
p̂(1− p̂)
ε2
≤ 1, 962 0, 25
0, 022
= 2401 ,
assim n = 2401. Note que o valor de n é muito diferente para cada uma das abordagens.
Exerćıcio 3
Um professor deseja estimar a proporção p de alunos que conseguem entender de forma satisfatória
o conteúdo de sua matéria, ministrado utilizando um novo método de ensino. Ele quer que essa
proporção seja estimada com uma margem de erro de 0, 05 e com um ńıvel de confiança de 94%.
(a) Qual é o tamanho de amostra necessário para atender às exigências do professor?
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(b) Que tamanho deveria ter a amostra supondo que p esteja entre 0, 45 e 0, 65? E supondo que p
seja menor que 0, 4?
(c) Tomada uma amostra de 120 alunos desse professor, 48 apresentaram bom desempenho em uma
prova aplicada após dois meses de utilização do novo método. Com base nesses dados, determine
um intervalo de confiança para p, com coeficiente de confiança de 0, 95.
Solução
(a) Note que ε = 0, 05. Para ter um ńıvel de confiança de 94%, temos que encontrar o valor z
da distribuição normal que deixa a área da cauda superior de 1−0,942 =
0,06
2 = 0, 03. Assim,
procuramos z na tabela tal que A(z) = 0, 97, encontrando z = 1, 88. A equação para o tamanho
amostral fica
n = z2
p̂(1− p̂)
ε2
≤ 1, 882 0, 25
0, 052
= 353, 44 ,
e portanto n = 354.
(b) Quando restringimos o valor da proporção p a um intervalo, sempre temos que substituir p̂(1− p̂)
pelo valor máximo de p(1− p) naquele intervalo.
Vamos restringir p ao intervalo [0, 45; 0, 65]. Como o intervalo contém o valor 0, 5, que é o máximo
da função, substituimos p̂(1 − p̂) por 0, 5 × 0, 5 = 0, 25, e portanto o valor de n é o mesmo que
o da letra anterior (n = 354).
Suponha agora que p está restrito ao intervalo [0; 0, 4]. O máximo da função no intervalo é em
0, 4 (veja o gráfico no final), e agora substituimos p̂(1− p̂) por 0, 4× (1− 0, 6), e assim
n = 1, 882
0, 4× 0, 6
0, 052
= 339, 3024 ,
obtendo n = 340.
(c) O intervalo de confiança de coeficiente 95% é dado por
IC(µ; 95%) = [p̂− ε; p̂+ ε] .
A estimativa para a proporção amostral é p̂ = 48120 = 0, 4, já a margem de erro fica dada por
(z = 1, 96)
ε = z
√
p̂(1− p̂)
n
= 1, 96
√
0, 24
120
= 0, 08765386 .
O intervalo de confiança fica
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IC(µ; 95%) = [0, 4− 0, 08765386; 0, 4 + 0, 08765386] = [0, 3123461; 0, 4876539] .
Figura 1: Veja que no intervalo [0; 0,4] a função atinge máximo em 0,4. Já no intervalo [0,45; 0,65]
ela atinge máximo em 0,5, que também é máximo global da função.
Exerćıcio 4
Uma empresa está interessada em estimar a atual proporção p de consumidores de certo produto
que fabrica. Os administradores da empresa exigem do departamento de marketing que essa proporção
seja estimada com um erro de 0, 04 e um ńıvel de confiança de 0, 96.
(a) Qual deve ser o tamanho de amostra necessário para atender às exigências dos administradores?
(b) A empresa sabe que nos últimos tempos, essa proporção não ultrapassa 30%. Com essa in-
formação, é posśıvel diminuir o tamanho da amostra para atender as mesmas exigências? Se
não, por quê? Se sim, qual seria o novo tamanho de amostra?
(c) No ano passado, o departamento de marketing da empresa fez uma pesquisa com 500 pessoas,
escolhidas ao acaso, das quais 140 se declararam consumidorasdesse produto. Estime a pro-
porção de indiv́ıduos que, à época, consumiam o produto, utilizando um intervalo de 96% de
confiança.
(d) Neste ano, após uma intensa campanha de divulgação do produto, também entrevistou 500
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pessoas, aleatoriamente selecionadas, das quais 185 afirmaram que consomem o produto. Estime
a atual proporção de consumidores do produto, utilizando um intervalo de 96% de confiança.
(e) Comparando o intervalo em (c) com o intervalo em (d), você diria que a proporção de consu-
midores desse produto aumentou após a campanha de divulgação? Justifique brevemente seu
racioćınio.
Solução Antes de começarmos, vamos calcular o valor z associado ao coeficiente de confiança de
96%. Procuramos na tabela normal o valor de z tal que A(z) = 1 − 1−0,962 = 0, 98, encontrando
z = 2, 05.
(a) A equação para o tamanho amostral fica
n = 2, 052
p̂(1− p̂)
ε2
≤ 2, 052 0, 25
0, 042
= 656, 6406 ,
portanto n = 657.
(b) Se p̂ ≤ 0, 3, então o máximo da função p(1− p) é atingido quando p = 0, 3. Assim, o novo valor
do tamanho amostral fica
n = 2, 052
p̂(1− p̂)
ε2
≤ 2, 052 (0, 3)× (0, 7)
0, 042
= 551, 5781 ,
e portanto o tamanho amostral cai para n = 552.
(c) O intervalo de confiança será dado por
IC(p̂; 96%) = [p̂− ε; p̂+ ε] ,
em que p̂ = 140500 = 0, 28 e
ε = 2, 05
√
p̂(1− p̂)
500
= 0, 04116367 .
Assim, o intervalo fica
IC(p̂; 96%) = [0, 2388363; 0.3211637] .
(d) Neste caso, temos que p̂ = 185500 = 0, 37 e
ε = 2, 05
√
p̂(1− p̂)
500
= 0, 04426291 .
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O intervalo de confiança com coeficiente de 96% fica
IC(p̂; 96%) = [0.3257371; 0.4142629] .
(e) Note que os intervalos são disjuntos, isto é, o limite inferior do intervalo da letra (d) é maior
que o limite superior do intervalo da letra (c). Assim, existe uma diferença estatisticamente
significante entre as proporções, fornecendo evidência de que a campanha funcionou, i.e. houve
um aumento na proporção de consumidores do produto.
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