Matematica_Aplicada_Estatistica

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SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 4 
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ....................................... 4 
2.1 O uso dos números naturais .......................................................................... 5 
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ......................................... 5 
3.1 Módulo de um número inteiro ...................................................................... 6 
3.2 Operações com números inteiros ................................................................. 7 
3.2.1 Adição .......................................................................................................................................... 7 
3.2.2 Subtração ................................................................................................................................... 8 
3.2.3 Multiplicação ............................................................................................................................ 9 
3.2.4 Potenciação ............................................................................................................................. 10 
3.2.5 Potência de expoente inteiro negativo ....................................................................... 10 
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ................................... 11 
4.1 O conceito de fração ..................................................................................... 11 
4.2 Conjunto dos números racionais ................................................................ 12 
4.3 Tipos de frações ............................................................................................ 12 
4.4 Operações entre frações............................................................................... 13 
 
 
 
 
3 
4.4.1 Adição e subtração .............................................................................................................. 13 
4.4.2 Multiplicação .......................................................................................................................... 13 
4.4.3 Divisão ....................................................................................................................................... 13 
4.4.4 Potenciação ............................................................................................................................. 14 
4.5 Fração decimal ............................................................................................... 14 
5 NÚMEROS IRRACIONAIS ................................................................ 15 
6 NÚMEROS REAIS ............................................................................... 15 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 17 
 
 
 
 
 
4 
AULA 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS E INTERVALOS NA RETA 
REAL 
1 INTRODUÇÃO 
O número surgiu da necessidade que o homem tinha de contar objetos e ter registros numéricos. Antes 
do surgimento dos números, eram usados os dedos, nós de uma corda, as pedras, marcas nos ossos, entre 
outras técnicas, para fazer contas. 
Essa vontade de quantificar os objetos foi fundamental para o desenvolvimento do conceito de número 
e de conjunto numérico. Este recebeu maior rigor em sua elaboração com George Cantor, matemático que 
estudou profundamente o infinito matemático. 
Os conjuntos numéricos que hoje conhecemos tem uma vasta aplicabilidade na engenharia, medicina, 
economia, administração, entre outras áreas do conhecimento. 
2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
O conjunto dos números naturais é um conjunto infinito e ordenado, pois, dados dois números inteiros 
quaisquer, é sempre possível dizer se são iguais ou se um é menor ou maior que o outro. Representamos o 
conjunto dos números naturais pela letra : 
 
 
Podemos também representar o conjunto dos números naturais na reta numerada. 
Figura 1 – Representação do conjunto dos números naturais na reta numérica. 
 
 
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes, são eles: 
 {1, 2, 3, 4,…} → conjunto dos naturais sem o zero. 
 {0, 2, 4, 6, 8,…} → conjuntos dos números naturais pares. 
 {1, 3, 5, 7, 9,…} → conjunto dos números ímpares. 
 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…} → conjunto dos números primos. 
 
 
 
 
 
5 
No conjunto dos números naturais, são definidas apenas duas operações: a adição e a multiplicação. 
Para quaisquer que sejam os naturais e , a soma e o produto são também naturais. Nesse 
conjunto, não é possível realizar a subtração – , quando for menor que , ou a divisão quando não 
for múltiplo de . 
Exemplos: 
12 – 9 3 resultado possível no conjunto dos números naturais, pois 3 é um número 
natural. 
9 – 12 –3 o resultado dessa subtração não é possível no conjunto em questão, pois – 3 
não representa um número natural. 
16 2 8 resultado possível no conjunto , pois 8 é um número natural. 
15 2 7,5 o resultado dessa divisão não é possível, pois ele não representa um número 
natural. 
2.1 O uso dos números naturais 
Usamos os números naturais para: 
Contar 
Exemplo: número de alunos em uma sala de aula (30 pessoas). 
Identificar 
Exemplo: uma página de um livro (página 45). 
Ordenar 
Exemplo: a classificação dos times em um campeonato de futebol (1.º, 2.º, 3.º lugar). 
3 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Esse conjunto é formado por todos os elementos do conjunto e seus opostos (ou simétricos) e é 
representado pelo símbolo (Zahlen número em alemão). Podemos dizer, ainda, que o conjunto dos 
números inteiros é uma extensão do conjunto dos números naturais. 
O conjunto dos números inteiros pode ser escrito da seguinte forma: 
 
 
No conjunto , quanto mais afastado do zero estiver um número negativo, menor ele será. Todo 
número negativo é menor que o zero ou que um número positivo. 
 
 
 
 
6 
Como no conjunto , o também é ordenado. Dados dois inteiros e , sempre se verificam uma das 
seguintes relações: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
O conjunto dos inteiros possui, também, alguns subconjuntos importantes, são eles: 
Conjunto dos números inteiros não negativos: 
 
Conjunto dos números inteiros não positivos: 
 
Números inteiros não nulos: 
 
Conjunto dos números inteiros positivos: 
 
 
Conjunto dos números inteiros negativos: 
 
 
 
Assim como os naturais, também podemos representar o conjunto dos números inteiros na reta 
numerada: 
Figura 2 – Representação dos números inteiros na reta numérica. 
 
 
3.1 Módulo de um número inteiro 
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro pode ser definido como sendo a distância entre o 
zero e um outro número, e é representado por duas barras verticais | |. 
 
 
 
 
7 
Por exemplo, a distância entre o número 4 e o zero, na reta numerada, chamamos de módulo ou valor 
absoluto de 4. 
O valor absoluto de qualquer número e de seu oposto é igual. Por exemplo: 
| | ,ou seja, a distância do número 5 ao zero vale 5. 
| | ,ou seja, a distância do número 5 ao zero vale 5. 
 
3.2 Operações com números inteiros 
No conjunto dos números inteiros, são definidas três operações: a adição, a subtração e a 
multiplicação. Quaisquer que sejam os inteiros , e , a soma ”, a diferença “ – ” e a 
multiplicação ” são números inteiros. 
Já o mesmo não ocorre com a divisão. Só é possível realizar uma divisão ”, no conjunto dos 
inteiros, quando for múltiplo de . 
Por exemplo, a operação 16 2 = 8, resulta em um número inteiro, diferentemente de 2 16, não 
representa um númerointeiro. 
3.2.1 Adição 
Vamos associar aos números inteiros positivos a ideia de ganho, e aos negativos, a de perda. Assim, 
podemos representar a ideia da adição de números inteiros da seguinte forma: 
 Representação matemática 
Ganhar 5 + ganhar 6 = ganhar 11 5 + 6 = 11 
Ganhar 5 e perder 6 = perder 1 5 + (– 6) = 5 – 6 = – 1 
Perder 5 e ganhar 6 = ganhar 1 (–5) + 6 = –5 + 6 = 1 
Perder 5 e perder 6 = perder 11 (–5) + (–6) = –5 – 6 = – 11 
Vejamos alguns exemplos de adição: 
a) 7 – 3 + 4 = 
Tenho 7 e perdi 3 = 7 – 3 = 4 
Tenho 4 e ganho 4 = 4 + 4 = 8 
7 – 3 + 4 = 8 
 
 
 
 
 
 
8 
b) 9 – 5 – 8 = 
Tenho 9 e perdi 5 = 9 – 5 = 4 
Tenho 4 e perdi 8 = 4 – 8 = – 4 
9 – 5 – 8 = – 4 
 
c) – 6 – 8 – 5 
Tenho uma dívida de R$ 6 e a ela juntou-se outra de 8 = – 6 – 8 = – 14 
Tenho uma dívida de R$ 14 e a ela juntou-se outra de 5 = – 14 – 5 = – 19 
– 6 – 8 – 5 = – 19 
 
3.2.2 Subtração 
A operação da subtração é inversa à da adição. 
Consideremos os exemplos abaixo: 
8 – (+4) = 8 + (– 4) = 4 
(–6) – (+9) = – 6 + (–9) = – 15 
(–15) – (– 6) = – 15 + 6 = – 9 
 
Observando os exemplos, percebemos que para efetuar a subtração basta adicionarmos ao primeiro 
número o oposto do segundo. 
Vejamos: 
a) 7 – 3 
7 – 3 = 7 + (–3) = 4 
 
b) 8 – (+ 7) 
8 – (+ 7) = 8 + (– 7) = 1 
 
c) – 10 – (– 8) 
–10 + 8 = – 2 
 
d) 15 – (– 5) 
15 + 5 = 20 
 
 
 
 
9 
3.2.3 Multiplicação 
Para multiplicar dois números inteiros, devemos distinguir dois momentos. 
a) Se os números tiverem o mesmo sinal, multiplicamos os seus valores absolutos, e o 
resultado será positivo. 
Exemplo 1: 
(–2) (– 4) = 
O valor absoluto de (–2) é 2, 
O valor absoluto de (– 4) é 4, 
Logo (–2) (–4) = 8 
 
Exemplo 2: 
(+5) (+3) = 
Valor absoluto de +5 = 5 
Valor absoluto de + 3 = 3 
Logo, (+5) (+3) = 15 
 
b) Se os números tiverem sinais distintos, multiplicamos os seus valores absolutos, e o 
resultado será negativo. 
Exemplo 1: 
(–4) (+3) 
Valor absoluto de – 4 = 4 
Valor absoluto de 3 = 3 
Logo, (–4) (+3) = – 12 
 
Exemplo 2: 
(+7) (–8) 
Valor absoluto de +7 = 7 
Valor absoluto de – 8 = 8 
Logo, (+7) (–8) = – 56 
 
 
 
 
10 
3.2.4 Potenciação 
Uma potência é uma multiplicação de fatores iguais. O fator que se repete é chamado de base, e o 
número de vezes que ele se repete recebe o nome de expoente. Representamos essa operação da seguinte 
forma: 
 
 
Para calcular uma potência de base inteira, devemos levar em consideração o seguinte: 
a) Se a base é positiva, então o resultado será sempre positivo. Exemplo: 
 
 
b) Se a base é negativa e o expoente é um número par, então o resultado sempre será positivo. 
Exemplo: 
( ) ( ) ( ) 
 
c) Se a base é negativa e o expoente é um número ímpar, então o resultado sempre será 
negativo. Exemplo: 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
3.2.5 Potência de expoente inteiro negativo 
Consideremos o seguinte quociente de potências de bases iguais: 
 
 
 
 
Podemos determinar o quociente de duas formas: 
Primeiro modo: aplicando a propriedade de potências: 
 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
11 
Segundo modo: calculando o quociente
1
 
 
 
 
 
 
 
Podemos, então, concluir que: 
 
 
 
 
 
Uma potência de expoente negativo e base não nula é igual à unidade dividida por outra potência de 
igual base, mas cujo expoente é simétrico. 
 
 
 
 
Sendo 0 
 
Exemplo 1: 
Determine 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
4.1 O conceito de fração 
O conceito de fração surge intuitivamente quando se pretende dividir a unidade em partes iguais. Cada 
um dos elementos individuais obtidos é uma parte fracionária da unidade. 
Exemplos: 
 
1
 Quociente: resultado de uma divisão. 
( ) 
 
( ) 
 
 
 
 
Determine ( ) 
 
 
 
 
12 
 
 
 
A unidade foi dividida em três partes iguais e foi tomada uma parte. 
 
 
 
 
A unidade foi dividida em cinco partes iguais e foram tomadas 2 partes. 
 
Podemos, então, definir uma fração como sendo todo número que pode ser escrito na forma 
 
 
, sendo 
 e números inteiros e um número diferente de zero, pois não existe divisão por zero. 
Na representação 
 
 
, o número é chamado de numerador e o número de denominador. 
4.2 Conjunto dos números racionais 
O conjunto dos números racionais, que é representado pelo símbolo , é definido por: 
 { 
 
 
 } 
 
Quando 1, temos 
 
 
 
 
 
 , sendo um número inteiro. Isso nos mostra que todo número 
inteiro é também um número racional. Veja mais alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.3 Tipos de frações 
a) Fração própria é aquela cujo numerador é menor que o denominador. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Fração imprópria é aquela cujo numerador é maior que o denominador. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
4.4 Operações entre frações 
Vamos recordar, de forma sucinta, as principais operações com frações. 
4.4.1 Adição e subtração 
Se os denominadores forem iguais, conservamos o denominador e somamos ou subtraímos os 
numeradores. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se os denominadores forem diferentes, reduzimos as frações ao menor denominador comum e 
realizamos a operação indicada. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.2 Multiplicação 
Na multiplicação de duas ou mais frações, o produto é encontrado multiplicando-se os numeradores e 
denominadores. Sempre que for possível, simplifique o resultado obtido. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando a fração por 2, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
4.4.3 Divisão 
Na divisão de números racionais, conservamos a primeira fração, multiplicando-a pelo inverso da 
segunda. 
 
 
 
 
14 
Exemplo: 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 ( )
 
 
 
 
 
 
4.4.4 Potenciação 
Primeiro caso: o expoente é um número natural. 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segundo caso: o expoente é um número inteiro negativo: 
(
 
 
)
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 1 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra prática: quando o expoente é negativo, devemos inverter a fração e trocar o sinal do expoente. 
Exemplo: 
(
 
 
)
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
4.5 Fração decimal 
É uma fração que tem como denominador uma potência de dez com expoente natural. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma simples extensão do sistema de numeração decimal nos permite representar esse tipo de fração 
de outra forma, que chamaremos de número decimal. 
Desse modo teremos: 
Potência de um expoente 
negativo. 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo geral, para converter uma fração decimal em um número decimal, devemos escrever o 
numerador da fração, colocando a vírgula de modo que o número de casas decimais coincida com a 
quantidade de zeros do denominador. 
Agora, para passarmos um número decimal para a fração, eliminamos a vírgula e escrevemos o número 
obtido no numerador, e o denominador será uma potência de dez, com tantos zeros quantas forem as casas 
decimais. 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 NÚMEROS IRRACIONAIS 
Números irracionais são aqueles que não podem ser obtidos pela divisão entre dois números inteiros, 
portanto não são números racionais. O conjunto dos irracionais é representado pela letra 
Vejamos alguns exemplos: 
√ √6 NÚMEROS REAIS 
O conjunto dos números reais, representado pela letra , é uma expansão do conjunto dos números 
racionais, que engloba não só os números inteiros, fracionários, positivos e negativos, mas todos os números 
irracionais. 
Assim, temos: 
 naturais 
racionais 
Números reais inteiros 
irracionais 
 
 
 
 
 
16 
Ou 
Conjunto dos racionais unido ao conjunto dos irracionais: 
 
 
 
 
Podemos, também, representar o conjunto dos reais por meio de um diagrama. 
Figura 3 – conjunto dos reais. 
 
É importante observarmos que os conjuntos estão representados contidos uns nos outros. 
Devemos nos lembrar de que os naturais estão contidos nos inteiros, estes estão contidos nos racionais 
que, por sua vez, estão contidos no conjunto dos reais. Já os irracionais estão contidos apenas no conjunto 
dos números reais. 
O conjunto dos números reais é ordenado e completo. Significa que, dados dois números reais, sempre 
é possível verificar se eles são iguais ou se um é menor ou maior que o outro. 
Os números reais são, também, representados na reta numerada, considerando que cada ponto da reta 
corresponde apenas um número real e vice-versa, tornando a reta totalmente contínua. 
Representamos, na reta numerada abaixo, apenas alguns números. 
Figura 4 – Representação de alguns números reais na reta numérica. 
 
 –2 –√ –1 0 
 
 
 1 2 
 
 Uma unidade 
 
Símbolo da união entre conjuntos 
 
 
 
 
17 
REFERÊNCIAS 
BRADLEY, T. Matemática aplicada à administração. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. 
SILVEIRA, D. C.; SALDANHA, M. S.; MISITI, L.O.R. Aritmética e introdução à álgebra: 1.463 problemas 
resolvidos e explicados. São Paulo: Ícone, 2012. 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática 1: Ensino Médio, volume 1. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 3 
2 RAZÃO.................................................................................................... 3 
2.1 Algumas razões especiais ............................................................................... 4 
2.1.1 Escala de mapa ........................................................................................................................ 4 
2.1.2 Velocidade média ................................................................................................................... 4 
2.1.3 Densidade demográfica ....................................................................................................... 4 
2.1.4 Números índices ..................................................................................................................... 5 
2.1.5 Densidade corporal ............................................................................................................... 5 
2.1.6 Percentagem ............................................................................................................................. 6 
3 PROPORÇÃO ........................................................................................ 6 
3.1 Propriedade fundamental das proporções .................................................. 7 
3.2 Quarta proporcional ....................................................................................... 8 
3.3 Terceira proporcional ou proporção contínua ............................................ 9 
3.4 Proporção múltipla ......................................................................................... 9 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 12 
 
 
 
 
 
3 
AULA 2 – PROPORCIONALIDADE NUMÉRICA 
1 INTRODUÇÃO 
O termo razão surge em variados contextos e com vários significados, mas quando nos referimos à 
matemática (e áreas como estatística, administração, economia, engenharia) a razão aparece como o 
quociente entre duas grandezas. É nesse sentido que trataremos o conceito de proporcionalidade ao longo 
deste capítulo. 
2 RAZÃO 
A razão entre dois números 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏, com 𝑏𝑏 ≠ 0, é o quociente 𝑎𝑎
𝑏𝑏
 ou 𝑎𝑎 ÷ 𝑏𝑏. 
 
 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
 
 
Lê-se razão entre 𝒂𝒂 e 𝒃𝒃, ou, 𝒂𝒂 está para 𝒃𝒃. 
Exemplos: 
a) Numa turma de 40 mulheres e 28 homens, diz-se que o número de mulheres está para o 
número de homens na razão 10 para 7, pois: 
40
28
=
40 ÷ 4
28 ÷ 4
= 
10
7
 
 
b) Numa festa, havia 270 crianças, sendo 120 meninos e 150 meninas. Qual é a razão entre o 
número de meninos e o número de meninas? 
120
270−120
= 120
150
 , simplificando a fração por 30 temos: 
120 ÷ 30
150 ÷ 30
=
4
5
 
Resultado: quatro meninos para cinco meninas. 
 
Antecedente 
Consequente 
 
 
 
 
4 
2.1 Algumas razões especiais 
2.1.1 Escala de mapa 
A escala de mapa é a razão entre a medida no desenho e a correspondente medida real. 
Exemplo: Em um mapa, a distância entre duas cidades é representada por um segmento de reta de 5 
cm de comprimento. A distância real entre essas cidade é de 300 km. Qual é a escala deste mapa? 
Escala = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟
= 5 𝑛𝑛𝑚𝑚
300 𝑘𝑘𝑚𝑚
= 5 𝑛𝑛𝑚𝑚
30 000 000 𝑛𝑛𝑚𝑚
= 1
6 000 000
 
 
 
Importante 
 
Cuidado! As medidas devem estar na mesma unidade. 
 
2.1.2 Velocidade média 
É a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso. Importante observar que nesse caso 
as unidades são diferentes. 
Exemplo: Um carro percorre 300 km em 3 horas. Qual é a velocidade média deste carro? 
Velocidade média = 
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑠𝑠𝑡𝑡â𝑛𝑛𝑛𝑛𝑑𝑑𝑎𝑎 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑟𝑟𝑛𝑛𝑛𝑛𝑟𝑟𝑟𝑟𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎
𝑡𝑡𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛
 = 300 𝑘𝑘𝑚𝑚
3 ℎ𝑛𝑛𝑟𝑟𝑎𝑎𝑠𝑠
 = 100 km/h 
 
2.1.3 Densidade demográfica 
É a razão entre o número de habitantes e a área habitada por eles. 
Exemplo: Segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), em 2010, o Brasil 
possuía 190.732.694 habitantes em uma área de 8.514.215,3 𝑘𝑘𝑘𝑘2, ou seja, uma densidade demográfica 
de: 
190 732 694 ℎ𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
8 514 215,3 𝑘𝑘𝑘𝑘2
= 
22,40 habitantes por quilômetro quadrado. 
 
 
 
 
 
 
5 
2.1.4 Números índices 
Números índices é a razão entre os valores de uma variável observados em datas distintas. Os números 
índices é um importante instrumento de medidas estatísticas, frequentemente usados para comparar 
variáveis econômicas relacionadas entre si. 
Exemplos: 
• Índice da Bolsa de Valores. 
• Índice de inflação. 
• Índice de preços. 
 
2.1.5 Densidade corporal 
Densidade corporal, normalmente designado por Índice de Massa Corporal (IMC), é a razão entre a 
massa do corpo, em quilos (kg), e o quadrado da altura, em metros (m). 
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 
𝑘𝑘𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
(𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎)2
 
 
O IMC mede o grau de obesidade de uma pessoa. Por meio desse cálculo é possível saber se alguém 
está acima ou abaixo dos parâmetros ideais de peso para sua estatura. 
Exemplo: Um indivíduo mede 1,78 e pesa 77 kg. O seu IMC é: 
𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼𝐼 = 
77
(1,78)2
≅ 24,3 𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘2 
 
Tabela1 – Índice de Massa Corporal (IMC). 
IMC Condição 
Abaixo de 18,5 Abaixo do peso 
Entre 18,5 e 25 Peso normal 
Entre 25 e 30 Acima de seu peso 
Acima 30 Obeso 
Fonte: Medicina Diagnóstica Lavoisier. 
De acordo com a Tabela 1, a pessoa do exemplo acima está em seu peso normal. 
 
 
 
 
6 
2.1.6 Percentagem 
Uma das razões mais usadas é a percentagem. Numa percentagem, o termo consequente, da razão, é 
fixado previamente e é igual a 100. 
𝑥𝑥% = 𝑥𝑥
100
 
 
Exemplo: Se dissermos cinco por cento, escrevemos 5%, o que significa que em cada 100 unidades de 
algo tomaremos 5. 
Assim, 5% de 30 pode ser obtido como o produto de 5% por 30, ou seja: 
5% 𝑑𝑑𝑎𝑎 30 = 5% ∙ 30 = 
5100
 ∙ 30 = 1,5 
 
Ou ainda: 
 
 
5% ∙ 30 = 
5
100
 ∙ 30 = 0,05 ∙ 30 = 1,5 
3 PROPORÇÃO 
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões: 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
 
 
Os termos 𝒂𝒂 e 𝒅𝒅 são chamados de extremos, e os termos 𝒃𝒃 e 𝒄𝒄, de meios da proporção. 
Exemplo: 
Os números 6, 3, 8 e 4, nessa ordem, formam uma proporção: 
6
3
=
8
4
 
A razão é a mesma e é igual a 2. 
 
Transformando a fração 
decimal em um número 
decimal. 
 
 
 
 
 
7 
Os números 3, 6, 9 e 12, nessa ordem, não formam uma proporção: 
3
6
≠
9
12
 
As razões não possuem o mesmo valor, veja: 
3
6
=
3 ÷ 3
6 ÷ 3
=
1
2
 
 
9
12
=
9 ÷ 3
12 ÷ 3
=
3
4
 
3.1 Propriedade fundamental das proporções 
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
Usando o exemplo anterior, no primeiro caso temos uma proporção, pois: 
6 ∙ 4 = 3 ∙ 8 
 
Mas, no segundo caso, não temos uma proporção: 
3 ∙ 12 ≠ 9 ∙ 6 
 
Exemplo 1 de aplicação da propriedade: 
Determine o valor de 𝑥𝑥 (termo desconhecido) na proporção abaixo. 
𝑥𝑥
3
=
5
2
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 
2𝑥𝑥 = 15, 𝑥𝑥 = 
15
2
= 7,5 
 
Exemplo 2 de aplicação da propriedade: 
Num mapa de escala 1 ÷ 1.000.000, qual é a medida real se a medida no mapa é 3 cm. 
Montando a proporcionalidade temos: 
3
𝑥𝑥
=
1
1.000.000
 
Simplificando a fração 
 
 
 
 
8 
Aplicando a propriedade fundamental: 
𝑥𝑥 = 3.000.000 𝑐𝑐𝑘𝑘 ou 30.000 𝑘𝑘 ou 30 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
Baseando-nos nessa propriedade, podemos criar novas proporções. Vejamos algumas: 
5
6
=
10
12
 
Podemos escrever: 
5 + 6
6
=
10 + 12
12
 →
11
6
=
22
12
→ 11 ∙ 12 = 6 ∙ 22 
ou 
5 − 6
5
=
10 − 12
10
 → −
1
5
= −
2
10
 → (−1) ∙ 10 = (−2) ∙ 5 
ou 
5
10
=
6
12
 → 5 ∙ 12 = 10 ∙ 6 
3.2 Quarta proporcional 
O termo desconhecido de uma proporção é chamado de quarta proporcional. Observe o exemplo 
abaixo, em que 𝑥𝑥 é a quarta proporcional: 
18
3
=
30
𝑥𝑥
 ⇔ 18𝑥𝑥 = 90 ⇔ 𝑥𝑥 =
90
18
= 5 
 
A quarta proporcional é o conceito em que se baseia a chamada regra de três. 
Exemplo: 
Calcular a quarta proporcional dos números 2, 
3
4
 e 1. 
Montando a proporcionalidade: 
2
3
4
=
1
𝑥𝑥
 
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções: 
 
 
 
 
9 
2𝑥𝑥 = 
3
4
 ∙ 1 → 𝑥𝑥 = 
3
8
 
3.3 Terceira proporcional ou proporção contínua 
Se numa proporção os meios forem iguais, diz-se que temos uma terceira proporcional ou uma 
proporção contínua. Observe: 
𝑎𝑎
𝑥𝑥
=
𝑥𝑥
𝑏𝑏
 
 
Em que 𝑥𝑥 representa a média proporcional ou média geométrica e 𝑏𝑏 a terceira proporcional. 
Essa proporção também pode ser escrita na forma: 
𝑥𝑥 = √𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 
 
Exemplo 1: Calcular a terceira proporcional de 3 e 5, sendo 5 a média proporcional. 
Montando a proporção: 
3
5
=
5
𝑥𝑥
 → 3𝑥𝑥 = 25 → 𝑥𝑥 = 
25
3
 
 
Exemplo 2: Calcular a média proporcional positiva de 2 e 8. 
Montando a proporção: 
2
𝑥𝑥
=
𝑥𝑥
8
 → 𝑥𝑥2 = 16 → 𝑥𝑥 = 4 
3.4 Proporção múltipla 
Chamamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Por exemplo: 
2
3
=
4
6
=
6
9
 
 
Dada uma série de razões iguais 
𝑎𝑎
𝑏𝑏
 = 𝑛𝑛
𝑑𝑑
 = 𝑟𝑟
𝑓𝑓
, podemos escrever: 
𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎
𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 + 𝑓𝑓
=
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎
𝑓𝑓
 
 
 
 
 
10 
ou 
𝑎𝑎 + 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 − 𝑓𝑓
=
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎
𝑓𝑓
 
ou 
𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 + 𝑓𝑓
=
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎
𝑓𝑓
 
ou 
𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎
𝑏𝑏 − 𝑑𝑑 − 𝑓𝑓
=
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
=
𝑎𝑎
𝑓𝑓
 
 
Exemplo 1: 
Dada as proporções múltiplas: 
𝑥𝑥
3
=
𝑦𝑦
5
=
𝑧𝑧
6
 
 
Determine 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 e 𝑧𝑧, sabendo que 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 12. 
Solução: 
Podemos escrever: 
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑥𝑥
3
 ou 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑦𝑦
5
 ou 𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑧𝑧
6
 
 
Tomando a primeira proporção: 
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑥𝑥
3
 ou 12
14
 = 𝑥𝑥
3
 → 14𝑥𝑥 = 36 
𝑥𝑥 = 36÷2
14÷2
 = 18
7
 
 
Tomando a segunda proporção: 
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑦𝑦
5
 ou 12
14
 = 𝑦𝑦
5
 → 14𝑦𝑦 = 60 
𝑦𝑦 = 
60÷2
14÷2
 = 30
7
 
 
 
 
 
 
11 
Tomando a terceira proporção: 
𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧
3+5+6
 = 𝑧𝑧
6
 ou 
12
14
 = 𝑧𝑧
6
 → 14𝑧𝑧 = 72 
𝑧𝑧 = 
72÷2
14÷2
 = 
36
7
 
 
Os números procurados são: 
18
7
, 30
7
 e 36
7
 
 
 
 
 
 
 
12 
REFERÊNCIAS 
DANTE, L. R. Tudo é matemática: 6. série. São Paulo: Ática, 2003. 
MEDICINA DIAGNÓSTICA LAVOISIER. Calcule seu índice de massa corporal. Disponível em: 
<http://www.lavoisier.com.br/clientes/artigo/calcule-seu-imc>. Acesso em: 17. out. 2012. 
SILVEIRA, D. C.; SALDANHA, M. S.; MISITI, L.O.R. Aritmética e introdução à álgebra: 1.463 problemas 
resolvidos e explicados. São Paulo: Ícone, 2012. 
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática 1: Ensino Médio, volume 1. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2010. 
 
 
 
1 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................... 3 
2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS .......................... 3 
2.1 Divisão de um número em partes diretamente proporcionais ................. 4 
3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS........................ 5 
3.1 Divisão em partes inversamente proporcionais .......................................... 6 
4 REGRA DE TRÊS SIMPLES .................................................................. 7 
4.1. Regra de três simples .................................................................................... 7 
4.2 Regra de três composta ............................................................................... 11 
5 RELAÇÃO ENVOLVENDO MEDIDA DO LADO DO QUADRADO E 
SUA ÁREA ............................................................................................... 14 
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 16 
 
 
 
 
3 
AULA 3 – PROPORCIONALIDADE NUMÉRICA: GRANDEZAS 
DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
1 INTRODUÇÃO 
Definimos por grandeza tudo o que pode ser contado e medido, por exemplo, número de alunos de 
uma sala de aula, tempo, temperatura, volume, idade, preço, comprimento, área, peso de um corpo, entre 
outros. 
Na vida real, nos deparamos com várias situações em que as grandezas se relacionam. Exemplos: 
 A venda de um terreno por metro quadrado. 
 Velocidade de um meio de transporte e tempo de viagem. 
 Preço e quantidade (litros) de gasolina colocada no carro. 
 Variação da temperatura e a hora do dia. 
Estudaremos nesta aula as grandezas que se relacionam de forma direta ou inversa, no entanto, não 
podemos deixar de comentar que nem sempre as grandezas se relacionam dessa maneira. 
2 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento de uma acarreta o aumento da 
outra, ou a redução de uma faz que a outra também diminua, sempre na mesma razão. 
Exemplo 1: 
Tabela 1 – Grandezas diretamente proporcionais. 
Deslocamento de um carro (quilômetro) 60 120 180 240 
Intervalo de tempo (horas) 1 2 3 4 
 
Podemos observar que à medida que o deslocamento aumenta, acontece o mesmo com o intervalo de 
tempo, e a razão entre essas duas grandezas permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o deslocamento e o intervalo de tempo são grandezas diretamente proporcionais, sendo a 
constante de proporcionalidade igual a 60 km/h. 
 
 
 
4 
Exemplo 2: 
Tabela 2 – Grandezas diretamente proporcionais. 
Número de cópias de um fotocopiadora 10 20 30 40 
Tempo segundos 12 24 36 48 
 
Podemos observar que um acréscimo do número de cópias leva a um aumento no tempo para que elas 
sejam feitas, e a razão entre as duas grandezas permanece constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, o númerode cópias e o tempo são grandezas diretamente proporcionais, sendo a constante de 
proporcionalidade igual a 
 
 
. 
2.1 Divisão de um número em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número em partes diretamente proporcionais aos números , e , significa encontrar , 
 e , tais que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De forma que 
Exemplo: Dividir o número 72 em três partes proporcionais aos números 3, 4 e 5. 
 
 
 
 
 
5 
Solução: 
Sejam os números , e os números procurados, logo podemos escrever: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando uma das propriedades das proporções vista anteriormente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o valor de : 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 
12 3 72 ou 
 
 
 ou 
Calculando o valor de : 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção: 
12 4 72 ou 
 
 
 ou 24 
Calculando o valor de : 
Sabemos que 72, logo: 
 72 ou ou 30 
Os números procurados são 18, 24 e 30. 
3 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma acarreta a redução da 
outra, ou a redução de uma faz que a outra aumente, de modo que o produto entre as grandezas seja 
sempre o mesmo. 
 
 
 
 
6 
Exemplo: 
Um carro se desloca de uma cidade até a outra localizada a 240 km da primeira. Se o percurso é 
realizado em: 
2 horas, a velocidade média do carro é 120 km/h. 
3 horas, a velocidade média do carro é 80 km/h. 
4 horas, a velocidade média do carro é de 60 km/h. 
 
Podemos observar que à medida que aumenta o tempo para percorrer a distância indicada, a 
velocidade do carro diminui, e o produto entre as grandezas em questão permanece constante. 
 (distância percorrida) 
 
Logo, o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais, sendo a constante de 
proporcionalidade igual a 240. 
3.1 Divisão em partes inversamente proporcionais 
Dividir um número em partes inversamente proporcionais aos números , e , significa encontrar , 
 e , tais que . 
Exemplo: Divida o número 740 em partes inversamente proporcionais a 4, 5 e 6. 
Solução: 
Sejam os números , e os números procurados, logo podemos escrever: 
{
 
 ( )
 ( )
 
 
(1) ou 
 
 
 
(2) ou 
 
 
 
Substituindo as relações encontradas na equação : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
Determinando o valor de : 
 
 
 
 
 
 
 
Determinando o valor de : 
 
 
 
 
 
 
 
Os números procurados são: 300, 240 e 200. 
4 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
A regra de três é um procedimento prático que se emprega para determinar uma grandeza 
desconhecida, dadas outras grandezas conhecidas. 
4.1. Regra de três simples 
A regra de três simples resolve problemas que envolvem quatro valores dos quais conhecemos três. 
Etapas para a resolução do problema: 
Primeira etapa Segunda etapa Terceira etapa 
Construir uma tabela 
agrupando as grandezas de 
mesma espécie e 
representando a grandeza 
desconhecida por . 
Verificar se as grandezas são 
diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
Montar a proporção e 
resolver a equação. 
 
Exemplo 1: 
Cinco sacos de fertilizante custam R$ 400,00. Quanto se deve pagar por 18 sacos? 
Primeira etapa: 
As grandezas envolvidas são: preço e sacos de fertilizante. Vamos então colocar essas duas 
grandezas numa tabela, como indicado a seguir: 
 
Sacos de fertilizante Preço (R$) 
5 400 
18 x 
 
O valor de “ ” é a incógnita do problema, ou ainda, é o valor que queremos descobrir. 
 
 
 
8 
 
Segunda etapa: 
Precisamos verificar se a regra de três é direta ou inversamente proporcional. 
Podemos observar que um acréscimo do número de sacos comprados resulta em um aumento de 
preço, portanto as grandezas envolvidas representam uma proporcionalidade direta. 
Representaremos esta situação por flechas na mesma direção. 
 
Sacos de fertilizante Preço (R$) 
5 
 
400 
 18 x 
 
 
Terceira etapa: 
Montamos a proporção e resolvemos a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando 400 e 5 temos: 
 
Deve-se pagar R$ 1.440,00 pelos 18 sacos de fertilizantes. 
 
 
Importante 
 
Por que as setas estão colocadas no mesmo sentido, de cima para baixo? Porque se 
verificou que havendo aumento na quantidade de sacos, haverá também no preço. 
 
Exemplo 2: 
Se 5 kg de arroz, no supermercado, custam R$ 12,00 quanto custarão 3 kg? 
Solução: 
 
 
 
9 
Primeira etapa: 
As grandezas envolvidas são: preço e quilos de arroz. Organizando tais grandezas numa tabela, 
teremos: 
Preço (R$) Arroz (kg) 
12 5 
x 3 
 
 
Segunda etapa: 
Precisamos verificar se a regra de três é direta ou inversamente proporcional. 
Podemos verificar que uma redução no número de quilos de arroz resulta em uma redução de 
preço, portanto as grandezas envolvidas representam uma proporcionalidade direta. 
Preço (R$) Arroz (kg) 
12 
 
5 
 
x 3 
 
 
Terceira etapa: 
Montamos a proporção e resolvemos a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O preço de 3 kg de arroz será R$ 7,20. 
 
Exemplo 3: 
Quinze operários fazem certo serviço em nove dias. Quantos operários serão necessários para fazer esse 
mesmo trabalho em cinco dias? 
Solução: 
 
 
 
10 
Primeira etapa: 
As grandezas envolvidas são: operários e dias. Coloquemos essas duas grandezas como indicado a 
seguir: 
Operários Dias 
15 9 
x 5 
 
 
Segunda etapa: 
Precisamos verificar se a regra de três é direta ou inversamente proporcional. 
Se quisermos que o mesmo serviço esteja pronto em um número menor de dias, teremos que 
aumentar a quantidade de operários. 
Logo as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Dessa forma, a posição das setas 
tem sentidos opostos. 
Operários Dias 
15 
 
9 
 
x 5 
 
 
Terceira etapa: 
Montamos a proporção seguindo o sentido das setas, e resolvemos a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando 15 e 5, temos: 
 
Serão necessários 27 operários. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Importante 
 
Por que as setas estão colocadas em sentidos contrários, de baixo para cima? Porque se 
verificou que havendo um aumento no número de trabalhadores, haverá uma redução no de 
dias trabalhados. 
 
4.2 Regra de três composta 
Algumas situações envolvem a variação relacionada entre mais de duas grandezas. A resolução de 
problemas dessa natureza pode ser feita por meio de uma regra de três composta. 
Acompanhe as seguintes situações: 
Situação 1: Trabalhando durante 12 dias, 10 operários produzem 800 calças jeans. Quantas calças do 
mesmo tipo serão produzidas por 14 operários em 18 dias? 
Primeira etapa: 
As grandezas envolvidas são: operários, dias e número de calças jeans. Vamos então colocar essas 
grandezas numa tabela, como indicado a seguir: 
Número de operários Número de dias Número de calças jeans 
10 12 800 
14 18 x 
 
 
Segunda etapa: 
Verificamos se a regra de três é direta ou inversamente proporcional. 
Primeiro passo: 
Vamos fixar a grandeza número de operários e relacionar as outras duas, dias trabalhados 
e quantidade de calças. 
Aumentando-se o número de dias, haverá um acréscimo também a quantidade de peças, 
logo, as grandezas são diretamente proporcionais. 
Segundo passo: 
Vamos fixar a grandeza número de dias e relacionar as outras duas, número de operários e 
 
 
 
12 
quantidade de calças. 
Aumentando-seo número de operários, a quantidade de peças também será maior, logo, 
as grandezas são diretamente proporcionais. 
Assim, a posição das setas têm mesmo sentido. Veja o esquema abaixo: 
Número de operários Número de dias Número de calças jeans 
10 
 
12 
 
800 
 
14 18 x 
 
 
Terceira etapa: 
Montamos a proporção seguindo o sentido das setas, e resolvemos a equação. 
A grandeza número de calças é diretamente proporcional às grandezas número de operários e 
número de dias. Logo, seus valores serão diretamente proporcionais aos produtos dos valores 
número de calças e dias, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ,simplificando o produto temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Serão fabricadas 1680 calcas jeans. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
Situação 2: 
Paulo é representante da Viva Bem, loja de utilidades domésticas. Ele costuma percorrer 1.260 km em 5 
dias, viajando 6 horas por dia. Em quantos dias ele percorrerá 2.520 km, viajando 4 horas por dia? 
Primeira etapa: 
As grandezas envolvidas são: distância, dias e horas por dia. Veja a disposição das grandezas na 
tabela a seguir: 
Distância (km) Dias Horas por dia 
1260 5 6 
2520 x 4 
Mori, Onaga (2000, p.274). 
 
Segunda etapa: 
Verificamos se a regra de três é direta ou inversamente proporcional. 
Primeiro passo: 
Vamos fixar a grandeza número de horas por dia e relacionar as outras, distância e dias. Se 
aumentarmos a primeira e conservamos as horas por dia de viagem, precisamos de mais dias, 
portanto as grandezas são diretamente proporcionais. 
Segundo passo: 
Vamos fixar a grandeza distância e relacionar as outras duas, quantidade de horas e dias 
de viagem. Se diminuirmos a primeira e conservarmos a distância percorrida, o número de 
dias será maior, portanto as grandezas são inversamente proporcionais. 
Dessa forma, a posição das setas têm sentidos contrários. Veja o esquema abaixo: 
Distância (km) Dias Horas 
1.260 
 
5 
 
6 
 
2.520 x 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
Terceira etapa: 
Montamos a proporção seguindo o sentido das setas, e resolvemos a equação. 
Nessa situação, o número dias é diretamente proporcional à distância e inversamente proporcional 
ao número de horas por dia, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Simplificando o produto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 RELAÇÃO ENVOLVENDO MEDIDA DO LADO DO QUADRADO E 
SUA ÁREA 
Vamos construir uma tabela de valores para identificar se as grandezas envolvidas, lado e área de um 
quadrado, são diretamente ou inversamente proporcionais. 
Não podemos esquecer que a fórmula matemática da área do quadrado é: 
A (área) = lado lado 
Lado (cm) 1 2 3 4 5 6 
Área (cm
2
) 1 1 1 2 2 4 3 3 9 4 4 16 5 5 25 6 6 36 
 
Se as grandezas são diretamente proporcionais, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O que não acontece, pois: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inverso de 
 
 
 
 
 
 
15 
Se as grandezas são inversamente proporcionais, teremos: 
1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 
 
Logo, podemos concluir que não há entre as grandezas lado e área nem uma relação direta nem 
inversamente proporcional. 
 
 
 
 
16 
REFERÊNCIAS 
DANTE, L. R. Tudo é matemática: 6. série. São Paulo: Ática, 2003. 
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios, 6.º ano. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2000. 
SILVEIRA, D. C.; SALDANHA, M. S.; MISITI, L.O.R. Aritmética e introdução à álgebra: 1.463 problemas 
resolvidos e explicados. São Paulo: Ícone, 2012. 
1 
2 
SUMÁRIO 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 4
2 MONÔMIOS ......................................................................................... 4
2.1 Escrita simplificada de um monômio ........................................................... 4
2.1.2 Coeficiente e parte literal .................................................................................................... 5
2.1.3 Monômios semelhantes ...................................................................................................... 6
2.1.4 Grau de um monômio .......................................................................................................... 6
3 POLINÔMIOS ........................................................................................ 6
4 ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS E POLINÔMIOS .............. 7
5 PRODUTO DE MONÔMIOS E PRODUTO DE UM MONÔMIO 
POR UM POLINÔMIO ............................................................................ 8
5.1 Produto de monômios semelhantes ............................................................. 8
5.2 Produto de monômios não semelhantes ..................................................... 8
5.3 Potência de um monômio .............................................................................. 9
5.4 Produto de um monômio por um polinômio ............................................. 9
6 PRODUTO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO .... 10
6.1 Alguns produtos notáveis ............................................................................ 11
6.2 Fatoração de polinômios .............................................................................. 12
3 
6.2.1 Alguns casos de fatoração ................................................................................................ 12
REFERÊNCIAS ......................................................................................... 15
4 
AULA 4 – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
1 INTRODUÇÃO 
Quando uma sentença matemática é formada por uma variável que pode ser representada por uma 
letra do alfabeto, chama-se sentença algébrica. A um agrupamento de variáveis ou números e variáveis, 
reunidos por sinais de operação, dá-se o nome de expressão algébrica. 
2 MONÔMIOS 
É uma expressão algébrica na qual não figuram adições nem subtrações e que é constituída por um 
número e uma letra ou por produtos de números e letras, estas com expoentes naturais. 
Exemplos: 
5; 𝑦𝑦; 2𝑥𝑥2; 
𝑥𝑥
5
; 3a; 
1
6
 b
Importante 
5
A expressão não representa um monômio, pois a expressão algébrica se encontra no 
𝑥𝑥
denominador da fração. 
2.1 Escrita simplificada de um monômio 
1
O monômio 𝑥𝑥 ∙ (−3)𝑦𝑦 ∙ 5𝑧𝑧 , pode ser escrito na forma simplificada: 
2
1 1 15
𝑥𝑥 ∙ (−3)𝑦𝑦 ∙ 5𝑧𝑧 = ∙ (−3) ∙ 5 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧 = − 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧
2 2 2
Para escrever um monômio na forma simplificada (reduzida), efetuam-se os cálculos possíveis 
escrevendo primeiro o número e, em seguida, as letras por ordem alfabética. 
 
 
 
 
5 
Exemplo 1: 
Escreva o monômio �1
2
 ∙ 𝑥𝑥� ∙ 3𝑥𝑥2, na forma simplificada. 
1
2
 𝑥𝑥 ∙ 3𝑥𝑥2 = 1
2
 ∙ 3 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥2 = 3
2
 𝑥𝑥3 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
Escreva o monômio 2𝑥𝑥2 ∙ 3
2
 𝑦𝑦 ∙ 5
6
 𝑦𝑦3, na forma simplificada. 
2𝑥𝑥2 ∙ 
3
2
𝑦𝑦 ∙ 
5
6
𝑦𝑦3 = 2 ∙ 
3
2
 ∙ 
5
6
 𝑥𝑥2 ∙ 𝑦𝑦 ∙ 𝑦𝑦3 =
30
12
𝑥𝑥2𝑦𝑦4 
Simplificando a fração: 
5
2
 𝑥𝑥2𝑦𝑦4 
 
2.1.2 Coeficiente e parte literal 
Chama-se coeficiente de um monômio simplificado à sua parte numérica e à outra de parte literal. 
No exemplo 2 anterior: 
5
2
 é o coeficiente e a parte literal = 𝑥𝑥2𝑦𝑦4 
 
Exemplo: 
Tabela 1 – Coeficiente e parte literal. 
Monômios −
1
2
𝑎𝑎 5 𝑥𝑥 
𝑡𝑡
3
 −
3
4
𝑥𝑥3𝑦𝑦5 
Coeficiente −
1
2
 5 1 
1
3
 −
3
4
 
Parte literal 𝑎𝑎 Não tem 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑥𝑥3𝑦𝑦5 
𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥3 
Propriedade da potenciação: na multiplicação, quando as 
bases forem iguais, reescrevemos a base e somamos os 
expoentes. 
 
 
 
 
6 
2.1.3 Monômios semelhantes 
São aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos: 
2𝑥𝑥 𝑒𝑒 − 1𝑥𝑥 ou 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑒𝑒 5𝑥𝑥𝑦𝑦 ou 𝑥𝑥2𝑦𝑦3 𝑒𝑒 − 2𝑥𝑥2𝑦𝑦3
3
 
 
 
2.1.4 Grau de um monômio 
Grau de um monômio simplificado é asoma dos expoentes da parte literal que nela figuram. 
Observe a tabela abaixo: 
Tabela 2 – Grau de um monômio. 
Monômio 𝑥𝑥 3 3𝑥𝑥𝑦𝑦 5𝑥𝑥2𝑦𝑦𝑧𝑧 −7𝑥𝑥𝑦𝑦4𝑧𝑧 𝑥𝑥3
4
 
Grau do monômio 1 1 + 1 = 2 2 + 1 + 1 = 4 1 + 4 + 1 = 6 3 
3 POLINÔMIOS 
Polinômios é uma soma algébrica de monômios. 
Vejamos alguns polinômios que têm nomes especiais. 
Tabela 3 – Polinômios. 
Monômios Binômios Trinômios 
5 2 + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 4 
𝑥𝑥 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏2 
𝑥𝑥𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2 𝑧𝑧3 3 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 
 
Chama-se binômio a um polinômio com dois termos, e trinômio a um polinômio com três termos. 
O grau de um polinômio é o grau do termo de expoente mais elevado. 
Exemplos: 
7 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 → polinômio de segundo grau. 
𝑥𝑥3– 7𝑦𝑦2 → polinômio de terceiro grau. 
 
 
 
 
7 
4 ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS E POLINÔMIOS 
Nos monômios e polinômios, as letras representam números. Tanto as operações com números quanto 
as com letras, utilizam-se das mesmas propriedades para serem resolvidas. 
A adição e a subtração de um monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. 
Exemplo 1: 
𝑥𝑥 + 7𝑥𝑥 – 8𝑥𝑥 = (1 + 7 – 8) 𝑥𝑥 = 0 ∙ 𝑥𝑥 = 0 
3𝑥𝑥 + 𝑎𝑎 – 8𝑥𝑥 + 8𝑎𝑎 = (3 – 8)𝑥𝑥 + (1 + 8)𝑎𝑎 = − 5𝑥𝑥 + 9𝑎𝑎 
 
Exemplo 2: 
É dada a expressão: 
𝑥𝑥
2𝑥𝑥 – 8𝑥𝑥2 – 7𝑥𝑥 + – 4𝑥𝑥2 + 12𝑥𝑥2 
2
a) Quantos termos tem o polinômio? 
b) Os monômios são todos semelhantes? 
c) Depois de reduzido, no máximo quantos termos terá? 
d) Reduza o polinômio. 
Solução: 
a) O polinômio tem seis termos. 
b) No polinômio os termos não são semelhantes. Por exemplo, 2𝑥𝑥 e 12𝑥𝑥2 não são 
semelhantes. 
c) Depois de reduzido terá, no máximo, um termo. 
Primeiro momento: Agrupar os termos semelhantes: 
𝑥𝑥
2𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 + + 12𝑥𝑥2 − 8𝑥𝑥2 − 4𝑥𝑥2
2 
 
Segundo momento: Somar ou subtrair os termos semelhantes: 
2𝑥𝑥 − 7𝑥𝑥 + 
𝑥𝑥 4= 𝑥𝑥 − 14𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥
2 2 2
 9= −
2 2
 
 
Cuidado! 
 
Antes de somar ou subtrair frações, 
devemos tirar o mínimo múltiplo comum. 
 
12𝑥𝑥2 – 8𝑥𝑥2 – 4𝑥𝑥2 = (12 – 8 – 4)𝑥𝑥2 = (12 – 12)𝑥𝑥2 = 0 ∙ 𝑥𝑥2 = 0 
 
 
 
 
8 
Obs.: Todo número multiplicado por zero terá como resultado zero. 
9𝑥𝑥
Como a segunda redução deu zero, o polinômio reduzido será: − . 
2
5 PRODUTO DE MONÔMIOS E PRODUTO DE UM MONÔMIO POR 
UM POLINÔMIO 
5.1 Produto de monômios semelhantes 
Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes, devemos seguir os seguintes 
passos: 
• 1º: multiplicar os coeficientes; 
• 2º: conservar a parte literal e somar os expoentes. 
Exemplo 1: 
2𝑥𝑥 ∙ 3𝑥𝑥 = (2 ∙ 3) 𝑥𝑥1+1 = 6𝑥𝑥2 
 
Exemplo 2: 
2 1 2 1 2
𝑥𝑥3 ∙ 𝑥𝑥3 = � ∙ � 𝑥𝑥3+3 = 𝑥𝑥6 
4 6 4 6 24
Simplificando: 
1
𝑥𝑥6
12
 
5.2 Produto de monômios não semelhantes 
Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos: 
• 1º: multiplicar os coeficientes; 
• 2º: agrupar a parte literal, no caso de as letras serem diferentes. 
Exemplos: 
2𝑥𝑥 ∙ 3 𝑦𝑦 = 2 ∙ 3 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦 
1 1 5
5𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 5 ∙ 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏
3 3 3
 
 
 
 
 
9 
5.3 Potência de um monômio 
As notações e propriedades usadas para potências numéricas são extensivas às potências com letras. 
Tabela 4 – Potência de um monômio. 
3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 34 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥4 
72 ∙ 73 = 72+3 = 75 𝑥𝑥2 ∙ 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥2+3 = 𝑥𝑥5 
58 ÷ 53 = 58−3 = 55 𝑦𝑦8 ÷ 𝑦𝑦3 = 𝑦𝑦8−3 = 𝑦𝑦5, 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 ≠ 0 
(32)4 = 32 ∙ 4 = 38 (𝑧𝑧2)4 = 𝑧𝑧2 ∙ 4 = 𝑧𝑧8 
20 = 1 𝑥𝑥0 = 1, 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ≠ 0 
 
Importante 
Todo número elevado ao expoente zero tem como resultado a unidade. 
 
Exemplo: 
1 2
�− 𝑎𝑎� ∙ (−3𝑎𝑎2)3 
2
Vamos calcular primeiro o termo: 
1 2 1 1
�− 𝑎𝑎� = (− )2 ∙ (𝑎𝑎)2 = 𝑎𝑎2 
2 2 4
Calculemos agora o termo: 
(−3𝑎𝑎2)3 = (−3)3 ∙ (𝑎𝑎2)3 = −27𝑎𝑎6 
Determinando o produto: 
1 1 27
𝑎𝑎2 ∙ (−27𝑎𝑎6) = ∙ (−27)𝑎𝑎2 ∙ 𝑎𝑎6 = − 𝑎𝑎8 
4 4 4
5.4 Produto de um monômio por um polinômio 
No cálculo do produto de um monômio por um polinômio, aplica-se a propriedade distributiva da 
multiplicação relativamente à adição. 
 
 
 
 
 
 
10 
Exemplo 1: 
2𝑥𝑥 ( 𝑥𝑥 + 3) = 2𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 ∙ 3 
2𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 3) = 2𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 
 
Exemplo 2: 
Efetue e simplifique: 
𝑥𝑥 �𝑥𝑥2 1 1− 𝑥𝑥 + 3� − 2𝑥𝑥 � 𝑥𝑥 + 1�
2 3
 
 Cuidado com o sinal 
 negativo na distributiva 
Aplicando a propriedade distributiva: 
1 1
𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 
2 3
1 2
𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 
2 3
Reduzindo os termos semelhantes: 
1 2 3 4 7
− 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 = − 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥2 = − 𝑥𝑥2 
2 3 6 6 6
3𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 
A expressão algébrica simplificada corresponde a: 
7
𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥
6
 
6 PRODUTO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO 
No cálculo do produto de um polinômio por outro polinômio, aplicamos novamente a propriedade 
distributiva. 
Exemplo 1: 
(2𝑥𝑥– 8) ∙ (𝑥𝑥 + 4) 
Aplicando a distributiva: 
2𝑥𝑥 ∙ 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 ∙ 4 − 8 ∙ 𝑥𝑥 − 8 ∙ 4 = 2𝑥𝑥2 + 8𝑥𝑥– 8𝑥𝑥– 32 
Reduzindo os termos semelhantes: 
2𝑥𝑥2– 32 
 
 
 
 
11 
Exemplo 2: 
4
� 𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 1� (2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦2)
3
 
Aplicando a distributiva temos: 
4 4
𝑥𝑥𝑦𝑦2 ∙ 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑦𝑦2 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦2 = 
3 3
8 4
𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥2𝑦𝑦4 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦2
3 3
 
6.1 Alguns produtos notáveis 
O conhecimento dos produtos notáveis facilita a resolução de expressões algébricas, sendo também 
fundamental na fatoração de tais expressões. 
a) Quadrado da soma → (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 = 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 
O quadrado do primeiro termo (𝑥𝑥)2, mais duas vezes o produto do primeiro termo vezes o segundo 
(2 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦), mais o quadrado do segundo termo (𝑦𝑦)2. 
Exemplo: 
Calcule (𝑥𝑥 + 2)2 
(𝑥𝑥 + 2)2 = 𝑥𝑥2 + 2 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 2 + 22 = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 4 
 
b) Quadrado da diferença → (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 = 𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 
O quadrado do primeiro termo (𝑥𝑥)2 menos duas vezes o produto do primeiro termo vezes o segundo 
termo (2 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 𝑦𝑦), mais o quadrado do segundo termo (𝑦𝑦)2. 
Exemplo: 
Desenvolva: (2𝑥𝑥 − 5)2 
(2𝑥𝑥 − 5)2 = (2𝑥𝑥)2 − 2 ∙ (2𝑥𝑥) ∙ 5 + 52 = 4𝑥𝑥2 − 20𝑥𝑥 + 25 
 
c) Produto da soma pela diferença → (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 
O quadrado do primeiro termo (𝑥𝑥)2 menos o quadrado do segundo termo (𝑦𝑦)2. 
Exemplo: 
Desenvolva: (𝑥𝑥 – 8) (𝑥𝑥 + 8) 
(𝑥𝑥 − 8) ∙ (𝑥𝑥 + 8) = 𝑥𝑥2 − 82 = 𝑥𝑥2 − 64 
 
 
 
 
12 
6.2 Fatoração de polinômios 
Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores primos, por exemplo: 
6 = 2 ∙ 3 (2 e 3 são números primos) 
ou 
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 (2, 3 e 5 são números primos). 
 
Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo utilizando um produto entre outros 
polinômios. 
Vejamos alguns casos de fatoração. 
6.2.1 Alguns casos de fatoração 
a) Fator Comum (evidência do fator comum). 
Exemplo: 
2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥𝑦𝑦 
Cada fator deste polinômio pode ser escrito: 
2𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥𝑥𝑥, 4𝑥𝑥 = 2 ∙ 2 ∙ 𝑥𝑥, 6𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2 ∙ 3 ∙ 𝑥𝑥𝑦𝑦 
Percebemos que o fator comum aos três termos é 2𝑥𝑥, logo: 
2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥– 6𝑥𝑥𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 (𝑥𝑥 + 2 − 3𝑦𝑦) 
 
 Forma fatorada do 
 polinômio. 
 
b) Agrupamento. 
Exemplo: 
2𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 2𝑏𝑏𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 
Grupos comuns: → 2𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 2𝑏𝑏𝑦𝑦2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 
 
Colocando em evidência os fatores comuns 2𝑦𝑦2 e 𝑥𝑥: 
2𝑦𝑦2(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) + 𝑥𝑥 (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) = 
 
 
 
 
13 
O fator comum aos dois termos é 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, logo: 
2𝑎𝑎𝑦𝑦2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 2𝑏𝑏𝑦𝑦2 + 𝑎𝑎𝑥𝑥 = (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏) (2𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥) 
 
 Forma fatorada do polinômio 
 
c) Trinômio do quadrado perfeito. 
Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio: 𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 81 
 Observe: 
𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 81 
�𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥,√81 = 9 𝑒𝑒 18 𝑥𝑥 = 2 ∙ 𝑥𝑥 ∙ 9 
Podemos então fatorar o trinômio 𝑥𝑥2 + 18𝑥𝑥 + 81 = (𝑥𝑥 + 9)2 
 
Exemplo: 
Fatore o trinômio: 4𝑥𝑥2– 12𝑥𝑥 + 9 
√4𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥, √9 = 3 𝑒𝑒 12𝑥𝑥 = 2 ∙ 2𝑥𝑥 ∙ 3 
Logo: 
4𝑥𝑥2– 12𝑥𝑥 + 9 = (2𝑥𝑥 − 3)2 
 
d) Diferença entre dois quadrados. 
Nessa fatoração, aplicaremos a raiz quadrada entre os termos. O valor resultante das raízes formará 
uma multiplicação entre binômios, no mesmo modelo do produto notável da soma pela diferença. 
Observe: 
36𝑥𝑥2– 25 → √36𝑥𝑥2 = 6𝑥𝑥 𝑒𝑒 √25 = 5 
Podemos fatorar o binômio acima da seguinte forma: 
36𝑥𝑥2– 25 = (6𝑥𝑥 + 5) ∙ (6𝑥𝑥– 5) 
 
e) Trinômio Soma e Produto. 
São fatorações envolvendo trinômios do tipo 𝑥𝑥2 + 𝑆𝑆𝑥𝑥 + 𝑃𝑃, onde 𝑃𝑃 representa a soma de dois 
números e S o produto desses mesmos números. 
 
 
 
 
14 
Esta fatoração pode ser escrita na forma: (𝑥𝑥 + 𝑎𝑎)(𝑥𝑥 + 𝑏𝑏), sendo 𝑆𝑆 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 e 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 
Observe: 
𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 → devemos procurar dois números cujo produto seja 6 e a soma 5. 
Os números procurados são 2 e 3. A soma 2 + 3 = 5 e o produto 2 ∙ 3 = 6. 
Logo: 
𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 + 6 = (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 + 2) 
 
Exemplo 1: 
Fatore o trinômio 𝑥𝑥2– 13𝑥𝑥 + 42 
Vamos procurar dois números cujo produto seja 42. As possibilidades são: 
𝑃𝑃𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑃𝑃𝑡𝑡𝑠𝑠 42 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
42 𝑒𝑒 1
−42 𝑒𝑒 − 1
21 𝑒𝑒 2
−21 𝑒𝑒 − 2
7 𝑒𝑒 6
−7 𝑒𝑒 − 6
 
Procuramos, agora, uma soma – 13, entre todas as possibilidades possíveis temos: 
(–6) e (–7), (–6) + (–7) = –13, logo: 
𝑥𝑥2 − 13𝑥𝑥 + 42 = (𝑥𝑥 − 6 )(𝑥𝑥 − 7) 
 
Exemplo 2: 
Fatore 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 – 10 
Vamos procurar dois números cujo produto seja – 10. As possibilidades são: 
𝑝𝑝𝑃𝑃𝑠𝑠𝑠𝑠𝑃𝑃𝑡𝑡𝑠𝑠 − 10 �
−10 𝑒𝑒 1
10 𝑒𝑒 − 1
5 𝑒𝑒 − 2
−5 𝑒𝑒 2
 
Procuramos, agora, uma soma 3, entre todas as possibilidades possíveis temos: 
5 e (–2) → 5 + (–2) = 3, logo: 
𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥 – 10 = (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 – 2) 
 
 
 
 
15 
REFERÊNCIAS 
BRADLEY, T. Matemática aplicada à administração. Rio de Janeiro: Elsevier, 2011. 
DEMANDA, F. D.; WAITS, B. K.; FOLEY, G. D.; KENNEDY, D. Pré-cálculo. São Paulo: Pearson, 2009. 
SILVEIRA, D. C.; SALDANHA, M. S.; MISITI, L.O.R. Aritmética e introdução à álgebra: 1.463 problemas 
resolvidos e explicados. São Paulo: Ícone, 2012. 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
2 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 4 
2 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM UMA INCÓGNITA ............ 4 
2.1 Equações equivalentes ........................................................................................ 6 
2.2 Princípios de equivalência .................................................................................. 6 
2.2.1 Princípio aditivo ............................................................................................................................ 7 
2.2.2 Princípio multiplicativo .............................................................................................................. 7 
2.3 Resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita ................ 7 
2.3.1 Regra prática para resolução de equações ........................................................................ 8 
2.4 Classificação de equações ................................................................................ 11 
3 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU .................................................... 12 
3.1 Princípios de equivalência ............................................................................... 13 
3.1.1 Princípio aditivo .......................................................................................................................... 13 
3.1.2 Princípio multiplicativo ............................................................................................................ 13 
3.2 Resolução de inequações do primeiro grau com uma incógnita ................. 14 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS 
INCÓGNITAS ................................................................................................ 15 
 
 
 
 
3 
4.1 Equações do primeiro grau com duas incógnitas.......................................... 15 
4.2 Sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas ...................... 16 
4.2.1 Problema ....................................................................................................................................... 16 
4.2.2 Resolução de um sistema pelo método da substituição ............................................ 16 
4.2.3 Resolução do sistema pelo método da adição .............................................................. 19 
4.2.3.1 Sistema com coeficientes iguais e opostos ................................................................................................ 19 
4.2.3.2 Sistema sem coeficientes iguais ..................................................................................................................... 19 
REFERÊNCIAS .............................................................................................. 22 
 
 
 
 
 
4 
AULA 05 – EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU E INEQUAÇÕES DO 
PRIMEIRO GRAU E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
1 INTRODUÇÃO 
No nosso dia a dia, muitas vezes usamos equações sem nos darmos conta da importância que elas 
representam. 
Quando calculamos a quantia que vamos gastar para encher o tanque de gasolina do nosso carro, para 
comprar um hambúrguer e um refrigerante ou ainda para determinar o lucro de uma firma, a taxa de uma 
aplicação financeira, a demanda de certo produto, estamos diante de equações em que figuram uma ou mais 
que uma variável. 
Resolver equações estimula nosso raciocínio e nos permite resolver problemas mais complexos. 
Iremos, nesta aula, revisar conceitos importantes sobre equações e inequações do primeiro grau com 
uma incógnita e equações do primeiro grau com duas incógnitas. 
2 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM UMA INCÓGNITA 
Considere o seguinte problema: 
Mario pensou em um número, subtraiu 4 e obteve 12. Em qual número Mario pensou? 
Vamos traduzir esse problema para linguagem matemática. 
Mario pensou em um número, subtraiu 4 e obteve 12. 
 x − 4 = 12 
A sentença matemática 𝑥 – 4 = 12 representa uma equação. Nesta, temos: 
𝑥 → representa a incógnita do problema (valor desconhecido). 
𝑥 – 4 → representa o primeiro membro da equação. 
2 → representa o segundo membro da equação 
Vamos atribuir uma letra 
para o valor desconhecido 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Sabemos que, por exemplo: 
1) 20 não é solução da equação, porque 
20 – 4 = 12 é falso. 
2) 16 é solução da equação, porque 
16 – 4 = 12 é verdadeiro. 
Uma equação é uma igualdade na qual figura sempre, pelo menos, uma letra, a qual chamamos 
incógnita ou valor desconhecido. 
 
Exemplos: 
𝑠ã𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 �
2𝑥 + 5 = 𝑥 + 7
𝑥 − 3 = 5𝑥
2𝑥 − 3 = −9
 
𝑛ã𝑜 𝑠ã𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 �
2 + 3 = 5
2𝑥 + 3
𝑥 − 8 > 10
 
 
Solução de uma equação é o número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa 
igualdade numérica verdadeira. 
Exemplo 1: 
A equação 3𝑥 + 2 = 14 tem 4 como solução, uma vez que 
3 ∙ 4 + 2 = 14 
12 + 2 = 14 
14 = 14 (sentença verdadeira) 
Logo 4 é solução da equação. 
 
Exemplo 2: 
Será que 3 é solução da equação ? 
Vamos substituir por 3. 
2𝑥 – 2 = 1 – 𝑥
𝑥
 
 
 
 
 
6 
Importante 
 
 
 
Cuidado! 
Nessa expressão numérica, primeiro resolvemos a multiplicação e depois a subtração. 
 
2 ∙ 3 – 2 = 1 – 3 
6 – 2 = −2 
4 = −2 (sentença falsa) 
Logo 3 não é solução da equação. 
2.1 Equações equivalentes 
Equações que tem o mesmo conjunto solução são chamadas de equivalentes. Para representá-las, 
utilizamos o símbolo ⇔ (lê-se: equivalente a). 
Exemplo: 
As equações 𝑥 + 3 = 10 e 2𝑥 = 14 são equivalentes,pois ambas tem o mesmo conjunto solução 
{ 7 }. 
Escreve-se: 
𝑥 + 3 = 10 ⇔ 2𝑥 = 14 
Vamos verificar: 
7 + 3 = 10 
2 ∙ 7 = 14 
10 = 10 
14 = 14 
2.2 Princípios de equivalência 
Antes de resolver as equações do primeiro grau com uma incógnita, vamos entender dois importantes 
princípios de equivalência que se faz presente na resolução de equações. 
 
 
 
 
 
7 
2.2.1 Princípio aditivo 
Adicionando-se um mesmo número positivo ou negativo aos dois membros de uma igualdade, 
obtemos uma nova igualdade equivalente. 
(5 – 3) + 6 = 2 + 6 
(5 – 3) + (−4) = 2 + (−4) 
 
2.2.2 Princípio multiplicativo 
Multiplicando-se ou dividindo-se os dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade 
equivalente. 
(5 – 3) ∙ 4 = 2 ∙ 4 
(5 – 3) ÷ (−2) = 2 ÷ (−2) 
 
2.3 Resolução de uma equação do primeiro grau com uma incógnita 
Uma equação do primeiro grau com uma incógnita é assim denominada pelo fato do expoente da 
incógnita ser igual a um. 
Para resolvermos esse tipo de equação, vamos agrupar os termos da incógnita para um dos membros 
da equação, por exemplo, para o primeiro, e os termos independentes para o outro membro, nesse caso, o 
segundo. 
Exemplo: 
Resolver a equação 3𝑥 – 3 = 5 + 𝑥, sabendo que o conjunto solução está contido no conjunto dos 
números. 
Agrupando os termos da incógnita 
Para agrupar 3𝑥 e 𝑥 no primeiro membro da equação, vamos aplicar o princípio aditivo, somando 
(− 𝑥) em ambos os membros. 
3𝑥 – 3 + (−𝑥) = 5 + 𝑥 + (−𝑥) (equação 1) 
3𝑥 – 3 + (−𝑥) = 5 (equação 2) 
Agrupando os termos independentes 
Para agrupar os termos independentes no segundo membro, vamos aplicar o princípio aditivo, 
somando 3 em ambos os membros. 
 
 
 
 
8 
3𝑥 – 3 + (−𝑥) + 3 = 5 + 3 (equação 1) 
3𝑥 + (−𝑥) = 8 
2𝑥 = 8 
Isolando 𝑥: 
Para isolar 𝑥 vamos aplicar o princípio multiplicativo dividindo ambos os membros por 2. 
2𝑥
2
 = 8
2
 → simplificando temos: 𝑥 = 4 
4 é a solução da equação, portanto S = {4}. 
 
2.3.1 Regra prática para resolução de equações 
Observando o processo efetuado no item anterior, podemos perceber que numa equação podemos 
mudar os termos de um membro para outro, desde que apliquemos a operação inversa. 
Exemplo 1: 
Resolver a equação , sabendo que o conjunto solução está contido no conjunto dos 
números reais. 
Agrupando os termos da incógnita: 
5
6
𝑥
𝑥
+
+
6 + 𝑥 = 2 → 𝑥 passa para o primeiro membro com a operação inversa, soma. 
Agrupando os 
6
t
=
er
2
mos 
 
independentes. 
6
6
𝑥
𝑥
=
=
2
−
 –
4
6
 
→ O termo 6 passa para o segundo membro com a operação inversa, 
subtração. 
𝑥= − 
4 2
 
6
 , simplificando → 𝑥 = − 
3
 
O termo 6, que multiplica 𝑥, passa para o 
segundo membro com a operação inversa, 
 dividindo. 
 
2
 
5𝑥 + 6 = 2 – 𝑥
𝑆 = �− 
3 
�
 
 
 
 
 
 
9 
Exemplo 2: 
Resolver a equação 6𝑥 – 2 = 4 – 𝑥 + 8, sabendo que o conjunto solução está contido no conjunto 
dos números reais. 
Reduzindo os termos semelhantes do segundo membro: 
6𝑥 – 2 = 12 – 𝑥 
Agrupando os termos da incógnita: 
6𝑥 + 𝑥 – 2 = 12 
7𝑥 – 2 = 12 
Agrupando os termos independentes: 
7x = 12 + 2 
7x = 14 
𝑥 =
14
7
= 2 
S = {2} → conjunto solução. 
 
Exemplo 3: 
Resolver a equação 2(𝑥 – 3) = 5(1 – 2𝑥), sabendo que o conjunto solução está contido no 
conjunto dos números reais. 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2(𝑥 – 3) = 5(1 – 2𝑥) 
2𝑥 – 6 = 5 – 10𝑥 
Agrupando os termos da incógnita e os independentes: 
2𝑥 + 10𝑥 = 5 + 6 
12𝑥 = 11 
𝑥 = 
11
12
 
𝑆 = �
11
12
� 
 
 
 
 
 
 
 
10 
Exemplo 4: 
Resolver a equação – 3�𝑥 – 4� = – 2 (2 – 𝑥), sabendo que o conjunto solução está contido no 
conjunto dos números reais. 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 
– 3𝑥 + 12 = – 4 + 2𝑥 
Agrupando os termos da incógnita e os independentes: 
– 3𝑥 – 2𝑥 = – 4 – 12 
– 5𝑥 = – 16 
𝑥 = 
−16
−5
=
16
5
 
𝑆 = �
16
5
� 
 
Exemplo 5: 
No conjunto dos números reais, resolva a equação abaixo: 
𝑥
5
−
𝑥 − 4
10
=
1
2
+
1 − 𝑥
4
 
Nessa equação, inicialmente devemos reduzir os termos ao mesmo denominador, sendo o mínimo 
múltiplo comum igual a 20. 
4𝑥
20
−
2(𝑥 − 4)
20
=
10
20
+
5(1 − 𝑥)
20
 
4𝑥 − 2𝑥 + 8
20
=
10 + 5 − 5𝑥
20
 
Multiplicando ambos os membros por 20: 
20 ∙ 
2𝑥 + 8
20
= 20 ∙ 
15 − 5𝑥
20
 
Simplificando, temos: 
2𝑥 + 8 = 15 − 5𝑥 ou 2𝑥 + 5𝑥 = 15 − 8 
7𝑥 = 7 ou 𝑥 = 7
7
 = 1 
𝑆 = {1} 
 
 
 
 
 
 
11 
Exemplo 6: 
No conjunto dos números reais, resolva a equação abaixo: 
1
2
(𝑥 + 3) −
1
5
(𝑥 − 1) = 2 
Nessa equação, inicialmente eliminamos os parênteses aplicando a propriedade distributiva da 
multiplicação. 
𝑥
2
+
3
2
−
𝑥
5
+
1
5
= 2 
Reduzindo os termos ao mesmo denominador, sendo o mínimo múltiplo comum 10: 
5𝑥+15−2𝑥+2
10
 = 20
10
 ou 3𝑥+17
10
 = 
20
10
 
Multiplicando ambos os membros por 10: 
10 ∙ 3𝑥+17
10
 = 10 ∙ 20
10
 
Simplificando, temos: 
3𝑥 + 17 = 20 
3𝑥 = 20 − 17 ou 3𝑥 = 3 ou 𝑥 = 3
3
 = 1 
2.4 Classificação de equações 
1) A equação 5𝑥 + 7 = 2𝑥 + 7 + 3𝑥 é indeterminada. Vamos resolvê-la: 
5𝑥 – 2𝑥 – 3𝑥 = 7 – 7 
0 ∙ 𝑥 = 0 é possível, mas indeterminada, visto que qualquer valor de x substituído na equação a 
torna verdadeira. O conjunto solução é o conjunto dos números reais, ou seja, 𝑆 = ℝ. 
 
5𝑥 – 2𝑥 – 3𝑥 = 7 – 4 
0 ∙ 𝑥 = 3 é impossível, porque 0 é diferente de 3. O conjunto solução é o conjunto vazio, e este é 
representado por { } 𝑜𝑢 ∅. 
 
 
2) A equação 5𝑥 + 4 = 2𝑥 + 7 + 3𝑥 é impossível. Vamos resolvê-la: 
 
 
 
 
12 
3) A equação 3𝑥 + 7 = 2𝑥 é determinada. Vamos resolvê-la: 
Essa e
3
q
𝑥
u
 –
aç
2
ão
𝑥 = −7 ou 
 é possív
 
el
𝑥
 e 
=
det
−7 
erminada porque tem solução. 
Sintetizando: 
Figura 1 – Classificação das equações do primeiro grau de acordo com seu conjunto solução. 
 
3 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 
Qual é a diferença entre uma equação do primeiro grau e uma inequação do primeiro grau? 
A equação é uma igualdade entre dois membros, e por isso usa-se o sinal de igual. Na inequação, usa-
se o sinal de desigualdade. Vejamos alguns exemplos: 
2𝑥 + 5 < 3 ou 3𝑥 − 7 ≤ 5𝑥 + 4 
 
 
 
𝑥 − 7
maior 
> 10 ou 5𝑥 − 8 ≥ 6𝑥 + 10 
 
 
menor menor ou 
igual 
maior ou 
igual 
 
 
 
 
13 
3.1 Princípios de equivalência 
Já vimos os princípios de equivalência de uma igualdade representada por uma equação. Vamos, agora, 
ver o que ocorre quando aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo em uma desigualdade. 
3.1.1 Princípio aditivo 
Quando adicionamos um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obtemos uma nova 
desigualdade de mesmo sentido da primeira. 
10 > 3 1 < 15 
10 + 5 > 3 + 5 1 + (− 7) < 15 + (− 7) 
15 > 8 − 6 < 8 
 
3.1.2 Princípio multiplicativo 
Quando multiplicamos os dois membros da inequação por um mesmo número positivo, obtemos uma 
nova desigualdade de mesmo sentido da primeira. 
15 > 3 − 4 < − 2 
15 ∙ 2 > 3 ∙ 2 − 4 ∙ 3 < − 2 ∙ 3 
30 > 6 − 12 < − 6 
 
Já quando multiplicamos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo, 
obtemos uma nova desigualdade com sentido invertido. Vejamos: 
7 > 5 
7 ∙ (− 2) > 5 ∙ (− 2) 
−14 > −10 
Como podemos observar, essa sentença é falsa. Para torná-la verdadeira, devemos inverter o sinal 
da desigualdade, logo: 
−14 < −10 
 
 
 
 
 
 
14 
3.2 Resolução de inequações do primeiro grau com uma incógnita 
Resolver uma inequação do primeiro grau com uma incógnita significa determinar os valores que 
tornam a inequação verdadeira. Para isso, vamos aplicar os princípios de equivalência das desigualdades e 
proceder da mesma forma que procedemos na resolução das equações. 
Exemplo 1: 
Resolver, no conjunto dos reais, a inequação: 
7𝑥 + 5 > 3𝑥 + 7 
7𝑥 – 3𝑥 > 7 – 5 → princípio aditivo 
4𝑥 > 2 
𝑥 > 2
4
 →princípio multiplicativo 
𝑥 > 1
2
 
𝑆 = � 𝑥 ∈ ℝ � 𝑥 > 1
2
 �, o qual se lê da seguinte maneira: o conjunto solução é formado por 
todos os números reais, tais que eles são maiores que 1
2
. 
Podemos perceber que o conjunto solução de uma inequação é infinito. 
 
Exemplo 2: 
Resolver, no conjunto dos reais, a inequação: 
𝑥
2
≤
1
4
−
2 − 3𝑥
5
 
10𝑥
20
≤ 5
20
− 4(2−3𝑥)
20
 ou 10𝑥 ≤ 5 − 8 + 12𝑥 
10𝑥 – 12𝑥 ≤ 5 – 8 → princípio aditivo 
−2𝑥 ≤ −3 → dividindo cada membro por (−2) 
−2𝑥
−2
≥ −3
−2
 → princípio multiplicativo 
𝑥 ≥ 3
2
 
Cuidado! Não se 
esqueça de 
inverter o sinal da 
desigualdade 
 
 
 
 
15 
𝑆 = � 𝑥 ∈ ℝ � 𝑥 > 
3
2
 � 
4 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM DUAS 
INCÓGNITAS 
Os sistemas de equações com duas incógnitas são importantes ferramentas na resolução de problemas 
em várias áreas: matemática, química, engenharia, logística, administração, economia, entre outras. 
Duas equações do primeiro grau com duas incógnitas formam um sistema de equações. 
4.1 Equações do primeiro grau com duas incógnitas 
Uma equação do primeiro grau com duas incógnitas, 𝑥 e 𝑦, é uma equação do tipo: 
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 
 
Em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números conhecidos, e 𝑎 e 𝑏, diferentes de zero. 
Exemplo: 
Quais as soluções possíveis de 𝑥 e 𝑦 para a equação 10? 
Observe a tabela abaixo: 
2𝑥 + 𝑦 = 
 
x y 2𝑥 + 𝑦 = 10 
0 10 2 ∙ 0 + 10 = 10 
1 8 2 ∙ 1 + 8 = 10 
2 6 2 ∙ 2 + 6 = 10 
3 4 2 ∙ 3 + 4 = 10 
1
2 = 0,5 
9 2 ∙ 0,5 + 9 = 10 
4 2 2 ∙ 4 + 2 = 10 
 
Podemos perceber que uma equação do primeiro grau com duas incógnitas tem infinitas soluções, 
e estas são pares ordenados que, substituídos, transformam a equação numa igualdade 
verdadeira. Pela tabela, algumas soluções (pares) para a equação que vimos acima são: 
(0,10) ou (1,8) ou (0,5; 9) ou (4,2) 
 
 
 
 
16 
4.2 Sistema de equações do primeiro grau com duas incógnitas 
4.2.1 Problema 
Tatiana tem 20 moedas distribuídas em dois porta-moedas. Num deles, tem o quádruplo das moedas 
que tem no outro. Quantas moedas têm em cada um? 
Nesse enunciado, temos duas informações: 
• Primeira: o número de moedas contidas nos dois porta-moedas é 20. 
• Segunda: num porta-moedas há o quádruplo das moedas que há no outro. 
Vamos considerar: 
𝑥 → número de moedas de um. 
𝑦 → número de moedas do outro. 
Traduzindo para a linguagem algébrica as informações: 
Primeira: 𝑥 + 𝑦 = 20 
Segunda: 𝑦 = 4𝑥 
Em matemática, quando queremos considerar simultaneamente as duas informações, escrevemos: 
�𝑥 + 𝑦 = 20𝑦 = 4𝑥 
Um sistema de equações é constituído por duas equações do primeiro grau com duas incógnitas, e um 
par ordenado (𝑥, 𝑦) é solução de um sistema se 𝑥 e 𝑦 forem simultaneamente solução das duas equações. 
4.2.2 Resolução de um sistema pelo método da substituição 
Exemplo 1: 
Vamos resolver o sistema: 
�𝑥 + 𝑦 = 20𝑦 = 4𝑥 
Utilizando o método da substituição: 
�𝑥 + 𝑦 = 20𝑦 = 4𝑥 
Observando a segunda equação percebemos que é 
indiferente dizer 𝑦 ou 4𝑥. Vamos, então, substituir o 𝑦 da 
primeira equação por 4𝑥. 
𝑥 + 4𝑥 = 20 Ao fazermos essa troca, obtemos uma equação com a 
mesma variável podendo, assim, determiná-la. 
 
 
 
 
17 
5𝑥 = 20 ou 𝑥 = 4 Determinamos o valor de 
segunda equação. 
𝑥. Vamos agora substituí-lo na 
𝑦 = 4 
(𝑥, 𝑦) 
∙ 4 = 16 
= (4,16) 
Solução do sistema. 
 
Tatiana tem 4 moedas em um porta-moeda e 16 no outro. 
 
Exemplo 2: 
Resolva o sistema: 
�
2𝑥 + 𝑦 = 6
2𝑥 + 5𝑦 = 22 
�
2𝑥 + 𝑦
2𝑥 + 5𝑦
= 6
 = 22
Na primeira equação o coeficiente de 𝑦 é 1. Se 
isolarmos o 𝑦 nessa equação, não teremos que lidar 
com denominadores. 
�
𝑦 = 6 − 2𝑥
 2𝑥 + 5𝑦 = 22
Depois de isolarmos o valor de 
na segunda equação. 
𝑦, vamos substituí-lo 
2𝑥 + 5(6 – 2𝑥) = 22 
2𝑥 + 30 – 10𝑥 = 22 
− 8𝑥 = 22 – 30 
− 8𝑥 = − 8 ou 𝑥 = 1 
Determinamos o valor de 𝑥. Substituindo esse valor 
na primeira equação, determinamos o valor de 𝑦. 
𝑦
𝑦
= 6 
= 6 
– 2 
– 2 
∙
 
 1 
ou 𝑦 = 4 
 
A solução do sistema é (𝑥, 𝑦) = (1,4). 
 
Exemplo 3: 
Há 5 anos a idade de uma mãe era o quíntuplo da idade do seu filho. Daqui a 10 anos a idade da 
mãe será 2,5 vezes superior à idade do filho. Determine a soma das idades atuais da mãe e do 
filho. 
Comecemos por construir a tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 
18 
 Idade atual Idade há 5 anos Idade daqui há 10 anos 
Mãe 𝑥 𝑥 − 5 𝑥 + 10 
Filho 𝑦 𝑦 − 5 𝑦 + 10 
 
Lendo o enunciado e com a ajuda da tabela, temos: 
Há 5 anos a idade da mãe era o quíntuplo da idade do filho: 
𝑥 – 5 = 5 ∙ (𝑦 – 5) 
Daqui a 10 anos, a idade da mãe será 2,5 vezes superior a idade do filho: 
𝑥 + 10 = 2,5 ∙ (𝑦 + 10) 
Montando o sistema temos: 
� 𝑥 − 5 = 5(𝑦 − 5)𝑥 + 10 = 2,5𝑦 + 25 
Aplicando a propriedade distributiva e reduzindo os termos semelhantes: 
� 𝑥 − 5 = 5𝑦 − 25𝑥 − 2,5𝑦 = 25 − 10 ⇔ �
𝑥 = 5𝑦 − 25 + 5
𝑥 − 2,5𝑦 = 15 ⇔ �
𝑥 = 5𝑦 − 20
𝑥 − 2,5𝑦 = 15 
Substituindo a primeira equação na segunda, temos: 
5𝑦 − 20 − 2,5𝑦 = 15, ou 
2,5𝑦 = 15 + 20, ou 
2,5𝑦 = 35 
𝑦 = 
35
2,5
= 14 
Vamos determinar, agora, o valor de 𝑥: 
𝑥 = 5 ∙ 14 − 20 ou 𝑥 = 70 − 20 ou 𝑥 = 50 
A soma das idades é: 
50 + 14 = 64 
 
 
 
 
 
 
 
19 
4.2.3 Resolução do sistema pelo método da adição 
4.2.3.1 Sistema com coeficientes iguais e opostos 
Exemplo: 
Resolver, pelo método da adição, o seguinte sistema: 
�3𝑥 − 4𝑦 = −62𝑥 + 4𝑦 = 16 
Os coeficientes de 𝑦 são iguais e opostos. 
Primeiro passo: somar as equações 
3𝑥 – 4𝑦 = − 6 
2𝑥 + 4𝑦 = 16 
5𝑥 = 10 
Segundo passo: resolver a equação 
𝑥 = 
10
5
= 2 
Terceiro passo: substituir 𝑥 = 2 em uma das equações iniciais 
3 ∙ 2 − 4𝑦 = −6 → 6 − 4𝑦 = −6 → −4𝑦 = − 6 − 6 
− 4 𝑦 = −12 ou 𝑦 = −12
−4
 = 3 
A solução do sistema é (𝑥, 𝑦) = (2, 3) 
 
4.2.3.2 Sistema sem coeficientes iguais 
Exemplo 1: 
Resolver o sistema abaixo pelo método da adição: 
�
2𝑥 + 3𝑦 = 2
5𝑥 − 2𝑦 = 24 
Primeiro passo: igualamos os coeficientes de 𝑦 
Multiplicamos a primeira equação por 2 (coeficiente de 𝑦 da segunda equação) → 
4𝑥 + 6𝑦 = 4 
Multiplicamos a segunda equação por 3 (coeficiente de 𝑦 da primeira equação) → 
 
 
 
 
20 
15𝑥 − 6𝑦 = 72 
Segundo passo: somamos as equações 
 4𝑥 + 6𝑦 = 4 
15𝑥 − 6𝑦 = 72 
19𝑥 = 76 
Terceiro passo: resolvemos a equação 
𝑥 =
76
19
= 4 
Quarto passo: substituímos 𝑥 = 4 em uma das equações iniciais 
2 ∙ 4 + 3𝑦 = 2 
8 + 3𝑦 = 2 ou 3𝑦 = 2 – 8 
3𝑦 = −6 ou 𝑦 = 
−6
3
 = −2 
A solução do sistema é (𝑥, 𝑦) = (4, −2). 
 
Exemplo 2: 
Resolver
�
 
8
6
o
𝑥
𝑥
 si
+
+
st
2
5
e
𝑦
𝑦
ma
=
=
 a
22
27
baixo utilizando o método da adição: 
 
Primeiro passo: igualamos os coeficientes de com números opostos 
Nesse caso, vamos determinar o mínimo múltiplo comum entre 6 e 8, para descobrir os 
números que as equações devem ser multiplicadas. 
𝑥
8 6 2 
4 3 2 
2 3 2 
1 3 3 
1 1 
 
mínimo múltiplo comum 
2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 
 
O númer
24
o 
 
2
÷
4 
6
div
=
idido
4 
 pelo coeficiente de da primeira equação: 𝑥
 
 
 
 
21 
Multiplicamos a primeira equação por – 4, para termos coeficientes simétricos → 
− 24𝑥 – 20𝑦 = −108 
O número 24 dividido pelo coeficiente 𝑥 da segunda equação: 
24 ÷ 8 = 3 
Multiplicamos a segunda equação por 3 → 24𝑥 + 6𝑦 = 66 
Segundo passo: somamos as equações 
− 24𝑥 − 20𝑦 = −108 
 24𝑥 + 6𝑦 = 66 
 − 14𝑦 = − 42 
Terceiro passo: resolvemos a equação 
𝑦 = 
−42
−14
= 3 
Quarto passo: substituímos o valor de 𝑦 = 3 em uma das equações iniciais: 
6𝑥 + 5 ∙ 3 = 27 ou 6𝑥 + 15 = 27 6𝑥 = 27– 15 
𝑥 = 
12
6
= 2 
A solução do sistema é (𝑥, 𝑦) = (2, 3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
SILVEIRA, D. C.; SALDANHA, M. S.; MISITI, L.O.R. Aritmética e introdução à álgebra: 1.463 problemas 
resolvidos e explicados. São