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2018 MateMática para Segurança no trabalho Profa. Ma. Grazielle Jenske Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos Copyright © UNIASSELVI 2018 Elaboração: Profa. Ma. Grazielle Jenske Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. 341.617 J51m Jenske, Grazielle Matemática para segurança no trabalho / Grazielle Jenske; Leonardo Garcia dos Santos. Indaial: UNIASSELVI, 2018. 206 p. : il. ISBN 978-85-515-0134-4 1.Segurança do Trabalho. I. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. Impresso por: III ApresentAção Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Matemática Aplicada à Segurança do Trabalho. Conceitos, definições, propriedades e representações gráficas farão parte dos seus estudos nesta disciplina, que tem o intuito de aprimorar e aprofundar seus conhecimentos de matemática. Você, aluno da Educação a Distância, deve saber que existem fatores importantes para um bom desempenho: disciplina, organização e um horário de estudos pré-definido para que obtenha sucesso. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora e muita concentração. Lembre-se que o estudo é algo primoroso. Aproveite esta motivação, para iniciar a leitura desde livro. Este livro está dividido em três unidades que contemplam partes importantes da matemática aplicada ao curso de Segurança no Trabalho. Na primeira unidade serão apresentados os conceitos básicos da matemática, que envolvem o entendimento dos números, as unidades de medidas e suas conversões de acordo com o Sistema Internacional de Medidas (SI), seus múltiplos e submúltiplos, bem como equações e funções polinomiais. Na unidade seguinte, serão abordados os principais conceitos da Estatística, como definições e maneiras para organizar e apresentar dados estatísticos de modo coerente e assim facilitar uma interpretação fidedigna dos dados. Neste ponto é muito importante lembrar que o profissional da área de Segurança do Trabalho necessita expor suas análises com clareza para que os funcionários da empresa se conscientizem acerca da boa conduta de segurança. Na terceira e última unidade, trataremos sobre as medidas de posição, elas representam uma série de dados, orientando quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal. Dentre as várias medidas de posição, descreveremos a média, a moda, a mediana, desvio padrão e coeficiente de variação. Iremos utilizar estes conceitos para lidar com conceitos importantes das Estatísticas de Acidentes, como por exemplo, os cálculos das taxas de gravidade e frequência de acidentes. Queremos aqui salientar que este material traz um curso introdutório da Matemática para o curso de Segurança do Trabalho. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para ampliar e completar seu aprendizado. Durante o texto deixamos algumas sugestões e outras podem ser verificadas nas referências bibliográficas. IV Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos! Estimamos que, ao término deste estudo, você consiga notar a evolução do seu entendimento matemático, pois a melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico. Desta forma, esta disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para as disciplinas subsequentes. Bons estudos! Profa. Ma. Grazielle Jenske Prof. Me. Leonardo Garcia dos Santos NOTA V VI VII UNIDADE 1 – CONCEITOS BÁSICOS .......................................................................................... 1 TÓPICO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ..................................................................................... 3 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 3 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS ........................................................................ 4 1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS .......................................................................... 5 1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ...................................................................... 7 1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS ..................................................................... 7 1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ................................................................................. 8 2 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS ............................................................. 8 2.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA ......................................................................................... 8 2.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL .................................................................................................. 9 2.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS ............................................................................................................................ 10 2.3.1 Transformação de número fracionário em número decimal ......................................... 10 2.3.2 Transformação de número decimal em número fracionário ........................................ 11 3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES ...................................................................................................... 14 3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ........................................................................................................... 14 3.2 MULTIPLICAÇÃO ...................................................................................................................... 20 3.3 DIVISÃO ....................................................................................................................................... 21 4 PORCENTAGEM .............................................................................................................................. 22 4.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM ............................................................................................ 23 RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 25 AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................26 TÓPICO 2 – UNIDADES DE MEDIDAS ........................................................................................ 29 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 29 1.1 RAZÕES E PROPORÇÕES ......................................................................................................... 29 1.1.1 Elementos de uma proporção ........................................................................................... 30 1.1.2 Propriedade fundamental das proporções ..................................................................... 31 1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais ............................................................................ 32 1.1.4 Grandezas inversamente proporcionais .......................................................................... 34 1.2 UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL (SI) .............................................................. 36 1.3 MEDIDAS DE COMPRIMENTO ............................................................................................... 37 1.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE E VOLUME ............................................................................. 39 1.4.1 Medida de volume .............................................................................................................. 39 1.4.2. Medidas de capacidade .................................................................................................... 40 1.5 MEDIDAS DE MASSA ................................................................................................................ 41 1.6 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE OU ÁREA ................................................................................... 42 1.7 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA IMPORTANTES ........................................................... 44 RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 48 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 49 sumário VIII TÓPICO 3 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS ............................................................. 53 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 53 2 EQUAÇÕES DO 1º GRAU .............................................................................................................. 53 2.1 RAIZ DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU ........................................................................................ 55 2.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................................... 56 3 EQUAÇÕES DO 2º GRAU .............................................................................................................. 57 3.1 RAÍZES DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU .................................................................................... 57 3.2 APLICAÇÕES ............................................................................................................................... 61 4 FUNÇÕES .......................................................................................................................................... 62 4.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO ........................................................................................................ 62 4.2 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO ........................................................................... 63 5 FUNÇÃO POLINIMIAL DE 1° GRAU ......................................................................................... 64 6 FUNÇÃO POLINOIMIAL DE 2° GRAU ...................................................................................... 67 6.1 MÁXIMOS E MÍNIMOS EM FUNÇÕES QUADRÁTICAS ................................................... 67 LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 72 RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 76 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 77 UNIDADE 2 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA ......................................................................... 79 TÓPICO 1 – O MÉTODO ESTATÍSTICO ....................................................................................... 81 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 81 2 CONCEITO DE ESTATÍSTICA ..................................................................................................... 82 3 GRANDES ÁREAS DA ESTATÍSTICA ....................................................................................... 82 4 O MÉTODO ESTATÍSTICO ........................................................................................................... 83 4.1 MÉTODO EXPERIMENTAL ...................................................................................................... 84 4.2 MÉTODO ESTATÍSTICO ............................................................................................................ 84 5 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO .......................................................................................... 84 5.1 DEFINIÇÃO DO PROBLEMA ................................................................................................... 85 5.2 PLANEJAMENTO ....................................................................................................................... 85 5.3 COLETA DE DADOS .................................................................................................................. 85 5.4 CRÍTICA DOS DADOS ............................................................................................................... 86 5.5 ORGANIZAÇÃO DOS DADOS ................................................................................................ 86 5.6 ANÁLISE DOS RESULTADOS .................................................................................................. 87 RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 88 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 89 TÓPICO 2 – VARIÁVEL, POPULAÇÃO E AMOSTRA ............................................................... 91 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 91 2 POPULAÇÃO .................................................................................................................................... 91 3 AMOSTRA ......................................................................................................................................... 92 4 AMOSTRAGEM ............................................................................................................................... 95 4.1 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA ......................................................................................... 95 4.2 AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA .............................................................................. 98 5 TAMANHO DE UMA AMOSTRA ................................................................................................ 99 6 VARIÁVEIS ESTATÍSTICAS ......................................................................................................... 103 6.1 VARIÁVEIS QUALITATIVAS .....................................................................................................103 6.2 VARIÁVEIS QUANTITATIVAS .................................................................................................. 104 RESUMO DO TÓPICO 2 .................................................................................................................... 106 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 107 IX TÓPICO 3 – SÉRIES ESTATÍSTICAS .............................................................................................. 109 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 109 2 AGRUPAMENTO DE DADOS ...................................................................................................... 109 2.1 DADOS BRUTOS ......................................................................................................................... 110 2.2. ROL ................................................................................................................................................ 110 2.3 AGRUPAMENTO SIMPLES OU DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALOS DE CLASSE ........................................................................................................ 111 2.4 AGRUPAMENTO POR FAIXA DE VALOR OU DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALOS DE CLASSE .............................................................................................. 113 3 SÉRIE ESTATÍSTICA ....................................................................................................................... 118 3.1 TIPOS DE SÉRIES ........................................................................................................................ 121 3.1.1 Séries históricas, cronológicas ou temporais .................................................................. 121 3.1.2 Séries geográficas, espaciais, territoriais ou de localização .......................................... 122 3.1.3 Séries específicas ou categóricas ....................................................................................... 123 3.1.4 Séries conjugadas ................................................................................................................ 124 RESUMO DO TÓPICO 3 .................................................................................................................... 125 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 126 TÓPICO 4 – GRÁFICOS ESTATÍSTICOS ...................................................................................... 129 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 129 2 GRÁFICO ESTATÍSTICO ............................................................................................................... 129 2.1 GRÁFICO EM LINHA ................................................................................................................ 130 2.2 GRÁFICO EM COLUNAS OU EM BARRAS .......................................................................... 131 2.3 GRÁFICO EM COLUNAS OU BARRAS MÚLTIPLAS ......................................................... 133 2.4 GRÁFICO EM SETORES: (PIZZA) ............................................................................................ 134 2.5 GRÁFICO POLAR ....................................................................................................................... 135 2.6 CARTOGRAMA .......................................................................................................................... 137 2.7 PICTOGRAMA ............................................................................................................................. 138 LEITURA COMPLEMENTAR ........................................................................................................... 140 RESUMO DO TÓPICO 4 .................................................................................................................... 143 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................. 144 UNIDADE 3 – MEDIDAS DE POSIÇÃO, VARIABILIDADE E ESTATÍSTICA DE ACIDENTES ............................................................................................................... 149 TÓPICO 1 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ................................................................... 151 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................. 151 2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ..................................................................................... 151 3 MÉDIA ................................................................................................................................................ 151 3.1 MÉDIA PARA DADOS NÃO AGRUPADOS .......................................................................... 152 3.2 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE ................................................................................................. 153 3.3 MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE ................................................................................................ 156 4 MODA ................................................................................................................................................ 159 4.1 DADOS NÃO AGRUPADOS ..................................................................................................... 160 4.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSES ................................................................................................................................. 160 4.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSES ................................................................................................................................. 161 5 MEDIANA .......................................................................................................................................... 164 X 5.1 DADOS NÃO AGRUPADOS .................................................................................................... 164 5.2 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSES ................................................................................................................................ 166 5.3 DADOS AGRUPADOS EM DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSES ................................................................................................................................ 168 RESUMO DO TÓPICO 1 .................................................................................................................... 171 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 172 TÓPICO 2 – MEDIDAS DE DISPERSÃO ..................................................................................... 173 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 173 2 DESVIO-PADRÃO .......................................................................................................................... 173 2.1 DESVIO-PADRÃO AMOSTRAL E DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL ...................... 174 2. 2 CÁLCULO DO DESVIO-PADRÃO .......................................................................................... 174 2.2.1 Dadosnão agrupados ....................................................................................................... 174 2.2.2 Dados agrupados em distribuição de frequência sem intervalo de classes ............... 177 2.2.3 Frequência de classes ......................................................................................................... 179 3 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ................................................................................................... 181 RESUMO DO TÓPICO 2 ................................................................................................................... 184 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 185 TÓPICO 3 – ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES ............................................................................ 189 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 189 2 CONCEITOS BÁSICOS SOBRE ESTATÍSTICAS DE ACIDENTES .................................... 189 2.1 EMPREGADOS ........................................................................................................................... 189 2.2 HORAS-HOMEM DE EXPOSIÇÃO AO RISCO – HHT ....................................................... 190 2.3 DIAS PERDIDOS – DP ............................................................................................................... 190 2.4 DIAS DEBITADOS – DD ............................................................................................................ 190 2.5 TEMPO COMPUTADO – TC .................................................................................................... 190 2.6 NÚMERO DE ACIDENTES – NA ............................................................................................ 191 3 MEDIDAS DE FREQUÊNCIA E GRAVIDADE DE ACIDENTES ........................................ 191 3.1 TAXA DE FREQUÊNCIA DE ACIDENTES (TF) ................................................................... 191 3.2 TAXA DE GRAVIDADE DE ACIDENTES (TG) ..................................................................... 194 4 APLICAÇÃO DA TABELA DE DIAS DEBITADOS ................................................................. 195 LEITURA COMPLEMENTAR .......................................................................................................... 199 RESUMO DO TÓPICO 3 ................................................................................................................... 201 AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 202 REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 205 1 UNIDADE 1 CONCEITOS BÁSICOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir desta unidade, você será capaz de: • identificar a terminologia, símbolos usuais e conhecimentos básicos en- contrados em segurança do trabalho; • identificar os elementos do conjunto dos números naturais, inteiros, racio- nais, irracionais e reais; • conhecer as unidades de medidas e aplicar conversões; • reconhecer e resolver equações polinomiais que envolvam situações da se- gurança do trabalho. Caro acadêmico! Nesta unidade de ensino, a abordagem da Matemática está dividida em três tópicos, nos quais se apresentam desde os conceitos introdutórios sobre conjuntos numéricos e unidades de medida até funções polinomiais. Cada tópico oferecerá subsídios que o auxiliarão na interiorização dos conteúdos e na resolução das autoatividades solicitadas. TÓPICO 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS TÓPICO 2 – UNIDADES DE MEDIDAS TÓPICO 3 – EQUAÇÕES E FUNÇÕES POLINOMIAIS 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS 1 INTRODUÇÃO A história nos conta que os números foram criados para suprir a necessidade de contagem do ser humano e, conforme a evolução humana foi ocorrendo, os números também tiveram seu progresso e hoje, são organizados em conjuntos. A concepção do conjunto numérico pode ser entendida a partir da compreensão de um conjunto. Na matemática, um conjunto é uma coleção de elementos, representado por uma letra maiúscula do alfabeto. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana: D = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta- feira e sábado} Em que cada um dos dias da semana, representa um elemento do conjunto. Um conjunto também pode ser representado graficamente pelo que denominamos “Diagrama de Venn”. FIGURA 1 – DIAGRAMA REPRESENTATIVA DO CONJUNTO DOS DIAS DA SEMANA FONTE: Os autores domingo segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira sábado D 4 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 4 Baseado nisto, definimos conjuntos numéricos como um agrupamento de valores que possuem mesmas propriedades e/ou características. A partir daqui, apresentaremos quais são as principais propriedades e características destes conjuntos e qual a relação entre os mesmos. Abordaremos os seguintes conjuntos numéricos: • Conjunto dos números Naturais ( ); • Conjunto dos números Inteiros ( ); • Conjunto dos números Racionais ( ); • Conjunto dos números Irracionais ( ); • Conjunto dos números Reais ( ); A seguir, veremos as características de cada um deles. 1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Representado pela letra maiúscula , este conjunto abrange todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. FIGURA 2 – DIAGRAMA REPRESENTATIVA DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS FONTE: Os autores = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …} 0 1 32 6 4 5 987 10 11 1312 5 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 5 Os pontos de reticência dão a ideia de infinidade, pois os conjuntos numéricos são infinitos. IMPORTANT E Para representar o conjunto dos Números Naturais não nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um asterisco ao lado do . * = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} O conjunto numérico dos Números Naturais começa no zero e é infinito, porém, podemos ter a representação de apenas um subconjunto dele. Por exemplo, um subconjunto M do conjunto dos números naturais formado pelos cinco primeiros múltiplos de 5, M = {0, 5, 10, 15, 20}. 1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Representado pela letra , o conjunto dos Números Inteiros é formado por todos os números que pertencem ao conjunto dos Números Naturais mais os seus respectivos opostos negativos. = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Representação gráfica dos Números Inteiros: FIGURA 3 – RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS INTEIROS E NATURAIS FONTE: Os autores ou - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 5 6 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 6 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 6 São subconjuntos do conjunto dos Números Inteiros: • Inteiros não negativos: Representado por + , este subconjunto dos inteiros é composto por todos os números inteiros que não são negativos, ou seja, são todos os inteiros positivos mais o zero. + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} Note que: +, = , ou seja, que o conjunto dos números inteiros não negativos é igual ao conjunto dos números naturais. ATENCAO • Inteiros não positivos: Representado por -, este subconjunto dos inteiros é composto por todos os inteiros não positivos, ou seja, são todos os inteiros negativos mais o zero. – = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0} • Inteiros não negativos e não nulos: Representado por *+, este subconjunto é conjunto + excluindo o zero. *+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} Note que: * +, = *. ATENCAO • Inteiros não positivos e não nulos: Representado por *-, são todos os números do conjunto -, excluindo o zero. *– = {… -4, -3, -2, -1} 7 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 7 1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Representado pela letra , o conjuntodos Números Racionais contempla os números inteiros ( ), os números decimais finitos e os números decimais infinitos periódicos, ou seja, todos aqueles que podemos escrever na forma a/b, com b 0≠ . Representação gráfica dos Números Racionais: FIGURA 4 – RELAÇÃO ENTRE OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS RACIONAIS, INTEIROS E NATURAIS FONTE: Os autores 1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS É formado pelos números decimais infinitos não periódicos. Por exemplo, o número PI ( π = 3,14159265…), que é o resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2, 3 e 5. FONTE: Os autores - 2,33333-5/2 7/4 11/3 0 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 45 6 - 6 - 5 - 3 - 4-11/2 - 3,75 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 - 1/2 7/2 4,859 ou FIGURA 5 – REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS - 5,146781... - 0,987654321... π 35 28,9182736459... 8 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 8 Representado pela letra , o conjunto dos Números Reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente. { } = + + + Veja a representação em diagrama dos conjuntos numéricos. 1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS FIGURA 6 – REPRESENTAÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS FONTE: Os autores 2 AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS Como você já estudou no Ensino Básico, um número pode ser representado na forma fracionária ou decimal. Vamos relembrar como são essas representações: 2.1 REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA Fração é uma palavra que vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado", assim, podemos dizer que fração é a representação das partes iguais de um todo. Cada fração é formada por três elementos: o numerador (o número da parte de cima da fração), o traço (que serve para separar os dois valores e representa uma divisão) e, finalmente, o denominador (o número da parte de baixo). numerador denominador O denominador representa quantas partes iguais estão contidas no todo (ou seja, em quantas partes algo foi dividido). E, o numerador representa a quantidade de partes consideradas de um todo (quantas partes do todo nós possuímos). Irracionais Reais Racionais Inteiros Naturais 9 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 9 Por exemplo: Definimos os números decimais como sendo aqueles que não possuem representação inteira. Eles são apresentados por uma parte inteira (à esquerda da vírgula) e uma parte fracionária (ou decimal, à direita da vírgula). Quanto ao seu “sinal”, eles podem ser positivos ou negativos, sendo que a sua quantidade de casas decimais é medida após a vírgula (valores à direita). São números decimais: -7,45; -3,6; 1,84; 4,5; 8,975 etc. Alguns números decimais representam frações que possuem denominador igual a 10, 100, 1000, 10 000 e etc. Observe: 2.2 REPRESENTAÇÃO DECIMAL Fração Decimal = Números Decimais 1 10 = 0,1 1 100 = 0,01 1 1000 = 0,001 1 10000 = 0,0001 5 10 = 0,5 5 100 = 0,05 5 1000 = 0,005 5 10000 = 0,0005 10 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 10 115 10 = 11,5 115 100 = 1,15 115 1000 = 0,115 115 10000 = 0,0115 Os números 0,1, 0,05, 0,001; 11,5, por exemplo, são números decimais. Nessa representação, observamos que a vírgula separa a parte inteira da parte decimal. 2.3 TRANSFORMAÇÕES ENTRE AS DIFERENTES REPRESENTAÇÕES DE NÚMEROS A seguir veremos como realizar a transformação de um número fracionário em um número decimal e vice-versa. 2.3.1 Transformação de número fracionário em número decimal Para transformar um número fracionário em número decimal basta dividir numerador pelo denominador. Exemplo: 71) 7 : 2 3,5 2 92) = 9 : 4 = 2,25 4 = = 0,001 Parte decimal Parte inteira → → 11 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 11 71) 7 : 2 3,5 2 92) = 9 : 4 = 2,25 4 = = Esse traço sobre os dois últimos seis indicam que se trata se uma dízima periódica, isto é, que esse valor se repete infinitamente. 2.3.2 Transformação de número decimal em número fracionário Para transformar números decimais em um número fracionário, nós temos três diferentes situações. Atente-se para cada uma delas. Situação 1: O número decimal é finito. Inicialmente, vamos observar a leitura de cada um dos seguintes números: 0,6 (lemos, seis décimos), ou seja, 6 10 . 0,75 (lemos, setenta e cinco centésimos), ou seja, 75 100 . 4,38 (lemos, quatro e trinta e oito centésimos), ou seja, 438 100 . 0,129 (lemos, cento e vinte e nove milésimos), ou seja, 129 1000 . 12 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 12 Verifique que: 60,6 10 = Uma casa decimal – Um zero 750,75 100 = Duas casas decimais – Dois zeros 4384,38 100 = Duas casas decimais – Dois zeros 1290,129 1000 = Três casas decimais – Três zeros Desta forma, o número de zeros colocados no denominador é igual ao número de casas após a vírgula. Situação 2: O número decimal é uma dízima periódica simples. Inicialmente, vamos recordar que uma dízima periódica é a parte decimal infinita (não tem fim). A dízima periódica é dita simples quando for composta apenas de um período que se repete igualmente, por exemplo: 0,22222...; 2,5656565656.... Já a dízima periódica composta, é formada de algarismos que não fazem parte do período, por exemplo, 0,1555...; 2,354444.... Esta dízima será estudada na Situação 3. Esses números também podem ser escritos em forma de fração, mas apesar de serem números decimais na sua transformação é preciso utilizar um processo diferente da situação 1. Acompanhe o raciocínio: Exemplo 1: Transformar 0,2222... em fração. Para isso chamaremos a dízima de x: x = 0,2222... (I) O objetivo é eliminar as casas decimais. Para isso andaremos com a vírgula para a direita uma casa decimal, pois apenas o 2 que repete. Isso é o mesmo que multiplicar o 0,2222... por 10. Ficando assim: 10x = 2,2222... (II) Temos duas equações (I) e (II). Iremos subtrair as duas: (II) – (I). 10 2 222 0 222 9 2 2 9 x x x x = − = = = , ... , ... 13 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 13 Como x = 0,2222... , então 0,2222... é o mesmo que 9 2 . Se dividirmos 2 : 9 chegaremos a 0,2222... Exemplo 2: Transformar a dízima 0, 636363... em fração. Repetindo o processo, temos: x = 0,636363... (I) Andando com a vírgula duas casas para a direita, pois o número que repete nas casas decimais é o 63. Andar duas casas para a direita é o mesmo que multiplicar por 100. 100x = 63,636363.... (II) Subtraindo as duas equações (II) e (I) encontradas: Como x = 0,636363... então 0,636363... é o mesmo que 63 99 . Acadêmico, note que na prática, o número de noves colocados no denominador é igual ao número de dígitos que o período possui. Isso se aplica quando a parte inteira for nula. Quando tivermos, 2, 777..., teremos que separar a parte inteira da decimal para transformar, fazendo 2 + 0,777..., o que resultará em 2 + 7 9 . Essa soma será estudada adiante. Situação 3: O número decimal é uma dízima periódica composta. O processo é semelhante da situação 2. Acompanhe o raciocínio utilizado ao transformar a dízima 2,35555... em fração. x = 2,35555... Como o 3 não faz parte da dízima devemos multiplicar a equação por 10 para que o número 3 passe para o outro lado deixando nas casas decimais apenas a dízima. 10x = 23,5555... (I) 100 63 636363 0 636363 99 63 63 99 x x x x = − = = = , ... , ... 14 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 14 Agora, multiplicamos a equação (I) por 10 novamente para que possamos ter um período fazendo parte da parte inteira. 10 . 10 . x = 235,5555... 100x = 235,5555... (II) Subtraindo as equações (II) e (I), teremos: Como x = 2,35555... então 2,35555... é o mesmo que 212 . 90 3 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Acadêmico, é imprescindível que tenha domínio destas operações e que as realize sem o auxílio de calculadoras. Elas farão parte da sua jornada acadêmica e profissional, por este motivo é importante compreendê-las e não somente resolvê-las. 3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Só podemos somar ou subtrairfrações que possuam o mesmo denominador. Atente para a definição: SÓ PODEMOS SOMAR OU SUBTRAIR FRAÇÕES QUE POSSUAM O MESMO DENOMINADOR. Esta definição permite que você compreenda os artifícios utilizados adiante. ATENCAO Exemplo 1: 1 3 5 5 + 100 235 5555 10 23 5555 90 212 212 90 x x x x = − = = = , ... , ... 15 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 15 Como ambos os “todos” estão divididos em cinco partes, podemos “transportar” as quantidades, ficando com 4 das 5 partes do todo. Veja a representação geométrica. Assim, 1 3 4 5 5 5 + = Exemplo 2: 3 2 4 4 + 3 2 5 1 ou 1 inteiro e 4 4 4 4 + = Exemplo 3: 3 2 4 4 − 16 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 16 Assim, para somar ou subtrair frações que possuem o mesmo denominador, basta manter o denominador e operar o numerador. E se quisermos somar, 1 1 2 3 + , como fazer? Geometricamente, teremos: 3 2 1 4 4 4 − = Note que se “transportarmos” a quantidade 1 2 para o 1 3 , não irá caber. E, se “transportarmos” a quantidade 1 3 para o 1 2 irá sobrar espaço. Isso porque o todo está repartido em quantidades diferentes e pela definição, somente podemos somar e subtrair frações que possuem o mesmo denominador, ou seja, que estejam repartidas em quantidades iguais. Para podermos efetuar essa operação, devemos recorrer a frações equivalentes. Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo. Por exemplo: 1 2 3 4 5 6, , , , , , São frações equivalentes. 2 4 6 8 10 12 … Veja a representação gráfica: 17 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 17 Acadêmico, observe que apesar do “todo” estar repartido em quantidades diferentes, a parte pintada corresponde à metade da figura (todo) em todas as frações. Por isso dizemos que elas são frações equivalentes. Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi- las ao menor denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida somar ou subtrair as frações equivalentes às frações dadas. Veja que agora o todo está repartido em partes iguais e assim podemos realizar a adição. 1 1 3 2 5 2 3 6 6 6 + = + = 18 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 18 Veja, o denominador da fração 1 3 , que era 3 e aumentou para 15, ou seja, multiplicamos por 5. Para encontrarmos o numerador que vai manter a equivalência, precisamos realizar a mesma operação feita no denominador (multiplicar por 5), assim, 1 x 5 = 5. 1 5 Frações equivalentes 3 15 = O mesmo ocorre para a fração 4 5 , que tinha o denominador 5 e devido ao m.m.c., precisamos de uma fração equivalente com denominador 15, assim multiplicamos por 3 o denominador 5, logo precisamos fazer a mesma coisa no denominador, 4 x 3 =12. 4 12 Frações equivalentes 5 15 = É comum você ter aprendido que depois de ter encontrado o M.M.C., basta dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Claro que na prática é a mesma coisa que mostramos aqui, mas cuidado para não interiorizar que você pode realizar uma operação com o denominador e outra com o numerador. Então a dica é entender que a mesma operação (multiplicação ou divisão) que você faz para o denominador, precisa ser repetida para o numerador da fração. DICAS Como obter o mínimo múltiplo comum (M.M.C.) de dois ou mais denominadores? Vamos achar os múltiplos comuns de 3 e 5: Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, ... Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15, 30, 45, 60, ... Exemplo: 1 4 5 12 17 3 5 15 15 15 + = + = Frações equivalentes às frações dadas, com o mesmo denominador 15 é o menor denominador comum ou o mínimo múltiplo comum de 3 e 5. → 19 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 19 O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação M.M.C. IMPORTANT E Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea em fatores primos”. Esta técnica consiste em decompor, simultaneamente, cada denominador em fatores primos. O produto de todos os fatores primos que aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo comum. Número primo é um número que possui apenas 2 divisores (o número 1 e ele mesmo). São números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ... Utilizando essa técnica, observe como determinar o M.M.C. de 12, 8 e 6. Vejamos como utilizar esse conceito para determinar as frações equivalentes e conseguir resolver a adição e subtração de frações com denominadores diferentes, vamos a mais um exemplo: 3 1 5 10 2 6 − + Como os denominadores são diferentes, iniciamos determinando o M.M.C. Sabemos que o novo denominador deve ser 30 para que possamos escrever frações equivalentes e assim, obter frações de mesmo denominador para poder efetuar a adição e subtração. Entre estes múltiplos, diferentes de zero, 15 é o menor deles. Chamamos o número 15 de Mínimo Múltiplo Comum de 3 e 5. 12 8 6 6 4 3 3 2 3 3 1 3 1 1 1 2 2 2 3 , , , , , , , , , , 2x2x2x3=242 x 2 x 2 x 3 = 24 10 2 6 5 1 3 5 1 1 1 1 1 2 3 5 2 3 5 30 , , , , , , , , x x =2 x 3 x 5 = 30 20 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 20 Do 10 para chegar no 30, fizemos vezes 3. Assim, no numerador deve ser realizada a mesma operação, 3 x 3 = 9 Do 6 para chegar no 30, fizemos vezes 5. Realizando a mesma operação no numerador, temos 5 x 5 = 25 3.2 MULTIPLICAÇÃO Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. Exemplo: 1 5 1x5 5 3 4 3x4 12 2 5x2 105 3 1x3 3 ⋅ = = ⋅ = = Lembre-se que 55 1 = Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que as frações tenham denominadores iguais. ATENCAO Como exemplo, iremos realizar o procedimento de multiplicação através de um método geométrico. Consideremos então a multiplicação entre: 1 2 2 3 ⋅ , veja como proceder: 21 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 21 Inicialmente, representamos a primeira fração. Na sequência, devemos subdividir igualmente cada uma dessas partes, em quantidades iguais ao denominador da segunda fração, que neste exemplo é 3. Nesta etapa, para cada parte pintada, tomamos a quantidade de subdivisões iguais ao numerador da segunda fração, que no caso é 2. Note que o círculo original foi dividido em 2 partes e depois cada parte subdividida em três, totalizando 6 subdivisões, destas 6, tomamos duas, ou seja: 2/6. Assim, verificamos que: 1 2 2 2 3 6 ⋅ = 3.3 DIVISÃO Você já aprendeu que para dividir frações, devemos manter a primeira fração e inverter a segunda passando a divisão para multiplicação. Desta forma: 2 2 1 3 1 2 1x2 21) : 5 2 5 3 5x3 15 1 1 7 1 1 1x1 12) : 7 ou : 5 5 1 5 7 5x7 35 2 8 2 8 3 8x3 24 123) 8 : ou : 12 3 1 3 1 2 1x2 12 ÷ ÷ = ⋅ = = = ⋅ = = = ⋅ = = = = Este é o processo prático, mas você sabe por que mantemos a primeira fração e invertemos a segunda passando a divisão para multiplicação? Na verdade, quando fazemos isso estamos omitindo uma passagem. O que se pretende ao multiplicar numerador e denominador pelo inverso do denominador é obter um denominador igual a 1, para operar apenas com o numerador, facilitando o cálculo. Observe: 22 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 22 1 1 2 1 2 1 3 1 2 25 5 3 5 3: 3 3 25 2 1 5 3 15 2 2 3 ⋅ ⋅ = = = = ⋅ = ⋅ Vamos ver também a forma geométrica da divisão entre frações, para isso, tomemos como exemplo a divisão 1 1: . 2 4 Iniciamos representando geometricamente ambas as frações. Observe que a fração 1 4 cabe duas vezes na fração 1 2 , portanto, podemos dizer que: 1 1: 2 2 4 = . Pelo artifício do algoritmo, 1 1 1 4 4: 2 2 4 2 2 2 = ⋅ = = . 4 PORCENTAGEM Como tratamos na introdução deste tópico, porcentagem (ou percentagem) é uma operação matemática frequentemente utilizada em transações comerciais para calcular descontos, acréscimo de preços, quantidade, números, lucros, etc. Seu nome tem origem do latim (per centum), são indicadas pelo símbolo % e quer dizer “por cento”, ou seja, uma razão de base 100.Neste tópico, já estudamos que um número não inteiro pode ser representado na forma fracionária ou decimal. A porcentagem, é uma outra forma de representar esses números. Veja: 3 0,03 3% 100 17 0,17 17% 100 3 20 60 0,60 60% 5 20 100 = = = = ⋅ = = = 23 TÓPICO 1 | CONJUNTOS NUMÉRICOS 23 Acadêmico! Atente ao fato de que nem sempre teremos o denominador da fração é igual a 100, neste caso é necessário que utilizemos algum artifício matemático para transformar o denominador no valor 100 e para isso utilizamos o conceito de frações equivalentes (estudadas no Tópico 1 desta unidade). ATENCAO Da mesma forma, podemos fazer o movimento inverso, transformando porcentagem em frações e decimais. 1313% 0,13 100 8 28% 0,08 100 25 25 125% 0,25 100 4 = = = = = = = = 4.1 CÁLCULO DA PORCENTAGEM Apesar de parecerem elementares, quando realizamos o procedimento da leitura e interpretação de um cálculo de porcentagem devemos tomar certos cuidados. Num primeiro momento é importante atentar para: Porcentagem 100% 50% 25% 10% 5% Fração 100 100 50 1 100 2 = 25 1 100 4 = 10 1 100 10 = 5 1 100 20 = Decimal 1 0,5 0,25 0,10 0,05 Representa O todo A metade (dividir o todo por dois) A quarta parte (dividir o todo por quatro) A décima parte (dividir o todo por dez) A vigésima parte (dividir o todo por 20) Representação Gráfica Com esta relação, resolvemos mentalmente e de maneira rápida, várias situações que envolvem porcentagem. São exemplos: 24 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 24 • Uma peça de roupa que custa R$ 184,00 está em promoção com 50% desconto para pagamento à vista. Para calcular o valor da peça em promoção, basta dividir o valor total por dois, ou seja, 184/2 = 92. Logo, a peça de roupa custa R$ 92,00 na promoção. • Uma empresa de crédito está oferecendo um desconto de 15% para a quitação dos empréstimos para os contratantes que estão inadimplentes a mais de quatro meses. Júlio está nessa situação e tem como débito total a quantia de R$ 1200,00. Para calcular o valor do desconto, basta calcularmos 10% e 5% do total e depois somarmos as quantias: 10% de R$ 1200 é 120 e 5% de R$ 1200 é a metade do valor de 10%, logo 60. Desta forma, 120 + 60 = 180, ou seja, o valor do desconto é de R$ 180,00 e Júlio pagará a quantia de R$ 1020,00 (R$1200 – R$180). • Ao realizar o parcelamento do seguro do seu automóvel, Mariana irá pagar um acréscimo de 10%. O valor do seguro à vista é de R$ 1500,00. Para saber quanto Mariana irá pagar pelo parcelamento do seguro, basta calcular 10% de R$ 1500,00, isto é, R$ 150,00 (juros). Somando essa quantia ao valor do seguro para pagamento à vista, temos: R$ 1500,00 + R$ 150,00 = R$ 1650,00, valor total a ser pago pelo seguro ao efetuar o parcelamento. Marcelo realizou um empréstimo no valor de R$ 8000,00. Irá pagar em 24 vezes e, ao término, o montante total será acrescido de 60%. Para calcularmos o montante total, basta calcularmos 50% e 10% do valor inicial e somarmos: 50% de R$ 8000,00 = R$ 4000,00 e 10% de R$ 8000,00 = R$ 800,00. Portanto, o montante final será de R$ 12800,00 (R$ 8000,00 + R$ 4000,00 + R$ 800,00). Acadêmico, veja que com essas porcentagens, é possível calcular várias outras combinações de porcentagem. Treine outras possibilidades! ATENCAO 25 Neste tópico, você estudou que: • As características dos seguintes conjuntos numéricos: Conjunto dos números Naturais ( ); Conjunto dos números Inteiros ( ); Conjunto dos números Racionais ( ); Conjunto dos números Irracionais ( ); Conjunto dos números Reais ( ). • A transformar um número fracionário em um número decimal e vice-versa. Na transformação de decimal para fracionário existem três situações, fique atento! • Revisamos também as quatro operações básicas da matemática envolvendo frações. Vale lembrar: a) Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador. Para isso, basta manter o denominador e somar ou subtrair o numerador. Quando os denominadores forem diferentes, precisamos buscar frações equivalentes. b) Para multiplicar frações, basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. c) Para dividir frações, mantenha a primeira fração e inverta a segunda passando a divisão para multiplicação. • O termo Porcentagem tem origem do latim (per centum), é indicado pelo símbolo % e quer dizer “por cento”, ou seja, uma razão de base 100. RESUMO DO TÓPICO 1 26 Prezado acadêmico! Chegou a hora de você testar seus conhecimentos sobre os conteúdos básicos da Matemática. Lápis e borracha em mãos e boa atividade! 1 Complete com V (verdadeiro) ou F (falso). 2 Observe as frações e suas respectivas representações decimais. I– 3/1000 = 0,003 II– 2367/100 = 23,67 III– 129/10000 = 0,0129 IV– 267/10 = 2,67 Com base nas igualdades anteriores, escolha a alternativa correta? a) ( ) As afirmativas I e II estão corretas. b) ( ) As afirmativas I e IV estão corretas. c) ( ) As afirmativas I, II e III estão corretas. d) ( ) As afirmativas I, II, III e IV estão corretas. 3 (UNIRIO) Um engenheiro, ao fazer o levantamento do quadro de pessoal de uma fábrica, obteve os seguintes dados: - 28% dos funcionários são mulheres. - 1/6 dos homens são menores de idade. - 85% dos funcionários são maiores de idade. Qual é a porcentagem dos menores de idade que são mulheres? a) ( ) 30%. b) ( ) 28%. c) ( ) 25%. d) ( ) 23%. e) ( ) 20%. AUTOATIVIDADE a) ( ) 2,5 é um número racional. b) ( ) 2,5 é um número irracional. c) ( ) 2,5 é um número real. d) ( ) 3 é um número racional. e) ( ) 3 é um número irracional. f) ( ) 3 é um número real. 27 4 Encontre a fração geratriz de: a) 0,6161... b) 5,66... 5 Em uma loja está havendo uma promoção de conjunto de lençóis com 100% algodão. O preço era de R$ 98,00 e com o desconto passou a R$ 59,90 à vista. Responda: a) Qual dos decimais acima pode ser considerado um número natural? b) Qual foi o percentual de desconto concedido? c) Transforme os números decimais em forma de fração. 6 Realize as seguintes operações entre frações: 1 2 3a) 4 5 2 7 1 1 1b) 4 2 6 3 3 1 5c) : x 7 5 4 + + = − + + = = 28 29 TÓPICO 2 UNIDADES DE MEDIDAS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Caro acadêmico! Neste tópico teremos como objeto de estudo as unidades de medidas. Todas as grandezas físicas possuem unidades de medidas além de quantidades numéricas. Por exemplo, faz diferença dizer três quilogramas (3 kg) de feijão ou três gramas (3 g) de feijão, 2 quilômetros (km) de distância ou dois metros (2m) de distância. Por isso, trabalhar com a unidade de medida correta é muito importante em segurança do trabalho, bem como saber realizar conversões. Existem vários padrões de unidades dependendo do sistema que fazem parte e neste tópico, vamos entender como trabalhar com eles. Outro ponto importante para este tópico é o fato de que iremos trabalhar, principalmente, com as unidades do sistema internacional de medidas (SI), posteriormente com algumas unidades derivadas e a ideia de múltiplos e submúltiplos de cada tipo de unidade de medida, porém, inicialmente trabalharemos com uma base composta pelos conceitos de proporcionalidade, que de uma forma implícita estará sendo utilizada nos momentos de transformações de unidades 1.1 RAZÕES E PROPORÇÕES A proporção também se trata de um conceito muito importante. É comum escutarmos expressões do tipo: “ 1 2 é proporcional a 2 4 ” Aí vem a pergunta, por que 1 2 é proporcional a 2 4 , o que quer dizer esta afirmação? Isto quer dizer que o resultado da divisão 1 2 é igual ao resultado da divisão 2 4 , podemos ainda escrever, lembrando do conceito de razão, que a razão 1 2 é igual a razão 2 4 . Observe: UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 30 1 20,5 e 0,5 2 4 = = Portanto, como 1 2 2 4 = , podemos afirmar que as razões 1 2 e 2 4 são proporcionais, e ainda, que a igualdade1 2 2 4 = forma uma proporção. 1.1.1 Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais quaisquer, genericamente representados por: a, b, c e d, diferentes de zero, podemos dizer que eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual a razão do terceiro para o quarto, ou seja: a c ou a : b = c : d b d = (lê-se: a está para b, assim como c está para d) Nesta situação, os números a, b, c e d são denominados de termos da proporção, onde os termos b e c são chamados de meios da proporção e os termos a e d de extremos da proporção. Escrevendo a razão da seguinte forma: Fica fácil identificar os meios e os extremos. Na proporção a seguir, temos: meios da proporção: 5 e 3; extremos da proporção: 1 e 15. 1 5 3 15 = ou 1 : 5 = 3 : 15 (lê-se: 1 está para 5, assim como 3 está para 15) a : b = c : d TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 31 1.1.2 Propriedade fundamental das proporções A propriedade fundamental das proporções diz que: “Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Acompanhe os exemplos: 4 24a) 3 18 = Para a igualdade ser uma proporção, a razão 4 3 deve ser igual a razão 24 18 e de fato temos que 4 241,33 e 1,33. 3 18 = = Por outro lado, já que estamos diante de uma proporção, podemos verificar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: Produto dos meios: 3 24 72⋅ = Produto dos extremos: 4 18 72⋅ = 1 5b) 3 8 = A igualdade dada “não” se trata de uma proporção, pois a razão 1 3 é diferente da razão 5 8 , ou seja, 1 3 0 33= , e 5 8 0 625= , . Por “não” ser uma proporção podemos verificar que o produto dos meios “não” é igual ao produto dos extremos: Produto dos meios: 3 5 15⋅ = Produto dos extremos: 1 8 8⋅ = c) Determinar o valor de x que torne a igualdade � 4 3 2 = x uma proporção. Pela propriedade fundamental das proporções podemos escrever: x ∙ 2 = 4 ∙ 3 2x = 12 x = 6 UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 32 Verificação: 6 4 3 2 = 1 5 1 5, ,= Ou seja, concluímos que x realmente deve ser igual a 6. 1.1.3 Grandezas diretamente proporcionais Um exemplo de grandezas diretamente proporcionais é quando em um tanque, abrimos uma torneira. Quanto mais tempo a torneira permanecer aberta, mais água o tanque irá conter, pelo menos até que esteja cheio. As grandezas tempo de vazão da água e volume de água no tanque são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no tanque. Desta forma, duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza aumenta na mesma proporção. E, consequentemente, o mesmo ocorre, quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente o respectivo valor da outra também diminui. Acompanhe a seguir duas clássicas situações problemas, que são resolvidas utilizando-se deste conceito. Situação 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida? Resolução: Podemos iniciar, montando uma tabela que contemple as informações do problema. Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400 1,5 x Agora, é preciso identificar o tipo de relação entre as variáveis. Por dedução, ao aumentar a área de absorção, a energia solar também aumentará. TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 33 Como as relações correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas (área e energia) são diretamente proporcionais e podemos escrever a seguinte proporção: 1 2 1 5 400, , = �x Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos: 1,2 ∙ x = 1,5 ∙ 400 1,2x = 600 �= =600 1 2 500 , x Desta forma, a energia produzida será de 500 watts por hora. Situação 2: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Resolução: Montando uma tabela com os dados do problema: Camisetas Preço (R$) 3 120 5 x Observamos que aumentando o número de camisetas, por dedução, o preço também aumentará. Visto que as relações correspondem (aumentando – aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Como as grandezas são proporcionais, podemos escrever a proporção: 3 5 120 = �x Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos: 3 ∙ x = 5 ∙ 120 3x = 600 �= =600 3 200x Portanto, concluímos que Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 34 1.1.4 Grandezas inversamente proporcionais Na situação de grandezas diretamente proporcionais, vimos que quanto maior o tempo de vazão da água, maior o volume de água no tanque. Agora imagine se aumentássemos para duas, três ou quatro, o número de torneiras abertas nesse tanque. O que aconteceria? Você deve ter percebido o óbvio. Quanto mais torneiras se têm, menor é o tempo para se encher o tanque. Desta forma, duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos o valor de uma delas e proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta. Acompanhe a seguir duas clássicas situações-problemas, que são resolvidas utilizando-se deste conceito. Situação 1: Um trem, se deslocando a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Resolução: Novamente, iniciamos, montando uma tabela que contemple as informações do problema. Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x Ao tentar identificar o tipo de relação entre as variáveis, observamos que aumentando a velocidade, por dedução, o tempo do percurso diminuirá. Como as palavras são contrárias (aumentando – diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Observe, acadêmico, que a igualdade 400 480 3 = �x montada conforme a tabela, não forma uma proporção, pois as grandezas: velocidade e tempo não são proporcionais. Nestes casos, para obtermos uma proporção, devemos inverter um dos termos da igualdade. Assim teremos: 480 400 3 = �x Invertemos os termos ← TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 35 Resolvendo a equação, teremos: Assim, concluímos que o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. Situação 2: uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Resolução: Iniciamos montando uma tabela que sintetize as informações do problema. Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20 5 x Observamos que diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, por dedução, o prazo para término aumentará. Como as relações são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais, portanto a igualdade 8 5 20 = �x , escrita de acordo com a tabela, não forma uma proporção. Para obter a proporção devemos inverter um dos membros da igualdade. Observe, que você pode inverter qualquer um dos membros da igualdade: • Invertendo o primeiro membro da igualdade. 5 8 20 = �x Resolvendo a equação temos: 5 8 20 160 5 32 � � = ⋅ = =x x 480 400 3 480 1200 1200 480 2 5 ⋅ = ⋅ = = = � � � � ,x x x x UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 36 • Invertendo o segundo membro da igualdade. 8 5 20 = �x Resolvendo a equação temos: 5 8 20 160 5 32 � � = ⋅ = = x x Logo, a equipe fará o mesmo trabalho em 32 dias. 1.2 UNIDADES DO SISTEMA INTERNACIONAL (SI) Os físicos em seus estudos utilizavam diversas formas e medidas para realizarem seus experimentos. Com isto, muitas vezes algumas teorias demoravam a serem compreendidase disseminadas por problemas relacionadas a não padronização das unidades utilizadas. Para que este problema fosse sanado, foram definidas, por um comitê internacional, mais precisamente na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM), sete unidades fundamentais que compõe o SI (Sistema Internacional de Unidades) sendo que as demais unidades derivam dessas unidades fundamentais, listadas a seguir: QUADRO 1 – UNIDADES BÁSICAS DO SI Metro (m) Segundo (s) Quilograma (kg) Kelvin (K) Ampère (A) Candela (cd) Mol (mol) É a distância percorrida pela luz no vácuo num intervalo de tempo de 1/2,99792458 s. É a duração de 9192631770 oscilações da onda eletromagnética correspondente a transição entre dois estados do átomo de césio-133. É a quantidade de massa do protótipo internacional do quilograma que está armazenado num laboratório na França. É a temperatura de 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto tríplice da água. É a corrente elétrica constante entre dois condutores a um metro de distância no vácuo. É a intensidade luminosa numa dada direção proveniente de uma fonte monocromática emitindo uma frequência de 540 x 1012 Hz. É a quantidade de matéria existente em 0,012 kg de carbono 12. FONTE: Os autores Para exemplificar como isto funcionaria, podemos imaginar que definindo o metro (m) como unidade padrão para comprimento e o segundo (s) como o padrão para o tempo, tomando a velocidade média, que é definida pela razão entre a distância percorrida por um móvel, e seu respectivo intervalo de tempo, como sendo m/s, ou seja, metro por segundo. Notamos que utilizamos duas unidades de medida do SI, para “criar” a medida para a velocidade média. Dizemos que a unidade de medida da velocidade deriva do metro e do segundo. TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 37 Na sequência, iremos conhecer as formas de medir algumas grandezas físicas bastante usuais para o profissional da segurança do trabalho. Estas unidades incluem casos padrão do SI e derivadas, bem como seus múltiplos e submúltiplos. Como já verificamos anteriormente, para medir comprimentos, utilizamos como o padrão o metro (m). Outras formas de medir, encontram-se a seguir: 1.3 MEDIDAS DE COMPRIMENTO km hm dam m Dm cm mm Múltiplos do metro: • dam: Decâmetro → equivale a 10 vezes mais do que a grandeza padrão “m” • hm: Hectômetro → Equivale a 100 vezes mais do que a grandeza padrão “m” • km: Quilômetro → Equivale a 1 000 vezes mais do que a grandeza padrão “m” Submúltiplos do Metro: • dm: Decímetro → Equivale a 10 vezes menos do que a grandeza padrão “m” • cm: Centímetro → Equivale a 100 vezes menos do que a grandeza padrão “m” • mm: Milímetro → Equivale a 1000 vezes menos do que a grandeza padrão “m” Exemplo: Transformar as medidas a seguir, conforme solicitado: 1) 12,5m para hectômetros. Resolução: Conforme vimos, o hectômetro é um múltiplo do metro, sendo o seu fator de transformação igual a 100, lembrando que como um hectômetro é maior que um metro, devemos realizar a operação de divisão. Logo: 12,5m ÷ 100 = 0,125hm UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 38 2) Transformar 4,48 cm em decâmetros. Resolução: Um decâmetro é 10 vezes maior que o metro, que por sua vez é 100 vezes maior que o centímetro. Assim sendo, o fator a ser utilizado é 10 x 100 = 1000. Lembrando que um decâmetro é maior que um centímetro, novamente vamos utilizar a operação de divisão. Logo: 4,48cm ÷ 1000 = 0,00448dam 3) Transformar 3,8 m em milímetros. Resolução: Um milímetro é 1000 vezes menor do que um metro. Utilizaremos o fator 1000. Como um milímetro é menor que um metro, iremos realizar a multiplicação: 3,8m x 1000 = 3800mm 4) Transformar 14,4km em decímetros. Resolução: Temos que um quilômetro é 1000 vezes maior que um metro, que é por sua vez 10 vezes maior que um decímetro. Assim o fator a ser utilizado é 1000 x 10 = 10000. Como um decâmetro é menor que 1 quilômetro, iremos multiplicar: 14,4km x 10000 = 144000 Pé, jarda e polegada não pertencem ao SI. São utilizados pelo sistema inglês de unidades. • 1 Polegada (in) = 2,54 cm • 1 Pé (ft) = 30,48 cm • 1 Jarda (yd) = 91,44 cm UNI TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 39 1.4 MEDIDAS DE CAPACIDADE E VOLUME Apesar de serem dois conceitos bastante similares, antes de começar, devemos distinguir os conceitos de capacidade e volume. Iremos realizar esta diferenciação, lembrando que qualquer sólido geométrico (que é um objeto tridimensional) ocupa um lugar no espaço, e desta forma possui volume, que se relaciona a “quantidade” de espaço que ele preenche. Agora, quando falamos em capacidade, estamos nos referindo àquilo que o objeto mencionado acima consegue “transportar”. Tomamos como exemplo, uma garrafa, que ocupa um volume. A quantidade de líquido que ela consegue transportar é sua capacidade, sendo assim desprezada a espessura do vidro que a compõe. Outro caso que diferencia estes dois conceitos é o fato de que volume tem como padrão a unidade m³ (metro cúbico) e capacidade utiliza o l (litro). Vejamos: 1.4.1 Medida de volume Como já citado, temos utilizamos o padrão m³. Veja seus múltiplos e submúltiplos na tabela a seguir: km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 Para aprender a realizarmos as conversões, devemos inicialmente notar que o volume nos traz a ideia de apresentar a medida do metro (padrão SI) em três dimensões: Neste caso temos que o volume é 1 m x 1 m x 1 m = 1 m³. E, lembrando que, por exemplo 1 m = 10 dm, temos o mesmo volume sendo calculado por: 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1000 dm³ UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 40 O que nos faz concluir que 1 m³ = 1000 dm³, ou seja, o fator de multiplicidade é 10³ = 1000. Exemplo: Realize as seguintes transformações: 1) 2,3 dm³ para dam³ Resolução: Sabemos que dm³ possui uma ordem a menos do que m³, e também que dam³ possui uma ordem a mais que o m³. Isto quer dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser utilizado é 10³ x 10³ = 106, ou ainda 1000 x 1000 = 1.000.000. Como 1 dam³ é maior que 1 dm³, devemos dividir pelo fator. Logo: 2,3dm³ ÷ 1000000 = 0,0000023dam³ = 2,3 x 10⁻⁶ dam³ 2) 15,5 m³ para cm³ Resolução: Sabemos que m³ possui duas ordens a mais do que cm³. Isto quer dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser utilizado é 10³ x 10³ = 106, ou ainda 1000 x 1000 = 1.000.000. Como 1 cm³ é menor que 1 m³, devemos multiplicar pelo fator. Logo: 15,5m³ x 1000000 = 15500000cm³ = 15,5 x 10⁶ cm³ Para medir capacidade, usualmente iremos recorrer ao litro ( l ). Isto se deve ao fato de que a capacidade estar relacionada normalmente a líquidos e similares (fluídos em geral). Trataremos aqui a relação entre a medida de capacidade e volume, com suas principais aparições. Como já mostramos como operar as transformações das medidas de volume, iremos apenas apresentar as relações: • 1 litro = 1 dm³ • 1000 litros = 1 m³ • 0,001 litros = 1 mililitro = 1 cm³ 1.4.2. Medidas de capacidade TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 41 Exemplo: 1) Transformar 2,64 dm³ para litros. Resolução: Já sabemos que 1 litro = 1 dm³, logo a proporção é de 1 para 1. Logo: 2,64dm³ = 2,64 l 2) Transformar 10,4 m³ para litros. Resolução: Para realizar esta transformação, basta notar que o fator a ser considerado é 1000. Logo: 10,4m³ x 1000 = 10400 l 1.5 MEDIDAS DE MASSA Neste tópico admitiremos a unidade padrão para trabalharmos com massa como sendo a grama (g). Um ponto aqui muito importante é o fato que utilizamos o termo “peso” como sinônimo de “massa”. Sabemos que fisicamente isto está errado, porém em termos de simplificação aceitaremos esta forma de expressar massa. kg hg dag g dg cg mg • dag : Decagrama → equivale a 10 vezes mais do que a grandeza padrão” g” • hg: Hectograma → Equivale a 100 vezes mais do que a grandeza padrão “g” • kg: Quilograma → Equivale a 1 000 vezes mais do que a grandeza padrão “g” Submúltiplos do grama: • dg: Decigrama → Equivalea 10 vezes menos do que a grandeza padrão “g” • cg: Centigrama → Equivale a 100 vezes menos do que a grandeza padrão “g” • mg: Miligrama → Equivale a 1000 vezes menos do que a grandeza padrão “g” 1) 2,6 g para hectogramas. Resolução: Conforme vimos, o hectograma é um múltiplo do metro, sendo o seu fator de transformação igual a 100, lembrando que como 1 hg é maior que 1 g, devemos realizar a operação de divisão. Logo: 2,6g ÷ 100 = 0,026hg UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 42 2) Transformar 1,4kg em decigramas. Resolução: Temos que um quilograma é 1000 vezes maior que um grama, que é por sua vez 10 vezes maior que um decigrama. Assim o fator a ser utilizado é 1000 x 10 = 10000. Como 1 dg é menor que 1 kg, iremos multiplicar: 1,4kg x 10000 = 14000dg • É muito comum a utilização dos termos peso bruto e peso líquido em segurança do trabalho. Peso bruto é o peso do produto com a embalagem e Peso líquido é o peso somente do produto. • Uma forma bastante utilizada para o cálculo de massa (peso) é a tonelada, onde temos que: 1 ton = 1000 kg UNI 1.6 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE OU ÁREA Será representado simbolicamente por m². Considera-se uma unidade derivada do metro. Isto se deve ao fato de analisarmos uma grandeza em duas dimensões. Veja a representação a seguir: A área do quadrado é calculada por lado x lado, logo: A = 1m x 1m = 1m² TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 43 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Neste caso, já vimos que a área é 1 m x 1 m = 1 m². E, lembrando que, por exemplo 1 m = 10 dm, temos a mesma área sendo calculada por: 10 dm x 10 dm = 100 dm² O que nos faz concluir que 1 m² = 100 dm², ou seja, o fator de multiplicidade é 10² = 100. Exemplo: Realize as seguintes transformações: 1) 0,3 dm² para dam² Resolução: Sabemos que dm² possui uma ordem a menos do que m², e também que dam² possui uma ordem a mais que o m². Isto quer dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim, o fator a ser utilizado é 10² x 10² = 10², ou ainda 100 x 100 = 10.000. Como 1 dam² é maior que 1 ÷ dm², devemos dividir pelo fator. Logo: 2 2 40,3 dm 10000 0,0003 dam 0,3 10 dam²−÷ = = × 2) 6,5 m² para cm² Resolução: Sabemos que m² possui duas ordens a mais do que cm². Isto quer dizer que eles se encontram distanciados duas ordens entre si. Assim o fator a ser utilizado é 10² x 10² = 10², ou ainda 100 x 100 = 10.000. Como 1 cm² é menor que 1 m², devemos multiplicar pelo fator. Logo: 426,5 m 10000 65000 cm² 6,5 10 cm²× = = × Os múltiplos e submúltiplos serão apresentados na tabela a seguir: UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 44 Existem outras unidades de medida para cálculo de áreas. São elas, as medidas agrárias, pouco utilizadas na segurança do trabalho, porém importantes para serem conhecidas: • 1 Are (a): Corresponde a 100m². • 1 Hectare (ha): Corresponde à 10.000 m². Também há a medida intitulada alqueire, porém, ela depende da região onde está sendo empregada. Por exemplo o alqueire paulista é 2,42 ha, já o baiano 4,84 ha. UNI 1.7 OUTRAS UNIDADES DE MEDIDA IMPORTANTES Neste tópico, serão apresentadas de maneira resumida, algumas unidades muito importantes relacionadas ao universo de estudo da segurança do trabalho. Trata-se, por exemplo, de unidades que lidam com força, pressão, tempo, potência, viscosidade, temperatura, condutividade térmica, densidade e vazão. Como o processo de compreensão (e dedução) dos métodos de transformação entre a unidade derivada do SI e seus representantes é bastante complexo, iremos determinar as unidades e seu modo de transformação, através dos quadros resumo que pode ser visto a seguir: QUADRO 2 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE FORÇA FORÇA Unidade SI Multiplicar por Dina N 10-5 Kgf N 9,8 libra força (lbf) N 4,45 Poundals N 0,13825 FONTE: Os autores TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 45 QUADRO 3 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE PRESSÃO PRESSÃO Unidade SI Multiplicar por atmosfera (atm) Pa 1,01325.105 Bar Pa 105 Barie Pa 0,1 mm Hg Pa 133,322 mca (metro de coluna de água) Pa 9,80665 Milibar Pa 102 FONTE: Os autores QUADRO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE TEMPO TEMPO Unidade SI Multiplicar por Hora s 1/3.600 Minuto s 1/60 Dia s 1/86.400 Mês s 1/2.592.000 Ano s 1/31.104.000 FONTE: Os autores QUADRO 5 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE POTÊNCIA POTÊNCIA Unidade SI Multiplicar por QuiloWatt W 1000 MegaWatt W 1.000.000 Hp W 745,7 Cv W 735,5 FONTE: Os autores UNIDADE 1 | CONCEITOS BÁSICOS 46 QUADRO 6 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE VISCOSIDADE VISCOSIDADE Unidade SI Multiplicar por Centipoise (cp) kg/(m.s) 10-3 Poise (P) kg/(m.s) 0,1 lbm/(ft.h) kg/(m.s) 2,1491 Lbm/(ft.s) kg/(m.s) 6,7197.10-4 Kg/(h.m) kg/(m.s) 0,0036 FONTE: Os autores QUADRO 7 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE TEMPERATURA TEMPERATURA Unidade SI Método °C K Somar 273 °F K Multiplicar por 1,8 e subtrair 459,4 FONTE: Os autores QUADRO 8 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE CONDUTIVIDADE TÉRMICA CONDUTIVIDADE TÉRMICA Unidade SI Multiplicar por Cal/(cm2.s.ºC/cm) W/(m².K/m) 418 BTU/(ft2.h.ºF/ft) W/(m².K/m) 1,73073 Kcal/(m2.h.ºC/m) W/(m².K/m) 1,5048.105 FONTE: Os autores QUADRO 9 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE DENSIDADE DENSIDADE Unidade SI Multiplicar por g/l .kg/m³ 1 kg/l .kg/m³ 1000 g/cm³ .kg/m³ 1000 lbm/ft³ .kg/m³ 16,018 lbm/in³ .kg/m³ 2,768.104 FONTE: Os autores TÓPICO 2 | UNIDADES DE MEDIDAS 47 QUADRO 10 – TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES DE VAZÃO VAZÃO Unidade SI Multiplicar por L/h m³/s 2,778.10-7 ft³/h m³/s 2,16.10-6 gal/min (gpm) m³/s 6,308.10-5 FONTE: Os autores 48 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você viu que: • Em uma proporção a c ou a : b c : d b d = = (lê-se: a está para b, assim como c está para d). • Dizemos que uma grandeza é diretamente proporcional, quando ao analisarmos uma delas como sendo comparando com a outra, quando a primeira cresce (ou descresce) em uma certa quantidade a outra segue a mesma tendência (cresce ou descresce na mesma quantidade). Esta quantidade é chamada de fator de proporção. • Grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, ao aumentarmos o valor de uma delas um certo número de vezes, o respectivo valor da outra grandeza diminui na mesma proporção, ou então, quando diminuímos o valor de uma delas, proporcionalmente, o respectivo valor da outra aumenta. • As principais unidades do sistema internacional de medidas (SI). • Os métodos de transformação das unidades de medida de: - Comprimento, - Capacidade e volume, - Massa, - Área. • Transformações de unidades de medida de: - Força, - Pressão, - Tempo, - Potência, - Viscosidade, - Temperatura, - Condutividade térmica, - Densidade, - Vazão. 49 1 Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3 horas para percorrer uma certa distância. Quanto tempo demorará para percorrer a mesma distância outro automóvel cuja velocidade é de 120 km/ a) ( ) 2 horas. b) ( ) 3 horas. c) ( ) 4 horas. d) ( ) 5 horas. e) ( ) 6 horas. 2 Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1 m de largura? a) ( ) 15 peças. b) ( ) 16 peças. c) ( ) 17 peças. d) ( ) 18 peças. e) ( ) 19 peças. 3 Realize as transformações de medidas indicadas a seguir: a) 3 metros = _______ centímetros. b) 23 centímetros = _______ metros. c) 7 quilômetros = _______ centímetros. d) 4 milímetros = _______ centímetros. e) 14,5 metros = _______ quilômetros. f) 123 metros = _______ milímetros. g) 3 kg = _______ gramas. 4 Acerca das transformações de unidades de medida de área, realize as seguintes transformações de unidades de medida. a) 8,37 dm² em mm² b) 3,1416 m² em cm² c) 2,14 m² em mm² 5 Responda às seguintes perguntas, realizando as transformações de unidades indicadas. a) Quantos metros há em 1 km? b) Quantos mililitros há em 1 litro? c) Quantos gramas há em 1 kg? d) Quantos miligramas há em 1 grama? AUTOATIVIDADE 50 6 Uma competição de corrida de rua teve início às 8h
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