Pre Calculo Potenciação

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Pré - Cálculo 
potenciação 
CONCEITOS E PROCEDIMENTOS 
 
-Compreensão da potência com expoente inteiro positivo como 
produto reiterado de fatores iguais, identificando e fazendo uso das 
propriedades da potenciação em situações-problema. 
 
- Atribuição de significado à potência de expoente nulo e negativo pela 
observação de regularidades e pela extensão das propriedades das 
potências com expoente positivo 
MATEMÁTICA, 6º Ano 
Operações com números naturais: potenciação 
MATEMÁTICA, 6º Ano 
Operações com números naturais: potenciação 
LEIA O TEXTO COM MUITA ATENÇÃO E TENTE SOLUCIONAR OS PROBLEMAS 
PROPOSTOS 
 O professor de Matemática convidou seus alunos a 
participarem de um jogo composto por 3 fases, e cada uma possui 
um problema a ser solucionado: 
1ª FASE: 
 
 Dois amigos, Petrúcio e Pedro, estão doentes e 
foram ao médico, que prescreveu a seguinte medicação: 
Petrúcio precisa tomar dois comprimidos durante seis 
dias, e Pedro, três comprimidos durante três dias. 
Quantos comprimidos cada um deve tomar? 
Problema inspirado em um problema dos PCN, Ensino Fundamental, Matemática, Página 109. 
SOLUÇÃO 
 PETRÚCIO: 
2 COMPRIMIDOS DURANTE 6 DIAS 
 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 
 ou 
 6 X 2 = 12 
 ou 
 6 . 2 = 12 
PEDRO: 
3 COMPRIMIDOS DURANTE 3 DIAS 
 
 3 + 3 + 3 = 9 
 ou 
 3 X 3 = 9 ou 3 . 3 =9 
 
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Operações com números naturais: potenciação 
RESPOSTA: Petrúcio deve tomar 12 comprimidos, e Pedro, 9. 
2ªFASE: 
 Para se preparar para os jogos escolares, Robério 
precisa melhorar seu condicionamento físico, por isso pediu 
ajuda a Issac, seu professor de Educação Física. Este lhe 
recomendou um programa de condicionamento físico que é 
iniciado com uma caminhada, durante 5 semanas, na pista do 
campo de futebol próximo à casa de Robério, de modo que o 
número de voltas deve dobrar a cada semana. 
Quantas voltas Robério dará na 5ª semana? 
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PERÍODO NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA 
1ª semana 2 
2ª semana 2.2 = 4 
3ª semana 2.2.2 = 8 
4ª semana 2.2.2.2 = 16 
5ª semana ? 
SOLUÇÃO 
Continuando o raciocínio da tabelas, temos: 
 
5ª semana = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 
 
Portanto, na 5ª semana, Robério dará 32 voltas. 
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PERÍODO NÚMERO DE VOLTAS NA PISTA 
1ª semana 2 
2ª semana 2.2 = 4 
3ª semana 2.2.2 = 8 
4ª semana 2.2.2.2 = 16 
3ª FASE: 
 
 Kleison é um estudante muito aplicado e sempre faz suas tarefas 
de casa. Ele gosta bastante das tarefas relacionadas às operações 
matemáticas. Seu professor de Matemática, sabendo disso, chamou-o 
para resolver, no quadro da sala de aula, as seguintes operações: 
 
10.10.10.10 = 
2.3.4.5 = 
 
Quais foram os resultados encontrados por Kleison? 
 
(A) 40 e 14 respectivamente 
(B) 100 e 29 respectivamente 
(C) 10000 e 120 respectivamente 
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SOLUÇÃO 
Para resolver esse problema, Kleison realizou as multiplicações da seguinte forma: 
 10 . 10 . 10 . 10 = 
 
 = 100 . 10 . 10 = 
 
 = 1000 . 10 = 
 
 10000 
2 . 3 . 4 . 5 = 
 
= 6 . 4 . 5 = 
 
= 24 . 5 = 
 
= 120 
Resposta: 10000 e 120. Letra c. 
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Operações com números naturais: potenciação 
Ao término do desafio, o professor apresentou aos estudantes um quadro com as 
multiplicações que apareceram durante a solução de cada uma das 3 fases. 
1ªFASE: 6 . 2 e 3 . 3 
 
2ªFASE: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 
 
3ªFASE: 10. 10. 10 .10 
 e 
 2 . 3 . 4 . 5 
 
Em seguida, fez o seguinte 
questionamento: 
- Poderíamos separar essas 
operações em dois grupos? O que 
seria levado em consideração nessa 
separação? 
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 Parabéns! Observa-se que o 1º grupo é formado por multiplicações com fatores 
diferentes, e o 2º grupo é formado por MULTIPLICAÇÕES DE FATORES IGUAIS. 
1º GRUPO 
 6 . 2 
 2 . 3 . 4 . 5 
 
2º GRUPO 
 3 . 3 
 2 . 2 . 2 . 2 . 2 
10.10.10.10 
Após o 
debate, 
tem-se: 
 Em seguida, o 
professor lançou 
mais um desafio: 
 - Vamos criar uma 
maneira mais 
sucinta, ou seja, 
simples , de 
representar as 
multiplicações 
apresentadas no 2º 
grupo? 
- Para iniciar, disse o 
professor com intenção 
de ajudar os alunos 
nesse desafio, vou fazer 
algumas observações. 
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- No segundo grupo, está acontecendo uma coisa muito 
especial, diz o professor. Em cada multiplicação, TODOS 
OS FATORES SÃO IGUAIS. 
Cada multiplicação está baseada em um 
único número, ou seja, tem como BASE 
apenas um número. 
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Exemplo: 3 . 3 ( tem como BASE o número 3) 
 
 2 . 2 . 2 . 2 ( tem como BASE o número 2) 
 
 10.10.10.10.10 ( tem como BASE o número 10) 
 
 
Exemplo: 
 3 . 3 Expõe dois fatores 
 
 2 . 2 . 2 . 2 . 2 Expõe cinco fatores 
 
 10.10.10.10 Expõe quatro fatores 
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Cada multiplicação nos EXPÕE uma certa 
quantidade de fatores. 
Em seguida, o professor analisou: 
Se tem como BASE o número 3, 
 3 . 3 
 
 nos EXPÕE dois fatores. 
 Se tem como BASE o número 2, 
 
2 . 2 . 2 . 2 . 2 
 
 nos EXPÕE cinco fatores. 
Se tem como BASE o número 10, 
 
10.10.10.10 
 
nos EXPÕE quatro fatores. 
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- Então, diz o professor, podemos representar essas 
multiplicações assim: 
 3 . 3 = 3² 
 3 é o número BASE dessa 
multiplicação, e o 2, a 
quantidade de fatores que ela 
nos EXPÕE. 
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 
O número 2 é a BASE dessa multiplicação, e o 
número 5 é a quantidade de fatores EXPOSTO 
por essa operação 
 
 10.10.10.10= 10 
 10 é a BASE e 4, o EXPOENTE. 
5 
4 
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 Seguindo, o professor questiona: - Quem pode dar 
outros exemplos aqui no quadro? Qual a quantidade mínima 
de fatores? E a máxima? 
Nota: 
Preparando para 
generalizar a 
ideia . 
7.7.7 = 7³ 
5.5.5.5 = 5 
12.12.12.12.12 = 12 
5 
MAIS EXEMPLOS: 
0.0 = 0² 
1.1.1.1.1.1 = 1 
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Operações com números naturais: potenciação 
4 
6 
O professor conclui: 
 - Essa multiplicação de fatores iguais é uma operação 
matemática que recebe o nome de POTENCIAÇÃO. O símbolo que 
representa essa multiplicação é denominado POTÊNCIA. 
 EXPOENTE 
5² 
 BASE 
EXEMPLO: 
5 . 5 = 5² = 25 
POTENCIAÇÃO 
RESULTADO ou 
POTÊNCIA DE 5 
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POTÊNCIA 
LEITURA DAS POTÊNCIAS 
3 Lê-se: Três elevado à segunda potência. 
 
2 Lê-se: Dois elevado à quinta potência. 
 
10 Lê-se: Dez elevado à quarta potência. 
 
7 Lê-se: Sete elevado à décima potência. 
5 
4 
Agora é sua vez, leia as potências: 
 5² 10 20³ 18 
 0 8 4 34 
10 
12 
13 
 6 
20 
7 
- Agora 
surgiu uma 
dúvida, diz 
o professor, 
como essas 
potências 
são lidas? 
18 
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Operações com números naturais: potenciação 
2 
8 
 Vamos agora escrever uma potência de um modo 
mais amplo, generalizado, isto é, vamos defini-la. 
Considerando p e n números naturais, sendo n 
maior que 1, temos: 
p é o produto den fatores iguais a p. n 
p = p . p . p . p . ... . p 
n vezes 
Lê-se: p elevado a n 
n 
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Operações com números naturais: potenciação 
 O estudante Antônio Luiz, pedindo licença, 
indagou: - Professor, o que acontece se o 
expoente for 0 ou 1? 
O professor respondeu: - Antônio Luiz, para 
saber o que acontece quando o expoente é 0 
ou 1, observe ATENTAMENTE a tabela a seguir 
e tente completar as células vazias com o 
auxílio de seus colegas. 
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POTÊNCIA RESULTADO 
2 16 
2 8 
2 4 
2 ? 
2 ? 
4 
3 
2 
1 
0 
POTÊNCIA RESULTADO 
3 81 
3 27 
3 9 
3 ? 
3 ? 
De acordo com o que observamos nas tabelas, 
podemos concluir que: 
4 
3 
2 
1 
0 
16 dividido por 2 = 8 
8 dividido por 2 = 4 
2 
1 
Dividido por 3 
Dividido por 3 
3 
1 
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Operações com números naturais: potenciação 
Toda potência com base diferente de zero e 
expoente zero é igual a 1. 
Exemplos: 2°=1 3°=1 4°=1 8°=1 
Toda potência de expoente 1 é igual à própria 
base. 
Exemplos: 2¹=2 5¹=5 14¹=14 0¹=0 
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De um modo geral, para todo número natural p diferente 
de zero (p ǂ 0) e n menor que 2 (n < 2), temos: 
p¹ = p p° = 1 
OBSERVAÇÃO: 
0° = INDETERMINAÇÃO 
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Operações com números naturais: potenciação 
O professor segue apresentando POTÊNCIAS 
ESPECIAIS. 
Há potências que podem ser representadas por uma figura. 
Exemplos: 
Por estar associada a essas 
figuras ao lado, as potências 
de expoente 2 e de expoente 3 
são lidas de uma forma 
diferente, especial: 
3² Lê-se: Três elevado ao 
quadrado ou quadrado de 
3. 
 
5³ Lê-se: Cinco elevado ao 
cubo ou cubo de 5. 
 Exemplo de aplicabilidade de potência na Informática. 
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Operações com números naturais: potenciação 
Nota: Utilizar 
calculadora 
simples ou 
de celular, 
para verificar 
alguns desses 
números (os 
de expoente 
menores ou 
iguais a 7). 
As potências são muito utilizadas para representar 
números grandes: 
1.000.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10.10 = 10 
 100.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10.10 = 10 
 10.000.000 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10 
 1.000.000 = 10.10.10.10.10.10 = 10 
 100.000 = 10.10.10.10.10 = 10 
 10.000 = 10.10.10.10 = 10 
9 
8 
7 
6 
5 
Observe que o número de zeros determina o valor do expoente: 
1.000.000.000.000 = 10 
12 
12 zeros Lê-se: Um trilhão 
4 
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 O computador é bastante utilizado para 
armazenamento e processamento de informações de 
maneira precisa e rápida e tem como unidade de medida 
de informação o byte (lê-se: baite). 
 Kb = 1.000 bytes 
Mb = 1.000.000 bytes 
 Gb = 1.000.000.000 bytes 
 VEJA ALGUNS MÚLIPLOS DO 
BYTE: 
Processador de 2 GHz, memória de 128Mb, 
HD de 120 Gb, monitor de 18”, placa de vídeo 
de 8Mb. 
Observe uma configuração básica de um computador: 
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Passando para forma de potência, temos: 
Agora, vamos ler: 
MEDIDA LÊ-SE 
2 GHz Dois gigahertz ou dois bilhões de hertz. 
120 GB Cento e vinte gigabytes ou cento e vinte bilhões de bytes. 
128 MB Cento e vinte e oito megabytes ou cento e vinte e oito 
milhões de bytes. 
8 MB Oito megabytes ou oito milhões de bytes. 
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Para agilizar cálculos com potências, utilizamos 
algumas propriedades da potenciação. 
PRODUTO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE: 
2³ . 2 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 4 7 
Outro modo: 
2³ . 2 = 2 = 2 4 3+4 7 
3 fatores 4 fatores 
Observe que, para multiplicar potências de bases iguais, 
conservamos a base e somamos os expoentes. 
Outro exemplo: 5² . 5³ . 5 = 5 = 5 (2+3+1) 
6 
Atenção! 
5 = 5 
4 = 4 
1 
1 
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Operações com números naturais: potenciação 
DIVISÃO DE POTÊNCIAS DE MESMA BASE 
Observe que, para dividir potências de bases iguais, 
não-nulas, conservamos a base e subtraímos os 
expoentes. 
Outro exemplo: 5³ : 5 = 5 = 5² 
2 : 2 = (2 . 2 . 2 . 2 . 2) : (2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2 . 2 . 2 = 2 
 2 . 2 
 
5 2 
5 fatores 2 fatores 
3 
(3-1) 
Outro modo: 
2 : 2² = 2 = 2³ 5 (5-2) 
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POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA 
OUTRO MODO: 
(3³)² = 3 = 3 
3 . 2 6 
Para elevar uma potência a um expoente, conservamos 
a base e multiplicamos os expoentes. 
Outro exemplo: [(5³)²] = 5 = 5 3 . 2. 5 5 30 
3 + 3 
3 
6 
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Operações com números naturais: potenciação 
POTÊNCIA DE UMA PRODUTO: 
(2 . 5)³ = (2 . 5) . (2 . 5) . (2 . 5) = 
= (2 . 2 . 2) . (5 . 5 . 5) = 2³ 
Para elevar um produto a um expoente, 
basta elevarmos cada um dos fatores do 
produto a esse expoente. 
3 fatores 3 fatores 
 . 5³ 
Aplicando a 
propriedade 
comutativa da 
multiplicação, 
temos: