Edited - PISTA BRANCA 2021 MATEMÁTICA 1º ANO

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ESCOLA EEEM GERALDO FERNANDES DE OLIVEIRA – PISTA BRANCA
MODULO I DISCIPLINA: 
MATEMÁTICA
PROFESSORA: JONICE OLIVEIRA DA 
SILVA
SÉRIE:9º e 1º ANO
INICIO: 03/02/2021 TERMINO: 
26/02/2021
CONTATO: (63) 992623033 (whatsapp) 15dias 112,5 horas
INSTRUÇÕES: Leia atentamente a descrição dos conteúdos abaixo. A cada demonstração 
do conteúdo terá uma atividade para resolução. Essa atividade será utilizada para 
avaliação de suas respostas e conclusões que serão encaminhadas via sala virtual ou 
whatsapp.
As quatro operações e Expressões numéricas
Introdução
A matemática é o estudo dos números e de como eles se relacionam uns com os outros e com o mundo 
real. A matemática é tão importante quanto a linguagem — na verdade, ela também pode ser 
considerada uma espécie de linguagem. Todos usam a matemática no dia a dia: para dizer as horas, 
para jogar, para cozinhar, para construir coisas e para fazer quase todo tipo de trabalho.
Arquitetos trabalham na elaboração da planta de uma construção. O uso da matemática para erguer edifícios é um exemplo de 
matemática aplicada.© Rawpixel.com/Shutterstock.com
a) Ramos de matemática 
 Os principais ramos da matemática são
 Aritmética
 Álgebra 
 Geometria.
Os demais ramos surgiram da interação entre essas três grandes áreas.
 
Fonte: https://matematicazup.com.br/ramos-da-matematica/
Para quem está conhecendo esse assunto agora, uma boa forma de entender isso é por associação. 
Uma associação bem grosseira, mas acredito que facilite o entendimento.
Pense assim:
 Aritmética -> Números -> ( concreto)
 Álgebra -> Letras -> ( abstrato)
 Geometria -> Figuras -> ( concreto e abstrato)
Aritmética
https://matematicazup.com.br/ramos-da-matematica/
É o ramo da matemática que estuda os números e suas operações. É o ramos mais elementar da 
matemática, sendo a base para os demais ramos. Afinal de contas, um dos conceitos mais primitivos é 
a noção de quantidade. Assimilado até mesmo por um macaco. Se você colocar na frente de um 
macaco uma banana de um lado e um cacho de banana do outro qual será o lado que ele irá?
 Números
É um símbolo usado para definir quantidade, ordem ou medida. Foi um dos primeiros conceitos 
assimilados pela humanidade para sistematizar a matemática.
O números são organizados em conjuntos. Que foram sendo descobertos conforme aumentava a 
necessidade e o conhecimento matemático humano. São eles:
 Números naturais (ℕ)
 Números inteiros (ℤ)
 Números racionais (ℚ)
 Números irracionais
 Números reias (ℝ)
 Números complexos (ℂ)
 Operações
As operações matemáticas são procedimentos realizados entre os números para a concretização de uma 
ideia e que segue sempre uma mesma lógica ( regra). Algumas operações possuem um conjunto de 
propriedades notáveis.
 As operações fundamentais são:
 Adição
 Subtração
 Multiplicação
 Divisão
 Outras operações:
 Potenciação
 Radiciação
 Logaritmação
Matemática financeira
A matemática financeira utiliza diversos conceitos matemáticos aplicados para estudar as várias formas 
de evolução do dinheiro no tempo. É um ótimo exemplo de matemática aplicada. Algumas situações 
estão presentes no dia-a-dia das pessoas, como por exemplo, o financiamentos de casa e carros, 
realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito, aplicações financeiras, 
investimentos em bolsas de valores, entre outras situações.
Geometria
É o ramo da matemática que estuda a forma, tamanho e posição das figuras no espaço. Foi 
desenvolvida a partir da interação da humanidade com a terra. Daí o nome: geo (terra) + metria (medida).
É dividida em:
 Geometria plana
 Geometria espacial
 Geometria analítica
 Geometria dos fractais
 
Álgebra
É o ramo da matemática que estuda a ideia de variável de um número em um conjunto de regras 
definidos por expressões algébricas. Essas variáveis ( representadas por letras) são manipuladas usando 
as regras de operação aplicáveis aos números, como adição, multiplicação e outras.
 Funções
É a relação entre dois conjuntos estabelecida por regras definidas.
 Equações algébricas
São igualdades entre conjuntos de regras e operações do qual estão envolvida variáveis.
Estatística e probabilidade
 Estatística
Trataremos como um ramo da matemática por estarmos focado na educação básica. Entretanto, 
estatística é uma ciência que estuda a frequência de ocorrência de eventos usando teorias 
probabilísticas.
 Probabilidade
Utiliza um conjunto de regras matemáticas para entender o comportamento de eventos incertos ou 
conhecidos. Como por exemplo, calcular a probabilidade de cair o número 3 ao ser lançado um dado.
 Análise combinatória
É o ramo da matemática que estuda a combinação e relação em um conjunto de objetos utilizando 
o princípio fundamental da contagem.
A matemática também pode ser dividida em duas áreas gerais: pura e aplicada. A matemática pura é o 
estudo subjetivo da matemática em si. A matemática aplicada é o estudo com o propósito de resolver 
problemas da vida real, como construir prédios, fabricar computadores, prever terremotos e explicar como 
a economia funciona.
A maior parte do conteúdo de matemática será visto em outro módulo, e alguns (como cálculo) não 
chegam a ser abordados no ensino médio.
b) História 
A matemática vem sendo usada desde a Antiguidade. Os egípcios não teriam conseguido construir as 
pirâmides sem um conhecimento muito profundo da matemática, especialmente da aritmética e da 
geometria. Os babilônios da antiga Mesopotâmia (atual Iraque) inventaram um sistema de números 
complexos e já usavam frações.
Os gregos antigos expandiram consideravelmente a matemática, desenvolvendo muitas novas ideias. 
Aproximadamente em 300 a.C., o matemático grego Euclides escreveu um importante livro de geometria 
chamado Elementos. Posteriormente, os árabes também contribuíram muito com a matemática. No 
século IX da nossa era, um matemático árabe chamado Al-Khwarizmi descreveu um sistema de solução 
de problemas que hoje é conhecido como álgebra.
As ideias sobre a matemática dos antigos gregos e árabes se difundiram rapidamente pela Europa 
ocidental. A matemática evoluiu à medida que os cientistas europeus a usavam para pesquisar outras 
atividades. Durante o século XVII, o astrônomo Johannes Kepler usou as novas ideias matemáticas para 
estudar os astros. Outros cientistas da época, como Galileu e Isaac Newton, aplicaram a matemática ao 
estudo do movimento. Nos séculos XIX e XX, os cientistas desenvolveram muitas formas novas de 
estudar e aplicar a matemática.
1. As Quatro Operações Fundamentais da Matemática
Um dos erros mais comuns na maioria dos estudos de qualquer ciência é tentar entender princípios 
complexos antes de ter claramente dominado os princípios básicos. Este tipo de situação é muito comum, 
por exemplo, em casos de pessoas que necessitam dominar complexas contas aritméticas, mas que 
ainda não conseguem resolver as contas mais simples. Por isso, antes de tentar dar passos longos e 
resolver complexas equações exponenciais que utilizam proposições de negação e teorias da 
trigonometria, é necessário dar uns passos atrás e entender bem as quatro equações básicas: somar, 
subtrair, multiplicar e dividir para então conseguir acompanhar os raciocínios mais complexos.
Vale a pena lembrar que mesmo estas equações simples têm algumas propriedades que podem 
influenciar e muito em suas composições. No caso das propriedades, é importante lembrar também que 
utilizando elas é possível conseguir resolver equações mais complexas, dado sua praticidade e sua 
aplicabilidade principalmente com o raciocínio lógico e alguns de seus princípios.
Vamos analisar as quatro operações fundamentais e suas peculiaridades, relembrando princípios e 
utilizando sua aplicabilidade para fazer contas de maneira mais rápida e efetiva. Vamos a elas:
a) Soma – a base de tudo
A primeira conta que todas as pessoas aprendem sempre é a soma. Com ela, podemos descobrir 
praticamente todosos resultados necessários nas mais complexas equações matemáticas. A grande 
questão é que as contas mais complexas levarão a somas cada vez maiores e mais demoradas, mas que 
sempre chegarão ao resultado correto.
Basicamente, a soma é a adição entre dois ou mais números, que podem ser diferentes ou não. Na 
prática, a soma oferece grandes vantagens técnicas, já que ela é a forma mais direta e confiável de se 
chegar a algum resultado.
As peculiaridades das operações matemáticas de soma são a questão de sempre seguir os mesmos 
princípios: começar a soma de trás para frente, os números acima de 10, colocar os decimais na soma do 
número da frente e, no caso de contas com vírgula, colocar todos os números um embaixo do outro 
ordenado sempre pela vírgula, como o exemplo abaixo:
0,012+1,12+12,2 =0,0121,1212,2
Desta forma, não haverá erro em suas contas de adição, e no caso de elas acontecerem, será erro de 
soma, não de organização da equação.
b) Subtração – a irmã da soma
A subtração segue basicamente a mesma lógica das somas, ou seja, sua estrutura é idêntica à da soma, 
embora seja o contrário. Este é, por exemplo, o principal tipo de equação utilizado em planejamentos 
financeiros, onde a partir de um orçamento, retiramos os gastos mensais ou de um determinado período, 
descobrindo a quanto conseguimos chegar no final.
Basicamente, entendendo os princípios da soma, é possível realizar qualquer tipo de conta de subtração. 
A exceção acontece no caso das contas em que o resultado entra no caráter negativo, o seja, abaixo de 
zero. Quando isso acontece, é preciso acompanhar o raciocínio de continuar diminuindo, mesmo que o 
número em questão acabe tão baixo que chegue a ficar com várias casas após a vírgula.
Também é importante lembrar que a subtração é uma das operações fundamentais e que, combinada 
com a soma, pode levar à resolução de absolutamente qualquer conta. Juntas, estas duas operações 
fundamentais também podem fundamentar se a resposta do problema apresentado também é verdadeiro 
ou não, ou seja, tirar a prova real.
c) Multiplicação – deixando uma soma mais rápida
Antes de mais nada, é preciso entender que a multiplicação é, embora uma das operações fundamentais, 
também uma forma de agilizar as contas de soma. Ela se encaixa exclusivamente nos casos de contas 
em que o objeto a se somar é o mesmo em várias razões, ou seja, em vez de somar “2+2+2+2+2+2”, 
basta multiplicar o número 2 quantas vezes ele aparecer, no caso 6. Isso é importante principalmente em 
casos de contas que seriam muito longas, deixando-as mais curtas como no caso abaixo:
14+14+14+14+14+14+15+15+15+15+15+15+16+16+16+16+16 é igual a:14×6 + 15×6 + 16×5
Por sua simplicidade, a multiplicação é uma operação fundamental principalmente para os casos de 
equações que precisam resolver rapidamente a junção de complexos números fundamentais.
d) Divisão – a subtração por igual
Fechando as quatro operações fundamentais da matemática, temos a divisão. Através dela, conseguimos 
subtrair de maneira igual números de acordo com os fatores estipulados. As contas de divisão estão em 
nossa vida nas mais variadas situações, tais como na divisão de uma conta de bar no final da noite, a 
delegação de responsabilidades em uma empresa, divisão dos valores no orçamento mensal e assim por 
diante.
Na prática, a divisão é a subtração simplificada entre partes iguais. Mas ela ajuda também a 
complementar as contas de outras operações fundamentais, e junto com elas, é capaz de resolver 
absolutamente todas as equações matemáticas que existem.
2. Expressões numéricas
Expressões numéricas são conjuntos de números que sofrem operações matemáticas com uma 
ordem de operações preestabelecida. Para que você aprenda a resolvê-las, primeiramente, 
destacaremos a prioridade que as operações matemáticas possuem.
a) Ordem das operações
As operações matemáticas estudadas no Ensino Fundamental são: adição, 
subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. A ordem em que elas devem ser resolvidas 
em uma expressão numérica é a seguinte:
→ Potenciação e radiciação
Em uma expressão numérica, sempre resolva primeiro as potências e raízes antes de qualquer outra 
operação matemática. A única exceção é para o caso em que aparecem colchetes, chaves ou 
parênteses. Vale ressaltar que, entre potências e raízes, não há prioridade.
→ Multiplicação e divisão
Em segundo lugar, quando não houver mais potências ou raízes, devem ser feitas as multiplicações e 
divisões. Entre essas duas, também não há prioridade. Realize aquela que aparecer primeiro ou que 
facilitará os cálculos.
→ Adição e subtração
Por último, realize as somas e diferenças. Também não há prioridade entre elas. Resolva-as na ordem 
em que aparecerem.
b) Ordem entre colchetes, chaves e parênteses
Em algumas expressões numéricas, uma parte da expressão pode ter prioridade em relação às outras. 
Essa parte deve ser separada com parênteses, chaves e/ou colchetes. A prioridade em que as 
operações devem ser feitas é a seguinte:
→ Parênteses
Em primeiro lugar, devem ser feitas todas as operações que estiverem dentro dos parênteses. Se houver 
muitas operações, a ordem que deve ser seguida é a das operações, dada anteriormente.
→ Colchetes
Em segundo lugar, as operações que estiverem dentro de colchetes deverão ser feitas também de 
acordo com a ordem das operações dada anteriormente.
Lembre-se apenas de que os parênteses aparecem sozinhos ou dentro de colchetes. Nesse caso, 
quando sobrar apenas um número dentro dos parênteses, estes podem ser eliminados.
→ Chaves
Por último, as operações dentro de chaves também devem ser realizadas de acordo com 
a ordem das operações.
Exemplo:
{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
Observe que existem dois parênteses dentro de colchetes. Qualquer um dos dois pode ser feito primeiro 
ou ambos podem ser realizados ao mesmo tempo, desde que não se misturem os cálculos para cada um. 
Faremos na ordem em que aparecem. Isso é o mais indicado a ser feito.
Assim, para os primeiros parênteses, faremos a potência; depois, a divisão e, por fim, a subtração:
{15 + [(7 – 100:102) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
{15 + [(7 – 100:100) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
{15 + [(7 – 1) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
{15 + [(6) + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
Nesse caso, os parênteses podem ser eliminados.
{15 + [6 + (16:√4 – 4)]2 + 10}·3
Agora os parênteses seguintes. Primeiro, a raiz quadrada; depois, divisão e subtração.
{15 + [6 + (16:2 – 4)]2 + 10}·3
{15 + [6 + (8 – 4)]2 + 10}·3
{15 + [6 + (4)]2 + 10}·3
{15 + [6 + 4]2 + 10}·3
Note que, dentro dos colchetes, sobrou apenas uma adição. Depois de realizá-la, o número que sobrar 
deverá ser elevado ao quadrado. Assim, obteremos:
{15 + [10]2 + 10}·3
{15 + 100 + 10}·3
Agora, falta apenas realizar os cálculos dentro das chaves e multiplicar o resultado por 3:
{15 + 100 + 10}·3
125·3
375
3. Símbolos Matemáticos
O símbolos na matemática são como uma linguagem, criados à medida que essa área do conhecimento 
desenvolvia-se.
Confira a seguir, uma lista com os nomes dos símbolos utilizados na Matemática, com seus respectivos 
significados e aplicações.OBS.: Não é necessário decorar todos os símbolos, pois você se familiarizará 
com longos dos seus estudos! Porém, não faz mal da
 ATIVIDADE
P0006589 ENEM 2017
Um menino acaba de se mudar para um novo bairro e deseja ir à padaria. Pediu ajuda a um amigo que 
lhe forneceu um mapa com pontos numerados, que representam cinco locais de interesse, entre os quais 
está a padaria. Além disso, o amigo passou as seguintes instruções: a partir do ponto em que você se 
encontra, representado pela letra X ande para oeste, vire à direita na primeira rua que encontrar, siga em 
frente e vire à esquerda na próxima rua. A padaria estará logo a seguir.
A padaria está representada pelo ponto numerado com
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
2ª P0009883 IFAL 2017
A soma de três números naturais consecutivos é igual a duas vezes o terceiro número, que é o maiorentre eles. Qual é o resultado da soma dos três números consecutivos? 
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 7
3ª P0000033 PUC - RS 2011
O Portão de Brandemburgo, em Berlim, possui cinco entradas, cada uma com 11 metros de 
comprimento. Tales passou uma vez pela primeira porta, duas vezes pela segunda e assim 
sucessivamente, até passar cinco vezes pela quinta. Então, ele percorreu _______ metros.
a) 55
b) 66
c) 165
d) 275
e) 330
 4ªP0000030 PUC - RJ 2013
O resultado de 10001 × 102030405 é:
a) 1020406080405
b) 1000000000405
c) 4052040508020
d) 1000000000001
e) 1000500000400
5ª P0006623 UNIMONTES 2015
Um estudante tem uma certa quantia de dinheiro, em reais, que é divisível por 4, 8 e 9. Se essa quantia 
não for nula, então o valor mínimo que esse estudante possui é 
a) R$ 288,00.
b) R$ 72,00.
c) R$ 96,00.
d) R$ 272,00.
06ª P0000037 ENEM 2016
O quadro apresenta a ordem de colocação dos seis primeiros países em um dia de disputa nas 
Olimpíadas. A ordenação é feita de acordo com as quantidades de medalhas de ouro, prata e bronze, 
respectivamente.
 
Se as medalhas obtidas por Brasil e Argentina fossem reunidas para formar um único país hipotético, 
qual a posição ocupada por esse país? 
a) 1ª
b) 2ª
c) 3ª
d) 4ª
e) 5ª
 POTENCIAÇÃO
A potenciação ou exponenciação é a operação matemática que representa a multiplicação de fatores 
iguais. Ou seja, usamos a potenciação quando um número é multiplicado por ele mesmo várias vezes.
Para escrever um número na forma de potenciação usamos a seguinte notação:
Sendo a ≠ 0, temos:
a: Base (número que está sendo multiplicado por ele mesmo)
n: Expoente (número de vezes que o número é multiplicado)
Para melhor entender a potenciação, no caso do número 23 (dois elevado a terceira potência ou dois 
elevado ao cubo), tem-se:
23 = 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8
Sendo,
2: Base
3: Expoente
8: Potência (resultado do produto)
Exemplos de Potenciação
52: lê-se 5 elevado à segunda potência ou 5 ao quadrado, donde:
5 x 5 = 25
Logo,
A expressão 52 equivale a 25.
33: lê-se 3 elevado à terceira potência ou 3 ao cubo, donde:
3 x 3 x 3 = 27
Logo,
A expressão 33 equivale a 27.
a) Propriedades das potências 
As propriedades das potências são aplicadas no estudo de potenciação de números reais. Essas 
propriedades são técnicas desenvolvidas com o objetivo de facilitar as operações entre os números que 
possuem expoentes, sendo muito úteis nas áreas de estudos da Física, Química e Biologia, além de 
serem também aplicadas constantemente no trabalho com notações científicas.
Existem várias propriedades aplicadas quando temos divisão ou multiplicação de potências de mesma 
base e potência de potência. Também há casos particulares estudados, como as potências de expoente 
um, expoente zero e expoente fracionário.
1ª propriedade – Multiplicação de potências de mesma base
Para simplificar a multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os 
expoentes.
an · am= an+m
Exemplo 1:
54· 5² = 5·5·5·5·5·5 = 56
Logo, temos que:
54· 5² = 54+2=56
Se necessário, é possível encontrar a potência de 56 realizando a multiplicação sucessiva de 5 por ele 
mesmo 6 vezes, porém, no uso da propriedade, o interesse é representar a multiplicação de duas ou 
mais potências como uma potência só.
Exemplo 2:
2³ · 25 · 22=23+5+2=210
2ª propriedade – Divisão de potências de mesma base
Na divisão de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos o expoente do numerador 
pelo expoente do denominador.
an : am= an - m
Exemplo 1:
Logo, temos que:
28 : 25 = 28-5 = 2³
Note que realizar a simplificação é bem mais prático do que resolver essas potências de forma separada 
e depois fazer a divisão. Como ressaltado anteriormente, a intenção das propriedades é simplificar e 
facilitar as contas com potências.
Exemplo 2:
3ª propriedade – Potência de potência
Ao calcular a potência de uma potência, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes.
(am)n=am · n
Exemplo 1:
(5³)² = (5 · 5 · 5)² = (5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 56
Logo, temos que:
(5³)² =53 · 2 = 56
Assim como as duas propriedades anteriores, a aplicação dessa propriedade ajuda a realizar essa 
operação de forma mais rápida
Exemplo 2
 
(45)-3 = 45 · (-3) = 4-15
4ª propriedade – Potência de um produto
Dado um produto de dois números reais elevados a um expoente, podemos elevar cada um dos fatores a 
esse expoente.
(a · b)n = 
an · bn
Exemplo:
(2 · 4)3=(2 · 4)(2 · 4)(2 · 4) = 2 · 2 · 2 · 4 · 4 · 4 = 23 · 43
Logo, temos que:
(2 · 4)3 = 23 · 43
5ª propriedade – Potência do quociente
Conhecida como potência de um quociente e análoga à propriedade anterior, sempre que houver uma 
potência de um quociente, podemos calcular a potência do dividendo e a potência do divisor.
(a : b)n = an : bn
Exemplo:
(6 : 4)² = (6 : 4) · (6 : 4) = 6² · 4²
Logo, temos que:
(6 : 4)² =6² : 4²
As propriedades 
de potências ajudam bastante na hora de resolver problemas com potências.
b) Casos particulares de potência
Existem alguns casos particulares de potência que merecem ser ressaltados, já que conhecer cada um 
deles é tão importante quanto o domínio das próprias propriedades. São eles:
 potência de uma fração;
 potência de expoente igual a 0;
 potência de expoente igual a 1;
 potência com o expoente negativo;
 potência com expoente fracionário.
→ Potência unitária
Todo número elevado a um é ele mesmo.
a¹ = a
Exemplos:
a) 123¹ = 123
b) 0,54¹ = 054
→ Potência de expoente zero
Todo número diferente de zero elevado a zero é igual a um. Nesse caso existe uma restrição para a 
base, pois a potência 00 é uma indeterminação, ou seja, não possui uma resposta nos números reais, 
assim como a divisão do número zero.
a 0 = 1
Exemplos:
100= 1
0,750= 1
1923923120 = 1
→ Potência de uma fração
Como consequência da propriedade da potência de um quociente, lembrando que a fração é uma 
divisão, ao calcular uma potência de uma fração, podemos separar a potência desta forma:
Exemplos:
Leia também: Potências com expoente fracionário e decimal
→ Potência com um expoente negativo
Para calcular a potência de um expoente negativo, escrevemos o inverso da base e trocamos o sinal do 
expoente.
Quando a base da potência for um número inteiro, basta escrevermos um sobre a base.
Exemplo:
Quando a base for um número decimal, é necessário realizar a sua representação como uma fração. 
Quando a base é uma fração, para encontrar o inverso de uma fração, invertemos o numerador com o 
denominador.
Exemplo:
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/potencias-com-expoente-fracionario-decimal.htm
→ Potência com expoente fracionário
Quando o expoente é fracionário, podemos transformar essa potência em uma radiciação.
Exemplo:
c) Exercícios resolvidos
1) Simplificando a expressão (a3 · b-7 · a2) : (a2 · b-4)2, encontraremos:
a) a/b
b) ab
c) b
d) a²b
Resolução:
Letra B. Usando as propriedades de multiplicação de potência de mesma base, potência de potência e 
divisão de potência de mesma base, temos que:
(a³ · b-7 · a²) : (a² · b-4)²
(a3+2 · b-5 ) : (a2.2 · b-4.2)
(a5 · b-7 ) : (a4 · b-8)
a5-4 · b-7 - (-8)
a1 · b-7 +8
a1 · b1
a .b
02) (IFG) O valor da expressão aritmética abaixo é equivalente a:
a) 8/17
b) -8/17
c) 16/17
d) -16/17
Resolução:
Letra D.
Resolvendo primeiro o numerador, temos que:
Agora vamos resolver o denominador:
Como temos uma divisão do numerador pelo denominador, vamos multiplicar pelo inverso da segunda 
fração:
2. Multiplicação e Divisão de Potências
Na multiplicação das potências de bases iguais, mantém-se a base e soma-se os expoentes:
ax . ay = ax+y
52.53= 52+3= 55
Na Divisão das potências de bases iguais, mantém-se a base e subtrai-se os expoentes:
(ax) / (ay) = ax-y
(53) / (52) = 53-2 = 51
Quando a base está entre parênteses e há outro expoente fora (potência de potência), mantém-se a base 
e multiplica-se os expoentes:
(ax)y = ax.y
(32)5= 32.5 = 310
3. Potenciação de frações algébricas
Afração algébrica possui uma incógnita no denominador 
A potenciação é uma das operações matemáticas básicas que podem ser feitas com frações que 
possuem incógnitas no denominador, isto é, frações algébricas.
Frações algébricas são expressões que possuem pelo menos uma incógnita no denominador. São 
exemplos de frações algébricas:
1
x
k2x3y4z
abc
Suponha que as frações acima sejam elevadas ao quadrado. Essa potência será representada da 
seguinte maneira:
Cálculo de potenciação de frações algébricas
A primeira propriedade que deve ser usada na potenciação de fração algébrica é a 
de potência de fração. Essa propriedade garante que potências desse tipo podem ser feitas para o 
numerador e para o denominador separadamente.
A propriedade a que nos referimos é a seguinte:
Como exemplo, vamos calcular a potência de fração algébrica a seguir:
Aplicando a propriedade acima e realizando os cálculos obtidos, teremos:
Também é possível que seja necessário usar a propriedade de potência de produto. Quando um 
produto de números (ou incógnitas) diferentes está todo elevado a algum expoente, cada um dos fatores 
desse produto deve ser elevado separadamente. Matematicamente:
Vamos resolver a potência de fração algébrica a seguir:
A solução desse exemplo é a seguinte:
A terceira propriedade usada nesses cálculos é a “potência de potência”. Se houver uma potência 
elevada a algum expoente, multiplicaremos os dois expoentes.
A última propriedade é a de divisão de potências de mesma base, na qual mantemos a base e 
subtraímos os expoentes. Essa propriedade é usada para simplificar frações algébricas. Veja um 
exemplo:
Aplicando as quatro propriedades discutidas anteriormente, teremos:
 ATIVIDADES
 1ª P0004081
Considere que:
– a distância média da Terra à Lua é de cerca de 400 000 km; e
– a distância média da Terra ao Sol é de cerca de 150 milhões de quilômetros.
Com base nessas informações, em relação à Terra, o Sol está N vezes mais longe do que a Lua. O valor 
de N é: 
a) 450
b) 425
c) 400
d) 375
e) 350
2ª P0005895 FGV 2003
Se x = 3200000 e y = 0,00002, então xy vale: 
a) 0,64
b) 6,4
c) 64
d) 640
e) 6400
3ª P0004078
Estima-se que a massa da Terra seja da ordem de seis setilhões de quilogramas, ou seja, 6 · 1024 kg, na 
notação científica. Já a massa do Sol está estimada em 2 milhões de setilhões de quilogramas. Em 
notação científica, o produto que expressa a massa estimada do Sol, em quilogramas, é: 
a) 0,2 · 1031
b) 2,0 · 1030
c) 2,0 · 1033
d) 0,2 · 1034
e) 20 · 1032
4ª P0005890 UNISC 2015
As distâncias no espaço são tão grandes que seria muito difícil gerenciar os números se fossem medidas 
em quilômetros. Então, os astrônomos criaram uma medida padrão, o ano-luz, que é uma medida de 
comprimento. Ela corresponde ao espaço percorrido pela luz em um ano no vácuo, o que representa, 
aproximadamente, 9,5 trilhões de quilômetros.
A NASA anunciou recentemente que encontrou o primeiro planeta rochoso com características similares 
à Terra. Chamado de Kepler-186f, o novo planeta é 10% maior do que a Terra, completa sua órbita em 
130 dias e a distância que o separa de nós é de, aproximadamente, 500 anos-luz. Com base nesses 
dados, é correto afirmar que o número que melhor representa a distância aproximada, em quilômetros, 
entre a Terra e o Kepler- 186f é
a) 47,5 . 1015
b) 475 . 1015
c) 4,75 . 1015
d) 6,5 . 1015
e) 65 . 1015
5ª P0004083
Uma das maneiras de medir a radioatividade de uma substância é pelo número de desintegrações que 
ocorrem por unidade de tempo. Por exemplo, a unidade Bq (bequerel) indica uma desintegração por 
segundo, ao passo que a unidade Ci (curie) é equivalente a 37 milhões de desintegrações por segundo. 
Pode-se concluir que 1 Ci é equivalente a, aproximadamente: 
a) 3,7 · 1010 Bq
b) 37 · 106 Bq
c) 2,7 · 10–11 Bq
d) 2,7 · 10–8 Bq
e) 2,7 · 10–5 Bq
 PORCENTAGENS
1. Porcentagem
Porcentagem, representada pelo símbolo %, é a divisão de um número qualquer por 100. A expressão 
25%, por exemplo, significa que 25 partes de um todo foram divididas em 100 partes.
Há três formas de representar uma porcentagem: forma percentual, forma fracionária e forma 
decimal. O cálculo do valor representado por uma porcentagem geralmente é feito a partir de 
uma multiplicação de frações ou de números decimais, por isso o domínio das quatro operações é 
fundamental para a compreensão de como calcular corretamente uma porcentagem.
a) Representações de uma porcentagem
Símbolo 
conhecido como por cento.
 Forma percentual
A representação na forma percentual ocorre quando o número é seguido do símbolo % (por cento).
Exemplos:
5%
0,1%
150%
 Forma fracionária
Para realização de cálculos, uma das formas possíveis de representação de uma porcentagem é a forma 
fracionária, que pode ser uma fração irredutível ou uma simples fração sobre o número 100.
Exemplo:
 Forma decimal
A forma decimal é uma possibilidade de representação também. Para encontrá-la, é necessária a 
realização da divisão.
Exemplo:
A forma decimal de 25% é obtida pela divisão de 25 : 100 = 0,25.
Macete
Lembrando que a nossa base é decimal, então, ao dividir por 100, basta andar com a vírgula duas 
casas para a esquerda.
Exemplos:
 Forma percentual para a forma decimal:
30% = 0,30 = 0,3
5% = 0,05
152% = 1,52
Alguns exercícios pedem para fazermos o contrário, ou seja, transformar um número decimal em 
porcentagem. Para isso, basta andarmos com a vírgula duas casas para a direita (aumentando o 
número) e acrescentar o símbolo %.
 Forma decimal para a forma percentual:
0,23 = 23%
0,111 = 11,1%
0,8 = 80%
1,74 = 174 %
b) Como calcular uma porcentagem?
Os problemas que envolvem porcentagem são bastante recorrentes, portanto saber calculá-la é 
essencial. A estratégia de resolução depende do tipo de problema com o qual se está lidando. Veja 
algumas possibilidades:
Exemplo 1: Um plano de uma empresa de telefonia custava R$50,00, porém houve um aumento de 4%. 
Qual é o valor do aumento em reais? Qual é o novo valor da fatura?
Resolução por meio de multiplicação de frações:
Vamos encontrar o valor de referência, ou seja, o valor que corresponde a 100%. No caso, o valor de 
referência é R$ 50,00, que sofreu o aumento de 4%.
Calcularemos o valor do aumento a partir da forma fracionária, isto é, 4% de 50:
Lembrando que, na multiplicação de frações, multiplica-se numerador com numerador e denominador 
com denominador.
Então, o aumento será de R$ 2,00, e o novo valor da fatura será de R$ 52,00.
Exemplo 2: Suponha que um produto custava R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 25,00. Qual foi o 
valor percentual de desconto?
Resolução: Temos como valor referente aos 100% os R$ 400,00. Logo, para calcular o desconto em 
porcentagem, basta calcular a razão do valor de desconto sobre o valor de referência.
Exemplo 3: Para a mudança de categoria na luta, um lutador precisava aumentar seu peso em 20%, 
atingindo um peso total de 76,8 kg. Qual é o peso atual do atleta?
Resolução:
Tendo em vista que o peso inicial do atleta corresponde a 100%, ele terá um aumento de 20%, logo, em 
comparação com o peso inicial do lutador, 80 kg corresponde a 120%.
Utilizando regra de três, temos que:
Peso(kg %
)
76,8 120
x 100
Como as grandezas são diretamente proporcionais (à medida que o peso aumenta, a porcentagem 
referente a ele também aumenta), vamos multiplicar cruzado:
 Cálculo de porcentagem de porcentagem
Exemplo: Calcule 15% de 38%.
Resolução: Para calcular porcentagem de porcentagem, utilizamos a multiplicação de duas frações ou a 
multiplicação de dois números decimais.
Forma fracionária:
Ou
Forma decimal: 0,15 ∙ 0.38 = 0.057 = 5,7%
Exercícios resolvidos
(Enem) Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-
se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% 
da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outrosdois pontos de 
sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, 
respectivamente:
a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t.
b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t.
c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t.
d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t.
e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t
Resolução:
Tendo como valor de referência 12 toneladas, então queremos:
 60% de 12 = 0,6 ∙12 = 7,2 t para o ponto de sustentação central;
 12 – 7,2 = 4,8 t, que serão igualmente distribuídas;
 4,8 : 2 = 2,4.
Os pontos de sustentação receberão, respectivamente, 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t (letra C). 
2. Fator de multiplicação da porcentagem
Para obtermos o fator de multiplicação da porcentagem devemos saber se a taxa percentual será de 
aumento ou desconto.
Utilizamos o fator de multiplicação para fazer cálculos relacionados a aumentos e descontos 
A porcentagem está presente em nossa vida diária, convivemos com informações do tipo: inflação do 
plano de saúde, aumento da conta de energia, redução do IPI (Imposto sobre produto industrializado) etc. 
Seja no financiamento de uma casa, no desconto ou promoções do hortifrúti; sempre estamos rodeados 
por esses dados relacionados à porcentagem.
Para calcularmos esses decréscimos, descontos, aumentos, acréscimos, diminuição, redução ou inflação 
podemos utilizar o fator de multiplicação.
O fator de multiplicação é diferente para aumento e desconto e a taxa percentual em ambos os casos 
sempre deverá ser um número decimal, ou seja, um número que possui vírgula. Veja as fórmulas 
referentes ao fator de multiplicação.
Fator de multiplicação para aumento
Fator de multiplicação = 1 + taxa de aumento / acréscimo / inflação
Fator de multiplicação para desconto
Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto / diminuição / decréscimo
Agora que já sabemos as fórmulas, vamos aplicá-las na resolução de dois problemas:
Problema 1
O salário-mínimo no ano de 2015 sofreu um aumento de 8,84%. Sabendo que no ano de 2014 o salário-
mínimo era de R$ 724,00, qual será o valor do salário-mínimo para 2015?
Resposta
Para solucionar esse problema devemos inicialmente calcular o fator de multiplicação para aumento:
Fator de multiplicação = 1 + taxa de aumento
Fator de multiplicação = 1 + 8,84%
Fator de multiplicação = 1 + 8,84
 100
Fator de multiplicação = 1 + 0,0884
Fator de multiplicação = 1,0884
O valor em reais do salário-mínimo em 2015 será dado pelo produto do fator de multiplicação por 
R$724,00.
R$724,00 x 1,0884 = R$788,00
O valor do salário-mínimo em 2015 será R$788,00.
Problema 2
Um Ford Ká 1.0 com motor flex, ar-condicionado, direção elétrica e bluetooth custa: R$ 35.390. Devido à 
redução do IPI (Imposto sobre produto industrializado) de 3%, qual será o valor a ser pago pelo carro?
Resposta
Inicialmente devemos calcular o fator de multiplicação para desconto:
Fator de multiplicação = 1 – taxa de desconto IPI
Fator de multiplicação = 1 – 3%
Fator de multiplicação = 1 – 3 
 100
Fator de multiplicação = 1 – 0,03
Fator de multiplicação = 0,97
Para sabermos o valor do Ford Ká, já com o desconto de 3%, faça:
R$ 35.390 x 0,97 = R$ 34.328,30
O Ford Ká irá custar: R$ 34.328,30
3. Aplicação de Porcentagem em Matemática Financeira
Vários assuntos ligados a Matemática financeira requerem o uso de porcentagem. Por exemplo: cálculo 
de juros em compras financiadas, financiamentos de carros, casas, apartamentos, empréstimo bancários 
entre outras situações.
Exemplo 1
O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda 
dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la?
Cálculo
20% = 20/100 = 0,2
20% de 210
0,2 x 210 = 42
210 + 42 = 252
Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%.
Exemplo 2
Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da 
calça dentro dessa condição?
Cálculo
15% = 15/100 = 0,15
15% de 82
0,15 x 82 = 12,3
82 – 12,3 = 69,7
O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70.
Exemplo 3
Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente 
a R$ 1.600,00?
Cálculo
4% = 4/100
Exemplo 4
O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um 
aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir 
comprar a prazo?
Resolução
8% = 8/100 = 0,08
8% de 825
0,08 x 825 = 66
825 + 66 = 891
Preço a prazo R$ 891
Dividido em 4 vezes (891 / 4)
Cada prestação terá o valor de R$ 222,75
A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros.
Exemplo 5
Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi 
redução?
Resolução
112 – 84 = 28
28 em 112
28/112 = 0,25
0,25*100 = 25%
A redução foi de 25%. 
 
 ATIVIDADE
1ª P0044371 ENEM 2020
O quadro representa os gastos mensais, em real, de uma família com internet, mensalidade escolar e 
mesada do filho.
No início do ano, a internet e a mensalidade escolar tiveram acréscimos, respectivamente, de 20% e 
10%. Necessitando manter o valor da despesa mensal total com os itens citados, a família reduzirá a 
mesada do filho.
Qual será a porcentagem da redução da mesada? 
a) 15,0
b) 23,5
c) 30,0
d) 70,0
e) 76,5
2ª P0014255 PUC-RJ 2013
Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 100,00 na liquidação. O 
desconto foi de:
a) 200%
b) 100%
c) 50%
d) 20%
e) 10%
3ª P0014175 UNIOESTE 2018
O salário de um trabalhador é de R$ 1.350,00 e terá um aumento de 7%. Assim, é CORRETO afirmar 
que o novo salário será 
a) R$ 1.357,00.
b) $ 1.402,50.
c) R$ 1.404,50.
d) R$ 1.440,50.
e) R$ 1.444,50.
4ª P0014250 PUC-RJ 2013
Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 300,00. O reajuste foi de:
a) 200%
b) 100%
c) 50%
d) 20%
e) 10%
 5ª P0014250 PUC-RJ 2013
Em uma loja, uma peça de roupa que custava R$ 200,00 passou a custar R$ 300,00. O reajuste foi de:
a) 200%
b) 100%
c) 50%
d) 20%
e) 10%
 Notação científica
Notação Científica
A notação científica é uma forma de escrever números usando potência de 10. É utilizada para reduzir a 
escrita de números que apresentam muitos algarismos.
Números muito pequenos ou muito grandes são frequentemente encontrados nas ciências em geral e 
escrever em notação científica facilita fazer comparações e cálculos.
Um número em notação científica apresenta o seguinte formato:
N . 10n
Sendo,
N um número real igual ou maior que 1 e menor que 10;
n um número inteiro.
Exemplos
a) 6 590 000 000 000 000 = 6,59 . 10 15
b) 0, 000000000016 = 1,6 . 10 - 11
Transformar um número em notação científica
1º Passo: Escrever o número na forma decimal, com apenas um algarismo diferente de 0 na frente da 
vírgula.
2º Passo: Colocar no expoente da potência de 10 o número de casas decimais que tivemos que "andar" 
com a vírgula. Se ao andar com a vírgula o valor do número diminuiu, o expoente ficará positivo, se 
aumentou o expoente ficará negativo.
3º Passo: Escrever o produto do número pela potência de 10.
Exemplos
1) Transformar o número 32 000 em notação científica.
 Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 3 e o 2, pois desta forma ficaremos apenas 
com o algarismo 3 antes da vírgula;
 Para colocar a vírgula nesta posição verificamos que tivemos que "andar" 4 casas decimais, visto 
que nos números inteiros a vírgula se encontra no final do número. Neste caso o 4 será o 
expoente da potência de 10.
 Escrevendo em notação científica: 3,2 . 104
2) A massa de um elétron é de aproximadamente 0,000000000000000000000000000911 g. Transforme 
esse valor para notação científica.
 Primeiro "andar" com a vírgula, colocando-a entre o 9 e o 1, pois desta forma ficaremos apenas 
com o algarismo 9 (que é o primeiro algarismo diferente de 0) antes da vírgula;
 Para colocar a vírgula nesta posição "andamos" 28 casasdecimais. É necessário lembrar que ao 
colocar a vírgula depois do 9, o número ficou com um valor maior, então para não modificar seu 
valor o expoente ficará negativo;
 Escrevendo a massa do elétron em notação científica: 9,11 . 10 - 28 g
Operações com notação científica
Para fazer operações entre números escritos em notação científica é importante revisar as operações 
com potenciação.
Multiplicação
A multiplicação de números na forma de notação científica é feita multiplicando os números, repetindo a 
base 10 e somando os expoentes.
Exemplos
a) 1,4 . 10 3 x 3,1 . 10 2 = (1,4 x 3,1) . 10 (3 + 2) = 4,34 . 10 5
b) 2,5 . 10 - 8 x 2,3 . 10 6 = (2,5 x 2,3) . 10 ( - 8 + 6) = 5,75 . 10 - 2
Divisão
Para dividir números na forma de notação científica devemos dividir os números, repetir a base 10 e 
subtrair os expoentes.
Exemplos
a) 9,42 . 10 5 : 1,2 . 10 2 = (9,42 : 1,2) . 10 (5 - 2) = 7,85 . 10 3
b) 8,64 . 10 - 3 : 3,2 . 10 6 = (8,64 : 3,2) . 10 ( - 3 - 6) = 2,7 . 10 - 9
Soma e Subtração
Para efetuar a soma ou a subtração com números em notação científica devemos somar ou subtrair os 
números e repetir a potência de 10. Por isso, para fazer essas operações, é necessário que as potências 
de 10 apresentem o mesmo expoente.
Exemplos
a) 3,3 . 10 8 + 4,8 . 10 8 = (3,3 + 4,8) . 10 8 = 8,1 . 10 8
b) 6,4 . 10 3 - 8,3 . 10 3 = (6,4 - 8,3) . 10 3 = - 1,9 . 10 3
 ATIVIDADE
1ª P0044341 ENEM 2020
Pesquisadores da Universidade de Tecnologia de Viena, na Áustria, produziram miniaturas de objetos em 
impressoras 3D de alta precisão. Ao serem ativadas, tais impressoras lançam feixes de laser sobre um 
tipo de resina, esculpindo o objeto desejado. O produto final da impressão é uma escultura microscópica 
de três dimensões, como visto na imagem ampliada. 
A escultura apresentada é uma miniatura de um carro de Fórmula 1, com 100 micrômetros de 
comprimento. Um micrômetro é a milionésima parte de um metro. Usando notação científica, qual é a 
representação do comprimento dessa miniatura, em metro? 
a) 1,0 x 10 ¹
b) 1,0 x 10 ³
c) 1,0 x 10
d) 1,0 x 10
e) 1,0 x 10
2ª P0036568 ENEM 2019
 A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no 
nosso organismo pelo nariz. esse vírus multiplica-se. disseminando-se para a garganta e demais partes 
das vias respiratórias, incluindo os pulmões.
 O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.
Disponível em: www .gripenct.pt. Acesso em: 2 nov. 2013 (adaprado).
Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm. é
a) 1,1 x 10-1
b) 1,1 x 10-2
c) 1,1 x 10-3
d) 1,1 x 10-4
e) 1,1 x 10-5
3ª P0002194 CEFET-MG 2008
Nos trabalhos científicos, números muito grandes ou próximos de zero, são escritos em notação 
científica, que consiste em um número x, tal que 1 < x < 10 multiplicado por uma potência de base 10. 
Assim sendo, 0,00000045 deve ser escrito da seguinte forma:
a) 
b) 
c) 
d) 
 Sistemas de numeração e Sistema métrico
1. Sistemas De Numeração
Durante toda a história, assim como a palavra, o número também passou por diversas mudanças na sua 
representação. Os símbolos “9”, “nove”, “IX”, são numerais diferentes que representam o mesmo número, 
apenas escrito em idiomas e épocas distintas.
Sistema de Numeração é um sistema que representa números de uma forma consistente, representando 
uma grande quantidade de números úteis, dando a cada número uma única representação, reflete as 
estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Foram criados então símbolos e regras originando assim os diferentes Sistemas de Numeração.
 
a) O Sistema De Numeração Maia
No sistema de numeração maia os algarismos são representados por símbolos, os símbolos utilizados 
são pontos e barras horizontais.
No decorrer da história existem relatos de vários sistemas de numeração elaborados pelas grandes 
civilizações. Os mais conhecidos são: egípcio, babilônico, romano, chinês, o nosso atual sistema 
denominado decimal ou indo-arábico, e o dos povos Maias. Este último foi adotado pela civilização pré-
colombiana e consiste num sistema de numeração vigesimal, isto é, de base vinte. De acordo com relatos 
históricos, o sistema é vigesimal porque possui como base a soma dos números de dedos das mãos e 
dos pés.
No sistema de numeração Maia, os algarismos são baseados em símbolos. Os símbolos utilizados são o 
ponto e a barra horizontal, e no caso do zero, uma forma oval parecida com uma concha. A soma de 
cinco pontos constitui uma barra, dessa forma, se usarmos os símbolos maias para escrever o numeral 
oito, utilizaremos três pontos sobre uma barra horizontal.
Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma 
unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20 
dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no 
intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização 
dos números em casas numéricas.
O sistema de numeração Maia era baseado em símbolos 
b) Sistema De Numeração Babilônico
Quem pensa que não utilizamos o sistema babilônico, está enganado, pois a divisão das 24 horas, uma 
hora em 60 minutos e os minutos em 60 segundos, é uma herança dos babilônicos. O sistema babilônico 
utiliza a base 60 para a formação de seus numerais.
O sistema sexagesimal, também conhecido como sistema de numeração babilônico, necessita de 60 
algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usam a base 10 (utilizada no 
sistema de numeração decimal, o utilizado atualmente), para associar símbolos que correspondiam aos 
60 “algarismos” necessários.
Veja figuras abaixo:
Símbolos que representam os números de 1 a 10.
Agora para escrever os números de 2 a 9 utiliza-se os mesmos símbolos, mas dispostos de uma forma 
diferente:
Para representar os números 10, 20, 30, 40 e 50 utiliza-se o símbolo do numeral 10, mas dispostos de 
forma diferentes:
Exemplo:
Como ficaria o número 45?
O zero? Os babilônios já tinham o conceito do zero e, como esse não era nenhuma quantidade, 
indicavam-no com um espaço vazio.
Eles são responsáveis pela aquisição do sistema numérico posicional, para entendemos melhor esse 
sistema, observe o exemplo abaixo:
O número 23.465 representado no sistema decimal (base 10) ficaria assim:
23465 = (2 x 104) + (3 x 103) + (4 x 102) + (6 x 10) + (5 x 100) ou seja 20.000 + 3.000 + 400 + 60 + 5.
Se mudarmos a base do sistema, o valor do número 23.465 também muda. Vamos utilizar agora a base 6 
veja:
23465 = (2 x 64) + (3 x 63) + (4 x 62) + (6 x 61) + (6 x 60) ou seja 2592 + 648 + 144 + 36 + 5 = 3425.
Podemos escrever números em várias bases utilizando essa forma
Todos os números babilônicos representados simbologicamente. 
c) Sistema De Numeração Egípcio
Os egípcios da Antigüidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseando em 
agrupamentos. Essa idéia de agrupar foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.
Cada unidade era representada por :
123 456 7 8 9
I II
II
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
II
I
II
I
II
I
II
I
I
III
I
III
I
III
I
III
I
I
Ao chegar às dezenas os foram substituídos por ∩:
1
0
1
1 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
∩
 
∩I
 
∩I
I
 
∩II
I
 
∩III
I
 
∩II
I
II
 
∩II
I
III 
 
∩II
I
IIII
 
∩III
I
IIII
 
∩III
I
IIIII
 
∩ 
∩
 
∩ ∩ 
I 
 
Para representar a centena os ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ foram substituídos por , juntando vários símbolos de 
100 escreviam o 200, o 300, o 400 e assim até 900.
Dez marcas de 100 eram trocadas pelo símbolo , assim a cada marca de dez mudamos o símbolo.
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significa cada marca.
Exemplo:
O número 5068 para os egípcios seria escrito assim:
∩∩∩∩∩∩ IIIIIIII ou seja
1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10+ 10+ 10+ 10+ 10+ 10 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1
Símbolos Egípcios.d) Sistema De Numeração Romano
Esse Sistema de numeração é o mais usado nas escolas, depois do sistema de
numeração decimal. E também na representação de:
• designação de séculos e datas;
• indicação de capítulos e volumes de livros;
• mostradores de alguns relógios, etc.
No Sistema de Numeração Romano é utilizado sete letras (símbolos) que representam os seguintes 
números:
1 I
5 V
10 X
50 L
100 C
500 D
1000 M
Para formar outros números romanos utiliza-se as letras acima repetindo-as uma, duas ou três vezes 
(nunca mais de três). Sendo que as letras V, L e D não podem ser repetidas.
2 II
3 III
20 XX
30 XXX
200 CC
300 CCC
200
0 MM
300
0 MMM
Para formar números diferentes dos citados até agora, devemos saber que as letras I, X e C, colocam-se 
à esquerda de outras de maior valor para representar a diferença deles, obedecendo às seguintes 
regras: 
♦ I coloca-se à esquerda de V ou X 
♦ X coloca-se à esquerda de L ou C 
♦ C coloca-se à esquerda de D ou M
Se colocarmos um símbolo de maior valor primeiro que o de menor valor, somamos os números assim:
VI ( 5 + 1) 6
XIII (10 + 3) 13
LIV (50 + 4) 54
CX (100 + 10) 110
Se colocarmos um símbolo de menor valor primeiro que o de maior valor, diminuímos os números assim:
IV (5 - 1) 4
IX (10 - 1) 9
XL (50 – 10) 40
XC (100 – 10) 90
CD (500 – 100) 400
CM (1000 – 100) 900
A utilização dos números romanos 
2. Sistema De Numeração Decimal
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal, pois os 
agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades.
Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de 
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades, dezenas e centenas. Esses 
algarismos são chamados de indo-arábico porque tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e 
pelos árabes.
Com os algarismos formamos numerais (Numeral é o nome dado a qualquer representação de um 
número).
Veja um exemplo de como contar o conjunto de bolinhas a seguir, agrupando-as de 10 em 10:
 Igual a 35 bolinhas.
 
3 grupos de 10 
bolinhas
mai
s
5 
bolinhas
3 x 10 + 5
30 + 5
A Partir do agrupamento de 10 em 10 surgiu a primeira definição: o grupo de dez unidades recebe o 
nome de dezena. Assim cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. Os grupos de 1, 10, 100 
elementos são chamados de ordens. Cada ordem forma um novo grupo denominado classe.
Exemplos:
• O número 352 possui 3 ordens e uma classe.
3 5 2
c d u
• O número 2 698 possui duas classes e quatro ordens.
 2 6 9 8
 Classe dos milhares Classe das unidades
2 → Ordem das unidades de milhar
6 → Ordem das centenas
9 → Ordem das dezenas
8 → Ordem das unidades
Toda classe tem a ordem da centena (c), dezena (d) e unidade (u), observe o quadro a seguir:
A partir daí fica mais fácil a leitura dos números:
• 2 351: dois mil trezentos e cinqüenta e um.
• 30 423 048: Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito.
• 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco.
Como escrever um numeral no Sistema Decimal. 
Além do sistema decimal, há o binário, o hexadecimal etc.
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-binaria.htm
https://canaltech.com.br/produtos/O-que-e-sistema-hexadecimal/
3. Sistema Métrico
O sistema de medição é um dos mais antigos inventados pelo homem. Esses tipos de medições 
passaram a ser fundamentais para a vida, por mais rudimentares que fossem. Eram utilizadas para as 
mais diversas tarefas, como a construção de habitações de tamanho e formas apropriadas, modelagem 
de roupas, troca de alimentos ou de matérias-primas. Segundo escavações no vale do rio Indu, foi 
descoberto que a povo harappeana, ou civilização do Vale do Rio Indu, utilizava de um sofisticado 
processo de padronização técnica com pesos e medidas, o que permitiu a criação de instrumentos que 
realizassem medições angulares e para construções em geral.
Hoje em dia, as medições estão em praticamente tudo o que fazemos. Para comprar uma mesa, 
medimos seu tamanho para saber se é condizente com o espaço que queremos colocá-la. Medir uma 
coisa significa determinar quantas vezes ela é maior que uma unidade escolhida. Por exemplo, para 
medir um volume de um balde, você observa quantos litros de água, areia ou outro material que ele pode 
conter. Assim, você escolhe o balde correto para o destino final.
O sistema métrico usado por cientistas, médicos e matemáticos é o mais usado em todo o mundo, 
inclusive é o oficial do Brasil. Esse sistema foi criado na época da Inconfidência Mineira, por cientistas 
franceses que queriam um sistema de medidas menos arbitrárias, e que não pudessem ser perdidas. 
Para escolher essa unidade de comprimento, eles mediram a distância do Equador ao Pólo Norte. 
Dividiram essa distância por 10.000.000 e marcaram essa distância numa barra. A essa unidade, eles 
deram o nome de metro.
Imagem: Reprodução/ internet
Nesse sistema, as unidades são divididas em décimos, centésimos e milésimos, acrescentando-se os 
prefixos deci, centi e mili à metro. São menores que o metro em 10, 100 e 1000 vezes, respectivamente.
 1 decímetro (dm) = 0,1 metros
 1 centímetro (cm) = 0,01 metros
 1 milímetro (mm) = 0,001 metros
Do mesmo modo, os múltiplos que são 10, 100 e 1000 vezes maior que a unidade fundamental, o metro, 
receberam os nomes a partir da adição do prefixo deca, hecto e quilo.
 1 decâmetro (dam) = 10 metros
 1 hectômetro (hm) = 100 metros
 1 quilômetro (km) = 1000 metros
a) Mudança de unidade
Para mudar de uma unidade a outra, basta trocar a posição da vírgula, ou acrescentar zeros ao valor.
 1,20 metros = 120 centímetros
 120 metros = 0,120 quilômetros
 120 metros = 1,20 hectômetros
Cuidado com o sistema de medidas inglês, uma vez que muitos produtos importados possuem estas 
características. Para passar das medidas inglesas para o sistema brasileiro, utilize essas relações:
 1 polegada = 2,54 cm
 1 pé = 30,5 com
 1 jarda = 0,92 m
b) Volume
No sistema métrico, nós medimos o volume em metros cúbicos (m³), centímetros cúbicos (cm³) ou 
decímetros cúbicos (dam³).
 1 m³ = 1000 dm³
 1 dm³ = 1000 cm³
O litro é a unidade de medida equivalente ao decímetro cúbico ou a 1.000 centímetros cúbicos.
c) Tempo
A forma como a Terra gira em torno do seu próprio eixo é tão uniforme que serve como relógio. Ao 
contrário do que parece, não é o Sol que gira em torno da Terra. O tempo decorrido de um dia equivale a 
24 horas, 1.440 minutos ou 86.400 segundos. Para identificar a relação entre essas medidas, observe:
 1 hora = 60 minutos
 60 minutos = 3600 segundos
 3600 segundos = 1 hora
 ATIVIDADES
1ª P0044347 ENEM 2020
A caixa-d’água de um edifício terá a forma de um paralelepípedo retângulo reto com volume igual a 28 
080 litros. Em uma maquete que representa o edifício, a caixa-d’água tem dimensões 2 cm × 3,51 cm × 4 
cm. Dado: 1 dm³ = 1 L. A escala usada pelo arquiteto foi 
a) 1:10
b) 1:100
c) 1:1 000
d) 1:10 000
e) 1:100 000
2ª P0009880 CESMAC 2018
Naproxeno é uma medicação indicada para doenças reumáticas. Um médico receitou 1375 mg de 
Naproxeno por dia, em doses iguais. Cada tablete do Naproxeno disponível contém 0,275 g do 
medicamento. A quantos tabletes diários corresponde a prescrição do médico? 
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
3ª P0009904 ENEM 2011
Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro 
sejam obtidas em metros:
 
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto. 
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, 
a) 0,23 e 0,16.
b) 2,3 e 1,6.
c) 23 e 16.
d) 230 e 160.
e) 2 300 e 1 600.
4ª P0009900 ENEM 2011
O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de 
diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguirum, esse dono vai até um ferro velho e lá 
encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.
 
Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que 
tenha diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro 
a) 68,21 mm.
b) 68,102 mm.
c) 68,02 mm.
d) 68,012 mm.
e) 68,001 mm.
5ª P0010027 Unisinos 2014
Numa embalagem de bebida láctea, é dada a informação de que 200 ml correspondem a 160 kcal.
Com base nessa informação, podemos afirmar que uma porção de 350 ml dessa bebida corresponde a 
quantas quilocalorias?
a) 200
b) 220
c) 240
d) 260
e) 280
Aluna; Júlia De
Amorim Cruz