Aula_07_Flexão assimetrica

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Prof. Rogerio Daltro Knuth
Doutorando em Ciência e Eng. Materiais
Mestre em Ciência e Eng. de Materiais 
 Engenheiro Civil
Resistência dos materiais Avançado 
 
Resistência dos Materiais Avançado
Flexão assimétrica
	Nesta seção, ampliaremos nosso conhecimento estudando concentração de tensões, carregamento axial excêntrico em um plano de simetria, flexão assimétrica e dimensionamento na flexão.
	Considere, novamente, a situação-problema apresentada na Seção 1 da Unidade 1. Desta vez, sem reforçar a ST, para resolver o problema da flecha excessiva da viga que sustenta o conjunto óptico, você optou por aplicar uma força concentrada de 5 kN nas extremidades da viga original (carga axial), deslocada 5 cm abaixo do centroide da ST, conforme indica a Figura 2.24.
		
 
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Optando por essa nova solução, o gerente de projetos da empresa em que você trabalha pede que responda aos seguintes quesitos: 
a) Qual a máxima tensão normal de compressão que atuará na viga após aplicar a carga axial excêntrica?
b) Qual a máxima tensão normal de tração que atuará na viga após aplicar a carga axial excêntrica?
		
 
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Concentrações de tensão
Uma alteração da ST ao longo do comprimento ou na própria ST de uma peça estrutural, tal como um furo, uma mudança de diâmetro ou uma trinca, provoca na proximidade da descontinuidade uma concentração das tensões e deformações atuantes na peça. Essa situação também ocorre nas proximidades do ponto de aplicação de carga concentrada. Como exemplo, temos uma barra chata de largura D com um furo de diâmetro d e sujeita a uma força axial P, mostrada na Figura 2.25(A).
Figura 2.25 | Distribuição de tensões em barra chata com furo na região distante do furo (A); na região próxima ao furo (B)
	
 
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Nos casos de carga axial, para diminuir o efeito da concentração de tensões, fazemos de modo gradativo a variação entre as ST, como mostra o raio r na Figura 2.26.
Figura 2.26 | Mudança gradativa entre as ST.
Podemos, assim, utilizar o ábaco da Figura 2.27. Nele entramos com o valor da relação r/d no eixo horizontal e, a partir desse valor, traçamos uma linha vertical até encontrarmos a curva que representa o valor de D/d (interpolar para valores intermediários). Desse ponto, traçamos, então, uma linha horizontal até encontrarmos, no eixo vertical, o valor do coeficiente K.
		
 
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Figura 2.27 | Coeficientes de concentração de tensões para barras chatas sujeitas à carga axial
 
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Segundo Hibbeler (2004), normalmente, a concentração de tensão em uma peça de material dúctil não precisa ser considerada no projeto, entretanto, se o material for frágil, ou estiver sujeito a cargas de fadiga, então as concentrações de tensão tornam-se importantes.
Fonte: google imagens
 
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Carregamento axial excêntrico em um plano de simetria Para uma força P atuando na direção do eixo longitudinal de uma barra, mas fora do centroide da ST dessa barra, como mostra a Figura 2.28(A), vamos considerar que a ST da barra tem um plano de simetria e que a força P está contida nesse plano. Nesse caso, dizemos que a barra está sujeita a uma força axial excêntrica. Para analisar qualquer seção da barra, devemos considerar como esforços internos, conforme a Figura 2.28(B), a força P, aplicada no centroide da ST, e o momento conjugado Mz = Pe. (positivo se tracionar a face inferior e negativo se comprimi-la), em que “e” é a excentricidade de aplicação da força P.
 
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Figura 2.28 | Barra sujeita à força axial excêntrica.
 
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Acrescenta-se, ainda, que o valor da carga (P) e da excentricidade “e” podem ser aumentados até zerar a deformação provocada pelo peso próprio de uma viga acrescido das cargas acidentais que nela atuam. Essa situação é muito comum, principalmente na engenharia civil, e as estruturas que fazem uso dessa técnica são chamadas estruturas protendidas. Entretanto, deve ser observado que a tensão normal não pode ultrapassar o limite de elasticidade e as deformações provocadas pela flexão não podem alterar substancialmente a excentricidade (e). 
Reflita.
Partindo da Equação 2.20, como encontrar a posição da LN na seção transversal para os casos de flexão composta normal? Dica: isole o y da Equação 2.20.
		
 
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Estudamos até aqui a flexão ocorrendo em uma ST que possui, pelo menos, um eixo de simetria. Agora, veja um sistema de eixos ortogonais x, y e z (z horizontal) passando pelo centroide de uma ST que não possui nenhum eixo de simetria, como na Figura 2.29.Considere aplicarmos um momento fletor M na peça estrutural, atuando contido no plano xy. 
Esse momento causará na ST tensões normais σ x de tração de um lado do eixo z e de compressão do outro lado. Aplicando na ST as condições de equilíbrio, temos:
		
 
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Figura 2.29 | Flexão em ST que não possui nenhum eixo de simetria
		
 
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A Equação 2.35 é satisfeita pelo fato do eixo z passar pelo centroide da ST (as forças de tração de um lado do eixo z são anuladas pelas forças de compressão do outro lado desse eixo).
Na Seção 1 desta unidade, determinamos a eq. 2.8 que relaciona a tensão normal em qualquer ponto da ST com a máxima tensão normal que ocorre nessa ST da seguinte forma:
		
 
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A Equação 2.35 é satisfeita pelo fato do eixo z passar pelo centroide da ST (as forças de tração de um lado do eixo z são anuladas pelas forças de compressão do outro lado desse eixo).
Na Seção 1 desta unidade, determinamos a eq. 2.8 que relaciona a tensão normal em qualquer ponto da ST com a máxima tensão normal que ocorre nessa ST da seguinte forma:
		
 
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Figura 2.30 | Eixos de inércia principais para ST sem eixo de simetria.
		
 
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Assimile.
Determinados os eixos de inércia principais e os momentos de inércia em relação aos eixos de inércia principais, podemos encontrar o valor das tensões normais atuantes utilizando as expressões desenvolvidas para os casos de flexão.
		
 
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Exemplo:
A partir do perfil mostrado na Figura 2.31(A), determine a posição dos eixos de inércia principais z ' e y ‘ .
Figura 2.31 | Perfil da ST para cálculo da posição dos eixos de inércia principais (A); Divisão da seção em três retângulos (B).
		
 
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Solução:
Calculamos os momentos de inércia em relação aos eixos z e y utilizando o Quadro 1.2 da Seção 1, Unidade 1, ou diretamente, utilizando a expressão:
		
 
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Solução:
Calculamos os momentos de inércia em relação aos eixos z e y utilizando o Quadro 1.2 da Seção 1, Unidade 1, ou diretamente, utilizando a expressão:
		
 
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Figura 2.32 | Eixos de inércia principais para o perfil do problema
		
 
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Retomaremos, novamente, a situação da viga com deformação excessiva que sustenta o conjunto óptico apresentada na Seção 1, da Unidade 1. Desta vez, para solucionar o problema da flecha excessiva sem reforçar a ST, você optou por aplicar uma força concentrada de 5 kN nas extremidades da viga original, deslocada 5 cm abaixo do centroide da ST, conforme indica a Figura 2.23 (força axial excêntrica). Optando por essa nova solução, o gerente de projetos da empresa onde você trabalha pede que responda aos seguintes quesitos:
a) Qual a tensão de compressão máxima que atuará na viga após aplicar a carga axial excêntrica?
b) Qual a tensão de tração máxima que atuará na viga após a aplicação da carga axial excêntrica?
		
 
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Solução:
Nesta situação, a carga distribuída total que atua na viga é a soma de seu peso próprio com metade do peso da passarela e metade da sobrecarga da passarela (todas distribuídas) – a outra metade atuará na viga existente do outro lado da passarela. Essa carga já foi calculada no Diálogo aberto da Seção 2 desta unidade (está apresentada na Figura 2.12) e vale q = 1,97kN / m . Transladando a carga axial excêntrica de 5 kN para o centroide da ST, acrescentamos o momento conjugado M dado por M=P.e = 5 x 0,05 = 0,25kN.m (traciona a face superior), conforme mostra o esquema estrutural da Figura 2.33, na qual também estão escritas as equações de momento fletor. Lembrando: o momento de inércia (Iz = 521,58cm4) e o centroide (ymax = 8cm ) da ST original foram calculados na Seção 1 da Unidade 1.
		
 
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Problema 2
Para adaptar uma peça a uma estrutura existente, houve a necessidade de fazer entalhes em uma chapa metálica sujeita à flexão, conforme mostra a Figura 2.34. Sabendo que a espessura da chapa é 10 mm e que a tensão normal máxima admissível é de 100 MPa (já considerados os coeficientes de segurança que as normas pertinentes preconizam), determine se a chapa com os entalhes atende às normas.
Figura 2.34 | Chapa metálica com entalhe sujeita à flexão.
		
 
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Exercícios
1. Para um perfil sem eixo de simetria, determinados os momentos de inércia e o produto de inércia em relação aos eixos horizontal z e vertical y, podemos encontrar a posição dos eixos de inércia principais ( z ' e y ‘ ) e o valor dos momentos de inércia principais. O produto de inércia em relação a esses eixos é nulo. Para o perfil da Figura 2.31, assinale a alternativa que apresenta o valor correto dos momentos de inércia principais Iz ' e I y ‘ .
		
 
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2. Uma alteração da ST ao longo do comprimento ou na própria ST de uma peça estrutural, tal como um furo, uma mudança de diâmetro ou uma trinca, provoca na proximidade da descontinuidade uma concentração das tensões e deformações atuantes na peça. Essa situação também ocorre nas proximidades do ponto de aplicação de carga concentrada partir da barra mostrada na figura a seguir, sabe-se que a espessura da barra é de 0,5 cm e o coeficiente K de concentração de tensões é 2,7.
		
 
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