Cap 15 - Teste Estatístico de Hipóteses - alguns testes mais usados em epidemiologia

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Teste Estatístico de Hipóteses: 
alguns testes mais usados em 
epidemiologia 
Antonio Luiz Rodrigues-Júnior 
Conceitos 
A importância do teste estatístico de hipóteses é reconhecida pe-
los pesquisadores Qtte aplican1 o método científico hipotético-dedu-
tivo e111 busca de evidências, por nieio da observação do fenôrneno 
na Natureza, em favor de uma hipótese ou contra, na construção do 
conhecimento científico. Se houver evidências em favor da hipóte-
se testada, usando as i11formações provenientes de an1ostras, então 
ela não será rejeitada; caso contrário, será rejeitada. 
O rnétodo estatíst ico de testa r hipóteses considera que as 
amostras sofren1 a influência de fatores casuais, aleatórios, que, por 
menos iJ1flue11tes que sejam, faze1n con1 que os dados observados 
apresentem alguma variação. Ou seja, as unidades amostrais apre-
sentarão respostas variadas, quantitativas ou categorizadas, que 
oscilarão c1n torno de um valor mais provável ou n1ais frcque11tc. 
Essa variação induz a certa imprecisão, que vai influenciar na ava-
liação dos resultados. 
247 
O teste estatístico de hipótese baseia-se na avaliação de distri-
bu ições de probabiJidade provocadas pela variabilidade do fenôme-
no e representa um critério não subjetivo de encontrar evidências 
para falsear ou não a hipótese testada. Como tal avaliação é proba-
bilística, as decisões podem incorrer en1 erros, como o de rejeitar 
uma hi])Ótese que não deveria ser rejeitada, ou não rejeitar uma hi-
pótese que deveria ser rejeitada. À se1nelhança dos testes auxiliares 
de djagnóstico, os testes estatísticos de h ipótese também apresentam 
probabilidade de incorrerem em desfechos indevidos, corno, por 
exe1nplo, cm u111a prova tuberculíruca, cujo resultado do exame foi 
negativo n1as, na verdade, o indivíduo era portador da tuberculose 
- erro tipo fa lso-negativo - ou quando o resultado do exame for po-
sitivo, mas o indivídt10 for sadio - erro tipo falso-positivo. 
Os testes estatísticos adotan1 o termo lúpótese 11ula (flu) para 
designar a hipótese para a qual o estudo foi planejado, baseando-se 
em informações provenientes da literatura ot1 estudo piloto, por 
exemplo: 
se o estudo quer verificar se há associação entre o consumo de álcool (fa-
tor de exposição). em gramas diárias, e a incidência de câncer de esôfa-
go (doença), então, H0 seria "não há associação entre a incidência de áin-
cer de esôfago e o consumo de álcool"; 
ii se o estudo pretende comparar o efeito de dois medicarnentos, A e B, so-
bre a glicen1ia de pacientes com diabetes, então, H0 seria ·a média de gli-
cem ia de A é igual à de B"; 
11 1 se um estudo epidemiológico pretende comparar os coeficientes de 
mortalidade infantil padronizados de duas cidades, então, H0 seria "os 
coeficientes são igua is". 
Nestes exemplos as hipóteses nLtlas partem da condição de 
igualdade, da nulidade de efeitos, que serão rejeitadas se houver 
evidências contrárias. No caso de haver uma rejeição da hipótese 
nula, uma hipórese alternativa (H1) deve ser adotada. Nos exen1-
plos anteriores, em: 
H, seria "a incidência da doença está associada à presença do fator de ex-
posição'; 
ii H1 seria "a média de glicemia do medicamento A difere da de B»; 
11 1 H1 seria "os coeficientes não são iguais". 
A estatíst ica, como un1 instrumento do processo de decisão 
não subjetiva sobre essas hipóteses, tem como objetivo o conheci-
men to das 1nedidas de probabilidade desses erros. A Tabela l 5.1 es-
quen1a1iza as possibilidades de decisão em relação à hipótese nula 
e os erros do tipo I e do tipo TI; ou seja, H0 pode ser falsa ou 
verdadeira e o investigador pode rejeitá-la ou não. 
Resultado do teste 
Rejeita 
Não rejeita 
Tabela 15.1 
Falsa 
Acerto 
Erro tipo li 
Hipótese nula 
Verdadeira 
Erro tipo 1 
Acerto 
ex é a probabilidade do erro tipo 1. a probabilidade do erro tipo li. 
Das combinações possíveis entre a 11ipótese nula e a decisão do 
investigador, pode1n resultar dois acertos e dois erros. Os acertos 
seria111 a rejeição de uma H0 fa lsa e a não rejeição de uma H0 
verdadeira; ou detecção de associação quando ela existe e rejeição 
de associação qua11do ela não existe. Por outro lado, pode ocorrer 
de H0 ser verdadeira e o investigador rejeitá-Ia, o que caracterizaria 
o erro do tipo l. cuja probabilidade de ocorrência é dada por a , 
se11do conl1ecido con10 nível de sigi1ificâ11cia, cujo valor é definido 
no pJa11eja111cnto do estudo de forma arbitrária. Por co11venção, o 
valor de a. praticado na Jjteratura é de 5°/o (a= 0,05). Atualn1ente, 
con1 as facilidades com11utacionais. é co111un1 encontrar publi-
cações que mostra1n o valor exato observado dessa n1edida de 
probabilidade, dando origem ao termo "valor p" (p-value). 
O outro tipo de erro consiste en1 11ão rejeitar H0 qt1a11do ela é 
falsa, resultando no erro do tipo II, cuja probabilidade é definida 
por p; em outras palavras, consiste ern deixar de rejeitar un1a as-
sociação quando ela existe. Há outro valor, que é dado por ( l - p), 
denominado poder do teste, que é a probabilidade de detectar tuna 
associação quando ela, de fato, existe. 
Con10 os testes estatísticos de hipótese se bascian1 cm distribui-
ções de probabi)jdades, é possível delimitar o conjunto de resulta-
dos, dentro da esca la de 1nedida, em que a hipótese nula deve ser 
rejeitada. A região de rejcitação de H0 é cha1nada de região crítica, 
pois se refere aos valores desfavoráveis à hipótese 11ula. Gerahnen-
te, essa região é delimitada por um ponto crítico, que é determina-
do pelo n ível de significânàa adotado. Qt1ando se usa a abordagem 
do "valor p", a definição do ponto crítico é dispensável. Às vezes, 
a região crítica é definida en1 somente um dos lados da distri-
bt1ição, e o teste é chamado de unilateral; outras vezes o teste é bi-
lateral, ou seja, a região crítica é dividida em dois segmentos loca-
lizados em a mbos os lados da distribuição. 
Até o momento foran1 definidos os conceitos gerais dos testes 
estatísticos de hipóteses, mas não foram apresentados os testes. 
Este capítulo pretende apresen ta r os Lestes mais usados en1 pesqui-
sa, de ma11eira didática e prática. 
Teste de Qui-Quadrado 
Este teste é recomendado para as situações em que a variável 
de resposra não é quanticativa, ou seja, quando a infom1ação é do 
tipo categorizado, como en1 estudos de coorte, caso-controle erc., 
e1n que se verificam as presenças, ou a usências, de um fator de 
exposição e a ocorrência, ou não, de uma doença. O teste de qui-
quadrado é dado pela seguinte fórmula: 
x' = L (o, • E,) 
E, 
, (a) 
em que o; = valores observados no estudo; E1 = valores esperados 
se H0 for verdadeira, ou seja, se não 11ouver associação entre urna 
exposição e u nl efeito. 
Usando como exemplo a hipótese de que consumo diário de 
álcool acin1a de u1n lirnite de 80 g eleva o risco de câncer de esô-
fago, tem-se a segui11te tabela 2 x 2 (Tabela 15.2), esquemática, 
con1 as contagens observadas: 
Tabela 15.2 
Consumo de álcool 
Presente Ausente Total 
> 80 mg a b a+ b 
o a 79 mg e d c+d 
Total a+c b+d n 
Se H0 for verdadeiro, ou seja, se não l1ouvcr associação e11tre 
consumo e levado de álcool e câncer de esôfago, pode-se dizer que: 
a - b _a+b - -- -a+c b+d 11 (b) 
a - e _a +e e que -- -
a+b c+d n 
(c) 
e ºd d 1 - Eª a + b d . d ons1 eran o a re açao = -- 110 caso e ausencra e 
a+ c n 
associação, o valor esperado para a célula a (EJ) é dado por: 
(a+ c)(a + b) 
n • E = (a + c) (a + b) => E = 
.. J n 
O valor esperado para cada célu la é o produto dos dois totais 
rnarginais correspondentes divididos pelo tamanho total da popu-
lação (n) . De 1nodo aná logo, a pa rtir das igualdades estabelecidas 
em (b) e (c). pode-se deduzjr que os valores esperados para E0• E, 
e Ed serão, respec1ivan1ente: 
E = (b + d)(a + b) 
b 11 
E = (a + c) (c + d) 
e n 
E = (b + d)(c +d) 
tt n 
No estudo caso-contro le esquematizado, os valores da Tabela 
15.3 Coran1 observados e a hjpó tese de associação en tre consun10 
diário de álcoolacin1a de 80 mg e câ11ccr de esôfago será testada. 
O teste de hipótese terá a seguinte configu ração: 
Tabela 15.3 
Consumo de álcool cancer 
> 80 mg 
O a 79 mg 
Total 
Presente Ausente Total 
96 109 205 
104 666 770 
200 775 975 
Ii0 : os eventos são independentes (não há associação) 
H, : os eventos não são i11dependentes (há associação) 
a = 0,05 
Como as variáveis são categorizadas (beber, ou não. acima de 
un1 determinado limite e ter, ou não, câncer), o reste de associação 
pode ser fe ito por meio do teste de qui-quadrado: 
___ 
E = 200 X 205 = 42 l 975 ' 
E = 775 X 205 = 162 9 1' 975 I 
E = 200 X 770 = 157 9 
e 975 ' 
E = 775 X 770 = 612 l 
J 975 ' 
Se houver associação entre o fator de exposição e a doença, os 
va lores esperados em cada casela serão diferentes dos valores ob-
servados no estudo. Ao so1nar as diferenças entre o observado e o 
esperado, o teste de qui-quadrado induzirá à decisão de rejeitar I-10 
ou não. Pequenas diferenças indicarão que os resu ltados observa-
dos são 1nuito semelhantes aos esperados, sob condições de inde-
pendê11cia entre as variáveis, detecta11do uma possível ausência de 
associação entre exposição e efeito. O co11trário ocorrerá qltando o 
resultado nurnérico do teste X2 for elevado, quando as diferenças 
entre os valores esperados e os observados não forem pequenas. 
Aplicando a fór111ula (a): 
x2 = (96 - 42,1)2 + (109 - 162,9)2 + 
42,l l62,9 
(104- 157,9)2 --'--------'---- + 
157,9 
(666-612, J)l = 11025 
612, 1 ' 
O teste de qui-quadrado (X2) utiliza a distribuição qui-quadra-
da (X2), que requer um parân1etro chan1ado de grau de liberdade 
(gl), definido por: gl = (L-1 ) (C-1 ), em que L é o número de linhas 
e e é o 11úmero de colLtnas da tabela. Porta11to, llffia tabela 2 X 2 
terá grau de liberdade 1. Na tabela da distribuição qui-quadrada 
(Anexo 15. l ), observa-se que, para 1 grau de liberdade, o valor en-
co11trado para a = 0,05 é 3,84. Esse valor define o ponto crítico, a 
partir do qual se rejeita a hipórese nL1la. Corno o valor calculado 
(l 10,25) é ma ior que o ponto crítico (3,84) e situa-se na área de 
rejeição de H0, é possível conclui r que a hipótese nula deve ser 
rejeitada, e optar pela 11ipótese alternativa, isto é, de qtte existe 
uma associaçào entre o co.nsumo de elevadas qtiantidades de ál-
cool e a incidência de câncer de esôfago. 
O nível de s igni ficância pode ser definido pelo investigador, e 
a cada valor escolhido corresponde um "po11to crítico" diferente. 
No exemplo, se o investigador adotar a= 0,0 1, o ponto crítico do 
qui-quadrado co111 gra u de liberdade 1 passará a ser 6,63. e não 
1nais 3,84. A rejeição de H0 somente ocorrerá quando o teste reve-
lar um somatório de diferenças entre o observado e o esperado aci-
ma de 6,63. No exemplo, inesmo que o nível de significância seja 
O,OJ, haverá a rejeição de H0, pois o va lor calculado X2 na amostra 
se 1nostro u 1nuito distante do ponto crítico, sendo, portanto, um 
resultado bastante evide11te, sigilificativo. 
A fórmula geral do qtú-quadrado (a) deve ser aplicada para ava-
liar tabelas de mais alta ordem, ou seja, con1 1na is linhas e rnais colu-
nas. Quando se tratar de tabelas 2 x 2, tal como visto no exen1plo an-
terior, o cálculo pode ser feito também por meio da seg1Linte fórmula: 
xi= n · ( 1 a · d - b · e 1- O ,5 · n )
2 
(a+ b)·(c+ d)·(a+c)·(b + d) 
(e) 
A fórrnula d ispensa o cálcu lo dos valores esperados, fornecen-
do o 111esn10 resultado da fór111ula geral (a), desde que 11ão se sub-
traia a inetadc lie n no nun1erador, tal como representado (0,5 n). 
Essa subLração representa a correção de Yates, recomendada na 
aplicação do reste de qui-quadrado e1n tabelas 2 x 2. É evidente 
que o uso da correção de Yares rcdt1z u111 pouco o valor final, re-
su ltando em uma interpre tação mais co.nservadora do teste. Quan-
do o resultado for elevado, como aquele do cxe1nplo, a correção 
não provoca m udança no resu ltado final. Todavia, quando o valor 
calculado do qu i-quadrado fo r próximo do ponto crítico, a intro-
dução da correção ])Ode provocar a alteração do resultado do teste, 
deixa11do de rejeitar a hipótese nula, por exe1nplo. 
O teste de qui-quadrado apresenta algumas limitações. Ele não 
é il1dicado para analisar tabelas com algum valor esperado abaixo 
de 5 ou com con tagens nulas. QLtando isso ocorrer, os dados da la-
bela devem se r reagrupados, de modo a não permitir caselas com 
tais valores. 
Teste Exato de Fisher 
O teste exato de Fisher é recomendado como a lternativa, 
quando as li1nitaçõcs do teste de qui-quadrado ocorrerem, ou seja, 
en1 tabelas con1 conragens nulas ou com algu rn valo r esperado in-
ferior a 5. Esse teste calcula a probabilidade do arranjo observado 
na tabela, por me io da di stribuição hipergeométrica : 
p= (a+ b)! (c +d) ! (a+ c) ! (b +d)! 
a!b!c!d! n! 
( f) 
O exemplo seguin te refere-se a Ltn1 grupo de 16 voluntários, 
dos quais 7 receberam uma vacina contra gripe e 9 não receberam. 
Após 1 ano, verificou-se a seguinte distribuição de casos de gripe 
entre as coortes: 1 entre 7 vacinados teve a gripe; 7 entre 9 não va-
cinados adoeceran1. 
Para estudar unia possível associação entre o uso da vacina e a 
redução da incidência de gripe, foi usado o teste exato de Fisher, 
pois o número de voluntários é pequeno, inviabil izando o uso do 
teste de qui-quadrado devido a con tagens esperadas inferiores a 5. 
Nessas condições, o teste de l1ipótesc será: 
R0 : existe associação en tre vacina e doença 
H1 : existe associação 
a= 0,05 
256 Fundamentos de Epidemiolog,_ia _________ • 
7! . 9! . 8! . 8! 
p = l! . 6! . 7! . 2! . 16! = 0,0196 
Tabela 15.4 
Gripe 
Sim Não Total 
Sim 1 6 7 
Vacina Não 7 2 9 
Total 8 8 16 
Aplicando-se a formula (f), a probabilidade de que a distribui-
ção verificada 11a Tabela 15.4 te11ha sido meramente casual ou 
seja, de que i1ão existe associação entre o uso da vacina e a redu-
ção de incidência da gripe, é de 0,0196. Ao "valor p", somam-se as 
probabilidades dos outros possíveis arranjos de resultados dessas 
coortes que sejam mais extremas na mesma direção. Ou seja, to-
dos os possíveis arranjos que não alterem os totais marginais e que 
aprese11tem números menores de voluntários vacinados con1 gri-
pe, como apresentado na tabela seguinte. No exemplo, a ún ica d is-
tribuição de freq uências mais extren1a na mesrna direção, conside-
rando os 111es1nos totais vaci11ados, seria o da Tabela 15.5. O valor 
de probabilidade (p) para esta distribuição é: 
7!9!8!8! 
p = = 0,0007 
O! 7! 8! l ! 16! 
Tabe la 15.5 
Vacina Gripe 
Sim Não Total 
Sim o 7 7 
Não 8 1 9 
Total 8 8 16 
O valor p do teste exato de Fisher será 0,0203 (0,0196 + 
0,0007). Se o valor p for n1aior que 0,05, então 11ão se rejeita H0; se 
for menor, rejeita-se H0• Portanto, 110 exemplo, a probabilidade de 
não associação entre o uso de vacina e proteção contra a gripe é 
igual a 2,03 °/o, que é rncnor que o limite de 5o/o fixado para o erro 
do tipo 1 (a), concluindo pela rejeição de H0 e pelo pape l protetor da 
vacina ancigripal no grupo estudado. 
Teste Z-Score 
Nos testes anteriores, as variáveis de resposta era1n categorizadas. 
Há testes para a análise de variáveis qLta11titativas, como o teste qt1e 
usa a distribuição norn1al. Esse teste é o mais usado na prática de pes-
quisa . Utiliza urna disrribuiçã.o nonnal padronizada, cujas média eva-
riância são zero e uni, respectivamente. Exemplo: uni méclico estuda 
a pressão sistólica de uma amostra de 25 pessoas e encontra unia rné-
dia m = 124 m111Hg; sabe-se, por 1ncio de estudos prévios, que a pres-
são sistólica daquela população tern distribuição normal, com média e 
desvio padrão conhecidos (µ,= 120 mmHg; A questão 
deduzida pelo médico é: os resu ltados da amostra são con1patíveis 
com os parâ1netros já conhecidos? Ott seja, a média observada (124 
1nrnHg) se asse1nelha à da população ( 120 rnmHg)? 
A resposta a essa questão será dada pelo uso da distribuição 
normal, con1 os pa rân1etros co11hecidos ( l 20; l O), epela 
transformação z-score sobre a média amostral, da seguinte forma: 
"z - score" z = rn-p d 
Vn 
O teste da distribuição norn1al pode ser unilateral ou bilateral, 
conforme o interesse do pesquisador, desde que tenha sido plane-
jado para esse fim . O teste unilateral terá a segui11te fonna: 
H0 : µ < 120 minHg 111 
H, : > 120 n1I11Hg 
rejeitar H0 se z > zª 
No exemplo, os resultados serão: 
unilateral 
o=0,05 
região 
crítica 
Z= 124 - 120 = = 2 O· O 05 1 64 5 l O 2 , , como ex. = , => zo.05 = . 
V25 
O valor calculado. {z = 2,0) pertence à região crítica, isto é, à 
média da amostra ( 124 mmHg) pertence ao conjunto de valores 
desfavoráveis a H0, rejeitando a hipótese nula em un1 nível de sig-
nificância de 5°/o. O teste bilateral aplicado ao mesmo exen1plo: 
H0 : = 120 rnnilig 
H : µ -t; 120 mmHg ., fl1 
rejeitar H0 se z < -zc ou z > zc 
região 
crítica 
0=0,025 
bilateral 
região 
crítica 
o=0,025 
___ 
O resultado do teste é z = 2,0. Co1110, r10 teste bilateral, a re-
gião crítica é dividida em duas regiões cattda is idên ticas (a1 = a2 = 
0,025), os ponLos críticos são z0•025 :;;; 1,96 e z0•975 :;;; 1,96 (Anexo 
15.2). Neste caso, nlesmo no teste bilateral. H
0 
será rejeitada, pois 
o valor ca lcltlado (z = 2,0) ainda perten ce à região crítica . O teste 
bilate ral pode ser fe ito pelo in te rvalo de confiança para a média 
populacional, pois corresponde à região e1n que H0 não é rejeitada, 
por meio da expressão: 
cr 10 rc,. ( 1- a):µ± Zu . => 120 ± 1,96 . - => ICµ ( 1 - a): 116, I - 123,9 
2 n 5 
O intervalo de confiança para a média populacio11al (µx) 11ão 
inclui o valor 124 mmHg. mesmo que o limite inferior seja bastan-
te próximo, induzindo à rejeição de H0 . 
Os testes vistos não apresentam a probabilidade de erro tipo li 
pois não havia outra distribuição conhecida com o hipótese al-
te rnativa (H1). Há situações cn1 que os resu ltados de un1a amostra 
podem ser con fron tados com duas populações conhecidas - médias 
e variâncias conl1ecidas. No exemplo anterior, há duas populações 
conhecidas: uma, de indivíduos con1 pressão sistólica normal (11 , :;;; 
120 mmHg; cr, = l O mn1Hg); outra, de indivídtios hipe rtensos (µ2 = 
180 mrnHg; cr2 = 6 mrnHg). O obje Li vo, agora. é testar se o resulta-
do da a111ostra, co1n 25 i11divíduos, cuja 111édia da am ostra foi 124 
mnilig, é semelhante ao de indivíduos com pressão n ormal ou de 
hipe rLensos. O teste estatístico te rá a seguinte forma: 
H0 : m = 111 
H 1 : m = Jli 
rejeitar H0 se rn > k, cn1 que k corresponde a a:;;; 0,05 
260 Fundamentos de Epidemiolog,_ia _________ • 
valor 
crítico k 
O ponto crítico (k) é deterrninado pelo nível de significância do 
teste (ex= 0,05), sen1cll1ante ao teste unilateral apresc11rado, para a 
população com pressão sistólica n ormal ( µ 1 e cr1). Entretanto, a pro-
babilidade do erro tipo TI é dada pela área da distribuição dos indiví-
dttos hiperre11sos (µ 2 e a2) que fica à esquerda do po11to a·ítico (k). 
No exemplo, o 11ível de sig11ificância, já definido previan1ente, deter-
mina o ponto crítico: Z0.05 = l ,645. Calcula-se, então, a que valor esLe 
por1to crítico corresponde na escala da distribuição dos iJ1divíduos 
co1n pressão sistólica normal (µ 1 = 120 n1n1Hg; a 1 = 10 mmHg): 
k-µ k- 120 
z= 
0 1
1 
10 
J2s 
O valor k será usado na distribuição correspondente à hipóte-
se a lternativa (µ2 = 180 mmHg; a 2 = 6 rnmHg), para calcl1lar a pro-
babilidade do erro tipo II como segue: 
ex= Pr{X > 123,29; para µ1 = 120 e cr, = 10) = 0,05 
= Pr(X < 123,29; para µ2 = 180 e cr2 = 6} = ?? 
'Z = 123,29 - 180 - -56, 7 l = -47 26 
1,20 ' 
Consultando a tabela de distribuição nor1nal padro11izada 
(Anexo 15.2), verifica-se que o valor dez corresponde à probabili-
dade niuito pequena, próxima de zero, que poderia 0.00001. 
E11tão, decide-se por rejeitar H
0
, pois a n1édia 11a amostra foi 124 
mmHg, aci1na do ponto crítico e perte11cente à região crítica dotes-
te, sabendo-se que há uma probabilidade niíni1na de erro tipo II 
(pratica111cntc nula ). Diz-se tambén1 que o poder desse teste, ou 
seja, a capacidade de acertar quando H0 é verdadeira, foi de pra1i-
ca111ente 100º/o. O poder do teste é dado por l -
Teste t-Student 
Este teste é usado na con1paração de duas an1ostras diferentes, 
qua11do a(s) variância(s) populacional(is) for( em) desconhecida(s), 
que é a limitação do teste z-score. A distribuição t-Student é usada 
neste caso e se assemelha à distribuição nor111al, quando a amostra 
for grande. Por exemplo, quando a amostra ten1 tama11ho n = 30, 
na tabela da distribuição t-Stude11t (Anexo 15.3) observa-se, para 
ex.= 0,05, o valor t = 2,04; na tabela da distribuição normal, ova-
lor z = 1,96 corresponde a a = 0,05. Assim, qt1anto maior for o 
tan1anho da a111ostra, mais próxi1no estará o valor de t-Student de 
z-score, tor11ando-as sen1cll1antcs. 
O teste t-Student é bilateral e depende da independência das amos-
tras. Se o estudo for do tipo que reexamina os mesmos voluntários 
antes e depois do uso de wna droga, então essas observações 11ão são 
independentes, pois se rcfcrcn1 a uma mcsn1a tmidadc (voluntário); 
se o estudo pretende apenas com1)ara r os resultados de dois grupos de 
voluntários, qt1e fora111 alocados alearoriamenre, então, as observa-
ções são independentes. Estas definições serão il11ponantes para 
determinar que versão do teste t-Student deverá ser ernpregada. 
Para exemplificar um estudo co1n n1edidas repetidas no mesmo 
voluntário, considere os dados da Tabela 15.6, que se referem às 
pressões sistólicas (mmHg) antes e depois do uso de 25 mg de capto-
pril. O estudo quer saber se houve redução da pressão sistólica ein 
262 Fundamentos de Epidemiolog,_ia _________ • 
uma amostra de l O v0Ju11tários. Nesse caso, con10 os dois grupos de 
dados se referem a um mesmo grupo de vol u ntários, não há inde-
pendência entre as observações. Então, é usada a diferença entre as 
n1cdidas depois e antes (d;) corno um artiiício, pois, se l1ouver u1na 
redução da pressão sistólica, a 1nédia das 10 diferenças será diferen-
te de zero. 
Tabela 15.6 
Antes Depois d 
1 
1 210 210 o 
2 169 165 - 4 
3 160 157 - 3 
4 167 147 -20 
5 176 145 -31 
6 206 180 - 26 
7 173 147 - 26 
8 146 136 - 10 
9 174 151 - 19 
10 198 179 -11 
Se1nelhante ao teste con1 a distribuição nor1nal, que usa a 
transformação z-score, o teste t-Student usa o seguin te valor (t) : 
d t= -c sd 
- l I -2 
onde ct = 11 ct ,. e sd = 1 2: (d ,. -ct) , n - ; 
d = 15,0 e sd = l0,90 
t = - l 5,0 =-1 38 
10,90 , 
O teste de 11-ipótesc, para essa sitltação particular fica: 
-H : d= O o 
H I : d *- o 
rejeitar H0 se l t, I > para a = 0,05 e "n - I" graus de liberdade 
No exemplo, consultando a tabela da distribuição t-Student (Ane-
xo J 5.3), para um nível de significância de 5°/o, bilateral (2,5°/o para 
cada lado), co1n 9 graus de liberdade, obté1n-se o ponco crítico de 
2,69. Observe qlte o teste de hipótese considera o valor calculado, t<' 
em módulo, para decidir rejeitar ou não H0 . Então, como lt,I é n1enor 
que o ponto crítico, o teste não rejeita H0• Apesar de os dados 1nos-
trarem reduções visíveis na pressão sistólica, o teste estatístico consi-
derOlt a variabilidade das diferenças e o tamanho da ainostra. Há um 
voluntário com di ferença zero e outro con1 diíerença de -3 1; com 
essa variação e esse tamanho de amostra, o teste estatístico requer 
uma diferença média maior que a observada para rejeitar H0• 
Outra situação ocorre quando se quer comparar dois grupos de 
resultados independentes, por exemplo a comparação do efeito de 
dL1as drogas (A e B) sobre o te.mpo de coagulação de 13 voluntários 
sadios, que íoram aleatoria1nente divididos em dois grupos, cujos 
resultados são mostrados i1a Tabela 15.7. As amostras são indepen-
dentes e provenientes de uma n1esma população de vo luntários. 
Tabela 15.7 
A 8 
8,8 9,9 
8,4 9,0 
7,9 11 , 1 
8,7 9,6 
9, 1 8,7 
9,6 10,4 
9,5 
264 Fundamentos de Epidemiolog,_ia _________ • 
Médias e desvios padrão a seremusados 
para a droga A. mA = 8,75, sAi = 0,339 e nA = 6; 
para a droga B, n18 = 9,74, s82 = 0,669 e n8 = 7. 
O valor calculado, agora. tcn1 a seguinte for1n a: 
t = m,.. - ms 
e sem . m • u 
A expressão do erro padrão (se rn" -1118) muda con fom1e a origem 
das amostras. No exemplo, as amostras são provenientes de uma rnes-
n1a população de voluntários. Então a expressão para esse caso é: 
SC "'A ·mo : 
(11A· l)· s2A+(nb·I) s2s 
º" + nu - 2 
l l - + -
11" nu 
O teste de hipótese tem a seguinte rorma: 
H0 : d1n =O 
H1 : m" - m8 
rejeitar H0 se 1 t, I > tL11>cld para ex= 0,05 e "n ... + n8 - 2" graus de liberdade 
Em q ue: 
se 01A ·OlB = 
(5) 0,339+ (6) 0,669 
6 + 7 - 2 
1 1 -+- = 
6 7 
-V 0,7206 . -V 0,3095 = 0.4723 
t = mA · rns _ 8,75 • 9,74 _ 
r 
se inA -ma 0,4723 
-0.99 = ·2 10 
0,4723 ' 
O ponto crítico para esse reste é 2,59 (An.exo 15.3), conside-
rando "n,, + n8 - 2" graus de liberdade. Então, não deve rejeitar H0, 
pois o valor calculado, em módulo, é 1ncnor que o po11to crítico. 
Há outras situações, e111 que as an1os1 ras não são provenientes 
da mesn1a população e que rnerecem atenção especia l por parte do 
le itor, quando necessitar. No final deste capítulo há as referências bi· 
bliográficas aqtli utilizadas, que ajudarão, quando necessá1io, co1n-
plemen1ando o que foi descrito. 
Anexo 15.1 
Ponto crítico da distribuição qui-quadrado, segundo grau de liberdade 
e nível de significância (a) 
Grau de liberdade Nível de significância (a) 
0,5 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 
1 0,45 1,64 2,71 3,84 5,02 6,63 
2 1 ,39 3,22 4,61 5,99 7,38 9,21 
3 2,37 4,64 6,25 7,81 9,35 11,34 
4 3,36 5,99 7,78 9,49 11 ,14 13,28 
5 4,35 7,29 9,24 11 ,07 12,83 15,09 
6 5,35 8,56 10,64 12,59 14,45 16,81 
7 6,35 9,80 12,02 14,07 16,01 18,48 
8 7,34 11,03 13,36 15,51 17,53 20,09 
9 8,34 12,24 14,68 16,92 19,02 21 ,67 
10 9,34 13,44 15,99 18,31 20,48 23,21 
11 10,34 14,63 17,28 19,68 21,92 24,73 
12 11 ,34 15,81 18,55 21 ,03 23,34 26,22 
13 12,34 16,98 19,81 22,36 24,74 27,69 
14 13,34 18,15 21,06 23,68 26,12 29,14 
15 14,34 19,31 22,31 25,00 27,49 30,58 
16 15,34 20,47 23,54 26,30 28,85 32,00 
17 16,34 21,61 24,77 27,59 30,19 33,41 
18 17,34 22,76 25,99 28,87 31,53 34,81 
19 18,34 23,90 27,20 30,14 32,85 36,19 
20 19,34 25,04 28,41 31 ,41 34,17 37,57 
21 20,34 26,17 29,62 32,67 35,48 38,93 
22 21,34 27,30 30,81 33,92 36,78 40,29 
23 22,34 28,43 32,01 35,17 38,08 41,64 
24 23,34 29,55 33,20 36,42 39,36 42,98 
25 24,34 30,68 34,38 37,65 40,65 44,31 
26 25,34 31,79 35,56 38,89 41 ,92 45,64 
27 26,34 32,91 36,74 40,11 43,19 46,96 
28 27,34 34,03 37,92 41 ,34 44,46 48,28 
29 28,34 35,14 39,09 42,56 45,72 49,59 
30 29,34 36,25 40,26 43,77 46,98 50,89 
Anexo 15.2 
Distribuição de probabilidade acumulada da distribuição normal padronizada, 
para valores menores que z 
z º·ºº 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
o.o 0,500 0,504 0,508 0,512 0,516 0,520 0,524 0,528 0,532 0,536 
O, 1 0,540 0,544 0,548 0,552 0,556 0,560 0,564 0,567 0,571 0,575 
0,2 0,579 0,583 0,587 0,591 0,595 0,599 0,603 0,606 0,610 0,614 
0,3 0,618 0,622 0,626 0,629 0,633 0,637 0,641 0,644 0,648 0,652 
0,4 0,655 0,659 0,663 0,666 0,670 0,674 0,677 0,681 0,684 0,688 
0,5 0,691 0,695 0,698 0,702 0,705 0,709 0,712 0,716 0,719 0,722 
0,6 0,726 0,729 0,732 0,736 0,739 0,742 0,745 0,749 0,752 0,755 
0,7 0,758 0,761 0,764 0,767 0,770 0,773 0,776 0,779 0,782 0,785 
0,8 0,788 0,791 0,794 0,797 0,800 0,802 0,805 0,808 0,811 0,813 
0,9 0,816 0,819 0,821 0,824 0,826 0,829 0,831 0,834 0,836 0,839 
1,0 0,841 0,844 0,846 0,848 0,851 0,853 0,855 0,858 0,860 0,862 
1,1 0,864 0,867 0,869 0,871 0,873 0,875 0,877 0,879 0,881 0,883 
1,2 0,885 0,887 0,889 0,891 0,893 0,894 0,896 0,898 0,900 0,901 
1,3 0,903 0,905 0,907 0,908 0,910 0,911 0,913 0,915 0,916 0,918 
1,4 0,919 0,921 0,922 0,924 0,925 0,926 0,928 0,929 0,931 0,932 
1,5 0,933 0,934 0,936 0,937 0,938 0,939 0,941 0,942 0,943 0,944 
1,6 0,945 0,946 0,947 0,948 0,949 0,951 0,952 0,953 0,954 0,954 
1,7 0,955 0,956 0,957 0,958 0,959 0,960 0,961 0,962 0,962 0,963 
1,8 0,964 0,965 0,966 0,966 0,967 0,968 0,969 0,969 0,970 0,971 
1,9 0,971 0,972 0,973 0,973 0,974 0,974 0,975 0,976 0,976 0,977 
2,0 0,977 0,978 0,978 0,979 0,979 0,980 0,980 0,981 0,981 0,982 
2, 1 0,982 0,983 0,983 0,983 0,984 0,984 0,985 0,985 0,985 0,986 
2,2 0,986 0,986 0,987 0,987 0,987 0,988 0,988 0,988 0,989 0,989 
2,3 0,989 0,990 0,990 0,990 0,990 0,991 0,991 0,991 0,991 0,992 
2,4 0,992 0,992 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,993 0,993 0,994 
2,5 0,994 0,994 0,994 0,994 0,994 0,995 0,995 0,995 0,995 0,995 
2,6 0,995 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 0,996 
2,7 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 
2,8 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 
2,9 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 
3,0 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 
3,1 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 0,999 
Anexo 15.3 
Ponto crítico da distribuição t-Student, segundo grau de liberdade 
e nível de significância (a) 
Grau de liberdade Nível de significância (a} 
0,5 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 
1 1,00 6,31 12,71 25,45 63,66 127,32 
2 0,82 2,92 4,30 6,21 9,92 14,09 
3 0,76 2,35 3,18 4,18 5,84 7,45 
4 0,74 2,13 2,78 3,50 4,60 5,60 
5 0,73 2,02 2,57 3,16 4,03 4,77 
6 0,72 1,94 2,45 2,97 3,71 4,32 
7 0,71 1,89 2,36 2,84 3,50 4,03 
8 0,71 1,86 2,31 2,75 3,36 3,83 
9 0,70 1,83 2,26 2,69 3,25 3,69 
10 0,70 1,81 2,23 2,63 3,17 3,58 
11 0,70 1,80 2,20 2,59 3,11 3,50 
12 0,70 1,78 2,18 2,56 3,05 3,43 
13 0,69 1,77 2,16 2,53 3,01 3,37 
14 0,69 1,76 2,14 2,51 2,98 3,33 
15 0,69 1,75 2,13 2,49 2,95 3,29 
16 0,69 1,75 2,12 2,47 2,92 3,25 
17 0,69 1,74 2,11 2,46 2,90 3,22 
18 0,69 1,73 2,10 2,45 2,88 3,20 
19 0,69 1,73 2,09 2,43 2,86 3,17 
20 0,69 1,72 2,09 2,42 2,85 3,15 
21 0,69 1,72 2,08 2,41 2,83 3,14 
22 0,69 1,72 2,07 2,41 2,82 3,12 
23 0,69 1,71 2,07 2,40 2,81 3,10 
24 0,68 1,71 2,06 2,39 2,80 3,09 
25 0,68 1,71 2,06 2,38 2,79 3,08 
26 0,68 1,71 2,06 2,38 2,78 3,07 
27 0,68 1,70 2,05 2,37 2,77 3,06 
28 0,68 1,70 2,05 2,37 2,76 3,05 
29 0,68 1,70 2,05 2,36 2,76 3,04 
30 0,68 1,70 2,04 2,36 2,75 3,03